Exponencial de uma Matriz

Uma das tecnicas matematicas eficeintes na resolucao de equacao diferencial consisteno calculo da matriz eAt onde A e uma matriz de ordem n. Apresentaremos aqui o medotode Silvestre de se calcular a matriz eAt .

Exemplo 1. Seja A a matriz

A =

1 0 −11 2 12 2 3

.

Calcule a matriz eAt.

Nos vamos calcular as matrizes A − λI, onde I e a matriz identidade de ordem tres e λe real ou complexo. Depois vamos procurar todos os valores λ que resolovem a equacaodet(A − λI) = 0. Encontraremos tres valores reais λ1, λ2 e λ3, que sao aqui denominadosAutovalores de A. Estes Autovalores que detreminam tres elementos em R

3, vλ1 , vλ2 e vλ2

que aqui vamos denomina-los Autoverores. Finalmente, calcularemos as matrizes Zk parak = 1, 2, 3

Zk = Π3j=1 j 6=k (λk − λj)

−1 (A− λjI), (0.1)

E importante assinalar que o metodo de Sivestre somente pode ser aplicado quando osAutovalores de A forem dois a dois distintos.

que nos darao a desejada matriz eAt dada por

eAt =3∑

k=1

Zkeλk . (0.2)

Calculo de Autovalores de A

Considere a matriz

A− λI =

1 − λ 0 −11 2 − λ 12 2 3 − λ

. (0.3)

Vemos que o determinante da matriz em (0.3) e dado por

det(A− λI) = (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ).

As raızes do polinomio det(A− λI) ou seja as solucoes de det(A− λI) = 0, sao dadas porλ1 = 1, λ1 = 2 e λ3 = 3.

Calculo de Autovetores de A

Agora devemos encontrar vetores ou elementos ~vi = (ai, bi, ci) de R3, nao nulos tais que

(A− λI)(~vi) = 0 para i ∈ 1, 2, 3.

1

(i) Vamos calcular ~v1. Seja ~u = (x, y, z) um vetor nao nulo qualquer de R3 tal que

A− λI)(~u) = 0. Em nopotacao matricial teremos

(A− λ1I)(~u) =

1 − λ1 0 −11 2 − λ1 12 2 3 − λ1

x

y

z

=

000

. (0.4)

Veja que em (0.4) ao substituir o valor de λ0 por 1, que e o valor dele, teremos umSistema Linear Homogeneo D~u = 0 cujo determinante da matriz D e nulo. Comoeste Sistema Linear Homogeneo tem solucao (e possıvel), ha duas e somente duasalternativas a serem consideradas.

(a) O Sistema Linear (0.4) tem uma unica solucao (a solucao nula).

(b) O Sistema Linear (0.4) tem mais que uma solucao .

Substituindo o valor λ1 = 1 em (0.4) teremos

(A− I)(~u) =

0 0 −11 1 12 2 2

x

y

z

=

000

. (0.5)

Resolvemos o Sistema Linear (0.5) por escalonamento e encontramos o conjunto solucaoque e dado por

S1 = (x, y, z) ∈ R3, tais que z = 0 e x = −y ou S1 = x(1,−1, 0), tais que x ∈ R.

Veja que na segunda apresentacao do conjunto S acima, fica determinado um vetorque o denotaremos por ~vλ1 , que e dado por ~vλ1 = (1,−1, 0). Este e o Autovetor de Aque esta associado ao Autovalor λ1 = 1.

Em seguida vamos repetir este procedimento e determinar os Autovetores ~vλ2 e ~vλ3

que estao assiciados aos Autovalores λ2 = 2 e λ3 = 3 respectivamente. Por estemotivo alguns passos serao omitidos.

(ii) Substituindo o valor λ2 = 2 em (0.3) teremos

(A− 2I)(~u) =

−1 0 −11 0 12 2 1

x

y

z

=

000

. (0.6)

Resolvemos o Sistema Linear (0.6) por escalonamento e encontramos o conjunto solucaoque e dado por

S2 = (x, y, z) ∈ R3, tais que x = −2y e z = 2y ou S2 = x(−2, 1, 2), tais que x ∈ R .

Na segunda apresentacao do conjunto S2 acima, fica determinado o Autovetor de Aque esta associado ao Autovalor λ2 = 2 e que e ~vλ2 = (−2, 1, 2).

2

(iii) Substituindo o valor λ3 = 3 em (0.3) teremos

(A− 3I)(~u) =

−2 0 −11 0 −12 2 0

x

y

z

=

000

. (0.7)

Resolvemos o Sistema Linear (0.7) por escalonamento e encontramos o conjunto solucaoque e dado por

S3 = (x, y, z) ∈ R3, tais que x = −y e z = 2y ou S3 = y(−1, 1, 2), tais que x ∈ R .

Na segunda apresentacao do conjunto S3 acima, fica determinado o Autovetor de Aque esta associado ao Autovalor λ3 = 3 e que e ~vλ3 = (−1, 1, 2).

Calculo de Zk, k ∈ 1, 2, 3.

As matrizes (A− λ1I), (A− λ2I) e (A− λ3I) estao das em (0.5), (0.6) e (0.7) respecti-vamente.

(a) Veja que Z1 = (λ1 −λ2)−1(A−λ2I)(λ1 −λ3)

−1(A−λ3I). Os valores (λ1 −λ2) = −1e (λ1 − λ3) = −2. Entao

Z1 = (λ1 − λ2)−1(A− λ2I)(λ1 − λ3)

−1(A− λ3I).

Ou seja

Z1 =1

2

−1 0 −11 0 12 2 1

×

−2 0 −11 −1 12 2 0

=1

2

0 −2 10 2 −10 0 0

.

(b) Veja que Z2 = (λ2 − λ1)−1(A− λ1I)(λ2 − λ3)

−1(A− λ3I). Os valores (λ2 − λ1) = 1e (λ2 − λ3) = −1. Entao

Z2 = (−1)

0 0 −11 1 12 2 2

×

−2 0 −11 −1 12 2 0

=

2 2 0−1 −1 0−2 −2 0

.

(c) Veja que Z3 = (λ3 − λ1)−1(A− λ1I)(λ3 − λ2)

−1(A− λ2I). Os valores (λ3 − λ1) = 2e (λ3 − λ2) = 1. Entao

Z3 =1

2

0 0 −11 1 12 2 2

×

−1 0 −11 0 12 2 1

=1

2

−2 −2 −12 2 14 4 2

.

Agora, nos podemos usar (0.2) para calcular a matriz eAt, que e dada por

3

eAt = etZ1 + e2tZ2 + e3tZ3 =

2e2t − e3t −et + 2e2t − e3t1

2et − 1

2e3t

−e2t + e3t et − e2t + e3t −1

2et +

1

2e3t

−2e2t + 2e3t −2e2t + 2e3t e3t

Exercıcio 1. Use seus conhecimentos de derivada e de produto matricial e verifique que

d

dt

(

eAt)

= AeAt.

Exemplo 2. Considere o conjunto de todos os valores π = (a, b, c) ∈ R3, tais que − a+

b− 1 = 0 e a matriz

A =

a 0 −11 b 12 2 c

.

Calcule eAt.

Calculo de Autovalores de ANos vamos usar as ideias que aparecem no Exemplo (1).

Considere a matriz

A− λI =

a− λ 0 −11 b− λ 12 2 c− λ

. (0.8)

Como −a+ b− 1 = 0, vemos que o determinante da matriz em (0.8) e dado por

det(A− λI) = (a− λ)(b− λ)(c− λ).

As raızes do polinomio det(A− λI) ou seja as solucoes de det(A− λI) = 0, sao dadas porλ1 = a, λ1 = b e λ3 = c.

Calculo de Autovetores de A

(i) Observe que os parametros (a, b, c) ∈ π, entao b− a = 1. Substituindo o valor λ1 = a

em (0.3) teremos

(A− I)(~u) =

0 0 −11 1 12 2 c− a

x

y

z

=

000

. (0.9)

4

Resolvemos o Sistema Linear (0.9) por escalonamento e encontramos o conjunto solucaoque e dado por

S1 = (x, y, z) ∈ R3, tais que z = 0 e x = −y ou S1 = x(1,−1, 0), tais que x ∈ R.

Portanto, ~vλ1 = (1,−1, 0) e o Autovetor de A que esta associado ao Autovalorλ1 = a.

(ii) Observe que os parametros (a, b, c) ∈ π, entao a− b = −1. Substituindo o valor λ2 = b

em (0.3) teremos

(A− I)(~u) =

−1 0 −11 0 12 2 c− b

x

y

z

=

000

. (0.10)

Resolvemos o Sistema Linear (0.10) por escalonamento e encontramos o conjuntosolucao que e dado por

S2 = (x, y, z) ∈ R3, tais que − z = x e

c− b− 2

2x = y ou

S2 = y(1, 2 − b− c

2,−1), tais que y ∈ R.

Portanto, ~vλ1 = (1,c− b− 2

2,−1) e o Autovetor de A que esta associado ao Auto-

valor λ2 = b.

(iii) Substituindo o valor λ3 = c em (0.3) teremos

(A− I)(~u) =

a− c 0 −11 b− c 12 2 0

x

y

z

=

000

. (0.11)

Resolvemos o Sistema Linear (0.11) por escalonamento e encontramos o conjuntosolucao que e dado por

S3 = (x, y, z) ∈ R3, tais que z = (a− c)x e x = −y ou

S3 = x(1−, 1, a− c), tais que y ∈ R.

Portanto, ~vλ1 = (−1, 1, 2) e o Autovetor de A que esta associado ao Autovalorλ3 = c.

5

Calculo de Zk, k ∈ 1, 2, 3.

As matrizes (A− λ1I), (A− λ2I) e (A− λ3I) estao das em (0.9), (0.10) e (0.11) respec-tivamente, os Autovalores agora sao daos por λ1 = a, λ2 = b λ3 = c.

(a) Veja que Z1 = (λ1 − λ2)−1(A − λ2I)(λ1 − λ3)

−1(A − λ3I). Os valores (λ1 − λ2) =a− b = −1 e (λ1 − λ3) = a− c. Entao

Z1 = (λ1 − λ2)−1(A− λ2I)(λ1 − λ3)

−1(A− λ3I).

Ou seja

Z1 = − 1

a− c

−1 0 −11 0 12 2 c− b

×

a− c 0 −11 b− c 12 2 0

= − 1

a− c

c− a− 2 −2 1a− c+ 2 2 −1

0 0 0

.

(b) Veja que Z2 = (λ2 − λ1)−1(A − λ1I)(λ2 − λ3)

−1(A − λ3I). Os valores (λ2 − λ1) =b− a = 1 e (λ2 − λ3) = b− c. Entao

Z2 =1

b− c

0 0 −11 1 12 2 c− a

×

a− c 0 −11 b− c 12 2 0

=1

b− c

−2 −2 0a− c+ 3 b− c+ 2 0

2 2 0

.

(c) Veja que Z3 = (λ3−λ1)−1(A−λ1I)(λ3−λ2)

−1(A−λ2I). Os valores (λ3−λ1) = c−ae (λ3 − λ2) = c− b. Entao

Z3 =1

(c− a)(c− b)

0 0 −11 1 12 2 c− a

×

−1 0 −11 0 12 2 c− b

=1

(c− a)(c− b)

−2 −2 b− c

2 2 c− b

2(c− a) 2(c− a) (c− a)(c− b)

.

Agora, nos podemos usar (0.2) para calcular a matriz eAt, que e dada por

eAt = eatZ1 + eabZ2 + ectZ3

=

(1 − 2c−a

)eat − 2ebt

b−c− 2ect

(c−b)(c−a)2eat

a−c− 2ebt

b−c− ect

(c−a)(c−b)eat−ect

c−a

(−1 + 2c−a

)eat + a−c+3b−c

ebt + 2ect

(c−a)(c−b)2eat

c−a+ (1 + 2

b−c)ebt + 2ect

(c−a)(c−b)[eat−ect]

a−c

2[ebt−ect]b−c

2[ebt−ect]b−c

ect

6

Exercıcio 2. Use seus conhecimentos de derivada e de produto matricial e verifique que

d

dt

(

eAt)

= AeAt.

APLICACAO DA EXPONENCIAL DE UMA MATRIZ

Vamos examinar o comportamento de um modelo de demanda e oferta com equilıbrio deWALRAS.

Equilıbrio de Walras

Sabe-se da microeconomia que em um mercado perfeitemente competitivo o equilıbrio edeterminado por por um ponto onde a funcao demanda e a funcao oferta assumem o mesmovalor. Com o auxılio de ferramentas e mecanismos matematicos, especialmente as equacoesdiferenciais, muitas vezes podemos examinar o que acontece quando um sistema economiconao atua em equilibıbrio. As razoes que fazem um mercado atuar em desequilıbrio sao varia-das. Em algumas destas situacoes pode-se obter informacoes sobre o comportamento futurodo mercado em estudo, usando um modelo matematico adequado e tecnicas especialmenteescolhidas para a analise do modelo mesmo que este mercado atue em desequilıbrio. Algumasperguntas sao naturais.

Se um mercado esta atuando em desequilıbrio no instante atual, poderia estemercado aproximar-se do equilıbrio no futuro?

Este e um problema de estabilidade do equilıbiro.E importante lembrar que o equilıbrio economico se da quando a soma das forcas economicas

que atuam naquele ponto e zero. Um caso particular em que a soma das forcas economicasque atuam naquele ponto e zero acontece quando todas as forcas sao zero. Mas pode-seter soma de forcas nula sem que nehumas das forcas que atuam seja nula. Esta ideia podenos apresentar algumas diferencas entre dois equilıbrios distintos. Nos serao apresentadassituacoes interessantes acerca deste assunto.

Excesso de demanda e a diferenca entre entre o preco que o comprador dispoe-se a pagarpor uma dada quantidade e o preco que e requerido (to call forth) para ofertar a mesmaquantidade.

Nas hipotese de Walras, quando existe um excesso de demanda positiva (negativa) oscompradores (vendedores) insatisfeitos forcam os precos a subir (baixar).

Nas Hipoteses de Marshallian, quando existe um excesso de demanda de preco positivo(negativo), produtores esperam poder aproveitar-se do crescimento (prejuducar-se decresci-mento) da quantidade ofertada.

(A) Em um modelo Walrasiano, equilıbrio e estavel se um aumento (decrescimo) depreco causdo por positivo (negativo) excesso de demanda, diminui (aumenta) excesso deexcesso de demanda. Isto e

dE(p)

dp=d[D(p) − S(p)]

dp< 0,

ou seja

7

dD(p)

dp− dS(p)]

dp< 0. (0.12)

(B) Em um modelo Marshallian, o equilıbrio e estavel se um aumento(decrescimo) naquantidade, causdo por positivo (negativo) excesso de demanda de preco, reduz (aumenta)excesso de excesso de demanda de preco. Isto e

dE−1

dq− d[pd(q) − ps(q)]

dq< 0,

ou seja

dpd

dq− ps(q)

dq< 0.

Como pd = pd(q) e a inversa da funcao demanda (D = D(p)) e ps = ps(q) e a inversa dafuncao oferta (S = S(p)), segue do Teorema da Funcao Inversa que

dpd

dq=(dD

dq

)−1

e quedps

dq=(dS

dq

)−1

.

Portanto,

(dD

dp

)−1

−(dS

dp

)−1

< 0.

Modelo Dinamico

No modelo dinamico nos formalizamos as hipoteses de comportamento como uma equacoesfuncional, ou a incognita passa a ser uma funcao que deve ser determinada. Suponhamosque o preco seja uma funcao do tempo (p(t)). A formalizacao dinamica das hipotesesWalrasianas e a seguinte:

p′ = f(D(p) − S(p)), (0.13)

onde f e a funcao sinal (o sinal de f(s) e o mesmo sinal de s), f(0) = 0 e f ′(0) > 0.Ser f a funcoes sinal, significa que se o excesso de demanda for positivo (negativo) a

derivada de p′ sera positiva (negativa), o que faz com que a funcao seja crescente (derescente).A hipotese f(0) = 0 significa que se a demanda for igual a oferta p′ sera nula (isto indicaequilıbrio ou excesso de demanda igual a zero). A hipotese f ′(0) > 0 significa que a funcaof e crescente no ponto onde ela passa de valores negativos para positivos.

Vamos supor que f seja linear e as funcoes demanda e oferta sejam lineares dadas por

D(p) = a+ bp, S(p) = m+ np, (0.14)

onde a, b,m, n sejam constantes reais. Entao a equacao (0.13) torna-se

p′ = c(b− n)p+ c(a−m). (0.15)

8

Vemos que o excesso de demanda igual a zero se em pe =a−m

b− n. E facil ver que

c(a−m) = −c(b− n)pe. Substituindo esta utima expressao em (0.15) teremos

p′ = c(b− n)(p− pe). (0.16)

A equaao (0.16) pode ser facilmente resolvida multiplicando ambos os seus membros pore−c(b−n)t, o que nos da

e−c(b−n)t[p′ − c(b− n)(p− pe)] = 0. ou sejad[e−c(b−n)t(p− pe)]

dp= 0. (0.17)

Se calcularmos a integral indefinida de ambos os membros da ultima igualdade em (0.18)teremos,

e−c(b−n)t[(p− pe)] = k, onde k e uma constante a ser determinada.

Multiplicando esta ultima igualdade por ec(b−n)t e realizando alguns calculos algebricos tere-mos

p(t) = k[ec(b−n)t + pe] (solucao geral de (0.15)). (0.18)

Por ser pe o unico equilıbrio de (0.13), em (0.18)Observe que ao nos valermos de algumas tecnicas matematicas determinamos a funcao precop(t) para todo t real. Entao nao seremos pretenciosos se afirmarmos que conhecemos com-pletamente a dinamica dos precos em um mercado cujo comportamento seja modelado pelaequacao (0.13) com demanda e oferta lineares.

Vamos Interpretar Nossas Respostas

Tomemos as expressoes das funcoes demanda e oferta em (0.14) e apliquemos a definicaode estabilidade Walrasiana cuja condicao necessaria expressa em (0.12).Note que a funcaosinal (supposta linear) dada por f em (0.13) e dada por f(s) = cs com c > 0.

Walras Estavel Vemos entao, que o equilıbrio qe de (0.15) sera Walras estavel se

b− n < 0.

Isto poder ser observado analisando a expressao da funcao preco dada em (0.18). Veja que

limt→∞

p(t) = limt→∞

[kec(b−n)t + pe] = pe.

O limite acima nos diz que se o excesso de demanda for negativo, mesmo que o mercadoatue fora do preco de equilıbrio em algum isntante, no futuro, isto e, quando t tende para o

infinito, o preco p(t) no mercado tendera para o preco de equilıbrio pe =a−m

b− n.

Walras Instavel Vemos entao, que o equilıbrio pe de (0.15) sera Walras estavel se

b− n > 0.

Isto poder ser observado analisando a expressao da funcao preco dada em (0.18). Veja que

9

limt→∞

p(t) = limt→∞

[kec(b−n)t + pe] = ∞.

O limite acima nos diz que se o excesso de demanda for positivo, se o mercado atuar fora do

preco de equilıbrio pe =a−m

b− nem algum isntante, no futuro, isto e, quando t tende para o

infinito, o preco p(t) no mercado tendera para o infinito, o que nos mostra que o mercado sedescontrolara por completo.

Nosso passo seguinte e analisar a formalizacao das hipoteses Marshallianna. Veremos hauma diferenca importante na interpretacao da Walras estabilidade para Marshallian estabi-lidade.

1 Exemplos e Aplicacoes

Exemplo 3. Sejam Ω um subconjunto aberto do espaco vetorial R × Rn, f : Ω → E uma

aplicacao contınua e I e o intervalo maximal. Consideremos o seguinte sistema de equacoesdiferenciais

x1 = x1 + x2 + 2x3

x2 = x1 + 2x2 + x3

x3 = 2x1 + x2 + x3

(1.19)

que pode ser escrito na forma

x =

1 1 21 2 12 1 1

x1

x2

x3

(1.20)

onde A e a matriz constante e x sao os vetores coluna, onde x : R → R3.

Vemos que o sistema 1.20 pode ser escrito como

x = Ax (1.21)

que e um sistema linear homogeneo e sabemos que a solucao geral e dada por

x(t) = eλtν (1.22)

onde λ e um numero real ou complexo e ν e o vetor constante.Seja V = C1(I, E) e o conjunto das funcoes que tem uma derivada contınua, onde I e

o Intervalo Maximal de definicao de uma solucao da equacao (1.21). Se S e o conjuntode todas as solucoes de (1.21), entao S e um subespaco vetorial de V . Tendo A : R

3 → R3

uma transformacao linear, logo, L(R3) o espaco vetorial de todas as transformacoes linearesde R

3.

Assim, para obtermos os autovalores de A devemos procurar as solucoes de (1.21) dadaspor eλν, tal que ν ∈ R

3 seja nao nulo. Substituindo em (1.21) teremos

λeλtν = A(eλtν) ⇒ Aeλtν − λeλtν = 0 ⇒(A− λI)(eλtν) = 0, para algum ν 6= 0 ⇒

10

que e equivalente a (A−λI)ν = 0. Vemos que ν e solucao de um sistema linear homogeneocom tres equacoes e tres incognitas cujo interesse e encontrar solucoes nao nulas, ou sejaqueremos encontrar λ ∈ C tais que det(A− λI) = 0. Portanto,

det

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 − λ 1 21 2 − λ 12 1 1 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (1.23)

o que produz os autovalores

λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −1.

Vamos calcular os vetores ν ∈ R3 nao nulos tais que por

Aν = λiν para i ∈ 1, 2, 3. (1.24)

Nossos calculos nos mostram que ν1 = (1, 1, 1)T e o autovetor assiciado a λ1; ν2 =(1,−2, 1)T e o autovetor assiciado a λ2 e ν3 = (1, 0,−1)T e o autovetor assiciado a λ3. Comoos autovalores sao distintos, os autovetores sao linearmente independentes e portanto os tresvetores v1, v2, v3 formam uma bases de R

3. Assim, a matriz P cujas colunas sao dadas pelosautovetores (v1, v2, v3), e nao singular e seu determinantre e 6. Ainda P e dada por

P =

1 1 11 −2 01 1 −1

(1.25)

Nos calculamos a matriz inversa da matriz PComo A ∈ L(R3) e temos as matrizes dos autovetores P e sua inversa P−1, entA£o

calculamos eAt usando o Corolario ??. Portanto, eAt = P.Diag([eλjt]).P−1.

Assim, temos uma Matriz Fundamental para (1.21) e dada por

X(t) =

e4t et e−t

e4t −2et 0e4t et −e−t

(1.26)

multiplicando agora pela matriz inversa P−1 dos autovetores, teremos

eAt =

13e4t + 1

6et + 1

2e−t 1

3e4t − 1

3et 1

3e4t + 1

6et − 1

2e−t

13e4t − 1

3et 1

3e4t + 2

3et 1

3e4t − 1

3et

13e4t + 1

6et − 1

2e−t 1

3e4t − 1

3et 1

3e4t + 1

6et + 1

2e−t

(1.27)

Para analisar a estabilidade da solucao nula do sistema (1.21) calculamos a norma de eAt

usando a norma de operadores dada em (??). Observamos que se escolhermos a terceira co-luna da matrize (1.27) e definirmos ‖(e4t, e4t, e4t)T‖ = ϕ(t) teremos ϕ(t) =

√

(e4t)2 + (e4t)2 + (e4t)2 =√3e4t. Agora, a norma da matriz fundamental (ver (??)) satisfaz ‖eAt‖ ≥ sup

t∈(0,∞)

ϕ(t) = ∞.

Assim, pela definicao (??), nos temos que a solucao nula do sistema (1.21 nao e estavel.

Agora vamos analisar um exemplo onde a multiplicidade algebrica dos autovalores envol-vidos e maior que um.

11

Exemplo 4. Consideremos o sistema

x =

1 1 −1 00 1 0 10 1 1 10 0 0 1

x

y

w

v

(1.28)

Vamos calcular os autovalores para o sistema (1.28), isto e queremos encontrar solucoesde (1.28) do tipo eλtν para λ ∈ C e ν ∈ R

4, ν 6= 0. Derivando teremos λeλtν = A(eλtν) quee equivalente a det(A− λI) = 0. Assim,

det

1 − λ 1 −1 00 1 − λ 0 10 1 1 − λ 10 0 0 1 − λ

= 0 (1.29)

O que nos da o polinomio caracterAstico

ρ(λ) = λ4 − 4λ3 + 6λ2 − 4λ+ 1 = 0

logo os autovalores serao

λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 1

verificamos que os autovalores tem multiplicidade algebrica maior que um. Nosso problemaagora e determinar todos os autovetores que estao associados ao autovalor λ1 = 1. Entaodevemos procurar solucoes de (1.28) do tipo

x(t) = teλtν + eλtξ, para ξ, ν 6= 0

onde

(A− λI)ν = 0(A− λI)ξ = ν

, (1.30)

o que e equivalente a procurar solucoes de (1.28) onde estejam envolvidos produtos depolinomios com funcoes exponenciais, como na serie

eλt = 1 + λt+1

2!λ2t2 + . . .+

1

n!λntn.

ja que existem k autovetores linearmente independentes a autovalor λ, inicialmente vamosprocurar λ e ν tais queo x(t) = teλtν, seja solucao de (1.28), assim,

λteλtν + eλtν = A(teλtν) = eλt[λtν + ν] = teλtAν, ou sejaλtν + ν − tAν = 0, para todo t ,

o que produz ν = 0 e nao nos interessa. Tomemos agora x(t) = teλtν + eλtξ, onde ν e ξ saovetores constantes nao nulos.Substituindo x(t) no sistema (1.28) obtemos

12

λteλtν + eλt(ν + λξ) = A(teλtν + eλtξ)

ou seja

λtν + ν + 2ξ = tAν + Aξ

Por identidade de polinomios temos que ν e ξ devem satisfazer

Aν = λν

Aξ = ν + λξ(1.31)

o que implica que as igualdades em (1.30) estao satisfeitas.Este procedimento deve ser repetido ate obtermos o numero maximo de solucoes indepen-dentes que satisfacam o sistema (1.28)(ver [4]).

Assim, ao final do procedimento acima encontramos a base de autovetores do sistema(1.28) que sao geradores para R

n dada pelos vetores

x1(t) = et(1, 0, 0, 0)T

x2(t) = tet(1, 0, 0, 0)T + et(0, 0,−1, 0)T = (tet, 0,−et, 0)T

x3(t) =t2

2et(1, 0, 0, 0)T + tet(0, 0,−1, 0)T + et(0,−1,−1, 0) = (

t2

2et,−et, et(−t− 1), 0)T

x4(t) =t3

6et(1, 0, 0, 0)T +

t2

2et(0, 0,−1, 0)T + tet(0,−1,−1, 0)T + et(0, 0, 0,−1)T =

(t3

6et,−tet, et(

−t22

− t),−et)T .

Que formam a Matriz Fundamental do sistema (1.28)

X(t) =

et tett2

2et t3

6et

0 0 −et −tet

0 −et et(−t− 1) et(−t22

− t)

0 0 0 −et

(1.32)

uma vez que os autovetores encontrados para o sistema (1.28) sao solucoes LinearmenteIndependentes

Assim, pelo Lema (??), que eAt = X(t)X(0)−1

onde

X(0)−1 =

1 0 0 00 1 −1 00 −1 0 00 0 0 −1

(1.33)

entao

13

eAt =

et et(t− t2

2) −tet

−t36et

0 et 0 tet

0 tet et et(t+t2

2)

0 0 0 et

(1.34)

Agora analisaremos a estabilidade do sistema (1.28), para isso calcularemos a normade eAt, usando a norma de operadores dada em (??). Observamos que se escolhermosa primeira coluna da matriz (1.34) e definirmos ‖(et, 0, 0, 0)T‖ = ϕ(t) teremos ϕ(t) =√

(et)2 + 02 + 02 + 02 = et. Agora, a norma da matriz fundamental (ver (??)) satisfaz‖eAt‖ ≥ sup

t∈(0,∞)

ϕ(t) = ∞.

Assim, pela definicao (??), nos temos que a solucao nula do sistema (1.21 nao e estavel.

DUOPOLIO DE COURNOT COM CUSTOS MARGINAIS CONSTANTES

Exemplo 5. (ver [8])Considere o ”duoplio de Cournot”, em que as duas empresas produzem o mesmo produto

e tem custos marginais constantes c1 e c2. O preco de mercado P (t) para este produto e dadoem funcao da quantidade total Q(t) produzida que e vendida, isto e

P (t) = a0 − a1Q(t), a0, a1 > 0

Cada uma das empresas deseja maximizar seus lucros mas ela deve ajustar o lucro no sentidoda maximizacao das vendas. A questao e saber se este vetor preco que maximiza o lucrodas empresas e estavel.

Neste estudo faremos algumas restricoes sobre o lucro, planejamento e ajuste de vendasrealizados de cada uma das empresa. No instante t, a firma i lucra πi(t), i = 1, 2, que e dadopor

πi(t) = Qi(t)P (t) − ciQi(t), ci > 0, i = 1, 2, (1.35)

onde Qi e a quantidade produzida que e vendida pela i- empresa. Notemos que Q = Qi +Qj.

No planejamento de producao , cada empresa supoe que a outra mantera seu nıvel de vendasinalterado. Isto e simplificado para mostrarmos que a seguinte solucao Qi(t) maximizaπi(t), i = 1, 2.

Qi(t) = Ai −Qj(t)

2, i, j = 1, 2 e i 6= j, (1.36)

onde Ai =a0 − ci

2a1

.

Suponhamos que cada empresa ajusta suas quantidades produzidas Qi(t) para que suavenda esteja o proximo a quantidade que maximiza o seu lucro Qi(t). Esta ideia pode sermodelada pela equacao diferencial dada por

14

Qi = βi(Qi −Qi), βi > 0, (1.37)

onde βi i ∈ 1, 2 e a velocidade de ajustamento. De (1.35) temos

πi(t) = Qi(t)P (t) − ciQi(t), temos P (t) = a0 − a1(Qi(t) +Qj(t))πi(t) = Qi(t)(a0 − a1(Qi(t) −Qj(t))) − ciQi(t)πi(t) = a0Qi(t) − a1Q

2i (t) − a1Qi(t)Qj(t) − ciQi(t)

Como queremos maximizar o lucro para a quantidade produzida da empresa i, isto e, Qi

deve satisfazer,

πi(t)maxQi(t)

= a0 − 2a1Qi(t) − a1Qj(t) − ci = 0 ⇒ Qi(t) =a0 − ci

2a1

− Qj(t)

2, i, j = 1, 2 e i 6= j

(ver (1.36)). Da equacao (1.37) segue que Qi(t) =Qi

βi

+Qi, usando (1.36), teremos

Ai −Qj(t)

2=Qi

βi

+Qi ⇒ 2Aiβi − βiQj = Qi + 2βiQi entao

Qi = Aiβi −βiQj

2− βiQi

o que nos leva ao sistema

[

Q1

Q2

]

=

−β1 −β1

2

−β2

2−β2

[

Q1

Q2

]

+

[

A1β1

A2β2

]

. (1.38)

Como iliustracao, tomaremos β1 = β2 = β, a0 = 9, a1 = 1ec1 = c2 = 3. Assim, o sistema(1.38) tera a forma

[

Q1

Q2

]

=

−β −β2

−β2

−β

[

Q1

Q2

]

+

[

3β3β

]

. (1.39)

Notamos que o sistema (1.39) e um Sistema Linear Nao-Homogeneo, e pode ser escrito como

Q = AQ+B. (1.40)

Para estudar a estabilidade do equilıbrio Q e necessario encontrar os autovalores e seusrespectivos autovetores, da matriz A dada no sistema (1.39) que sao os valores de λ ∈ C quesatisfazem

det(A− λI) = 0

isto e

15

det

−β − λ −β2

−β2

−β − λ

= 0. (1.41)

Entao os autovetores que procuramos sao os valores λ ∈ C que anulam o polinomio carac-terıstico

p(λ) = 4λ2 + 8βλ+ 3β2.

que sao dados por

λ1 =−β2, λ2 =

−3β

2.

Vamos calcular os autovetores associados aos autovalores λ1 =−β2

e λ2 =−3β

2. Procu-

ramos por vetores ν ∈ R2 nao nulos tais que

Aν = λiν para i ∈ 1, 2. (1.42)

Vemos que o autovalor λ1 esta associado ao autovetor ν1 = (1,−1)T , e o autovalor λ2 estaassociado ao autovetor ν2 = (1, 1)T .

Agora, podemos calcular uma Matriz Fundamental da parte linear de (1.40) que e dadapor

X(t) =

(

e−βt

2 e−3βt

2

−e−βt

2 e−3βt

2

)

. (1.43)

Como o sistema (1.39) e um Sistema nao Linear, para encontrarmos a solucao geral,utilizaremos o metodo da VariaA§A£o dos Parametros. Queremos uma funcao matricialdada por

Q(t) = X(t)u(t),

seja solucao de (1.39) com u(t) que satisfaz X(t)u′(t) = B(t), onde B(t) esta descrita nosistema (1.40). Calcularemos entao X(t)u′(t) = B(t), o que nos da

(

e−βt

2 e−3βt

2

−e−βt

2 e−3βt

2

)

(

u′1u′2

)

=

(

3β3β.

)

(1.44)

Encontramos as funcoes

u1(t) = c1, e

u2(t) = 2e3βt

2 + c2

e assim podemos resolver

Q(t) = X(t)u(t),

16

(

e−βt

2 e−3βt

2

−e−βt

2 e−3βt

2

)

(

c1

2e3βt

2 + c2

)

=

(

c1e−βt

2 + 2 + e−3βt

2 c2

−c1e−βt

2 + 2 + e−3βt

8 c2

)

(1.45)

que pode ser escrita na forma

Q(t) = (2 + c1e−βt

2 + c2e−3βt

2 ; 2 − c1e−βt

2 + c2e−3βt

2 )

ou

Q1(t) = 2 + c1e−βt

2 + c2e−3βt

2

Q2(t) = 2 − c1e−βt

2 + c2e−3βt

2 .

Fazendo t = 0, temos

Q1(0) = 2 + c1 + c2 = Q10

Q2(0) = 2 − c1 + c2 = Q20

que nos da

c1 = Q10 −Q20

c2 =Q10 +Q20

2− 2

portanto, a solucao do sistema (1.40) e dada por

Q1(t) = 2 + (Q10 −Q20)e−βt

2 +(Q10 +Q20

2− 2)

e−3βt

2

Q2(t) = 2 − (Q10 −Q20)e−βt

2 +(Q10 +Q20

2− 2)

e−3βt

2 .

Vamos analisar o Retrato de Fase do sistema (1.40)

Q(t) =(

2 + c1e−βt

2 + c2e−3βt

2 ; 2 − c1e−βt

2 + c2e−3βt

2

)

. (1.46)

Fazendo c1 = 0 na expressao (1.46) teremos

Q(t) =(

2 + c2e−3βt

2 ; 2 + c2e−3βt

2

)

, (1.47)

analisando (1.47) se c2 > 0; para t → ∞, Q(t) → (2, 2); e quando t → −∞, Q(t) →(∞,∞). Se em (1.47) tomarmos c2 < 0; se t→ ∞, Q(t) → (2, 2); se t→ −∞, Q(t) →(−∞,−∞).Agora, fazendo c2 = 0 na expressao (1.46) teremos

Q(t) =(

2 + c1e−βt

2 ; 2 − c1e−βt

2

)

(1.48)

o que de (1.48) resulta em; se c1 > 0 e t→ ∞ Q(t) → (2, 2); se t→ −∞Q(t) → (∞,−∞).Ainda, se em (1.47) tomarmos c1 < 0 para t → ∞ teremos Q(t) → (2, 2) e para t → −∞teremos (−∞,∞). Um esboco destas situacoes pode ser observada no grafico abaixo.

17

”GRAFICO 2.”

Com as modificacoes que foram realizadas no sistema original vemos que o ponto de equilıbrioQ = (2, 2).Analisaremos a estabilidade da solucao constante Q(t) = Q do modelo (1.40). Calculando anorma de operadores dada em (??), observamos que se escolhermos a primeira coluna da ma-

triz (1.43) e definirmos ‖(

e−βt

2 ,−e−βt

2

)T

‖ = ϕ(t), teremos |ϕ(t)| =

√

(

e−βt

2

)2

+(

− e−βt

2

)2

=√

2 e−βt

2 . Agora, a norma da matriz fundamental(1.43), temos que ‖X(t)‖ = supt∈(0,∞)

ϕ(t) =

√2.Assim, pela definicao de (??), concluimos que o modelo (1.39) e estavel, e ainda pelo

Teorema (?? iii) podemos ver que

limt→∞

|X(t)| = 0. (1.49)

Portanto,|X(t)| → 0, para t→ ∞,

assim, podemos concluir que o equilıbrio Q para o modelo (1.39) A c© assintoticamenteestavel.

DUOPOLIO DE COURNOT E CUSTOS MARGINAIS CRESCENTES

Exemplo 6. (ver [8])Considere o ”duopolio de Cournot”, em que as duas empresas produzem o mesmo produto

e funcoes de custo total estao especificadas como 3Q2i (t), onde Qi e a quantidade que a i-

esima empresa vende. Veja que os custos marginais, 6Qi(t), nao sao constantes. O preco demercado P (t) e em funcao da quantidade total Q(t) produzida e que e vendida, especificadapor

P (t) = 9 −Q(t)

onde Q = Qi +Qj

Cada empresa deseja maximizar seus lucros, mas elas devem ajustar o lucro em direcaoa maximizacao das vendas. A questao e saber se o preco de venda com lucros maximizadose estavel.

Em nosso estudo faremos algumas restricoes sobre o lucro,planejamento e ajuste de vendas realizados por cada empresa. Neste caso no instante t,

a empresa lucra πi(t) dada por

πi(t) = Qi(t)P (t) − 3Q2i (t) (1.50)

18

No planejamento de producao cada empresa supoe que a outra mantera seu nıvel de vendainalterado. Esta simplificacao nos mostra que o lucro πi(t) e maximizado pelo valor Qi(t)que e dado por

Qi(t) =9

8− Qj(t)

8, i, j = 1, 2 e i 6= j. (1.51)

Suponhamos, ainda, que cada empresa ajusta suas vendas Qi(t) em direcao a Qi(t) demaneira que

Qi = βi(Qi −Qi) βi > 0. (1.52)

Vamos realizar alguns calculos para encontrar o valor Qi(t). De (1.50) temos que

πi(t) = Qi(t)P (t) − 3Q2i (t), temos P (t) = 9 −Qi(t) −Qj(t)

πi(t) = Qi(t)(9 −Qi(t) −Qj(t)) − 3Q2i (t)

πi(t) = 9Qi(t) −Q2i (t) −Qi(t)Qj(t) − 3Q2

i (t) = 9Qi(t) − 4Q2i (t) −Qi(t)Qj(t).

Como queremos maximizar o lucro pela quantidade produzida da empresa i, isto e, Qi devesatisfazer,

πi(t)maxQi(t)

= 9 − 8Qi(t) −Qj(t) = 0 entao Qi(t) =9

8− Qj(t)

8, i, j = 1, 2 e i 6= j,

dessa forma chegamos emQi(t) da equacao (1.51). Da equacao (1.52) temosQi(t) =Qi

βi

+Qi

portanto, usando (1.51) temos

9

8− Qj(t)

8=Qi

βi

+Qi entao 9βi − βiQj = 8Qi + 8βiQi entao 8Qi = 9βi − βiQj − 8βiQi

portanto, Qi =9

8βi −

Qj(t)βi

8− βiQi, que nos leva ao sistema

[

Q1

Q2

]

=

−β1 −β1

8

−β2

8−β2

[

Q1

Q2

]

+

9β1

89β2

8

. (1.53)

Como iliustracao, tomaremos β1 = β2 = β. Assim teremos o sistema

[

Q1

Q2

]

=

−β −β8

−β8

−β

[

Q1

Q2

]

+

9β

89β

8

, (1.54)

19

observamos que o sistema (1.54) e um Sistema Linear Nao-Homogeneo, que pode ser escritocomo

Q = AQ+B. (1.55)

Entao precisaremos encontrar os autovalores e os respectivos autovetores, para o sistema(1.55). Os autovalores sao os valores λ ∈ C tais que

det(A− λI) = 0.

ou seja

det

−β − λ −β8

−β8

−β − λ

= 0 (1.56)

o que nos da o polinomio caracterıstico de (1.56), dado por

p(λ) = β2 + 2λβ + λ2 − β2

64

cujas raızes sao dada por

λ1 =−7β

8, λ2 =

−9β

8.

Vamos encontrar os autovetores associados a estes autovalores, que sao os vetores ν ∈ R2

tais que

Aν = λν (1.57)

assim, temos que para ao autovalor λ1 esta associado o autovetor ν1 = (1,−1)T , e ao auto-valor λ2 esta associado o autovetor ν2 = (1, 1)T .Com os autovetores para o sistema (1.55), calculamos a Matriz Fundamental

X(t) =

(

e−7βt

8 e−9βt

8

−e−7βt

8 e−9βt

8

)

. (1.58)

Como o sistema (1.54) e um Sistema Linear Nao-Homogeneo, para encontrarmos a solucaogeral, utilizaremos o Metodo da Variacao dos Parametros, ou seja

Q(t) = X(t)u(t), (1.59)

onde u(t) e uma funcao tal que Q(t) e solucao de (1.55).Agora calcularemos u(t) que satisfaca X(t)u′(t) = B(t) (B esta dado em (1.55)). Entao

e−7βt

8 e−9βt

8

−e−7βt

8 e−9βt

8

u′1

u′2

=

9β

8

9β

8

(1.60)

20

de (1.60) encontramos os valores

u1(t) = c1 e

u2(t) = e9βt

8 + c2.

Podemos resolver agora (1.59)

(

e−7βt

8 e−9βt

8

−e−7βt

8 e−9βt

8

)

(

c1

e9βt

8 + c2

)

=

(

c1e−7βt

8 + 1 + e−9βt

8 c2

−c1e−7βt

8 + 1 + e−9βt

8 c2

)

(1.61)

que pode ser escrito da forma

Q(t) =(

1 + c1e−7βt

8 + c2e−9βt

8 ; 1 − c1e−7βt

8 + c2e−9βt

8

)

ou

Q1(t) = 1 + c1e−7βt

8 + c2e−9βt

8

Q2(t) = 1 − c1e−7βt

8 + c2e−9βt

8 .

Fazendo t = 0, temos que

Q1(0) = 1 + c1 + c2 = Q10

Q2(0) = 1 − c1 + c2 = Q20

isto nos rende

c1 =Q10 −Q20

2

c2 =Q10 +Q20

2− 1

portanto, temos como solucao do sistema (1.54)

Q1(t) = 1 +(Q10 −Q20

2

)

e−7βt

8 +(Q10 +Q20

2− 1)

e−9βt

8

Q2(t) = 1 −(Q10 −Q20

2

)

e−7βt

8 +(Q10 +Q20

2− 1)

e−9βt

8 .

(1.62)

Vamos fazer uma analise do Retrato de Fase do sistema (1.55). Escrevendo

Q(t) =(

1 + c1e−7βt

8 + c2e−9βt

8 ; 1 − c1e−7βt

8 + c2e−9βt

8

)

(1.63)

Agora, fazendo c1 = 0 na expressao (1.63) temos

Q(t) =(

1 + c2e−9βt

8 ; 1 + c2e−9βt

8

)

(1.64)

21

analisando (1.64) vemos que, se c2 > 0; para t → ∞, Q(t) → (1, 1); e quando t →−∞, Q(t) → (∞,∞). Se em (1.64) tomarmos c2 < 0; se t→ ∞, Q(t) → (1, 1); se t→−∞, Q(t) → (−∞,−∞).Fazendo c2 = 0 na expressao (1.63) temos

Q(t) =(

1 + c1e−7βt

8 ; 1 − c1e−7βt

8

)

(1.65)

o que de (1.65) resulta em; se c1 > 0 e t → ∞, Q(t) → (1, 1); se t → −∞, Q(t) →(∞,−∞). Ainda, se em (1.65) tomarmos c1 < 0 para t→ ∞, teremos Q(t) → (1, 1) e parat → −∞, teremos (−∞,∞). Um esboco destas situacoes pode ser observada no graficoabaixo.

”GRAFICO 1”

Com as modificacoes que foram realizadas no sistema original vemos que o ponto deequilıbrio Q = (1, 1).

Analisaremos a estabilidade da solucao constante Q(t) = Q do modelo (1.55). Calcu-lando a norma de operadores dada em (??), observamos que fazendo max‖X(t)‖ temos para

a primeira coluna da matriz (1.43) o equivalente ‖(

e−7βt

8 ,−e−7βt

8

)T

‖ = ϕ(t), logo teremos

|ϕ(t)| =

√

(

e−7βt

8

)2

+(

− e−7βt

8

)2

=√

2 e−7βt

8 , jA¡ para a segunda coluna da matriz (1.43)

temos, ‖(

e−9βt

2 , e−9βt

2

)T

‖ = ψ(t), assim teremos |ψ(t)| =

√

(

e−9βt

2

)2

+(

e−9βt

2

)2

=√

2 e−9βt

2 .

Agora, a norma da matriz fundamental (1.58), e dada pelo maxϕ(t), ψ(t), assim temosque ‖X(t)‖ = sup

t∈(0,∞)

ϕ(t) =√

2.

Assim, pela definicao de (??), concluimos que o modelo (1.54) e estavel, e ainda peloTeorema (??)(iii) podemos ver

|X(t)| → 0, para t→ ∞assim o modelo (1.54) e assintoticamente estavel.

Isso nos garante que o ponto de equilıbrio (1, 1), apos um longo tempo, permitira que asempresas fiquem proximas ao seus nıveis de producao que maximizam seus lucros indepen-dentemente da producao inicial de cada empresa.

22

Referencias

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[2] Boyce, W.E.; Di Prima, R.C. Equacoes Diferenciais Elementares e Problemasde Valores de Contorno, 7d ed., Rio de Janeiro, Livros TA c©cnicos e CientAficosEditora, 2002.

[3] Braun, M. Differential Equations and Their Applications, New York, Springer-Verlag, 1978.

[4] Cassago Jr., H.; Crema, J.; Ladeira, L.A.C. Equacoes Diferenciais OrdinA¡rias(Apostila), SA£o Carlos, ICMC, 2005.

[5] Domingues, H.D.; Callioli, C. A.; Costa, R.C.F.; Algebra linear e plicacoes AtualEditora; 1978.

[6] Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems, 2d ed., New York,Springer-Verlag, 1996.

[7] Rudin, W. Principles of mathematical analysis, 3d ed, New York, McGraw-Hill,1976.

[8] Zhang, W.B. Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in Economics,London, World Scientific, 2005.

23