Flujo de calor normal a la superficie (T(r,z, -...

338

Universidad Simón Bolívar Vibraciones Mecánicas: Teoría & Medición

Euro Casanova, ene 2012

Campo escalar: Transferencia de calor tridimensional axisimétrica

( ) ( )

dzdrdrtTC

drdrqqdzddrrqqdzdrdrQdrdrqdzdrq

p

zzzrrrtzrzr

θρ

θθθθθ

∂∂

=

∂+−+∂+−++ &&&&&&& )(),,(

Sólido axisimétrico( ρ, A, kr , kz , Cp)

internaenergíasalequegeneradoentra quecambiocalorcalorcalor =−+ por unidad

de tiempo

drrr ∂⋅∂

=⋅∂)()(

rT

kq tzrrr ∂

∂−= ),,(&

Ley de Fourier(relación constitutiva)

Ecuación de conservación

zT

kq tzrzz ∂

∂−= ),,(&

Vector de flujo de calor

Tzr qrqr &&& =q

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=y

x

nn

n

x

y

z

re

θe

θ

rez

θe

drr

θdθrd θddrr )( +

re

z

dz

dr

r θd

dzddrrdAdrdv θθ ==

dzdrdrQ θ&

( ) drdrqq zzz θ&& ∂+

drdrqz θ&

( ) dzddrrqq rrr θ)( +∂+ &&

dzdrqr θ&

Introducción

Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos

MEF en dinámicaDescripción del MEFElemento barraElemento vigaElemento planoElem. axysimétricosElemento sólidoFormul. de Galerking

Residuos ponderadosBarraTransf. calor 1DTransf. calor 2DTransf. calor 3DaxiFluidos

Dinámica aleatoria

Medición y diagnóstico

339



0≥∀ tΩ∈∀ yx,

0),,( =−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++∂∂ rQr

zqr

rqqr

tTC tzr

zrrp

&&&&ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=∂∂ r

rqq

rrq r

rr &

&& )( 0)(1

),,( =−∂∂

+∂∂

+∂∂

tzrzr

p Qzq

rrq

rtTC &&&

ρ

),,(),,(),,(1

tzrtzr

ztzr

rp QzT

kz

rrT

krrt

TC &=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−∂∂ρ

(esencial)

Condiciones de borde:

0),,( TT tzr =

(natural)

Condición inicial: ),(),,( 0 zritzr TT =

( )∞−= TThq tzrn ),,(ˆ&

Tzr Γ∈∀ ,

hzr Γ∈∀ ,

0ˆ qqn && = qzr Γ∈∀ ,

( )zzrrT nqnqrq &&&& +== nqn ˆˆ

Flujo de calor normal a la superficie

Residuo: ),,(),,(),,(1)( tzr

tzrz

tzrrp Q

zT

kz

rrT

krrt

TCTR &−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−∂∂

= ρ

Campo escalar: Transferencia de calor tridimensional axisimétricaIntroducción

Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


340



0)()( =∫Ω

dvTRxψGalerkin:

),,(),,(),,(1)( tzr

tzrz

tzrrp Q

zT

kz

rrT

krrt

TCTR &−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−∂∂

= ρ

dArddv θ=

012

0),,(

),,(),,(),( =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−∂∂

∫ ∫A

tzrtzr

ztzr

rpzr dArdQzT

kz

rrT

krrt

TCπ

θρψ &

012 ),,(),,(),,(

),( =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂∂

−∂∂

∫ dArQzT

kz

rrT

krrt

TCA

tzrtzr

ztzr

rpzr&ρψπ

rT

kq tzrrr ∂

∂−= ),,(&

zT

kq tzrzz ∂

∂−= ),,(&

( ) 012 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−∂∂

−∂∂

∫ dArQzq

rrq

rtTC

A

zrp

&&&ρψπ

( ) ( ) 02 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+∂∂

+∂∂

∫ dAQrzrq

rrq

tTrC

A

zrp

&&&ρψπ

( ) ( ) 0222 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂∂

∫∫∫ dAQrdAzrq

rrqdA

tTrC

AA

zr

Ap

&&&ψπψπρψπ


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


341



( ) ( ) 0222 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂∂

∫∫∫ dAQrdAzrq

rrqdA

tTrC

AA

zr

Ap

&&&ψπψπρψπ

Teorema de la Divergencia

( ) ( ) rqr

rqrr

rqrr

r &&&

∂∂

−∂∂

=∂∂ ψ

ψψ( ) ( ) ( ) qqq &&& TTT ψψψ ∇−∇=∇

( ) dsdA T

A

T ∫∫Γ

=∇ nqq ˆ&& ψψ

( ) ( ) ( ) dAdsdAzrq

rrq

A

TT

A

zr ∫∫∫ ∇−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂

∂

Γ

qnq &&&&

ψψψπ ˆ2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=rqrq

z

r

&

&&q( ) ( ) rq

zrq

zzrq

zzz &&&

∂∂

−∂∂

=∂∂ ψ

ψψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dAdAdAdAzrq

rrq

A

T

A

T

A

T

A

zr ∫∫∫∫ ∇−∇=∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂ qqq &&&

&&ψπψπψπψπ 2222

( ) 0ˆ2222 =+−∇−∂∂

∫∫∫∫Γ

dsdAQrdAdACrtT T

AA

Tp

A

nqq &&& ψπψπψπρψπ


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


342



( ) 0ˆ2222 =+−∇−∂∂

∫∫∫∫Γ

dsdAQrdAdACrtT T

AA

Tp

A

nqq &&& ψπψπψπρψπ

Recordando : hqT Γ+Γ+Γ=Γ 0),,( =tzrψ Tzr Γ∈∀ ,

( )dsTThrdsqrdsqdsqdsqdshqhqT

T ∫∫∫∫∫∫Γ

∞ΓΓΓΓΓ

−+=++= ψψψψψψ 0ˆˆˆ &&&&& nnnnq

0

( )

( ) 022

222

0 =−+

+−∇−∂∂

∫∫

∫∫∫

Γ∞

Γ

dsTThrdsqr

dAQrdAdACrtT

hq

AA

Tp

A

ψπψπ

ψπψπρψπ

&

&&q

( ) 022

222

0 =−++

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∫∫

∫∫∫

Γ∞

Γ

dsTThrdsqr

dAQrdArzT

zkr

rT

rkdACr

tT

hq

AAzrp

A

ψπψπ

ψπψψ

πρψπ

&

&

( )zzrrT nqnqrq &&&& +== nqn ˆˆ


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


343



∑ ∫∫ ==e AA e

dAdAA

ettT )(),(),,( TN ηζηζ =

TeTe),(),(),( ηζηζηζψ NψψN ==

Discretizando el dominio en elementos finitos bidimensionales

Introduciendo la aproximación para T y ψ :

( ) ( ) et

et

et

z

r

zT

rT

t

t

)(),(T)(),()()(),(),,(

),,(

TBTNLTN x ηζηζηζηζ

ηζ

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( ) eee

z

r

z

r ΨBΨNLΨN x ),(T),()(),(),(

),(

ηζηζηζψ

ψ

ηζ

ηζ

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∑ ∫∫ΓΓ

==Γe

q

eqq

dsds00

0

∑ ∫∫ΓΓ

==Γe

h

ehh

dsds

+⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂∑ ∫∫∫

e AAzrp

A

dAQrdArzT

zkr

rT

rkdACr

tT

eee

&ψπψψ

πρψπ 222

( ) 0220

0 =⎥⎥

⎦

⎤−++ ∫∫

Γ∞

Γ

dsTThrdsqreheq

ψπψπ &

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂∂∂

z

r)(xL

( ) 022

222

0 =−++

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∫∫

∫∫∫

Γ∞

Γ

dsTThrdsqr

dAQrdArzT

zkr

rT

rkdACr

tT

hq

AAzrp

A

ψπψπ

ψπψψ

πρψπ

&

&


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


344



et

eeTp

A

et

TeTp

A

dACdACrtT

ee

)(T)(),(),(22 TCΨTNNΨ && ==∂∂

∫∫ ρπρψπ ηζηζ

dACr pA

Te

e

ρπ ηζηζηζ∫= ),(),(),(T 2 NNC

et

eeT

A

et

TeT

A zTrT

z

rrz

Azr

dAr

dArk

kdAr

zT

zkr

rT

rk

e

ee

)(T),()(),(T),(T2

00

22

TKΨTDBBΨ ==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∫

∫∫∂∂∂∂

∂∂

∂∂

ηζηζηζ

ψψ

π

πψψπ

dAreA

Te),(),(T),(TT 2 ηζηζηζπ ∫= DBBK

)(),()(),(22 tqeT

tA

TeT

A

dArQdArQee

QΨNΨ &&& == ∫∫ ηζηζπψπ

dArQ tA

Ttq

e

),()(),()( 2 ηζηζπ && ∫= NQ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

z

r

kk0

0D

+⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂∑ ∫∫∫

e AAzrp

A

dAQrdArzT

zkr

rT

rkdACr

tT

eee

&ψπψψ

πρψπ 222

( ) 0220

0 =⎥⎥

⎦

⎤−++ ∫∫

Γ∞

Γ

dsTThrdsqreheq

ψπψπ &


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


345



etq

eTTeT dsqrdsqreqeq

)(0),(0 0

00

22 QΨNΨ &&& == ∫∫ΓΓ

ηζπψπ dsqreq

Tetq ∫

Γ

=0

0 0),()( 2 &&ηζπ NQ

( ) ( )

eeTet

eeT

TeTet

TeT

et

TeT

dsThrdshr

dsThrdsTThr

eheh

eheh

h)(h

),()(),(),(

)(),(),(

22

22

QΨTKΨ

NΨTNNΨ

TNNΨ

&−=

−=

−=−

∫∫

∫∫

Γ∞

Γ

Γ∞

Γ∞

ηζηζηζ

ηζηζ

ππ

πψπ

dshreh

Te ∫Γ

= ),(),(),(h 2 ηζηζηζπ NNK

dsThreh

Te ∫Γ

∞= ),(),(h 2 ηζηζπ NQ&

[ ] 0h)(hqq)(T)(T 0=−++−+∑

e

eeTet

eeTeeTeeTet

eeTet

eeT QΨTKΨQΨQΨTKΨTCΨ &&&&

( ) ( )∑∑∑ +−=+==e

eeet

e

ee

e

ehqq)(hTTTT 0

;; QQQQKKKCC &&&

)()(T)(T ttt QTKTC && =+0≠Tψ

Ensamblando para todos los elementos

[ ] 0)()(T)(T =−+ tttT QTKTCΨ &&


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


346



Elemento plano triangular de 3 nodos y 1 gdl por nodo

Elemento físico:

eT2

( )ee zr 33 ,

12

3

r

z

z o 12

3

( )0,1

( )1,0

( )0,0ζ

η

1

1

Elemento paramétrico:

eT1

eT3

eT2

eT3

eT1

Aproximación lineal para las coordenadas:

Vector de gdl

cbar ++= ηζηζ ),(

fedz ++= ηζηζ ),(

Formulación isoparamétrica:

cbaT ++= ηζηζ ),(

( ) ( ) eeeee rrrrrr 11312),( +−+−= ηζηζ

( ) ( ) eeeee zzzzzz 11312),( +−+−= ηζηζ

( ) ( ) et

et

et

et

ett TTTTTT )(1)(1)(3)(1)(2),,( +−+−= ηζηζ

er rN ),(),( ηζηζ =

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==e

e

e

ett

TTT

NNNT

3

2

1

321)(),(),,( TN ηζηζ

ez zN ),(),( ηζηζ =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=e

e

e

et

TTT

3

2

1

)(Tζ=2N η=3Nηζ −−= 11N Funciones de forma

(lineales)


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


347



ettT )(),(),,( TN ηζηζ = eΨN ),(),( ηζηζψ =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂∂∂

z

r)(xL Matriz de derivadas de las

funciones de forma⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zN

zN

zN

rN

rN

rN

321

321

),()(T ηζNLB x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

zNr

N

yx

yx

N

N

i

i

i

i

ηη

ζζ

η

ζ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ee

ee

yx

yx

zrzr

3131

2121

ηη

ζζJ

Matriz Jacobiana

eee rrrr 13121),( ++= ηζηζ

eee zzzz 13121),( ++= ηζηζ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂∂

∂∂∂∂

−

∂∂∂

∂

η

ζ

η

ζi

i

i

i

i

i

N

N

ee

ee

N

N

zNr

N

rrzz

2131

21311

det1J

J02

det 31213121

>=

−=

e

eeee

ArzzrJ


ζηdddzdrdA Jdet==


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


348



B es constante para cada elemento !

( )( )ηζ

ηζ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+−=

−=

iii

iii

NeNez

N

NeNer

N

rr

zz

2131det1

2131det1

J

J

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂∂

∂∂∂

∂

η

ζi

i

i

i

N

N

ee

ee

zNr

N

rrzz

2131

2131

det1J

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

eee

eee

rrrzzz

211332

123123T det

1J

B

ζ=2N η=3Nηζ −−= 11N

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

yN

yN

yN

xN

xN

xN

321

321

),()(T ηζNLB x


( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++++++++++++++

=

=

==

∫ ∫

∫ ∫∫−

−

eeeeeeeee

eeeeeeeee

eeeeeeeee

eepe

peT

pT

pA

Te

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

AC

ddC

ddCrdACre

321321321

321321321

321321321

1

0

1

0),(),(),(

1

0

1

0),(),(),(),(),(),(T

622222222262222222226

602

det2

det22

ρπ

ζηρπ

ζηρπρπ

η

ηζηζηζ

η

ηζηζηζηζηζηζ

JrNNN

JNNNNC

ζηdddzdrdA Jdet== er rN ),(),( ηζηζ =Recordando:


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


349




( )TT

3211

0

1

0),(TT

1

0

1

0),(TT),(),(T),(TT

32

det2

det22

BDBJrNBDB

JBDBDBBK

eTe

eeee

eT

eT

A

Te

Arrrdd

ddrdAre

++==

==

∫ ∫

∫ ∫∫−

−

πζηπ

ζηππ

ζ

ηζ

ζ

ηζηζηζηζ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++

++

++

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

==

∫ ∫

∫ ∫∫

−

−

eee

eee

eee

eet

e

e

e

eet

teT

tT

tA

Ttq

rrrrrrrrr

AQ

rrr

AQddQ

ddrQdArQe

321

321

321)(

3

2

1)(

1

0

1

0)(),(),(

1

0

1

0),()(),(),()(),()(

22

2

122

211121112

122

det2

det22

&

&&

&&&

π

πζηπ

ζηππ

η

ηζηζ

η

ηζηζηζηζ

JrNN

JNNQ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= e

y

ex

e kk0

0D


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


350




⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

==

−−

−Γ

∫∫

02

2

62

000021012

62

22

21

21210

3

2

1210

210

1

0)0,()0,(0),(),()(

0

0

ee

eeee

e

e

eee

eeTTetq

rrrr

Lq

rrr

Lq

dLqdsqreq

&&

&&&

ππ

ζππ ζζηζηζ rNNNQ

ζ21−= Ls1

2

3

1 2

3

( )0,1

( )1,0

( )0,0 ζ

η

r

z

z o

21−L

s

eq0& ζdLds 21−=


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


351




( )( )( ) ( )( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

==

==

−−

−Γ

∫

∫∫

0000303

1222

22

2121

212121

1

021)0,()0,()0,(

1

021)0,()0,()0,(),(),(),(h

eeee

eeeee

eeeT

eTTe

rrrrrrrr

LhdLh

dLhrdshreh

πηπ

ηππ

ζζζ

ζζζηζηζηζ

rNNN

NNNNK

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

==

−∞−∞

−∞Γ

∞ ∫∫

02

2

62

000021012

62

22

21

2121

3

2

121

21

1

0)0,()0,(),(),(h

ee

eee

e

e

e

ee

e

eeTTe

rrrr

LhT

rrr

LhT

dLThdsThreh

ππ

ζππ ζζηζηζ rNNNQ&


Sistemas de 1 GDL

Sistemas de N GDL

Sistemas continuos



Dinámica aleatoria


352



Elemento físico:

eT2

( )ee zr 33 ,

1 2

3

r

z

z o

Elemento paramétrico:

eT1

eT3

eT2

eT3

eT1Aproximación lineal para las coordenadas:

Vector de gdl

Formulación isoparamétrica:

dcbaT +++= ζηηζηζ ),(

er rN ),(),( ηζηζ =

ettT )(),(),,( TN ηζηζ =

ez zN ),(),( ηζηζ =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

e

e

e

e

et

TTTT

4

3

2

1

)(T Funciones de forma (cuadráticas)

Campo escalar: Transferencia de calor tridimensional axisimétricaElemento plano cuadrilátero de 4 nodos y 1 gdl por nodo

4

eT4

1 2

3

( )1,1 −−

ζ

η

( )1,1

( )1,1 −

( )1,1−

4

2

2eT4

dcbar +++= ζηηζηζ ),(

hgfez +++= ζηηζηζ ),(

)1)(1(41

4 ηζ +−=N

)1)(1(41

1 ηζ −−=N

)1)(1(41

2 ηζ −+=N

)1)(1(41

3 ηζ ++=N

[ ]4321),( NNNN=ηζN

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Dinámica aleatoria


353



ettT )(),(),,( TN ηζηζ = eΨN ),(),( ηζηζψ =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂∂∂

z

r)(xL

Matriz de derivadas de las funciones de forma⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zN

zN

zN

zN

rN

rN

rN

rN

4321

4321

),()(T ηζNLB x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

zNr

N

zr

zr

N

N

i

i

i

i

ηη

ζζ

η

ζ

Matriz Jacobiana

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂∂

−

∂∂∂

∂

η

ζi

i

i

i

N

N

zNr

N1J

ζηdddzdrdA Jdet==


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2221

1211),( JJ

JJzr

zr

ηη

ζζηζJ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

1112

1222

),(

1),( det

1JJJJ

ηζηζ J

J

0det 21122211),( >−= JJJJηζJ

0det1 >⇔∃− JJ

er rN ),(),( ηζηζ =ez zN ),(),( ηζηζ =

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Dinámica aleatoria


354



( )( )

( )( )∫ ∫

∫ ∫

∫

− −

− −

=

=

=

1

1

1

1),(),(),(),(

1

1

1

1),(),(),(),(

),(),(),(T

det2

det2

2

ζηρπ

ζηρπ

ρπ

ηζηζηζηζ

ηζηζηζηζ

ηζηζηζ

ddC

ddC

dACr

eTepe

peT

pA

Te

e

JrNNN

JrNNN

NNC

ζηηζ dddzdrdA ),(det J== er rN ),(),( ηζηζ =Recordando:


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂∂

∂∂∂

∂

η

ζ

ηζi

i

i

i

N

N

zNr

N

JJJJ

1112

1222

),(det1J

( )( )ηζ

ηζ

ηζ

ηζ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+−=

−=

iii

iii

NNz

N

NNr

N

JJ

JJ

1121det1

1222det1

),(

),(

J

J

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zN

zN

zN

zN

rN

rN

rN

rN

4321

4321

),()(),(TT ηζηζ NLBB x

B es función de las coordenadas paramétricasy de las coordenadas de los nodos del elemento !

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Dinámica aleatoria


355



( ) ζηππ ηζηζηζηζηζηζηζ dddAr eT

A

Te

e

∫ ∫∫− −

==1

1

1

1),(),(),(T),(T),(),(T),(TT det22 JrNDBBDBBK

eTet

teT

tA

Ttq

ddQ

ddQdArQe

rJNN

JrNNNQ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

∫ ∫

∫ ∫∫

− −

− −

1

1

1

1),(),(),()(

1

1

1

1),()(),(),(),()(),()(

det2

det22

ζηπ

ζηππ

ηζηζηζ

ηζηζηζηζηζ

&

&&&

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= e

y

ex

e kk0

0D


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Dinámica aleatoria


356



⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

−

−−−

−

−−

−−Γ

∫

∫∫

002

2

62

22

22

21

21

2101

1)1,()1,(

210

2121

0

1

1)1,()1,(0),(),()(

0

0

ee

ee

eeeT

ee

eeTTetq

rrrr

Lqd

Lq

dLqdsqreq

&&

&&&

πζ

π

ζππ

ζζ

ζζηζηζ

rNN

rNNNQ

r

z

z oeq0& ζdLds 212

1−=


1 2

3

ζ

η

4

1−=η

21−L

s1

2

34

bas += ζζ )(

0)1( =+−=− bas

21)1( −=+= Lbas

)1(2121

)( += − ζζ Ls

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357



( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

==

==

−

−−−−

−

−−−−−

Γ

∫

∫∫

00000000003003

122

22

22

2121

2121

211

1)1,()1,()1,(

21

1

1212

1)1,()1,()1,(),(),(),(h

eeee

eeee

eeeT

ee

eeTTe

rrrrrrrr

LhdLh

dLhdshreh

πζπ

ζππ

ζζζ

ζζζηζηζηζ

rNNN

rNNNNNK

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

−∞

−−−

−∞

−∞−

−−Γ

∞

∫

∫∫

002

2

62

22

22

21

21

211

1)1,()1,(

21

2121

1

1)1,()1,(),(),(h

ee

ee

eeeT

ee

eeTTe

rrrr

LhTdLhT

dLThdsThreh

πζπ

ζππ

ζζ

ζζηζηζ

rNN

rNNNQ&


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Flujo de calor normal a la superficie (T(r,z, -...

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