Cours Automatique 1A Jmd 2012

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Automatique Linéaire 1 1A ISMIN -180° ϖ ϖ ϖ r -90° FTBO dB Arg(FTBO) P.I.D. ϖ = +ϖ = 0 P.I.D. ϖ = +ϖ = 0 ϖ = +ϖ = 0 d i τ τ ϖ 1 = d i τ τ ϖ 1 = d i τ τ ϖ 1 = Automatique linéaire 1 – J.M. Dutertre – 2012

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Automatique Linaire 1 1A ISMIN -180 r-90FTBOdBArg(FTBO)P.I.D. = + = 0P.I.D. = + = 0 = + = 0d i 1=d i 1=d i 1= Automatique linaire 1 J.M. Dutertre 2012 Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 2 Sommaire. I. Introduction, dfinitions, position du problme. p. 3 I.1. Introduction. p. 3 I.2. Dfinitions. p. 5 I.3. Position du problme. p. 6 II. Modlisation des systmes linaires. p. 11 II.1. Systme du premier ordre. p. 12 II.2. Systme du second ordre. p. 21 II.3. Systmes dordre suprieur 2. p. 31 III. Stabilit des systmes asservis. p. 33 III.1. Schma gnral dun asservissement. p. 33 III.2. Interprtation gomtrique du passage de la boucle ouverte la boucle ferme. p. 36 III.3. Rponse impulsionnelle dun systme boucl en rgime linaire. p. 40 III.4. Le critre de Routh-Hurwitz (critre algbrique). p. 41 III.5. Les critres gomtriques de stabilit. p. 44 IV. Performances des systmes asservis. p. 50 IV.1. Prcision. p. 50 IV.2. Rapidit des systmes. p. 56 V. Correction des systmes asservis. p. 59 V.1. Introduction. p. 59 V.2. Correction proportionnelle et drive (P.D.) Correction avance de phase. p. 63 V.3. Correction proportionnelle et intgrale (P.I.) Correction retard de phase. p. 66 V.4. Correction proportionnelle intgrale et drive (P.I.D.). p. 68 V.5. Modle du second ordre. p. 72 Bibliographie. p. 74 Annexe 1 Signaux type. p. 75 Annexe 2 Transforme de Laplace. p. 77 Annexe 3 Systmes linaires du second ordre. p. 80 Annexe 4 Abaque de Black-Nichols. p. 84 Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 3 Automatique Linaire 1. I. Introduction, dfinitions, position du problme. I.1. Introduction. Dfinition : Lautomatique est la discipline scientifique qui tudie les systmes dynamiques, les signaux et linformation, des fins de conduite ou de prise de dcision. Pour tre comprhensible, cette dfinition de lautomatique doit tre complte et prcise en dfinissant les termes : systme, dynamique, et conduite. En automatique, on appelle systme lobjet tudi, par exemple, la voiture reprsente figure I.1. La dfinition dun systme est lie aux grandeurs dentre et de sortie considres. dd0 Fig. I.1 Systme constitu dune voiture. Dans ce cas, la grandeur de sortie tudie est la distance d sparant le vhicule du trottoir, et la grandeur dentre (ou commande) langle de rotation du volant. La notion de dynamique est lie lvolution des grandeurs tudies au cours du temps. Cette volution peut tre due une modification de la commande (langle du volant, le conducteur tant distrait ou assoupi) ou une perturbation extrieure (une rafale de vent, par exemple) entrainant une diminution de d. Cest ici quentre en scne lautomatique, en tant que science permettant de matriser (ou conduire) le comportement dun systme. Il existe en effet, depuis peu, des dispositifs permettant de corriger automatiquement la trajectoire dune voiture risquant de mordre sur le bas ct de la route. La commande est alors labore en fonction de lcart entre la distance d et une valeur de consigne d0 (cf. Fig. I.2). Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 4 On parle ds lors de contre-raction (ou feedback), la contre-raction permettant de faire voluer la commande en fonction de son action sur la valeur de sortie du systme et galement en fonction de la consigne dsire. Elle est utilise pour optimiser la conduite du systme. On dit alors que le systme est en boucle ferme, par opposition la boucle ouverte qui correspond au cas o la commande est labore sans utilisation dune contre-raction. systmela commande d0dlaboration de Fig. I.2 Schma fonctionnel dun asservissement en boucle ferme. La conduite dune automobile seffectue bien videment et naturellement en boucle ferme (il est dconseill de conduire les yeux ferms). Domaine dapplication. Le domaine dapplication de lautomatique est extrmement vaste : lindustrie manufacturire, la chimie, la robotique1, la mcanique, llectronique, laronautique, lconomtrie, etc. Objectifs de cours. Lobjectif du cours dautomatique linaire 1 est ltude des systmes linaires, continus, invariants dans le temps (ces termes tant dfinis dans la partie suivante). Il sagit schmatiquement de lautomatique classique formalise pendant la premire moiti du vingtime sicle. Pr requis. Le cours Mathmatique du signal du premier semestre est un pr requis ncessaire la comprhension et au suivi du prsent cours. En particulier en ce qui concerne : - les signaux types (Dirac, chelon de Heavyside, etc.), - le thorme de convolution, - et le formalisme de Laplace. 1 Une illustration des capacits tonnantes (dpendant pour une part essentielle de lautomatique) dune main robot peut tre trouve sur le site du Ishikawa Komuro Laboratory : http://www.k2.t.u-tokyo.ac.jp/papers/index-e.html Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 5 I.2. Dfinitions. Cette partie rappelle, ou donne, un certain nombre de dfinitions permettant daborder rigoureusement la suite du cours. Dfinition 1 : On appelle modle dun systme (ou processus) la loi qui relie lentre (cause) la sortie (effet). Dfinition 2 : On distingue deux rgimes dans le comportement des systmes : le rgime permanent ou tabli, caractrisant la rponse stabilise du systme une entre quelconque, le rgime transitoire, caractrisant lvolution de la rponse avant que le rgime permanent ne soit atteint. Le rgime statique est le rgime permanent dans le cas ou lentre est constante. Dfinition 3 : Un systme est causal si sa sortie y(t) un instant t0 ne dpend que des valeurs de son entre u(t) pour t t0 (cf. figure I.3). systmey u Fig. I.3 Systme. Un systme causal ne rpond pas avant dtre excit (systme non anticipatif). Les systmes physiques temporels ralisables sont causals. Un signal x(t) est causal si t < 0 x(t) = 0. En pratique un signal temporel est toujours causal, condition de bien choisir lorigine des temps. Dfinition 4 : Un systme temps invariant a un modle identique tout instant (un retard ne change pas la loi du modle) : ) ( ) ( ) ( ) ( t y t u t y t usystme systme Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 6 Dfinition 5 : Un systme est dit instantan si un instant donn sa sortie ne dpend que de lexcitation cet instant : y(t) = a.u(t) Dans tous les autres cas, il est dit, mmoire ou dynamique, par exemple pour : y(t) = a.u(t-) ou : y(t) = a.u(t) + b.y(t) Dfinition 6 : Un systme est stable si et seulement si toute entre borne gnre une sortie borne. Un systme physique est stable sil retourne spontanment vers son tat dquilibre lorsquil en est cart. Il est instable si sa sortie na pas de valeur fixe (asymptotiquement) lorsque son entre est nulle. Dfinition 7 : Un systme est linaire sil satisfait au principe de superposition : ) ( . ) ( . ) ( . ) ( .2 1.2 1t y b t y a t u b t u alinaire syst+ + Ce cours traite des systmes causals, linaires et temps invariant : les S.L.T.I. Les systmes tudis sont analogiques, leurs signaux dentre et de sortie sont continus la fois en temps et en amplitude. La relation qui lie leur entre et leur sortie2 est ds lors une quation diffrentielle linaire coefficients constants. I.3. Position du problme. a La commande automatique ou comment remplacer lhomme. La finalit de lautomatique, telle que nous venons de la dfinir, est de remplacer lhomme ou de suppler ses limites dans la conduite dun systme (cf. figure I.4 si lon revient lexemple de la partie I.1 concernant une automobile). La problmatique se rduit ds lors ltude et la modlisation du systme considr dans le but dlaborer une commande automatique. 2 Au singulier, on se limitera en effet ltude des systmes monovariables, cest--dire ayant une entre et une sortie. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 7 voiture hommeu ycy()(d0) (d)systme?u ycy()(d0) (d) Fig. I.4 Remplacer lhomme. Pour se faire, lutilisation dune rtroaction est ncessaire. Le systme est plac en boucle ferme, ce qui introduit les notions dasservissement (lors de la poursuite dune consigne variable) et de rgulation (concernant la compensation de perturbations3 externes). Le paragraphe suivant donne lexemple de lasservissement dun chauffage central individuel. b La boucle dasservissement. Considrons le systme de chauffage central dun logement reprsent figure I.5. systme T e Fig. I.5 Systme de chauffage central. Avec : temprature intrieure, T temprature de leau chaude envoye dans les radiateurs, e temprature extrieure (considre comme une perturbation). T est rgle par le chauffagiste pour obtenir une temprature de consigne donne c = 19C. Cependant, le rglage est refaire chaque variation de e. 3 On dfinira comme tant une perturbation une entre du systme imprvisible et/ou sur laquelle on ne peut agir. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 8 Une premire tentative de rglage automatique en boucle ouverte est reprsente figure I.6. systme T ea +_ c Fig. I.6 Asservissement en boucle ouverte. Une sonde est installe afin de mesurer e et la mesure est soustraite la temprature souhaite c (la consigne) pour laborer la loi de commande fixant la temprature T de leau : T = a.( c - e) a : constante rglable. Ainsi, toute volution de la temprature extrieure est prise en compte et la temprature de leau du circuit de chauffage ajuste en consquence. Le savoir faire du chauffagiste rside alors dans le choix de la constante a, lajustement pouvant tre fait par essai-erreur. Cette premire approche prsente une amlioration notable. Malheureusement, elle nest pas encore optimale. En effet, lors dune journe dhiver ensoleille (e faible), T va tre rgle une valeur leve, alors que le soleil entrant par les fentres va surchauffer le logement. Les habitants vont alors ouvrir les fentres entrainant un gaspillage dnergie important. La solution consiste raliser un asservissement en boucle ferm (cf. figure I.7) du systme de chauffage en exploitant une mesure de la temprature intrieure plutt que dessayer danticiper leffet de la temprature extrieure e sur le systme. systme T e_+_+a c Fig. I.7 Asservissement en boucle ferme dun systme de chauffage. Le recours une loi de commande proportionnelle est alors adapt : T = a.( c - ) a : constante rglable. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 9 Ralis ainsi, lasservissement est mme de ragir aux variations de la temprature extrieure et aux changements de la consigne. La figure I.8 donne une vue plus gnrale dun asservissement en boucle ferme. systmey uP +_yc n Fig. I.8 Asservissement en boucle ferme. Avec : yc consigne, y sortie (ou image de la sortie obtenue par un capteur), u commande ou action, erreur ou cart, tel que = yc - y n perturbation extrieure, P systme automatique de commande. La loi de commande tant u = P(). c Qualits dun asservissement, ncessit de la boucle ferme. Les principales qualits dun asservissement sont au nombre de trois : stabilit, prcision, et rapidit. Concernant la stabilit, si on considre une loi de commande proportionnelle telle que : ) .( y y K uc = avec K constante Si K est choisi trop grand, une petite valeur de lerreur = yc y > 0 suffira crer une commande u leve. La correction apporte pourra alors tre telle que la consigne soit dpasse : y > yc, et que la nouvelle erreur, , soit telle que = yc y > ; entrainant une correction inverse elle aussi disproportionne. Dans cette hypothse, il y a apparition doscillations divergentes (croissantes), le systme devient instable. Dautres sources Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 10 potentielles dinstabilit sont le retard lexcution des ordres reus, ou pire lexistence dune contre raction positive ( = yc + y). La stabilit des systmes asservis est tudie au chapitre III. La prcision sexprime par lcart entre la consigne yc et la sortie y du systme. Dans le cas dune loi de commande proportionnelle du type u = K., lobtention dune bonne prcision ncessite davoir un gain lev (en effet pour obtenir une valeur de commande u donne, K devra tre dautant plus importante que sera faible). De mme, une perturbation n sera dautant plus efficacement corrige (erreur rsiduelle faible) que K sera grand. Or, on a vu quun grand K peut tre source dinstabilit. Do le fait ( mmoriser) que la stabilit et la prcision soient des paramtres potentiellement contradictoires. La troisime qualit essentielle dun asservissement est sa rapidit. La rapidit dun processus peut se mesurer par son temps de rponse un chelon de commande comme dfini au IV.2. Les notions de prcision et de rapidit des systmes font lobjet du chapitre IV. Dune faon gnrale, la synthse dun asservissement rsulte dun compromis stabilit prcision rapidit. Lautomatisation des processus requiert lutilisation dune boucle ferme (rtroaction), celle-ci est ncessaire afin de pouvoir : - stabiliser un systme instable en boucle ouverte, - compenser des perturbations externes, - compenser des incertitudes lies au systme lui-mme (vieillissement, imprcision du modle, etc.). Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 11 II. Modlisation des systmes linaires. La caractristique statique (c'est--dire la relation entre lentre et la sortie en rgime permanent) dun systme linaire est une droite (cf. figure II.1). systmey uuy Fig. II.1 Caractristique statique dun systme linaire. Cela ne doit pas amener de confusion avec le comportement dynamique du systme en rgime transitoire. La figure II.2 reprsente la rponse en sortie dun systme linaire un chelon sur son entre (on constate bien que y(t) nest pas une droite). tyK.E0= Y0tuE0entre au repossortie au repos Fig. II.2 Rponse de la sortie dun systme un chelon en entre. Nous avons dj nonc prcdemment que lquation liant la sortie et lentre dun systme linaire, continu et invariant dans le temps est une quation diffrentielle linaire coefficients constants. Cette quation traduit aussi bien le comportement dynamique du systme que son comportement statique (il suffit pour cela dannuler les drives). Les parties suivantes traitent de la modlisation et du comportement des systmes du premier ordre, du second ordre et dordre suprieur. Cependant, les systmes physiques (rels) ne sont pas ncessairement linaires. Il est nanmoins souvent possible de les tudier avec les outils classiques de lautomatique linaire aprs avoir linaris leur comportement autour dun point de repos. Cette faon de procder est familire aux lectroniciens, ils lutilisent par exemple, pour tudier les transistors en amplification ; la figure II.3 donne lexemple de la linarisation autour dun point de repos, M0(V0, I0), dune diode. Le modle linaire obtenu permet dtudier les variations de id et vd autour de M0, ds lors que ces grandeurs restent dans le domaine de validit du modle. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 12 iD(mA)vD(V)00,511,51Vseuilpt de polarisationI0V0M0M0vdid Fig. II.3 Linarisation dun systme autour dun point de repos. Il y a deux faons dobtenir le modle linaire dun systme : - par la mise en quation du systme partir de ces lois physiques (quations lectriques, mcaniques, etc.), - ou par identification, le modle tant dtermin exprimentalement en tudiant la rponse du systme des stimuli classiques. II.1. Systme du premier ordre. Dfinition 8 : Un systme est dit du 1er ordre si la relation entre son entre et sa sortie est une quation diffrentielle du 1er ordre. Exemple : tablir lquation diffrentielle du circuit RC de la figure II.4. u(t) = vE(t) vS(t) = y(t)i(t)RC Fig. II.4 Circuit RC. Les quations lectriques du systme sont : Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 13 S Ev Ri v + = dtdvC iS= Do lquation diffrentielle du premier ordre liant lentre et la sortie du systme : E SSv vdtdvRC = + La forme gnrale de lquation diffrentielle dun systme du premier ordre dentre u et de sortie y est : ) ( ) () (t Ku t ydtt dy= + Eq. II.1 Avec : constante de temps du systme, K gain statique. a Fonction de transfert. Dfinition 9 : la fonction de transfert (ou transmittance) dun systme linaire est le rapport entre la transforme de Laplace de sa sortie et celle de son entre, en considrant des conditions initiales nulles. Le lecteur trouvera en annexe 2 quelques rappels utiles sur la transforme de Laplace (TL) et les TL usuelles. Par application de la TL lquation II.1 : ( ) ) ( . ) ( ) 0 ( ) ( . . p U K p Y y p Y p = + soit ) 0 (. 1) (. 1) ( +++= ypp UpKp Y Ainsi, Y(p) dpend non seulement de lentre, U(p), mais aussi de la valeur de la condition initiale y(0-). On en dduit lexpression de la fonction de transfert, H(p), en considrant y(0-) = 0 : pKp Up Yp H. 1 ) () () ( += = 4 Eq. II.2 4 Attention p est not s dans la littrature scientifique anglo-saxonne. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 14 Rappel : la rponse impulsionnelle (i.e. rponse un Dirac), h(t), dun S.L.T.I. vrifie : ) )( ( ) ( t h u t y = Ainsi, comme suggr par lquation II.2, pour dterminer la rponse dun systme linaire (quelque soit son ordre) une excitation u(t), plutt que de rsoudre lquation diffrentielle associe, il est souvent plus simple de passer en reprsentation de Laplace. Il faut alors calculer la TL de u(t) : U(p), la multiplier par H(p) pour obtenir Y(p), puis repasser dans le domaine temporel pour obtenir y(t). La dtermination des TL et TL inverses, est facilite par lutilisation des tableaux de TL usuelles donns en annexe 2. Les paragraphes b, c, et d illustrent ce mcanisme. b Rponse impulsionnelle. La dtermination en trois tapes de la rponse une impulsion damplitude A0 dun systme du 1er ordre est illustre ci-dessous : ) ( . ) (0t A t u = / 0..) (teA Kt y = Eq. II.3 1 3 0) ( A p U = 2 pA Kp U p H p Y. 1.) (( ). ( ) (0 += = Le trac de y(t) est donn figure II.4 (son allure en t = 0 est caractristique dun systme du 1er ordre). ty(t)37%t = 5%3K.A0 K.A0 Fig. II.4 Rponse impulsionnelle dun systme du 1er ordre. Pour t = , la rponse a dcru 37% de sa valeur initiale ; t = 3, elle nen reprsente plus que 5%. Sa drive lorigine coupe laxe des abscisses pour t = (la pente de la tangente lorigine vaut : -KA0/ 2). Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 15 c Rponse indicielle. La rponse indicielle, c'est--dire un chelon (damplitude A0), dun systme du 1er ordre est (on note (t) lchelon unitaire5) : ) ( . ) (0t A t u = ( ) /01 . ) (te A K t y = Eq. II.4 1 3 pAp U0) ( = 2 ( ) p pA Kp Y. 1 ..) (0 += La rponse indicielle est reprsente figure II.5. ty(t) 3K.A0= 100%95%63% Fig. II.5 Rponse indicielle dun systme du 1er ordre. La valeur finale atteinte en rgime permanent par y(t) est K fois la valeur de lentre (K est le gain statique). Pour t = , y() atteint 63% de la valeur finale. Le temps de rponse 5% (le temps au bout duquel y(t) approche la valeur finale 5% prs, et y reste) est t = 3. La tangente lorigine (cf. Fig. II.5) a une pente de KA0/, on observe effectivement une cassure assez nette de y(t) qui est caractristique de la rponse indicielle dun systme du 1er ordre. d Rponse une rampe. La rponse une rampe de pente a dun systme du premier ordre est : ) ( . ) ( t at t u = ( ) /. . ) (te t a K t y + = Eq. II.5 1 3 2) (pap U = 2 ( ) p pa Kp Y. 1 ..) (2 += 5 Le lecteur trouvera en annexe 1 quelques rappels sur les signaux type. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 16 Le trac de la rponse une rampe est donn figure II.6. ty(t)a.tK.a.(t - )t Fig. II.6 Rponse une rampe dun systme du 1er ordre. En rgime permanent (t >> ) on a y(t) = Ka(t - ) : la sortie tend vers une rampe de pente : Ka. Pour K = 1, y(t) suit la rampe dentre avec un retard et lerreur de trainage (la diffrence entre lentre et la sortie) est : t = a. Pour K 1, les pentes tant diffrentes, t tend vers linfini (divergence). e Rponse harmonique. La rponse harmonique dun systme est sa rponse une sinusode permanente, u(t) = Um.sin(.t) , le rgime transitoire tant teint. Rappel : La rponse harmonique dun systme linaire (quelque soit son ordre) est une sinusode de mme pulsation, damplitude Ym, dphase dun angle par rapport lentre : y(t) = Ym.cos(.t + ) Les signaux tant priodiques, lanalyse de la rponse harmonique se fait en complexe (p = j), et plus prcisment en tudiant H(j). Soit : |||

\|+=+= = jKj H j UjKj U j H j Y1) ( ) ( .1) ( ). ( ) ( qui donne : Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 17 m mUKj Y Y .1) (2 2 += = (Module) ( ) ( ) arctan ) ( = = j Y Arg (Argument) Ltude des proprits frquentielles des systmes linaires (c'est--dire leur rponse une action sinusodale permanente dont on fait varier la frquence) permet den dduire les proprits dynamiques temporelles (cest--dire leur volution dans le temps en fonction des actions subies) comme nous le verrons par la suite. Cest la raison pour laquelle on attache tant dimportance cette tude. En gnral les paramtres tudis sont le gain et le dphasage : ) ( j HUYGainmm= = ( ) ) ( j H Arg Dphasage = = que lon reprsente sous forme de diagramme de Bode, de Black, ou de Nyquist (cf. ci-aprs). Diagramme de Bode. Le diagramme de Bode dune fonction de transfert comporte deux courbes : son module exprim en dcibels (dB), ) ( . 20 j H log HdB = et sa phase (ou argument), ( ) ) ( j H Arg traces en fonction de la pulsation (axe gradu suivant une chelle logarithmique). Pour un systme linaire du 1er ordre : jKj H+=1) ( On en dduit : 2 21 log . 20 log . 20 ) ( . 20 + = = K j H log HdB ) arctan( = ArgH La pulsation de coupure -3 dB, c, est la pulsation pour laquelle le gain exprim en dB est infrieur de 3 dB au gain statique (gain en = 0). Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 18 Les tracs du gain et de la phase sont donns figure II.7 en pointills rouge, pour un axe des abscisses gradu en pulsation rduite / c. On trouve c = 1/. /c(log)dBH1 0.1 10 1000 dB20.log(K)3 dB-20 dB / dcadeH Arg1 0.1 10 100 0.1-90 -45 /c(log) Fig. II.7 Diagramme de Bode dun systme du 1er ordre. Le trac du diagramme de Bode est simplifi par une tude asymptotique pralable (en bleu sur la fig. II.7) : - pour > c : cjKj H ) ( soit ) log( . 20 . log . 20 =c dBK H et 2 / = ArgH - pour = c : 3 log . 20 = K HdB 4 / = ArgH Pour >> c, la dcroissance du gain est de -20 dB/dcade, cest--dire que le gain diminue de 20 dB chaque fois que la pulsation du signal dentre est multiplie par dix ; ce qui correspond galement une dcroissance de -6 dB/octave, une octave correspondant un doublement de la pulsation. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 19 Reprsentation de Black. La reprsentation de Black de H(j) consiste tracer HdB en fonction de Arg H en faisant varier la pulsation de zro linfini. Cette reprsentation permet davoir les deux grandeurs caractrisant un systme (gain et phase) sur un mme graphe. Une tude asymptotique (cf. Bode) facilite le trac de la reprsentation de Black du systme linaire dordre 1 de la figure II.8 (la courbe est gradue en pulsation rduite / c). HdBArg H-45-9020.log(K)20.log(K) 3 dB / c= 0 / c= 1 / c + Fig. II.8 Reprsentation de Black de la rponse harmonique dun systme du 1er ordre. Reprsentation de Nyquist. La reprsentation de Nyquist consiste tracer H(j) dans le lieu de Nyquist (cest--dire Im[H(j)] en fonction de Re[H(j)]) en faisant varier la pulsation de zro linfini. Cette reprsentation permet, comme nous le verrons plus tard, dtudier rapidement la stabilit dun systme. La reprsentation de Nyquist (appele communment lieu de Nyquist) de la fonction de transfert dun systme du 1er ordre est un demi-cercle (cf. figure II.9) de centre (K/2,0) et de rayon K/2. En effet, on dmontre aisment que : ( ) ( )4) ( Im2) ( Re222Kj HKj H = +||

\| Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 20 ( ) ) ( Im j H( ) ) ( Re j HK K/2045 c= 1/ = 0 = + Fig. II.9 - Reprsentation de Nyquist de la rponse harmonique dun systme du 1er ordre. A la pulsation de coupure pour = c = 1/ : 2 / ) ( K j H = ( ) 4 / ) ( = j H Arg f Relation temps frquence. La rapidit de la rponse dun systme linaire du 1er ordre est lie sa frquence de coupure (cest--dire sa bande passante, telle que, fc = 1/(2) ; daprs c = 1/ ). Le temps de monte, tm , dun systme soumis un chelon tant le temps mis par la sortie pour passer de 10% 90% de sa valeur finale est une faon dexprimer cette rapidit. Or on dmontre que tm = 2,2. On en dduit que : 35 , 0 . =c mf t Eq. II.6 Ainsi plus la bande passante dun systme sera large (fc eleve) plus il sera rapide (tm faible), et inversement. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 21 II.2. Systme du second ordre. Dfinition 10 : Un systme est dit du second ordre si la relation entre son entre et sa sortie est une quation diffrentielle du 2me ordre. La forme gnrale de lquation diffrentielle dun systme du deuxime ordre dentre u et de sortie y est (on prendra toujours un second membre indpendant de u(t)) : ) ( . ) ( .) (. 2) (2020 022t u K t ydtt dymdtt y d = + + Eq. II.7 Avec : K gain statique, m coefficient damortissement (parfois not ), 0 pulsation propre non amortie. a Fonction de transfert. Par application de la TL lquation II.7 (en prenant des conditions initiales nulles) il vient : 202021) (ppmKp H+ += Eq. II.8 b Rponse indicielle. La rponse indicielle ( un chelon unitaire), dun systme du 2nd ordre est : ) ( ) ( t t u = 1 pp U1) ( = 2 ( )20 022020202 .21 .) ( + +=|||

\|+ +=p m p pKppmpKp Y La dernire tape de dtermination de y(t) ncessite ltude de trois cas en fonction de m : m > 1, rgime apriodique. Le discriminant rduit de lquation caractristique du dnominateur est alors 0 ) 1 (202> = m Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 22 Le dnominateur possde donc deux ples rels distincts : 120 0 2 , 1 = m m p ngatifs (car 0 . 0 220 2 1 0 2 1 > = < = + p p et m p p ) tels que : ( )( )2 120. .) (p p p p pKp Y = On cherche alors exprimer Y(p) sous la forme : 2 1) (p p p p pp Y++ = afin de calculer aisment la TL inverse de Y(p). On obtient : ((

+ + =2 1 211 2 121.1.1. ) (p p p ppp p p pppK p Y Do par TL-1 : ((

++ =t p t pep ppep ppK t y2 1. . 1 . ) (1 212 12 Eq. II.9 On a : K t yt =+ ) ( lim (p1,2 ples rels ngatifs) y'(0) = 0 la tangente lorigine est nulle Dans lhypothse ou m >> 1, on a 1 220 2 1 = m p p grand en valeur absolue. Cest--dire 2 1p p 1. A la diffrence dun premier ordre le trac de y(t) (en trait plein) est caractris par labsence de cassure lorigine (y'(0) = 0), cependant, trs rapidement, il rejoint le trac du premier ordre (en pointills) exprim prcdemment (cf. figure II.11). ) (t yt 2 1 3. 1 Fig. II.11 Rponse indicielle dun 2nd ordre pour m >> 1. Dtermination du temps de rponse 5% pour m >> 1 : On a % 502% 5.10095) (trmKe K K tr y = = Soit 3 .220 ln .20 0% 5 m mtr = Do m tr 320% 5 Eq. II.10 m = 1, rgime critique. Le discriminant rduit de lquation caractristique du dnominateur est nul = 0, le dnominateur possde donc une racine double relle p1 = p2 = -0 do ( ) ( )202020/ 1 . .) ( p pKp pKp Y+=+= On en dduit daprs les tables de TL-1 [ ]te t K t y0). 1 ( 1 . ) (0 + = Eq. II.11 120 0 1 + = m m p 120 0 2 = m m p Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 24 Lallure de y(t) est similaire celle obtenue pour le rgime apriodique de la figure II.11 (cas limite entre les rgimes apriodique et pseudopriodique). m < 1, rgime pseudopriodique. Le discriminant rduit de lquation caractristique du dnominateur est ngatif. Le dnominateur de Y(p) possde deux ples complexes conjugus : 20 0 2 , 11 m j m p = tel que 0 2 1 = = p p Pour 0 < m < 1, la transforme inverse de ( )20 02202 .) ( + +=p m p pKp Y est donne dans les tables de TL-1 : ( )) arccos(. 1 . sin . .111 . ) (2020mt m emK t yt m=((

+ = Eq. II.12 La figure II.12 prsente la rponse en rgime pseudopriodique amorti (0 < m < 1) dun systme linaire du second ordre pour K = 1, 0 = 0,22 rad/s, et m = 0,18. Fig. II.12 Rponse indicielle dun systme linaire du 2nd ordre (0 < m < 1). On a : K t yt =+ ) ( lim lerreur statique est nulle. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 25 On note Tp la pseudo priode des oscillations amorties : 2012mTp= (pour m = 0, Tp = T0 = 2/0, do le nom de pulsation propre non amortie de 0). Le premier dpassement correspond : 201 mtpic= et dune faon gnrale 201 mktk= 211mmKe D = 21 mmkkKe D = Le temps de rponse 5%, tr5%, est donn par labaque de la figure II.13. Il est minimal pour 7 , 0 m et vaut 44 , 020% 5= tr. Fig. II.13 Temps de rponse 5% dun systme linaire du 2nd ordre. Pour m petit on a lapproximation (les oscillations durent longtemps) : mtr 2320% 5= Pour m < 0, un calcul similaire au cas du rgime apriodique nous amne : ((

++ =t p t pep ppep ppK t y2 1. . 1 . ) (1 212 12 Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 26 Or Re(p1,2) = -m0 > 0 donc + =+ t pte). Re(2 , 1lim Les termes exponentiels divergent, le systme est instable. La figure II.14 donne une synthse de la rponse indicielle dun systme du second ordre en fonction de son coefficient damortissement m. On y retrouve les rgimes apriodique, critique et pseudopriodique (stable et instable). Figure II.14 Synthse de la rponse indicielle dun systme du 2nd ordre en fonction de m. 1 > m1 = m5 , 0 = m7 , 0 = m1 , 0 = m0 = m3 , 0 = mAutomatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 27 c Rponse harmonique. La rponse harmonique dun systme du 2nd ordre est sa rponse une sinusode permanente, u(t) = Um.cos(.t), le rgime transitoire tant teint. Partant de lquation II.8 (p = j) on trouve : 20 02 1) (|||

\|+ +=j jmKj H Eq. II.13 Etude asymptotique : Pour 0 K j H = ) ( do K HdBlog 20 = 0 = H Arg Pour + 20) (||

\| =Kj H do ( )0log 40 log 20 = K HdB = H Arg La figure II.15 donne le trac asymptotique de HdB pour K = 1. La valeur de m na dinfluence sur le trac de HdB quau voisinage de 0. (log)dBH0-40 dB / dcade0. 10 -40 Fig. II.15 Trac asymptotique du gain dun systme linaire du 2nd ordre. Pour m 1, le dnominateur de H(j) a deux racines relles positives telles que : ( )( )2 11 . 1) ( j jKj H+ += avec 120 0 2 , 1 = m m 20 2 1. = Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 28 Ce qui conduit au trac asymptotique de la figure II.16 lgrement modifi autour de 0. dBH0-40 dB / dcade12-20 dB / dcade (log) Fig. II.16 Trac asymptotique du gain dun systme linaire du 2nd ordre pour m 1. Pour m < 1, ltude dtaille du dnominateur de [ ] ( )2 / 1202220) ( 4 ) ( 1) ( mKj H+ = met en vidence 2 sous cas : pour 0 < m < 2 2 , on constate lapparition dun phnomne de rsonance la pulsation 202 1 mr = tel que 2,1 2log 20m mKHr dB= (cf. figure II.17). dBH2,1 2log 20m mKHr dB=202 1 mr = 0-40 dB / dcade Fig. II.17 Phnomne de rsonance dun systme du 2nd ordre pour m < 2 2 . pour 2 2 < m < 1, il ny a pas de rsonance, la courbe reste sous le trac asymptotique. Le lecteur trouvera en annexe 3 les tracs des diffrents diagrammes de la fonction de transfert dun systme linaire du 2nd ordre et plus gnralement tous les rsultats et abaques sy rapportant. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 29 Pour = 0, on a : mKj H2) (0 = 2 / = H Arg On note mQ21= le facteur qualit du systme (Q est utilise pour qualifier les systmes de filtrage). Pour 202 1 mr = = , on a dans le cas 0 < m < 2 2 : 21 2) (m mKj Hr= On dfinit le facteur de rsonance par 21 21m mM= Reprsentation de Black. La figure II.18 donne la reprsentation de Black dun systme linaire du 2nd ordre rsonnant pour m =0,5 et m = 0,34 (le gain statique est unitaire). 005 , 0 = m35 , 0 = mMdBQdBccrr Fig. II.18 Reprsentation de Black dun systme linaire rsonnant du 2nd ordre. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 30 Le trac permet de retrouver et didentifier un certain nombre de points caractristiques : le rgime statique ( = 0), la rsonance (pour = r on obtient MdB), la pulsation propre 0 (elle donne QdB), la pulsation de coupure c -3 dB, et lasymptote vers - pour . Reprsentation de Nyquist. La figure II.19 donne la reprsentation de Nyquist dun systme linaire du 2nd ordre pour diffrentes valeurs du coefficient damortissement : 0,3 < m < 5 (le gain statique est unitaire). Le trac est obtenu partir de lexpression : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2022200202220204 1) .( .24 11 .) ( mm KjmKj H+ + = Elle-mme calcule partir de lquation II.13. Pour + on a 0 ) ( j H par les valeurs ngatives (le gain tend vers 0 et la phase vers -). 5 = m1 = m7 , 0 = m5 , 0 = m4 , 0 = m3 , 0 = m Fig. II. 19 Lieu de Nyquist dun systme linaire du 2nd ordre (0,3 < m < 5). Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 31 II.3. Systmes dordre suprieur 2. Dune faon gnrale, lquation diffrentielle reprsentative dun systme linaire dordre suprieur 2 (S.L.T.I.) peut scrire : mmmnnndtt u dbdtt dub t u bdtt y dadtt dya t y a) (. ...) (. ) ( .) (. ...) (. ) ( .1 0 1 0 + + + = + + + Eq. II.14 avec ai, bi coefficients constants rels, n m , pour les systmes physiques ralisables (cest--dire respectant le principe de causalit), n est lordre du systme. On en dduit lexpression de la fonction de transfert correspondante (conditions initiales nulles) : 0 1110 111......) () () (a p a p a p ab p b p b p bp Dp Np Hnnnnmmmm+ + + ++ + + += = Eq. II.15 Les racines du numrateur, N(p), sont les zros de la fonction de transfert H(p), et, les racines du dnominateur, D(p), ses ples. Les coefficients tant rels, les n ples (p1 pn) de H(p) sont soit rels, soit complexes conjugus deux deux. Ainsi, le dnominateur peut scrire sous la forme : ) )....( ).( .( ) (2 1 n np p p p p p a p D = Do la possibilit dexprimer H(p) comme une somme dlments simples : = =ni iip pAp H1) ( Ai complexe Soit une dcomposition additive en sous-systmes du 1er ordre (pour les ples rels) et du 2me ordre (pour les ples complexes conjugus). Ds lors, la rponse du systme complet est la superposition des rponses de chacun des sous-systmes qui le composent (par application du principe de superposition), comme illustr figure II.20 par la rponse un chelon. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 32 m K,0 Fig. II.20 Rponse indicielle dun systme linaire dordre suprieur 2. En termes de stabilit, il suffit dun seul ple partie relle positive pour entraner linstabilit de lensemble. Les ples dominants sont situs proximit de laxe imaginaire. Pour un ple rel cela correspond une constante de temps leve ; pour un couple de ples complexes conjugus un coefficient damortissement faible. La rponse globale du systme dpend principalement des ples dominants. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 33 III. Stabilit des systmes asservis. III.1. Schma gnral dun asservissement. a Notion de bouclage. La figure III.1 donne le schma gnral dun systme asservi selon le principe introduit au chapitre 1. processusy+_xc organe decommandecapteurxrperturbationChaine directe / daction Chaine directe / dactionChaine de retour Chaine de retour Fig. III.1 Schma de principe dun asservissement. Avec xc : grandeur de consigne, y : sortie, xr : grandeur de retour (image de y), = xc - xr : signal derreur. On distingue ltude de la stabilit lors : - des variations de consigne : problme de consigne ou de suivi, - de la prsence de perturbations sur le processus : problme de rgulation. Dans le cas particulier du retour unitaire, y et xc = yc sont de mme dimension. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 34 b Fonction de transfert en boucle ouverte et en boucle ferme (FTBO / FTBF). La figure III.2 (a) donne la reprsentation dun asservissement sous forme de schma bloc (chaque bloc est remplac par sa fonction de transfert, ou transmittance de Laplace). Y(p)+_Xc(p) (p)A(p)B(p)Xr(p)Y(p)+_Xc(p) (p)A(p)B(p)Xr(p)Y(p) Xc(p)FTBF(p)(b) Calcul de la FTBO (c) Reprsentation en BF(a) Schma bloc dun asservissement Fig. III.2 Reprsentation sous forme de schma bloc dun asservissement. Fonction de transfert en boucle ouverte. Lors de la dtermination de la fonction de transfert en boucle ouverte, la boucle est ouverte au niveau de la grandeur de retour (cf. Fig. III.2 (b)), mme si cela peut sembler non intuitif : ) () () (p Xp Xp T FTBOcr= = ) ( ). ( ) ( p B p A p T FTBO = = Eq. III.1 Fonction de transfert en boucle ferme. Le calcul de la FTBF permet de modliser le systme asservi dans son ensemble (cf. Fig. III.2 (c)). On a : ) () () (p Xp Yp H FTBFc= = Tel que ) ( ). ( ) ( p p A p Y = Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 35 [ ] ) ( ) ( ). ( ) ( p X p X p A p Yr c = [ ] ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( p Y p B p X p A p Yc = [ ] ) ( ). ( ) ( ). ( 1 ). ( p X p A p B p A p Yc= + Do ) ( ). ( 1) (p B p Ap AFTBF+= Eq. III.2 Soit : FTBOp AFTBF+=1) ( La figure III.3 prsente le cas particulier du retour unitaire. Y(p)+_Xc(p) (p)T(p) Fig. III.3 Cas du retour unitaire. On a alors : ||

\|+=+= =FTBOFTBOFTBFp Tp Tp H FTBFunitaire retour1 ) ( 1) () ( Structure quivalente un retour unitaire. Il est possible de ramener tout systme asservi au cas du retour unitaire (cf. figure III.4) partir de la FTBF du systme rduit (le systme rduit correspond au systme pour lequel la sortie est Xr(p) au lieu de Y(p). Y(p)+_Xc(p) (p)A(p)B(p)Xr(p)Y(p)+_Xc(p)A(p) B(p) 1/B(p)Y(p) Xr(p) Fig. III.4 Structure quivalente un retour unitaire. Avec : ) ( ) ( ). ( p T p B p A FTBOr r = = ) ( 1) () ( ). ( 1) ( ). () (p Tp Tp B p Ap B p Ap H FTBFrrr r+=+= = Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 36 III.2. Interprtation gomtrique du passage de la boucle ouverte la boucle ferme. Dans le cas dun asservissement retour unitaire tel que ) ( 1) () (p Tp Tp H+= Avec ) (). ( ) (p jBOBOe p G p T = tel que GBO soit le gain et BO soit la phase en boucle ouverte. Soit ) ( ) () () () (). ( 1). () (p jBOBOp jBOp jBOBO BOBOe p Gp Ge p Ge p Gp H +=+= ) ( sin . ) ( cos ) () () ( BO BO BOBOj GGj H += En notant ) (). ( ) ( BFjBFe G j H = On obtient ) ( cos ). ( . 2 1 ) () () (2 BO BO BOBOBFG GGG+ += ) ( cos ) () ( sinarctan ) ( BO BOBOBFG += Ainsi, connaissant le FTBO (GBO, BO) pour un donn on en dduit la FTBF (GBF, BF). a Abaque de Black-Nichols. Labaque de Black-Nichols permet de reprer par un systme de doubles coordonnes les valeurs de la FTBO et de la FTBF correspondante (pour un retour unitaire uniquement) dans le plan de Black. Dans le systme de coordonnes rectangulaires (GBO dB, BO), on trace les courbes isomodules GBF dB = cte (en traits continus) et isophases BF = cte (en pointills) de la FTBF. Courbe isomodule GBF dB = cte , trace daprs : BFBFjBFjBFe Ge Gj Hj Hj T. 1.) ( 1) () (== Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 37 BF BF BFBFj GGj T sin cos) ( + = Soit 1 cos . . 22+ =BF BF BFBFBOG GGG BF BFBFBOG =cossinarctan Le trac des courbes isomodules (traits continus verts sur la figure III.5) se fait pour GBF dB = cte , dans le repre (GBO dB, BO) en faisant varier BF. Le trac des courbes isophases (traits pointills rouges, fig. III.5) se fait pour BF = cte , dans le repre (GBO dB, BO) en faisant varier GBF dB. Voir galement labaque donne en annexe 4. TBOdBBOHBF dBisomodule BFisophase-180 Fig. III.5 Courbes isomodules et isophases de labaque de Black-Nichols. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 38 b Analyse des rsonances. On considre dans cette partie un asservissement retour unitaire rsonant en boucle ouverte et en boucle ferm. Sa FTBO est trace (en bleu) dans labaque de Black-Nichols de la figure III.6. Le suivi point point du trac de la FTBO, pour variant de 0 +, permet de dterminer la FTBF ; son gain en dB tant lu lintersection des isomodules et sa phase lintersection des isophases. FTBOTBOdBBO = +TBO dB(0) = 0 = 0HBF dB(0)+MBF dBFTBFHBF dB(0) r BF r BFTBO dB( r BO)MBO dBFacteur de rsonance r BO r BO T T-180 0 Fig. III.6 Analyse de la rsonance. Pour = 0, on lit le gain statique en boucle ferme HBF dB(0) -5,5 dB sur lisomodule correspondante (en rouge fig. III.6) et BF = 0 sur lisophase (confondue avec laxe des ordonnes). Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 39 Lexistence dun maximum de gain en BF, cest--dire dune rsonance la pulsation r BF, est atteste par lexistence dun point de contact entre la FTBO et lisomodule HBF dB= 2,3 dB (plus prcisment la FTBO est tangente cette isomodule, et celle-ci correspond un gain suprieur au gain statique). Attention ne pas confondre les frquences de rsonnance en boucle ouverte, r BO , et en boucle ferm, r BF. On peut alors tracer (figure III.7) lallure du diagramme de Bode de la FTBF (en prenant au besoin quelques points intermdiaires). Avec : dB BF dB BF BF r dB BFM H H + = ) 0 ( ) ( MBF dB tant le facteur de rsonance de la BF. dB BFH r BF r BFHBF dB(0)MBF dB Fig. III.7 Module en dB de la FTBF. Labaque de la figure III.6 permet de relever deux autres pulsations utiles : - T : la pulsation de transition telle que TBO dB(T) =0 dB, - : telle que BO( ) = - 180. c Bande passante en boucle ferme. Labaque de Black-Nichols permet galement de dterminer rapidement la bande passante - dB en boucle ferme, c'est--dire la pulsation de coupure correspondante, c (cf. figure III.8). dB BFH cHBF dB(0)HBF dB(0) - dB Fig. III.8 Bande passante - dB de la BF. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 40 La mthode suivre est illustre figure III.9 : partant de lisomodule correspondant au gain statique (HBF dB(0) en rouge), on cherche le point dintersection de la FTBO avec lisomodule HBF dB(0) - dB (en bleu) qui donne la pulsation de coupure correspondante c. BO = + = 0 = 0HBF dB(0) r BF r BFHBF dB(0) - dBHBF dB(0) - dB C CBOTBO dB Fig. III.9 Dtermination de la bande passante - dB en BF. III.3. Rponse impulsionnelle dun systme boucl en rgime linaire. Ltude de la rponse impulsionnelle (rponse un Dirac) dun systme boucl permet daborder la question de la stabilit. Daprs la dfinition 6, un systme stable cart de son point de repos doit y retourner. En exprimant la FTBF, H(p), sous forme dune fraction rationnelle comme vu partie II.3, quation II.15 : 0 1110 111......) () () (a p a p a p ab p b p b p bp Dp Np Hnnnnmmmm+ + + ++ + + += = n m Et daprs : 1 ) ( ) ( ) ( = = p X t t xCTLc On a : 0 1110 111......1 ). ( ) (a p a p a p ab p b p b p bp H p Ynnnnmmmm+ + + ++ + + += = Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 41 Ce qui nous conduit (cf. partie II.3) : nnp pAp pAp Y+ += ... ) (11 Ai complexe Ainsi, lors du retour dans le domaine temporel, on a pour chaque ple pi de H(p) : t piTLiiie Ap pA 1 Pour que ces exponentielles ne divergent pas vers + il faut que la partie relle de chaque pi soit strictement ngative. Conclusion : un systme de transmittance H(p) est stable si et seulement si tous ses ples sont partie relle strictement ngative (cest--dire que les zros de D(p) = 1 + T(p) sont partie relle ngative). On remarque donc quil suffit de connaitre les zros de 1 + T(p) pour conclure sur la stabilit dun systme. Do la rgle fondamentale de lautomatique : La connaissance de la FTBO permet de conclure sur la stabilit du systme en boucle ferme. En dehors du calcul direct des ples (par ordinateur), il existe deux grandes familles de critre pour tudier la stabilit dun systme : - les critres algbriques, - les critres gomtriques. III.4. Le critre de Routh-Hurwitz (critre algbrique). Considrons un systme de FTBF6 : 0 111...) () () () (a p a p a p ap Np Dp Np Hnnnn + + + += = Ltude du polynme caractristique D(p) = 0 (ou polynme dHurwitz) permet de conclure sur la stabilit du systme (le critre est nonc ci-aprs sans tre dmontr). 6 Lattention du lecteur est attire sur le fait quil sagit du seul critre bas sur ltude de la FTBF (les critres gomtriques prsents ci-aprs reposent sur ltude de la FTBO). Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 42 Le critre de stabilit de Routh se dcompose en deux conditions : Une condition ncessaire : la stabilit exige que tous les coefficients ai soient de mme signe et non nuls. Une condition ncessaire et suffisante : le systme est stable (i.e. les zros de D(p), c'est--dire les ples de H(p), sont tous partie relle strictement ngative) si et seulement si tous les termes de la 1re colonne du tableau de Routh sont de mme signe. Construction du tableau de Routh : ..............2 112 1 3 10133 215 4 1113 2 1 25 3 114 2= == == c cbb a a bpppb baa a a abaa a a apa a a pa a a pn n nnn n n nnn n n n nn n nnn n nn Les deux premires lignes du tableau de Routh sont obtenues en reportant les coefficients du polynme caractristique (les emplacements vides correspondent la valeur zro). Les coefficients des lignes suivantes sont calculs partir des coefficients des deux lignes immdiatement suprieure et correspondant plus prcisment la 1re colonne et la colonne suivante (le cadre et le gamma invers gris clairs ajouts au tableau illustrent le calcul de b1). Exemple 1 : conclure quant la stabilit du systme de FTBF : 5 2 21) (2 3 4 5+ + + +=p p p p pp H Solution : les coefficients associs au polynme dHurwitz ne sont pas tous de mme signe. La condition ncessaire de stabilit nest pas vrifie. Le systme associ est donc instable. Exemple 2 : conclure quant la stabilit du systme de FTBF : ( )1 6 3 5. 1) (2 3 4+ + + ++=p p p pp Kp H . .Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 43 Solution : 0 1 6 3 5 ) (2 3 4= + + + + = p p p p p D Tous les coefficients sont de mme signe, la condition ncessaire est vrifie. 019 / 295 91 . 5 6 . 5 9151 . 0 1 . 55 / 951 . 6 3 . 50 6 51 3 101234===ppppp Tous les coefficients de la premire colonne sont de mme signe, le systme est donc stable. Exemple 3 : conclure quant la stabilit du systme de FTBF : 1 16 3 5) (2 3 4+ + + +=p p p pKp H Solution : 01410 1 5 / 10 16 51 3 101234ppppp Il y a deux changements de signe ce qui indique la prsence de 2 ples instables. Exemple 4 : le critre de Routh prsente galement un intrt lorsquil faut dterminer la valeur dun paramtre pour lequel le systme franchit le seuil de stabilit. On considre un systme retour unitaire de FTBO : ( ) 2 2 . .) (2+ +=p p pKp T tel que K > 0, > 0 A quelle condition ce systme est-il stable ? Solution : calcul de la FTBF : K p p pKp Tp Tp H+ + +=+=. 2 . 2 . ) ( 1) () (2 3 do : 0240 20 20123KKppK pp stable si 024> K soit si 4 0 de 1 + T(p) P+ = ples partie relle > 0 de T(p) P+ = PBO+ ples instables de la boucle ouverte et Z+ = zros partie relle > 0 de 1 + T(p) Z+ = ples partie relle > 0 de ) ( 1) (p Tp A+ Z+ = PBF+ ples instables de la boucle ferme Soit N = PBF+ - PBO+ Ainsi, connaissant PBO+ et N, on en dduit le nombre de ples instables de la FTBF (i.e. la stabilit). Point critique (-1,0) : plutt que de regarder le nombre de tours de () = {1 + T(p)} autour de lorigine, on trace ( ) = {T(p)} (la FTBO) et on regarde le nombre de tours autour du point critique (ce rsultat est obtenu par une simple translation de -1 selon laxe rel). On est alors mme dnoncer le : Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 46 Critre de stabilit de Nyquist : lorsque p dcrit le contour de Bromwich (C) dans le sens horaire, T(p) (la FTBO) dcrit une courbe () dans le plan complexe. Le systme est stable en boucle ferme si et seulement si le nombre de tours de () autour du point critique -1 compts dans le sens horaire est gal moins le nombre de ples instables de T(p) (ples Re>0 de la FTBO). Pour un systme stable en boucle ouverte, le systme est stable en boucle ferme si () nentoure pas le point critique. Rmq : pour un systme instable en BF, le nombre de ples instables est PBF+ = N + PBO+. La connaissance de la boucle ouverte permet de conclure sur la stabilit en boucle ferme. Comportement lorigine : le contour dexclusion lorigine (pour p = 0) permet dviter les problmatiques dexistence de la FTBO dans le cas o elle peut sexprimer sous la forme : nnmmp a p ap b p bpap T+ + ++ + +=... 1... 1. ) (11 avec > 0 Pour p 0 (au voisinage de 0) : pap T ) ( Ainsi, en parcourant le demi-cercle de rayon r, largument de p passe de -/2 +/2 en faisant un demi-tour autour de lorigine dans le sens antihoraire, et donc largument de T(p) passe de /2 -/2 en tournant dans le sens horaire. Ainsi, on passe de T(0-) T(0+) en faisant une rotation de dans le sens horaire. Lexemple suivant, qui sera corrig en TD, illustre ce comportement. Exemple : Etudier la stabilit du systme de FTBO, ) 2 ).( 1 .() (+ +=p p pKp T , par application du critre de Nyquist. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 47 b Le critre du revers. Le critre du revers est une simplification du critre de Nyquist pour les systmes simples. Conditions suffisantes devant tre vrifies par la FTBO pour pouvoir appliquer le critre du revers : - systme stable en boucle ouverte, - ordre de la FTBO > 1, - T(p) phase minimale (i.e. pas de zro Re>0), - le rapport des coefficients de plus bas degr du numrateur et du dnominateur est positif. Critre du revers : si un systme vrifie les conditions suffisantes exposes prcdemment et si le lieu de Nyquist de la FTBO, dcrit dans le sens des pulsations croissantes (0+ +), laisse le point critique sa gauche, alors, le systme sera stable en boucle ferme. La figure III .12 illustre lapplication du critre du revers pour des systmes instable et stable. -1Instable Stable < t t< ReIm T = 0= +-1ReIm T = 0= +cercle unitairecercle unitaire Fig. III.12 Illustration du critre du revers. Critre du revers dans le plan de Black : si un systme en boucle ouverte vrifie les conditions suffisantes nonces prcdemment, et, si son lieu dans le plan de Black parcouru dans le sens des pulsations croissantes (0+ +) laisse le point critique sa droite alors le systme est stable en boucle ferme. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 48 La figure III .13 illustre lapplication du critre du revers dans le plan de Black. Arg TTdB = + = 0 t t-1 Arg TTdB = + = 0-1Arg TTdB = + = 0Arg TTdB = + = 0-1 Instable Stable < t t< t t Fig. III.13 Illustration du critre du revers dans le plan de Black. Cest un rsultat que lon peut illustrer galement sous forme de diagramme de Bode (cf. figure III.14). t tArg T (log)TdB0 dB (log)-180Arg T (log)TdB0 dB (log)Arg T (log)TdB0 dB (log)-180 Instable < tInstable < t t tArg T (log)TdB0 dB (log)-180Arg T (log)TdB0 dB (log)Arg T (log)TdB0 dB (log)-180 Stable t< Stable t< Fig. III.14 Diagrammes de Bode de systmes instable et stable. Dune faon gnrale, pour des systmes satisfaisant aux conditions suffisantes du critre du revers, on retiendra que le systme est stable pour T < et instable pour < T. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 49 c Marges de stabilit. On introduit la notion de marges de stabilit pour sassurer quun systme est loin du point critique ; en dautres termes, elles permettent de quantifier la distance sparant le lieu de la FTBO du point critique (synonyme de limite de stabilit). On dfinit : - Marge de phase : [ ] + = = 180 ) (Tj p T Arg M [] - Marge de gain : dBGj p T M ) ( = = [dB] Les dfinitions de MG et de M sont telles quelles soient positives pour un systme stable. La figure III.15 illustre le trac des marges de phase dans le plan de Black et dans le diagramme de Bode. Arg TTdB = 0-1 tMGM Arg T (log)TdB0 dB (log)-180 MG tM Fig. III.15 Marges de stabilit pour un systme stable. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 50 IV. Performances des systmes asservis. Dans ce chapitre on considrera que les systmes tudis sont stables (et retour unitaire). Les deux critres de performance tudis sont la prcision et la rapidit (cf. I.3.c). IV.1. Prcision. Dfinition 11 : Estimer la prcision dun systme asservi cest mesurer ou prdire lvolution temporelle de lcart entre la consigne dentre et la sortie du systme ((t) = yc(t) y(t)). Le but tant de minimiser (t). Le systme est susceptible dvoluer sous leffet dune modification de la consigne yc(t) ou de lapparition de perturbations extrieures n(t). (p)+Yc(p)A(p) B(p)Y(p)_++N(p) Fig. IV.1 Schma bloc dun systme retour unitaire. Daprs la figure IV.1 on peut crire : ) ( ). ( ) ( . ) ( ). ( ) ('p N p B p p B p A p Yon perturbati de absence l en FTBO+ = 43 42 1 [ ] ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( p N p B p Y p Y p T p Yc + = [ ] ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( 1 ). ( p N p B p Y p T p T p Yc + = + ) ( .) ( 1) () ( .) ( 1) () ( p Np Tp Bp Yp Tp Tp YcFTBF+++=43 42 1 Ainsi, dune faon gnrale, on peut dcomposer ltude en deux : - d'une part ltude de la poursuite : volution de lerreur pour les variations de la consigne en labsence de perturbations, - et dautre part ltude en rgulation : volution de lerreur en prsence de perturbations pour une consigne fixe. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 51 a Prcision statique en poursuite Erreur en rgime permanent. Lerreur en rgime permanent est : s tt =+ ) ( lim Donc, daprs le thorme de la valeur finale : ) ( lim ) ( lim0p p tp t s + = = Avec ) ( ) ( ) ( p Y p Y pc = ) ( .) ( 1) () ( ) ( p Yp Tp Tp Y pc c+ = ) ( 1) () (p Tp Ypc+= Do ) ( 1) ( .lim0p Tp Y pcp s+= Eq. IV.1 Lerreur statique, s, dpend du signal de consigne et de la FTBO. Dans le cas o lon peut crire la FTBO sous la forme : nnmmp a p ap b p bpap T+ + ++ + +=... 1... 1. ) (11 (systme de classe , i.e. nb dintgrations pures) On a alors : pKp Tp p 0 0lim ) ( lim = La FTBO correspond alors aux exemples de diagrammes de Bode asymptotique (gain uniquement) donn figure IV.2. (log)TdB = 0(-1) (log)TdB = 1(-1)(-2) (log)TdB = 2(-2)(-3) Fig. IV.2 Allures du gain de systmes de classe 0, 1 et 2. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 52 Rponse un chelon de consigne (erreur de position) : p p Y t t ycTLc/ 1 ) ( ) ( ) ( = = Do pKp Tp p s++= 11lim) ( 11lim0 0 et donc pour = 0 : Ks+=11 et pour 1 : 0 =s Un systme qui possde au moins un intgrateur ( 1) en boucle ouverte a une erreur de position nulle. Rponse une rampe (erreur de trainage) : 2/ 1 ) ( ) ( p p Y t t ycTLc = = Do pKpp s+= 11.1lim0 pour = 0 + s pour = 1 Ks1 = pour 2 0 =s Un systme qui possde au moins deux intgrateurs ( 2) en boucle ouverte a une erreur de tranage nulle. Rponse une parabolique (erreur en acclration) : 3 2/ 1 ) ( 2 ) ( p p Y t t ycTLc = = Do pKpp s+= 11.1lim20 pour = 0 ou 1 + s pour = 2 Ks1 = pour 3 0 =s Un systme qui possde au moins trois intgrateurs ( 3) en boucle ouverte a une erreur dacclration nulle. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 53 Quand s est finie et non nulle, le fait daugmenter K la fait baisser. Au risque de rendre le systme instable. Le tableau IV.1 rassemble les rsultats prcdents. sK +=11sK1=sK1=Classe = 0 1 2erreur de position (chelon)erreur de tranage (rampe)erreur de dacclrationClasse = 0 1 2erreur de position (chelon)erreur de tranage (rampe)erreur de dacclration0 00 Tab. IV.1 Erreur en fonction de la classe des systmes. b Prcision dynamique en poursuite. On a tabli prcdemment que : ) ( 11) () (p T p Ypc += t t (log)TdB0 dB Fig. IV.3 Allure typique de la FTBO dun systme physique. Do, en considrant lallure typique de la FTBO dun systme physique donne figure IV.3 on peut tablir que : Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 54 - pour > j T soit ) () () ( j Tj Yjc= petit. Ce qui correspond une trs bonne prcision. - pour >> T, les composantes hautes frquences des signaux, on a 1 ) ( 0, c..d. y < yc , on envoie u = UMAX , pour < 0, c..d. y > yc , on envoie u = 0. b La commande proportionnelle. Laction u est dose proportion du rsultat atteindre et donc de lerreur. On prend : u = K. = K.(yc y) Si K est grand, la correction est nergique et rapide mais le risque de dpassement et doscillations dans la boucle saccrot. Cependant, si K est petit, la correction est molle et lente mais il y a moins de risque doscillations. Automatique Linaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2012 60 On a bien vu au IV.2 que la correction proportionnelle permet damliorer la rapidit dun systme dautant plus efficacement que K est lev. Mais cela finit par poser un problme de stabilit comme illustr dans le plan de Nyquist la figure V.2 pour des valeurs de K croissantes. = + = 0-1ReImKK KK1K1 < K1K1K1