EXAMEN 2011 1A PP 1A SEMANA

XAVI AZNAR

Ejercicio 1. Defina

1. Simetría

2. Proyección

3. Homotecia vectorial

y escriba sus polinomios mínimos.

Demostración.

1. Una simetría σ de base B y dirección D es un endomorfismo tal que

σ (v) = v para cualquier vector v ∈ B, y σ (w) = −w para cualquier

vector de D. Su polinomio mínimo será µσ (λ) = (1− λ)n (−1− λ)m,

con n = dimB,m = dimD.

2. Una proyección π de base B y dirección D es un endomorfismo

tal que π (v) = v para cualquier vector v ∈ B, y π (w) = 0 para

cualquier vector de D. Su polinomio mínimo será µπ (λ) = (1− λ)n,

con n = dimB.

3. Una homotecia vectorial h (c, λ) de centro c y razón λ (λ 6= 0, 1) es

una aplicación tal que h (x) = c+ λ (−→cx) = c+ λ (x− c).

�

Ejercicio 2. (2pts) Obtenga todas las posibles matrices de Jordan de un

endomorfismo f del espacio vectorial V4 (R) cuyos únicos autovalores son

2, 3 con dim (ker (f − 3id)) = 1 y que tiene infinitas rectas invariantes.

Demostración. Empezamos con la condición dim (ker (f − 3id)) = 1 = 4 −rg (ker (f − 3id)), lo que significa que rg (ker (f − 3id)) = 3. De todas las po-

sibles matrices de Jordan para f , sólo nos quedamos con las que cumplen1

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esta condición:

J1 =

2

2

2

3

J2 =

2

2

1 2

3

J3 =

2

1 2

1 2

3

J4 =

2

3

1 3

1 3

El siguiente filtro es comprobar todas las que tienen dos rectas invarian-

tes: la combinación de los vectores directores de las rectas invariantes

formará un plano que contendrá infinitas rectas invariantes, que es la se-

gunda condición que debe cumplir el endomorfismo. Las rectas invarian-

tes están relacionadas con los subespacios asociados a los autovalores:

ker (f − λid). Si tomamos v ∈ V4 (R) = (x, y, z, t):

ker (J1 − 2id) := (t = 0)

ker (J1 − 3id) := (x = y = z = 0)

Tenemos una sola recta invariante, ker (f − 3id).

ker (J2 − 2id) := (z = t = 0)

ker (J2 − 3id) := (x = y = z = 0)

De nuevo, sólo tenemos una recta invariante, ker (f − 3id).

ker (J3 − 2id) := (y = z = t = 0)

ker (J3 − 3id) := (x = y = z = 0)

Tenemos dos rectas invariantes. La combinación lineal de rectas inva-

riantes también será invariante, de manera que tenemos infinitas rectas

invariantes (contenidas en el plano que generan).

ker (J4 − 2id) := (y = z = t = 0)

ker (J4 − 3id) := (x = y = z = 0)

Tenemos dos rectas invariantes. La combinación lineal de rectas inva-

riantes también será invariante, de manera que tenemos infinitas rectas

invariantes (contenidas en el plano que generan).2

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Es decir, al final del día, sólo tenemos dos candidatas:

J3 =

2 0 0 0

1 2 0 0

0 1 2 0

0 0 0 3

J4 =

2 0 0 0

0 3 0 0

0 1 3 0

0 0 1 3

�

Ejercicio 3.

1. (2pts) Obtenga la matriz de una simetría σ de V3 (R) cuya base es el

plano π := (x− y = 0) y cuya dirección es la recta r := (x+ y = 0, z = 0).

2. (1pt) Obtenga la matriz de Jordan de σ y una base ε′ tal que Mε′ (σ) =

J .

Demostración. 1)

Una simetría σ deja invariantes los vectores pertenecientes al subespacio

vectorial base e invierte los vectores de la dirección de la simetría.

σ (v) = v ∀v ∈ π

σ (w) = −w ∀w ∈ r

Obtenemos los vectores generadores de π y r

π := (x− y = 0) :=

⟨ 0

0

1

,

1

1

0

⟩

r := (x+ y = 0, z = 0) :=

⟨ 1

−10

⟩

Obtenemos los coeficientes de la matriz Mε (σ) =

a d g

b e h

c f i

utilizando

las propiedades de la simetría sobre los vectores de la base y la dirección

de σ. Empezamos con los vectores de la base:

σ (v) = v3

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a d g

b e h

c f i

0

0

1

=

0

0

1

=

g

h

i

⇒ g = 0 = h, i = 1

a d 0

b e 0

c f 1

1

1

0

=

1

1

0

=

a+ d

b+ e

c+ f

⇒d = 1− a

e = 1− e

f = −c

Ahora los vectores de la dirección: a 1− a 0

b 1− e 0

c −c 1

1

−10

=

1

−10

=

a− 1 + a

b− 1 + b

c+ c

⇒2a = 0→ a = 0

2b = 2→ b = 1

2c = 0→ c = 0

De manera que hemos obtenido todos los coeficientes de la matriz Mε (σ)

Mε (σ) =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

�

Demostración. 2)

La matriz de Jordan Jσ de una simetría contiene n elementos 1 y m ele-

mentos −1 en la diagonal, siendo n igual a la dimensión de la base y m

igual a la dimensión de la dirección de la simetría. En nuestro caso:

Jσ =

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

Los vectores de la base ε′ en los que Mε′ (σ) = Jσ son:4

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Jσ (e′1) = e′1 ⇒ e′1 ∈ Im (σ)⇒ e′1 ∈ π

Jσ (e′2) = e′2 ⇒ e′2 ∈ Im (σ)⇒ e′2 ∈ π

Jσ (e′3) = −e′3 ⇒ e′3 ∈ ker (σ + id)⇒ e′3 ∈ r

Como vemos, los vectores de la base ε′ forman parte de los subespacios

base y dirección, por lo que elegimos los vectores generadores:

ε′ =

0

0

1

,

1

1

0

,

1

−10

�

Ejercicio 4. En el espacio afín A3 (R) se considera el endomorfismo afín f

cuya matriz respecto al sistema de referencia ε es

Mε (f) =

1 0 0 0

1 1 −1 −12 0 2 0

−2 0 0 2

1. (2pts) Obtenga la matriz de Jordan Jf y un sistema de referencia

tal que Mε′ (f) = Jf .

2. (2pts) Obtenga las ecuaciones de las rectas invariantes por f en el

sistema de referencia ε′.

Demostración. 1)

Para buscar la matriz de Jordan Jf de f primero buscamos si f tiene

puntos fijos.

f (p) = p1 0 0 0

1 1 −1 −12 0 2 0

−2 0 0 2

1

a

b

c

=

1

a

b

c

=

1

1 + a− b− c2 + 2b

−2 + 2c

a = 1 + a− b− c→ 0 = 1 + 2− 2⇒ 1 = 0!

b = 2 + 2b→ −2 = b

c = −2 + 2c→ 2 = c5

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Como vemos, llegamos a contradicción, por lo que f no tiene puntos fijos.

Esto indica que la forma de Jf es

Jf =

1 0 0 0

1

0 J~f0

Ahora buscamos la forma de Jordan J~f de la aplicación asociada ~f . Cal-

culamos su polinomio característico χ~f (λ) = det(−→f − λ

−→id)

χ~f (λ) =

∣∣∣∣∣∣∣1− λ −1 −10 2− λ 0

0 0 2− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = (1− λ) (2− λ)2

Tenemos dos valores propios, λ = 1 y λ = 2 (con multiplicidad 2), de manera

que la forma de Jordan J~f es

J~f =

1 0 0

0 2 0

0 ε 2

donde ε = {0, 1}. Para determinar ε aprovechamos que el rango es un

invariante lineal

rg(ker(−→f − 2

−→id))

= rg(ker(J−→f− 2−→id))

rg

−1 −1 −10 0 0

0 0 0

= 1 = rg

−1 0 0

0 0 0

0 ε 0

⇒ ε = 0

De manera que la forma de Jordan J~f es

J~f =

1 0 0

0 2 0

0 0 2

Y la forma de Jordan Jf del endomorfismo afín f

Jf =

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 2

�

6

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Demostración. 2)

Ahora buscamos las rectas afines invariantes por f en el sistema de refe-

rencia ε′ (por lo que utilizaremos la matriz Jf ).

Primero, buscaremos las rectas vectoriales invariantes−→Ri por ~f y después

comprobaremos si el vector ~v = f (p)−p pertenece a estas rectas vectoriales

invariantes. Si es así, entonces la recta afín R = p+−→Ri será invariante por

f .

Buscamos las rectas vectoriales (asociadas a los valores propios λ)

ker(J~f −

−→id)=

0 0 0

0 1 0

0 0 1

x

y

z

=

0

0

0

⇒ y = 0 = z

ker(J~f −

−→id):= (y = 0, z = 0) :=

⟨ 1

0

0

⟩ ≡ ~R

Tenemos una recta vectorial invariante por ~f .

Comprobamos si tenemos otra asociada al autovalor λ = 2

ker(J~f − 2

−→id)=

−1 0 0

0 0 0

0 0 0

x

y

z

=

0

0

0

⇒ x = 0

ker(J~f − 2

−→id):= (x = 0) :=

⟨ 0

1

0

,

0

0

1

⟩ ≡ ~πTenemos un plano vectorial invariante por ~f .

Sólo estamos interesados en las rectas invariantes. El siguiente paso es

comprobar si el vector contruido como ~v = f (p)− p ∈ ~R.

~v =

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 2

1

a

b

c

−

1

a

b

c

=

1 + a− ab

c

=

1

b

c

7

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Es decir, que ~v ∈ ~R ⇐⇒ b = c = 0, por lo que tenemos una recta afín

invariante:

R =

1

1

0

0

+

⟨ 1

0

0

⟩

�

8