DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE …

Décima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología 15

4. PRUEBAS Y SOLUCIONES

4.1 MATEMÁTICA

DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de ocho problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1: (24 puntos)

a. Encuentre la solución de la ecuación:

θ θ θ π+ = ≤ ≤22sen cos 2 0 2

b. Resuelva la desigualdad:

≤− −21 1

2 4x x c. Evalúe el límite:

( )→+∞

+ + − +2 2lim ln( 2 5) ln(3 4)x

x x x


Use la ley de cosenos para obtener la fórmula de Herón:

= − − − ( )( )( )A s s a s b s c

para el área de un triángulo con lados a, b y c, donde + += 2

a b cs .

16 Décima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología


La sección transversal de un tanque de 8 metros de largo es un triángulo isósceles con base de 3 metros y altura de 2 metros. El tanque está colocado de manera que su sección transversal es perpendicular al suelo horizontal, con la base en la parte superior. Se está vertiendo agua al tanque a razón de 2 metros cúbicos por minuto, pero hay una fuga en el fondo y se pierde agua al mismo tiempo a diferente ritmo. Si el agua sube a ritmo de 5 centímetro por minuto, cuando la altura del agua es 1 metro. ¿A qué ritmo se está fugando el agua?


Encontrar los puntos sobre la gráfica de −=+ 2

1 1

yx

, donde la recta tangente tiene

mayor pendiente y donde tiene la menor pendiente en el intervalo ≤ ≤ 0 1x .


Se dispone de Q8,000.00 para cercar un terreno con forma de triángulo rectángulo, con los datos que se muestra en la figura. Si el metro de cerca cuesta Q50.00.

a. ¿Será suficiente el dinero?

b. ¿Cuánto dinero sobrará o faltará?


Un ciclista se desplaza por una pista circular de entrenamiento de 60 metros de diámetro. En un círculo de 120 metros de diámetro, concéntrico a la pista, corre una cámara de seguimiento a 30 metros del ciclista. Una segunda cámara estacionaria se encuentra en un punto de la circunferencia que traza la cámara de seguimiento, diametralmente opuesto al punto de partida del ciclista. Si el ciclista corre por la pista a una velocidad tangencial de 20 m/s,

a. ¿a qué velocidad se aproxima el ciclista a la cámara fija cuando el desplazamiento angular es de π

2 desde el punto de partida?

b. ¿a qué velocidad se aproximan las cámaras entre sí, para ese mismo ángulo?



Debemos fabricar una lata de forma cilíndrica recta que contenga 1000 cm3. La tapa circular de la parte superior y del fondo deben tener un radio de 0.25 cm más que el radio de la lata para que el sobrante se utilice para sellar con la parte lateral. La hoja de material con que se construye la parte lateral también debe ser 0.25 cm más grande que la circunferencia de la lata, de modo que pueda hacerse un sello. Aproxime con una exactitud de 410− , la cantidad mínima de material necesario para fabricar la lata.


Se quiere que calcule la cantidad de vidrio necesaria para construir un vitral. El vitral está diseñado para dos tonos de vidrio, uno oscuro y uno claro. Se conoce que las diagonales del rombo exterior del vitral son de 12 y 16 pulgadas. ¿Cuál es la cantidad de cada tono de vidrio que deberá comprar?


SOLUCIÓN DE LA PRUEBA


a. Encuentre la solución de la ecuación:

θ θ θ π+ = ≤ ≤22sen cos 2 0 2


≤− −21 1

2 4x x c. Evalúe el límite:

( )→+∞

+ + − +2 2lim ln( 2 5) ln(3 4)x

x x x

Solución

a. θ θ θ π+ = ≤ ≤22sen cos 2 0 2

Usando la identidad fundamental θ θ= −2 2sen 1 cos

( )

θ θ

θ θ

θ θθ θ

− + − =

− + − =

− =

− =

2

2

2

2(1 cos ) cos 2 0

2 2cos cos 2 0

cos 2cos 0

cos 1 2cos 0 De donde se obtiene

θ θ= = 1cos 0 & cos2

Para θ −= 1cos (0) las soluciones son πθ =2

& πθ = 32

Para ( )θ −= 1 1cos2 las soluciones son

πθ =3 &

πθ = 53


≤− −21 1

2 4x x Factorizando el denominador en el lado derecho

≤− + −1 1

2 ( 2)( 2)x x x


Trasladando la expresión en el lado derecho al lado izquierdo y simplificando

− ≤

+

− + −

≤+ −

1 1 02 ( 2)( 2)

0( 2)( 2)

1x x x

x x

x

Los puntos críticos a evaluar en la tabla se encuentran igualando cada uno de los factores a cero.

+ =

= −

1 0

1

x

x

+ =

= −

2 0

2

x

x

− =

=

2 0

2

x

x

Los intervalos que pueden ser parte de la solución son

( ) ( ] [ ) ( )−∞ − − − − + + +∞, 2 , 2, 1 , 1, 2 , 2,

El limite extremo del intervalo será cerrado si al evaluar el valor límite, este hace que se cumpla la desigualdad, de lo contrario el valor extremo del intervalo será abierto. Ahora bien, en los casos en los que el intervalo incluya a infinito ya sea positivo o negativo, en el extremo del intervalo se colocara paréntesis.

El siguiente paso será generar una tabla para determinar si el resultado de evaluar un valor dentro de cada intervalo hace que se cumpla o no la desigualdad. Recordar que la desigualdad es la siguiente:

+ ≤+ −

1 0( 2)( )

2x

x x

INTERVALO + 2x + 1x − 2x +

+ −1

( 2 2

)( )x

x x CONCLUSIÓN

( )−∞ − , 2 − − − ( )

( ) ( )−

= −− −

SI CUMPLE

( ]− − 2, 1 + − − ( )

( )( )−

= ++ −

NO CUMPLE

[ )− + 1, 2 + + − ( )

( ) ( )+

= −+ −

SI CUMPLE

( )+ +∞ 2, + + + ( )

( )( )+

++

=+

NO CUMPLE

La conclusión se lleva a cabo analizando el signo obtenido en la última columna. Si el signo resultante es negativo significa que la desigualdad efectivamente es menor o igual que cero, mientras que si es positivo el resultado de la desigualdad es mayor que cero. Para el presente problema se necesita que el resultado sea menor que cero.


Concluimos que la solución de la desigualdad es

( )−∞ − ∪ −2 , [ 1,2)

c. Evalúe el límite: ( )→+∞

+ + − +2 2lim ln( 2 5) ln(3 4)x

x x x

( )→+∞

+ + − + = +∞ − ∞2 2lim ln( 2 5 ln(3 4))x

x x x

Tiene forma indeterminada

Aplicando propiedades del logaritmo

( )→+∞ →+∞

→+∞

+ ++ + − + = +

+ += +

22 2

2

2

2

2 5lim ln( 2 5) ln(3 4) lim ln3 4

2 5ln lim3 4

x x

x

x xx x x

x

x x

x

Aplicando la regla de L’Hôpital →+∞ →+∞ →+∞

+ + += = = +

2

22 5 2 2 2 1lim lim lim

6 6 33 4x x x

x x x

xx Entonces

( ) ( )→+∞

+ + − + =

= −

2 2 1lim ln( 2 5) ln(3 4) ln3

ln3x

x x x



Use la ley de cosenos para obtener la fórmula de Herón:

= − − − ( )( )( )A s s a s b s c

para el área de un triángulo con lados a, b y c, donde + += 2

a b cs .

Solución

θ

El área del triángulo es

= 12

A bh

La altura del triángulo se puede expresar como

θ

θ

=

= − 2

sen

1 cos

h a

a

De la ley de cosenos se obtiene que

θ

θ

= + −

+ −=

2 2 2

2 2 2

2 cos

cos2

c a b ab

a b c

ab

Sustituyendo θcos para expresar h en términos de a, b, y c

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

+ − = −

= − + −

= − + −

= − − + + + +

= − − + +

22 2 2

22 2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

12

1 42

1 (2 )21 2 22

1 ( ) ( )2

a b ch a

ab

a b a b cb

ab a b cb

ab a b c ab a b cb

c a b c a bb


( ) ( )= − − + +

= − + + − + + + −

2 2 2 21 ( ) ( )2

1 ( )( )( )( )2

h c a b c a bb

c a b c a b a b c a b cb

Como + +=

2a b c

s

= − − −

= − − −

1 (2 2 )(2 2 )(2 )(2 2 )2

2 ( )( )( )

h s a s b s s cb

s s a s b s cb

Como = 12

A bh

( ) ( )= − − −2 ( )( )( )2b

A s s a s b s cb

Se demuestra que

= − − −( )( )( )A s s a s b s c



La sección transversal de un tanque de 8 metros de largo es un triángulo isósceles con base de 3 metros y altura de 2 metros. El tanque está colocado de manera que su sección transversal es perpendicular al suelo horizontal, con la base en la parte superior. Se está vertiendo agua al tanque a razón de 2 metros cúbicos por minuto, pero hay una fuga en el fondo y se pierde agua al mismo tiempo a diferente ritmo. Si el agua sube a ritmo de 5 centímetro por minuto, cuando la altura del agua es 1 metro. ¿A qué ritmo se está fugando el agua?

Solución

La siguiente figura muestra la forma del tanque y su sección transversal

8

h2b

3

Se modela el volumen del tanque como:

( )

( )=tanque trianguloArea Profundidad

1= 82

V

bh

Se expresa b en función de h :

=

= 32

32

b

h

b h

Se sustituye el valor de b en la función del volumen:

( )= =2 23 8 64

V h h

Derivando con respecto al tiempo

= 12dV dhh

dt dt

La razón a la cual cambia el volumen del tanque es la diferencia de la cantidad de agua que entra menos la cantidad de agua que sale


− =

= −

entra sale

sale entra

12

12

dV dV dhh

dt dt dt

dV dV dhh

dt dt dt

Sustituyendo las condiciones iniciales:

= −

=

3sale

3

2m 0.05m12(1m)min min

m1.40min

dV

dt



Encontrar los puntos sobre la gráfica de −=+ 2

1 1

yx

, donde la recta tangente tiene

mayor pendiente y donde tiene la menor pendiente en el intervalo ≤ ≤ 0 1x .

Solución

Encontrando la pendiente para cualquier punto

2 22

(1 )dy xmdx x

= =+

Encontrando la derivada de la pendiente para analizar el mayor y menor valor de la pendiente

2 2 2

2 42(1 ) (2 )2(1 )2

(1 )x x x xdm

dx x

+ − +=+

Al simplificar 2

2 32 6

(1 )dm x

dx x

−=+

Encontrando el valor crítico en el intervalo 0 1x≤ ≤

2 6 2x =

13

x =

Analizando en el intervalo cerrado 0 1x≤ ≤

Extremo y crítico

m CONCLUSION PUNTO

0x = 0 Pendiente mínima

( )− 0, 1

13

x = 3 38

Pendiente máxima

−

1 3 ,43

1x = 12



Se dispone de Q8,000.00 para cercar un terreno con forma de triángulo rectángulo, con los datos que se muestra en la figura. Si el metro de cerca cuesta Q50.00.

a. ¿Será suficiente el dinero?

b. ¿Cuánto dinero sobrará o faltará?

Solución

Determinando la distancia de BD por medio de la aplicación del Teorema de las Alturas, tenemos:

( )( )16 49 2 8BD = =

Del triángulo ABD por medio del teorema de Pitágoras Determinamos AB: 2 216 2 3 .2 8 2 5AB = + =

Del triángulo BDC por medio del teorema de Pitágoras Determinamos BC: 2 249 2 5 .4 8 6 4BC = + =

El perímetro del triángulo está dado por:

32.25 56.44 16 49 3. 9 15 6+ + + = metros Entonces si 1 metro de cerca nos cuesta Q50.00. Los 153.69 metros nos cuestan Q7,684.50. Por lo tanto

a. Si tenemos suficiente dinero para cercar el terreno.

b. Nos sobran Q315.50.



Un ciclista se desplaza por una pista circular de entrenamiento de 60 metros de diámetro. En un círculo de 120 metros de diámetro, concéntrico a la pista, corre una cámara de seguimiento a 30 metros del ciclista. Una segunda cámara estacionaria se encuentra en un punto de la circunferencia que traza la cámara de seguimiento, diametralmente opuesto al punto de partida del ciclista. Si el ciclista corre por la pista a una velocidad tangencial de 20 m/s,

a. ¿a qué velocidad se aproxima el ciclista a la cámara fija cuando el desplazamiento angular es de π

2 desde el punto de partida?

b. ¿a qué velocidad se aproximan las cámaras entre sí, para ese mismo ángulo?

Solución

Como primer paso debemos definiremos las etiquetas a utilizar para las variables del problema. = distancia del ciclista a la cámar a a fijx

= distancia de la cámara móvil a la cámar a a fijy

θ = es el ángulo barrido por el radio de la cámara movil

Como segundo paso establecemos la relación geométrica entre las variables y los datos conocidos.

a. Por Ley de cosenos


( ) π θ= + − −2 2 260 30 2 60 (30)cos( )x

derivando respecto del tiempo tenemos lo siguiente:

θπ θ

π θ θ

= − −

− −=

2 3600sen( )

1800sen( )

dx dx

dt dt

dx d

dt x dt

Cálculo de θd

dt

Utilizando la relación entre velocidad tangencial y velocidad angular.

θ ω= = = =20 m/s 2 rad30 m 3 seg

d V

dt R

Cálculo de x para πθ =2

Resolver un triángulo rectángulo de lados 60 y 30 e hipotenusa x

= + = =2 2(60) (30) 4500 30 5x

Ahora estamos en posición de calcular

( ) ( )

π θ θ

ππ

− −=

− −= ⋅

= −

1800sen( )

1800sen 22330 5

m8 5seg

dx d

dt x dt

b. Nuevamente por la ley de cosenos

( ) π θ= + − −2 2 260 60 2 60 (60)cos( )y

derivando respecto del tiempo tenemos lo siguiente:

θπ θ

π θ θ

= − −

− −=

2 7200sen( )

3600sen( )

dy dy

dt dt

dy d

dt y dt

Calculo de y para πθ =2

Resolver un triángulo rectángulo de lados 60 y 60 e hipotenusa y

= + = =2 2(60) (60) 7200 60 2y

Ahora estamos en posición de calcular


( ) ( )

π θ θ

ππ

− −=

− −= ⋅

= −

3600sen( )

3600sen 22360 2

m20 2seg

dy d

dt y dt



Debemos fabricar una lata de forma cilíndrica recta que contenga 1000 cm3. La tapa circular de la parte superior y del fondo deben tener un radio de 0.25 cm más que el radio de la lata para que el sobrante se utilice para sellar con la parte lateral. La hoja de material con que se construye la parte lateral también debe ser 0.25 cm más grande que la circunferencia de la lata, de modo que pueda hacerse un sello. Aproxime con una exactitud de 410− , la cantidad mínima de material necesario para fabricar la lata.

Solución

La figura muestra el cilindro, así como la tapadera y su área lateral. Se definen las variables siguientes

=r radio de la lata cilíndrica

=h altura de la lata cilíndrica

+ 0.25r

π +2 0.25r

El volumen dado de la lata es

π= =2 1000V r h Material necesario para las tapaderas de la lata

π= + 22 ( 0.25)tA r Material necesario para el cuerpo de la lata:

π= +(2 0.25)lA r h Material total necesario para construir la lata:

( ) ( )π π= + + +2, 2 ( 0.25) 2 0.25A r h r r h

Del volumen dado, despejamos h para dejar el área total en función de r

21000

hrπ

=

( ) ( )π ππ

= + + +

22

10002 ( 0.25) 2 0.25A r r rr

El dominio de ésta función es el intervalo de 0 r< < +∞


( ) ππ

= + + +22

2000 2502 ( 0.25)A r rr r

Para encontrar la cantidad mínima de material necesario para fabricar la lata, se debe optimizar la función de área total:

( )ππ

= + − − =2 3

2000 5004 0.25 0dAr

dr r r Al analizar la gráfica de la derivada del área total respecto del radio se puede observar que la solución de la misma no es exacta, por tanto, se utilizará el Método de Newton para generar una aproximación de la solución. Se utilizará como valor inicial r = 5.

Gráfica de dA

dr en el intervalo ≤ ≤0 9r

Además la derivada cambia de negativa a positiva, por el criterio de la primera derivada ocurre un máximo

Para aplicar el Método de Newton se utilizará:

1( )´( )

nn n

n

f rr r

f r+ = −

donde f es la derivada del área total

( ) ( )ππ

= = + − − =2 3

2000 5004 0.25 0dAf r r

dr r r y r es el radio de la lata.

El valor inicial r0 = 5 se tomó del análisis de la gráfica y la tolerancia

≤ 0.0001 la da el problema.

Derivado de lo anterior, se necesita calcular la segunda derivada del área total respecto de r:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

r

d A

d r


ππ

′ = + +3 4

4000 1500( ) 4f rr r

Para el método de Newton queda entonces:

( )ππ

ππ

+

+ − −

= − = −′ + +

2 3

1

3 4

2000 5004 0.25( )

4000 1500( ) 4

n

n n nn n n

n

n n

rf r r r

r r rf r

r r Tabla resumen del Método de Newton:

Iteración n rn f(rn) f´(rn)

Aproximación de la solución

rn+1 error absoluto

0 5.00000 -15.29985 45.33030 5.33752 1 5.33752 -1.03413 39.45984 5.36373 0.02621 2 5.36373 -0.00519 39.06473 5.36386 0.00013 3 5.36386 0.00000 39.06274 5.36386 0.00000

Valuando el valor del radio aproximado r = 5.36386 en la función del área total se obtiene At (5.36386) = 573.65 cm2.

Respuesta:

La cantidad mínima de material necesario para fabricar la lata es 573.65 cm2.



Se quiere que calcule la cantidad de vidrio necesaria para construir un vitral. El vitral está diseñado para dos tonos de vidrio, uno oscuro y uno claro. Se conoce que las diagonales del rombo exterior del vitral son de 12 y 16 pulgadas. ¿Cuál es la cantidad de cada tono de vidrio que deberá comprar?

Solución

Primero se calculará el radio del círculo inscrito en el rombo, para ello se utilizará la figura siguiente

Como las diagonales del rombo son perpendiculares el triángulo es rectángulo, la hipotenusa h del triángulo es

= + = =2 28 6 100 10h

Como el radio de un círculo es perpendicular a una recta tangente en el punto de tangencia, se forman 3 triángulos semejantes, como se muestra en la figura siguiente


Estableciendo la proporcionalidad entre los lados de dos de los triángulos semejantes se obtiene

=

= =

10 86

48 2410 5

r

r

El área oscura está formada por 18 segmentos circulares, por lo que el área oscura es

( )

( )

2

2

2

18 área del sector - área del tríangulo

1 3=18 ( )6 2 2

3186 4

3 24186 4 5

oA

rr r

r

π

π

π

=

−

= −

= −

El área clara es igual al área del rombo menos el área oscura, es decir

( )

( )

π

π

π

⋅ = − −

= − −

= − −

21 2

2

2

3182 6 4

(12)(16) 3 24182 6 4 5

3 2496 186 4 5

c

d dA r


DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de diez problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.


La región acotada por = 1y

x & = 0y sobre el intervalo [ +∞1, ) , se hace girar

alrededor del eje x:

a. Demuestre que el volumen del sólido resultante es finito.

b. Demuestre que el área superficial del sólido resultante es infinito.


Utilice multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos sobre la curva C de intersección del cilindro + =2 2 1x z & el plano + + =2 4x y z que está más alejado y el que está más cercano del plano xz .


Encuentre un valor aproximado con dos cifras decimales exactas de: +∞ +

=

−

+ ∑∫

2 11

00

( 1)(2 1)!

n n

n

xdx

n


Dadas las ecuaciones θ

θ

=

=2

2cos

4sen 2

r

r

a. Nombre y trace la gráfica las ecuaciones, encontrando puntos de intersección.

b. Plantee una integral que calcule el área de la región dentro de la primera y fuera de la segunda.



Exprese el volumen del sólido acotado por las superficies = − 21z x , =y x , = 2y x & = 0z (grafique la región) como una o más integrales iteradas utilizando el orden de

integración.

a. dydx b. dx dy


Suponga que la población de peces ( )P t en el rio La Pasión en Petén es atacada por una enfermedad en = 0t , con el resultado de que los peces cesan de reproducirse y la tasa de mortalidad de ahí en adelante es igual al inverso de la raíz cuadrada de la población misma. Suponga que la población de peces varia de forma proporcional a la cantidad de peces misma y a la tasa de mortalidad. Si inicialmente había 900 peces en el lago y luego de 6 semanas quedaban 441. ¿Cuánto tiempo tardaran en morir todos los peces del lago?


Un error común en los primeros cursos de cálculo es creer que la derivada del producto es.

′ ′ ′=( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x

Si ( ) =2xf x e

a. Determine si existe una función ( ) ≠ 0g x y un intervalo abierto ( , )a b tal que esta regla incorrecta del producto funcione para. ∈ ( , )x a b

b. Encuentre ( )g x .


Calcule ⋅∫C

dF r

donde = − + − + −( ) ( ) ( )y z z x x yF i j k

& C es la curva de

intersección de = + + =2 2 & 0z x y x y desde −( 2,2,8) hasta −(2, 2,8) . Grafique y nombre las superficies. Muestre la curva de intersección.


Se construirá una biblioteca ecológica cuya superficie total será de vidrio, diseñada para reducir el consumo de iluminación artificial en el día. La misma tendrá la forma del sólido de intersección de los cilindros + =2 2 1x z & + =2 2 1y z , que se forma sobre el plano xy . Calcule la cantidad de vidrio necesaria.



Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical y su parte ancha hacia abajo; con 2 metros de diámetro y 3 metros de altura. Al mediodía el tanque está completamente lleno y el líquido sale por un orificio de 2 centímetros cuadrados de área situado en el fondo del tanque. Determine a qué hora se vaciará completamente el tanque. La ecuación diferencial para drenados de tanques es

( ) = − 2dhA h a gh

dt




La región acotada por = 1y

x & = 0y sobre el intervalo [ +∞1, ) , se hace girar

alrededor del eje x:

a. Demuestre que el volumen del sólido resultante es finito.

b. Demuestre que el área superficial del sólido resultante es infinito.

Solución

La siguiente figura muestra en forma aproximada la forma del sólido que se genera al rotar la curva alrededor del eje x

a. El volumen del sólido resultante

( ) ( )

( ) ( )

( )

π π

π π

π π

+∞ +∞

→+∞

→+∞ →+∞

= =

− − − = = −

−= + =+∞

∫ ∫2 2

1 1

1

1 1lim

1 1 1lim lim1

1 1

b

b

b b

V dx dxx x

x b

Como la integral es convergente, se concluye que el volumen es finito

b. El área de la superficie generada por integral definida


[ ]π

π

π

+∞

+∞

+∞

′+

− = +

+=

= ∫

∫

∫

2

1

2

21

4

31

2 1 ( )

1 12 1

12

s

s y f x dx

A dxx x

x

x

A

dx

Por comparación

π π+∞ +∞+ >∫ ∫

4 2

3 31 1

12 2x xdx dx

x x

Analizando la convergencia de la integral en el lado derecho

π π

π

π π

π

+∞ +∞

+∞

→+∞

→+∞ →+∞

=

=

= = −

= +∞

= +∞

∫ ∫

∫

2

31 1

1

1

12 2

1lim 2

lim 2 ln lim 2 (ln ln1)

2 ln( )

b

b

b b

xdx dx

xx

dxx

x b

Entonces la integral π+∞

∫2

31

2 xdx

x es divergente.

Como la integral de la superficie de revolución es mayor que la integral anterior, se concluye que la superficie de revolución es infinita.



Utilice multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos sobre la curva C de intersección del cilindro + =2 2 1x z & el plano + + =2 4x y z que está más alejado y el que está más cercano del plano xz .

Solución

Cualquier punto del plano xz es tiene coordenadas ( ,0, )x z entonces la distancia es y & la función nos queda = =( , , )d f x y z y con las restricciones

= + −2 2( , , ) 1g x y z x z & = + + −( , , ) 2 4h x y z x y z Aplicando multiplicadores de Lagrange

λ µ= +0 2x µ=1

λ µ= +0 2 2z

+ =2 2 1x z + + =2 4x y z

Encontrando la solución del sistema µ = 1

Entonces

λ −= 12x

λ −= 1z

De las dos últimas ecuaciones

= 2z x Al sustituir en

+ =2 2 1x z Nos queda que

=25 1x −= =1 1&

5 5x x

Al sustituir en + + =2 4x y z

Nos queda que

= + = −3 34 & 45 5

y y


Entonces los puntos que están más alejado y más cercano del plano son respectivamente

( )− −+1 5 2,4 ,5 5 5

( )−1 5 2,4 ,5 5 5



Encuentre un valor aproximado con dos cifras decimales exactas de: +∞ +

=

−

+ ∑∫

2 11

00

( 1)(2 1)!

n n

n

xdx

n

Solución

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

+∞ +∞+ +

= =

+∞ +∞+ +

= =

+∞ +

=

+∞ +∞

= =

− −=+ + +

− −= −

+ + + +

−=

+ +

− −= =+ + +

∑ ∑∫

∑ ∑

∑

∑ ∑

12 1 2 21

0 0 0 0

2 2 2 2

0 0

2 2

0

0 0

( 1) ( 1)(2 1)! 2 2 (2 1)!

( 1) 1 ( 1) 5 02 2 (2 1)! 2 2 (2 1)!

( 1) 12 2 (2 1)!

( 1) ( 1)2 2 (2 1)! (2 2)!

n n n n

n n

n nn n

n n

nn

n

n n

n n

x xdx

n n n

n n n n

n n

n n n

Es una serie alternante, la cual converge si

i. →+∞

= =+ +∞1 1lim 0

(2 2)!n n

ii. >+ +1 1

(2 2)! (2 4)!n n para ≥ 0n

+ >+

+ + >

(2 4)! 1(2 2)!

(2 3)(2 4) 1

n

n

n n

Como i y ii se satisfacen la serie es convergente

Para tres cifras decimales exacta

( )< =

+1 10.005

2 2 ! 200n Para = 2n

( )= < =1 1 10.005

6 ! 720 200

+∞ +

= =

− −≈ = − +

+ +

≈

∑ ∑∫22 11

0 0 0

( 1) ( 1) 1 1 1(2 1)! (2 2)! 2 24 720

0.4597

n n n

n n

xdx

n n



Dadas las ecuaciones θ

θ

=

=2

2cos

4 sen2

r

r

a. Nombre y trace la gráfica las ecuaciones, encontrando puntos de intersección.


Solución

a. Nombre y trace la gráfica las ecuaciones, encontrando puntos de intersección

θ

θ

=

=2

2cos Circunferencia

4sen2 Leminiscata

r

r

2πθ =

0.4636θ =

Encontrando puntos de intersección

( )

θ θ

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

=

=

=

− =

− =

2

2

2

2cos 4sen2

(2cos ) 4sen2

4 cos 4(2sen cos )

4 cos 8sen cos 0

cos cos 2sen 0

Si θ =cos 0

θ −= =1sen (0) 0

Si θ θ− =cos 2sen 0


( )θ

θ −

=

= ≈1

1tan2

1tan 0.4636 rad2

Entonces los puntos de intersección son (0, 0), (1.789, 0.4636)


( )π

πθ θ θ θ θ= − +∫ ∫

0.4636 22 2

302

1 1Area (2cos ) 4sen2 (2cos )2 2

d d



Exprese el volumen del sólido acotado por las superficies = − 21z x , =y x , = 2y x & = 0z (grafique la región) como una o más integrales iteradas utilizando el orden de

integración.

a. dydx b. dx dy

Solución

La figura siguiente muestra el dibujo de la región

21= −z x

=y x

= 2y x

a. = −∫ ∫

1 22

01

x

x

V x dydx

b. = − + −∫ ∫ ∫ ∫1 2 1

2 2

0 12 2

1 1y

y yV x dx dy x dx dy



Suponga que la población de peces ( )P t en el rio La Pasión en Petén es atacada por una enfermedad en = 0t , con el resultado de que los peces cesan de reproducirse y la tasa de mortalidad de ahí en adelante es igual al inverso de la raíz cuadrada de la población misma. Suponga que la población de peces varia de forma proporcional a la cantidad de peces misma y a la tasa de mortalidad. Si inicialmente había 900 peces en el lago y luego de 6 semanas quedaban 441. ¿Cuánto tiempo tardaran en morir todos los peces del lago?

Solución

Sea t el tiempo en semanas,

)(tP = Cantidad o población de peses

=P

1 Tasa de mortalidad

Entonces

( ) ( )=

=

=

= +

∫ ∫

1

1

1

1 1

1

2

dPk P

dt P

dPk P

dt

dPk dt

P

P k t C

Si =1

2k

k & =1

2C

C

= + 2( ) ( )P t kt C

Aplicando condiciones iniciales

Para = 0t , = 900P

( )= +

=

2900 (0)

30

k C

C

Entonces

= + 2( ) ( 30)P t kt

Para = 6t , = 441P

( )= +

= −

2441 (6) 30

32

k

k


( )= − +23( ) 30

2P t t

Para que se terminen los peces se debe tener que =( ) 0P t

( )= − +

=

230 302

20

t

t

El tiempo que tardarán todos los peces en morir es de 20 semanas.



Un error común en los primeros cursos de cálculo es creer que la derivada del producto es.

′ ′ ′=( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x f x g x

Si ( ) =2xf x e

a. Determine si existe una función ( ) ≠ 0g x y un intervalo abierto ( , )a b tal que esta regla incorrecta del producto funcione para. ∈ ( , )x a b

b. Encuentre ( )g x .

Solución

a. Para establecer la existencia de ( )g x es necesario resolver la ecuación diferencial

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x g x g fx x f gx x′ ′ ′ ′+ =

Esta ecuación puede simplificarse

( )( )( ) ( ) 0( ) ( )

f xg x g x

f x f x

′′ + =′−

Donde ( ) ( ) 0f x f x′− ≠ , para ( )2xf x e=

2 2

( ) ( ) 2 0x xf x f x e xe′− = − ≠ ,

lo que significa que 12

x ≠ . Por el teorema de existencia y unicidad de las

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, si 12

x ≠ , y 0y es un

número real, entonces existe una única solución ( )g x , definida en un intervalo abierto tal que ( , )a b con ( )0 0g x y= . Escogiendo un 0 0y ≠ obtenemos la ( )g x deseada.

b. Para encontrar ( )g x resolvemos por medio de separación de variables la ecuación diferencial.

La ecuación puede reescribirse como

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

g x f x

g x f x f x

′ ′= −

′−

donde ( )2xf x e= ( )

2

2 xf x xe′ = 2

2 2

( ) 2( ) 2

x

x x

g x xe

g x e xe

′ = −

−

( ) 11( ) 2 1

g x

g x x

′= +

−

Al resolver obtenemos


1ln ( ) ln 2 12

g x x x c= + − +

Y luego,

( )12

2 1xg x Ce x= −



Calcule ⋅∫C

dF r

donde = − + − + −( ) ( ) ( )y z z x x yF i j k

& C es la curva de

intersección de = + + =2 2 & 0z x y x y desde −( 2,2,8) hasta −(2, 2,8) . Grafique y nombre las superficies. Muestre la curva de intersección.

Solución

+ = 0x y

= +2 2z x y

( ) ( )

[ ]

− − −

−

⋅ = − + − + − ⋅ + +

= − + − + −

− − + − − + +

=

=

= ∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫2 2 2

2 2

2 2 2

22

2

( ) ( )

( 2 ) (2 )( ) ( )4

(

( )

( ) ( ) (

4

43

)

)

6

C C

C

d y z z x x y dx dy dz

y z dx z x dy x y dz

x x dx x x dx x x xdx

x dx

F r i j k i j k



Se construirá una biblioteca ecológica cuya superficie total será de vidrio, diseñada para reducir el consumo de iluminación artificial en el día. La misma tendrá la forma del sólido de intersección de los cilindros + =2 2 1x z & + =2 2 1y z , que se forma sobre el plano xy . Calcule la cantidad de vidrio necesaria.

Solución

Cuando dos cilindros se intersecan, forman un sólido como el que se muestra en la figura siguiente:

Se analizará la parte del sólido que está sobre el plano xy . Se plantean los límites de integración para hallar el área superficial en la mitad del primer octante. Luego se utilizará simetría para obtener el área superficial total, multiplicando el resultado por 8.

Al intersecar los dos cilindros:

Cilindro 1: 2 2 1x z+ = Cilindro 2: 2 2 1y z+ =

Se obtiene: 2 21 1x y

x y

+ − =

=

x

y

z

21= −z x

y x=

0z =

En el plano xy


y x=

dA dx dy= 0 1x≤ ≤ 0 y x≤ ≤

Planteo de la integral para el área de la superficie, en el primer octante:

( ) ( )2 21 [ , ] [ , ]S x y

R

A f x y f x y dA= + +∬

Del cilindro 1:

( )2 2 21 , 1x z z f x y x+ = ⇒ = = −

( )2 1/2

,(1 )x

xf x y

x

−=−

, ( ), 0yf x y =

1 2

2 1/2

2

2

2 2

2

2

20

0 0

1

0 0

1

0 0

1

0 0

1

0

1

0 2

1(1 )

11

11

11

11

11

x

S

x

x

x

x

xdy dx

x

xdy dx

x

x xdy dx

x

dy dxx

y dx

A

x

x dxx

=

=

=

=

=

−+ −

+ −

− +−

−

−=

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫


( )

2

2 1/2

2 1/

1

0

1

2

11

0

1

0

/22

0

11

(1 )

1 2 (1 )2

1

0 ( 1) 1

S x dxx

x x dx

x x dx

x

A

−

−

=−

= −

= − − −

= − −

= − − =

∫

∫

∫

De acuerdo al planteo inicial de la región R, este valor corresponde a la mitad el área superficial en el primer octante, por lo tanto se multiplica por 8 para tener el área superficial total:

1(8) 8TSA = = unidades cuadradas.

RESPUESTA:

La cantidad de vidrio necesario para cubrir la superficie de la biblioteca ecológica es de 8 unidades cuadradas.



Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical y su parte ancha hacia abajo; con 2 metros de diámetro y 3 metros de altura. Al mediodía el tanque está completamente lleno y el líquido sale por un orificio de 2 centímetros cuadrados de área situado en el fondo del tanque. Determine a qué hora se vaciará completamente el tanque. La ecuación diferencial para drenados de tanques es

( ) = − 2dhA h a gh

dt

Solución

Las dimensiones del tanque están dadas en metros por lo que el área del orificio de salida también debe quedar expresada en metros.

−= = ×2 4 22 cm 2 10 ma

la gravedad se utilizará como 29.81m/segg = .

La siguiente figura muestra la forma y las dimensiones del tanque parabólico

Como se observa en la figura, las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo radio r varía de acuerdo con la altura a la cual se efectúe el corte, por lo tanto, el área de la sección transversal es

π= 2( )A h r Debe establecerse la relación entre el radio variable r de las circunferencias que se forman y la altura h , para ello conviene visualizar el tanque de frente como una figura plana, ubicándolo en un sistema de coordenadas cartesianas.


La ecuación de la curva debe determinarse y para ello se debe recordar que la ecuación de una parábola vertical con vértice en ( ),h k y que abre hacia abajo es

( ) ( )− = − −2 4x h p y k

Sustituyendo en la ecuación el vértice de la parábola, que es el punto ( )0,3 se tiene

( ) ( )− = − −

= − −

2

2

0 4 3

4 ( 3)

x p y

x p y

Además se sabe que la parábola pasa por los puntos ( )1,0 y ( )−1,0 , sustituyendo las coordenadas de uno de cualquiera de los dos puntos se puede obtener el foco

Usando el punto ( )1,0 se tiene que

( ) ( )− = − −

=

=

21 0 4 0 3

1 12

112

p

p

p

Entonces la ecuación de la parábola que genera dicho paraboloide es

( ) ( ) ( )

( )

− = − −

= − −

2

2

10 4 312

1 33

x y

x y

La cual, al ser expresada en términos de las variables r y h queda de la siguiente forma

( )= − −2 1 33

r h

( , )P r h


Ahora se sustituye 2r en la ecuación del área de la sección transversal horizontal del tanque

2( )

( 3)3

(3 )3

A h r

h

h

π

π

π

=

= − −

= −

Sustituyendo ( )A h y la gravedad en la ecuación diferencial del drenado de tanques se tiene:

( )

( )

( )

( )

4

4

41/2 1/2

41/2 1/2

41/2 3/2

2

(3 ) 2 10 2 9.813

3 6 10 19.62

6 10 19.623

6 10 19.623

2 6 10 19.6263

dhA h a gh

dt

dhh h

dt

h dh

dth

h h dh dt

h h dh dt

h h t c

π

π

π

π

π

−

−

−−

−−

−

= −

− = − × ×

− − ×=

− ×− =

− ×− =

− ×− = +

∫ ∫

Se tiene como condición inicial que el tanque se encuentra completamente lleno, por lo tanto cuando = 0t entonces = 3h

41/2 3/22 6 10 19.626(3) (3) (0)

3

26 3 273

4 3

c

c

c

π

− − ×− = +

− =

=

Por lo que: 4

1/2 3/22 6 10 19.626 4 33

h h tπ

− − ×− = +

Para establecer el tiempo total de vaciado: Esto ocurre cuando la altura del líquido en el tanque es cero

Cuando = 0h se tiene que:


π

π

π

π

−

−

−

−

− × − = +

− × = +

× =

=×

= ≈

41/2 3/2

4

4

4

2 6 10 19.626(0) (0) 4 33

6 10 19.620 4 3

6 10 19.62 4 3

4 36 10 19.628,189.73 seg 8,190 seg

t

t

t

t

t

Es decir que el tiempo es de 2 horas, 16 minutos y 30 segundos

Por lo que la hora en la que se vacía el tanque es aproximadamente a las 14:16:30 pm


4.2 FÍSICA

DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1:

El tubo Venturi que se muestra en la figura, posee una sección de 30 cm de diámetro y un estrangulamiento de 15 cm de diámetro, por los cuales circula agua. Asimismo, en el manómetro el diferencial entre las columnas de mercurio es de 35.8 cm (en el manómetro los líquidos se encuentran en estado estático). Determine el caudal del agua en el venturímetro. ( ρ = 3

agua 1000 kg/m , ρ = 3mercurio 13600 kg/m ).

RL

75.0 cm

z

35.8 cm

30 cm

15

cm

B

A


Problema 2:

El matemático Joseph-Louis Lagrange descubrió cinco puntos especiales en las inmediaciones de la órbita de la Tierra en torno al Sol, donde un satélite pequeño (de masa m) puede orbitar el Sol con el mismo periodo T que la Tierra. Uno de estos “puntos de Lagrange”, llamado L1, está entre la Tierra (masa EM ) y el Sol (masa SM ), en la línea que los conecta. Es decir, la Tierra y el satélite siempre están separados por una distancia d. Si el radio orbital de la Tierra es ESR , entonces el radio orbital del satélite es ( −ESR d ). Calcule d.

Problema 3:

Una viga horizontal uniforme de longitud = 8.00 ml y peso = 200 NbW está unida a

una pared por medio de un pin (bisagra). Su extremo derecho está soportado por un cable que forma un ángulo ϕ = °53.0 con la viga. Una persona de peso = 600 NpW se

para a una distancia d desde la pared y camina hacia el extremo soportado por el cable.

a. Encuentre una expresión para el ángulo θ de la fuerza de reacción en la bisagra.

b. Encuentre una expresión para la magnitud de la fuerza de reacción en la bisagra


Problema 4:

Pedro se encuentra enseñándole a jugar trompo a Miguel, en determinado momento Pedro lanza el trompo, Miguel asegura que el trompo caerá desde el instante que choque con el suelo ya que la punta que lo sostiene es muy pequeña en relación al tamaño del trompo por lo que supone que no podrá mantenerse en pie, Pedro le explica el movimiento del trompo de acuerdo a la figura que se muestra a continuación. Si usted fuera Pedro, ¿cómo le explicaría a Miguel el movimiento del trompo de acuerdo con la figura? Defina la expresión que describe la rapidez angular de precesión.



Problema 1:

El tubo Venturi que se muestra en la figura, posee una sección de 30 cm de diámetro y un estrangulamiento de 15 cm de diámetro, por los cuales circula agua. Asimismo, en el manómetro el diferencial entre las columnas de mercurio es de 35.8 cm (en el manómetro los líquidos se encuentran en estado estático). Determine el caudal del agua en el venturímetro. ( ρ = 3

agua 1000 kg/m , ρ = 3mercurio 13600 kg/m ).

Solución

Para resolver este problema aplicaremos dinámica de fluidos entre los puntos A y B. Escogiendo como nivel de referencia el punto A.

ρ ρ ρ ρ+ + = + +2 2agua agua agua agua

1 12 2A A A B B Bp v gh p v gh

Por el nivel de referencia elegido = =0 y 0.75mA Bh h . Asimismo,

aplicando la ecuación de continuidad podemos expresar la velocidad en el punto A en términos de la velocidad en B y la relación entre las áreas de las tuberías.

RL

75.0 cm

z

35.8 cm

30 cm

15

cm

B

A


=A A B BA v A v = B BA

A

A vv

A

Sustituyendo lo anterior, en la ecuación de Bernoulli planteada:

ρ ρ ρ

+ = + +

22

agua agua agua1 12 2

BA B

BB

AB

A v

Ap p v gh

Despejando −A Bp p

ρ ρ

− = − +

22

agua agua12

B B

AA B B Bp p v

A

Agh

v

Debido a que desconocemos la diferencia de presiones −A Bp p , aplicaremos

estática de fluidos en el manómetro, observando que en los puntos L y R que se encuentran al mismo nivel la presión es la misma:

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ

+ + = + + +

+ + = + + +

=

agua agua mercurio

agua agua agua agua mercurio

( 0.358) ( 0.75) (0.358)

0.358 0.75 (0.358)

A B

A B

L R

p g z p g z g

p gz g

p

g p z g

p

g

Despejando de esta última ecuación −A Bp p

ρ ρ− = − +

= +

=

agua mercurio(0.75 0.358) 0.358

(1000)(9.8)(0.392) 0.358(13600)(9.8)

51556

A B

a

p p g g

P

Sustituyendo el resultado anterior, en la ecuación planteada con Bernoulli:

( )

ρ ρ

ππ

− = − +

= − +

= − +

22

agua agua

22

2

2 2

12

(0.075)151556 (1000) 1 (1000)(9.8)(0.75)2 (0.15)

51556 500 1 (0.25) 7350

A B B B

B

A

B

B Bp p v gh

v

v

A v

A

= 9.71 m/sBv

Por lo que el caudal a través de la tubería es:

( ) ( )π= = =2 3caudal 0.075 9.71 0.1712m /sB BA v


Problema 2:

El matemático Joseph-Louis Lagrange descubrió cinco puntos especiales en las inmediaciones de la órbita de la Tierra en torno al Sol, donde un satélite pequeño (de masa m) puede orbitar el Sol con el mismo periodo T que la Tierra. Uno de estos “puntos de Lagrange”, llamado L1, está entre la Tierra (masa EM ) y el Sol (masa SM ), en la línea que los conecta. Es decir, la Tierra y el satélite siempre están separados por una distancia d. Si el radio orbital de la Tierra es ESR , entonces el radio orbital del satélite es ( −ESR d ). Calcule d.

Solución

( )22

2 2

2 E S E ESE

ESES ES

GM M M RM v

RR R T

π= =

2

2 2

4S ES

ES

GM R

R T

π= (1)

( )

( )2

2 2 2

4S ESE

ES

GM R dGM

d TR d

π −− =

−

2 2

2 2 2

41 1S ESE

ES ESES

GM RGMd d

R RR d T

π− − − = −

Utilizando el hecho de que

( )1 1 , 1nx nx si x+ ≈ +

2

2 2 2

421 1S ESE

ES ESES

GM RGMd d

R RR d T

π + − = −

(2)

En (2)

2 2 221 1S SE

ES ESES ES

GM GMGMd d

R RR d R

+ − = −

2 23S E

ESES

GM GMd

RR d

=

13

3 S

=

EES

Md R

M


Problema 3

Una viga horizontal uniforme de longitud = 8.00 ml y peso = 200 NbW está unida a una pared por medio de un pin (bisagra). Su extremo derecho está soportado por un cable que forma un ángulo 53.0φ = ° con la viga. Una persona de peso = 600 NpW se

para a una distancia d desde la pared y camina hacia el extremo soportado por el cable.

a. Encuentre una expresión para el ángulo θ de la fuerza de reacción en la bisagra.

b. Encuentre una expresión para la magnitud de la fuerza de reacción en la bisagra

Solución

a. 0oτΣ =

( )sen 02o b pl

T l W d Wτ φΣ = ⋅ − ⋅ − ⋅ =

( )2sen

b pl

W d WT

l φ

⋅ + ⋅=

⋅

0xFΣ =

cos 0

cos

x

x

R T

R T

φ

φ

− =

=

0yFΣ =

sen 0

sen 0b p

y b p

y

R T W W

R W TW

φ

φ

+ − −

= + −

=

=


( )

( )

( )

( )

1 1

1

1

sintan tan

cos

2 sinsin

tan

2 cossin

2

tan

2tan

y b p

x

b p

b p

b p

b p

b p

b p

R W W T

R T

lW d W

W Wl

lW d W

l

lW d W

W Wl

lW d W

l

φθ

φ

φφ

θ

φφ

θ

φ

− −

−

−

+ − = =

⋅ + ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + −

= ⋅ + ⋅ ⋅

b.

2 2x yR R R= +

( ) ( )

2 2

t n2 2

a

b p b p

b p

l lW d W W d W

R W Wl l φ

+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

= + − +


Problema 4

Pedro se encuentra enseñándole a jugar trompo a Miguel, en determinado momento Pedro lanza el trompo, Miguel asegura que el trompo caerá desde el instante que choque con el suelo ya que la punta que lo sostiene es muy pequeña en relación al tamaño del trompo por lo que supone que no podrá mantenerse en pie, Pedro le explica el movimiento del trompo de acuerdo a la figura que se muestra a continuación. Si usted fuera Pedro, ¿cómo le explicaría a Miguel el movimiento del trompo de acuerdo con la figura? Defina la expresión que describe la rapidez angular de precesión.

Solución

Como el cambio en la cantidad de movimiento angular tiene la misma dirección que el toque debido al peso del trompo (perpendicular al vector de cantidad de movimiento angular), eso produce que la cantidad de movimiento angular cambie su dirección constantemente siguiendo la circunferencia del plano horizontal.

( sen )

( sen )

dL L d

dL dL

dt dt

φ θθφ

=

=

La derivada respecto al tiempo de θ , representa la velocidad angular de

precesión, tomando en cuenta que dL

dtτ =


sen

( sen )

sen ( sen ) p

rmg

dL

dt

dL

dt

rmg L

φ τ

θφ

φ φ ω

=

=

=

=

Entonces

sensenp

rmg

L

φωφ

=

Como L Iω=

Definiendo así la rapidez angular de precesión como

p

rmg

Iω

ω=


DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1:

El sistema de la figura está comprendido por una esfera aislante sólida grande (de radio R1) centrada en el origen, la cual posee un agujero en donde luego se colocó otra esfera sólida aislante (de radio R2), llenando completamente el espacio vacío. La densidad de carga volumétrica de la esfera mayor es constante y tiene un valor ρ0 . Por

su parte, la esfera menor tiene una densidad de carga volumétrica que varía con su radio, respecto a su propio centro (no respecto al origen): −= r

ρ ρ e2 0 . Determine el campo eléctrico en el origen, dadas las siguientes condiciones: R1 = 0.5m, R2 = 0.1m, ρ −= × 3

0 5 10 C/m³.


Problema 2:

En la figura adjunta, la corriente fluye a través de un cono truncado circular recto de resistividad 731 ⋅ Ω m . El radio izquierdo del cono es = 2.00 mma , el radio derecho del cono es = 2.30 mmb , y la longitud es = 1.94 cmL . Suponga que la densidad de corriente es uniforme a través de cualquier sección transversal tomada perpendicular a la longitud.

a. ¿Cuál es la resistencia del cono?

b. Si la corriente que circula a través del cono es de 50 mA, ¿qué potencia disipa el cono?

Problema 3:

Una bobina cuadrada está construida de hilos muy delgados, cuya masa y resistencia eléctrica son consideradas despreciables. Dicha bobina está montada en el borde de una lámina cuadrada de lado a la cual es muy delgada y se encuentra pivotada alrededor de un eje sin fricción que pasa por centro de gravedad. Considere que dicha bobina cuadrada también posee lado a.

Inicialmente por la bobina se hace pasar una pequeña corriente eléctrica en la dirección como aparece en la figura adjunta, siendo el ángulo θ muy pequeño.

La bobina tiene las especificaciones siguientes = 10 cma , = 100 vueltas N y la lámina delgada se considera un cuadrado de lado a , que tiene una masa = 0.10 m kg

a. Si la corriente que se hace pasar por la bobina es de 25 mA , se encuentra casi horizontal y sumergida en un campo magnético externo ( )=

r

10 ˆB mT z el cual es

uniforme, calcule el período de las pequeñas oscilaciones de la bobina.

b. Si la bobina se rota desde una posición horizontal (θ = °0 ) , hasta una posición en la cual θ = °90 , calcule el trabajo realizado por el campo magnético.

Posteriormente la corriente que se pasa por la bobina se elimina y externamente la

espira se hace rotar con una velocidad angular ω π= rad2 s

, en sentido contrario a

las manecillas del reloj. El campo externo permanece no se modifica.


c. Calcule la fem inducida en la bobina al hacerla rotar en dicho campo externo.

d. Calcule la energía promedio transferida a una resistencia externa de valor = 10 ΩR conectada a la bobina.

Problema 4:

Un tanque rectangular con lados “a”, “b” y “c”, como el que se observa en la figura se encuentra lleno de un aceite con constante dieléctrica “k”, en sus dos caras más pequeñas se encuentran placas conductoras que forman un capacitor.

a. Escriba una expresión que describa la capacitancia en función del nivel del aceite “l”.

Para los siguientes incisos utilice las dimensiones del tanque = 1.0 ma , = 5.0 mb , = 2.0 mc y que el aceite utilizado es de ricino ( = 2.7k ).

b. Se mide el voltaje entre las placas cuando se encuentra lleno de aceite y se determina que es de 50.0 mV. ¿Cuál es la carga total encerrada entre las placas?

c. Con el tanque lleno, se empieza a extraer el aceite con un caudal de 0.25 m3/s; después de 30 segundos, ¿cuál será el voltaje entre sus placas?

d. ¿Cuál será el voltaje cuando esté vacío?



Problema 1:

El sistema de la figura está comprendido por una esfera aislante sólida grande (de radio R1) centrada en el origen, la cual posee un agujero en donde luego se colocó otra esfera sólida aislante (de radio R2), llenando completamente el espacio vacío. La densidad de carga volumétrica de la esfera mayor es constante y tiene un valor ρ0 . Por

su parte, la esfera menor tiene una densidad de carga volumétrica que varía con su radio, respecto a su propio centro (no respecto al origen): −= r

ρ ρ e2 0 . Determine el campo eléctrico en el origen, dadas las siguientes condiciones: R1 = 0.5m, R2 = 0.1m, ρ −= × 3

0 5 10 C/m³.

Solución

Cálculo de

Se aplica principio de superposición y se suma la contribución de la esfera pequeña cargada y el agujero de la esfera grande; este último se modela como una esfera ocupando el espacio vacío con la misma magnitud de densidad de carga de la esfera grande, pero de signo negativo.


Por lo tanto, el campo neto se calcula como '

2 1= +uuruurr

E E E , donde 2

uur

E es el campo

producido por la esfera incrustada en el agujero y 1

uur'E es campo producido por

el agujero (modelado como una densidad de carga negativa).

Antes de determinar el campo neto, se calcula la distancia del centro del agujero hacia el origen:

Partiendo de la Ley de Gauss

Φ =

es la carga neta de la esfera pequeña. La superficie gaussiana queda fuera de R2

∙ =

Como la superficie gaussiana es simétrica y concéntrica a la distribución de carga de la esfera pequeña, la magnitud del campo producido por ésta (E) es constante en toda la superficie y ambos vectores son paralelos. La integral se simplifica a:

=

La superficie gaussiana es esférica, por lo que

( )(4) =

Y por ende…

= 4

Por el momento es de interés únicamente la magnitud del campo. Luego se procederá a la separación por componentes para la suma de vectores. La única

r

Superficie Gaussiana

Le radio de la superficie gaussiana r es la diferencia de radios de las esferas, por lo que


variable a calcular para obtener el campo es ahora la carga neta de la esfera pequeña.

=

Se procederá a integrar en coordenadas esféricas. Por tanto, el diferencial de volumen se define como

= sen

=

Como la carga de la esfera pequeña está distribuida únicamente desde su propio origen hasta el radio R2, la integral con límites queda así:

= !" sen #

#

$%

= !" sen #

#

$%

= 2 !" sen #

$%

= 2 !" sen #

$%

= 2 !"[− cos |# $%

= 4 !"$%

Esta última integral no es directa, por lo que se procede a resolver por partes.

, = !"

, = -. − .-

Donde

- = . = !"

- = 2 . = − !"

, = − !" − (− !")(2)

, = − !" + 2 !"

Nuevamente es necesario integrar por partes


0 = 2 !"

0 = -. − .-

Donde

- = 2 . = !"

- = 2 . = − !"

0 = −2 !" − (− !")(2)

0 = −2 !" + 2 !"

0 = −2 !" − 2 !"

Al unir el resultado de z con w, se obtiene que , = − !"[ + 2 + 2]

Por lo que la carga neta en la esfera pequeña es

= 4[− !"( + 2 + 2)|$%

= 4[− !$%(3 + 23 + 2)] − [− (2)] = 4[2 − !$%(3 + 23 + 2)]

Si R2 = 0.1m y = 5 6768,

= 19.43 =>

Ahora para calcular el campo eléctrico producido por la esfera pequeña, se toma la expresión deducida con anterioridad y se evalúa con la carga neta

= 4?"@.A6,C%@DE.AFG7

= 1.092 × 10J K>

Ahora se procede a determinar las componentes del campo en el origen. Como al ángulo es de 45°, ambas componentes (eje x y eje y) son iguales en magnitud.

L = M = √2 = 772 PK

>

Finalmente,

= − L Q + S T Por lo tanto

= (−UUV + UU W) XYZ

Se procede ahora a calcular el campo eléctrico derivado del hecho que el vacío de la esfera grande se modela como una densidad de carga negativa.


Cálculo de [\ Utilizando Ley de Gauss

ΦD = D\

Nótese que qD\ es la carga encerrada únicamente en el volumen donde se encuentra el vacío.

D\ ∙ = D\

Nuevamente, la superficie gaussiana es concéntrica y simétrica respecto a la distribución de carga, por lo que la integral se simplifica a

D\ (4) = D\

Siendo la magnitud del campo:

D\ = D\4

Se procede a encontrar la carga encerrada qD\ .

D\ = −

Esta vez, la densidad de carga volumétrica es constante ρ. El cálculo de la carga neta se reduce a:

D\ = − _43 3F`

Es importante notar que el signo de la carga neta es contrario, ya que se está modelando el vacío. No obstante, con el fin de no entorpecer el cálculo de magnitudes, el efecto del signo negativo se verá reflejado hasta el instante donde se calculen las componentes del campo eléctrico resultante. De acá en adelante se trabajará solamente con la magnitud de qD\ .

|D\ | = _43 3F`?ab@c6768 ,$%@.D6 = 20.94 =>

Seguidamente, la magnitud del campo eléctrico se calcula utilizando Gauss (de la expresión que se obtuvo anteriormente)

D\ = |D\ |4d

Cef @E.EAG7,"@.A6= 1.177 × 10J K

>

Dado que la ubicación del agujero es igual a la de la esfera pequeña, la distribución de los ángulos para calcular la magnitud del campo eléctrico por componentes tiene el mismo comportamiento

D\ L = DM\ = D\

√2 = 832 PK>


Por último, en este instante se tomará en consideración el efecto de la carga con signo negativo que modela el volumen vacío dentro de la esfera mayor.

D\ = D\ L Q − DM\ T

Y al evaluar,

[\ = (hi V − hi W) XYZ

Cálculo de neto en el origen El campo eléctrico neto es la suma vectorial de todas las contribuciones de la distribución.

= + D\ = − L Q + S T + D\ L Q − DM

\ T = [(−772 + 832) Q + (772 − 832) T] PK

> = [jk V − jk W] XY

Z


Problema 2:

En la figura adjunta, la corriente fluye a través de un cono truncado circular recto de resistividad 731 ⋅ Ω m . El radio izquierdo del cono es = 2.00 mma , el radio derecho del cono es = 2.30 mmb , y la longitud es = 1.94 cmL . Suponga que la densidad de corriente es uniforme a través de cualquier sección transversal tomada perpendicular a la longitud.

a. ¿Cuál es la resistencia del cono?

b. Si la corriente que circula a través del cono es de 50 mA, ¿qué potencia disipa el cono?

Solución

LR

Aρ= como el área varia: dl

dRA

ρ=

dlR

Aρ= ∫

Por relación de triángulos: b a r a

L l

− −= ( )( )r a

l Lb a

−= ⋅

−

Derivando: ( )L dr

dlb a

⋅=−

Sustituyendo:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2 2 1

1 1

bb b

a a a

L dr L Ldr rR

b a b ab a r r

L L La bR

b a b a b a ab ab

ρ ρρπ ππ

ρ ρ ρπ π π

− = = = − − − −

− + = − + = = − −

∫ ∫

( ) ( )( )

731 m 0.0194m 981,321.7 0.0023m)(0.0020m

Rπ

Ω= = Ω

( ) ( )22 0.050 981,321.7 2,453.3 WattsP i R A= = Ω =⋅ ⋅


Problema 3:

Una bobina cuadrada está construida de hilos muy delgados, cuya masa y resistencia eléctrica son consideradas despreciables. Dicha bobina está montada en el borde de una lámina cuadrada de lado a la cual es muy delgada y se encuentra pivotada alrededor de un eje sin fricción que pasa por centro de gravedad. Considere que dicha bobina cuadrada también posee lado a.

Inicialmente por la bobina se hace pasar una pequeña corriente eléctrica en la dirección como aparece en la figura adjunta, siendo el ángulo θ muy pequeño.

La bobina tiene las especificaciones siguientes = 10 cma , = 100 vueltas N y la lámina delgada se considera un cuadrado de lado a , que tiene una masa = 0.10 m kg

a. Si la corriente que se hace pasar por la bobina es de 25 mA , se encuentra casi horizontal y sumergida en un campo magnético externo ( )=

r

10 ˆB mT z el cual es

uniforme, calcule el período de las pequeñas oscilaciones de la bobina.

b. Si la bobina se rota desde una posición horizontal (θ = °0 ) , hasta una posición en la cual θ = °90 , calcule el trabajo realizado por el campo magnético.

Posteriormente la corriente que se pasa por la bobina se elimina y externamente la

espira se hace rotar con una velocidad angular ω π= rad2 s

, en sentido contrario a

las manecillas del reloj. El campo externo permanece no se modifica.

c. Calcule la fem inducida en la bobina al hacerla rotar en dicho campo externo.

d. Calcule la energía promedio transferida a una resistencia externa de valor = 10 ΩR conectada a la bobina.

θ

ur

B

Solución

a. Dado que la bobina con corriente constituye un dipolo magnético, al interactuar con el campo magnético externo experimenta un torque restitutivo

= ×τ μ B , el cual la hará oscilar cumpliendo la segunda ley de Newton:

sen xB Iµ θ α− =


Para pequeños ángulos senθ θ≈ , y dado que 2

2d

dt

θα = obtenemos:

2

2xd

B Idt

θµ θ− =

La cual reordenándola es la ecuación de un oscilador armónico simple, dado por:

2

20

x

Bd

Idt

µθ θ + =

Por lo que el período de las pequeñas oscilaciones está dado por:

2 3.62 s xIT

Bπ

µ= =

En donde

( ) ( ) ( )2 3 2

3 2

100 25 10 0.1 A m

25 10 A m

NIA x

x

µ −

−

= = ⋅

= ⋅

el momento dipolar magnético de la bobina es

( ) ( )

2

2 2

26

1 mL121 0.1 0.1 k

83.3

g m12

kg m3 10

xI

−= ×

=

= ⋅

⋅

es el momento de inercia de la lámina cuadrada sobre la cual está montada la bobina alrededor del eje x que pasa por su centro de gravedad.

b. La bobina posee una energía potencial dada por

U = − ⋅μ B

El cambio de energía potencial está dado de la bobina está dada por:

( ) ( )

( )

( )

0

0

0

3 2

6

cos cos

(25 10 A m 10 mT) cos90 cos0

250 0 J

)(

1

f

f

f

U

B B

B cos cos

µ θ µ θ

µ θ θ

−

−

∆ = − ⋅ − − ⋅

= − +

= − − =

= − × ⋅ ° − °

= ×

μ B μ B

Por lo que el trabajo que realiza el campo magnético está dado por:


6250 10 N mW U −= −∆ = − × ⋅

c. Aplicando la ley de inducción de Faraday, el flujo que pasa por la bobina está cambiando con el tiempo debido a su rotación, induciendo una fem, la cual está dada por:

[ ]ΦBd d NBA dANB

dt dt dtε = − = − = −

Dado que ( )t tθ ω= y ( ) ( )2 2cos cosA t a t a tθ ω= =

( )

( )

2 sen

62.83mV sen2

t NBa t

t

ε ω ω

π

=

=

d. La potencia que se transfiere a la resistencia es función del tiempo, por lo que hay que calcular su valor medio y la energía transferida estará dada por dicha potencia media por el tiempo, el cual es medio período de la onda sinusoidal.

La potencia en una resistencia, está dada por:

( )( )2t

P tR

ε=

Y puesto que

[ ]0 2

00

1 1sen22

T

t dtT

π =∫

su valor medio temporal, está dado por:

εµ= =

2

197.38 2mP WR

Sabiendo que

02 0.5s

2 2T

Tπω

= = = ,

la energía media transferida al resistor, está dada por:

( ) ( )µ µ= ⋅ = =0 197.38 0.5s 98.69 JE P T W


Problema 4:

Un tanque rectangular con lados “a”, “b” y “c”, como el que se observa en la figura se encuentra lleno de un aceite con constante dieléctrica “k”, en sus dos caras más pequeñas se encuentran placas conductoras que forman un capacitor.

a. Escriba una expresión que describa la capacitancia en función del nivel del aceite “l”.

Para los siguientes incisos utilice las dimensiones del tanque = 1.0 ma , = 5.0 mb , = 2.0 mc y que el aceite utilizado es de ricino ( = 2.7k ).

b. Se mide el voltaje entre las placas cuando se encuentra lleno de aceite y se determina que es de 50.0 mV. ¿Cuál es la carga total encerrada entre las placas?

c. Con el tanque lleno, se empieza a extraer el aceite con un caudal de 0.25 m3/s; después de 30 segundos, ¿cuál será el voltaje entre sus placas?

d. ¿Cuál será el voltaje cuando esté vacío?

Solución

a. Cuando el tanque se encuentra hasta un nivel “l” de aceite, el tanque se comporta como dos capacitores en paralelo. Ca y Cd

( )0 0

T a d

T

C C C

a c l alC k

b b

= +

−= +ò ò

( ) ( )[ ]0 1= + −ò

T

aC l c l k

b

b. Cuando el tanque está lleno l c= y la ecuación anterior queda:

0T

acC k

b=ò

Despejando la carga de la ecuación qC

V= y sustituyendo por los valores

dados:


( ) ( ) ( )( ) ( )

12 130

0

8.85 10 Fm 1m 2m2.7 50 10 0.48pC

5mT

acq kV V

b

− −−×

= = × =ò

c. El volumen total del tanque “abc” es de 10 m3, el volumen extraído es de 3

30.25 m 30s 7.5ms

× =

dejando un restante de 2.5 m3, la altura del aceite es

( ) ( )

32.5m 0.5m5m 1m

l = =

( )( )

( )[ ]

00

0 1

t

T

ackV

q bV l

aC lc l k

b

= =

+ −

ò

ò

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

30 2m 2.7 50 10

94.741 2m 0.5m 2.7 1

VckVV l

c l k

−×= = =

+ − − −mV

d. Cuando 0L =

( ) 000 2.7 50 135

ckVV kV mV

c= = = × = mV


4.3 QUÍMICA

DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso del celular. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

PRIMERA SERIE: Selección múltiple (40 pts.)

Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. Subraye la propuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. ¿Cuál será la masa en gramos por centímetro de longitud de una barra de acero que tiene una longitud de 16 pulgadas y una masa de 6.25 libras?

a. 457.57

b. 3.38 x10-4

c. 449.73

d. 177.06

e. 69.82

2. Se vierte una solución de benceno que contiene 0.1mm3 de ácido esteárico, en una bandeja con agua. El ácido esteárico es insoluble en agua, pero se distribuye sobre la superficie para formar una película continua con un área de 400 cm2. Después que el benceno se evapora, ¿Cuál es el espesor promedio en angstroms de la película?

a. 12.5 A°

b. 25.0 A°

c. 0.025 A°

d. 0.04 A°

e. 2.5 x10-9


3. Se refiere a la ecuación que denota que la energía de un fotón en el efecto fotoeléctrico se transfiere a un electrón de la placa de metal,

a. El Operador Hamiltoniano

b. La energía del fotón

c. La conservación de la energía

d. a y c son correctas

e. Ninguna de las anteriores es correcta

4. La longitud de onda de corte se puede decir que representa:

a. La máxima longitud de onda para la cual se tendrá emisión de electrones.

b. La mínima longitud de onda para la cual se tendrá emisión de electrones.

c. La máxima frecuencia que dará una emisión de electrones.

d. La longitud de onda de los electrones emitidos por el efecto fotoeléctrico.

e. Ninguna de las anteriores es correcta.

5. Para conocer el número de oxidación de los no metales, cuando actúan como cationes, es necesario restarle al número de columna en que se encuentran, el siguiente valor:

a. -1

b. -2

c. +8

d. +7

e. 0

6. La tendencia de la electronegatividad en la tabla periódica es la siguiente:

a. Aumenta hacia la derecha y disminuye hacia abajo.

b. Disminuye hacia la derecha y aumenta hacia abajo.

c. Disminuye hacia la derecha y disminuye hacia abajo.

d. Aumenta hacia la derecha y aumenta hacia abajo.

e. Aumenta hacia abajo y disminuye hacia la derecha.

7. ¿Qué grupo de elementos de la tabla periódica presenta el mayor tamaño?

a. Los halógenos

b. Los metales de transición

c. Los metales alcalinos

d. Los nitrogenoides

e. Los calcógenos


8. ¿Qué grupo de elementos de la tabla periódica tienen las menores energías de ionización?

a. Los metales de transición

b. Los halógenos

c. Los calcógenos

d. Los metales alcalinos

e. Los metales alcalinotérreos

9. Subraye ¿Cuál de los siguientes pares de elementos forma el enlace iónico más fuerte?

a. K + I

b. K + Ne

c. K + F

d. K + Cl

e. Ninguna es correcta

10. Subraye ¿Cuál de los siguientes pares de elementos forma el enlace más Covalente apolar?

a. Ca + O

b. C + F

c. C + N

d. C + H

e. Ninguna de las anteriores

11. Cuál es el grupo funcional de los peróxidos.

a. (OH)-

b. (O-2)

c. (H-1)

d. (O2)-2


12. De las siguientes fórmulas cuál corresponde al anhidrído nítrico.

a. N2O5

b. NO3

c. N2O3

d. N2O



13. El número de oxidación del hidrógeno en el PH3 es:

a. +3

b. -3

c. +1

d. -1

e. Ninguno

14. El compuesto NO, recibe el nombre de:

a. anhídrido hiponitroso

b. anhídrido nitroso

c. óxido nítrico

d. anhídrido nítrico

e. óxido nitroso (II)

15. Considere la siguiente reacción química de combustión incompleta del metano:

CH4 + O2 CO + CO2 + H2O

Si este problema se resuelve por la técnica algebraica, ¿cuál es el número de grados de libertad del sistema de ecuaciones?

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. Ninguna de las anteriores es correcta

16. Considere la siguiente reacción para la formación de caolinita (Al2Si2O5(OH)4) en el suelo:

NaAlSi3O8 + H2CO3 + H2O → NaHCO3 + Al2Si2O5(OH)4 + H2SiO3

Cuando se halla la ecuación química, cuál es el coeficiente estequiométrico de la caolinita:

a. 1

b. 2

c. 3

d. 5

e. Todas son correctas


17. Para describir completamente un gas ideal, es necesario el conocimiento de cuatro observables relacionadas con éstos, las cuales son:

a. La cantidad de materia

b. La presión

c. El volumen

d. La temperatura

e. Todas la anteriores

18. Lea la siguiente afirmación “Si la temperatura permanece constante, el volumen de una determinada masa de gas varía en forma inversamente proporcional a la presión”, por lo tanto, ¿a qué ley de los gases ideales corresponde?

a. Ley de los gases ideales

b. Ley de Charles

c. Ley de Boyle

d. Ley de Gay-Lussac y Amontons


19. Cuál de las siguientes proposiciones es falsa.

a. La cocción de un huevo es un cambio químico

b. La potencia se mide en vatios

c. El electrón es la partícula fundamental de la materia

d. La sal de mesa tiene un enlace coordinado

e. El duroport es una sustancia pura

20. Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera.

a. El descubrimiento del electrón se le atribuye a Bohr

b. Los átomos son partículas indivisibles

c. Los pascales son unidades de presión en el sistema inglés

d. Agregar azúcar al agua es un cambio químico

e. El bronce es una sustancia pura


Segunda Serie (60 puntos):

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en el espacio específico para ello. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explicita y ordenada de todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica con bolígrafo.

Tema 1: Ciencia y medición

Se tiene un producto desengrasante a base de soda caustica al 30% m/m, cuya densidad es 1.20 g/mL; si se desean preparar 250 mL del producto. Cuantos mL de solvente se necesitan, si la densidad es de 792 kg/m3.

Tema 2: Teoría atómica

Los fototransistores de silicio, son utilizado en el alumbrado público para activar el encendido y apagado de los bombillos por medio de la luz solar, por el efecto fotoeléctrico, si amanece a las 5:49 am y el atardecer ocurre a las 6:17 pm y la radiación solar es de 2W/m2 con una longitud de onda de 15nm.

a. ¿Cuántos fotoelectrones se emiten durante una operación (encendido –apagado), si el área de la placa de silicio es de 500µm2)?

b. ¿Cuál es la velocidad a la que salen los fotoelectrones emitidos?

Tema 3: Enlace químico

La siguiente fórmula del ácido propanóico es correcta pero presenta algunos enlaces y electrones incorrectos.

a. Identifique los enlaces incorrectos

b. Escriba la estructura de Lewis correcta para el ácido.


Tema 4: Estequiometría

Las sales de Epsom, un fuerte laxante utilizado en la medicina veterinaria, es un hidrato, lo que significa que existe cierto número de moléculas de agua incluidas en su estructura sólida. La fórmula de las sales de Epson se puede escribir como MgSO4. xH2O donde x indica el número de moles de H2O por mol de MgSO4. Cuando calentamos 5.061 g de este hidrato a 250°C, se pierde toda el agua de hidratación, dejando 2.472 g de MgSO4. ¿Cuál es el valor de x y cuál es la fórmula molecular del compuesto?

Tema 5: Gases ideales

Una mezcla está compuesta por metano, CH4 y amoníaco, NH3. Hay un total de 10 mol de gas en la mezcla. Se introducen 2.5 mol de amoníaco por medio de un proceso isotérmico e isodénsico y la presión cae por un factor de 0.99222293. Calcule la composición molar de la mezcla antes y después de agregar amoníaco.



PRIMERA SERIE

1. e 6. a 11. d 16. e

2. b 7. c 12. a 17. e

3. d 8. d 13. c 18. c

4. a 9. c 14. e 19. d

5. c 10. d 15. c 20. d

SEGUNDA SERIE

Tema 1: Ciencia y medición

Se tiene un producto desengrasante a base de soda caustica al 30% m/m, cuya densidad es 1.20 g/mL; si se desean preparar 250 mL del producto. Cuantos mL de solvente se necesitan, si la densidad es de 792 kg/m3.

Solución

1.2 g 250 ml 300 g producto ml

m

vρ = = × =

70g solv 1ml solv 300g prod 265.15ml solv100g prod 0.792gsolv

× × =


Tema 2: Teoría atómica

Los fototransistores de silicio, son utilizado en el alumbrado público para activar el encendido y apagado de los bombillos por medio de la luz solar, por el efecto fotoeléctrico, si amanece a las 5:49 am y el atardecer ocurre a las 6:17 pm y la radiación solar es de 2W/m2 con una longitud de onda de 15nm.

a. ¿Cuántos fotoelectrones se emiten durante una operación (encendido –apagado), si el área de la placa de silicio es de 500µm2)?

b. ¿Cuál es la velocidad a la que salen los fotoelectrones emitidos?

Solución

a. Tiempo de una operación: 5:49 a 6:17 = 12 horas 28 minutos = 12.46 horas

fotón hcE

λ=

( )

2 17

34 8 2

9

217 62

2

12

Total 2 W/m 1.509 10#fotoelectrones fotón (6.626 10 3 10 m/s) m s

15 10 m

1.509 10 1 10 m 3600 s 12.46 h 500 m 1 m 1 h 1 operaciónm s

3.3810 fotoelectrones/operación

J s)(E

E

µµ

−

−

−

×= = =× ×

×

× × = × × × ×

=

⋅

b.

21

2hc mv

Epλ

− =

Entonces

34 8

9

31

2

(6.626 10 3 10 m/s)15 10 m2

9.1095 10 kg

5,122,142.78

J

m/s

s)(

hcEp

vm

λ

−

−

−

− =

× × ×=

×

=

⋅


Tema 3: Enlace químico

La siguiente fórmula del ácido propanóico es correcta pero presenta algunos enlaces y electrones incorrectos.

a. Identifique los enlaces incorrectos

b. Escriba la estructura de Lewis correcta para el ácido.

Solución

a. Enlaces incorrectos:

Doble enlace H=C

Enlace simple C-O del extremo superior

Par de electrones libres en el Carbono unido al OH (C-OH)

b. Estructura de Lewis Correcta

a

b

c


Tema 4: Estequiometría

Las sales de Epsom, un fuerte laxante utilizado en la medicina veterinaria, es un hidrato, lo que significa que existe cierto número de moléculas de agua incluidas en su estructura sólida. La fórmula de las sales de Epson se puede escribir como MgSO4. xH2O donde x indica el número de moles de H2O por mol de MgSO4. Cuando calentamos 5.061 g de este hidrato a 250°C, se pierde toda el agua de hidratación, dejando 2.472 g de MgSO4. ¿Cuál es el valor de x y cuál es la fórmula molecular del compuesto?

Solución

La reacción es

→⋅ +4 2 4 2MgSO H O MgSO H Ox x

Entonces:

( )⋅ ⋅ ⋅

=

4 4 2

4 4 24 4

1 mol MgSO 1mol MgSO H O2.472g MgSO 0.02053mol MgSO H O

120.4g MgSO 1 mol MgSOx

x

⋅ ⋅

=4 2

4 2

5.061g MgSO H O246.5 g/mol

0.02053mol MgSO H Ox

x

Entonces

( )= +

=

246.5 120.4 18.02

6.998

x

x

= 6.998x se aproxima a 7.00

El valor de x es igual a 7 por lo que la fórmula molecular es

⋅4 2MgSO 7H O


Tema 5: Gases ideales

Una mezcla está compuesta por metano, CH4 y amoníaco, NH3. Hay un total de 10 mol de gas en la mezcla. Se introducen 2.5 mol de amoníaco por medio de un proceso isotérmico e isodénsico y la presión cae por un factor de 0.99222293. Calcule la composición molar de la mezcla antes y después de agregar amoníaco.

Solución

( )ρ = = 1i MiRT P M k

Donde:

ρ = densidad de la mezcla.

R = Constante universal de los gases ideales.

T = Temperatura de la mezcla.

P = presión.

MM = masa molar de la mezcla, en gmol

.

i = 1, 2: los estados antes y después de agregar amoníaco, respectivamente.

k = constante

( )=

=∑2

1

2Mi j ij

j

M M y

Donde:

M = masa molar del compuesto, g/mol

j = 1: metano; 2: amoníaco.

y = fracción molar.

( )=

∑ 3ij

ij

ijj

ny

n

Donde:

n = mol

Sea f el factor de caída de presión:

( )= 2

1 4

Pf

P

Sustituyendo (2), (3) y (4) en (1) y resolviendo para el metano en el estado 1:


( )

( )

−=

− − ∑ ∑

211

1 22 1

1

1

j jj j

M fn

fM M

n n

Datos:

=1 16.04l

26 gmo

M

=2 17.03l

07 gmo

M

= 0.99222293f

=∑ 1 10 molj

j

n

=∑ 2 12.5 molj

j

n

Sustituyendo los datos:

= → =11 116.5 mol 0.65n y

Con lo que:

= → =12 123.5 mol 0.35n y

= → =21 216.5 mol 0.52n y

= → =22 226 mol 0.48n y


DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso del celular. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.


Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica. Subraye la propuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. En una salmuera (H2O + NaCl) la temperatura de congelación está determinada principalmente por:

a. la presión parcial del agua

b. la presión parcial del cloruro

c. la presión conjunta de los dos

d. la presión atmosférica

e. ninguna de las anteriores

2. Si la gravedad específica de un líquido puro A es sg=1.0000; y la de un líquido puro B es sg=1.8305. Siendo A un compuesto covalente polar, y B un compuesto covalente polar que, al mezclarlo con A, se vuelve iónico (Por ejemplo H2O + H2SO4). ¿Al mezclar idealmente 500 mL A + 500 mL B, el volumen total de la mezcla es 1 000 mL?

a. Sí

b. No

c. No se puede determinar sólo con los datos del enunciado porque________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


3. Considere la ecuación de Raoult para una mezcla de 2 compuestos: P=PaXa+PbXb. Y la ecuación coligativa: ΔT = Kem. ¿Puede derivarse la ecuación coligativa a partir de la ecuación de Roult?

a. Sí

b. No

c. No se puede determinar sólo con los datos del enunciado porque: Depende si el soluto es volátil o no.

4. ¿Cómo separaría dos líquidos que no se mezclan entre sí, en sus componentes? ¿En qué propiedades se basa?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Cómo se le llama al método que consiste en medir el cambio de temperatura que ocurre como consecuencia de la transferencia de calor entre el sistema y los alrededores. Para determinar el valor de la energía asociada a una reacción que ocurre a presión constante, se mide experimentalmente el calor transferido.

a. Termodinámica

b. Termoquímica

c. Calorimetría

d. Térmica


6. Si se transfiere calor de los alrededores hacia el sistema, éste gana energía, el signo del calor es positivo. En este caso podemos observar que los alrededores se enfrían. y decimos que el proceso fue:

a. Isotópico

b. Exotérmico

c. Endotérmico

d. Adiabático


7. Se define como el calor de una sustancia a presión constante y se denota por la letra H. Esta propiedad de las sustancias permite calcular el calor que es cedido o ganado por una reacción en particular y se toma la consideración que se encuentra a condiciones normales de temperatura y presión.

a. Entalpia

b. Entalpia de reacción

c. cambio de entalpia

d. Entalpia de productos



8. En termodinámica es un potencial termodinámico, es decir, una función de estado extensiva con unidades de energía, que da la condición de equilibrio y de espontaneidad para una reacción química a presión y temperatura constantes:

a. Entalpia

b. Entropía

c. Energía de Gibbs

d. Entalpia de Gibbs


9. Para el equilibrio químico A+B <====> C+D, la constante que mejor favorece la producción de C es:

a. 1 x 10-3

b. 1 x 10-6

c. 1 x 105

d. 1 x 10-11

e. 47,0

10. ¿En cuál de las siguientes reacciones gaseosas el aumento de la presión externa favorecerá el rendimiento de la reacción?

a. 2 NH3(g) <====> N2(g) + 3H2(g)

b. N2(g) + O2(g) <====> 2 NO(g)

c. H2(g) + I2(g) <====> 2 HI(g)

d. 2 NO(g) + O2(g) <====> 2NO2(g)

e. N2 O4(g) <====> 2 NO2(g)

11. Si la constante de equilibrio K es mayor que 1 significa que:

a. En el equilibrio no hay predominio ni de los productos ni de los reactantes

b. El equilibrio está desplazado hacia la izquierda

c. La concentración del numerador predomina sobre la concentración del denominador

d. Predomina la concentración de los reactantes sobre los productos



12. Para la reacción H2CO3 <===> H2O + CO2, si aumenta la concentración del H2O, para restablecer el equilibrio la reacción se desplazará hacia:

a. La derecha

b. Ningún lado

c. La formación de CO2

d. La formación de H2O

e. La izquierda

13. El color púrpura de una solución que contiene iones permanganato, MnO4- , desaparece cuando se le agregan iones hierro (II), de acuerdo con la siguiente reacción:

MnO4- + 5 Fe2+ + 8 H+ → Mn2+ + 5 Fe3+ + 4 H2O

¿Qué elemento se oxida y cuál se reduce?

a. El Mn se oxida y el Fe se reduce

b. El Mn se oxida y el O se reduce

c. El O se oxida y el Fe se reduce

d. El O se oxida y el Mn se reduce

e. El Fe se oxida y el Mn se reduce

14. La oxidación en un átomo se refiere a:

a. Disminución del número de oxidación

b. La ganancia de electrones.

c. El número de oxidación no tiene ningún cambio

d. Se refiere a los protones ganados o perdidos

e. La pérdida de electrones

15. Calcule la fem estándar de la siguiente celda electroquímica:

Ag+ I Ag+ y Al I Al3+

Dados los siguientes potenciales de reducción:

Ag+ (ac) + 1e → Ag (s) Eo = +0.799 V

Al3+ (ac) + 3e → Al (s) E o = - 1.660 V

a. +2.459 V

b. -2.008 V

c. +0.873 V

d. - 2.470 V

e. +1.307 V


16. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es verdadera?

a. En el ánodo ocurre la reducción y en el cátodo la oxidación

b. En el ánodo ocurre la oxidación y en el cátodo la reducción

c. La oxidación es la ganancia de electrones

d. La reducción es la pérdida de electrones

e. La oxidación y la reducción son iguales

17. Una característica fundamental de las reacciones de orden cero respecto a la velocidad de reacción es la siguiente:

a. La velocidad de reacción depende de la concentración inicial de los reactivos.

b. La velocidad de reacción depende de la concentración de uno de los reactivos.

c. La velocidad de reacción no depende de la concentración de los reactivos.

d. La velocidad de reacción depende el pH del medio.


18. Una de las siguientes condiciones es indispensable para que se inicie una reacción:

a. Concentración

b. Catalítico

c. Colisión

d. Temperatura


19. Un sistema en equilibrio puede ser afectado por la siguiente pareja de factores:

a. Temperatura, Polaridad

b. Concentración, Temperatura

c. Presión y área superficial

d. Solubilidad, Temperatura

e. Viscosidad, Presión


20. Del siguiente sistema se afirma:

a. Es endotérmico

b. Es un equilibrio heterogéneo

c. La l = [7m%][n%m][7no][m%]

d. Al disminuir la temperatura el equilibrio se desplaza a la derecha

e. Cuando se aumenta la presión el sistema se desplaza a la izquierda

Segunda Serie (60 puntos):

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en el espacio específico para ello. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explicita y ordenada de todo su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica con bolígrafo.

Tema 1: Soluciones

Se quiere preparar 250 g una solución de H3PO4 3.5 M, a partir de una solución madre que está al 90% m/m; ¿cuántos g de esta última se debe usar? Únicamente se cuenta con los siguientes datos:

Ácido Fosfórico: H3PO4: 20/4 °C % m/m sg

2 1.0092 6 1.0309

14 1.0765 20 1.1135 26 1.1528 34 1.2089 40 1.2536 50 1.335 75 1.579 100 1.87

.

CH4 (g) + 2 O2 (g) CO2 (g)+ H2O (g) + ∆


Tema 2: Termoquímica

Se hacen reaccionar 100 g de hierro metálico con suficiente ácido clorhídrico concentrado a 25°C y 1 Atmosfera de Presión. Lo anterior genera Cloruro Férrico e Hidrógeno gaseoso. Calcule el trabajo que genera el proceso.

Tema 3: Equilibrio químico

Tenemos la siguiente reacción a una temperatura determinada:

2A + 3B ↔ 4C

Se colocan en un recipiente de 10 litros 50 moles de A, 80 moles de B. Si en el equilibrio se encuentran 10 moles de A.

a. Calcule la constante de equilibrio para la reacción y cuáles son sus unidades

b. Interprete el valor de la constante de equilibrio.

Tema 4: Electoquímica

El calcio elemental se produce por la electrólisis de CaCl2 fundido.

a. ¿Qué masa de calcio se produce mediante este proceso si se aplica una corriente de 7.5 x 103 A durante 48 horas? Suponga que la celda electrolítica tiene una eficiencia de 68%

b. ¿Cuál es el voltaje mínimo requerido para impulsar la reacción?

Potenciales:

Ca2+(ac) + 2e → Ca (s) E°= -2.87 V

Cl2 (g) + 2 e → 2Cl- (ac) E° = + 1.359 V

Tema 5: Cinética

En la reacción 2 A(g) 2B (g) + C2(g); la velocidad de variación de la concentración de B fué de 1.6 x 10-4 M/s, la cual se realizó en un recipiente cerrado de 1l. ¿Determine la velocidad de la reacción?



PRIMERA SERIE

1. e 6. c 11. c 16. b

2. a 7. b 12. e 17. c

3. c 8. c 13. e 18. c

4. 9. c 14. e 19. b

5. c 10. d 15. a 20. d

SEGUNDA SERIE

Tema 1: Soluciones

Se quiere preparar 250 g una solución de H3PO4 3.5 M, a partir de una solución madre que está al 90% m/m; ¿cuántos g de esta última se debe usar? Únicamente se cuenta con los siguientes datos:

Ácido Fosfórico: H3PO4: 20/4 °C % m/m sg

2 1.0092 6 1.0309

14 1.0765 20 1.1135 26 1.1528 34 1.2089 40 1.2536 50 1.335 75 1.579 100 1.87

Solución

Se necesita: sg ( )f M= sg=f(M).

Proponemos: ya que tenemos una Tabla: sg = f(% m/m), hallemos a %m/m=f(M) y, por composición de Tabla, no de ecuaciones, hallemos sg a determinada molaridad.

Sea:

x = % m/m.

y = la molaridad a x, mol/L


sgx = la sg a x.

sol = la solución cuyo porcentaje másico es x.

HP = ácido fosfórico.

Escribiendo ese horrible símbolo, %, de modo que pueda servir para construir un factor unitario:

100 g sol = x g HP

Luego:

( ) 3sg g sol g HP g1 mol HP 1 10 mL sol mol HP 100 g sol 97.994 g HP 1 mL sol 1 L sol 9.7994 L sol

xx x s⋅× =

O sea:

xsgsg mol HP mol HP 979.94 L sol L sol 9.7994

xxy y

⋅⋅ = → =

Tenemos: sgx = f(x), pero no como ecuación sino como Tabla; y también y. Pero una sola ecuación. O sea, hay dos grados de liberta en el sistema. Procedemos por prueba y error. (Otra forma es obtener una ecuación a partir de la Tabla: existen varias técnicas para hacerlo. Se deja como labor al estudiante, para mejorar sus técnicas de cálculo, obtener esa ecuación).

Prueba 1. Las variables independientes son las que se conocen: x, sgx.

Para:

x = 20 sg = 1.1135

20 1.1135 2.27269.7994

y×= =

Para:

x = 26 sg = 1.1528

26 1.1528 3.05869.7994

y×= =

Para:

x = 34 sg = 1.2089

34 1.2089 4.19449.7994

y×= =

Tenemos así que:

y = 3.0589 sg = 1.1528

y = 4.1944 sg = 1.2089

Como las Tablas se construyen de modo que en datos inmediatos los observables siguen una ecuación lineal, se puede aplicar la técnica del punto y la pendiente:

Buscamos: si y = 3.5, ¿cuánto vale sg?


( )1.2089 1.1528 3.5 3.0589 1.1528 1.17464.1944 3.0589

sg−= − + =−

Así que, cuando la sol es 3.5 M. sg = 1.1746.

Sea:

SD: la solución derivada = 3.5 M

SM: la solución madre = 90% m/m

u = g de SM

Entonces, por balance de masa:

HPSM = HPSD :

( ) ( ) ( ) ( )390 g HP 97.994 g HP3.5 mol HP 1 mL SD g SM 250 g SD

100 g SM 1.1746 g SD 1 mol HP1 10 mL SDu =

×

81.1101 u =


Tema 2: Termoquímica

Se hacen reaccionar 100 g de hierro metálico con suficiente ácido clorhídrico concentrado a 25°C y 1 Atmosfera de Presión. Lo anterior genera Cloruro Férrico e Hidrógeno gaseoso. Calcule el trabajo que genera el proceso.

Solución

s ac 3 s( ) ( ) ( ) (2 )g2Fe 6HCl 2FeCl 3H+ → +

22

3mol H1mol Fe100g Fe 2.6858 mol H55.85 gFe 2mol Fe

× × =

( )

2

0.0821 atm2.6858 mol 298 KK-mol 65.7102 L de H

1 atm

LnRT

VP

−

= = =

( ) ( )

( )

ext Vol

1 atm 65.7102 L 65.7102 L atm

Wp P= − × ∆

= − × =−

J8.3145Kmol 65.7102 L atm * 6,654.6584 J

atm0.0821 LKmol

Wp =− =−


Tema 3: Equilibrio químico

Tenemos la siguiente reacción a una temperatura determinada:

2A + 3B ↔ 4C

Se colocan en un recipiente de 10 litros 50 moles de A, 80 moles de B. Si en el equilibrio se encuentran 10 moles de A.

a. Calcule la constante de equilibrio para la reacción y cuáles son sus unidades

b. Interprete el valor de la constante de equilibrio.

Solución

2A + 3B ↔ 4C

INICIO 5M 8M 0

CAMBIO -4M -6M +8M

EQUILIBRIO 1M 2M +8M

a. 4 4

2 3 2 3(C) (8) 512 l/mol

(A) (B) (1) (2)Keq = = =

b. La reacción al llegar al equilibrio se ven favorecidos los productos, es decir la producción de C.


Tema 4: Electoquímica

El calcio elemental se produce por la electrólisis de CaCl2 fundido.

a. ¿Qué masa de calcio se produce mediante este proceso si se aplica una corriente de 7.5 x 103 A durante 48 horas? Suponga que la celda electrolítica tiene una eficiencia de 68%

b. ¿Cuál es el voltaje mínimo requerido para impulsar la reacción?

Potenciales:

Ca2+(ac) + 2e → Ca (s) E°= -2.87 V

Cl2 (g) + 2 e → 2Cl- (ac) E° = + 1.359 V

Solución

a.

( ) ( ) ( ) ( )( )

3

5

3600 s 1 C 1 F 1 molCa(7.5 10 A)(48 h)1 h 1 A seg 96,485 C 2 F

40.0 gCa(0.68) 1.830 10 gCa1 molCa

×⋅

= ×

b.

celdaEº ( 1.359 V ( 2.87 V) 4.23 V= + − − =

Es el voltaje mínimo requerido

Tema 5: Cinética

En la reacción 2 A(g) 2B (g) + C2(g); la velocidad de variación de la concentración de B fue de 1.6 x 10-4 M/s, la cual se realizó en un recipiente cerrado de 1l. ¿Determine la velocidad de la reacción?

Solución

La reacción se puede expresar como:

-2A + 2B + C = 0

( ) ( ) ( )4 51 l 1.6 10 M/s 8.0 10 mol/s 2

VB

Bξ ν

ν− −= = × = ×


4.4 BIOLOGÍA

DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I

INSTRUCCIONES GENERALES:

Esta prueba consta de cinco series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es de 120 minutos.


Instrucciones: A continuación encontrará 30 preguntas de selección múltiple. Elija la opción correcta y marque una X en la casilla correspondiente de la hoja de respuestas. Sólo ahí se calificará la respuesta (0.67 puntos c/u)

1. El agua tiene un alto grado de tensión superficial debido a la siguiente propiedad:

a. Adhesión

b. Capilaridad

c. Cohesión

d. Polaridad

2. Una de las siguientes aseveraciones acerca de los ácidos grasos es FALSA:

a. Los ácidos grasos saturados contienen el número máximo posible de átomos de hidrógeno.

b. Los lípidos ricos en ácidos grasos saturados tienden a ser sólidos a temperatura ambiente.

c. Los ácidos grasos son cadenas carbonadas con un número impar de átomos de carbono.

d. El ácido oleico es el ácido graso de distribución más amplia en la naturaleza.

3. Un ejemplo de difusión facilitada es:

a. El transporte de glucosa al interior de los eritrocitos.

b. La pérdida de turgencia en hojas de lechuga cuando se coloca en un aderezo salado de ensalada.

c. La bomba de sodio-potasio que se encuentra en todas las células animales.

d. La presión de turgencia en las células de plantas no leñosas.


4. Son ejemplos de polisacáridos estructurales los siguientes:

a. Almidón y celulosa

b. Glucógeno y quitina

c. Celulosa y glucógeno

d. Celulosa y quitina

5. Uno de los siguientes enunciados acerca de los fosfolípidos es FALSO:

a. Pertenecen a un grupo de lípidos llamados lípidos anfipáticos.

b. La parte de la molécula que tiene dos “colas” está ionizada y es hidrosoluble.

c. Cuando los fosfolípidos actúan con el agua, se forma una bicapa lipídica.

d. Son excepcionalmente apropiados como componentes fundamentales de las membranas celulares.

6. La estructura secundaria de las proteínas:

a. Es el resultado de los enlaces de hidrógeno en la cadena polipeptídica.

b. Es el resultado de las interacciones entre polipéptidos.

c. Es la secuencia de aminoácidos unidos por enlaces peptídicos.

d. Depende de interacciones entre cadenas laterales.

7. Los enlaces ______________ son atracciones débiles.

a. covalentes

b. éter

c. peptídicos

d. de hidrógeno.

8. Los azúcares de tres carbonos, como ________________ son los carbohidratos más simples.

a. Galactosa y fructosa

b. Glucosa y fructosa

c. Gliceraldehido y dihidroxiacetona

d. Ribosa y desoxirribosa

9. El hecho de que la hormona estrógeno puede estimular la secreción de estrógeno adicional es un ejemplo de señalización:

a. autocrina

b. endocrina clásica

c. neuroendocrina

d. paracrina


10. Las espinas de un cactus y los zarcillos de los guisantes, son ejemplo de ______________ en plantas.

a. evolución convergente

b. homología

c. selección artificial

d. (a y c son correctas)

11. Uno de los siguientes aspectos NO tiene relación con el mecanismo de evolución mediante selección natural propuesto por Darwin:

a. Existen límites sobre el crecimiento poblacional o una lucha por la existencia.

b. Los individuos de una población muestran variación.

c. Los individuos de una población pueden heredar a sus hijos los caracteres adquiridos.

d. Los individuos de una población muestran un éxito reproductivo diferencial.

12. Uno de los siguientes enunciados acerca de las reacciones ácido-base es FALSO:

a. Son reacciones químicas que ocurren entre un ácido y una base.

b. Son reacciones químicas que producen una sal y agua.

c. Se les suele llamar de neutralización porque ácido y base se neutralizan mutuamente.

d. Debido a que son reacciones de neutralización, no son exotérmicas.

13. El nitrógeno en las plantas:

a. Es uno de los principales componentes de la lignina.

b. Forma parte de la clorofila, de las proteínas y los ácidos nucleicos.

c. Es el elemento principal que forma el esqueleto de las biomoléculas.

d. Tiene un papel estructural clave como componente de la capa intercelular.

14. El anión de este elemento es el principal ion negativo en el líquido intersticial de los animales, es importante en el balance del agua y es esencial para la fotosíntesis.

a. calcio

b. cloro

c. potasio

d. sodio


15. ¿Cuál de los siguientes enunciados sobre el ATP es FALSO?

a. Conserva la energía disponible durante muy cortos períodos.

b. Consta de adenina, ribosa y tres grupos fosfato.

c. Cede energía mediante la transferencia de un grupo fosfato.

d. Su proporción respecto al ADP en la célula es muy baja.

16. Asumiendo que una molécula de ADN específica presenta un 24% de timina (A), responda:

¿Cuáles serán los porcentajes del resto de las bases nitrogenadas?

a. C 24%, T 26%, G 24%

b. C 26%, T 24%, G 26%

c. C 26%, T 26%, G 24%

d. C 24%, U 26%, G 24%

17. El mecanismo más importante para la formación de especies nuevas a partir de dos o más especies con origen común es la:

a. Selección artificial

b. Selección convergente

c. Selección divergente

d. Homoplasia

18. Suponga que mezcla los siguientes componentes de síntesis proteínicas en un tubo de prueba: ribosomas de un perro; ARNt de un ratón: ARNm de un chimpancé, y enzimas necesarias más una fuente de energía. Si ocurre la síntesis proteínica, ¿la proteína de cuál animal será elaborada?

a. Ratón

b. Perro

c. Conejo

d. Chimpancé

19. Los cambios en las frecuencias alélicas de una población resultan a partir de procesos microevolutivos. Uno de los siguientes no se considera un proceso microevolutivo.

a. El efecto fundador.

b. El apareamiento no aleatorio.

c. La deriva génica.

d. Las mutaciones.


20. ¿Cuál de los siguientes elementos NO COINCIDE con sus propiedades o su función?

a. Carbono: forma la columna vertebral de los compuestos orgánicos.

b. Nitrógeno: componente importante de las proteínas.

c. Hidrógeno: muy electronegativo.

d. Oxígeno: puede participar en enlaces de hidrógeno.

21. ¿Cuál de los siguientes enunciados sobre radioisótopos es FALSO?

a. La vida media de un radioisótopo particular puede variar con la temperatura y la presión.

b. Son radioisótopos comúnmente usados para datar fósiles el 40K, el 235U y el 14C.

c. Los radioisótopos diferentes al 14C se emplean para datar la roca en la que se encuentran los fósiles.

d. Los radioisótopos difieren de manera significativa en sus vidas medias.

22. Una de las siguientes características NO corresponde a las enzimas.

a. Disminuyen la energía de activación de una reacción.

b. Funcionan formando un complejo enzima-sustrato.

c. La temperatura y el pH influyen en la actividad enzimática.

d. Muy pocas enzimas requieren cofactores para llevar a cabo su función.

23. El ácido palmítico, es un ácido graso ____________ común, que tiende a ser _________ a temperatura ambiente.

a. Insaturado//líquido

b. Insaturado// sólido

c. Saturad//líquido

d. Saturado//sólido

24. Investigadores de la Universidad de California han propuesto que los elefantes de África Occidental deberían ser considerados una especie diferente de los de la sabana de África Central, debido al aislamiento geográfico al que han estado expuestos. Esto es un ejemplo de:

a. Especiación alopátrica

b. Especiación simpátrica

c. Migración

d. Selección natural


25. Un ejemplo de polímeros lo constituyen las/los:

a. Ácidos nucleicos

b. Carbohidratos

c. Proteínas

d. (Todos los anteriores.)

26. En el humano, un espermatozoide normal tiene:

a. 22 autosomas y un cromosoma X

b. 22 autosomas y un cromosoma Y

c. 22 autosomas y dos cromosomas sexuales

d. (a y b son correctas)

27. Según el principio de Hardy-Weinberg, una población que se reproduce sexualmente tendrá siempre las mismas proporciones relativas de alelos y genotipos, siempre que se cumplan las siguientes condiciones, EXCEPTO:

a. Apareamiento al azar

b. Selección natural

c. Ausencia de migración

d. Tamaño grande de la población

28. Los pares de isómeros que constituyen imágenes de espejo, uno del otro, se denominan:

a. Isómeros especulares

b. Isómeros estructurales

c. Isómeros geométricos

d. Enantiómeros

29. El desdoblamiento de las cadenas peptídicas de una proteína, debido sobre todo a la rotura de enlaces de hidrógeno y iónicos, lo que cambia la forma y actividad de la proteína, recibe el nombre de:

a. Catálisis

b. Desnaturalización

c. Hidrólisis

d. Ionización


30. Uno de los siguientes es un mecanismo de aislamiento reproductivo.

a. Aislamiento mecánico.

b. Aislamiento gamético.

c. Esterilidad del híbrido.

d. (Todas son correctas)

SEGUNDA SERIE: Verdadero o falso (15 puntos)

Instrucciones: A continuación se presentan 15 enunciados. Lea cada enunciado y marque una X en la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es VERDADERO. Marque una X en la columna F de la hoja de respuestas, si el enunciado es FALSO (1 punto c/u).

ENUNCIADO

1 La función única de la división celular es la reproducción.

2 La meiosis, tanto en plantas como en animales, da origen a gametos.

3 La reproducción sexual implica, obligadamente, los procesos de fecundación y meiosis.

4 En la espermatogénesis, las primeras células haploides son los espermatocitos secundarios.

5 La meiosis genera variación mediante dos procesos: recombinación y separación de los cromosomas homólogos al azar.

6 Las mutaciones provienen únicamente de errores en la replicación del ADN.

7 Las aneuploidías surgen por lo común como resultado de mutaciones que ocurren durante las divisiones celulares.

8 La altura, la forma corporal y la pigmentación de la piel en los humanos son ejemplos de herencia poligénica.

9 La epistasis es un tipo común de interacción genética exclusivo de epífitas.

10 La frecuencia de daltonismo es mucho más alta en varones que en mujeres, debido a que los varones son hemicigotos.

11 La meiosis no puede ocurrir normalmente en plantas triploides, por lo que éstas pueden formar flores, mas no semillas viables.


12 El cariotipo en general se revisa durante la anafase para identificar anomalías cromosómicas.

13 Normalmente, la oogénesis en animales da como resultado cuatro óvulos.

14 El principio de segregación de Mendel se cumple con la disyunción de la meiosis.

15 La selección natural cambia las frecuencias alélicas en una forma que aumenta la adaptación.

TERCERA SERIE: Definiciones (30 pts.)

Instrucciones: Escriba la definición de los siguientes términos (2 puntos c/u).

1. Ciclo de Calvin:

2. Fotofosforilación:

3. Fotólisis:

4. Fotosíntesis:


5. Fotosistema:

6. Guanina:

7. Helicasa:

8. Homeostasis:

9. Nucleolo:

10. Peroxisoma:

11. Ribosoma:


12. Rubisco:

13. Tilacoides:

14. Transcripción:

15. Uracilo:


CUARTA SERIE: Genética (18 pts.)

Instrucciones: A continuación se presentan 6 preguntas sobre genética. Se le proporcionarán hojas adicionales en las que deberá resolver los problemas. Deje constancia del procedimiento. Al finalizar marque la letra de la respuesta correcta en la hoja de respuestas. No se calificarán los problemas sin procedimiento o que no tengan la respuesta marcada en la hoja de respuestas. (3 puntos c/u).

1. ¿Cuál de los siguientes enunciados es VERDADERO?

a. La enfermedad de Huntington es causada por un alelo dominante letal.

b. Las personas con síndrome de Down poseen un cromosoma 22 adicional en cada célula somática.

c. La anemia drepanocítica se debe a la sustitución de tres aminoácidos en la insulina.

d. El síndrome de Klinefelter produce varones (XY) con crecimiento mamario y testículos normales.

2. En una planta ornamental, llamada llaverito, la posición axial de las flores es dominante sobre la posición terminal. Se obtienen 600 individuos del cruce de dos plantas heterocigóticas, ¿cuántos de estos individuos tendrán posición terminal y cuántos serán heterocigóticos de posición axial?

a. 150/300

b. 150/150

c. 300/150

d. 150/450

3. Si se autofecunda un individuo heterocigótico para cinco loci independientes (FfGgHhJjMm), ¿cuántos gametos genéticamente distintos puede producir? ¿Y qué número de genotipos diferentes aparecerán en la descendencia?

a. 243/32

b. 32/243

c. 10/20

d. 20/10

4. ¿Qué proporción genotípica cabe esperar en un matrimonio entre un hombre daltónico y una mujer portadora? Seleccione la proporción en el orden siguiente: mujeres daltónicas/hombres daltónicos/mujeres portadoras/hombres normales

a. 2:1:0:1

b. 1:1:1:1

c. 0:1:2:1

d. 1:2:1:0


5. Una mujer da a luz un bebé cuya sangre es tipo O; sin embargo, los padres y los cuatro abuelos del bebé poseen sangre tipo A. ¿Cuál es el genotipo de los padres y abuelos, respectivamente?

Padre x madre

Abuelos paternos Abuelos maternos

a. IAi x IAi IAIA x IAIA IAIA x IAIA

b. IAi x IAi IAIA x IAi IAIA x IAi

c. IAIA x IAIA IAIA x IAi IAIA x IAi

d. IAIA x IAi IAIA x IAIA IAIA x IAi

6. El color fucsia de las orquídeas depende de un alelo dominante (F) y el color blanco de las orquídeas depende de un alelo recesivo (f). Suponga que una muestra de 2,585 flores proporciona los siguientes datos: 431 blancas y 2,154 fucsia. Calcule las frecuencias alélicas:

a. 0.17 // 0.36

b. 0.48 // 0.24

c. 0.70 // 0.30

d. 0.41 // 0.59

QUINTA SERIE: Tema (17 pts.)

Instrucciones: En el espacio de dos páginas (máximo) explique de manera resumida las cuatro etapas de la respiración aeróbica. Incluya al menos un dibujo.


DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II

INSTRUCCIONES GENERALES:

Esta prueba consta de cinco series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder es de 120 minutos.


Instrucciones: A continuación encontrará 40 preguntas de selección múltiple. Elija la opción correcta y marque una X en la casilla correspondiente de la hoja de respuestas. Sólo ahí se calificará la respuesta. (0.5 puntos c/u)

1. El agua tiene un alto grado de tensión superficial debido a la siguiente propiedad:

a. Adhesión

b. Capilaridad

c. Cohesión

d. Polaridad

2. Entre el grupo amino y el grupo carboxilo de los ____________ se forman enlaces __________.

a. Carbohidratos / glucosídicos.

b. Aminoácidos / peptídicos.

c. Carbohidratos / peptídicos.

d. Lípidos / glucosídicos.

3. Un ejemplo de difusión facilitada es:

a. El transporte de glucosa al interior de los eritrocitos.

b. La pérdida de turgencia en hojas de lechuga cuando se coloca en un aderezo salado de ensalada.

c. La bomba de sodio-potasio que se encuentra en todas las células animales.

d. La presión de turgencia en las células de plantas no leñosas.


4. Son ejemplos de polisacáridos estructurales los siguientes:

a. Almidón y celulosa

b. Glucógeno y quitina

c. Celulosa y glucógeno

d. Celulosa y quitina

5. Uno de los siguientes aspectos NO tiene relación con el mecanismo de evolución mediante selección natural propuesto por Darwin:

a. Existen límites sobre el crecimiento poblacional o una lucha por la existencia.

b. Los individuos de una población muestran variación.

c. Los individuos de una población pueden heredar a sus hijos los caracteres adquiridos.

d. Los individuos de una población muestran un éxito reproductivo diferencial

6. Si se autofecunda un individuo heterocigótico para cinco loci independientes (FfGgHhJjMm), ¿cuántos gametos genéticamente distintos puede producir? ¿Y qué número de genotipos diferentes aparecerán en la descendencia?

a. 243/32

b. 32/243

c. 10/20

d. 20/10

7. En un cruce entre una variedad de chiltepes rojos híbridos y de tamaño normal homocigóticos (RrNN) con una variedad amarilla chaparra (rrnn), ¿cuántos individuos de la F2 se espera que sean amarillos sin importar el tamaño? (Los alelos dominantes son color rojo y tamaño normal).

a. 1/8

b. 1/4

c. 1/2

d. Ninguna es correcta

8. En una planta ornamental, llamada llaverito, la posición axial de las flores es dominante sobre la posición terminal. Se obtienen 600 individuos del cruce de dos plantas heterocigóticas, ¿cuántos de estos individuos tendrán posición terminal y cuántos serán heterocigóticos de posición axial?

a. 150/300

b. 150/150

c. 300/150

d. 150/450


9. Una mujer da a luz un bebé cuya sangre es tipo O; sin embargo, los padres y los cuatro abuelos del bebé poseen sangre tipo A. ¿Cuál es el genotipo de los padres y abuelos, respectivamente?

Padre x madre

Abuelos paternos Abuelos maternos

a. IAi x IAi IAIA x IAIA IAIA x IAIA

b. IAi x IAi IAIA x IAi IAIA x IAi

c. IAIA x IAIA IAIA x IAi IAIA x IAi

d. IAIA x IAi IAIA x IAIA IAIA x IAi

10. ¿Qué proporción genotípica cabe esperar en un matrimonio entre un hombre daltónico y una mujer portadora? Seleccione la proporción en el orden siguiente: mujeres daltónicas/hombres daltónicos/mujeres portadoras/hombres normales

a. 2:1:0:1

b. 1:1:1:1

c. 0:1:2:1

d. 1:2:1:0

11. Si las frecuencias genotípicas en una población en equilibrio genético son de 0.36 GG, 0.48 Gg y 0.16 gg, ¿cuáles son las frecuencias alélicas de G y g?

a. G=0.6 y g=0.4

b. G=0.16 y g=0.08

c. G=0.4 y g=0.6

d. G=0.8 y g=0.4

12. Una población está en equilibrio Hardy-Weinberg. Si el genotipo recesivo bb tiene una frecuencia 0.09, ¿cuál es la frecuencia para el alelo B?

a. 0.01

b. 0.21

c. 0.3

d. 0.7

13. Un virus consiste de:

a. ARN o ADN y una membrana celular.

b. ARN o ADN y una capa proteica.

c. ARN y ADN y una capa proteica.

d. Proteínas, membrana celular y ARN.


14. Los retrovirus son diferentes a otros virus porque:

a. Contienen material genético solo en forma de ARN.

b. Los retrovirus emplean un proceso de transcripción inversa.

c. La segunda generación de retrovirus puede ser diferente a la primera, debido a la inexactitud del proceso de transcripción.

d. (Todas las anteriores son correctas.)

15. El orden cronológico del ciclo lítico de un virus es el siguiente:

a. Penetración, fijación, replicación y síntesis, ensamblaje, y liberación.

b. Penetración, replicación y síntesis, fijación, ensamblaje, y liberación.

c. Fijación, penetración, replicación y síntesis, ensamblaje, y liberación.

d. Fijación, replicación y síntesis, ensamblaje, penetración, y liberación.

16. En 1928, F. Griffith descubrió que una cepa no virulenta de Streptococcus pneumoniae se convertía en virulenta al ser expuesta a cepas virulentas que por exposición al fuego estaban muertas. Esta forma de recombinación genética se conoce como:

a. Conjugación

b. Transducción

c. Transferencia

d. Transformación

17. Las bacterias nitrificantes, que obtienen la energía de la oxidación de compuestos inorgánicos, y el carbono de la fijación de CO2, se clasifican como:

a. Anaeróbicas

b. Autótrofas quimiosintéticas

c. Autótrofas fotosintéticas

d. Fijadoras de nitrógeno

18. La mayoría de bacterias están adaptadas a ambientes hipotónicos. Esto se debe a:

a. La pared celular, que es una armazón rígida que da forma a la célula.

b. La cápsula, que brinda a la célula una protección adicional.

c. Las endosporas, formas latentes extremadamente resistentes.

d. La membrana celular, que es semipermeable.


19. Una de las siguientes características es compartida por organismos de los Dominios Archaea y Bacteria:

a. La estructura de lípidos presentes en la membrana celular.

b. Las enzimas implicadas en la traducción y transcripción.

c. El número de cromosomas, que usualmente es uno.

d. Los componentes de la pared celular.

20. Son características de una endospora bacteriana las siguientes, EXCEPTO:

a. Es un estado de latencia temporal.

b. Se puede formar en todas las especies de bacterias.

c. Es una estructura no reproductiva que sobrevive por largos períodos.

d. Resiste condiciones adversas como la desecación y falta de nutrientes.

21. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

a. La distribución geográfica de los organismos no afecta su evolución.

b. La deriva continental explica la formación de montañas y el por qué los terremotos y volcanes se concentran en regiones concretas del planeta.

c. Cuando Pangea se dividió, se formó Laurasia en el hemisferio sur y Gondwana en el hemisferio norte.

d. Las similitudes en diferentes especies que son adquiridas de manera independiente mediante evolución convergente se denominan homoplasia.

22. Si en una muestra de agua de mar encontramos una célula flagelada de color pardo rojizo, con un surco transversal y con movimiento giratorio, podremos asegurar que se trata de un/una:

a. Dinoflagelado

b. Diatomea

c. Euglena

d. Paramecio

23. Son características de los excavados las siguientes, EXCEPTO:

a. Son unicelulares flagelados.

b. Muchos tienen un profundo surco oral.

c. Tienen mitocondrias atípicas, enormemente modificadas.

d. Todos son aeróbicos, de vida libre.


24. Los protistas fotosintéticos que se caracterizan por tener una pared formada por dos mitades que encajan como una caja de Petri son los/las:

a. Algas doradas

b. Diatomeas

c. Cocolitofóridos

d. Foraminíferos

25. Los kelps son ___________ con talos multicelulares diferenciados en láminas, estípites, rizoides y vesículas de gas.

a. Algas verdes

b. Algas rojas

c. Algas pardas

d. Alga doradas

26. ¿Cuál de las siguientes características NO está presente en las plantas?

a. Gametangios unicelulares

b. Alternancia de generaciones

c. Embrión multicelular

d. Esporangios multicelulares

27. La planta conspicua, notoria, dominante de las briofitas corresponde a:

a. La generación esporofítica diploide

b. La generación gametofítica haploide

c. La generación que da origen a las esporas

d. La parte que se llama protonema

28. ¿Cuál de los siguientes enunciados acerca de los helechos NO es verdadero?

a. La planta dominante corresponde a la generación esporofítica.

b. Los esporangios se producen en agrupaciones llamadas soros.

c. Producen gametos masculinos flagelados y gametos femeninos sésiles.

d. Las esporas dan origen a la generación esporofítica.

29. Coníferas, cícadas, ginkgo y gnetofitas se llaman colectivamente:

a. Pterofitas

b. Angiospermas

c. Gimnospermas

d. Eudicotiledóneas


30. Si en una flor se encuentran todos los verticilos menos la corola, se dice que es __________ y __________.

a. Incompleta // imperfecta

b. Incompleta // perfecta

c. Completa // imperfecta

d. Completa // perfecta

31. ¿Cuál de las siguientes características NO pertenece a TODOS los hongos?

a. Carecen de cloroplastos y por lo tanto son heterótrofos.

b. Tienen paredes celulares de quitina.

c. Secretan enzimas para digerir la materia orgánica (viva o muerta) de su entorno.

d. Poseen una organización filamentosa llamada micelio.

32. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los basidiomicetos es FALSA?

a. Forman esporas sexuales llamadas basidiosporas.

b. Predomina en ellos la reproducción sexual.

c. Producen un micelio extenso con hifas monocarióticas (n).

d. Cariogamia y meiosis ocurren dentro de los basidios.

33. Los glomeromicetos:

a. Se reproducen principalmente mediante esporas sexuales llamadas glomerosporas.

b. Se asocian con cianobacterias y algas verdes para formar líquenes.

c. Incluyen muchos patógenos oportunistas.

d. Forman endomicorrizas arbusculares con raíces de la mayoría de plantas.

34. Los hongos predominantemente acuáticos, que se reproducen por lo general mediante zoosporas o gametos flagelados, se incluyen en el filo:

a. Chytridiomycota

b. Zygomycota

c. Ascomycota

d. Basidiomycota

35. ¿Cuál de las siguientes NO es una adaptación de los animales a la vida terrestre?

a. La ubicación de la superficie respiratoria dentro del cuerpo.

b. La fecundación interna y huevos con cascarón.

c. La capacidad para mantener la ubicación.

d. El desarrollo de un sistema esquelético y músculos que sostienen el cuerpo.


36. ¿Cuál de las siguientes características no corresponde al subfilo o clase de artrópodos existentes?

a. Myriapoda Tienen cabeza y un cuerpo segmentado. Uno o dos pares de patas por segmento. Terrestres.

b. Chelicerata Tienen cefalotórax y abdomen. En un grupo, cuatro pares de patas para caminar; en el otro, cuatro pares de patas en el cefalotórax. Unos marinos, otros terrestres.

c. Crustacea Tienen cabeza y un cuerpo segmentado. Por lo general con dos pares de patas por segmento. La mayoría son terrestres, pocos acuáticos.

d. Hexapoda Tienen cabeza, tórax y abdomen. Presentan tres pares de patas en el abdomen. Son principalmente terrestres.

37. ¿Cuál de las siguientes características NO está asociada con los moluscos?

a. Tienen el cuerpo blando, generalmente cubierto por una concha.

b. Tienen un pie para la locomoción y un par de pliegues llamados manto, que cubren la masa visceral.

c. Con excepción de los cefalópodos, tienen un sistema circulatorio abierto.

d. Todos se alimentan por filtración.

38. ¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de deuteróstomo?

a. Coral

b. Cordado

c. Insecto

d. Platelminto

39. ¿Cuál de los siguientes organismos pertenece al subfilo Vertebrata?

a. Lofoforado

b. Anfioxo

c. Lamprea

d. Tunicados

40. Los amniotas incluyen a los:

a. Peces, anfibios y reptiles

b. Reptiles, aves y mamíferos

c. Anfibios y reptiles

d. Urodelos, anuros y ápodos


SEGUNDA SERIE: Verdadero o falso (20 puntos)

Instrucciones: A continuación se presentan 40 enunciados. Lea cada enunciado y marque una X en la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es VERDADERO. Marque una X en la columna F de la hoja de respuestas, si el enunciado es FALSO. (0.5 puntos c/u)

ENUNCIADO

1 Los animales ectotermos necesitan consumir mucho más alimento que los endotermos de tamaño equivalente.

2 La vitamina E promueve la absorción de calcio y fósforo del sistema digestivo. Es esencial para el crecimiento y mantenimiento de los huesos.

3 La pepsina es una enzima digestiva que interviene en la digestión de carbohidratos.

4 La maltasa en el intestino convierte la maltosa en dos glucosas, el producto más importante de la digestión de carbohidratos.

5 El páncreas libera varias enzimas que digieren carbohidratos, lípidos y proteínas, así como ARN y ADN.

6 Los artrópodos tienen un sistema circulatorio cerrado en el que la sangre fluye por un circuito continuo de vasos sanguíneos.

7 La presión sanguínea es la fuerza que ejerce la sangre contra las paredes interiores de los vasos sanguíneos.

8 El sistema linfático de los vertebrados ayuda a mantener la homeostasis de los líquidos al devolver fluido intersticial a la sangre.

9 La circulación sistémica oxigena la sangre.

10 La trombina cataliza el fibrinógeno, una proteína soluble, en fibrina, una proteína insoluble.

11 En los mamíferos, el intercambio de gases se lleva a cabo en los bronquiolos.

12 La respiración es regulada por centros respiratorios en el cerebro, y su ritmo cambia en respuesta a las necesidades del cuerpo.

13 La hiperventilación aumenta la concentración de CO2 en la sangre, acidificándola.

14 Los linfocitos son células especializadas en transportar respuestas inmunológicas.


15 La IgA, inmunoglobulina presente en moco, lágrimas, saliva y leche materna, evita que los virus y las bacterias se unan a superficies epiteliales.

16 Los macrófagos y las células dendríticas forman complejos antígeno-anticuerpo.

17 Las células B son responsables de la inmunidad mediada por anticuerpos.

18 En una enfermedad autoinmune, las células inmunes reaccionan contra las células del propio cuerpo.

19 La función más importante de los riñones es producir enzimas que regulan el equilibrio de líquidos y la presión sanguínea.

20 El líquido filtrado de la sangre pasa en orden por las siguientes estructuras: conducto colector, cápsula de Bowman, túbulo proximal contorneado, asa de Henle, túbulo distal contorneado.

21 La orina sale de cada riñón a través de un conducto llamado uretra.

22 Lo orina es producida en el sistema urinario por una combinación de tres procesos: filtración, reabsorción y secreción tubular.

23 Los neuropéptidos son un grupo de moléculas de señalización producidas por las neuronas.

24 Las prostaglandinas, derivadas de los ácidos grasos, regulan diversas funciones, como la coagulación de la sangre, la respuesta inflamatoria alérgica y la actividad digestiva.

25 La principal actividad de las glándulas paratiroides en el humano es estimular la tasa metabólica y regular el metabolismo energético.

26 La melatonina es secretada por la pituitaria anterior y estimula la producción de melanina en algunos animales.

27 La partenogénesis es un tipo de reproducción asexual en la que un óvulo no fecundado se desarrolla hasta convertirse en un organismo adulto.

28 La próstata secreta un fluido alcalino que neutraliza las secreciones ácidas de la vagina.

29 Durante las primeras 2 a 4 semanas de desarrollo, el embrión humano obtiene nutrientes directamente del endometrio.

30 La testosterona u hormona masculina, es secretada a nivel del epidídimo en los testículos.

31 En la oogénesis, la meiosis II se completa justamente antes de la ovulación.


32 El cerebelo se encarga de la coordinación muscular, refinamientos de movimiento, postura, equilibrio y ayuda a planear e iniciar actividades voluntarias.

33 La dopamina es un neurotransmisor que ayuda a balancear la inhibición y excitación de las neuronas implicadas en la función motora.

34 En peces y anfibios, la parte más prominente del cerebro es el cerebro anterior.

35 Los axones en la materia blanca del sistema nervioso conectan partes del encéfalo.

36 Laurasia y Gondwana se separaron en los continentes actuales al final de la era Paleozoica.

37 Cada período de extinción masiva en la Tierra fue seguido por un período de radiación adaptativa de algunos de los grupos sobrevivientes.

38 El mecanismo por el cual una especie origina a otra u otras especies en áreas diferentes se llama especiación alopátrica.

39 Un ejemplo de evolución divergente es la que se observa al comparar la anatomía del ojo de los cefalópodos con el de los vertebrados.

40 Los brazos, los miembros anteriores, las aletas y las alas de diferentes mamíferos son estructuras análogas que representan variaciones sobre una parte estructural que ya existía en el ancestro común.


TERCERA SERIE: Definiciones (30 pts.)

Instrucciones: Escriba la definición de los siguientes términos (1.5 puntos c/u).

1. Ciclo de Calvin:

2. Capacidad de carga (K)

3. Fotólisis:

4. Bioacumulación:

5. Fotosistema:

6. Selección K:


7. Helicasa:

8. Coloración críptica:

9. Nucleolo:

10. Mesófilo:

11. Ribosoma:

12. Nicho:


13. Tilacoides:

14. Transcripción:

15. Uracilo:

16. Cámbium vascular:

17. Colénquima:

18. Glucólisis:

19. Ciclo de Krebs:


20. Endospermo:

CUARTA SERIE: Ciclo del nitrógeno (15 pts.)

Instrucciones: En el espacio de una página dibuje el ciclo del nitrógeno, señale sus componentes principales y explique qué sucede en cada etapa.

QUINTA SERIE: Tema (15 pts.)

Instrucciones: En el espacio de dos páginas (máximo), desarrolle el tema “Contaminación ambiental en Guatemala”. Mencione los tipos de contaminación que existen, las causas y consecuencias. Cuide la redacción y ortografía.


4.5 TECNOLOGÍA

DÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DEL AREA TECNOLOGÍA

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de problemas, cada problema tiene una valoración en puntos, debe tratar de realizar programas de computadora que resuelvan cada problema, puede resolver los problemas en cualquier orden deseado, al finalizar de resolver cada problema debe solicitar que sea validado con el archivo de prueba que le será entregado por los jueces, deberá generar su salida y entregarla para su verificación, si la verificación es correcta habrá obtenido los puntos en que se ha valorado el problema. Recuerde que el tiempo utilizado para resolver los problemas también es parte de la competencia. A menos que se indique otro método, los problemas deberán solicitar el nombre del archivo de entrada y generar la salida a un archivo nombrado salidaN.txt, donde N corresponde al número de problema.

Problema No. 1 (11 pts.)

Usted es anfitrión de una fiesta con G invitados y notará que hay un número impar de los mismos. Al planificar la fiesta ha invitado deliberadamente sólo parejas y a cada pareja le dio un número único C en su invitación. Le gustaría identificar a todo el que se presentó solo, preguntando a todos los invitados por su número de invitación.

Entrada

La primera línea de entrada da el número de casos, N. Seguido por los N casos de prueba. Para cada caso de prueba, habrá:

• Una línea que contiene el valor de G el número de invitados.

• Una línea que contiene una lista separada por espacios de G enteros. Cada entero C indica el código de invitación de un invitado.

Salida

Para cada caso de prueba, la salida de una línea que contiene "Caso # x:" seguido del número C de invitación del huésped que está solo.


Muestra Entrada Salida 3 3 1 2147483647 2147483647 5 3 4 7 4 3 5 2 10 2 10 5

Caso #1: 1 Caso #2: 7 Caso #3: 5


Se le dan dos vectores ( )= K1 1 2, , , nV x x x y ( )= K2 1 2, , , nV y y y . El producto escalar

de estos vectores es un solo número, calculado como

+ + +L1 1 2 2 n nx y x y x y

Supongamos que se les permite permutar las coordenadas de cada vector como desee. Elija dos permutaciones de tal manera que el producto escalar de los dos nuevos vectores es el más pequeño posible, y dé como salida el producto escalar mínimo.

Entrada

La primera línea del archivo de entrada contiene el número T de casos de prueba. Para cada caso de prueba, la primera línea contiene el número entero n. Las siguientes dos líneas contienen n números enteros cada uno, dando las coordenadas de

1V y 2V respectivamente.

Salida

Para cada caso de prueba, la salida de una línea

Caso # X : Y

donde X es el número de caso de prueba, a partir de 1, y Y es el producto escalar mínimo de todas las permutaciones de los dos vectores dados.


Muestra

Entrada

Salida 2 3 1 3 -5 -2 4 1 5 1 2 3 4 5 1 0 1 0 1

Caso #1: -25 Caso #2: 6


A Mia a veces le gusta jugar un juego con matrices. Ella trata de transformar una matriz a otra con el menor número de movimientos. Para Mia, un movimiento está intercambiando dos filas de la matriz o cualquier par de columnas de la matriz.

Hoy en día, Mia tiene una matriz muy especial M. M es un 2 N por 2 N matriz en la que cada entrada es un 0 o un 1. Mia decide tratar y transformar M en una matriz de

tablero de ajedrez en el que las entradas se alternan entre 0 y 1 a lo largo cada fila y columna. ¿Puede ayudar a Mia a encontrar el número mínimo de movimientos para transformar M en una matriz de tablero de ajedrez?

Entrada

La primera línea de la entrada da el número de casos de prueba, T, seguido de T casos de prueba. Cada caso de prueba comienza con una línea que contiene un único entero N. Los siguientes 2 N líneas contienen cada uno 2 N caracteres que son las filas de M; cada personaje es un 0 o 1.

Salida

Para cada caso de prueba, la salida de una línea que contiene "Caso #X: Y", donde X es el número de caso de prueba (comenzando en 1) y Y es el número mínimo de intercambios de filas y columnas permutas necesarios para convertir M en una matriz

de tablero de ajedrez. Si no es posible convertir M en una matriz de tablero de ajedrez, y debe ser "imposible".


Muestra

Entrada

Salida

3 1 01 10 2 1001 0110 0110 1001 1 00 00

Caso # 1: 0 Caso # 2: 2 Caso # 3: IMPOSIBLE


Roland es un profesor de matemáticas de secundaria. Cada día, él recibe cientos de trabajos de sus estudiantes. Para cada trabajo, se elige cuidadosamente una calificación de letra: "A", "B" o "C". (Los estudiantes de Roland son demasiado inteligentes como para tener calificaciones más bajas como una "D" o una "F"). Una vez que las notas fueron recibidas, Roland pasa los trabajos a su asistente. Su trabajo consiste en poner la nota correcta en cada trabajo con una estampilla.

Tiene una baja tecnología, pero funcional para la colocación de las estampillas en los trabajos. Para imprimir una letra se adjunta una placa especial en la parte delantera de la estampilla correspondiente a esa letra, lo sumerge en tinta, y luego se aplica al papel.

Lo interesante es que en lugar de la eliminación de la placa cuando se desea cambiar de letra, se puede poner una nueva placa en la parte superior de la antigua. De hecho, se puede pensar en las placas en el sello de letras como una pila, el apoyo a las operaciones siguientes:

• Empuje una letra en la parte superior de la pila. (Esto corresponde a fijar una placa nueva a la parte delantera del sello.)

• Saque una letra de la parte superior de la pila. (Esto corresponde a la eliminación de la placa de la parte delantera del sello.)

• Imprima la letra en la parte superior de la pila. (Esto corresponde a la utilización de dicho sello.)

Dada una secuencia de letras de calificación (‘A’, 'B' y 'C'), ¿qué número de operaciones se necesitan para imprimir toda la secuencia en orden? La pila empieza vacía, y hay que vaciarla cuando haya terminado.


Por ejemplo, si desea imprimir el "ABCCBA" secuencia, entonces usted podría hacerlo en 12 operaciones, como se muestra a continuación:

Operación

Impreso hasta el momento

Apilar

0. - 1. Push A 2. Print 3. Push B 4. Print 5. Push C 6. Print 7. Print 8. Pop 9. Print 10. Pop 11. Print 12. Pop

- - A A AB AB ABC ABCC ABCC ABCCB ABCCB ABCCBA ABCCBA

- A A AB AB ABC ABC ABC AB AB A A -

Entrada

La primera línea del archivo de entrada contiene el número de casos, T. T casos de prueba siguen, uno por línea. Cada una de estas líneas contiene una única cadena S, que representa la secuencia de caracteres que desea imprimir en orden.

Salida

Para cada caso de prueba, la salida de una línea que contiene “Caso #x: N", donde x es el número de caso (a partir de 1) y N es el número mínimo de operaciones de la pila necesarios para imprimir S.

Muestra

Entrada

Salida

2 ABCCBA AAABAAB

Caso #1: 12 Caso #2: 13



So, If and Else grow out of each other;

Hardness and Tractability complete each other;

Long int and Short int shape each other;

High bits and Low bits determine each other;

Music and Voice give harmony to each other;

Push_front and Push_back give sequence to each other.

-- Tao Te Ching, Laozi, Zhou dynasty, ancient China. Translated (loosely) by yours truly.

Problem

Given an rectangular grid of N rows and M columns, each cell can be labeled black (Yin) or white (Yang). Two cells are neighbors if they share a common unit-length edge segment. The grid is valid if all the black cells form a path, and all the white cells form a path. A path is a set S of cells defined as follows:

• The cells form a connected piece. From each cell in S, you can reach any other cell in S by moving between neighbors within S.

• Exactly two cells in S have exactly one neighbor in S each. These are the "ends" of the path.

• Every other cell in S has exactly two neighbors in S.

For example, in the picture below, the first grid is valid, while the second grid is not -- although the black cells form a path, the white cells do not.

Given N and M, compute the number of valid grids. Note that symmetry doesn't matter -- as long as two valid grids differ in one position they are considered different, even if one can be rotated or flipped to the other.


Input

The first line of the input will be a single integer T, the number of test cases. T lines follow, each of which contains two integers separated by a space: "N M", as defined above.

Output

For each test case, output a line in the form "Case #x: A", where x is the case number, starting from 1, and A is the number of valid grids of the specified size.

Sample

Input

Output

3 4 4 4 6 5 5

Case #1: 24 Case #2: 44 Case #3: 48

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