ESTÁTICA (2012/2013) SOLUÇÕES DAS FICHAS DAS AULAS...

ESTÁTICA (2012/2013)

SOLUÇÕES DAS FICHAS DAS AULAS PRÁTICAS

versão 2 1/13 Isabel Alvim Teles

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

FICHA 1 – Revisões

Exercício 1

a) Figura 1 b) Figura 2

α = 39,806° α = 28,720°

β = 50,195° δ = 16,457°

ϕ = 28,393° ϕ = 60,878°

cota a = 1,967 m β = 128,199°

cota a = 3,426 m

cota b = 1,386 m

cota c = 1,114 m

Exercício 2

a) Fa = 16,882 KN

b) Fb = 24,375 KN

Exercício 3

Fx = 50 N ←

Fy = 86,603 N ↓

Exercício 4

a) Fx = 153,209 N ← Fy = 128,558 N ↑

b) F//AB = 100 N F┴AB = 173,205 N

Exercício 5

a) α = 25° N 504,66 R N 377,444 R

N 334,992 R

y

x =⇒

↑=→=

48,41⁰

N 501,33 R

N 57,92 R

maior lado

menor lado

==

⊥

⊥

b) α = 50° N 616,72 R N 587,636 R

N 187,161 R

y

x =⇒

↑=→=

72,33⁰

N 588,72 R

N 183,74 R

maior lado

menor lado

==

⊥

⊥

Exercício 6

a) Fb = 119,175 N b) R = 155,57 N

Exercício 7

a) α = 25° kN 34,74 R

kN 26,71 F 2

==

b)

kN 24,09 R

47,48

kN 40F

o

2

=

=α=

Barras Comprimento

AD 6,50 m

AE 3,426 m

AF 6,164 m

AG 5,385 m

BD 3,202 m

EG 2,545 m

FG 3,00 m

Barras Comprimento

AB 4,00 m

AC 3,073 m

BC 2,561 m

BD 5,385 m

CD 4,737 m

79,38º

88,47º





FICHA 2 – Estática do ponto material

Exercício 1

a) kN 114,59 R

kN 39,03 R

y

x

==

b) kN 83,81 R

kN 87,36 R

y

x

==

c) kN 121,06 R kN 112,876 R

kN 43,759 R

y

x =⇒

↑=←=

68,81⁰

d) F = 121,06 kN e) F = 114,04 kN f)

kN 61,18 R

kN 29,59 F

=

=

Exercício 2

a) kN 45,69 F

kN 80,92 F

2

1

==

b) kN 10,59 F

kN 11,49 F

4

3

→==

c) kN 21,31 F

kN 26,59 F

3

2

==

d) kN 42,83 F 5 =

FICHA 3 – Estática do corpo rígido

Exercício 1

a) a1) MC = 15 kNm a2) MD = 5 kNm

b) b1) MC = MB = MD = 6 kNm b2) ME = 12 kNm

c) c1) MD = 12,5 kNm c2) MC = 28,5 kNm

d) d1) MD = 4,302 kNm d2) MC = 15,706 kNm

e) e1) e2) e3) MA = MB = MC = MD = ME = 18 kNm

f) f1) MC = 17,321 kNm f2) ME = 21,071 kNm

f3) Sistema equivalente em D

kNm 17,321 M

0 F

kN 25 F

y

x

==

←=

f4) FA = 28,87 kN ↑ f5) FE = 111,90 kN ←

68,81º 81,82º

40º

26,31º





g) g1) Sistema equivalente em C

kNm 2,008 M

kN 19,069 F

kN 33,251 F

y

x

=↓=←=

g2) Sistema equivalente a meio da barra DE

kNm 14,036 M

kN 19,069 F

kN 33,251 F

y

x

=↓=←=

g3) Sistema equivalente a resultante sobre o tramo BCD kN 19,069 F

kN 33,251 F

y

x

↓=←=

ponto de aplicação: 0,105 m à esquerda de C

Exercício 2

a)

kNm 38,58 M

kN 21,32 F

kN 5,51 F

y

x

=↑=

←=

b)

kNm 21,32 F

kN 18,37 F

kN 12,86 F

G vert.

H hor.

D hor.

↑=←=→=

c)

kNm 6,6 M

kN 21,32 F

kN 5,51 F

y

x

=↓=

→=

d)

kNm 23,43 M

kN 21,32 F

kN 5,51 F

y

x

=↓=

→=

e) Sistema equivalente a resultante sobre o tramo ABC kN 21,32 F

kN 5,51 F

y

x

↓=→=

ponto de aplicação: 0,31 m à esquerda de A

Exercício 3

a) Sistema resultante na extremidade inferior do poste

kNm 80 M

kN 180 F

0 F

y

x

=↓=

=

b) kN 290 F :direita da parafuso

kN 110 F :esquerda da parafuso

↓=↑=

c) Cota a ≥ 0,31 m

FICHA 4 – Equilíbrio de corpos Rígidos - Reacções

Exercício 2

Figura 1: HA = 0 VA = 6 KN ↑ VB = 9 KN ↑

Figura 2: HA = 0 VA = 7,5 KN ↓ VB = 27,5 KN ↑

Figura 3: VB = 44,167 KN ↓ HC = 0 VC = 44,167 KN ↑

Figura 4: HB = 43,32 kN → VB = 56,519 KN ↑ VB = 34,041 KN ↓

Figura 5: HB = 0 VB = 4,0476 KN ↑ VB = 4,0476 KN ↓

Figura 6: HA = 0 VA = 10,75 KN ↑ MA = 25,48 KNm





Exercício 3

a) Ponto de aplicação: 1,20 m à esquerda de B

b) M = 92,817 kNm

c) Carga vertical uniformemente distribuída: p = 13,09 kN/m ↓↓↓↓

Exercício 4

Figura 1: RH = 12.262 kN → RV = 3,5 KN ↑ M = 11,581 KNm

Figura 2: HA = 18.453 kN ← VA = 31,965 KN ↑ RB = 17,695 KN

Figura 3: apoio duplo: kN 27,946 R

kN 31,070 R

V

H

↑=→=

Apoio simples: R = 34,738 KN

Figura 4: RH = 18.058 kN → RV = 65,934 KN ↑ M = 117,915 KNm

FICHA 5 – Equilíbrio de corpos rígidos – Arco de três rótulas

Exercício 1

A kN 50,21 V

kN 41,88 H

A

A

↑=→=

B kN 33,37 V

kN 110,17 H

B

B

↑=←=

Rótula C (forças de ligação) kN 2,63 V

kN 110,17 H

C

C

↑↓=→←=

Exercício 2

Figura 1: A

kNm 153,32 M

kN 79,30 V

kN 141,79 H

A

A

A

=↑=

→=

RG = 48,79 KN

Figura 2: VA = 20,78 KN ↓ C kN 19,53 V

kN 108,18 H

C

C

↑=←=

RE = 9,09 KN (com a direcção da barra ED)

Figura 3: A kN 28,465 V

kN 126,83 H

A

A

↓=←=

I ⇒

↓=←= kN 23,76 V

kN 9,50 H

I

I R I = 25,59 kN (dir. barra IR)

Figura 4: RA = 35,48 KN F

kNm 97,27 M

kN 24,11 V

kN 79,03 H

F

F

F

=↓=→=





FICHA 6 – Equilíbrio de corpos rígidos – Vigas Gerber

Figura 1: VA = 18,72 kN ↑ C kN 23,40 V

kN 22,94 H

C

C

↑=→=

VD = 17,64 KN ↑

Figura 2: VA = 8,44 kN ↓ VB = 63,36 kN ↑ E kN 24,32 V

kN 8,25 H

E

E

↑=←=

VF = 14,94 KN ↓

Figura 3: A kN 4,88 V

kN 66,14 H

A

A

↑=→=

VB = 4,40 kN ↑ VD = 30,68 kN ↑

VF = 42,08 KN ↑ VG = 16,15 KN ↑

Figura 4: VA = 71,82 kN ↓ VC = 126,32 kN ↑ VD = 53,88 KN ↓ G

kNm 13,725 M

kN 21,72 V

kN 51,42 H

G

G

G

=↑=←=

Figura 5: VA = 18,97 kN ↑ VC = 46,315 kN ↑ D kN 12,72 V

kN 30 H

D

D

↑=←=

VE = 4,0 KN ↑

FICHA 7 – Equilíbrio de corpos rígidos – Associação de corpos

Figura 1

A kN 75,086 V

kN 46,118 H

A

A

↓=←=

VB = 163,701 kN ↑ VG = 6 kN ↑ RK = 52,393 kN �

Figura 2

A

kNm 767,85 M

kN 68,49 V

kN 121,17 H

A

A

A

=↑=

→=

VH = 153,37 kN ↑ RI = 101,28 kN

Figura 3

A kN 12,57 V

kN 47,57 H

A

A

↓=→=

VB = 165,22 kN ↓ E kN 265,79 V

kN 17 H

E

E

↑=←=

Figura 4

A kN 55 V

kN 37,75 H

A

A

↑=←=

F kN 24 V

kN 59,75 H

F

F

↑=←=

VH = 5 kN ↑

Figura 5

A kN 74,731 V

kN 94,731 H

A

A

↓=←=

B kN 25,300 V

kN 153,078 H

B

B

↑=←=

RJ = 16,553 kN

Figura 6

A

kNm 50,330 M

kN 21,610 V

kN 5,713 H

A

A

A

=↓=

→=

RF = 9,144 kN � VG = 31,25 kN ↓





FICHA 8 – Sistemas articulados planos (SAP)

Exercícios 1 e 2

Figura 1

Reacções:

↑=→=

←=

kN 20 V

kN 5 H C

kN 15 H

C

C

A

Barras Compressão (kN)

Tracção (kN)

AB 15 —

AC — 21,213

BC 10 —

BD — 11,180

CD 5 —

Figura 2

Reacções:

↑=←=

→=

kN 30 V

kN 80 H E

kN 90 H

E

E

A


Tracção (kN)

AB 0 0

AC 90 —

BC 20 —

BD 22,36 —

CD 10 —

CE 82,46 —

DE 10 —

Figura 3

Reacções:

→=

↑=←=

kN 141,977 HB

kN 113,284 V

kN 137,712 H A

A

A


Tracção (kN)

AC 24,428 —

AD — 194,754

BC 141,977 —

BE 0 0

CD 115,996 —

CE 9,428 —

DE — 47,140

Figura 4

Reacções:

↑=←=

↑=

kN 22,633 V

kN 3,384 H E

kN 1,633 V

E

E

A


Tracção (kN)

AD — 1,633

BD — 14,373

BE 21,749 —

CD — 7,071

CF 5 —

DE 1,250 —

DF — 15,590

EF 2,5 —





Figura 5 Reacções:

Exercício 3

a) NAD = 59,27 kN (comp.) b) NEG = 37,33 kN (tracção) c)

NAE = 10,73 kN (tracção) Exercício 4

a) NDI = 10,00 kN (compressão) b) NGJ = 9,12 kN (compressão) c) α = 59,87 ⁰

NDJ = 27,04 kN (tracção)

NIJ = 19,12 kN (compressão) Exercício 5

a) NBF = 6,66 kN (tracção) b) NAC = 3,78 kN (tracção) c) F = 6,01 kN ↑

NBG = 9,615 kN (compressão)

Exercício 6

a) NBE = 4,30 kN (compressão) b) NDE = 62,91 kN (compressão)

NCE = 33,39 kN (compressão)

Reacções: A

↑=←=

kN 45,761 V

kN 14,835 H

A

A RG = 65,4286 kN �

Exercício 7

a) NBE = 45,753 kN (compressão)

b) NAD = 0 (barra descarregada) Reacção no apoio em C: ∑MA = 0 ⇒ VC = 49,3235 kN ↑

c) NDF = 23,048 kN (tracção)

←=↑=

↑=→=

kN 33,380 R

kN 67,587 R

kN 41,265 V

kN 5,314 H A

H

F

A

A


Tracção (kN)

AB — 44,20

AC 64,46 —

BC — 41,27

BD — 7,54

CD 49,52 —

DE 33,11 —

DG 11,67 —

EF 0 0

EG — 25

EH 32,19 —

FH — 67,59

GH 11,67 —

52,675° 52,675°ou40 kN 40 kN





FICHA 11 – Geometria de Massas – Centro de Gravidade

EXERCÍCIO 1

Figura 1

==

cm 44,55 Y

cm 19,42 X

G

G Figura 2

−==

cm 2,69 Y

cm 13,02 X

G

G Figura 3

−=−=

cm ,7330 Y

cm 2,039 X

G

G

Figura 4

−=−=

mm 7,37 Z

mm 4,17 Y

G

G Figura 5

==

cm 14,37 Z

cm 4,36 Y

G

G Figura 6

==

cm ,0411 Z

cm ,7310 Y

G

G

EXERCÍCIO 2

Figura 1

−==

mm 21,36 Z

mm 22,48 Y

G

G Figura 2

Figura 3 Figura 4

==

cm 2,95 Y

cm 2,95 X

G

G

EXERCÍCIO 3

Figura 2

−=−=

m 0,0319 Z

m 0,1116 Y

G

G

Figura 1

Figura 4

Figura 3

−==

cm ,698 Y

cm 0,32 X

G

G

G

12.69 cm

11.148 5.802 cm

G

30 cm

G 2.66

15.34 cm

G

14.38 3.40 17.78 cm





FICHA 12 – Geometria de Massas – Momentos e Produto de Inércia. Raio de Giração.

EXERCÍCIO 1

Figura 1

a)

==

4Y

4X

cm 8 946, 150 1

cm 751,5 370 4 I

I b)

==

4Y

4X

cm 237,7 456

cm 504,3 714

G

G

I

I c) 4

O cm 398,3 521 5 =I d) 4CG cm 742,0 170 1 =I

e)

==

cm 25,0 i

cm 48,7 i

Y

X f)

==

cm 15,7 i

cm 19,7 i

G

G

Y

X g) 4

XY cm 314,9 843 1 =I h) 4YX cm 633,7 249 GG =I

i)

−===

cm 429,0 472

cm 465,5 359

cm 932,8 161 5

4Y'X'

4Y'

4X'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 383,3 259

cm 596,3 693

cm 145,8 477

4YX

4Y

4X

'G

'G

'G

'G

I

I

I

Figura 2

a)

==

4Y

4X

cm 362,6 818

cm 380,1 364 I

I b)

==

4Y

4X

cm 799,0 491

cm 474,4 350

G

G

I

I c) 4

O cm 742,7 182 1 =I d) 4CG cm 273,4 842 =I

e)

==

cm 20,61 i

cm 13,75 i

Y

X f)

==

cm 15,97 i

cm 13,48 i

G

G

Y

X g) 4

XY cm 654,975 212 =I h) 4YX cm 042,5 280 GG =I

i)

===

cm 907,7 302

cm 702,3 520

cm 040,3 662

4Y'X'

4Y'

4X'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 877,4 125

cm 082,6 681

cm 190,8 161

4YX

4Y

4X

'G

'G

'G

'G

I

I

I

Figura 3

a)

==

4Y

4X

cm 531,24

cm 319,62 I

I b)

==

4Y

4X

cm 333,49

cm 294,06

G

G

I

I c) 4

O cm 850,86 =I d) 4CG cm 627,55 =I

e)

==

cm 3,34 i

cm 2,59 i

Y

X f)

==

cm 2,65 i

cm 2,49 i

G

G

Y

X g)

4XY cm 185,52 =I h) 4

YX cm 114,43 GG =I

i)

===

cm 1,13

cm 639,00

cm 211,86

4Y'X'

4Y'

4X'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 88,66

cm 238,79

cm 388,76

4YX

4Y

4X

'G

'G

'G

'G

I

I

I





Figura 4

a)

==

4Z

4Y

mm 081,58 125

mm 234,04 119 I

I b)

==

4Z

4Y

mm 383,6 112

mm 529,9 79

G

G

I

I c) 4

O mm 315,6 244 =I d) 4CG mm 913,5 191 =I

e)

==

mm 13,09 i

mm 12,78 i

Z

Y f)

==

mm 12,41 i

mm 10,44 i

G

G

Z

Y g) 4

YZ mm 205,53 39 −=I h) 4ZY mm 659,1 61 GG −=I

i)

−===

mm 070,71 17

mm 572,67 157

mm 742,94 86

4Z'Y'

4Z'

4Y'

I

I

I

j)

−=

=

=

mm 217,4 52

mm 282,1 59

mm 631,4 132

4ZY

4Z

4Y

'G

'G

'G

'G

I

I

I

Figura 5

a)

==

4Z

4Y

cm 902,71 110

cm 754,71 419 I

I b)

==

4Z

4Y

cm 837,07 90

cm 786,28 201

G

G

I

I c) 4

O cm 657,42 530 =I d) 4CG cm 623,35 292 =I

e)

==

cm 10,25 i

cm 19,94 i

Z

Y f)

==

cm 9,28 i

cm 13,83 i

G

G

Z

Y g) 4

YZ cm 223,64 001 =I h) 4ZY cm 089,9 43 GG =I

i)

−===

cm 625,0 83

cm 319,5 101

cm 337,9 429

4Z'Y'

4Z'

4Y'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 408,6 64

cm 767,7 136

cm 855,7 155

4ZY

4Z

4Y

'G

'G

'G

'G

I

I

I

Figura 6

a)

==

4Z

4Y

cm 158,572

cm 337,612 I

I b)

==

4Z

4Y

cm 137,475

cm 294,77

G

G

I

I c) 4

O cm 496,18 =I d) 4CG cm 432,245 =I

e)

==

cm 2,00 i

cm 2,92 i Z

Y f)

==

cm 1,87 i

cm 2,73 i

G

G

Z

Y g) 4

YZ cm 3,375 =I h) 4ZY cm 26,7 GG −=I

i)

−===

cm 75,84

cm 200,41

cm 295,77

4Z'Y'

4Z'

4Y'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 43,09

cm 145,11

cm 287,13

4ZY

4Z

4Y

'G

'G

'G

'G

I

I

I

Figura 7

a)

==

4Z

4Y

cm 125,23 15

cm 971,87 9 I

I b)

==

4Z

4Y

cm 344,82 14

cm 267,28 9

G

G

I

I c) 4

O cm 097,1 25 =I d) 4CG cm 612,1 23 =I

e)

==

cm 9,90 i

cm 8,04 i Z

Y f)

==

cm 9,64 i

cm 7,75 i

G

G

Z

Y g) 4

YZ cm 554,45 3 =I h) 4ZY cm 295,98 4 GG =I

i)

===

cm 008,70 4

cm 758,65 10

cm 338,45 14

4Z'Y'

4Z'

4Y'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 816,59

cm 728,85 16

cm 883,25 6

4ZY

4Z

4Y

'G

'G

'G

'G

I

I

I





Figura 8

a)

==

4Y

4X

cm 357,27 22

cm 002,18 5 I

I b)

==

4Y

4X

cm 313,27 18

cm 139,01 4

G

G

I

I c) 4

O cm 359,45 27 =I d) 4CG cm 452,28 22 =I

e)

==

cm 11,76 i

cm 5,56 i

Y

X f)

==

cm 10,64 i

cm 5,06 i

G

G

Y

X g) 4

XY cm 865,46 1 =I h) 0 GGYX =I

i)

−===

cm 582,2 6

cm 634,0 19

cm 725,4 7

4Y'X'

4Y'

4X'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 429 5

cm 782 15

cm 671 6

4YX

4Y

4X

'G

'G

'G

'G

I

I

I

Figura 9

a)

==

4Z

4Y

cm 008,20 4

cm 231,35 6 I

I b)

==

4Z

4Y

cm 113,34 3

cm 231,35 6

G

G

I

I c) 4

O cm 239,55 10 =I d) 4CG cm 344,7 9 =I

e)

==

cm 6,66 i

cm 8,31 i

Z

Y f)

==

cm 5,87 i

cm 8,31 i

G

G

Z

Y g) 0 YZ =I h) 0 GGZY =I

i)

−===

cm ,65962

cm 563,99 4

cm 675,56 5

4Z'Y'

4Z'

4Y'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 194,3 0

cm 670,2 3

cm 674,4 5

4ZY

4Z

4Y

'G

'G

'G

'G

I

I

I

Figura 10

a)

==

4Y

4X

cm 261,21 6

cm 261,21 6 I

I b)

==

4Y

4X

cm 209,95 5

cm 209,95 5

G

G

I

I c) 4

O cm 522,4 12 =I d) 4CG cm 419,9 10 =I

e)

==

cm 8,54 i

cm 8,54 i

Y

X f)

==

cm 7,79 i

cm 7,79 i

G

G

Y

X g) 4

XY cm 173,19 2 =I h) cm 121,86 1 4YX GG =I

i)

===

cm 086,59 1

cm 379,17 4

cm 143,25 8

4Y'X'

4Y'

4X'

I

I

I

j)

=

=

=

cm 721,1

cm 069,3 6

cm 350,6 4

4YX

4Y

4X

'G

'G

'G

'G

I

I

I

EXERCÍCIO 2 a) d= 7,73 cm

EXERCÍCIO 3 Espessura das chapas: e= 13 mm





FICHA 13 – Geometria de Massas – Eixos e Momentos Principais de Inércia.

EXERCÍCIO 1

Figura 1

a) 4,432 p °−=α b) 1,323 p °−=α

==

42

41

cm 432,9 313

cm 965,5 207 5 I

I

==

42

41

cm 737,2 335

cm 004,8 835 I

I

Figura 2

a) ,5721 p °=α b) ,9237 p °=α

==

42

41

cm 329,3 280

cm 413,4 902 I

I

==

42

41

cm 316,8 132

cm 956,6 709 I

I

Figura 3

a) 30,15 p °=α b) 40,11 p °=α

==

42

41

cm 211,9

cm 639,0 I

I

==

42

41

cm 197,7

cm 429,9 I

I

Figura 4

a) 42,87 p °−=α b) ,5437 p °−=α

==

42

41

mm 842,4 82

mm 472,2 161 I

I

==

42

41

mm 147,0 32

mm 766,5 159 I

I

Figura 5

a) ,4961 p °−=α b) ,7815 p °−=α

==

42

41

cm 230,45 81

cm 426,96 449 I

I

==

42

41

cm 205 81

cm 468 211 I

I

Y

X

1 2

21,57°

YG

XG

1

2

37,92°

G

Z

Y

1

2

42,87°

1

2

YG

ZG

37,54°G

Y

Z2

1

16,49°

2

1

15,78°

ZG

YG

G

12

30,15°X

Y

1 2

40,11°

YG

XG

G

Y

X

2

1

24,43°

YG

XG

2

1

31,32°

G





1

2

Y

X

6,07°

YG

XG

2G

Figura 6

a) 1,08 p °−=α b) 9,38 p °=α

==

42

41

cm 158,5

cm 337,7 I

I

==

42

41

cm 133,07

cm 299,2 I

I

EXERCÍCIO 2

a) 27,03 p °=α b) 29,71 p °=α

==

42

41

cm 158,4 8

cm 938,7 16 I

I 4

1máx cm 796,1 16 == II

EXERCÍCIO 3 Figura 1

a) 90 0 p °±°=α b) 90 0 p °±°=α

==

42

41

cm 008,20 4

cm 231,25 6 I

I

==

42

41

cm 113,34 3

cm 231,35 6 I

I

c) 4cm 989,45 4 =∆I

Figura 2

a) 45 p °=α b) 45 p °=α

==

42

41

cm 088,02 4

cm 434,40 8 I

I

==

42

41

cm 088,02 4

cm 331,81 6 I

I

c) 4cm 864,31 4 =∆I

EXERCÍCIO 4

a) 6,07 p °=α b) X eixo 2 eixo G=

==

42

41

cm 803,9 4

cm 555,5 22 I

I 4

2mín cm 139 4 == II

Y

Z2

1

1,08°9,38°

2

1

ZG

YG G

Y

X

1

2

45°

1

2

45°

YG

XG

G

Y

Z

1

2

Y

Z

1

2

G

12

Y

Z

27,03°

12

YG

ZG

29,71°G

ESTÁTICA (2012/2013) SOLUÇÕES DAS FICHAS DAS AULAS...

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