Práctica preparatoria para el 2do examen parcial

35
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDR ´ ES FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES Pre-Facultativo 4 x 3 4 x 3 4 x 3 4 x 3 ···∞ 5 x 4 5 x 4 5 x 4 5 x 4 ···∞ × log 5 1 25 2 + 1 25 4 + 1 25 6 + ······ 1 25 4 + 1 25 6 + 1 25 8 + ······ 1 2 ξττo s Coordinador: Dr. Mario ξττo s Chavez Gordillo PhD. Pr ´ actica Preparatoria para el 2 do Examen Parcial Introducci ´ on a la Matem ´ atica, MAT-99 2014 - 2 do semestre Contenido CAP 1. L´ogica Proposicional CAP 5. Ecuaciones de Primer y Segundo grado CAP 2. Teor´ ıa de Conjuntos CAP 6. Sistemas de Ecuaciones CAP 3. Sistemas Num´ ericos CAP 7. Exponenciales y Logaritmos CAP 4. Expresiones Algebraicas CAP 8. Inducci´on Matem´atica y Divisibilidad Calendario Acad´ emico PARCIAL CAP ´ ITULOS FECHA PUNTOS Inicio de Clases Lunes 18 de Agosto del 2014 Primer Parcial 1, 2 y 3 S´abado 11 de Octubre del 2014 50 puntos Segundo Parcial 4, 5, 6 y 7 S´abado 13 de Diciembre del 2014 50 puntos Culminaci´on del curso Mi´ ercoles 17 de Diciembre del 2014 A B S + - S W u W s s 0 (s ) ( ) W u 0 (s ) s s s + - + - W ( ) s s + - u g g 0 1

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES

Pre-Facultativo

4

x34

x3 4√

x3 4√

x3 · · ·∞

5

x45

x4 5√

x4 5√

x4 · · ·∞× log5

1

252+

1

254+

1

256+ · · · · · ·

1

254+

1

256+

1

258+ · · · · · ·

1

2

ξ τ τ o

s

Coordinador: Dr. Mario ξττo∫s Chavez Gordillo PhD.

Practica Preparatoria para el 2do Examen Parcial

Introduccion a la Matematica, MAT-99 2014 - 2do semestre

Contenido

CAP 1. Logica Proposicional CAP 5. Ecuaciones de Primer y Segundo gradoCAP 2. Teorıa de Conjuntos CAP 6. Sistemas de EcuacionesCAP 3. Sistemas Numericos CAP 7. Exponenciales y LogaritmosCAP 4. Expresiones Algebraicas CAP 8. Induccion Matematica y Divisibilidad

Calendario Academico

PARCIAL CAPITULOS FECHA PUNTOS

Inicio de Clases Lunes 18 de Agosto del 2014Primer Parcial 1, 2 y 3 Sabado 11 de Octubre del 2014 50 puntosSegundo Parcial 4, 5, 6 y 7 Sabado 13 de Diciembre del 2014 50 puntosCulminacion del curso Miercoles 17 de Diciembre del 2014

AB

S+

-S

Wu

Wss

0(s )

( )

Wu

0(s )s

s

s+

-

+

-

W ( )

s

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-

u

g

g

0

1

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 2

Capıtulo IV. Expresiones Algebraicas

Operaciones con los polinomios .

1. Simplificar: 2(5[x − 2(x − 1) + 6] + 1)2. Realizar las operaciones y simplificar: x(x + 4) − (x + 2)(x − 1)3. Simplificar la expresion 2{3x − 2[4(x − 2) + 1]} + x4. Substraiga la expresion algebraica:

((3

5

)

x2y +

(7

3

)

xy2 − 11x + 12y

)

−((

8

3

)

xy2 +

(7

5

)

x2y + 8x − 11xy

)

5. Simplificar: 5[a(a + b) − 3b(b − a) − 3ab(1 − a)]

6. En cada uno de los polinomios siguientes identificar los terminos semejantes.

c) xy2 + x2y2 − 3x2y + 7x2y

d) 3(x + y) − 5(x + y) + 2(x − y)

e) 76p4qr2s3 + 76p2q2rs4 − 33p4qr2s3 + 21p2q2rs4

7. Escribir 3 terminos semejantes de grado 2.

8. Realizar las siguientes operaciones algebraicas.c) (+8x2y2) + (11x2y2) + 30(x2y2)d) 6y2 − x2 + 10xy + 8x2

e) 5a3b2 − 5c2d4 − 4a3b2 + 6b2a3 − 3c2d4

f) 10p3q2r2s4 − 10s2r4q3p2 + 8s4r2q2p3 − 8p2q3r4s2

9. Reducir los siguientes terminos semejantes

B = 3xy + 2x2y − 6x2y2 − (6x2y2 − 5x2y + 3xy)

10. Simplificar la siguiente operacion algebraica.

10p3q2 − 2r2s4 − 10s2r4 + q3p2 + 8s4r2 − 2q2p3 − 8p2q3 + r4s2

11. En cada uno de los siguientes ejercicios calcular la suma de las expresiones algebraicas:

(a) 8x + y + z + u, −3x − 4y − 2z + 3u, 4x + 5y + 3z − 4u, −9x − y + z + 2u.

(b) a2 − ab + 2bc + 3c2, 2ab + b2 − 3bc − 4c2, ab − 4bc + c2 − a2 , a2 + 2c2 + 5bc − 2ab.

(c) m3 − n3 + 6m2n, −4m2n + 5mn2 + n3, m3 − n3 + 6m2n , −2m3 − 2m2n + n3.

12. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la diferencia obtenida al restar la segunda expresionde la primera.

(a) x3 − 4x2 + 2x − 5, −x3 + 2x2 − 3x − 3.

(b) 5a4 + 9a3b − 40ab3 + 6b4, 7a3b + 5ab3 − 8a2b2 + b4.

(c)3

5x4 +

3

4x3y − 5

7xy3 +

2

3y4, x4 +

5

8x2y2 − 1

3xy3 +

5

6y4.

13. En cada uno de los siguientes ejercicios hallar el producto indicado

(a)

(

−1

3x4y2

)(

−5

7a3x4y3

)

.

(b)(

5a2xy2)(

− 3x3 + 5x2y − 7xy2 − 4y3)

.

email [email protected] 2 βo∫ιυατ

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 3

(c)(

a + 2b)(

a2 − 2ab + 4b2)

.

(d)(

a2 − a + 1)(

a4 − a2 + 1)(

a2 + a + 1)

.

(d)

(2

5m2 +

1

3mn − 1

2n2

)(3

2m2 + 2n2 − mn

)

.

14. Realizar las operaciones y simplificar:a) (2a2 + 3ab + c) + (2c − 5a2 − ab).b) (5x4 − 2a2 + 4xy) − (2x4 + 5a2 − xy) + 3x4 + 2a2 + xy).c) (4x + x4 − 5x3 + 2)(2x − 3 + x2).d) (4x4 − 5x3 + x2 − 2x + 2)(x2 − 2x + 2).e) (4ab3 − 3a2bc + 12a3b2c4) : (−2ab2c3).f ) (x4 + xy3 + x3y + 2x2y2 + 4) : (xy + x2 + y2).

15. Dados dos polinomios Q1(x) = x5 + 2x3 + 4x2, y Q2(x) = x3 − 2x2, encuentre los siguientespolinomios: P1 = Q1 + Q2, P2 = Q1 − Q2, P3 = Q1 ∗ Q2.

16. Dados dos polinomios Q1(x) = 2x5 − x4 − 3x3, Q2(x) = x2 + x encuentre los siguientes polinomios:P3 = Q1 ∗ Q2, P3 = Q1

Q2

17. Multiplicar los polinomios (5x2y + 3xy2)(3x3 − 2x2y + xy2 − 4y3)

18. Hallar los valores de m y n para que el polinomio x3 + mx2 + nx− 6, sea divisible por x2 − 5x + 6.

19. Hallar el valor de m para que la division de x4 + 2x3 + 3x2 + mx − 7 entre x + 2 tenga resto 3.20. ¿Cual es el residuo de la siguiente division? (3x5 − 2x4 + 3x3 − 2x2 − x − 1) ÷ (x − 2)

21. Determine el valor de 3√

α +√

α − β si la division de x4−3x3y+x2y2+αxy3+βy4 entre x2−xy+y2

tiene resto igual a 7xy3 + 8y4.

Teorema del Resto y Ruffini

1. Sabiendo que p(x) = 2x3 − 3x2 + 5x − 4, calcula el resto de las siguientes divisiones:

p(x) : (x − 1), p(x) : (x − 3),p(x)

x + 2,

p(x)

x + 3

2. Determine el cociente y el resto.a) 2x4 − x3 − 18x2 − 7 divido por (a) x − 3, (b) x + 3.b) 3x4 − 7x − 20 divido por (a) 2 − x, (b) x + 2.c) x5 − 2x4 + 2x3 − 5x2 + 2x + 5 divido por (a) x − 1, (b) 2x + 1.

3. Halle k de manera que se satisfaga la condicion indicada.a) x3 + kx2 + 3x − 12 divido por x − 2, tenga resto igual a 4.b) 2x3 − 5x2 + kx + 3 divido por x + 1, sea division exacta.

4. Calcula el valor de a para que el resto de la division 2x3−5x+4ax−3

sea 18.

5. Calcula el valor de a para que el resto de la divison p(x)x+2

sea -3 siendo p(x) = 2x2 + 3ax − 5

6. Utilizar Ruffini para descomponer los polinomios en producto de binomios de grado 1.

(1) p(x) = 5x2 − 3x − 2 (2) q(x) = x3 + 2x2 − 5x − 6 (3) h(x) = x4 − 10x2 + 9

(4) p(x) = x4 + 7x3 + 12x2 (5) q(x) = x5 − 2x4 − 8x3 (6) h(x) = 2x8 − 6x6 − 4x5

email [email protected] 3 βo∫ιυατ

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 4

Las fracciones algebraicas

1. Simplifica las siguientes expresiones:

(1)x + 1

x2 − 1(2)

x2 − 4

x2 − 4x + 4(3)

x2 − 1

x − 1(4)

x2 − 4x + 3

x3 − 6x2 + 11x − 6

(5)x2 − x

x3 − x2(6)

x2 − 3x + 2

x2 − x − 2(7)

(3xy)3 − 6x2y4

24(x3y)2(8)

x4 + x3 + x2

3x23x + 3

2. Simplificar:

(a)36xy4z2

−15x4y3z(b)

75a7m5

100a3m12n3(c)

ax4 − a2x3 − 6a3x2

9a4x − a2x3(d)

2x2 − 9x − 5

10 + 3x − x2

3. Simplificar:

(4x2 + 4xy − 3y2)

(x2 − 2xy − 3y2)· (2x2 − xy − 3y2)

(4x2 − 9y2),

2x + 1

x2 − 4+

x

x + 2− 3x − 1

x2 − 4x + 4

4. Opera las siguientes fracciones algebraicas (sumar o restar), haciendo mcm:

(a)8

x2 + 2x− 4x

2x + 4(b)

1

x2− x + 1

x2 + x(c)

1

2x − 1− x + 1

(2x − 1)2

5. Ahora, no hay que aplicar el mcm, puesto que solo vamos a multiplicar y dividir. Descompon lospolinomios en producto de factores, y simplifica:

(a)2x

x − 1· x2 − 4

2(b)

3x + 3

3x· x2 − 3

x2 − 9(c)

3x

2x − 2:

2x

x − 1(d)

x2 − x

x − 3:

4x − 4

x2 − 9

6. Ahora complicamos un poco mas las cosas. Combinamos sumas y restas con multiplicaciones ydivisiones de fracciones algebraicas.

(a)

(1

x+

2

x2

)

· 3x2

x + 2, (b)

(

x +x

1 − x

)

:

(

x − x

1 − x

)

, (c)

(

x +1

y

)

÷(

x − 1

y

)

email [email protected] 4 βo∫ιυατ

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7. Simplificar las expresiones.

(a)t − 5

25 − t2. (b)

x2 − 9x + 18

3x2 − 5x − 12.

(c)(a + b)2 − 4ab

(a − b)2. (d)

(x − y)2 − z2

(x + z)2 − y2.

(e)a2 − b2 + a − b

a2 + 2ab + b2 − 1. (f)

(x + y)2 − 4(x + y)a + 3a2

x2 + 2xy + y2 − z2.

(g)x2

x + 1− 1

x + 1. (h)

y2 − 2

y2 − y − 2+

y + 1

y − 2.

(i)3

y2 − 9− 2

y2 + 6x + 9. (j)

2x

4x3 − 4x2 + x− x

2x3 − x2+

1

x3.

(k)xy3 − 4x2y2

y − x:

16x2y2 − y4

4x2 − 3xy − y2. (l)

1

x + y− 1

x − y2y

x2 − y2

.

(m)z2 − 49

z2 − 5z − 14:

z + 7

2z2 − 13z − 7. (n)

x

1 − 1

1 +x

y

.

(o)

6

x2 + 3x − 10− 1

x − 21

x − 2+ 1

. (p) 2 − 2

1 − 2

2 − 2

x2

.

8. Realizar la operacion y simplificar su respuesta

(1)

2x − 2y

3zx − y

6z3

(2)

a

b+

b

aa

b− b

a

(3) 1 +1

1 +

1

1 +1

x

(4)

2

x + 2− 4

x2 − 4

x − 8

x − 2

(5)

a2 − 2ab + b2

a2 − 2aba2 − b2

a2 − ab − 2b2

(6)

email [email protected] 5 βo∫ιυατ

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 6

Productos Notables

1. Resolver empleando productos notables: (b + 4)2

2. Resolver empleando productos notables: (5 − c)2

3. Representar el area de un cuadrado cuyo lado es: (x+7) m.

a)x2 + 49, b)x + 49, c)x2, d)x2 + 14x + 49, e)x2 + 7.

4. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a − b). Subraye el inciso correcto.

a)a2 − b2, b)ab, c)a2 + b2 − a − b, d)1, e)a − b.

5. Hallar: (2c + 1)(2c − 1). Subraye el inciso correcto

a)4c − 1, b)4c2 − 1, c)4c2 + 2c − 1, d)2c2 + 1, e)4c2 + 2.

6. Hallar: (1 − 2a)(2a + 1)7. Resolver empleando productos notables: (x2 + a2)(x2 − a2)

a)x2a2, b)x4 + a4, c)x2 + a4, d)x4 − a4, e)x4 − x2 + a2x2

8. Resolver empleando productos notables: (x + y + 3)2

9. Resolver empleando productos notables: (2x + 3y − 2)2

10. Resolver empleando productos notables: (a + b)(a2 − ab + b2)

a)a3 + ab + a3, b)a3 + b3, c)a3 + ab2 + a2b + b3, d)a3 − b3e)N.A.

11. Realice las operaciones que se indican.

(a) 2xy(3x2y − 4xy2 + 5y3). (b) (3a + 5b)(3a − 5b).(c) (x − 5y)(x + 3y). (d) (5x + 3y)(2x− 7y).(e) (2x + 1)3. (f) (x − 2y2)2(x + 2y2)2(x2 + 4y4)2.(g) (y + 2)(y − 2)(y2 + 4)(y4 + 16). (h) (x − 2)3(x + 2)3.(i) (3x + 4y)2 (j) (x2 − 9)(x2 + 9)(k) (4 − 3x2y)(4 + 3x2y) (l) (2xa+4 − 8ya−1)3

12. Simplificar:(√

a2 + b2 − a) (√

a2 + b2 + a)

13. Si ab + ac + bc = 5 y a2 + b2 + c2 = 3 calcular a + b + c =?

14. Si x + y = 12 y x2 + y2 = 60 calcular x3 + y3 =?.

15. Si ab(a + b) = 1 y a3b3(a3 + b3) =5

2calcular F = a2b2(a2 + b2).

16. Sia + b

ab=

4

a + bel valor de F =

√a2 + 3b2

5a − 2b+

a

bes: Respuesta.- F = 2.

17. Si m + n = 1 el valor de F = 6(m2 + n2) − 4(m3 + n3) es: Respuesta.- F = 2.

18. Si√

x + b +√

x − b = b; x ≥ b > 0, el valor de F =√

x + b −√

x − b es: F = 2 .

19. Si

√m

n+

√n

m= 7, el valor de F = 8

√m

n− 8

√n

mes: F = 1 .

20. Si1

a+

1

b=

4

a + bdonde ab 6= 0, el valor de F =

n

(a + b)n+1

an+1 + bn+1es: F = 2 .

21. Si mn(m + n) = 1, m2n2(m2 + n2) = 2 el valor de F = m3n3(m3 + n3) es:5

2

email [email protected] 6 βo∫ιυατ

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22. Si 8m2

n− n2

m= 6(2m − n) el valor de F = 4

(m

n+

n

m

)

es: F = 10 .

23. Si x3 + y3 = 10, xy = 6 el valor de F = (x + y)3 − 18(x + y) + 20 es: F = 30 .

24. Sabiendo queb

a+

b2

a2= −1

4el valor de F =

a + 3b

b+

8b2

a2es: F = 3 .

25. Sabiendo que m > n, ademas 3

√m

n+ 3

√n

m= 3, el valor de F =

√m

n−√

n

mes: F = 4

26. La simplificacion de E =(a + b)4 + a4 + b4

[

(a − b)2 + (a + b)2 + 2ab]2 es: E =

1

2.

27. Si a + b + c = 3 con a 6= 0, b 6= 1, c 6= 2, el valor de F =a3 + (b − 1)3 + (c − 2)3

a(b − 1)(c − 2)es: F = 3.

28. Si se cumple x2 − 3x + 1 = 0 el valor de F =x7 − x5 + x3

x5es F = 6.

29. Si(a

b

)n

+ 4

(b

a

)n

= 725 con a, b reales positivo, halle el valor de F = 3

√an + 2bn

√anbn

. Respuesta.-

F = 3.

30. Si x4 + x−4 = 34, halle el valor de F = x + x−1. Respuesta.- F = 2.

31. Conociendo m + n = mn + 2 = 3 calcular el valor numerico de F = m5 + n5. Respuesta.- F = 123.

32. Sabiendo que m+n = mn = 5 calcular el valor numerico de F =m2 + n2 + 5

m3 + n3 + 10. Respuesta.- F =

1

3.

33. Si1

m+

1

n=

1

m + nhallar el valor de F =

(m + n)6 − 6(m6 + n6)

(mn)3. Respuesta.- F = −11.

34. Si m + n + p = 0 calcular el valor numerico de F =m2

np+

n2

mp+

p2

mn. Respuesta.- F = 3.

35. Si a2 + b2 = 62ab halle el valor numerico de F =

(a + b√

ab

)1

3. Respuesta.- F = 2.

36. La simplificacion de E =

√√√√

(

x3 + 2x2 + 2x + 1)(

x3 − 2x2 + 2x − 1)

x2 − 1+ x2 es: E = x2 + 1

37. Simplificar(

a2b + abba + b2a + ab − ba)2

−(

a2b + abba + b2a − ab + ba)2

Respuesta.- 4a3b − 4b3a.

38. Si x + y = a, xy = b y ademasx3 + y3

5xy(x + y)=

1

5, la relacion entre a y b es: Respuesta.- a = 2

√b.

39. Sabiendo que a(a

b− 3)

= b

(b

a− 3

)

, al efectuar (a− b + c)3 − (a− b− c)3 se obtiene: Respuesta.-

2c3

email [email protected] 7 βo∫ιυατ

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 8

Binomio de Newton

1. indicar el valor de p en (x5 + yp)30, si el termino 16 contiene a x75y60. Respuesta p = 4.

2. Hallar el termino independiente de x en el desarrollo de

(√x +

1

3x2

)10

. Respuesta t3 = 5.

3. Hallar el quinto termino de

(

4√

x − 1√x

)8

. Respuesta t5 =70

x.

4. El exponente de un binomio excede en 3 al de otro. Determinar estos exponentes sabiendo que lasuma de los coeficientes de ambos binomios es 144. Respuesta.- los exponentes son a = 7 y b = 4.

5. Cuantos terminos debe poseer el binomio de la forma

(x

y8+

y2

4√

xn−4

)n

, si en el desarrollo existe

un numero independiente de x e y. Respuesta.- 6 terminos.

6. Del siguiente binomio, hallar el coeficiente del termino independiente:

(a2

2b3+

4b2

a4

)6

. Respuesta.-

No existe termino independiente.

7. Los coeficientes de los terminos quinto, sexto y septimo del desarrollo del binomio (1 + x)n formanuna progresion Aritmetica. Hallar n. Respuesta.- n = 7, n = 14.

8. Determinar el lugar que ocupa el termino a7 en el desarrollo del binomio

(3

4

3√

a2 +2

3

√a

)12

.

Respuesta.- 7mo lugar.

9. Hallar para que valores de x, la diferencia entre los terminos cuarto y sexto en el desarrollo del

binomio

(√2x

16√

8+

16√

32√2x

)m

es igual a 56, sabiendo que el exponente del binomio m es menor que el

coeficiente binomico del tercer termino del desarrollo en 20 unidades. Respuesta.- x = 1.

10. Hallar el lugar que ocupa el termino del desarrollo del binomio

(

3

√a√b

+

√b

13√

a

)21

, que contiene

a y b elevados a la misma potencia. Respuesta.- 10mo lugar.

11. Si(a + b)4 − (a − b)4

(a2 + b2)2 − (a2 − b2)2= 4, halle el valor de F =

7a + 3b

a + 4b. Respuesta.- F = 2.

12. Simplificar la expresion

(a + 1

a2/3 − a1/3 + 1− a − 1

a − a1/2

)10

y determinar el termino del desarrollo que

no contiene a a. Respuesta.- 210.

13. Hallar el termino decimo tercero del desarrollo

(

9x − 1√3x

)m

, sabiendo que el coeficiente del tercer

termino del desarrollo es 105. Respuesta t13 =455

x3.

14. En el desarrollo de(

x2 − a

x

)m

, los coeficientes de los terminos cuarto y decimotercero son iguales.

Hallar el termino que no contiene x. Respuesta 3003a10.

15. ¿Para que valores de n, los coeficientes de los terminos segundo, tercero y cuarto del desarrollo delbinomio (1 + x)n forman una progresion Aritmetica. Respuesta.- n = 7.

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 9

16. Hallar x en la expresion

(

3√

2 +13√

3

)x

sabiendo que en el desarrollo del binomio la relacion entre

el septimo termino contando desde el principio y el septimo termino contando desde el final vale1

6.

Respuesta x = 9.

17. Determinar para que valor de x, el cuarto termino del desarrollo del binomio:

(√2x−1 +

13√

2x

)m

es 20 veces mayor que el exponente del binomio, sabiendo que el coeficiente binomico del cuartotermino es 5 veces mayor que el del segundo termino. Respuesta x = 4.

18. Los terminos de lugares septimo y noveno en el desarrollo del binomio:

(√13

2x + y2

)n

tienen

coeficientes iguales. Halle el valor de n. Respuesta.- n = 20.

19. En el desarrollo del binomio: (xa + yb)c se tienen los terminos: dx12y10, dx15y8 que estan incluidosen el desarrollo. Calcular el valor de: a + b + c + d. Respuesta.- 140

20. El decimo termino del binomio

(x

y+

y

x

)n

es 20y6

x6, determinar n. Respuesta n = 12.

21. En la expresion

(5√

a4

x√

ax−1+ a

x+1√

ax−1

)5

determinar x para que el cuarto termino del desarrollo del

binomio valga 56a5,5. Respuesta x = 2 o x = −5.

22. En la expresion

(

2x√

2−1 +4

4−x√

4

)6

determinar x para que el tercer termino del desarrollo del

binomio valga 240. Respuesta x = 2.

Cocientes Notables

1. En el cociente notable:x12 − y20

x3 − y5cuantos terminos centrales tiene. Respuesta.- 2

2. Calcular el termino 47 contando del extremo final del desarrollox111 − a111

x − a. Respuesta.- x46y64

3. Cual es el lugar que ocupa un termino en el siguiente cociente notable, contando a partir del primertermino, sabiendo que la diferencia del grado absoluto de este termino con el grado absoluto del

termino que ocupa la misma posicion contando a partir del extremo final es 9.x350 − y140

x5 − y2.

4. Dado el cociente notablex21 − y21

xn − ymdeterminar el valor de m y n sabiendo que el cuarto termino es

a la vez el termino central. Respuesta.- n = m = 3

5. En el cociente generado porxa − yb

x3 − y7existe un termino central que es igual a xcy231, hallar e valor

de a + b + c. Respuesta.- 769

6. En el cociente notablex12 − y18

x2 − yn. Determinar el valor de n, el numero de terminos y encontrar el

cociente de sus terminos centrales. Respuesta.- 3; 6; x2/y3.

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 10

7. Dado el cociente notablex6n+3 + a6n−22

x(n−6)/2 + a(n−8)/2. (a) Calcular el valor de n. (b) Calcular el numero de

terminos. (b) Calcular el termino 19. Respuesta.- 12; 25; x18a36

8. Para el cociente notablex3n+9 + y3n

x3 + y2. Calcular el valor numerico del termino central para x = 1;

y = 2. Respuesta.- 256

9. El termino numerico 5 del cociente notablex50 − y30

x5 − y3es: Respuesta.- x25y12

10. En el cociente notablexm − yn

x3 − y5se conoce que el numero de terminos es ocho. Hallar el quinto

termino. Respuesta.- x9y20

11. Para el cociente notablex15m − y15n

xmy3 − yn+3se sabe que el octavo termino es x4y42. Hallar el ultimo

termino. Respuesta.- y87

12. Siendo A el decimosexto termino del cociente notable dea100 − 1

a5 − 1, proporcione el termino central

deA11 + b44

A + b4. Respuesta.- −a100b20.

13. Hallar el tercer termino del cociente notablex50 − yn

x2 − y3. Respuesta.- x44y6

14. Calcular E =t1 × t8t10 × t5

dex105 + y147

x5 + y7. Respuesta.- x30y−42.

15. Hallar el cociente notablexα − yβ

x3 − y4si

t6 × t9t7

= x12y28. Calcule α + β Respuesta.- 84.

16. En el cociente notableym − z30

y2 − zn. Si el cuarto termino es de grado relativo respecto a z igual a 9,

calcular la relacion entre los terminos centrales. Respuesta.- y2/z3

17. Dado el cociente notablex21 − y21

xn − ym. Hallar el valor de E en la siguiente ecuacion

E =

√√√√

m

n

m

n√

m√

n.................. si m es igual al numero de terminos. Respuesta.-√

21

18. Para que valores de α y β la siguiente expresion es un cociente notable:5α+β − zα3+β3

5αβ + zMdonde

M = α4 − α3β + α2β2 − αβ3 + β4, si se cumple que α + β =5

2. Respuesta.- α =

1

2, β = 2.

19. Hallar el coeficiente de x24 en el cociente dex45 − 243

x3 − 3√

3. Respuesta.- 9

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 11

20. Si en el cociente notablex3n−3 − y3n−3

x2p2−1 − y2p2−1

el segundo termino es x210y15. Calcular E =

4p2n

5. Respuesta.- 4

Factorizacion

1. Factorizar(1) (5x − 2y)x2 − (5x − 2y)6xy (2) 3x3 − 6x + 9

(3) 8b2m2 + 32b2m + 6bm2 (4) y6 − y4

(5) 5y(3x + 7) − 2m(3x + 7) (6) xm+nym − x2nym+n − xny2m

(7) xm+nym − x2nym+n − xny2m (8) −44axn + 286a2xn+1 − 66a3xn+2

(9) 26a4 − 39a3x + 13a3 (10) 4x3 + 4x2 − 9x − 9

(11) a3 − a2b − ab2 + b3 (12) y4 + 4

(13) max + mby + mbx + may (14) 36am − 45an + 4m − 5n

(15) 3ax − ay − 3bx + by (16) ax − 6x − 6a + 36 + bx − 6b

(17) x3n − xny2m + x2nym − y3m (18) (xm+n)2 − (xman)2 − (xnam)2 + (am+n)2

2. Factorizar(1) 9x2 + 12xy + 4y2 (2) 81z6 − 90z3w2 + 25w4

(3) x2 + 3x − 4 (4) 6x2 + 11x − 10

(5) 4x2 − 4xy − 3y2 (6) x2 + 18x + 81

(7) 9x2 − 48xy + 64y2 (8) a2b2 − 20ab + 100

3. Factorizar

(1) x2 − 81 (2)9x2

a2− y2

b2(3) 16A2 − 25B2 (4) 4(x + 3y)2 − 9(2x − y)2

(5) 8x3 + 27y3 (6)p3

64− q3

125(7) (x − a)3 + b3 (8) (2x − 5)2 − (3x − 5)2

(9)9

z4− 25x4 (10) 8x3 − 27y3 (11) 64(m + n)3 − 125 (12) (x + y)3 − (x − y)3

4. Factorizar x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

5. Factorizar x3n − xny2m + x2nym − y3m.

6. Factorizar 9(x − y)2 + 12(x − y)(x + y) + 4(x + y)2

7. Factorizar 144a2b8 · 25a10 − 49c4 · 25a10 − 144a2b8 + 49c4

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 12

8. Factorizar 16x2 · 64a6b6 − 225(3m − n)2 · 64a6b6 + 16x2 − 225(3m − n)2

9. Factorizar 13x2y2 · 3a − 52y4 · 3a − 13x2y2 · 9a2 + 52y4 · 9a2

10. Factorizar 5x4y + 3x3y − 9y2 − 15xy2

11. Factorizar a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1

12. Factorizar 9(x − y)2 + 12(x − y)(x + y) + 4(x + y)2

13. Factorizar las siguientes sumas y/o restas:

i) (x − 5)(x − 7)(x + 6)(x + 4) − 504 ii) x4 + 324y4

14. Factorizar: 2y2 + 7y + 3, 16t2 + 8t + 1, x3 + 5x2 + 6x, 2x3 − 16, 8x2 + 6x − 2715. Factorizar (x + 8)4(x + 2)3 − (x + 8)3(x + 2)4

16. Factorizar: a4 − 8a2b2 − 9b4

17. Factorizar: x−2 + 8x−1 − 2018. Factorizar; 16x2y2 − 81a2b2c2, x2y2 − 36y4, 4(x + 3y)2 − 9(2x − y)2.19. Factorizar: 8x3 − 27y3, 64(m + n)3 − 125, (x + y)3 − (x − y)3.20. Factorizar: 3ax − ay − 3bx + by, x2 − 4y2 + x + 2y, x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

21. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas

(a) 14a2b − 35ab − 63ab2. (b) 2(x − y)r2 + 2(x − y)rh.(c) a2(s + 2t)2 + a(−s − 2t). (d) (x + y)2 − 49z2.(e) 100a4 − (3a + 2b)2. (f) (a − 2b)2 − 2(a − 2b)c − 15c2.(g) 6(x + y)2 − 5(x + y) − 6. (h) 8x2 + 22x(y + 2z) + 5(y + 2z)2.(i) p4 + q4 − pq3 − p3q.

Racionalizacion

1. Racionalicemos el denominador en la siguiente expresionh√

x + h −√x

,3√

x − 3√

y

x − y

2. Racionalizar el denominador

(a)3√

5 +√

2(b)

x +√

x2 − 1

x −√

x2 − 1(c)

a√

b − b√

a

a√

b + b√

a(d)

√3√

2 +√

3 −√

5

Simplificacion de expresiones con exponentes enteros

1. Usando las propiedades de exponentes, simplificar.

(a)

[30

4−2

]−2

. (b)a−1 + b−1

(a + b)−2.

(c)

[(cd)−2n

c−2nd−2n

]5n

. (d)3pq+q

3pq+p· 32q

32p.

(e)1

1 + ax−y+

1

1 + ay−x. (f)

(

a +1

b

)p(

a − 1

b

)q

(

b +1

a

)p(

b − 1

a

)q .

(g)1 + (a + x)−1

1 − (a + x)−1

[

1 − 1 − (a2 + x2)

2ax

]

. (h)

[

1 −(a

b

)−2]

a2

(√a −

√b)2

+ 2√

ab.

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 13

2. Simplificar:

(a)1 − x

2 + x− 1 + x

2 − x− 3x

x2 − 4(b)

x2 − 4xy + 4y2

x2 + 2xy

x2

x2 − 4y2

3. Simplificarx

2x2 + 3xy + y2− x − y

y2 − 4x2+

y

2x2 + xy − y2

4. Simplificarx2 + 4ax + 4a2

3ax − 6a2

2ax − 4a2

ax + a

6a + 6x

x2 + 3ax + 2a2

5. Simplificar1

(a − b)(b − c)+

1

(b − a)(c − b)− 1

(a − c)(b − c).

6. Simplificara

(a − b)(a − c)+

b

(b − c)(b − a)+

c

(c − a)(c − b)

7. Demuestre quebc

(a − c)(a − b)+

ac

(b − c)(b − a)+

ab

(c − a)(c − b)= 1

8. Simplificar la expresion.

1

a(a − b)(a − c)+

1

b(b − a)(b − c)+

1

c(c − a)(c − b).

9. Simplificar:

(a)6x2 − x − 2

3x − 2

2x + 1

(b)

x2y + xy2

x − y

x + y(c)

x + 3

x + 4− x + 1

x + 2x − 1

x + 2− x − 3

x + 4

(d)1

1 +1

1 − 1

x

10. Simplificar

a − b +a2 + b2

a + b

a + b − a2 − 2b2

a − b

·b +

b2

aa − b

· 1

1 +2a − b

b

11. Determine el valor de x si

x =p2qr

(p − q)(p − r)+

pq2r

(q − r)(q − p)+

pqr2

(r − p)(r − q).

12. Sea a + b + c = 0, hallar el valor de

a2

bc+

b2

ca+

c2

ab.

13. Simplificarx3 − x2 − x − 1

3x3 − 3x

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 14

14. Operar u simplificar al maximo

E =

x

x − y− x

x + yy

x − y+

x

x + y

, F =

(

x +1

y

)n(

x − 1

y

)n

(

y +1

x

)n(

y − 1

x

)n , G =x−2 − 2(xy)−1 + y−2

(y

x

)−2

+ xy−1 − 2x0

15. Seaa3

b3+

b3

a3= 2, hallar el valor de

E =

(

a2 + b2)2

+(

a2 − b2)2

(

a2 + b2)2

−(

a2 − b2)2

16. En la siguiente expresion hallar el valor de E: Si a 6= x y n un numero impar

E =

1

a − x+

x

(a − x)2+

x2

(a − x)3+ · · ·+ xn

(a − x)n+1

1

a − x− x

(a − x)2+

x2

(a − x)3− · · · − xn

(a − x)n+1

17. El valor de la expresion

(2 + 3)(22 + 32)(24 + 34) · · · (21024 + 31024)(22048 + 32048) + 24096

32048

18. Los numeros reales a 6= 0 y b 6= 0 cumplen que ab = a − b. ¿Cual de los siguientes valores es un

valor posible paraa

b+

b

a− ab? A) −2 B) −1/2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2

Simplificacion de expresiones con exponentes racionales

1. Simplificar A =

[3x−1/3

x2/3 − 2x−1/3− x1/3

x4/3 − x1/3

]−1

−(

1 − 2x

3x − 2

)−1

2. Simplificar A =1

a1/4 + a1/8 + 1+

1

a1/4 − a1/8 + 1− 2a1/4 − 2

a1/2 − a1/4 + 1

3. Simplificar la expresion.(m + x)1/2 + (m − x)1/2

(m + x)1/2 − (m − x)1/2, si x =

2mn

n2 + 1, m > 0, 0 < n < 1.

4. Simplificar la expresion.

a1/2 − a − a−2

a1/2 − a−1/2+

1 − a−2

a1/2 − a−1/2+

2

a3/2.

5. Simplificar A =

[

1 −(a

b

)−2]

a2

(√a −

√b)2

+ 2√

ab

6. Simplificar

(

x

√y

x− y

√x

y

)2

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7. Simplificar la expresion

x +√

x2 − 4x

x −√

x2 − 4x− x −

√x2 − 4x

x +√

x2 − 4x

8. Simplificar A =n + 2 +

√n2 − 4

n + 2 −√

n2 − 4+

n + 2 −√

n2 − 4

n + 2 +√

n2 − 4

9. Simplificar A =

(√a + 1

)2

− a −√ax√

a −√x

(√a + 1

)3

− a√

a + 2

−3

10. Calcule el valor de la expresion x = a

√√√√

9a+ 1

4 ·√

3a−2

√13·√

3a

11. Simplificar n

2n2+2n

n+2√

22n2+n3

12. En la siguiente expresion simplificar A:

A =

4

x34

x3 4√

x3 4√

x3 · · ·∞

5

x45

x4 5√

x4 5√

x4 · · ·∞

13. En la siguiente expresion simplificar B:

B = log5

1

252+

1

254+

1

256+ · · · · · ·

1

254+

1

256+

1

258+ · · · · · ·

1

2

14. Si√

x√

x= 3 calcular

x

x

√(

x√

x) 3

2

.

15. Si xy =√

2 , yx =

√2

2Hallar E:

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E =

[

xyx+1+ xy1−x

yx1+y+ yx1−y

]2√

2

Capıtulo V. Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

Ecuaciones de Primer Grado o Ecuaciones Lineales

1. Completa esta tabla:

Igualdad ¿Es una Primer Segundo Incognitasecuacion? miembro miembro

2 + 5x = 3 − 4x(5 − 4)2 = 52 + 42 − 2 · 5 · 4

5t + 5 = 3t + 22x2 + 2x − 3

2. Distingue entre ecuaciones e identidades e indica el grado de las primeras:

Igualdad ¿Es ecuacion? ¿Es identidad? Grado2 + 3x = 3x + 22 + 3x = 5 + 3x(x + 2x)2 = 3x2

1 + 3x = −1x2 + 1 = 1 + x · x

3. Utiliza las identidades notables para desarrollar o factorizar las expresiones siguientes:

(a + 2b)2 = (2m + 3n) · (2m − 3n) =(2x − y)2 = p2 + 9q2 − 6pq =

4. Resuelve las siguientes ecuaciones sin parentesis ni denominadores:i) 18 + 2x − 8 = x − 25ii) 8x − 6 = x + 8 + 6xiii) 5x + 4 = 20 + 2x

5. Resuelve las ecuaciones (1) y (2) quitando primero los parentesis:

2(x + 3) − 6(5 + x) = 3x + 4 (1)

4 · (x − 2) + 1 = 5 · (x + 1) − 3 · x (2)

6. Utiliza la formula e = vt (donde e, es el espacio; v, la velocidad, y t, el tiempo) para calcular:a) El espacio recorrido en 3 horas por un ciclista que lleva una velocidad constante de 35Km

h.

b) El espacio recorrido en 15 minutos por un atleta que corre a una velocidad constante de 200Kmh

.c) El espacio recorrido en una hora y media por un caracol que se desplaza a una velocidad

constante de 3mh.

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 17

7. Resuelve las siguientes ecuaciones sin parentesis ni denominadores:i) 18 + 2x − 8 = x − 25ii) 8x − 6 = x + 8 + 6xiii) 4x − 12 + x = 4x − 1iv) 3x = −27v) 5x + 4 = 20 + 2x

8. Resuelve las siguientes ecuaciones con parentesis:a) 2(x + 3) − 6(5 + x) = 3x + 4b) 5(2 − x) + 3(x + 6) = 10 − 4(6 + 2x)c) 4 · (x − 2) + 1 = 5 · (x + 1) − 3 · xd) 3 · (x − 3) = 5 · (x − 1) − 6xe) 3 · (5 · x + 9) − 3 · (x − 7) = 11 · (x − 2) + 7

9. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:i) 10x − 95−10x

2= 10x−55

2

ii) 2x+34

− 1436

= 9x−58

− 2x

iii) 3x−712

= 2x−36

− x−18

iv) 5x+72

− 2x+43

= x−54

− 1

v) 5x−23

− x − 3x−12

= 3x+192

− x+16

+ 5

10. Resuelve las ecuaciones (3) y (4) quitando primero los denominadores:

2x + 3

4− 143

6=

9x − 5

8− 2x (3)

5x + 7

2− 2x + 4

3=

x − 5

4− 1 (4)

11. Resolver −{1 − [2 − (3 − x)]} = −{4 − [5 − (6 − x)]}.12. Resolver 99(−36x + 90) = 81(81x + 1110)

13. Resolver la siguiente ecuacion de primer grado(5x − 2)(7x + 3)

7x(5x − 1)= 1

14. Resolver la siguiente ecuacion1 + 2x

1 + 3x− 1 − 2x

1 − 3x+

3x − 14

1 − 9x2= 0

15. Hallar x de la ecuacionx − a − b

c+

x − b − c

a+

x − c − a

b= 3

16. Resolver las siguientes ecuacion lineal.a) x − 6 − (3x + 1) = 4x − 2(x − 8).b) 2x − (5x − 6) − 3x(1 + 2x) = 1 − 6x(x − 1).c)

ax − b

a + b+

bx + a

a − b=

a2 + b2

a2 − b2.

d)x − 1

n − 1+

2n2(1 − x)

n4 − 1=

2x − 1

1 − n4− 1 − x

1 + n.

e)3ab + 1

ax =

3ab

a + 1+

(2a + 1)x

a(a + 1)2+

a2

(a + 1)3.

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Page 18: Práctica preparatoria para el 2do  examen parcial

FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 18

f )

3abc

a + b+

a2b2

(a + b)3+

(2a + b)b2x

a(a + b)2= 3cx +

bx

a.

17. Resolverx − ab

a + b+

x − ac

a + c+

x − bc

b + c= a + b + c

Respuesta.- x = ab + ac + bc.18. Un numero mas el doble del siguiente es 26 ¿Cual es ese numero?19. Halla tres numeros pares consecutivos cuya suma sea 24.20. Javier tiene 30 anos menos que su padre y este tiene cuatro veces los anos de Javier. Averigua la

edad de cada uno.21. Los 2

3mas los 2

9de un numero valen 80 ¿Cual es ese numero?

22. Halla las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es 272 m y que el largo es 53

delancho.

23. Si a un numero le sumamos 18 nos da 97. ¿De que numero se trata? (Solucion=79)24. Ayer salı de paseo y gaste 275 ptas. LLegue a mi casa con 350 ptas. ¿Con cuanto salı de paseo?

(Solucion=625)25. A una fiesta solo han asistido la tercera parte de los invitados. En total asistieron 19 personas.

Averigua el numero de invitados. (Solucion=57)26. Entre las edades de un padre y su hijo suman 41 anos. Calcula la edad del hijo sabiendo que el

padre tiene 34 anos (Solucion=7)27. Unos zapatos y un paraguas valen 3.000 ptas. Calcula el precio de cada artıculo sabiendo que los

zapatos valen el triple que el paraguas. (Solucion=2.250 y 750)28. Fui con mi madre al cine y compramos dos entradas, una de infantil y otra de adulto. La de adulto

costo el doble que la de infantil y en total pagaron 675 ptas. Averigua el precio de cada entrada.(Solucion=225 y 450)

29. De un saco de naranjas sacamos 8 y aun quedaron la tercera parte. ¿Cuantas naranjas habıa en elsaco? (Solucion=12)

30. Un numero mas el doble del siguiente es 26 ¿Cual es ese numero?31. Halla tres numeros pares consecutivos cuya suma sea 24.32. Javier tiene 30 anos menos que su padre y este tiene cuatro veces los anos de Javier. Averigua la

edad de cada uno.33. En un corral hay conejos y gallinas; en total hay 61 cabezas y 196 patas. ¿Cuantos conejos y gallinas

hay?34. Un agricultor vende 1

3de su cosecha de vino; despues embotella 4

7de lo restante. Le queda 120 hl

¿Cuantos hectolitros de vino habıa cosechado?35. ¿Cuanto costo un libro, si un quinto, mas un sexto, mas un septimo de su precio, menos 2 pesetas,

suman la mitad de su precio?36. Los 2

3mas los 2

9de un numero valen 80 ¿Cual es ese numero?

37. Jaime y su hermana van un sabado al cine y otro al circo; en total se gastan 2,050 pesetas ¿Cuantocuesta cada entrada si la entrada del cine vale 75 pesetas menos que la del circo?

38. En una fiesta de fin de curso hay doble numero de mujeres que de hombres y triple numero de ninosque de hombres y mujeres juntos. Halla el numero de hombres, mujeres y ninos que hay en la fiestasi el total es de 156 personas.

39. Halla las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es 272 m y que el largo es 53

delancho.

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 19

40. Halla un numero de dos cifras, tal que:1) La cifra de las unidades es triple de la de las decenas.2) Si se intercambian las dos cifras, el numero aumenta en 54.

41. Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un perımetro de 540 metros, si sabemosque el largo mide 30 metros mas que el ancho. Respuesta.- largo = 150 metros, ancho = 120metros .

42. Una lancha recorre 6km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora.Calcular la rapidez de la lancha en km/h. Respuesta.- Su rapidez es 7,5 km/h

43. Sara y Jeff han acordado reunir sus ahorros cuando tengan ahorrado la misma cantidad de dinero.Sara puede ahorrar $40 en una semana, pero primero debe darle $65 a su madre. Cuatro semanasdespues Jeff comenzo a ahorrar $25 por semana. ¿Cuando podran ellos reunir sus ahorros? ¿Cuantodincero habran ahorrado cada uno de ellos?

44. Sally gana $15 por hora. Ella ha decidido ahorrar automaticamente un decimo del dinero que lequeda despues de que ha sido substraıdo semanalmente $10 para Salud. Ella desea ahorrar al menos$50 cada semana. ¿Cuantas horas debe ella trabajar cada semana?

45. S = 2πrh es la formula para el area S de la superficie curvada de un cilindro que tiene radio r yaltura h. Usted tiene una hoja de papel rectangular para envolver, que tiene una longitud l y unancho w. ¿Cual es el radio del cilindro, con altura l y que tenga la mayor area, que la hoja de papelpueda envolver?

46. Un automovil cuesta $22000, cuando nuevo pierde un numero fijo de dolares en el valor cada ano.Despues de cuatro anos, el carro cuesta $12000. ¿Cuanto sera su valor despues de site anos?

47. El tiempo que toma un barco para viajar una distancia rio abajo (con la corriente) puede sercalculado dividiendo la distancia por la suma de la velocidad del baroco y la velocidad de lacorriente. Escriba una ecuacion que calcule el tiempo t que toma un barco que se mueva a unavelocidad r con una corriente c para viajar una distancia d. Resuleva su ecuacion para r.

48. La diferencia entre la longitud de una rampa y la longitud de la distancia horizontal que esta cubrees 4 pies. El cuadrado de la distancia vertical que esta cubre es 56 pies. ¿Cual es la longitud de larampa?

49. Dave puede limpiar la fachada de un barco en 3 horas. Annette puede limpiar la misma fachada en2 horas. Si hay muchos barcos para limpiar, y Annette le da a Dave una ventaja de 3 horas, ¿cuantotiempo despues de que Dave comenzara, ellos habran limpiado el mismo numero de fachadas?¿Cuantas habran limpiado cada uno?

50. Se vendio cierta cantidad de pinas por la manana y sobraron dos cajas de 50 pinas cada una por latarde. Al empezar la venta se tenıa 520 pinas. ¿Cuantas pinas se vendio?

51. La suma de la tercera y cuarta parte de un numero equivale al duplo del numero disminuido en 17.Hallar el numero.

52. Un comerciante tenıa cierta cantidad de dinero. El primer ano gasto 100 bs, aumento el resto conun tercio de este, al ano siguiente volvio a gastar 100 bs y aumento la suma restante en un terciode ella. EL tercer ano gasto de nuevo otros 100 bs. Despues de que hubo agregado su tercera parte,el capital es el doble del inicial. ¿Cual fue su capital inicial?.

53. La empresa Terra Sur SA compro un terreno en la zona sur de la ciudad de La Paz a razon deBs 5000 la hectarea, una vez saneado los papeles la empresa se da cuenta que el terreno tiene 8hectareas menos, pero ya no existe lugar a reclamos, sin embargo vende el terreno a Bs 6000 lahectarea (contenida exactamente) y gana ası el 12 % de su inversion. ¿Cuantas hectareas media elterreno?

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 20

54. El jueves, Pedro compro 6 DVDs para una computadora. Dos dıas despues el precio de los DVDsse redujeron en 1.2bs por unidad. Claudia compro 10 DVDs en la oferta y pago 4 bs mas que Pedropor los DVDs. ¿Cual es el precio original?. Resp. 4bs

55. En un festival los 2/3 son adultos y de ellos los 3/5 son hombres. Hay 20 ninos y ninas mas quemujeres. ¿Cuantos hombres, mujeres y ninos hay en el festival?

56. Un jugador perdio la mitad de su dinero, volvio a jugar y perdio 1/2 de lo que le quedaba, repitio lomismo por 3ra vez y 4ta vez, despues de lo cual le quedaron 6 Bs. ¿Cuanto dinero tenıa al comenzarel juego?.

Ecuaciones de Segundo Grado o Ecuaciones Cuadraticas

1. Resolver:(1)

√2x + 3 −

√2x − 3 = 1 (2) (x + 5)2 = 16 (3) 2

x+ 9

x+1= 4

(4) y+12y

+ y+5y2 = 1 (5) (10 − 2x)(5 − x) = 50 (6) 2

x− 15

x−1= 4

(7) x4 − 7x3 − 30x2 = 0 (8) yy+2

+ y+4y−3

= 7(2y−1)y2−y−6

(9)√

x + 2 = x − 4

(10)√

2x + 5 = x − 5 (11)√

2x + 7 = x − 4 (12) 2√

x − 1 =√

2x + 7

(13) 3 =√

x2 − 8x (14) x4 − 2x2 + 1 = 0 (15)√

13 + x − x = 7

(16)√

x + 2 = x − 4 (17)√

2x +√

x − 4 = 2 (18) 6x2 + 13x + 5 = 0

2. Resolver la ecuacion factorizando 3x2 − 2x − 5 = 03. Determinar si la siguiente ecuacion tiene raıces reales. Si tiene raıces reales, encontrarlas, de lo

contrario decir que no tiene raıces reales:√

x − 1 +√

2x + 1 = 14. Resolver: (2x + 1)2 − (3x + 2)2 + 5x2 + 8x + 3 = 05. Resolver: (2x + 1)2 = 2(2x2 + 2x + 5)6. Resolver: 6x4 − 13x2 + 5 = 07. Resolver: x4 − 8x2 + 15 = 08. Resolver la ecuacion cuadratica.

(a) x2 − 7x + 12 = 0. (b) 2x2 − 5x + 2 = 0.

(c) 14−x

− 12+x

= 14. (d) 2x

x+b− x

b−x= b2

4(x2−b2).

(e) x2+1n2x−2n

− 12−nx

= xn. (f) 1 − 2b

x−a= a2

−b2

a2+x2−2ax.

(g) 12n+nx

− 12x−x2 = 2(n+3)

x3−4x. (h)

√2x − 3 +

√4x + 1 = 4.

(i)√

x + 1 + 2√

2x − 3 = −3. (j) (2x + 1)3/2 − 13x2

= 1.

(k)√

1 + x√

x2 + 24 = x + 1. (l) 3+x3x

=

19

+ 1x

√49

+ 2x2 .

(m)√

x−5x+2

+√

x−43+x

= 7x+2

√2+xx+3

.

9. Problemas de planteamiento.a) Halle p tal que px2 − x + 5 − 3p = 0, que tenga una raız igual a 2.b) Halle p tal que (2p + 1)x2 + px + p = 4(px + 2), la suma de sus raıces sea igual a su producto.c) Halle p tal que 4x2 − 8x + 2p − 1 = 0, tenga una de las raıces sea igual al triple de la otra.d) Halle p tal que x2 = 5x − 3p + 3, tenga la diferencia entre sus raıces igual a 11.e) Halle p tal que (p2 − 3)x2 − 3(p − 1)x − 5p = 0, tenga una raız igual a −2.f ) Hallar a y b tal que x2 + (2a + 3b− 1)x + a− b− 3 = 0, sabiendo que ambas raıces valen cero.

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10. El cociente de dividir 84 entre cierto numero, excede en 5 a este numero. Hallar el numero.

11. La ganancia semanal P en mikes de bolivianos de una tienda de video depende del precio de larenta de las cintas t. La ecuacion de ganancia es

P = 0.2t2 + 1.5t − 1.2

¿A que precio por cinta su ganancia semanal sera de 1.6 miles de bolivianos?

12. Las raıces de la ecuacion(k + 6)x2 − (k + 8)x + 3 = 0

poseen la propiedad: r21 + r2

2 = 1316

. Hallar el valor de k

13. Hallar p y q tal que la ecuacion x2 + (−2p − q + 1)x + (−3p + q + 2) = 0 tenga raıces iguales a 1.

14. Suponga que la altura h en metros de los fuegos artificiales disparados en lınea recta ascendentedesde la tierra esta dada por h = 24,5t − 4,9t2 donde t esta en segundos. ¿Cuando los fuegosartificiales estaran a 50 metros de la tierra?

15. Suponga que los ingresos semanales para una companıa estan dados por r = −3p2 + 60p donde pes el precio de su servicio. Cuanto es el precio de su servicio ai el ingreso es $400.

16. Un arco parabolico tiene una forma descrita por la ecuacion y = −x2 +10x−11 (unidades en pies).A que altura (arriba del eje x) es el arco 4 pies de ancho?

17. El costo total de una companıa es 11q+144, donde q es el numero de miles de unidades producidas.El ingreso total es q(71 − 4q). Encontrar los dos valores de q para los cuales la companıa tieneexactamente el costo igual al ingreso.

18. Usted ha estado en un tren X horas viajando X millas por hora. Son las 6 p.m y usted esta a 3249millas desde la estacion del tren. ¿Cuantas horas ha estado viajando y que tan rapido viajo?

19. Las millas que una persona puede ver al horizonte desde un punto por encima de la superficie de laTierra es 0,85 de la raız cuadrada de la distancia en pies de la persona por encima de la superficie.Arturo esta a 65 pies mas arriba y ve 4.25 millas mas alla que Luis. A cuantos pies estan Arturo yLuis por encima de la superficie.

Capıtulo VI. Sistemas de Ecuaciones

Sistemas Lineales

1. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales.

(a)

{4x + 2y = 10

25x − 3y = −2

(b)

{2x − 5y = 104x + 3y = 7

(c)

{2y − x = 12x + y = 8

(d)

{2x

3+ y

5= 6

x6− y

2= −4

(e)

{2x−1

3+ y+2

4= 4

x+32

− x−y3

= 3(f)

{ax − by = a2 + b2

2abx − ay = 2b2 + 3ab − a2

(g)

2x − y + 2z = −8x + 2y − 3z = 93x − y − 4z = 3

(h)

x = y − 2z2y = x + 3z + 1z = 2y − 2x − 3

(i)

x3

+ y2− z = 7

x4− 3y

2+ z

2= −6

x6− y

4− z

3= 1

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Page 22: Práctica preparatoria para el 2do  examen parcial

FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 22

(j) ¿Tiene solucion el sistema?

2x − y + z = 1x + 2y − 3z = −2

3x − 4y + 5z = 1

(k) ¿Tiene solucion el sistema?

x + y + 2z = 33x − y + z = 1

2x + 3y − 4z = 8

2. Un padre tiene 24 anos mas que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8anos, la edad del padre es el doble que la del hijo.

3. La edad actual de Jose es el doble de la de Fernando. Hace 5 anos Jose era 3 veces mayor queFernando. Hallar sus edades actuales.

4. Una bolsa contiene Bs 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas mas de 5 que de25. Hallar el numero de monedas de cada clase.

5. Las entradas de un teatro valen Bs 50 para los adultos y Bs 20 para los ninos. Sabiendo que asistieron280 personas y que la recaudacion fue de Bs 8000. Hallar el numero de ninos que asistieron a lafuncion.

6. Hallar un numero de dos cifras sabiendo que la suma de estas es igual a 17

del numero y que la cifrade las decenas excede en 3 a las correspondiente de las unidades.

7. Hallar un numero de dos cifras sabiendo que la suma de estas es igual a 10 y que, si se invierten, elnumero que resulta es una unidad menor que el numero original.

8. Dos fabricas de una misma companıa tiene telares que ocupan en total de 700 personas. La fabricaA utiliza 10 obreros en cada uno de los telares, mientras que la fabrica B utiliza 20 por cada telar.Se desea cerrar la mitad de los telares de A y duplicar el numero de telares en B. Para ello esnecesario emplear 550 personas mas. ¿Cuantos telares tiene cada una de las dos fabricas?.

9. En un testamento se dice lo siguiente: ”Tengo 10 herederos hombres y 20 herederos mujeres. Quieroque mi fortuna, que es de Bs 1000000, se reparta en la siguiente forma: Todos los hombres recibiranigual cantidad de dinero como tambien las mujeres. Las cantidades que les toque a cada hombre ya cada mujer deben ser tales que si se intercambian los papeles de hombres y mujeres al repartirla herencia se agotarıa exactamente toda la fortuna”. Usted es la persona encargada de hacer lavoluntad de la persona del testamento. ¿Como repartirıa la herencia?

10. Hallar las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es igual a 110 cm y que sulongitud es 5 cm mas pequena que el doble de su altura.

11. El perımetro de un triangulo rectangulo es igual a 40 cm. Sabiendo que uno de los catetos mide 15cm. Hallar la longitud de los otros dos lados.

12. Un granjero puede trabajar un cierto terreno a una velocidad tres veces mayor que la de su hijo.Trabajando juntos invierten 6 horas en realizar la labor. Hallar el tiempo que tardarıan en realizarlotrabajando por separado.

13. En la mitad del combate, el furioso hijo de Prit’ha tomo un cierto numero de flechas para matara Carna; empleo la mitad contra su defensa; el cuadruplo de la raız cuadrada contra los caballos;seis flechas traspasaron el cochero Salya, otras tres desgarraron el parasol de Carna y rompieron suestandarte y su arco, y una le atraveso la cabeza. ¿Cuantas flechas tenıa el hijo de Prit’ha?

14. A ambas orillas de un rio crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30metros, y de la otra de 20 metros. La distancia entre sus troncos, 50 metros. En la copa de cadapalmera hay un pajaro. De subito los dos pajaros descubren un pez que aparece en la superficie delagua, entre las dos palmeras. Los pajaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A quedistancia del tronco de la palmera mayor aparecio el pez?

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Page 23: Práctica preparatoria para el 2do  examen parcial

FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 23

15. En una lucha amorosa se rompio un collar de perlas; un sexto de las perlas cayo al suelo, un quintosobre el lecho, la zagala salvo un tercio, un decimo guardo consigo el mancebo y seis perlas quedaronenhebrados. Dime, ¿Cuantas perlas tenıa el collar?

16. Seis libras de te y cinco libras de cafe cuestan $9.85. Siete libras de te y 8 de cafe cuestan $13.55.Encontrar el precio por libra de cada uno.

17. Jose tiene 75 bs para comprar 160 tornillos. Un tipo de tornillo cuesta 0.50 bs y el otro 0.40 bs.¿Cuantos tornillos de cada tipo puede comprar?

18. Un grupo A y un grupo B pueden armar una maquina, si el grupo A trabaja 6 horas y el grupo Btrabaja 12 horas; o pueden hacer el trabajo si el grupo A trabaja 9 horas y el grupo B trabaja 8horas. ¿Que tiempo debera trabajar cada grupo si solamente uno hace el trabajo?

19. Carlos tiene doble dinero que Pedro, si Carlos pierde 10 Bs y Pedro pierde 5 Bs, Carlos tendra 20Bs mas que Pedro. ¿Cuanto tiene cada uno?.

20. Un auto viaja a una cierta velocidad durante 5 h y, a continuacion a otra velocidad durante 3h, sehan recorrido 250 Km, pero si se hubiera viajado 2 h mas a cada una de las velocidades se habrıanrecorrido 370 Km. Hallar ambas velocidades.

21. Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para recorrer esa distancia en 1 hora menos, lavelocidad deberıa haber sido 10 Km/h mas. Hallar la velocidad del tren en Km/h.

22. Dos turistas se dirigen simultaneamente a San Buenaventura que se halla a 30 Km de ellos. El1ro de ellos hace por hora 1 km mas debido a lo cual llega a la ciudad una hora antes. Hallar lasvelocidades de los turistas en Km/h.

23. Una escalera de 10 m de longitud se apoya en una pared. La parte inferior se encuentra a 6 m dela pared, la parte inferior de la escalera se separa luego 3 metros adicionales. ¿Que distancia haciaabajo se mueve la parte superior?.

24. Un padre tiene 24 anos mas que su hijo. Determinar sus edades actuales sabiendo que dentro de 8anos, la edad del padre es el doble que la de su hijo.

25. La edad de Marcelo hace 6 anos era la raız cuadrada de la edad que tendra dentro de 6 anos. Hallarsu edad actual.

26. Se compran 5 lapices, 2 cuadernos y 2 gomas de borrar y se cancela por ello bs 45. Si cada cuadernocuesta el triple de cada goma mas bs 2 y cada lapiz cuesta el doble de cada goma mas bs 1. ¿Cuantocuesta cada material?

27. La edad de Jose es el doble de la de Mario. Hace 5 anos Jose era 3 veces mayor que Mario. Hallarsus edades actuales. Respuesta: 20, 10

28. Una bolsa contiene Bs. 215 en monedas de 5 y 25, sabiendo que hay 19 monedas mas de 5 que de25. Hallar en numero de monedas de cada clase. Respuesta: 23, 4.

29. Las entradas de un teatro valen Bs. 50 para los adultos y Bs. 20 para los ninos. Sabiendo queasistieron 280 personas y que la recaudacion fue de Bs. 8000. Hallar en numero de ninos y adultosque asistieron a dicha reunion. Respuesta: 200, 80.

30. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuantosanimales hay de cada clase?. Respuesta: 12, 23.

31. Un obrero hace un cierto numero de piezas identicas en un tiempo determinado. Si hubiera hecho 10piezas mas cada dıa, habrıa terminado el trabajo completo 9

2dıas antes de lo previsto, y si hubiera

hecho 5 piezas menos cada dıa habrıa tardado 3 dıas mas de lo previsto. ¿Cuantas piezas hizo y encuanto tiempo?

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Page 24: Práctica preparatoria para el 2do  examen parcial

FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 24

32. La suma de tres numeros es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar elproducto de dichos numeros. Resp. 225522

33. Hallar dos numeros sabiendo que su suma es 36 y que al dividir el mayor por el menor el cocientees 2 y el resto 3. Resp 25, 11.

34. Hallar las dimensiones de un rectangulo sabiendo que su perımetro es igual a 110cm y que sulongitud es 5cm mas pequena que el doble de su altura. Resp. 8, 17

35. En una jaula donde hay conejos y palomas pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuantosanimales hay de cada clase?. Resp. 12, 23.

36. La cabeza de un lagarto mide 9cm. La cola mide tanto la cabeza mas la mitad del cuerpo, y elcuerpo mide la suma de las longitudes de la cabeza y la cola. ¿Cuanto mide el lagarto?. Resp. 72

37. A ambas orillas de un rıo crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de una de ellas es de30 codos, y de la otra, de 20. La distancia entres sus troncos es de 50 codos. En la copa de cadapalmera hay un pajaro. De subito los dos pajaros descubren un pez que aparece en la superficiedel agua, entre las dos palmeras. Los pajaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿Aque distancia del tronco de la palmera mayor aparecio el pez?. Resp. 20 codos.

38. Un campesino piensa utilizar 180 pies de malla para encerrar un terreno rectangular, aprovechandoparte de la orilla recta de un rıo como cerca de uno de los lados del rectangulo. Halle el areadel terreno, si la longitud del lado paralelo al rıo es el doble de la longitud de uno de los ladosadyacentes. Resp. 4050

39. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos, lamentabase elcaballo de su pesada carga, a lo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara un saco, micarga serıa el doble de la tuya. En cambio si te doy un saco tu carga se igualarıa a la mıa. ¿Cuantossacos llevaba cada uno?. Resp. 7, 5.

40. Una escalera de 13m de longitud, esta apoyada contra una pared. La base de la escalera se encuentraa 5 m del muro. ¿Cuanto habrıa que desplazar la base de la escalera para que la punta superior dela misma se desplace hacia abajo la misma distancia? Resp. 7m

41. Dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos puntos A y B distantes 320 km; uno de A en direccionde B y otro con direccion a A. El primero recorrio 8 km mas por hora que el segundo y el numerode horas que demoraron en encontrarse esta representado por la mitad del numero de kms que elsegundo recorrio en una hora. ¿Cual es la distancia recorrida por el primer ciclista?

42. Claudia y Mario caminaban juntos por el prado cargados de mochilas repletas de libros. En ciertomomento Claudia se queja a Mario de su pesada mochila, a lo que Mario responde: ¿De que tequejas? si yo te tomara un libro, mi carga seria el doble de la tuya. En cambio si te doy uno de mislibros tu carga se igualarıa a la mıa. ¿Cuantos libros llevaba cada uno?

43. En una primera visita al mercado usted compro dos libras de te y cinco libras de cafe pagando untotal de 50 bolivianos. Dıas despues el una segunda visita usted compro tres libras de te y 7 decafe pagando esta ves 71 bolivianos. Usted no recuerda cuanto pago por cada libra de cada uno delos productos. Plantee un sistema de ecuaciones para encontrar el precio de cada libra de te y elprecio de cada libra de cafe.

44. Entre todas las familias de un pueblo suman 252 hijos. Las hay de dos tipos, las que tienen 6 hijosy las que tienen 2 hijos. Si el numero de las que tienen 6 hijos dobla a las otras, calcular en numerode hay de cada tipo de familia.

45. En Abril tengo el doble de dinero que en Enero, si en abril pierdo 10 bolivianos y en enero pierdo5, en Abril tendre 20 bolivianos mas que en enero ¿Cuanto tenıa en abril y cuanto en enero?

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46. Un ganadero le da de comer a sus vacas una mezcla de dos tipos de alimentos, A y B. Un kilo deA proporciona a una vaca el 10 % de las proteınas y el 15 % de las vitaminas que necesita a diario.Un kilo de B proporcionan el 12 % de proteınas y el 8 % de vitaminas. Calcular los kilos que hayque dar a cada animal para conseguir el 100 % necesario diario de proteınas y vitaminas.

47. Hallar los valores de m y n para que el polinomio x3 + mx2 + nx− 6, sea divisible por x2 − 5x + 6.

Sistemas Cuadraticos

1. Resolver los sistema de ecuaciones.

(a)

{2x − y = 6

y2 = x(b)

{x + y = 2

x2 + y2 = 4

(c)

{2x + y = 4

y2 + 4x = 0(d)

{3x − y − 8 = 0

x2 + y2 − 4x − 6y + 8 = 0

(e)

{x + y = 5

x2 + y2 = 9(f)

{xy

+ yx

= 2512

x2 − y2 = 7

(g)

{ (xa

)m ·(

yb

)n= c

(xb

)n ·(

ya

)m= d

2. Problemas de planteamiento.a) Hallar dos numeros sabiendo que su suma es 12 y su producto 35.b) Hallar dos numeros sabiendo que el cuadrado de uno de ellos excede en 16 al doble del otro, y

que la suma de sus cuadrados es 208.c) La diagonal de un rectangulo mide 85 cm. Sabiendo que si el lado menor se aumenta en 11 y

el mayor se disminuye en 7 cm, la longitud de la diagonal no varıa. Hallar las dimensiones delrectangulo original.

d) Despues de los examenes finales en una escuela, los estudiantes intercambiaron fotografıas.¿Cuantos estudiantes habıa si se sabe que se intercambiaron un total de 870 fotografıas?

e) Des campesinas llevaron en total 100 huevos al mercado. Una de ellas tenıa mas mercancıa quela otra, pero recibio por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos,la primera campesina dijo a la segunda: Si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos quetu, habrıa recibido Bs 15. La segunda contesto: Y si yo hubiera vendido los huevos que tenıastu habrıa sacado de ellos Bs 20

3. ¿Cuantos huevos llevo cada una?

f ) En la plaza hay instalados 5 altavoces distribuidos en dos grupos: uno de ellos consta de dosaparatos, y el otro, de 3. La distancia que separa los dos grupos es de 50 metros. ¿Dondehabra que colocarse para que el sonido de ambos grupos se oiga con la misma intensidad?

g) Hallar dos numeros sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21, yque si este ultimo se suma con el doble del primero resulta 18.

h) Hace 6 anos, jose era cuatro veces mayor que Pablo. Hallar sus edades actuales sabiendo quedentro de 4 anos solo sera dos veces mayor que Pablo.

i) Dos Kg. de cafe y 3 Kg. de mantequilla cuestan Bs 420. Al cabo de un mes, el precio del cafe hasubido un 10 %, y el de la mantequilla un 20 % de forma que la adquisicion de los productosanteriores cuestan ahora Bs 486. Hallar el precio primitivo de cada uno de los productos.

j ) Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentabaseel jamelgo de su enojosa carga, hallo que el mulo le dijo: ¿De que te quejas? Si yo te tomara unsaco, mi carga serıa el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualara ala mıa. Decidme, doctos matematicos, ¿cuantos sacos llevaba el caballo y cuantos el mulo?

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Capıtulo VII. Exponenciales y Logaritmos

Problemas de Exponenciales

1. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modeladocon la siguiente ecuacion A(t) = A0e

kt. Si inicialmente habıan 1000 mosquitos y despues de undıa la poblacion de estos aumenta a 1800, ¿cuantos mosquito habran en la colonia despues de 3dıas?¿Cuanto tiempo tendrıa que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

2. Un pollo que tiene una temperatura de 40oF es movido a un horno cuya temperatura es de 350oF .Despues de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170oF . Si el pollo esta listo para comer cuandosu temperatura llegue a 185oF . ¿Cuanto tiempo tomara cocinarlo?

3. El crecimiento de una colonia de abejas esta determinado por la siguiente ecuacion P (t) = 2301+56,5e−0,37t .

¿Cuantas abejas habıan inicialmente?¿Cuanto tiempo le tomara a las abejas tener una poblacionigual a 180?¿Cual sera la poblacion de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?

4. Una funcion exponencial W tal que W (t) = W0ekt, para k > 0, describe el primer mes de crecimiento

de cultivos como de maız, algodon y soya. La funcion W es el peso total en miligramos, W0 es elpeso del dıa del brote o emergencia y t es el tiempo en dıas.

① Si, para un tipo de soya k = 0,2 y W0 = 68, calcule el peso final al mes de haber brotado(t = 30). Rta. 27433,16 mg

② A menudo es difıcil medir el peso W0, de la planta cuando acaba de emerger del suelo. Si parauna planta de algodon, k = 0,21 y W (10) = 575 mg. Calcule W0. Rta. 70,41 mg

5. En 1980 la poblacion estimada de la India era de 651 millones y ha estado creciendo a una tasade alrededor del 2 % anual. La poblacion N(t), t anos mas tarde, puede aproximarse medianteN(t) = 651e0.02t. Suponiendo que esta tasa alta de crecimiento continua, calcule la poblacion de laIndia en el ano 2000 y 2010.

6. La poblacion N(t) de la India en millones t anos despues de 1980 puede aproximarse por N(t) =651e0.02t. Cuando sera de mil millones?. Rta. en 21 anos.

7. Interes compuesto Si se invierten P dolares a una tasa de interes anual r y el interes se capitalizan veces al ano, el valor final de la inversion despues de t anos bajo interes compuesto n veces al anodenotado por In(t) es:

In(t) = P(

1 +r

n

)nt

. (5)

① Suponga que se invirtio 1000 dolares a una tasa de interes compuesto del 9 % mensual.☞ Calcular el monto final del capital inicial despues de 5 anos, despues de 10 anos, despues

de 15 anos. Rta. 1565,68 dolares; 2451,36 dolares; 3838,04 dolares.② Grafique el crecimiento de la inversion.

8. El crecimiento de una colonia de abejas esta determinado por la siguiente ecuacion logıstica:

P (t) =230

1 + 56.6e−0.37t.

¿Cuantas abejas habıan inicialmente?. ¿Cuanto tiempo le tomara a las abejas tener una poblacionigual a 180?. ¿Cual sera la poblacion de las abejas cuando haya transcurrido mucho tiempo?.

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9. El crecimiento de los arboles se representa con frecuencia mediante una ecuacion logıstica. Supongaque la altura h en pies, de un arbol de edad de t anos, es:

h(t) =120

1 + 200e−0,2t.

¿A que edad su altura es de 100 pies?. ¿Que altura alcanzo si su edad es de 40 anos?Solucion. ¿A que edad su altura es de 100 pies?.

h(t) =120

1 + 200e−0,2t= 100

h(t) =120

1 + 200e−0,2t= 100

100(1 + 200e−0,2t

)= 120

20000e−0,2t = 20

−0,2t = −6, 9077, t = 34, 54

¿Que altura alcanzo si su edad es de 40 anos?

h(40) =120

1 + 200e−0,2(40)

=120

1 + 200e−8

Problemas de Logaritmos

1. Calcula las siguientes potencias y escrıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en elejemplo:

53 = 125 ⇔ log5 125 = 3

a) 72

b) 35

c)(

19

)2

d)(

23

)2

e) 106

f ) 27

g) 5–3

h)(

53

)− 2

i) 6 –2

2. Calcula las siguientes potencias y escrıbelas en forma de logaritmo, tal y como se indica en elejemplo:

32 = 9 ⇔ log3 9 = 2

a) 25

b) 321

5

c) 3 –4

d) 34

e) 811

4

f ) 2 –5

g) 52

h) 1251

3

i) 5 –3

3. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escrıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo,tal y como muestra el ejemplo:

125x = 5 ⇒ x = 13

⇒ log 125 5 = 13

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a) 10 a = 1000b) 10 b = 1c) 10 c = 0,001

d) 1000 d = 10e) 16 e = 1

16

f ) 16 f = 4

g) 16 g = 256h) 16 h = 1

4

i) 16 i = 1256

4. Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escrıbelo, posteriormente, en forma de logaritmo,tal y como muestra el ejemplo:

5x = 15

⇒ x = –1 ⇒ log 515

= –1

a) 10 a = 0,1b) 9 b = 1c) 64 c = 4

d) 10 d = 10e) 17 e = 1f ) 32 f = 2

g) 27 g = 9h) 4 h = 1

16

i) 7 i = 1256

5. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

log a36 = 2log a64 = 3

log a0,01 = –2log a0,001 = 3

log a12345 = 1log a8 = 3

6. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

log a3 = 1log a1 = 0

log a0,25 = –2log a2 = 2

log a121 = –1log a8 = –3

7. Calcula:

log 3 81log 3 9log 3 (1/3)

log 2 1log 41 41log 0,01

log 5

√5

log 2 32log 100

8. Calcula:

log 4 1024log 16 256log 7 343

log 64 8log 625 5log 27 3

log 9 243log 64 256log 625216

9. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log 2 3 ∼= 1,60:

log 2 6log 2 24

log 2 (2/3)log 2 (3/4)

log 2 15 – log 2 5log 2 (1/9)

log 2 0,5log 2 0,25

10. Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que el log 2 ∼= 0,301:

log 8log 40

log 25log 200

log 0,04log 1,25

log 0,008log 0,0016

11. Calcula las siguientes expresiones sin hacer uso de la calculadora:

log 4

(3√

45)2

log 15 52 + log 15 32

log 24√

23√

22

log 35√

33√

75 6√

225

log 1

6

4√

63√

36 5√

216

log 2

(3

√14· 5

√116

) 2

3

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12. Si log a H = 2 y log a 32 · N = 5, ¿cuanto vale a?13. Si log 5 N = t, expresa en funcion de t los siguientes logaritmos:

log 5 125 · N log 5N25

log 5 55 log 54√

N

14. Si log 7 N = p, expresa en funcion de p los siguientes logaritmos:

log 7 49 · N log 7N49

log 7 75 · N log 7N343

log 7 2401 · N

15. Si log 6 N = q, expresa en funcion de q los siguientes logaritmos:

log 6 36 · N log 6N6

log 6 64 · N log 6N36

log 6 216 · N

16. Si al numero N lo multiplicamos por 81, ¿que alteracion experimenta su logaritmo en el sistema debase 3? ¿Y en el de base 9?

17. Si al numero N lo dividimos por 256, ¿que alteracion experimenta su logaritmo en el sistema debase 16? ¿Y en el sistema de base 2? ¿Y en el sistema de base 4?

18. Si log a N = 2,2577 y el log a 125 · N = 5,2577, halla razonadamente el valor de la base a de loslogaritmos.

19. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de logaritmo, sabiendo que a =log 3, b = log 5 y c = log 7:

a) a + b + cb) 2a + 3b

c) a+b2

d) c−b3

e) a + c−b3

20. Reduce las siguientes expresiones logarıtmicas a un solo logaritmo:5 log 2 – 3 log 2

log x4 – log x3

log 3 + log 4 – log 2(log 27 + log 64) – (log 8 – log 9)

21. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresion logarıtmicacorrespondiente:

A = a3·b4·cd2

C = x2 t3 z5 t7B =

√a3 · 3

√b2

·

c4

D = xyzt

E = 4 π r3

3

F =4√

x3√

x2

22. Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener la expresion logarıtmicacorrespondiente:

A = a·3√

b4·c4

d2 ·4√

e2

B = x –2 y2

3 t3 z1

5

C =√

a−3 · 3√

b2· 1c−4

D = 4

x 3√

x2 3√

x

F = x23 y

12 z

5√

t6

23. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones:log A = 3

7log a + 2 log b – 5 log c – 4 log d

log B = 12log a + 3 log b – 2 log c + 2

log C = 2 (log a + 3 log b) – 12(2 log c + log d)

log D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11log E = 1

6log 2 – 1

4log 7 – 1

8log 5

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 30

24. Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes expresiones:log A = 3 log x – 5 log y

log B =5 log x + 3 log y

2log C = 2 log x – 3 log y + 5 log zlog D = 2 log 5 + 3 log 7 – 4 log 11log E = 1

6log 2 – 1

4log 7 – 1

8log 5

25. Completa esta tabla:

a b log a b log b a log a b2 log b a2

11 12125 3

212

–23 – 40,1 3

2

1000 32√

7 14

3√

36√

6

26. El pH de un lıquido es el logaritmo de la inversa de la concentracion de iones H+ que hay en el.Por ejemplo, si la concentracion de H+ es 10 –7, entonces su pH es:

log 110−7 = log 10 7 = 7.

Calcula el pH de los lıquidos que tienen las siguientes concentraciones de H +:

5 · 10 –5 3,8 · 10 –8 9,32 · 10 –7

27. La poblacion rural de una provincia espanola disminuye un 2% cada ano. Si la poblacion actualde la provincia es de 100000 habitantes, y suponiendo que la disminucion se sigue realizando en lamisma proporcion, ¿en cuantos anos su poblacion quedara reducida a 60000 habitantes? (Nota: laformula de crecimiento o disminucion continuos de una poblacion es: P(t) = P0 · (1 ±c)t, siendoP0 la poblacion inicial y c el tanto por ciento con el que crece o disminuye la poblacion)

28. La poblacion de un estado crece en un ano un 2,5%. ¿Cuanto tiempo se necesitara para duplicarsesuponiendo que sigue creciendo con el mismo ritmo?

29. El 1 de enero de 1900 la poblacion de una ciudad era de 75000 habitantes y el 1 de enero de 1950habıa alcanzado 180000 habitantes. ¿Cual fue su tanto por ciento de crecimiento anual, si este sehizo de manera continua?

30. La constante de desintegracion del polonio 218 (Po218) es λ = 4 · 10 –3 s –1. ¿Cuanto tiemponecesitara una muestra de ese elemento para que se reduzca a la mitad de sus atomos? (Nota: laformula de la desintegracion continua de los atomos es: N = N0 · e –λ·t, siendo N0 el numero inicialde atomos)

31. La constante de desintegracion del torio C es λ = 2 · 10 –4 s –1. ¿Cuantos atomos quedaran sindesintegrarse, al cabo de 15 minutos de una muestra que inicialmente tenıa un millon de atomos?

Ecuaciones Exponenciales

1. Resolver la ecuacion(

43−x)2−x

= 1. Sol.- x = 2, x = 3.

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2. Resolver la ecuacion(

105−x)6−x

= 100. Sol.- x = 4

3. Resolver la ecuacion 2x+1 + 4x = 80. Sol.- x = 3.

4. Resolver la ecuacion 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 363. Sol.- x =ln 243

ln 3.

5. Sea a > 0, x > 0, ademas (7x)loga 7 − (5x)loga 5 = 0. Determinar el valor de x. Respuesta.-1

35.

6. Resolver las siguientes ecuaciones especiales

1 +3

2+

4

9+

8

27+ · · · + 2x

3x=

19

9

7. Resolver la siguiente ecuacion exponencial

23x · 3x − 23x−1 · 3x+1 = −288.

8. Resolver la siguiente ecuacion exponencial

52x − 7x − 35 · 52x + 35 · 7x = 0.

9. Resolver la siguiente ecuacion exponencialx√

53 +x√

56 = 30.

10. Resolver la siguiente ecuacion exponencial

5log x − 3log x−1 = 3log x+1 − 5log x−1.

11. Resolver la siguiente ecuacion exponencial

9log√x 3 = 27x.

Ecuaciones Logaritmicas

1. En la expresion u = a · rn−1 despejar r y n.

2. En la formula S = a(1−rn)1−r

, despejar n.3. Hallar el valor de x.

a) logb x = logb 2 + 3 logb 2 − logb 4.b) logb x = 1

2logb 3 + logb 4 − 1

2logb 2.

c) x = 10,1001

2log 9−log 2.

d) x = 1001

2−log 4

4.4. Resolver las siguientes ecuaciones

a) log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1.b) log4 log3 log2 x = 0.c) loga y + loga(y + 5) + loga 0, 02 = 0.

d) log(35−x3)log(5−x)

.

e) 3x+1 = 81.f ) 5x+1 = 32x.g) ex − e−x = 2.h) ln 12 − ln(x − 1) = ln(x − 2).i) ln x − ln(x − 2) = ln 2.j ) logx

√5 − logx(5x) − 2, 25 = logx

√5.

k) log16 x + log4 x + log2 x = 7.

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Page 32: Práctica preparatoria para el 2do  examen parcial

FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 32

l) log4(x + 12) · logx 2 = 1.m) logx(5x

2) · log25 x = 1.

n)(

37

)3x−7=(

73

)7x−3.

n) 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3.o) 52 · 54 · 46 · · · · · 52x = 0, 04−28.p) 4x−2 − 17 · 2x−4 + 1 = 0.q) log5 120 + (x − 3) − 2 log5(1 − 5x−3) = − log5(0, 02 − 5x−4).

5. Resolver la siguiente ecuacion logarıtmica x + log(1 + 2x) = x log 5 + log 6.

6. Resolver la siguiente ecuacion logarıtmica

log4

(2 log3

(1 + log2

(1 + 3 log2 x

)))=

1

2.

7. Resolver la siguiente ecuacion logarıtmica

logm

(1 + logn

(1 + logp

(1 + logq x

)))= 0.

8. Resolver la siguiente ecuacion:√

2 log24 x − 5 log4 x + 6 +

2 log24 x − 5 log4 x + 11 = 5.

Sugerencia Realizar el cambio de variables t = 2 log24 x − 5 log4 x + 6.

9. Resolver la ecuacion logarıtmica 2 log(log x) = log(7 − 2 log x) − log 5.

10. Resuelva la ecuacion:

log2

(10x)

+ log4

(100x

)+ log8

(1000x

)− 2 log64

(x)

= 9

Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

1. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones

logy x + logx y = 2, (1)

xy + yx = 8, (2)

2. Determine los valores de x y y que satisfacen simultaneamente las ecuaciones{

xy = 1010

ylog x = 1025.

Respuesta.- x = y = 105.

3. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones

loga x + loga y = 2, (1)

logb x − logb y = 4, (2)

4. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones

x−y√

x + y =1

2√

3, (1)

(x + y)2y−x = 48, (2)

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Page 33: Práctica preparatoria para el 2do  examen parcial

FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 33

5. Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones

{

logm x + logy m = 2, (1a)

ylogm x + ylogm y = 2m, (2a)

Capıtulo VIII. Induccion Matematica y Divisibilidad

Induccion Matematica

1. Realice la deduccion inductiva para la formula de la suma de los n primeros numeros naturalesimpares:

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n − 1)

2. Realice la deduccion inductiva para la formula de la suma de los n primeros numeros naturales dela forma:

12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2

3. Realice la deduccion inductiva para la formula de la suma de los n primeros numeros naturales dela forma:

13 + 23 + 33 + 43 + · · ·+ n3

4. Conjeture una formula para la siguiente suma y demuestrela por induccion:

1

2+

1

6+

1

12+

1

20+ · · ·+ 1

n(n + 1)

5. Conjeture una formula para la siguiente suma y demuestrela por induccion:

1

3+

1

15+

1

35+

1

63+ · · ·+ 1

(2n − 1)(2n + 1)

6. Conjeture una formula para la siguiente suma y demuestrela por induccion:

8

27+

4

9+

2

3+ 1 +

3

2+ · · ·+

(3

2

)n−4

7. Demostrar por induccion las siguientes formulas:

a) Para todo n ∈ N, 12 + 22 + 32 + 42 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

b) Para todo n ∈ N, 12 + 32 + 52 + 72 + · · ·+ (2n − 1)2 =n(2n − 1)(2n + 1)

3

c) Para todo n ∈ N, 14 + 24 + 34 + 44 + · · ·+ n4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)

30

d) Para todo n ∈ N, 15 + 25 + 35 + 45 + · · ·+ n5 =n2(n + 1)2(2n2 + 2n − 1)

128. Demostrar por induccion las siguientes formulas:

a) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n · (n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

b) Para todo n ∈ N, 1 · 2 + 3 · 4 + 5 · 6 + · · ·+ (2n − 1) · (2n) =n(n + 1)(4n − 1)

3

c) Para todo n ∈ N, 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4+3 · 4 · 5 + · · ·+ n · (n + 1) · (n + 2) =n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

4

email [email protected] 33 βo∫ιυατ

Page 34: Práctica preparatoria para el 2do  examen parcial

FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 34

9. Demuestre que para todo m ∈ N

1

1 · 5 +1

5 · 9 +1

9 · 13+ · · ·+ 1

(4m − 3) · (4m + 1)=

m

4m + 1

10. Demuestre que para todo n ∈ N,

12

1 · 3 +22

3 · 5 +32

5 · 7 + · · ·+ n2

(2n − 1) · (2n + 1)=

n(n + 1)

2(2n + 1)

11. Demuestre que para todo n ∈ N,

(n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · · · · (n + n) = 2n · (2n − 1)!

(2(n − 1))!

12. Demuestre que para r ∈ R, r 6= 0, r 6= 1, la siguiente igualdad se verifica, para todo n ∈ N:

1 + r + r2 + r3 + r4 + · · ·+ rn =rn+1 − 1

r − 1.

13. Demuestre que para todos los numeros a, r ∈ Z, a 6= 0, r 6= 1, la siguiente igualdad se verifica, paratodo n ∈ N:

a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn =a(1 − rn+1)

1 − r.

14. Demostrar por induccion las siguientes afirmaciones:

a) Para todo natural n > 10, se tiene n − 2 <n2 − n

12b) Para todo natural n ≥ 2, se tiene n2 > n + 1c) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n! > n2

d) Para todo natural n ≥ 4, se tiene n2 > 3ne) Para todo natural n ≥ 2, se tiene 2n+1 < 3n

f) Para todo natural n ≥ 7, se tiene 2n > n2 + 4n + 5

g) Para todo natural n ≥ 2, se tiene1√1

+1√2

+1√3

+1√4

+ · · · + 1√n

>√

n

h) Para todo natural n ≥ 2, el ultimo dıgito del numero 22n+ 1 es 7

15. Demostrar que para todo numero natural n, se cumple (2n)! < 22n(n!)2.

16. Demostrar que para todo numero natural n, se cumple

(

1 +1

3

)n

≥ 1 +n

3.

17. Demostrar la desigualdad de Bernoulli. Si a > −1, para todo numero natural n, se cumple (1+a)n ≥1 + na. ¿Por que es esto trivial si a > 0?.

18. Sea a un dıgito entre 1 y 9. Denotaremos porn veces︷ ︸︸ ︷aa...a

al numero cuya expresion decimal esta formada por n dıgitos a. (a) Por induccion matematicademuestre que para todo natural n > 1 se tiene que

aa...a ≥ a × 10n−1 > an

(b) Demuestre que la identidadn veces︷ ︸︸ ︷aa...a = an

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FCPN-UMSA-I 2014 ξττo∫s ζℏαυεz 35

no se satisface para ningun entero n.

Divisibilidad

1. Determinar si el producto de 3 numeros impares consecutivos es siempre divisible por 6.

2. Determinar si la suma de 3 numeros impares consecutivos es siempre divisible por 6.

3. Probar que la suma de los cubos de tres numeros enteros consecutivos es divisible por 9.

4. Demostrar por induccion las siguientes propiedades:a) Para todo n ∈ N, 22n − 1 es multiplo de 3b) Para todo n ∈ N, 23n−1 + 5n es multiplo de 3c) Para todo n ∈ N, n5 − n es multiplo de 30d) Para todo n ∈ N, np − n es multiplo de p para todo numero primo p.e) Para todo n ∈ N, 32n + 4n+1 es multiplo de 5.

5. Demostrar por induccion las siguientes propiedades:a) Para todo n ∈ N, n3 + 2n es divisible por 3b) Para todo n ∈ N, 2n + (−1)n+1 es divisible por 3c) Para todo n ∈ N, 10n + 3 · 4n+1 + 5 es divisible por 9d) Para todo n ∈ N, 52n + (−1)n+1 es divisible por 13e) Para todo n ∈ N, 72n + 16n − 1 es divisible por 64f) Para todo n ∈ N, 10n − 1 es divisible por 9g) Para todo n ∈ N, 3 · 52n+1 + 23n+1 es divisible por 17h) Para todo n ∈ N, 92n + 42n es divisible por 13i) Para todo n ∈ N, 52n − 1 es divisible por 6j) Para todo n ∈ N, 23n − 1 es divisible por 7k) Para todo n ∈ N, 7n − 1 es divisible por 6

6. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n − y2n es divisible por x − y.

7. Demuestre que para todo n ∈ N, x2n+1 + y2n+1 es divisible por x + y.

8. Demostrar que para todo n natural 32n+2 + 26n+1 es divisible por 11.E-mail address, Mario ξττo

∫s Chavez Gordillo: [email protected]

email [email protected] 35 βo∫ιυατ