Coleccin de ProblemasPropuestos y Resueltos de Transmisin de Calor Versin 2.1 (septiembre de 2003) D = 25 mm s = 50 mm 1234Gas, Tg Aire, Ta ext , convq 2 , convqcondq2 , radqext , radq1 11A1 2 22A1 2 , 1 1F A1 3 , 1 1F A1 3 , 2 2F A1 01M02M 2 Autor: Juan Francisco Coronel Toro Profesor asociado del Grupo de Termotecnia Dpto. de Ingeniera Energtica y mecnica de Fluidos Universidad de Sevilla Este documento est basado en versiones anteriores desarrolladas por: D. Ramn Velzquez Vila D. Jos Guerra Macho D. Servando lvarez Domnguez D. Jos Luis Molina Flix D. David Velzquez Alonso D. Luis Prez-Lombard D. Juan F. Coronel Toro Todos ellos pertenecientes al Grupo de Termotecnia. Parte de la informacin ha sido tomada de las siguientes referencias: INCROPERA, F.P. y DEWITT, D.P. Fundamentos de la Transferencia de Calor. 4 ed. Prentice Hall, Mxico, 1999. ISBN 970-17-0170-4. HOLMAN,J.P.TransferenciadeCalor.8ed.McGraw-HillInteramericanade Espaa S.A.U., 1998. ISBN 84-481-2040-X. MILLS, A.F. Transferencia de Calor. Irwin, 1995. ISBN 84-8086-194-0. CHAPMAN,A.J.TransmisindeCalor.3ed.Bellisco.LibreraEditorial.,1990. ISBN 84-85198-45-5. KLEIN,S.A.yALVARADO,F.L.,EngineeringEquationSolverSoftware(EES), Academia Versin 6.271 (20-07-2001). Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 3 ndice ndice ...................................................................................... 3 1. PROBLEMAS PROPUESTOS .......................................................... 4 1.1. Problemas propuestos de conduccin ........................................ 4 1.2. Problemas propuestos de conveccin......................................... 8 1.3. Problemas propuestos de radiacin ..........................................11 1.4. Problemas propuestos de mecanismos combinados.......................15 2. PROBLEMAS RESUELTOS ...........................................................22 2.1. Problemas resueltos de conduccin..........................................22 2.2. Problemas resueltos de conveccin..........................................38 2.3. Problemas resueltos de radiacin ............................................51 2.4. Problemas resueltos de mecanismos combinados .........................57 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 22 2. PROBLEMAS RESUELTOS 2.1. Problemas resueltos de conduccin 1 (Conduccin, analoga elctrica) El muro de una cmara frigorfica de conservacin de productos congelados, se constituir del modo siguiente: Revoco de cemento de 2 cm de espesor (k = 0.8 kcal/hmC) Un pie (25 cm) de ladrillo macizo (k = 0.6 kcal/hmC) Pantalla antivapor de 1.2 cm de espesor (k = 0.4 kcal/hmC) Corcho expandido (k = 0.05 kcal/hmC) 7 cm de ladrillo hueco (k = 1.1 kcal/hmC) Revoco de cemento de 2 cm de espesor (k = 0.8 kcal/hmC) Siendo la temperatura interior -25C y la del exterior 30C. Silasprdidashorariasporunidad de rea del muro, se evalan por motivos econmicos en 10 kcal/hm, determinar: a.El coeficiente global de transmisin de calor del muro b.El espesor de corcho que debe colocarse c.La distribucin de temperaturas en el muro Se tomarn como coeficientes de transmisin de calor por conveccin exterior e interior 20 y 12 kcal/hmC, respectivamente. Solucin: Datos: Capa 123456 Espesor (cm)2251.2?72 Conductividad (kcal/hmC)0.80.60.40.051.10.8 - Temperaturas:C 25 T C 30 Tint ext = =- Coeficientes de pelcula: C m h / kcal 12 h C m h / kcal 20 hint ext = =- Flujo de calor por unidad de rea: m h / kcal 10 q = Incgnitas: a. Coeficiente global de transmisin de calor: U b. Espesor de la capa de corcho: 4ec. Distribucin de temperaturas en el muro. Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 23 Esquema: Desarrollo: a. Coeficiente global de transmisin de calor: ( )( )C m h / kcal 182 . 0T TqU ; T T U qint extint ext = = = b. Espesor de aislante: Utilizando la analoga elctrica en conduccin: ( ) ( )int 665544332211extint extiiint exth1kekekekekekeh1T TRT Tq+ + + + + + += = En la ecuacin anterior la nica incgnita es el espesor de corcho: cm 03 . 24 e4= Las resistencias asociadas a cada una de las capas son las siguientes: Capa ext123456int Resistencia (mCh/kcal)0.050.0250.4170.034.810.0640.0250.083 Podemos observar que la resistencia asociada a la capa de aislamiento (corcho) es mucho ms importante que las restantes. Es por tanto la resistencia controlante c. Distribucin de temperaturas: Si expresamos el flujo de calor entre capas consecutivas podemos ir obteniendo las temperaturas de cada una de las superficies: extT1T2T 3T4T 5T 6T7TintTq Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 24 ( )C 5 . 29 T ;h1T Tq1ext1 ext == ( )C 25 . 29 T ;keT Tq2112 1 == etc... Superficies ext1234567int Temperatura (C)3029.529.325.124.8-23.3-23.9-24.2-25 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 25 2 (Conductividad variable) Considrese un muro compuesto por dos capas cuyas caractersticas son las siguientes: Capa 1: espesor 0.4 m, conductividad:( ) | | K m / W T 006 . 0 1 9 . 0 k1+ =Capa 2: espesor 0.05 m, conductividad:K m / W 04 . 0 k2= Ysometidoaunflujosolarenlacaraexteriorde300W/m,estacaraseencuentraen contacto con aire a 40C (Coeficiente convectivo exterior 10 W/mK). La cara interior se encuentra en contacto con aire a 20C (Coeficiente convectivo interior 5 W/mK) Calcular: a.Flujo de calor por unidad de rea que atraviesa el muro. b.Temperatura en las dos superficies extremas y en la interfase entre las dos capas Solucin: Datos: - Capa 1:( ) | | K m / W T 006 . 0 1 9 . 0 k m 4 . 0 e1 1+ = =- Capa 2:K m / W 04 . 0 k m 05 . 0 e2 2= =- Condicin de contorno exterior:K m / W 10 h C 40 T m / W 300 qext ext sol= = = - Condicin de contorno interior:K m / W 5 h C 20 Tint int= =Incgnitas: a. Flujo de calor por unidad de rea que atraviesa el muro:q b. Temperatura de las superficies: 3 2 1T , T , TEsquema: extT 1T 2T 3TintTq solq exthinthColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 26 Desarrollo: a. Flujo de calor por unidad de rea que atraviesa el muro: La ecuacin diferencial en la capa 1 ser la siguiente: ( ) ( ) ( )dxdTT k q ; ctedxdTT k ; 0dxdTT kdxd = = = |.|

\| Elflujodecalorporunidaddereadebeserconstante.Laconductividades variablesconlatemperaturasiguiendounaleylinealdeltipo:( ) ( ) T 1 k T k0 + = .Si integramos la ecuacin anterior para toda la capa 1: ( ) + = 211TT0e0dT T 1 k dx q ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )| |med 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 02122 0 1 2 0 1T 1 T T k T T T T2k T T k T T2k T T k e q + = + + = + = | |( ) ( )1 2 med 1 2 med 0 1T T k T T T 1 k e q = + = Ahora impondremos las dos condiciones de contorno: ( ) q q T T h 0 xsol 1 ext ext = + =Estacondicindecontornopodemosexpresarlacomosifueraunacondicinde contornopuramenteconvectivacontraunatemperaturaequivalente(Temperatura sol-aire) de 70C ( ) q T T h ThqT h 0 x1 aire , sol ext 1extsolext ext = =(((

||.|

\| + = En el otro contorno la condicin ser: int 22int 21h1ekT Tq e x+= = Tenemos pues 3 ecuaciones con 3 incgnitas ( q , T , T2 1 ): ( )1 21 20 1T T2T T1 k e q ((

|.|

\| + + = (1) ( )sol 1 ext extq T T h q + = (2) int 22int 2h1ekT Tq+= (3) Igualandolaecuacin(2)conla(3)eintroduciendola(2)enla(1)tenemos2 ecuaciones con 2 incgnitas: ( )int 22int 2sol 1 ext exth1ekT Tq T T h+= + ( ) ( ) ( )1 21 20 sol 1 ext ext 1T T2T T1 k q T T h e ((

|.|

\| + + = + Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 27 SidespejamosenlaprimeraT2ylointroducimosenlasegundatendremosuna ecuacin cuadrtica en T1: m / W 7 . 26 q C 72 . 58 T C 33 . 67 T2 1= = = Finalmente podemos calcular la temperatura en la superficie 3: C 34 . 25 T ;h1T Tq3intint 3 == Si pintamos la distribucin de temperaturas ser la siguiente: T1 T2 T3 Tint Text Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 28 3 (Generacin) Unatuberadeacerode36cmdedimetroexterior,34cmdedimetrointeriory conductividad trmica 40 kcal/hmC, transporta fueloil a 50C a travs de un local que se encuentra a 10C. Con objeto de mantener constante la temperatura del fueloil, se rodea la tuberaconunaresistenciaelctricaasimilableaunacapade1cmdematerialde conductividad trmica 200 cal/hmC, y una generacin uniforme de calor G. Calcular: A.Valor mnimo de G en kcal/hm3 para que la prdida de calor del fuel sea nula. B.Distribucin de temperatura en la tubera y en la resistencia. Los coeficientes de pelcula en el exterior e interior de la tubera son 15 y 45 kcal/hm2C respectivamente. Solucin: Datos: - Capa 1 (tubera acero):C m h / kcal 40 k m 36 . 0 D m 34 . 0 Dt 2 1 = = =- Capa 2 (resistencia elctrica):C m h / kcal 200 k m 38 . 0 DR 3 = =- Condicin de contorno exterior:C m h / kcal 15 h C 10 Text ext = =- Condicin de contorno interior:C m h / kcal 45 h C 50 Tint int = =Incgnitas: A. Generacin de calor volumtrica en la resistencia: G, para que las prdidas sean nulas B. Distribucin de temperaturas: T(r).Esquema: Tint, hint Text, hext G D1 D2 D3 T1 T2 T3 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 29 Desarrollo: A. G, para que la prdidas sean nulas: Paraquelasprdidasdecalordelfueloil seannulases necesarioqueelcalorpor conveccin en el interior de la tubera sea cero, o lo que es lo mismo, que no exista diferencia de temperaturas entre el fluido y la superficie interna del acero: C 50 T T1 int = = Podemos decir tambin, que como la capa de acero no tiene generacin interna el flujo de calor por conduccin (q) a travs de ella debe ser constante y como en la superficieinteriorescero,debeserceroentodalacapacilndrica,oloqueeslo mismo la temperatura debe ser constante en toda la capa de acero, e igual a la del fueloil: C 50 T T T2 1 int = = = Paralasegundacapatenemosgeneracinyportantolaecuacingeneralde transmisin de calor en este medio es: 0 GdrdTr kdrdr12= + |.|

\| Con condiciones de contorno: 0drdTk r r2r2 2= =) T T ( hdrdTk r rext 3 extr2 33 = = Integrandolaecuacindiferencialunavezeimponiendolaprimeracondicinde contorno, tendremos: 22 1 122 122r2GC ; C r2G0 ; C r2GdrdTr k = + = + =( )2222r r2GdrdTr k = Integrando una segunda vez tendremos: ( )22222222C r ln r2rk 2GT ; drrrrk 2GdT +||.|

\| =||.|

\| = Si imponemos la segunda condicin de contorno: ( ) ( )||.|

\| +||.|

\| = =||.|

\| = ext 2 322232ext ext 3 ext3223r2T C r ln r2rk 2Gh T T hrrr2GdrdTk3 ( )ext 322232 3223ext2T r ln r2rk 2Grrrh 2GC +||.|

\| +||.|

\| =Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 30 Luego: ( ) ( ) ( )ext3223ext3222322222Trrrh 2Gr ln r2rk 2Gr ln r2rk 2Gr T +||.|

\| +||.|

\| +||.|

\| = Siahoraimponemosquelatemperaturaenlacarainteriortienequeser50C Tendremos una ecuacin de la cual obtenemos el valor de la generacin: ( ) ( )ext3223ext3222322222222Trrrh 2Gr ln r2rk 2Gr ln r2rk 2GC 50 T +||.|

\| +||.|

\| +||.|

\| = = m h / kcal 61598 G = B. Distribucin de temperaturas: Y por tanto la distribucin de temperaturas ser: ( ) ( ) | | C 05 . 61 r ln 5 r 77 r T2 + + = T3 Text T(C) T1 T2 r (m) r3 r2 r1 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 31 4 (Cuestin) Lasiguientefiguramuestraladistribucindedensidaddeflujodecalorq(W/m)enel espesor de un muro con tres capas. La conductividad de las tres capas es constante, siendo la del material A, el doble (2k) a la del material C (k). A.Calcular el valor de la generacin volumtrica G en el material B. B.Calcular que proporcin existe entre dT/dx en el material A y el C. C.Dibujar cualitativamente la distribucin de temperatura en el muro en funcin de x. Solucin: Datos: - Capa A:k 2 kA= ,Capa C:k kC=- Espesores:L e e eC B A= = =- Distribucin de flujo de calor por unidad de rea:( ) x q Incgnitas: A. Generacin de calor volumtrica en el material B: G. B. dxdTdxdTC A C. Dibujar cualitativamente: T(r).Desarrollo: A. G en el material B: SirealizamosunbalancedeenergaenlacapaB,tendremos(debemossuponer que los flujos de calor son positivos en la direccin creciente de la coordenada x): m / WL150Lq qG ; A q L A G A qC AC A= + = = + B. Proporcin entre dT/dx en el material A y en el C: q(W/m) X L L L -100 0 50 2k k G A B C Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 32 k50k 2100kqdxdT;dxdTk qAA A AA A= = = = k50kqdxdT;dxdTk qCC C CC C = = = Luego las derivadas en ambos medios son de igual valor y signo contrario: dxdTdxdT; 1dxdTdxdTC A C A = = C. Distribucin de temperaturas: La ecuacin diferencial en el medio B es la siguiente: 0KGdxT d; 0 GdxdTkdxdB22B= + = + |.|

\| Luegoladistribucindetemperaturastendrformadepolinomiode2orden (parbola): ( )2 12BC x C xK 2Gx T + + = El flujo de calor ser: ( )1 B BC k x GdxdTk x q = = Si imponemos condiciones de contornor: ( )B1 1 Bk100C ; 100 C k ; 100 0 q 0 x = = = =( )L150G ; 50 100 GL ; 50 L q L x = = = = La temperatura tendr un mximo donde el flujo sea igual a 0: ( ) ( ) L32L150100x 0 x q ; 100 xL150x q = = = = T (C) x L L L G A B C L32 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 33 5 (Aletas) Seseparanaireyaguamedianteunaparedplanahechadeacero.Seproponeaumentarla razndetransferenciadecalorentreestos2fluidosagregandoaletasrectangularesrectas deacerode1,5mmdeespesor,2,5cmdelongitudyespaciadas1cmentreloscentros. Calcular el porcentaje de aumento en la transferencia de calor al aadir aletas en: A.Aire exterior B.Lado del agua C.Ambos lados de la pared plana Elcoeficientedepelculaenairees9kcal/hm2Cyenagua200kcal/hm2C.La conductividad del acero es 37 kcal/hmC. Solucin: Datos: - Lado del aire:C m h / kcal 9 ha =- Lado del agua (w):C m h / kcal 200 hw =- Conductividad del acero de la pared y las aletas:C m h / kcal 37 k =- Dimensiones de aletas:mm 5 . 1 ; cm 1 S ; cm 5 . 2 L = = =Incgnitas: A. Porcentaje de aumento de la transferencia de calor con aletas en el aire B. Porcentaje de aumento de la transferencia de calor con aletas en el agua C. Porcentaje de aumento de la transferencia de calor con aletas en ambos lados Esquema: S = 0.01 m = 0.0015 m L = 0.025 m Elemento repetitivo Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 34 Desarrollo: Calculemos en primer lugar la transferencia a travs de la pared sin aletas: | | m h / kcal T 612 . 8h1h1Tqw asin =+= Hemos supuesto que la resistencia asociada a la capa acero es despreciable frente a las resistencias convectivas. A. Aletas en el aire: El flujo de calor en este caso ser: sin w s total aaireA h1A h1Tq+= Donde la eficiencia global de la superficie aleteada se calcula como: totalp a asAA A + = Sicalculamoslasreasparaelelementorepetitivotendremoslossiguientes valores: rea de aleta:( ) | | m W L 2 Aa + =rea primaria:( ) | | m W S Ap =rea Total:( ) | | m W L 2 S Atotal+ =rea del lado del agua:| | m W S Asin=Siendo W la longitud perpendicular al plano del dibujo Al ser una aleta recta la eficiencia de aleta puede calcularse como:

( )m 02575 . 0 2 / L L , 01 . 18kh 2m Donde 934 . 0L mL m tghcaCCa= + = == = = Por tanto9433 . 0AA Atotalp a as=+ = y| | h / kcal T W 4028 . 0A h1A h1Tqsin w s total aaire =+= El flujo de calor sin aletas para cada unidad repetitiva ser: | | h / kcal T W 08612 . 0 T W S 612 . 8 qsin = =y por tanto el porcentaje de aumento es: 368% B. Aletas en el agua: El flujo de calor en este caso ser: sin a s total waguaA h1A h1Tq+= Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 35 Laobtencindelaeficienciaglobaldelasuperficiealeteadaseobtieneigualque antes pero usando el coeficiente de pelcula del agua: ( )m 02575 . 0 2 / L L , 9 . 84kh 2m Donde 446 . 0L mL m tghcwCCa= + = == = = Por tanto5245 . 0AA Atotalp a as=+ = y | | h / kcal T W 08873 . 0A h1A h1Tqsin a s total wagua =+=Por tanto el porcentaje de aumento es: 3% B. Ambos lados: El flujo de calor en este caso ser: | | h / kcal T W 4712 . 0A h1A h1Tqa , s total a w , s total wambos =+= Con lo cual el aumento con respecto a la situacin inicial es del: 447%. Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 36 6 (Cuestin) La pared de un cilindro est compuesta por dos capas de materiales con conductividad kA y kB. Ambos materiales estn separados por una resistencia elctrica muy delgada de muy alta conductividad.PorelinteriordelatuberacirculaunlquidoatemperaturaTiyconun coeficientedepelculahi.Enelexteriorlatemperaturayelcoeficientedepelculason respectivamente Te y he. A.Obtener la temperatura de la resistencia elctrica cuando el calor disipado por sta es nulo. B.Obtener la temperatura de la resistencia elctrica cuando el calor disipado por sta es qc (W/m). Solucin: Datos: - Capa A: Ak , Capa B: Bk- Resistencia elctrica muy delgada de alta conductividad que genera: | | m / W qc - Condicin de contorno exterior: e eh , T- Condicin de contorno interior: i ih , TIncgnitas: A. cTcuando0 qc= B. cTcuando0 qc Desarrollo: A: Utilizandolaanalogaelctricadeconduccin,podemosexpresarelflujodecalor desde la superficie intermedia hacia el interior y hacia el exterior: ( ) ( )L k 2r / r lnL r 2 h1T TL k 2r / r lnA h1T TqBi ci ii cBi ci ii ci+=+=( ) ( )L k 2r / r lnL r 2 h1T TL k 2r / r lnA h1T TqAc ee ee cAc ee ee ce+=+ = Te, he Ti , hi A B Tc, qc Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 37 Ambos han sido expresados como flujos salientes de la superficie intermedia, luego la suma de ambos debe ser igual a cero:0 q qe i= + Si despejamos la temperatura de la interfase de la expresin anterior tendremos: ( ) ( )( ) ( )Ac ee e Bi ci iAc ee eeBi ci iickr / r lnr h11kr / r lnr h11kr / r lnr h1Tkr / r lnr h1TT++++++= B: Paraelcasodequeexistaunageneracindeenergasuperficialelbalancede energa en esa superficie sera el siguiente: L r 2 q q qc c e i = + Y por tanto al despejar la temperatura tendramos: ( ) ( )( ) ( )Ac ee e Bi ci iAc ee eeBi ci iic cckr / r lnr h11kr / r lnr h11kr / r lnr h1Tkr / r lnr h1Tr qT+++++++ = Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 38 2.2. Problemas resueltos de conveccin 7 (Conveccin forzada flujo externo) Unasuperficieplanahorizontaldeanchow=1m,semantieneaunatemperatura uniformede230C,medianteelusoderesistenciaselctricascontroladas independientemente.Cadaresistenciatieneunalongitudde50mm.Sisobrelasuperficie circula aire atmosfrico a 25C, con una velocidad de 60 m/s, determinar la resistencia que presenta un mayor consumo y el valor del mismo. Solucin: Datos: - Flujo externo de aire a presin atmosfrica: C 25 T s / m 60 u = = - Temperatura superficial: C 230 Ts =- Longitudes:m 05 . 0 L m 1 wi= =Incgnitas: La resistencia i-esima presenta la mayor potencia elctrica, calcular cual es i y y cuanto vale esta potencia iq . Esquema: Hiptesis: - Rgimen permanente - Efectos de radiacin despreciables - Superficie inferior de la placa adiabtica s / m 60 uC 25 T= = q1q2q3 q4 q5 q6 C 230 Ts =mm 50 Li=Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 39 Desarrollo: Lapotenciaelctricaconsumidaporcadaunadelasresistenciassercedidapor conveccinalaire,debidoaquelacarainferiordelaplacaseencuentra perfectamente aislada. Por tanto, buscar la placa con mxima potencia elctrica es lo mismo que buscar la placa con flujo de calor por conveccin mximo. Veamos primero donde se produce la transicin a rgimen turbulento: Las propiedades en las correlaciones de conveccin forzada flujo externo se evalan en la mayora de los casos a la temperatura media de pelcula: C 5 . 1272T TTsmp =+=

Propiedades del aire a 127.5C (Tabla 4.4.1) === = 706 . 0 PrK m / W 10 88 . 32 k m / kg 881 . 0 m / s N 10 95 . 2236 217 . 0uRex ; 500000x uRecrcrcrcr== == La transicin se produce por tanto en el 5 elemento calentador. El flujo de calor transferido en cada uno de los elementos ser el siguiente: ( ) = T T L w h qs i i i Portanto,elflujodecalorsermximoalldondeelcoeficientedepelcula promedioseamximo.Sirecordamoscomovaraelcoeficientedepelculasobre una placa plana flujo externo, concluimos que slo existen tres posibilidades: xh( ) x hColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 40 1.Calentadorn1:Correspondealmayorcoeficientedeconveccinlocalen rgimen laminar 2.Calentador n 5: Se produce la transicin al turbulento y aparece el mayor coeficiente de conveccin local en rgimen turbulento. 3.Calentadorn6:Alsertodoelcalentadorturbulentopuedeocurrirqueel promedio sea mayor que el anterior. Calentador n 1: Enestecalentadorlacorrienteeslaminaryatemperaturasuperficialconstante, por tanto podemos usar la correlacin Polhausen (n 5, tabla 6.1): K m / W 94 . 131Lk Nuh64 . 200 PrL u664 . 0 Pr Re 664 . 0kL hNu1113 / 15 . 01 3 / 1 5 . 011 11= ==||.|

\|= = = ( ) W 1352 T T L w h qs 1 1 1= = Calentador n 5: El calor cedido en este elemento calefactor lo calcularemos por diferencia: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = T T w L h L h T T L w h T T L w h q q qs 4 1 4 1 5 1 5 1 s 4 1 4 1 s 5 1 5 1 4 1 5 1 5 K m / W 97 . 65Lk Nuh29 . 401 PrL u664 . 0 Pr Re 664 . 0kL hNu4 14 14 13 / 15 . 04 1 3 / 1 5 . 04 14 1 4 14 1= ==||.|

\|= = = Alfinaldelelementoquintoyahemosentradoenzonaturbulentayportanto debemos usar otra correlacin (n 9, tabla 6.1):

( )K m / W 80 . 73Lk Nuh12 . 561 Pr 871L u037 . 0 Pr 871 Re 037 . 0kL hNu5 15 15 13 / 18 . 05 1 3 / 1 8 . 05 15 1 5 15 1= ==||.|

\|||.|

\|= = = ( ) ( ) W 1077 T T w L h L h q q qs 4 1 4 1 5 1 5 1 4 1 5 1 5= = = Calentador n 6: De forma similar obtenemos la potencia disipada por el sexto elemento restando al calor total entre el primer y el sexto elemento, el calor entre el primer y el quinto elemento: ( ) ( ) = = T T w L h L h q q qs 5 1 5 1 6 1 6 1 5 1 6 1 6 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 41 ( )K m / W 50 . 84Lk Nuh02 . 771 Pr 871L u037 . 0 Pr 871 Re 037 . 0kL hNu6 16 16 13 / 18 . 06 1 3 / 1 8 . 06 16 1 6 16 1= ==||.|

\|||.|

\|= = = ( ) ( ) W 1414 T T w L h L h q q qs 5 1 5 1 6 1 6 1 5 1 6 1 6= = = Por tanto el elemento con mxima prdida de calor es sexto elemento: W 1077 q W 1352 q W 1414 q5 1 6= > = > = Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 42 8 (Conveccin forzada flujo interno) Se desea calentar 3 kg/s de agua desde 10C hasta 66C, manteniendo la temperatura de la superficieinternadelatuberaa82C.Sieldimetrointeriordelatuberaesde5cm, determinar: a. Longitud de tubera necesaria para alcanzar la temperatura requerida b. Coeficiente de transferencia de calor en la superficie. Solucin: Datos: - Caudal de agua: s / kg 3 m =& - Condiciones de entrada y salida del agua: C 66 T C 10 Tsal , m ent , m = =- Temperatura de la superficie interior del conducto:C 82 Tsup =- Dimetro interior del conducto:m 05 . 0 Di=Incgnitas: a. Longitud de la tubera: L b. Coeficiente de transferencia de calor en la superficie: h Esquema: Hiptesis: - Rgimen permanente Desarrollo: a. Longitud de la tubera: L Realizandounbalancedeenergasobreelvolumendeaguapodemoscalcularel calor ganado por esta: L x(m) 3 kg/s 10C 3 kg/s 66C 10C 66C 82C T (C) Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 43 ( ) kW 232 . 701 T T c m qent , m sal , m p= =& Dondeelcalorespecficodelagualquidasehaevaluadoalatemperaturamedia entrelaentradaylasalida38CK kg / kJ 174 . 4 cp = (Tabla4.5delacoleccinde tablas, grficas y ecuaciones de transmisin de calor) Laecuacindetransferenciaparaunconductocontemperaturasuperficial constante dice: ( ) ( )C 232 . 37T TT TlnT T T TTTlnT TDTLM TT L D h T A h qsal , m supent , m supsal , m sup ent , m supsalentsal entlmlm i lm =||.|

\| =||.|

\| = = = = Calculo del coeficiente de pelcula: Las propiedades en las correlaciones de conveccin forzada flujo interno se evalan en la mayora de los casos a la temperatura media de masas: C 382T TTsal , m ent , mmed , m =+= Propiedades del agua a 38C (Tabla 4.5) === = 521 . 4 PrK m / W 10 7 . 627 k m / kg 993 m / s N 10 6 . 67836 5iD10 126 . 1Dm 4Re = =& El rgimen es claramente turbulento (mayor que 2300), Realizamos la hiptesis de flujo completamente desarrollado L/D>10, que comprobaremos posteriormente. Utilizando la correlacin de Dittus-Boelter (correlacin 27, Tabla 6.6): K m / W 5805 h ; Pr Re 023 . 0kD hNu4 . 0 8 . 0DiD= = = Volviendoalaecuacindetransferenciadespejamoslalongituddetubera necesaria: m 65 . 20T D hqLlm i= = L/D = 413, por tanto la hiptesis de flujo completamente desarrollado es vlida. Seproponeutilizaralgunaotracorrelacinvlidaparaestecasoycompararlos resultados. Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 44 9 (Conveccin forzada, banco de tubos) Amenudosedisponedeaguapresurizadaatemperaturaselevadas,lacualsepuedeusar para calefaccin de locales o aplicaciones en procesos industriales. En tales casos es normal usar un haz de tubos en el que el agua se hace pasar por stos, mientras que tambin pasa aire en flujo cruzado sobre ellos. Considrese una disposicin de los tubos cruzada con un dimetroexteriordelostubosde16.4mmydonlosespaciadoslongitudinalesy transversales valen SL = 34.3 mm y ST = 31.3 mm respectivamente. Hay siete filas de tubos enladireccindelflujodeaireyochotubosencadaunadelasfilas.Encondicionesde operacintpicaslatemperaturasuperficialdelostubosesde70C,mientrasquela temperatura del flujo de aire a contracorrientes es de 15C y su velocidad 6 m/s. Determine elcoeficientedeconveccindelladodelaireylatransferenciadecalorparaelhazde tubos. Solucin: Datos: - Condiciones del aire a la entrada: C 15 T T s / m 6 uent = = = - Temperatura superficial de los tubos: C 70 Tsup =- Geometra del haz de tubos:m 0313 . 0 S m 0343 . 0 S m 0164 . 0 DT L e= = =- N de filas: 7 - N de tubos: 8 Incgnitas: a. Coeficiente de pelcula medio del lado del aire:hb. Calor total transferido en el haz de tubos: q Esquema: Hiptesis: - Rgimen permanente - Efectos de radiacin despreciables 6 m/s 15C C 70 Tsup =Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 45 Desarrollo: Paraobtenerecoeficientedepelculamediousaremoslacorrelacinn17dela tabla 6.5: ( )4 / 1s36 . 0 mmax , D 2 1D Pr Pr/ Pr Re C C Nu = Dondetodaslaspropiedadesdelfluidoseevalanalatemperaturadelfluido menosPrsqueseevalaalatemperaturadelasuperficie.Tericamente deberamosevaluarlaspropiedadesalatemperaturamediadelfluidoentrela entradaylasalida,comenzaremosporevaluarlasalatemperaturadeentraday mstarderecalcularemoslasmismassilatemperaturadesalidaes sustancialmente diferente a la de entrada: Propiedades del aire seco a 15C (Tabla 4.5) === = 7323 . 0 PrK m / W 10 76 . 24 k m / kg 225 . 1 m / s N 10 02 . 1836 A la temperatura de la superficie 70C:7177 . 0 Prs= El Reynolds est basado en la mxima velocidad alcanzada por el aire: La mxima velocidad se producir en el lugar de seccin de paso mnima: ( ) ( ) w mm 9 . 14 w D S Aext T 1= =mm 7 . 37 S ;2SS SD2T 2L2D= |.|

\|+ =( ) ( ) w mm 6 . 42 w D S 2 Aext D 2= = Por tanto la velocidad mxima se produce en la seccin A1: ( ) s / m 6 . 12D SSv ; D S v S uext TTmax ext T max T== = 14047D vReext maxmax , D== SL ST D uSD A1 A2 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 46 Estevalorestdentrodeloslmitesdelacorrelacinusadaysimiramoslas constantes de la correlacin valdrn: ) 4 . 5 . 6 Tabla ( 95 . 0 C2=( ) ) 3 . 5 . 6 Tabla ( 6 . 0 m ; 3438 . 0 S / S 35 . 0 C ; 2 915 . 0SS 5 / 1L T 1LT= = = < = ( )K m / W 45 . 136Dk Nuh ;kD hNu376 . 90 Pr Pr/ Pr Re 95 . 0 3438 . 0 NuextDextD4 / 1s36 . 0 6 . 0max , DD= = == = Flujo de calor: Un balance de energa sobre la corriente de aire dira que: ( )ent sal pT T c m q =& El flujo de calor sobre un intercambiador a temperatura superficial constante puede establecerse tambin como: ( ) ( )||.|

\|=||.|

\| =||.|

\| = = =salentent salsal supent supsal sup ent supsalentsal entlmlm extTTlnT TT TT TlnT T T TTTlnT TDTLM TT A h q ( )pextc mA hsalentpextsalentent sal psalentent salexteTT;c mA hTTlnT T c mTTlnT TA h q&&&==||.|

\| =||.|

\|= rea exterior de transferencia de calor: m w 88 . 2 N w D At ext ext= =Caudal de aire: ( ) s / kg w 9 . 1 w 2 / D S 8 u mext T= + =& Luego la temperatura de salida valdr: C 21 . 25 Tsal = Y por tanto:( ) kW w 53 . 19 T T c m qent sal p= =& Deberamos rehacer el problema calculando las propiedades a la temperatura media del fluido:C 1 . 202T TTent salmed =+= , pero el cambio es pequeo y el coeficiente de pelcula saldr aproximadamente el mismo. Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 47 10 (Conveccin forzada + libre, conducto circular) Porelinteriordeunatuberade1dedimetroy100mdelongitud,circulaagua procedentedeunacalderaaunavelocidadde1.5m/s.Calcularelespesordeaislamiento necesario(Conductividaddelaislante:k=0.040W/mK),silacadamximade temperaturapermitidaenelaguaesde0.5C.Latemperaturadesalidadelaguadela caldera es de 90C y el ambiente exterior se encuentra a 10C. Solucin: Datos: - Condiciones del agua a la entrada: C 90 T s / m 5 . 1 uent , m ent , m = =- Dimensiones de la tubera:m 100 L m 0254 . 0 " 1 D = = =- Conductividad del aislante:K m / W 040 . 0 ka=- Mxima cada de temperatura en el agua:C 5 . 0 T T Tsal , m ent , m m = = - Ambiente exterior:C 10 T = Incgnitas: Espesor de aislante: aeEsquema: Hiptesis: - Rgimen permanente - Efectos de radiacin despreciables - La tubera es de un espesor muy pequeo (ext intD D = ) 1.5 m/s 90C 89.5C 100 m Seccin media Del conducto int , convq Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 48 Desarrollo: Conocida la velocidad a la entrada calculamos el caudal msico de agua: s / kg 7338 . 04Du m2intent , m= =& Agua a presin atmosfrica y 90C, Tabla 4.5: m / kg 5 . 965 = Sirealizamosunbalancedeenergasobreelvolumendeaguaquecirculaporel interiordelconducto,obtenemoslapotenciaperdidaporelaguaensu enfriamiento: ( ) kW 542 . 1 T c m T T c m qm p sal , m ent , m p= = =& & Esecalorquepierdeelaguaesigualalcalorquehaciaelexterioratraviesael conducto,utilizandolaanalogaelctricaparaconduccinenlaseccinmediadel conducto(supondremosquelatemperaturaenlaseccinmediaeslamediade masas): ( ) ( )L D h1L k 2D / D lnL D h1T2T TA h1L k 2D / D lnA h1T2T Tqext ext aint extint intsal entext ext aint extint intsal ent+++=+++= (1) Las incgnitas en la ecuacin anterior son: ext int exth , h , DPodemos plantear dos ecuaciones ms para cerrar el problema que son: ( )( ) Pr , Gr f Nu hPr Re, f Nu hext extint int= = Conestastresecuacioneselproblemaquedacerrado(3ecuacionescon3 incgnitas). Procedamos en primera instancia al clculo del coeficiente de pelcula interior: Coeficiente de pelcula interior: 5int10 169 . 1Dm 4Re = =&

Propiedadesdelaguaalatemparaturamediademasas89.75C(aprox.90C, Tabla 4.5) === = 958 . 1 PrK m / W 6755 . 0 k m / kg 5 . 965 m / s N 10 6 . 3146 Elrgimenesturbulento( 2300 ReD> )conelflujocompletamentedesarrollado ( 10 3937 D / Lint> = ), usaremos la correlacin (27) de la tabla 6.6: Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 49 K m / W 8479 hkD h; Pr Re 023 . 0 Nuntiint int 3 . 0 8 . 0DD = = Observamos que la resistencia asociada al coeficiente de pelcula interior, se puede considerar despreciable frente a la del aislante.

W / K 10 478 . 1A h1R5int inti , cv = = Para calcular el coeficiente de pelcula externo es necesario conocer previamente la temperatura dela superficie exterior del conducto y su dimetro exterior. Por ello se hace necesario establecer un proceso iterativo de resolucin: 1. Suponer un coeficiente de pelcula exterior inicialK m / W 5 hext2. Calcular el dimetro exterior utilizando la ecuacin (1) 3.Calcularlatemperaturasuperficialexterior,planteandounaecuacinde transferencia que contenga dicha incgnita

( )L k 2D / D lnA h1T2T Tqaint extint intsupsal ent++= (2) 4. Calcular el coeficiente de pelcula exterior exth5. S ext exth h se termin el proceso iterativo en caso contrario volver al punto 2. El dimetro exterior calculado resolviendo de forma iterativa la ecuacin (1) es: m 075 . 0 Dext= Calculemosahoralatemperaturasuperficialexteriormediadespejandodela ecuacin (2):C 3 . 23 Tsup = . Calcular el coeficiente de pelcula exterior:

PodemosutilizarlacorrelacindeMorgan(40,tabla6.9)dondelaspropiedades deben evaluarse a la temperatura media de pelcula (23.3+10)/2 = 16.6C Propiedades del aire a 15C =+= === 0035 . 015 . 273 6 . 1617323 . 0 Pr02476 . 0 k10 71 . 146W/mKkg/ms 523extD10 x 5198 . 6 PrD T gRa = = ,conestevalordelnmerodeRayleighla correlacin de Morgan toma el siguiente valor: K m / W 503 . 4 h Ra 48 . 0kD hNuext4 / 1Dext extD= = = Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 50 Esligeramenteinferioralquehabamosestimado,sivolvemosacalcularel dimetro exterior usando este coeficiente de pelcula y la ecuacin (1): cm 38 . 2 e m 073 . 0 Da ext= = Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 51 2.3. Problemas resueltos de radiacin 11 (Ecuaciones de intercambio radiante) El proceso defabricacindeunasuperficie curva de absorcin solar de rea A2 = 15 m, consiste en la fijacin de un recubrimiento especial sobre dicha superficie. Para fijar dicho recubrimiento se cura mediante la exposicin a un calentador infrarrojo de ancho W = 1 m. ElabsorbedoryelcalentadorsoncadaunodelongitudL=10myseencuentran separados H = 1 m. El calentador se encuentra a T1 = 1000 K y tiene una emisividad 1 = 0.9, mientras que el absorbedor est a T2 = 600 K y tiene una emisividad 2 = 0.5. Todo el sistema se encuentra en un local de grandes dimensiones cuyas paredes pueden considerarse a 300 K. Cul es la transferencia neta de calor sobre la superficie de absorcin?. Solucin: Datos: - Calentador (superficie 1): m 10 L W A 9 . 0 K 1000 T1 1 1= = = =- Superficie absorbedora (superficie 2): m 15 A 5 . 0 K 600 T2 2 2= = =- Paredes del Local (superficie 3):K 300 T3=- Dimensiones: m 10 L m 1 H m 1 W = = =Incgnitas: Flujo de calor por radiacin sobre la superficie absorbedora: q2 H W Superficie absorbedora A2, T2, 2 Calentador A1, T1, 1 Paredes local T3 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 52 Esquema: Hiptesis: - Rgimen permanente - Los flujos de calor por conveccin son despreciables - Las superficies son difusas y grises -Lasparedesdellocalpuedensuponersecomounasuperficienegra( 13= )que cierra el recinto a T3 = 300 K. Desarrollo: Elproblemaseconstituyecomounrecintoformadoportressuperficiesque intercambiancalorporradiacinentreellas,delascualesconocemossus temperaturas. Podemos expresar el flujo de calor sobre 2 como: ( ) ( )2 222422 222022A1J TA1J Mq = = La nica incgnita en la ecuacin anterior es la radiosidad sobre la superficie 2, J2. Para calcular todas las radiosidades plantearemos un sistema de ecuaciones donde las radiosidades sobre cada una de las superficies sean las nicas incgnitas: ( )= + =N1 jj ij i0i i iJ F 1 M J Si aplicamos la ecuacin anterior a cada una de las superficies tendremos: ( )| |( )| |4303 33 23 2 22 1 21 202 2 23 13 2 12 101 1 1T M JJ F J F J F 1 M JJ F J F 1 M J = =+ + + =+ + = H W Superficie A2 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 53 Debemosobservarquelasuperficie1esplanayportantoF11=0,yquesin embargo la superficie 2 es convexa, F22 > 0. Factores de forma: Si observamos la geometra del problema veremos que los factores de forma F12 = F12.Debidoaquetodalaradiacinquesalede1yllegaa2,eslamismaque saliendo de 1 llega a 2. ParacalcularelfactordeformaF12 utilizaremoslagrfica7.6delacoleccinde tablas, grficas y ecuaciones de transmisin de calor. Donde Y/L = 10/1 = 10 y X/L = 1/1 = 1.4 . 0 F F12 ' 12= = . Aplicando reciprocidad:267 . 0 4 . 0 m 15 m 10FAAF ; F A F A122121 21 2 12 1= = = =Aplicando adicin:6 . 0 F 1 F12 13= =Y por reciprocidad:2727 . 0 6 . 0 m 22 m 10FAAF133131= = =( m 22 L W 2 L H 2 A3= + ) Por simetra podemos ver que2727 . 0 F F F32 ' 32 31= = =Por ltimo si aplicamos de nuevo reciprocidad y adicin: 4 . 0 2727 . 0 m 15 m 22FAAF322323= = =333 . 0 4 . 0 267 . 0 1 F F 1 F23 21 22= = = Sustituyendo en las ecuaciones de radiacin tendremos: m / W 459 J m / W 12778 J m / W 51569 J321=== Y volviendo a la ecuacin del flujo de calor sobre 2: kW 445 . 81 W 81445 q2 = = Este flujo es negativo debido a que la superficie 2 absorbe ms radiacin de la que emite. Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 54 12 (Analoga Elctrica + Fuente pequea) Un elemento cilndrico de calentamiento de 10 mm de dimetro y gran longitud, se utiliza en un horno tal como se indica en la figura. La temperatura del elemento es T1 = 1500 K y se puede considerar como un cuerpo negro. La superficie inferior A2 es una superficie gris difusa, con 2 = 0,6 mantenida a una temperatura de 500 K. El resto de las superficies estn constituidas por un material refractario adiabtico, con una emisividad de 0,9. La longitud delhornoendireccinnormalesmuygrandecomparadaconelancho(w=1m)yla altura (h = 0,87 m). Despreciando el intercambio por conveccin, determinar: 1.LapotenciaporunidaddelongitudenW/m,quehadesuministrarelelementode calentamiento para mantener las condiciones de operacin. 2.La temperatura de las paredes del horno. Solucin: Datos: - Calentador (superficie 1):m 01 . 0 D 1 K 1500 T1 1 1= = = m L 0314 . 0 L D A1 1= =- Superficie inferior (superficie 2): m L L w A 6 . 0 K 500 T2 2 2= = = =- Superficie refractaria (superficie 3):9 . 03= - Dimensiones: = = = 60 m 87 . 0 h m 1 wIncgnitas: 1.Flujodecalorporradiacinporunidaddelongitudsobrelasuperficie1:q1 (W/m). 2. Temperatura de la superficie 3: T3 3w = 1 m 60 h = 0,87m 1 2Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 55 Hiptesis: - Rgimen permanente - Los flujos de calor por conveccin son despreciables - Las superficies son difusas y grises - La superficie refractaria es adiabtica ( 0 q3 , cd= ) y puede considerarse el flujo de calorporconveccindespreciable( 0 q3 , cv= ),portantoelflujodecalorpor radiacindebesertambinnulo( 0 q3 , rd= ).Aestetipodesuperficieselesuele llamar rerradiantes. Desarrollo: Elproblemaseconstituyecomounrecintoformadoportressuperficiesque intercambiancalorporradiacinentreellas,delascualesconocemoslas temperaturas de dos de ellas y el flujo de calor por radiacin sobre la tercera. Este tipoderecintoscon3superficiesdondeunadeellasesrerradiantepueden resolverse utilizando la analoga elctrica. Podemosobtenerelflujodecalorsobrelasuperficie1calculadolaresistencia equivalente del circuito: ( )eq42411RT Tq = Clculo de factores de forma: Si consideramos la superficie 1, muy pequea (un punto) frente a las superficies 2 y3,yrecordemosqueelfactordeformanoesmsquelafraccinderadiacin que saliendo de una superficie alcanza otra tendremos que: 1667 . 0 6 / 136060F12= == Y si aplicamos reciprocidad y adicin: 8333 . 0 6 / 5 F 1 F12 13= = =0052 . 0 FAAF122121= = 9948 . 0 F 1 F21 23= = 1 11A1 2 22A1 2 , 1 1F A1 3 , 1 1F A1 3 , 2 2F A1 01M02M0 q3=Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 56 Las resistencias por tanto valdrn: ( )m / kW 541 . 8 m / W 8541RT Tqeq42411= = = Para calcular la temperatura de la superficie 3 sabemos que: ( )( ) ( ) ( ) 0 J J F A J J F A ; 0 J J F A qT M J ; 0 J M1Aq2 3 32 3 1 3 3131 j3 j 3 j 3 3 34303 3 30333 33= + = = = = = == Paracalcularlaradiosidadsobrelasuperficie3yportantosutemperatura debemos conocer primero la radiosidad sobre las otras superficies: ( ) m / W 9238 J ; J M1Am / W 8541 qT M J2 20222 224101 1= = = = = Por tanto: K 656 TT m / W 10693 J ;F A F AJ F A J F AJ343 323 2 13 12 23 2 1 13 13= = =++= Comentarios: Si consideramos que una superficie es muy pequea comparada con las restantes y que adems se encuentra a una temperatura mucho mayor que el resto (bombillas, resistencias de calentamiento de tamao pequeo etc...), podemos suponer que la energa que emiten es mucho mayor que la que absorben y por tanto que esta es independientedelassuperficiesquelarodeanyfuncinnicamentedesu temperatura y propiedades radiantes: m / W 9018 T A M A q41 101 1 1 1= = = Error cometido: 5.6 % 0 01M02M0 q3=190.948 38.199 1.0052 0.6667 01M02MW / K m 193 . 33 Req=Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 57 2.4. Problemas resueltos de mecanismos combinados 13 (Mecanismos combinados, radiacin + conduccin) Unconductocircularconlosgasesdeescapedeunacalderacruzaverticalmenteuna habitacin. La temperatura superficial del metal que constituye la tubera es de 200C. Una pared de 2 m de ancho, con baja conductividad trmica (aislada) y negra a efectos radiantes seencuentrasituadaprximaalatubera(verfigura1).Elefectoradiantedelatubera produce grietas por dilataciones en la pared anteriormente mencionada. Para subsanar este problemasedebemantenerlaparedaunatemperaturanosuperiora30Cyseplantean dos soluciones posibles: 1.Aislarexteriormentelatuberaconunacapadeaislantedeconductividad0.05 W/mKnegroensucaraexterior.Calcularelespesordeaislantenecesariopara mantener la pared a 30C. 2.Secolocaunaplacametlica(muyaltaconductividad)amododepantallade radiacintalcomomuestralafigura2.Lacaraenfrentadaalaparedsepuede considerarnegraylaenfrentadaalatuberatieneunaemisividad.Lapared desnudadelatuberapuede considerarse tambin negra. Determinar para quela pared se siga manteniendo a 30C. El resto de la habitacin puede suponerse un cuerpo negro a 20C, y el aire se encuentra a la misma temperatura. Figura 1Figura 2 Notas: -Considerartodosloscoeficientesdepelculaigualesa10W/mK(tuberaypared), menoslosdeambascarasdelaplacametlicaenelapartado2quesernigualesa5 W/mK- Para el clculo de factores de forma considerar, en el apartado 1, despreciable el espesor de aislamiento 1 m Taire = 20C 1 m 30C 0,5 m 0,5 m 200C 20C 1 m 1 m Taire =20C 30C 0,25 m 0,25 m 0,5 m 200C 20C Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 58 Solucin: Datos: Apartado 1: - Superficie exterior del aislamiento (1):K m / W 05 . 0 k 11 1= = - Temperatura superficial del conducto: C 200 Tsup =- Pared adyacente (2): ) aislada ( 0 q C 30 T 12 , CD 2 2= = = - Aire y resto de la habitacin (3):1 C 20 T T C 20 T3 3 hab , rm aire= = = =- Todos los coeficientes de pelcula:K m / W 10 h h2 1= = Apartado 2: - Superficie exterior de la tubera (1):C 200 T 11 1 = = - Pared adyacente (2): ) aislada ( 0 q C 30 T 12 , CD 2 2= = = - Aire y resto de la habitacin (3):1 C 20 T T C 20 T3 3 hab , rm aire= = = =- Cara enfrentada al conducto de la placa metlica (4):K m / W 5 h4=- Cara enfrentada a la pared de la placa metlica (5):K m / W 5 h 15 5= = - Resto de coeficientes de pelcula:K m / W 10 h h2 1= = Los datos geomtricos se tomarn de las figuras del enunciado Incgnitas: - Apartado 1: Espesor de aislamiento, e1, para mantener la pared adyacente a 30C- Apartado 2: Emisividad de la cara enfrentada a la tubera de la placa metlica, 4 , para mantener la pared adyacente a 30C Hiptesis: - Rgimen permanente-Conduccinunidimensionalenelaislamientoexteriordelatuberaparael apartado 1 - Superficies isotermas, grises y difusas para el intercambio radiante -Suponer despreciableelespesordeaislamientoalcalcularlosfactoresdeforma del recinto Esquema: 1 , convq1 2 3 1 , radq1 , condq2 , convq2 , radqColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 59 Desarrollo: Apartado 1: Balance de energa sobre la superficie exterior del aislamiento (1) y sobre la pared adyacente (2) de acuerdo con los sentidos de los flujos dibujados en el esquema: 0 q q q1 , cond 1 , conv 1 , rad= + + (1) 0 q q2 , conv 2 , rad= + (2) Lasecuacionesdetransferenciadecadaunodelosflujosdecalorsonlas siguientes: ( ) ( ) ] W [ L 200 20 30 L 2 10 T T A h qaire 2 2 2 2 , conv= = = ( ) ( ) ( )( ) 20 T e 2 D 10 20 T A 10 T T A h q1 1 1 1 aire 1 1 1 1 , conv + = = = ( )( ) 200 TL k 25 . 0e 2 5 . 0lnL 05 . 0 2L k 2De 2 DlnT Tq11111sup 11 , cond|.|

\| +=|.|

\| += ( ) | |( ) | |3 3 , 2 1 1 , 202 2 2 , rad3 3 , 1 2 2 , 101 1 1 , radJ F J F M A qJ F J F M A q+ =+ = Comotodaslassuperficiessonnegraslasradiosidadessondemuyfcilclculo: 4i0i iT M J = = Luego: ( ) | |( ) | |43 3 , 241 1 , 242 2 2 , rad43 3 , 142 2 , 141 1 1 , radT F T F T A qT F T F T A q+ =+ = Clculo de factores de forma:Tabla 7.4:m 25 . 0 r m 75 . 0 L m 1 S m 1 S2 1= = = =23 . 075 . 01tan75 . 01tan225 . 0F1 11 , 2=((

= 77 . 0 23 . 0 1 F 1 F1 , 2 3 , 2= = = 29 . 0 23 . 0L 5 . 0L 2FAAF1 , 2212 , 1== =71 . 0 29 . 0 1 F 1 F2 , 1 3 , 1= = = En la ecuacin (2) la nica incgnita es T1, si despejamos: C 4 . 101 k 4 . 374 T1 = = Volviendo a la ecuacin 1 la nica incgnita es el espesor de aislamiento, aunque la ecuacin no es lineal. Si resolvemos esta ecuacin de forma iterativa obtendremos: Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 60 mm 3 . 3 m 0033 . 0 e1= =Apartado 2: Esquema: Si tomamos el balance de energa sobre la superficie 2: 0 q q2 , conv 2 , rad= + Elflujodecalorporconveccineselmismodelapartadoanteriorperoelde radiacin es diferente al aparecer nuevas superficies en el recinto. ( ) | |5 5 , 2 4 4 , 2 3 3 , 2 1 1 , 242 2 2 , radJ F J F J F J F T A q + + + = Lasuperficie2novealassuperficies1y4yportantolosfactoresdeforma: 0 F 0 F4 , 2 1 , 2= = ( ) | |45 5 , 243 3 , 242 2 2 , radT F T F T A q + + = Clculo de factores de forma: Tabla 7.4:8 L / w W L / w W m 25 . 0 L m 2 w w2 2 1 1 2 1= = = = = = =( ) | | ( ) | |88 . 08 24 8 8 4 8 8F F2 / 122 / 122 , 5 5 , 2=+ + += = 12 . 0 88 . 0 1 F 1 F5 , 2 3 , 2= = = Tabla 7.4:m 25 . 0 r m 5 . 0 L m 1 S m 1 S2 1= = = =28 . 05 . 01tan5 . 01tan225 . 0F1 11 , 4=((

= 72 . 0 28 . 0 1 F 1 F1 , 4 3 , 4= = = EnlaecuacindebalancesobrelasuperficielanicaincgnitaesT5,si despejamos: 1 , convq1 2 3 1 , radq1 , condq2 , convq2 , radq4 5 5 , convq4 , convq5 , radq4 , radqColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 61 C 7 . 47 k 7 . 320 T5 = = La temperatura de la superficie 5 debe ser igual a la de la superficie 4 puesto que ambos superficies son constituyen las dos caras de una placa metlica de muy alta conductividad. Si planteamos a continuacin un balance de energa sobre toda la placa, superficie 4 ms superficie 5: 0 q q q q5 , conv 5 , rad 4 , conv 4 , rad= + + + Lasecuacionesdetransferenciadecadaunodelosflujosdecalorsonlas siguientes: ( ) ( ) ] W [ L 554 20 7 . 47 L 2 10 T T A h q qaire 4 4 5 , conv 4 , conv= = = =( ) | |( ) | |3 3 , 5 2 2 , 505 5 5 , rad3 3 , 4 1 1 , 4 404 4 4 4 , radJ F J F M A qJ F J F M A q+ =+ = Lanicaincgnitaenlaecuacindebalanceanterioreslaemisividaddela superficie 4, que si sustituimos: 82 . 04= Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 62 14 (Mecanismos combinados, Analoga elctrica + h rad.) Elairedeunlocalacondicionadoseencuentraaunatemperaturade20C,enlse encuentrasituadounradiador(superficie1)deemisividadsuperficial0.9,yunapared conectada con el exterior (superficie 2), cuya cara interior y exterior tienen un emisividad de 0.8.Lacarainteriordelmuro(superficie2)tieneuncoeficientedepelculadehint=3 W/mK y en su cara exterior intercambia calor por conveccin con el aire ambiente a 10C (el coeficiente de pelcula exterior puede considerarse de hext = 10 W/mK) y por radiacin conlosalrededoresquetambinpuedenconsiderarseaunatemperaturade10C.Las restantessuperficiesdellocal,exceptoelradiadoryelmuroexteriordebenconsiderarse rerradiantes. Calcularlatemperaturasuperficialdelradiadorparaquelasprdidasdecalorpor conduccin en el muro conectado con el exterior no superen el 80% del calor total emitido radiantemente por el radiador.

La composicin del muro exterior es: Capa Espesor(cm) Conductividad(W/mK) Enlucido de cemento21.0 Ladrillo macizo250.7 Enlucido de cemento21.0 Solucin: Datos: - Temperatura del aire del local:C 20 Tint =1 2 3 m 3 m 1.5 m 1.5 m Tint = 20C Text = 10C Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 63 - Temperatura del aire exterior: C 10 Text =- Superficie 1 (radiador):9 . 01= m 5 . 4 m 5 . 1 m 3 A1= =- Pared al exterior: Cara interior (superficie 2):8 . 02= K m / W 3 h2= m 9 A2=Cara exterior: 8 . 0ext= K m / W 10 hext= 2 extA A =- Temperatura media radiante del exterior: C 10 Text , mr =- Las restantes superficies del local son rerradiantes. - Composicin del muro exterior: K m / W 0 . 1 k ; m 02 . 0 eK m / W 7 . 0 k ; m 25 . 0 eK m / W 0 . 1 k ; m 02 . 0 e3 32 21 1= == == = Incgnitas: Temperatura de la superficie 1 (radiador), para que el flujo de calor por conduccin en el muro sea el 80% del calor emitido radiantemente por 1. 1 , rad cond 1q 8 . 0 q ? T = Hiptesis: - Rgimen permanente- Conduccin unidimensional en el muro exterior - Superficies isotermas, grises y difusas para el intercambio radiante Esquema: Desarrollo: Balancedeenergasobrelassuperficiesinterior(2)yexterior(s,ext)deacuerdo con los sentidos de los flujos dibujados en el esquema: 2 , rad cond 2 , convq q q + = (1) ext , rad ext , conv condq q q + = (2) Lasecuacionesdetransferenciadecadaunodelosflujosdecalorsonlas siguientes: ( )2 int 2 2 2 , convT T A h q = 2 , convqcondq2 , radqext , convqext , radqColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 64 ( ) ( )332211ext , s 22capas jjext , s 22 condkekekeT TAkeT TA q+ +== ( )ext ext , s 2 ext ext , convT T A h q = ( )2T TT ; T 4 hdonde; T T A h qext , rm ext , sm ext3m rad ext , rm ext , s 2 rad ext , rad+= = = Latemperaturamediaparaelclculodelhradiantedebeestarcercanaa10C comencemosporsuponerestevaloryretomaremosestahiptesisalfinaldel problema para su revisin:K m / W 1189 . 4 hrad= Paracalcularelflujodecalorporradiacinen2debemosresolverelintercambio radianteenellocalinterior,porserunrecintocon3superficiesconunadeellas rerradiantespodemosutilizarlaanalogaelctrica(lasuperficie3estconstituida por el resto de las superficies del recinto que no son ni 1 ni 2). ( )eq41422 , radRT Tq = Clculo de los factores de forma: A 1 , 2 2 A , 2 2 1 , 2 2F A F A F A = + A , 2 1 , 2F F =2FFA 1 , 21 , 2= De la Grfica 7.7 2 . 0 F 1 D / L ; 1 D / WA 1 , 2= = =1 . 02FFA 1 , 21 , 2= =2 . 0 FAAF1 , 2122 , 1= =8 . 0 F 1 F2 , 1 3 , 1= = 9 . 0 F 1 F1 , 2 3 , 2= = Luego: 1 11A1 2 22A1 2 , 1 1F A1 3 , 1 1F A1 3 , 2 2F A1 01M02M1 2 A 0.0247 01M02M1.1110.0278 0.12350.2778 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 65 W / K 3473 . 0 0278 . 0) 1235 . 0 2778 . 0 (1111 . 1110247 . 0 Req= ++++ = ( )] W [3473 . 0T Tq41422 , rad = Si sustituimos las ecuaciones de transferencia en las dos ecuaciones de balance (1) y(2),tendremosunsistemadedosecuacionescon3incgnitas(lastres temperaturas superficiales: ext , s 2 1T y T , T ). ( )( ) ( )eq4142capas jjext , s 22 2 int 2 2RT TkeT TA T T A h += (1) ( )( ) ( )ext , rm ext , s 2 rad ext ext , s 2 extcapas jjext , s 22T T A h T T A hkeT TA + =(2) Para cerrar el sistema necesitamos otra ecuacin que la obtenemos de la condicin impuesta por el problema: ( )3473 . 0T T8 . 0 q ; q 8 . 0 q4241cond 1 , rad cond = = (3) Sustituyendo: ( )( ) ( )3473 . 0T T3971 . 0T T9 T 20 274142ext , s 22 += (1) ( )( ) ( ) 10 T 1189 . 4 10 T 103971 . 0T Text , s ext , sext , s 2 + =(2) Si introducimos las ecuaciones (3) en la (1): ( )( )((

= = 3971 . 0T T9 25 . 0 q8 . 01q T 20 27ext , s 2cond cond 2 Conestaecuacinylaecuacin(2)tenemosunsistemalinealdedosecuaciones con dos incgnitas que resolvemos: C 842 . 11 T ; C 167 . 22 Text , s 2 = = En este punto deberamos recalcular el coeficiente de pelcula radiante con la nueva temperaturamedia,silohacemos:K m / W 1592 . 4 hrad= observamosqueel cambio es muy pequeo y que no merece la pena rehacer todos los nmeros. Volviendo a la ecuacin (3) obtenemos la temperatura superficial del radiador: C 204 . 38 K 354 . 311 T1 = =Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 66 Comentarios: Al plantear el balance de energa sobre la superficie (2) podramos haber expresado el flujo de calor por conduccin como: ( )++=capas rad ext jjext 22 condh h1keT TA q Eliminando la temperatura de a superficie exterior como incgnita. Esto es posible debidoaqueenesteproblemalatemperaturaexteriordelaireylatemperatura radiante media exterior coinciden y a que el intercambio radiante puede expresarse usando un coeficiente de pelcula radiante. Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 67 15 (Mecanismos combinados, Analoga elctrica + Bal. aire) Unafiladeelementosdecalentamientocilndricosregularmenteespaciados(superficie1) se usa para curar un recubrimiento superficial que se aplica a una de las caras a una lmina de metal (superficie 2) colocado por debajo de los elementos. La lmina tiene un espesor de 1 cm y una conductividad k = 30 W/mK. Un segundo panel (superficie 3), cuya superficie superiorestbienaislada,secolocaporencimadeloselementos.Loselementosson negros y se mantienen a T1 = 600 K, mientras que la lmina tiene una emisividad 2 = 0.5 y semantieneaT2 = 400 K. La cavidad se llena con un gas no participativo teniendo lugar unatransferenciadecalorconvectivaenlassuperficies1y2,conK W/m 10 h21= y K W/m 2 h22= . (La conveccin en el panel aislado se puede despreciar). 1.Evale la temperatura media del gas, gT . 2.Qupotenciaelctricaporunidaddelongitudaxialdebesuministrrseleacada elemento para mantener la temperatura establecida? 3.Culeselcoeficientedetransferencia decalorporconveccinenlacarainferior de la lmina de metal (superficie 4) (4 = 0.5) si la temperatura del aire en contacto directo con l y la temperatura media radiante de los alrededores es Ta = 300 K?. Solucin: Datos: - Superficie 1:K m / W 10 h 1 K 600 T1 1 1= = =- Superficie 2:cm 1 e K m / W 30 k K m / W 2 h 5 . 0 K 400 T2 2 2 2 2= = = = =- Superficie 3:0 q le despreciab Conveccin ; 0 q Aisladaconv cond= = - Superficie 4:5 . 04= - Aire en contacto con la superficie 4: K 300 T Talr , rm a= = Los datos geomtricos se encuentran en la figura del enunciadoIncgnitas: - Apartado 1:Temperatura del gas en contacto con las superficies 1, 2 y 3: gT- Apartado 2:Potencia elctrica por unidad de longitud [W/m] para cada cilindro: 1qD = 25 mm s = 50 mm1 2 3 4 Gas, Tg Aire, Ta Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 68 - Apartado 3:Coeficiente de transferencia de calor en 4: 4hHiptesis: - Rgimen permanente- Conduccin unidimensional entre las superficies 2 y 4 - Superficies isotermas, grises y difusas para el intercambio radiante -Alexistirunnmeroelevadodeelementosdecalentamiento,estudiaremosel comportamiento de un elemento intermedio como representativo del problema. Esquema: Desarrollo: Apartado 1: Tomamosunvolumendecontrolquecontengasolamenteunelementode calentamiento,yrealizamosunbalancedeenergasobreelgasdeestevolumen (rgimen permanente) 0 q q2 CV 1 CV= + ( ) ( ) 0 T T A h T T A hg 2 2 2 g 1 1 1= + Despejando la temperatura del gas de la ecuacin anterior tenemos: K 411 . 57705 . 0 2 025 . 0 10400 05 . 0 2 600 025 . 0 10A h A hT A h T A hT2 2 1 12 2 2 1 1 1g=+ + =++= K 411 . 577 Tg=Apartado 2: Balance de energa sobre la superficie 1: 1 RD 1 CV 1q q q + = 1q : Potencia elctrica consumida por cada elemento por unidad de longitud axial ( ) ( ) W/m 741 . 17 411 . 577 600 025 . 0 10 T T D h qg 1 1 1 1 CV= = = Paracalcularelflujodecalorporradiacinsobrelasuperficie1utilizamosla analoga elctrica, ya que la superficie 3 puede considerarse rerradiante (aislada y 123qCV1 qCV2 qCV1 q1 qRD1 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 69 con conveccin despreciable). En el clculo de las resistencias utilizaremos las reas partidas por L. ( )eq42411 RDRT Tq = Clculo de los factores de forma: Factordeformaentreunaplacayunconjuntoinfinitodecilindrosequidistantes (Tabla 7.4): 6576 . 0DD stansDsD1 1 F2 / 122 212 / 121 , 2=||.|

\||.|

\|+(((

|.|

\| = 0 F2 , 2=3424 . 0 6576 . 0 1 F3 , 2= = 6576 . 0 F F1 , 2 1 , 3= = Luego la analoga elctrica queda como: K/W 6561 . 42 Req= ( ) ( )W/m 24 . 1386561 . 42400 600 8 e 67 . 56561 . 42T Tq4 4 42411 RD= = = Volviendo a la ecuacin de balance sobre 1: W/m 981 . 155 24 . 138 741 . 17 q1= + = Apartado 3: Balance de energa sobre 2 y 4: 0 q q qCD 2 RD 2 CV= + +CD 4 RD 4 CVq q q = + Del balance sobre la superficie 2 podemos calcular la temperatura de la superficie 4 al ser la nica incgnita: 1 111A 2 221A 1 , 2 21F A 1 , 3 31F A 3 2 21,F A 01M02M0 01M02M30.413620 58.411230.4136 qCV2 qCD qRD2 qCV4 qRD4 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 70 ( )( ) ( )0kAeT TRT TT T A h44 2eq4142g 2 2 2=+ + ( )( )005 . 0 3001 . 0T 40024 . 138 411 . 577 400 05 . 0 24=+ ; W/m 155.981 q ; K 96 . 398 TCD 4= = Y del balance sobre la superficie 4 despejamos el coeficiente de pelcula: ( ) ( ) W/m 981 . 155 T T A T T A h4a44 4 4 a 4 4 4= + ( ) ( ) W/m 981 . 155 300 96 . 398 8 e 68 . 5 05 . 0 5 . 0 300 96 . 398 05 . 0 h4 44= + W/mK 587 . 26 h4= Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 71 16 (Mecanismos combinados) Unconjuntodeplacascomolasdelafiguraseencuentranenelinteriordeuntnelde calentamientomuylargo,lapartealtadeltnelesunasuperficiecalefactoraa80C (superficie3)ypuedeconsiderarsenegraaefectosradiantes.Lasuperficieinferior (superficie 4) es tambin negra y se encuentra a 20C. El aire fluye sobre las placas a 20C. 1.Calcule el coeficiente de pelcula medio (supuesto el mismo en ambas caras) sobre las placas si la cara superior (superficie 1) se encuentra a 27C (negra) y la inferior (superficie 2) a 25C ( 8 , 02= ) 2.Calcule la velocidad del aire sobre la cara superior de la placa si sta se encuentra en conveccin forzada 3.Las placas estn compuestas de dos capas de materiales diferentes de espesor 1mm, la capa superior tiene una conductividad de 1W/mK. Calcule la conductividad del material inferior. Nota: Considerar que las capas lmites que se desarrollan sobre las superficies de las placas no se interfieren entre s ... ... ... C 80 T3 =C 20 T4 =cm 20 w =C 27 T1 =C 25 T2 =C 20 Taire =cm 20 H =mm 1 e1=mm 1 e2=Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 72 Solucin: Datos: - Superficie 1: 1 K m / W 1 k mm 1 e C 27 T1 1 1 1= = = =- Superficie 2: 8 . 0 mm 1 e C 25 T2 2 2= = =- Superficie 3: 1 C 80 T3 3= =- Superficie 4: 1 C 20 T4 4= = - Aire que fluye sobre las placas:C 20 Taire =Dimensiones en la figura del enunciado Incgnitas: - Apartado 1:Coeficiente de pelcula medio sobre las placas uno y dos 2 1h h h = = . - Apartado 2:Velocidad del aire antes de llegar a las placas u . - Apartado 3:Conductividad del material inferior de las placas 2k . Hiptesis: - Rgimen permanente- Conduccin unidimensional en las placas - Superficies isotermas, grises y difusas para el intercambio radiante - Al existir un nmero elevado de placas, estudiaremos el comportamiento de una placa intermedia como representativo del problema. Esquema: Desarrollo: Apartado 1: Realizaremosunbalancedeenergasobretodalaplaca(superficiesuperiorms superficie inferior: 0 q q q q2 , conv 2 , rad 1 , conv 1 , rad= + + + (1) Lasecuacionesdetransferenciadecadaunodelosflujosdecalorsonlas siguientes: ( ) ( ) L h 4 . 1 T T L w h T T A h qaire 1 aire 1 1 1 1 , conv= = = 1 , convq1 , radq2 , convq 2 , radqColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 73 ( ) ( ) L h T T L w h T T A h qaire 2 aire 2 2 2 2 , conv= = = ( ) | |3 3 , 1 2 2 , 1 141 1 1jj j , 1 101 1 1 1 , radJ F J F T A J F M A q + =||.|

\| = ( ) | |4 4 , 2 1 1 , 2 242 2 2jj j , 2 202 2 2 2 , radJ F J F T A J F M A q + =||.|

\| = Planteamiento del intercambio radiante en el recinto: Plantearemos una ecuacin de radiosidad por cada superficie W/m 189 . 460 T M J4101 1 1= = =( ) ( )( )4 4 , 2 1 1 , 2 242 2jj j , 2 202 2 2J F J F 1 T J F 1 M J + + = + = W/m 901 . 881 T M J4303 3 3= = =W/m 738 . 418 T M J4404 4 4= = = Clculo de los factores de forma: Placas paralelas con las lneas medias en la misma perpendicular (Tabla 7.4) 1 2 . 0 / 2 . 0 H / w W1 1= = = 1 2 . 0 / 2 . 0 H / w W2 2= = = ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | |4142 . 01 24 1 1 4 1 1W 24 W W 4 W WF2 / 122 / 1212 / 121 22 / 122 12 , 1=+ + +=+ + += 4142 . 0 F F2 , 1 1 , 2= = 5858 . 0 F 1 F2 , 1 3 , 1= =5858 . 0 F 1 F1 , 2 4 , 2= = Volviendo a la ecuacin de la radiosidad sobre 2: ( )( ) ( )( ) W/m 618 . 445 T 5858 . 0 T 4142 . 0 1 T J F J F 1 T J4441 242 2 4 4 , 2 1 1 , 2 242 2 2= + + = + + = As los flujos de calor radiantes valdrn: ( ) | | ( ) | | L 2 . 48 T F J F T wL J F J F T A q43 3 , 1 2 2 , 141 3 3 , 1 2 2 , 1 141 1 1 1 , rad = + = + == ( ) | | ( ) | | L 94 . 1 T F T F T wL J F J F T A q44 3 , 141 1 , 242 4 4 , 2 1 1 , 2 242 2 2 2 , rad= + = + = Sustituyendo en la ecuacin de balance (1): 0 L h L 94 . 1 L h 4 . 1 L 2 . 48 = + + + Despejando de aqu el coeficiente de pelcula obtenemos: W/mK 27 . 19 h = Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 74 Apartado 2: Debido al bajo valor del coeficiente de pelcula supondremos que este se encuentra en conveccin forzada flujo externo (placa plana, flujo paralelo), rgimen laminar. Por tanto la correlacin apropiada es la correlacin de Polhausen (correlacin 5 de latabla6.1),esthiptesisdeberserrevisadasiunavezcalculadoelnde Reynolds,steesmayorque500000yporlotantodebecambiarseauna correlacin turbulenta. Las propiedades se evalan a la temperatura media de pelcula: C 5 . 232T TT1 airemp =+= Propiedades del gas (aire) a 23.5C (Tabla 4.4.1) === = 73 . 0 PrW/mK 10 4 . 25 k m / kg 19 . 1kg/ms 10 42 . 1836 3 / 1 2 / 1LL Pr Re 664 . 0 7323 . 151kw hNu = = =Despejando Reynolds: 5 4L10 5 10 4408 . 6 Re < =Luego la hiptesis de rgimen laminar era correcta. Despejemos la velocidad de la expresin del Reynolds: =w uReL m/s 985 . 4 u = Apartado 3: Realizando un balance sobre cualquiera de las dos caras. L 22 . 21 q q q q q2 , rad 2 , conv 1 , rad 1 , conv cond= = = Utilizando la ecuacin de transferencia de conduccin. 22112 1condkekeT TL w L 22 . 21 q+= =W/mK 056 . 0 k2=1 , convq1 , radq2 , convq 2 , radqcondqColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 75 17 (Mecanismos combinados) En una caldera para calentamiento de agua los tubos de humos tienen un dimetro de 7 cm y una temperatura superficial igual a 385 K. A travs de estos conductos circulan los gases de escape a una temperatura de masa de 900 K. Para mejorar la transferencia de calor desde elgasalagua,secolocaunapareddelgadadealtaconductividadenelplanomediodel conducto. Las propiedades fsicas de los gases pueden aproximarse usando las del aire. 4.Sin la particin y con un flujo de gases igual a 0.05 kg/s. Cul es la transferencia de calor por unidad de longitud del conducto?. 5.Paraelmismoflujodegasesqueenelcasoanteriorycolocandolaparticin(la emisividaddelasuperficieinteriordelconductoydelaparticines0.5). Determinar la temperatura de la particin y la transferencia de calor por unidad de longitud del conducto. 6.Explicar fsicamente a que se debe el aumento de la transferencia de calor.c.Serasparaotrosvaloresdelaemisividad?Raznelo.Quvalordela emisividad hace mxima la transferencia? d.Sielcaudalvariara,aumentarasiemprelatransferenciadecalorpor conveccin?. Cuando as fuere en qu proporcin? Solucin: Datos: - Caudal msico de gas:s / kg 05 . 0 mg= &- Dimetro interno: m 07 . 0 Di=- Superficie interna del conducto:5 . 0 K 385 Ts s= =- Temperatura de masa del fluido:K 900 Tg , m=- Particin de conducto: 5 . 0p= Incgnitas: - Apartado 1:Flujo de calor por unidad de longitud perdido por el conducto hacia el exterior sin particin: sinqTubo, Ts, s Particin, Tp, p Gases, Tm,g, gm&D Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 76 -Apartado2:Temperaturadelaparticin: pT ,yelflujodecalorporunidadde longitud perdido por el conducto hacia el exterior con particin: conq - Apartado 3:Explicacin fsica del aumento de transferencia de calor Hiptesis: - Rgimen permanente- Temperatura superficial uniforme y constante en todos los apartados - En el apartado 1 no existe intercambio de calor por radiacin. -Superficiesisotermas,grisesydifusasparaelintercambioradiantedel2 apartado - Flujo completamente desarrollado Esquema: Desarrollo: Apartado 1: Desdelapareddelatuberaalfluidosolohayconveccinyaquealestartodala superficie interior del conducto a una temperatura uniforme el intercambio de calor por radiacin es nulo. El calor transferido por conveccin desde el fluido a la pared ser igual al calor perdido por conduccin a travs de la pared del conducto. Prdidas de calor por unidad de longitud: ( ) ( )s g , m i i s g , m i i conv sinT T h D T T L / h A q q = = = Clculo del coeficiente de pelcula, h: Propiedades del gas (aire) a 900 K (626.85C) === = 706 . 0 PrmK / W 10 3 . 62 ks / m 10 100ms / kg 10 3 . 3932 66(Tabla 4.4.1) N de Reynolds para conducto circular:4 . 23141Dm 4ReigD= =& Elflujoesclaramenteturbulentoysupondremosqueelflujoescompletamente desarrollado. Utilizaremos la correlacin de Dittus-Boelter (n 27, tabla 6.6) con un exponente n = 0.3 puesto que la superficie est ms fra que el gas. 2511 . 64 Pr Re 023 . 0 Nu3 . 0 5 / 4D D= = convqcond sinq q = convqcond conq q = radqColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 77 K m / W 184 . 57Dk Nuh2 Di= = Luego: ( ) m / W 3 . 6476 T T h D qs g , m i i sin= = Apartado 2: El caudal msico por cada una de las dos mitades del conducto se reduce a la mitad ( s / kg 025 . 0 mg= & ).Lastemperaturassuperficialesydemasasiguensiendolas mismas del apartado anterior. Enestesegundoapartadoapareceunnuevoflujodecalorporradiacindebidoa que insertamos una particin que se encuentra a una temperatura diferente, Tp, de lasuperficiedelconducto.Paradeterminarestatemperaturasernecesario plantear un balance de energa sobre la particin. Clculo del nuevo coeficiente de pelcula, h (las propiedades del gas son las mismas del apartado anterior): Tomando la mitad del conducto tendremos un conducto no circular con el siguiente dimetro equivalente m 043 . 0 D2D2D8D4PA 4Diii2ie=+ =+= = Si calculamos Reynolds en este nuevo conducto no circular, tendremos: 14215AD mD uReTe ge mD===& Podemosutilizarlamismacorrelacindelapartadoanteriorperousandoel dimetro equivalente: 508 . 43 Pr Re 023 . 0 Nu3 . 0 5 / 4D D= = K m / W 036 . 63Dk Nuh2 Di= = Realicemos un balance de energa sobre la particin (debemos sumar los flujos por las dos caras, que son iguales ya que el problema es simtrico): 0 q qrad conv= +(1) ( )g , m p i convT T h D 2 q = Si aplicamos la analoga elctrica para un recinto con dos superficies: ( )s sss , p p p pp4s4pradA1F A1A1T T2 q + + = Clculo de los factores de forma:1 Fs , p=p ppA1 s ssA1 s , p pF A1 Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 78 ( )094 . 9 286 . 14 286 . 14T T2 q4s4prad+ + = S sustituimos en la ecuacin (1) tendremos: ( )( )0833 . 18385 T900 T 825 . 84 4pp= + C 55 . 507 K 7 . 780 Tp = = Prdidas de calor por unidad de longitud: ( )( )m / W 4 . 8191 3 . 1052 1 . 7139833 . 18T TT T h A q q q4s4ps g , m i i rad conv con= + = + = + = Apartado 3: El aumento de la transferencia de calor se debe a dos razones: Primero al aumento del coeficiente de pelcula, mantenindose la diferencia de temperaturas constante, con lo cual aumenta el flujo de calor por conveccin, y segundo a la aparicin de un flujo de calor por radiacin positivo que no exista en el apartado 1. a.Elflujodecaloraumentarparatodoslosvaloresdelaemisividad,yaquela conveccinsersiempremayoryelflujodecalorporradiacinsersiempre positivo, ya que la temperatura de la particin estar siempre entre 385 y 900 K. Paralaemisividadiguala1seharmnimalaresistenciaequivalentedelcircuito radiante y el flujo de calor por radiacin ser mximo. b.Elflujodecalorporconveccinaumentarparatodovalordecaudalyaque siempreaumentaelcoeficientedepelcula,anoserqueelcaudalseatalqueal pasaralasegundaconfiguracinelReynoldspaseaserlaminaryseanecesario utilizarunacorrelacindergimenlaminarparaelsegundocaso,sinoesasy siempreseutilizaunacorrelacindeturbulentoelflujodisminuirenlamisma proporcin que el h 1 , D2ii 1 , gTe 2 , g2 , DRe28DD22 / mAD mRe+ =|.|

\|+ ==&& 1 , D5 / 43 . 0 5 / 42 , D 2 , DNu2Pr Re 023 . 0 Nu |.|

\|+ = = 1 , ii1 , D5 / 4e2 , D2 , ih 103 . 1D2k Nu2Dk Nuh =|.|

\|+ |.|

\|+ = =Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 79 18 (Mecanismos combinados) Durante la transfusin de sangre a un paciente se utiliza un dispositivo compuesto de dos partes: un conducto circular de caucho (k = 0.1 W/m K) de 10 mm de dimetro interior, 14 mm de dimetro exterior y longitud 5 m, y posteriormente un calentador de sangre. 3.Un caudal desangre de 200 ml/min entra en el conducto a 2C procedente de un bancodesangreyatraviesalos5mdelongitudenunahabitacin,cuyoairey paredespuedenconsiderarsea25C.Suponiendoquelaemisividadsuperficial exterior del caucho es 0.9, calcular la temperatura de la sangre al final del conducto (Ts). 4.Posteriormenteesemismocaudaldesangreentraenuncalentadordesangre.El calentador est compuesto de una matriz slida que se mantiene a una temperatura constante,40Cennuestrocaso,enlacualseencuentraembebidoelconducto. Calcularlalongituddeconductonecesariaparaquelasangresalgaa37Cdel calentador.Elconductoembebidoesmetlicoconunaconductividadmuyaltay entre ste y la matriz existe una resistencia de contacto de 0.001 m K/W. Nota:Suponerqueelflujoestcompletamentedesarrolladoyquelasangretienelas mismaspropiedades que el agua 10 mm 14 mm 10 mm RC = 0.001 m K/W 2C 37C Matriz a 40 C 25C 25C Ts 5 m Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 80 Solucin: Datos: Apartado 1: - Conducto de caucho:K m / W 1 . 0 k m 014 . 0 D m 01 . 0 D m 5 Lext int= = = =- Caudal de sangre a la entrada: C 2 T min / ml 200 Vent ent = =& - Aire y resto de la habitacin:1 C 25 T T C 25 Thab 3 hab , rm aire= = = =- Superficie exterior del conducto: 9 . 0ext= Apartado 2: - Matriz slida:W / K m 001 . 0 R C 40 Tcont , t matriz= =Incgnitas: - Apartado 1: Temperatura de salida de la sangre al final del conducto, Tsal . -Apartado2:Longituddelconductoembebidoenlamatriz,Lmatriz,paraquela temperatura de salida de la matriz sea 37C. Hiptesis: - Rgimen permanente- Conduccin unidimensional en la pared del conducto - Superficies isotermas, grises y difusas para el intercambio radiante Esquema: Desarrollo: Apartado 1: El caudal volumtrico a la entrada lo convertimos en caudal msico: s / kg 0034 . 0 V ment= =&&Agua a presin atmosfrica y 2C, Tabla 4.5: m / kg 1005 = Si realizamos un balance de energa sobre el volumen de sangre que circula por el interior del conducto: ( )ent sal pT T c m q = & Seccin media Del conducto mTent& salTint , convqext , radqext , convqColeccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 81 Esecalorqueganalasangreesigualalcalorquedesdeelexterioratraviesael conducto,utilizandolaanalogaelctricaparaconduccinenlaseccinmediadel conducto(supondremosquelatemperaturaenlaseccinmediaeslamediade masas): ( )( )ext ext , r extint extint intsal enthabA h h1L k 2D / D lnA h12T TTq++++= Igualando esta ecuacin con la anterior tendremos: ( )( )( )ext ext , r extint extint intsal enthabent sal pA h h1L k 2D / D lnA h12T TTT T c m++++= & (1) Las incgnitas en esta ecuacin son: ext , r ext int salh , h , h , TPodemos plantear tres ecuaciones ms para cerrar el problema que son: ( )( )3sup habext ext , rext extint int2T T4 hPr , Gr f Nu hPr Re, f Nu h||.|

\| + == = Con estas cuatro ecuaciones el problema queda cerrado pero al ser fuertemente no lineal estableceremos un proceso iterativo para resolverlo. 1.Suponer la temperatura de salida, entre la de entrada y la de la habitacin, C 10 Tsal = . 2.Calcular el coeficiente de pelcula interior. 3.Calcular el coeficiente de pelcula exterior. 4.Calcular el coeficiente de pelcula radiante exterior. 5.Calcular la temperatura de salida de la ecuacin (1) 6.Si esta temperatura es muy diferente de la inicial volver a 2. Coeficiente de pelcula interior: 451 . 287Dm 4Reint= =&

Propiedades de la sangre (agua) a la t media de masas (aprox. 5C, Tabla 4.5) === = 0 . 11 PrW/mK 5748 . 0 kkg/m 1004kg/ms 10 15066 Elrgimeneslaminarconelflujocompletamentedesarrollado,dadasestas condiciones podemos usar los valores para temperatura superficial constante o flujo decalorconstante.Nuestrocasoestmscercanoalproblemadetemperatura Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 82 superficial constante puesto que la temperatura de la habitacin es constante a lo largo del tubo. Usaremos la correlacin (23) de la tabla 6.6: K m / W 377 . 210 h 66 . 3kD hNuintint intD= = = . Calcular el coeficiente de pelcula exterior:

Sisuponemosquelaresistenciacontrolanteserlaasociadaalcoeficientede pelcula exterior podemos estimar que la temperatura superficial media del exterior del conducto ser muy parecida a la temperatura media de masas (10+2)/2 = 6C. PodemosutilizarlacorrelacindeMorgan(40,tabla6.9)dondelaspropiedades deben evaluarse a la temperatura media de pelcula (25+6)/2 = 15.5C Propiedades del aire a 15C =+= === 0035 . 015 . 273 5 . 1510732 PrW/mK 025 . 0 kkg/ms 10 156 5824 PrD T gRa23extD= = , con este valor del nmero de Rayleigh la correlacin de Morgan toma el siguiente valor: K m / W 746 . 7 h Ra 85 . 0kD hNuext188 . 0Dext extD= = = Calcular el coeficiente de pelcula radiante exterior: K m / W 91 . 42T T4 h3sup habext ext , r=||.|

\| + = Volvemos a la ecuacin (1) para calcular la temperatura de salida de la sangre: ( )( ) W / K 359 . 0 1071 . 0 0303 . 02C 2 TC 25C 2 T K kg / J 4201 s / kg 034 . 0salsal+ + + = C 5 C 03 . 5 Tsal = Ahora deberamos volver a recalcular los coeficientes de pelcula pero estos no van a cambiar apreciablemente. Apartado 2: Elflujodecalorabsorbidoporlasangreenelprocesodecalentamientoenel interior del calentador de sangre ser: ( ) W 784 . 454 C 32 K kg / J 4180 s / kg 0034 . 0 C 5 C 37 c m qp= = = & Coleccin de Problemas Propuestos y Resueltos de Transmisin de Calor 83 Propiedades de la sangre (agua) a la t media de masas (aprox. 20C, Tabla 4.5) === = K kg / J 4180 cW/mK 5998 . 0 kkg/m 5 . 999kg/ms 10 1001p6 Este calor es igual al transferido desde las paredes del calentador C 21 TRh1qL D AARA h1C 21 Tqmatrizcont , tintmatriz int intintcont , tint intmatriz ||.|

\|+= =+ = SicalculamoselnmerodeReynoldsveremosqueelproblemasiguesiendo laminar y que por tanto:K m / W 527 . 219 h 66 . 3kD hNuintint intD= = = Despejando de la ecuacin anterior: m 233 . 4 Lmatriz=