2. Das Differenzenverfahren - uni-magdeburg.de 2.pdf · Simpsonsche Regel verwendet (quadratische...

2.1. Einführung 13

2. Das Differenzenverfahren 2.1. Einführung

Mit dem Differenzenverfahren lassen sich Probleme lösen, die durch Differenti-algleichungen beschrieben werden. Dazu wird das Lösungsgebiet diskretisiert (siehe Bild 2.1-1), d.h. das Gebiet wird mit einem Gitternetz überzogen, das häufig eine kon-stante Maschenweite aufweist.1 An jedem Punkt, der durch die Diskretisierung ent-standen ist (Stützstellen), werden die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt.

a) b)

Bild 2. 1-1: Diskretisierung eines Gebietes D, a) eindimensionales Gebiet, b) zweidimensionales Gebiet

Das kontinuierliche Problem – Lösung einer Differentialgleichung – wird durch

das Differenzenverfahren in ein diskretes Problem – z.B. die Lösung eines Glei-chungssystems – überführt. Das Gleichungssystem ist linear, wenn die Randwertauf-gabe linear ist. Auf solche linearen Randwertaufgaben wollen wir uns im Folgenden beschränken.

Auf der Basis des Differenzenverfahrens lassen sich für eine gegebene Aufgabe häufig schnell und mit geringem Aufwand Näherungslösungen ermitteln, die oft auch bei grober Diskretisierung noch ausreichend genaue Ergebnisse liefern.

Auf die Vor- und Nachteile des Differenzenverfahrens im Vergleich zu anderen numerischen Verfahren, wie z.B. der Finite-Elemente-Methode, wird zu einem späte-ren Zeitpunkt genauer eingegangen. Die nachfolgenden Argumente sind daher ledig-lich als eine erste Orientierung zu verstehen.

1 Es gibt natürlich sehr viele Varianten von Gitternetzen (siehe dazu beispielsweise: Panow, D.J.: Formelsamm-lung zur numerischen Behandlung partieller Differentialgleichungen nach dem Differenzenverfahren. Akadenie Verlag, Berlin 1955.

D

D

14 2. Das Differenzenverfahren

Vorteile: • Die Differenzengleichungen lassen sich in der Regel und bei nicht zu hohen Anforde-

rungen an die Qualität der Lösung) einfach aufstellen; es ist kein großer Programmier-aufwand erforderlich; der Gesamtaufwand ist gering.

• Das Differenzenverfahren ist historisch wesentlich älter als beispielsweise die Finite-Element-Methode, so dass für nahezu alle Probleme ausreichend mathematische Litera-tur zur Verfügung steht.

• Für viele physikalische Probleme, z.B. auf dem Gebiet der Strömungsmechanik, hat sich das Differenzenverfahren bewährt, und es gibt eine Reihe kommerzieller Pro-gramme, die auf dieser Methode und seinen Erweiterungen basieren.

Nachteile: • Es gibt Schwierigkeiten bei der Behandlung komplizierter Randwertaufgaben, die z.B.

durch irreguläre geometrische Ränder, zeit- und räumlich veränderliche Parameter u.ä. charakterisiert sind.

• Die entstehenden Gleichungssysteme sind oft schlecht konditioniert, so dass die Lösung großer Systeme auf Schwierigkeiten stößt.

• Die Entwicklung universeller Programmsysteme, mit denen große Klassen von Proble-men gelöst werden können, stößt auf vielfältige Schwierigkeiten, die die Methoden- und Softwareentwicklung erschweren.

2.2. Ableitung einfacher Differenzenformeln Zur Vorbereitung auf die Lösung einer Vielzahl von praktischen Problemen mit dem Differenzenverfahren werden nachfolgend die benötigten Differenzenformeln abgelei-tet und übersichtlich zusammengestellt. Eindimensionale Probleme Das Lösungsgebiet wird äquidistant aufgeteilt, die Stützstellenabstände betragen h.

Bild 2.2-1: Diskretisierung eines eindimensionalen Gebietes

x

h h h h

ψ

ψ i−1 ψ i ψ i+1

( )ψ x

ψ i−2 ψ i+2

2.2. Ableitung wichtiger Differenzenformeln 15 Die zu berechnende Funktion wird der Allgemeingültigkeit wegen mit ( )xψ bezeich-net. Die Funktion ( )xψ kann beispielsweise die Verschiebung (Biegelinie) eines Bal-kens, die Temperatur in einem Körper oder eine beliebige andere physikalische Feld-größe sein. Mit der mathematischen Definition der ersten Ableitung

( ) ( )

hxhx

xx xx

ψ−+ψ=

∆ψ∆

=ψ′=∂∂ψ

→∆→∆ 00limlim (2.2-1)

lässt sich die erste Ableitung unter Verwendung der Funktionswerte an den Gitter-punkten (siehe Bild 2.2-1) ausdrücken. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten. Für die erste Ableitung unterscheiden wir zwischen Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzenfor-meln sowie der zentralen Differenzenformel.

Vorwärtsdifferenzen: hx

ii

ii

ψ−ψ=

∆ψ∆

=ψ′ +1 (2.2-2a)

Rückwärtdifferenzen: hx

ii

ii

1−ψ−ψ=

∆ψ∆

=ψ′ (2.2-2b)

Zentrale Differenzen: hx

ii

ii 2

11 −+ ψ−ψ=

∆ψ∆

=ψ′ (2.2-2c)

Die zentrale Differenzenformel hat einen symmetrischen Aufbau bezüglich des Punk-tes i, woraus sich Vorteile bei der Anwendung ergeben.2 Durch mehrfache Anwen-dung einer Differenzenformel für die erste Ableitung lassen sich Differenzenformeln für höhere Ableitungen gewinnen. Die Anwendung der zentralen Differenzenformel ergibt beispielsweise für die zweite Ableitung das folgende Ergebnis:

∆

ψ∆−

∆

ψ∆=

ψ−ψ

∆∆

=

∆ψ∆

∆∆

=

∆

ψ∆=ψ ′′=

∂

ψ∂

−+

−+

xxh

hxxxxx

ii

ii

ii

i

i

21

21

21

21

1

2

2

2

2

Wendet man auf die Ableitungen xi

∆

ψ∆+

21

und xi

∆

ψ∆−

21

wiederum die zentrale Differen-

zenformel an, so ergibt sich

( )112 21

+− ψ+ψ−ψ=ψ ′′ iiii h (2.2.-3)

Auf die gleiche Art und Weise lassen sich zentrale Differenzenformeln mit einem symmetrischen Aufbau bezüglich des Bezugspunktes i für höhere Ableitungen ge-winnen. So ergibt sich für die dritte Ableitung:

2 Außerdem kann man zeigen, dass der Fehler der zentralen Differenzenformel die Größenordnung )( 2hO hat, während der Fehler der Vorwärts- und der Rückwärtsdiffenrenzenformeln nur die Größenordnung )(hO hat.


( )2112322

21

++−− ψ+ψ−ψ+ψ−=ψ ′′′ iiiii h (2.2.-4)

Für die vierte Ableitung erhält man analog

( )21124 4641

++−− +−+−=′′′′ iiiiii hψψψψψψ (2.2-5)

Häufig wird zur Ermittlung bestimmter physikalischer Größen der Wert des bestimm-ten Integrals ∫ψ

)(D

dx über ein Lösungsgebiet D benötigt. Wenn man unter Nutzung der

drei Stützstellen 1+i1 und, ψψψ ii− in dem Intervall ],[ 11 +− ii xx (vergleiche Bild 2.2.-1) die Simpsonsche Regel verwendet (quadratische Approximation der Funktion), ergibt sich für das Integral das folgende Ergebnis:

( )11 43

1

1

+− ψ+ψ+ψ=ψ∫+

−

iii

x

x

hdx

i

i

(2.2-6)

Natürlich lassen sich analog auch Integrationsformeln höherer (oder niedrigerer) Ord-nung, in die mehr (oder weniger) Stützstellen eingehen, ableiten. Für die einfache Anwendung der Differenzenformel wird gern die nachfolgend ange-gebene symbolische Schreibweise benutzt.

ix

∂∂ψ

h21

=

1 0 1

i-1 i i+1

( )20 h+ψ

ix

∂

ψ∂2

2

2

1h

=

1 -2 1

i-1 i i+1

( )20 h+ψ

ix

∂

ψ∂3

3

321h

=

-1 +2 0 -2 1

i-2 i-1 i i+1 i+2

( )20 h+ψ

ix

∂

ψ∂4

4

4

1h

=

1 -4 6 -4 1

i-2 i-1 i i+1 i+2

( )20 h+ψ

∫+

−

ψ1

1

i

i

x

x

dx

=h3

1 4 1

i-1 i i+1

( )50 h+ψ

2.2. Ableitung wichtiger Differenzenformeln 17 Zweidimensionale Probleme Für die Ableitungen nehmen wir an, dass das Gebiet mit einem Rechteckgitter überzo-gen ist (siehe Bild 2.2-2).

Bild 2.2-2: Diskretisierung eines zweidimensionalen Gebietes Die Stützweite in x-Richtung ist h und in y-Richtung k. Für χ = 1, d.h. h=k vereinfa-chen sich die Differenzenformeln. Für die Ableitungen

...,,, 2

2

2

2

yxyx ∂ψ∂

∂ψ∂

∂∂ψ

∂∂ψ

können die oben angegebenen eindimensionalen Formeln verwendet werden. Für eini-ge häufig in partiellen Differentialgleichungen auftretende gemischte Ableitungen werden nachfolgend Differenzenformeln abgeleitet.

( )

( )1,11,11,11,12

1,11,11,11,11,1,

,

2

4

41

2

−−+++−++

−−+++−++−+

+−−=

+−−=

−

∆∆

=

jijijiji

jijijijijiji

ji

h

hkkxyx

ψψψψχ

ψψψψψψ

∂∂ψ∂

(2.2-7)

( )

( )1,11,1,1,1,,11,11,1,12

2

1,11,1,1,1,,11,11,1,122

21,,1,

2

2

,22

4

22422

224221

2

++++−+−−+−−−

++++−+−−+−−−

+−

+−+−+−+=

+−+−+−+=

+−∆∆

=

jijijijijijijijiji

jijijijijijijijiji

jijiji

ji

h

kh

kxyx

ψψψψψψψψψχ

ψψψψψψψψψ

ψψψ∂∂ψ∂

(2.2-8)

h h h h h h h

k

k

k Pi-2,j Pi-1,j Pi,

Pi,j+

Pi+1,j

Pi,j-1

x

y

kh

=χ


( )1,11,1,1,11,11,13

2

21,,1,

,2

3

222

2

+−++−+−−−+

+−

−++−−=

+−

∆∆

=

jijijijijiji

jijiji

ji

h

kxyx

ψψψψψψχ

ψψψ

∂∂ψ∂

(2.2-9)

( )

∂ ψ∂ ∂

ψ ψ

χψ ψ ψ ψ ψ ψ

3

2

2

21 1

3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

22 2

x y x k

h

i j

i j i j

i j i j i j i j i j i j

=

−

= − + − + −

+ −

− + + + + − − + − +

,

, ,

, , , , , ,

∆∆

(2.2.-10)

Damit lassen sich alle nachfolgend auftretenden Differentialoperatoren in Differenzen-operatoren überführen. Aus Gründen der Anschaulichkeit ist es auch hier zweckmäßig, eine symbolische Darstellung der Differenzenformeln zu benutzen.

Bild 2.2-3: Rechtecknetz mit unterschiedlicher Stützweite

( )20 h+ψ ( )22

2

2

2

,2 1

hyxji =

+=∇

∂ψ∂

∂ψ∂

ψ

2,

2

4hyxji

χ∂∂ψ∂

==

( )44

4

22

4

4

4

,4 1

2hyyxxji =

++=∇

∂ψ∂

∂∂ψ∂

∂ψ∂

ψ

h

k

x

y

κ =hk

-1 1 0

1 -1

0 0

0

0 ( )ψ + 0 2h

( )20 h+ψ1 1

κ4

κ4

2κ2 2κ2

2κ2

2κ2

−4κ2(1+κ2)

−4κ2(i+κ2)

−4(1+κ2) −4(1+κ2)

(6+8κ2+6κ4)

1 1

κ2

κ2

−2(1+κ2)

2.2. Ableitung wichtiger Differenzenformeln 19

4

2

,22

4

hyxji

χ∂∂ψ∂

=

∫∫ =χ

ψ9

2hdxdy

3

2

,2

3

2hyxji

χ∂∂ψ∂

=

3,

2

3

2hyx ji

χ∂∂ψ∂

=

ψ

1 1

-2

-1

-1

2

ψ

1 1

-2

1

1

-2

-2

-4

( )ψ + 0 2h

1

1

1

1

4

4

4

4

16

ψ

-1

-1

1

1

2

-2


2.3. Dgl. der Biegelinie und Randbedingungen des geraden Balkens Differentialgleichung der Biegelinie

Bild 2.3-1: Positive Schnittgrößendefinition

1. ( ) ( )xqdx

vdxEI

dxd

=

2

2

2

2

(2.3-1)

2. ( ) vx ′=ϕ (2.3-2)

3. ( ) 2

2

dxvd

EIxM −= (3.3-3)

4. ( ) ( )

−= 2

2

dxvd

xEIdxd

xFQ (2.3-4)

Randbedingungen

5. EIM

v

v

−=′′

= 0 (2.3-5)

6. 00

=′=

vv

(2.3-6)

7. ( )

EIM

v

FvEI

−=′′

−=′′′ (2.3-7)

8. ( )

vEIc

v

vEIc

v

T

′′=′

′′′−=

1

1

(2.3-8)

M M

FQ FQ

q

x

y, v

M

M

F

cT

c

2.4. Differenzenformeln für Dgl. der Biegelinie 21 Übergangsbedingungen

9. ( ) ( )00

=′−′′++′′−=′′′−−+′′′

++−−

++−−

vcvEIMvEIvEIcvFvEI

T

(2.3-9)

10. 0=′′v (siehe Fußnote 3 ) (2.3-10) Mit Hilfe der im Abschnitt 1 abgeleiteten Differenzenformeln lassen sich alle Bezie-hungen durch Differenzenausdrücke ersetzen. 2.4. Differenzenformeln für die Dgl. der Biegelienie Für konstant EI kann die unter Gleichung (2.2-5) angegebene Formel benutzt werden. Für veränderliches Trägheitsmoment wird nachfolgend eine Differenzenformel herge-leitet.

( )

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ } iiiiiiiiiiiiiii

iiiiiiiiiiii

iii

qvIvIIvIIIvIIvIhE

vvvEIvvvEIvvvEIh

vvvhEI

xxv

EIx

=++−++++−=

+−++−−+−=

+−

∆∆

=

∆∆

∆∆

+++++−−−−−

+−++−−−−

+−

21111111214

111111214

1122

2

2

2

2

2

242

22221

2

1. ( ) ( ) ( )I v I I v I I I v I I v I vq h

Ei i i i i i i i i i i i i ii

− − − − − + + + + +− + + + + − + + =1 2 1 1 1 1 1 1 1 2

4

2 4 2 (2.4-1)

2. Biegewinkel ϕ ii iv v

h=

−+ −1 1

2 (2.4-2)

3. Moment ( )MEIh

v v vii

i i i= − − +− +2 1 12 (2.4-3)

4. Querkraft ( )[ ]FEh

I v I v I I v I v I vQ i i i i i i i i i i i i= − + − + −− − − − − + + + + +22 23 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 (2.4-4)

3 Als Alternative kann das Trägheitsmoment in einem Abschnitt um das Gelenk Null gesetzt werden.

c

cT M

F

- +


Beachte: In die Differentialgleichungen für Randpunkte gehen Trägheitsmomente I für Punkte außerhalb des eigentlichen Lösungsgebietes ein. In diesem Fall kann man den Verlauf des Tragheitsmomentes I(x) über den Rand hinaus fortsetzen und den sich da-durch ergebenden fiktiven Wert für I an dem entsprechenden Außenpunkt einsetzen. 2.5. Differenzenformeln für Rand- und Übergangsbedingungen Randbedingungen Für alle Rand- und Übergangsbedingungen müssen jeweils gesonderte Differenze-napproximationen hergeleitet werden. Im Folgenden wird ein allgemeiner Fall behan-delt (siehe Bild 2.3-1), der das prinzipielle Vorgehen verdeutlichen soll.

Bild 2.5-1: Randbedingungen am linken Rand eines Balkens Es ergeben sich zwei Gleichungen für die Elimination der Außenpunkte -2 und -1: Momentenbedingung:

02

122

12

10

010

=−

−−+

+− − EI

Mhv

EIhc

vvEI

hc TT (2.5-1)

Querkraftbedingung:

022

220

3

0

3

20

11

0

10

0

111

0

12

0

1 =+−−+−

+− +−−

−−

−

EIFh

EIch

vII

vII

vI

IIv

II

vII ii

( )

02

22

20

3

20

11

0

10

0

311

10

12

0

1 =−+−

−−−+− +−

−−

−−

EIFh

vII

vII

vEI

chIIEv

II

vII ii (2.5-2)

Mit diesem Ergebnis ergibt sich beispielsweise für die Randbedingungen nach Glei-chung (2.3-5) mit konstant ,0,0, 0 ====∞= IIFcc kT aus der Formeln (2.5-2)

v0 0= , und aus (2.5-1) folgt dann v vMhEI1 1

2

= − −− . Analog lassen sich auch andere

Fälle herleiten.

x -2 -1 1 2

y, v

M

F

cT

c

2.5. Differenzenformeln für Rand- und Übergangsbedingungen 23 Übergangsbedingungen Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Lasten und Lagerungsbedingungen zwi-schen den Punkten i und i+1 liegen (siehe Bild 2.5-2)

Bild 2.5-2: Schnittgrößen an der Übergangsstelle zwischen den Punkten i und i+1 Es wird zur Vereinfachung der Betrachtung eine konstante Biegesteifigkeit I=konstant angenommen. Der Träger wird zwischen den Punkten i und i+1 zerschnitten. Die sich ergebenden beiden Teile sind im Bild 2.5-3 dargestellt.

Bild 2.5-3: Die beiden Trägerhälften (Schnittpunkt ist durch × gekennzeichnet) Auf beide Trägerseiten wird auf die Punkte i-1, i, i+1 und i+2 der Differenzenoperator Gleichung . (2.4-1) angewendet (beachte I=konstant). Es ergibt sich folgende Tabelle:

i-1 i i+1 i+2 1 2 -1 -2 6 -4 0 0 1 0 0 0 -4 6 0 0 -4 1 0 0 0 0 6 -4 0 0 -4 1 0 0 -4 6 0 0 -1 0

i-1 i i+1 i+2

F

M cT

c

M

Mr Ml

FQl FQr

cv

F

cTv’

i-1 i 1 2

-2 -1 i+1 i+2

linker Teil des Trägers

rechter Teil des Trägers


Die vier Außenpunkte 1, 2, -1, -2 lassen sich durch insgesamt vier Übergangsbedin-gungen eliminiert. Wir fordern zunächst die Gleichheit der Verschiebungen und der ersten Ableitung links und rechts vom Schnittpunkt und erhalten:

+=+→−

=−

→′

=′

+−=−→+

=+

→=

+−−+

+−−+

111111**

111111**

22

iiii

rl

iiii

rl

vvvvh

vvh

vvvv

vvvvvvvv

vv

i

i

vvvv

==

−

+

1

11 (2.5-3)

Die beiden übrigen Unbekannten (Verschiebungen an den Stellen 2 und –2) lassen sich unter Nutzung des Momentengleichgewichts und des Kraftgleichgewichts ermitteln. Es ergibt sich (vergleiche Bild 2.5-2): 0=−−+ frl MMMM (2.5-4) Die Momente ersetzen wir Hilfe der Dgl. der Biegelinie 2. Ordnung durch die zweiten

Ableitungen der Verschiebungen, d.h. ″−= *

ll EIvM und ″−= *

rr EIvM . Die zweiten Ab-leitungen ersetzen wir wie folgt durch Differenzenquotienten:

2212

221

21211*

2112

211

221*

222

222

hvvvv

hvv

hvv

hvv

xv

hvvvv

hvv

hvv

hvv

xv

iiiiiir

iiiiiil

−++−+−+−+

−+−

+−−=

−−

−=

−

∆∆

=″

+−−=

−−

−=

−∆∆

=″

Damit lassen sich die Schnittmomente in der Momentengleichgewichtsbeziehungen

ersetzen. Führen wir noch für des Federmoment )( 11*

iihTTf vvcvcM −=′

= + ergibt sich schließlich

02

12

2122 =−

−+

−+−

− ++−−

hvv

cMh

vvvvEI ii

Tii

( ) 211

2

22

22+−+− +−−−=− iiii

T vvvvEI

hcEIMh

vv (2.5-5)

Aus den Gleichgewicht der Kräfte folgt: F F cv FQ l Q r

− + − =* 0 (2.5-6) Auch hier ersetzen wir die Querkräfte durch die dritten Ableitungen und diese wieder-um durch die entsprechenden Differenzenquotienten (2.2-10)

2.5. Differenzenformeln für Rand- und Übergangsbedingungen 25

( ) ( )

( ) ( )212321123

21132113

331

331

331

331

++−++−−

+−−

+−+−=+−+−=′′′

+−+−=+−+−=′′′

iiiiir

iiiiil

vvvvh

vvvvh

v

vvvvh

vvvvh

v

Einsetzen in die Kraftgleichgewichtsbedingung liefert schließlich die noch fehlende Gleichung

( ) 02

121223

=+

−−−−+− ++−−

iiii

vvcFvvvv

hEI

( ) 211

33

22 2 +−+− ++++−=+ iiii vvvvEI

chEI

Fhvv (2.5-7)

Aus den beiden Gleichungen (2.5-5) und (2.5-7) können die Verschiebungen an den Punkten 2 und –2 ermittelt werden. Die Auflösung der beiden Gleichungen liefert

v vMhEI

c hEI

vc hEI

vFh

EIchEI

vchEI

viT

iT

i i i2 2

2

1

3 3 3

12 4 4= + + − − + ++ + + (2.5-8)

v vMhEI

c hEI

vc hEI

vFhEI

chEI

vchEI

viT

iT

i i i− − + += − − + − + +2 1

2

1

3 3 3

12 4 4 (2.5-9)

Eliminiert man mit diesen Gleichungen die Außenpunkte, erhält man die folgenden Gleichungen, die die Übergangsbedingungen enthalten.

6 4 1 04 6 4 1

1 4 6 40 1 4 6

0

0

3 3

3 3

2 3

2 34 4

4 4

1

1

2

2

2

−− + + − − +

− − + + + −−

=− +

+

−

+

+

c hEI

chEI

c hEI

chEI

c hEI

chEI

c hEI

chEI

i

i

i

i

MhEI

FhEI

MhEI

FhEI

T T

T T

vv

vv

(2.5-10)

Auf diese Weise ist die Berücksichtigung der genannten Größen möglich. Natürlich lassen sich auf analogem Wege auch Gleichungen für den Fall ermitteln, dass die Größen (Kraft, Moment, Feder und Drehfeder) direkt an dem Punkt i wirken. Diese Ableitung überlassen wir dem Leser und geben nachfolgend nur das Ergebnis an.

6 4 1

4 6 41 4 6

4 4

4

4 4

1

1

2

2

2

3

2

+ − −− + −− − +

=−

−

+

c hEI

c hEI

c hEI

c hEI

c hEI

i

i

i

MhEI

FhEI

MhEI

T T

T

T T

vv

v (2.5-11)


Berücksichtigung eines Gelenkes Nachfolgend soll noch gezeigt werden, wie sich ein Gelenk im Träger berücksichtigen lässt (Bild 2.5-4).

Bild 2.5-4: Träger mit Gelenk Es wird hier die gleiche Betrachtung angestellt wie bei der Berücksichtigung von Übergangsbedingungen, wobei hier zu fordern ist, dass das Moment am Punkt i ver-schwindet. Wir zerschneiden den träger wieder und betrachten den linken und den rechten teil des Trägers (Bild 2.5-5).

Bild 2.5-5: Linker und rechter Trägerabschnitt Aus der Forderung, dass das Moment verschwinden soll, ergibt sich

1111

1111

202:0202:0

+−+−

−−

−=→=+−=−=→=+−=

iiiir

iiiil

vvvvvvMvvvvvvM

(2.5-12)

Die Größe v2 ergibt sich aus der Bedingung, dass die Querkraft links und rechts vom unbelasteten Lager gleich ist. Mit der Differenzenformel für die Querkraft4, die einmal auf den linken und einmal auf den rechten Trägerteil angewandt wird, ergibt sich

( ) ( )11123111232222 +−++− −+−+−−=−+−+−− iiiiiiii vvvvvv

hEI

vvvvvvhEI

Daraus folgt: 2112 242 ++− +−+−= iiii vvvvv (2.5-13) Damit ergeben sich folgende Gleichungen:

=

−−−−

−

+

−

000

452012220025

1

1

i

i

i

vv

v (2.5-14)

4 Für den linken Trägerteil ergibt sich beispielsweise

( )[ ]

( )[ ]112131

2

2

111231

2

2

22

22

+−+++

−

+−−+−−=

−

∆

∆−=′′′−=

=+−−+−−=

−

∆

∆−=′′′−

iiiiiii

r

iiii

l

vvvvvvh

EIh

vv

xEIvEI

vvvvvvh

EIh

vv

xEIvEI

i-2 i-1 i 1 2

i-2 i-1 i 1 2

-1 i i+1 i+2

linker Trägerabschnitt (Index l)

rechter Trägerabschnitt (Index r)

2.6. Übungsaufgaben 27 2.6. Übungsaufgaben Beispiel 1 Im ersten Beispiel soll der Verformungs- und Schnittgrößenverlauf für einen Träger unter der Wirkung einer Einzellast ermittelt werden (Bild 2.6-1).

Bild 2.6-1: Träger mit Einzellast gegeben: EI, l, F gesucht: v(x), M(x), FQ(x)

Aus Symmetriegründen braucht nur der halbe Träger betrachtet zu werden. Wir wäh-len die in Bild 2.6-2 angegebene Diskretisierung des halben Trägers. Dabei ergeben sich vier Außenpunkte.

Bild 2.6-2: Diskretisierung des halben Trägers mit einer Schrittweite von l6

1 Die Differentialgleichung für diesen fall lautet ( )v 4 0= . Die Außenpunkte müssen mit Hilfe der Randbedingungen eliminiert werde. Die Randbedingungen lauten: 1) ( )v x = =0 0 2) ( )M x v= = → ′′ =0 0 0 3) ( )′ = =v x l

2 0

4) ( ) ( )F x F v xQl l F

EI= = ′′′ < = −2 2 22 Die Differenzenformel der Differentialgleichung lautet in symbolischer Schreibweise:

F

x

v l/2 l/2

EI

-2 -1 0 1 2 3 4 5

F21

h

x

v = 0


Mit den Randbedingungen 1 und 2 lassen sich die linken Außenpunkte eliminieren. Es ergibt sich: 1) v0 0=

2) ∆∆

2

20

1 0 1 1 10 2 0v

xv v v v v

= → − + = → = −− −

Daraus kann ein für den linken Rand modifizierter Differenzenoperator ermittelt wer-den (siehe Bild 2.6-3) Bild 2.6-3: Modifizierter Differenzenoperator für ein gelenkiges Lager Mit Hilfe der Randbedingungen 3 und 4 lässt sich auch ein modifizierter Operator für den rechten Rand gewinnen. Die Randbedingungen in Differenzenschreibweise erge-ben

3) 243

0 vvxv

=→=

∆∆

4) EIhF

vvvvEIF

xv

22

222

3

5421

33

3

−=+−+−→−=

∆∆

Damit ergibt sich der modifizierte Differenzenoperator für den rechten Rand (siehe Bild 2.6-4).

Bild 2.6-4: Modifizierter Differenzenoperator für einen Symmetrieschnitt mit Einzellast Die Anwendung der Differenzenoperatoren auf die drei Punkte 1, 2 und 3 liefert schließlich das folgende Gleichungssystem:

5 4 14 7 4

2 8 6

00

1

2

33

−− −

−

=

vvv Fh EI

(2.6-1)

Mit lh 6

1= lautet die Lösung dieses Gleichungssystems

v = 0

0

v = 0

vFhEI

=3

2.6. Übungsaufgaben 29

EIFl

v

EIFl

v

EIFl

v

3

3

3

2

3

1

02199074,0~

018518517,0~

010416665,0~

=

=

=

Zum Vergleich wird nachfolgend noch die exakter Lösung angegeben.

−= 2

22

34

116 l

xlx

EIFl

vex

Die exakte Lösung an den drei Punkten 1, 2 und 3 sowie der absolute Fehler der Nähe-rungslösung lauten:

%5,5020833330,0

%3,4017746913,0

%8,3010030863,0

3

3

3

2

3

2

1

3

1

−=→=

−=→=

−=→=

ε

ε

ε

EIFl

v

EIFl

v

EIFl

v

ex

ex

ex

Den Momentenverlauf kann man punktweise mit Hilfe der Differenzenformel für die Dgl. der Biegelinie zweiter Ordnung ermitteln, und man erhält die in Bild 2.6-5 ange-gebene symbolische Darstellung. Bild 2.6-5: Differenzenoperator für die Ermittlung des Momentenverlaufes Anwenden des Operators auf die Punkte 3, 2 und 1 liefert die folgenden Lösungen (zum Vergleich ist jeweils auch die exakte Lösung angegeben):

{ }

{ })25,0(;25045,0

~020833,00177469,072

~

2236~

33

3

3223

FlMFlM

FlM

vvlEI

M

ex ==

+−+=

+−+=

{ }

)166,0(;6~

166,0~

236~

22

32122

FlMFlM

vvvlEI

M

ex ==

−+−=

{ }

FlMFlM

vvlEI

M

ex 0833,0;0833,0~

236~

11

2121

==

−=

M EIv

EIh

= − ′′ = 2 v


Man erkennt, dass der Momentenverlauf bei diesem Beispiel exakt berechnet wird. Für den Querkraftverlauf ergibt sich die in Bild (2.6-6) angegebene symbolische Dar-stellung. Bild 2.6-6: Symbolische Darstellung zur Ermittlung des Querkraftverlaufes Wir wenden diese Formel auf den Punkt 2 an und erhalten:

{ }

)5,0(;5,0~

22108~

2

23132

FFFF

vvvl

EIF

exQ

Q

==

−+−−=

Auch der Querkraftverlauf wird hier durch das Differenzenverfahren exakt berechnet. Beispiel 2 Als zweites Beispiel betrachten wir die Berechnung eines Kragarms mit einem Ein-zelmoment am Ende (siehe Bild 2.6-7).

Bild 2.6-7: Kragbalken mit Einzelmoment; gegeben: M, l, EI; gesucht: v(x), M(x), FQ(x) Wir wählen wiederum eine grobe Diskretisierung mit drei Abschnitten im Intervall (siehe Bild 2.6-8).

Bild 2.6-8: Diskretisierung des Balkens Anwenden des Differenzenoperators für die Dgl. und Einarbeiten der Randbedingun-gen führt auf das folgende Gleichungssystem.

7 4 14 5 2

2 4 2

01

2

1

2

3

2−

− −−

= −

vvv

MhEI

(2.6-2)

F EIvEIhQ = − ′′′ = −

2 3 v

l

M EI

x

v(x)

-2 -1 0 1 2 3 4 5

M

2.6. Übungsaufgaben 31

Mit der Schrittweite 3l

h = lautet die Lösung des Gleichungssystems

vMl

EI

vMlEI

vMl

EI

1

2

2

2

3

2

1829

2

=

=

=

Dies entspricht der exakten Lösung; auch für die Momente und Querkräfte ergeben sich an den Gitterpunkten die exakten Lösungen.

Beispiel 3 Im Unterschied zum Beispiel 2 ist der Kragträger jetzt mit einer Linienlast belastet Bild 2.6-9).

Bild 2.6-9: Kragbalken mit Linienlast; gegeben: q, l, EI; gesucht: v(x), M(x), FQ(x)

Zur Lösung wird die gleiche Diskretisierung wie im Beispiel 2 benutzt (siehe Bild 2.6-10).

Bild 2.6-10: Diskretisierung des Kragbalkens Anwenden des Differenzenoperators für die Dgl. der Biegelinie 4. Ordnung auf die Punkte 1, 2 und 3 liefert:

Punkt 1: v v v v− + − +1 1 2 36 4 =qhEI

4

Punkt 2: − + − +4 6 41 2 3 4v v v v =qhEI

4

Punkt 3: v v v v v1 2 3 4 54 6 4− + − + =qhEI

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5

l

q

EI x

v


Dabei wurde die Randbedingung 1) v0 0=

bereits ausgenutzt. Nach Einarbeitung der übrigen Randbedingungen 2) ′ =v0 0 v v− =1 1 3) M3 0= v v v4 3 22= − 4) FQ3 0= v v v v5 4 2 12 2= − + v v v v5 1 2 34 4= − + ergibt sich das folgende Gleichungssystems (2.6-3).

7 4 14 5 2

2 4 2

111

1

2

3

4−

− −−

=

vvv

qhEI

(2.6-3)

Mit hl

=3

lautet die Lösung von (2.6-3)

~ , ~

~ ,

~ ,

vqlEI

vqlEI

vqlEI

3

4

2

4

1

4

0 13888

0 080247

0 026017

=

=

=

)02212,0(

)06996,0(

)125,0(

4

1

4

2

4

3

EIql

v

EIql

v

EIql

v

ex

ex

ex

=

=

=

Das Moment an der Einspannung (Punkt Null) ergibt sich mit der Differenzenappro-ximation der zweiten Ableitung zu:

( )~ ,MEIh

v ql0 2 122 0 468= − = − ( M qlex0

20 5= − , ) Die Ermittlung der Querkraft genau am Punkt 0 ist problematisch, weil dabei der Au-ßenpunkt -2 mit eingeht. Es wird deshalb FQ bei x=h/2 ermittelt.

( )FEIh

v v qlQ 1

23 1 24 0 023809 27= − = ⋅,

F qlQ 1

20 6428= , ( F ql

Q ex12

0 833= , ~ )

Man erkennt, dass die Berücksichtigung von verteilten Lasten (bei einer groben Dis-kretisierung) problematisch ist und zu größeren Fehlern führen kann.

2.7. Eigenschaften von Diskretisierungsverfahren 33 2.7. Eigenschaften von Diskretisierungsverfahren Wir nehmen an, dass die gesuchte Funktion ( )xψ sein. Die unabhängige Variable x kann dabei sowohl Raumkoordinaten als auch die Zeit umfassen. Wir wollen für einen Punkt px die folgenden Lösungen unterscheiden: a) die exakte Lösung ( )pxψ der Dgl., b) die exakte Lösung pψ der diskretisierten Dgl., wobei h den Diskretisierungspara-

meter kennzeichnen soll und c) die tatsächlich berechnet Lösung p

~ψ . Wenn wir den Modellfehler außer Acht lassen, gibt es zwei wesentliche Fehlerquellen, den Diskretisierungsfehler und den Lösungsfehler. Der Diskretisierungsfehler charakterisiert die Differenz zwischen der exakten Lösung

)( pxψ der Dgl. und der exakten Lösung pψ der diskreten Gleichung, d.h.

( ) ppx ψψ − (2.4-1)

Der Lösungsfehler ist die Differenz zwischen der Näherungslösung der diskreten Gleichung und der exakten Lösung der diskreten Gleichung, d.h.

pp~ ψψ − (2.4-2)

Der für die praktische Anwendung wichtige Fehler ist der Gesamtfehler, der sich aus ( ) ppp xe ψψ ~−= (2.4-3) ergibt. Für die Beziehungen zwischen den verschiedenen Lösungen und Fehlern spie-len die Begriffe

• Konsistenz, • Stabilität und • Konvergenz

eine wichtige Rolle, die nachfolgend erläutert werden sollen. Konsistenz Eine Diskretisierungsmethode ist konsistent, wenn die diskretisierte Gleichung für

0→h in die ursprüngliche Differentialgleichung übergeht. Die Konsistenz stellt also einen Zusammenhang her zwischen der exakten Lösung der Dgl. und der exakten Lö-sung der diskretisierten Gleichung. Zum Nachweis der Konsistenz wird untersucht, ob der Fehler für 0→h gegen Null geht. An einem einfachen Beispiel wollen wir nach-folgend die Konsistenz eines Diskretisierungsverfahrens nachweisen und betrachten dazu eine Dgl. zweiter Ordnung.


Beispiel zum Nachweis der Konsistenz Wir betrachten die Dgl.

02

2

=∂∂

xψ . (2.7-4)

Und ersetzen die Ableitung an einem Punkt P durch den Differenzenquotienten

)21

112 ++−=′′ pp-pp (h

ψψψψ (2.7-5) Den Konsistenzfehler am Punkt P bezeichnen wir mit τP. Er ergibt sich aus der Diffe-renz der exakten Lösung der Dgl. am Punkt P und der Näherungslösung.

)2(1

)( 11-2 ++−−′′= ppppp hx ψψψψτ (2.7-6)

Zur Abschätzung des Fehlers entwickeln wir ψp-1 und ψp+1 in Taylor-Reihen5 an der Stelle xp ( hxx pp ±=±1 ) und erhalten für ψp-1

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

...241

61

21

...!4

1!3

1!2

1

)(!

432

432

p1

01

−′′′′+′′′−′′+′−=

′′′′−+′′′−+′′−+′−+=

−−= ∑−

=−

ppppp

ppppp

pp

n

p

hhhh

hhhh

xhxx

ψψψψψ

ψψψψψ

ν

ψψ ν

ν

ν

(2.7-7)

Analog ergibt sich für ψp+1

...241

61

21 432

1 +′′′′+′′′+′′+′+=+ pppppp hhhh ψψψψψψ (2.7-8)

Daraus folgt

...

121

2121

422

42

4211

+′′′′+′′=

−+′′′′+′′+=+− +−

pp

ppppppp

hh

hh

ψψ

ψψψψψψ K

Einsetzen in (2.7-6) liefert für den Konsistenzfehler

( ) ( ) ( )

...121

121

21

2

2112

+′′′′−=

+′′′′−′′−′′=+−−′′= +−

p

pppppppp

h

hxh

x

ψ

ψψψψψψψτ K (2.7-9)

Man erkennt, dass 0→pτ gilt für 0→h gilt. Das Verfahren ist also konsistent mit der Konsistenzordnung 2. Die Konsistenzordnung sagt aus, wie schnell der Fehler ab- 5 Taylorsche Formel:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) K3

002

000000

0 )(!3

1)(

!21

)()(!

xxxfxxxfxxxfxfxxxf

xf o −′′′+−′′+−′+=−= ∑∞

=

ν

ν

ν

ν

2.7. Eigenschaften von Diskretisierungsverfahren 35 klingt, wenn das Gitter verfeinert wird. Allerdings kann über die absolute Größe des Fehlers nichts ausgesagt werden! Stabilität Die Stabilität stellt einen Zusammenhang her zwischen der tatsächlich berechneten Lösung und der exakten Lösung der diskretisierten Gleichung! Eine Diskretisierungs-methode ist stabil, falls der Lösungsfehler pp ψψ −~ im ganzen Lösungsgebiet für alle Gitterpunkte begrenzt bleibt. Wir wollen nachfol-gend auch hierzu ein Beispiel angeben. Beispiel zur Ermittlung der Stabilität Als Beispiel betrachten wir die Differentialgleichung (Anfangswertproblem): 0=′+ ψψ ck (2.7-10) Wir diskretisieren diese Differentialgleichung an einem beliebigen Punkt x=xp+Θh, der im Intervall [xp+1, xp] liegt, wobei mit Θ=[0,1] ein Ort innerhalb dieses Intervalls spezifiziert werden kann. Aus einer linearen Interpolation ergibt sich für den Funkti-onswert an diesem Ort ( ) ppp ψψψ Θ−+Θ= +Θ+ 11 (2.7-11) Die erste Ableitung von (2.7-11) wird mittel des einfachen Differenzenquotienten ap-proximiert6

( )ppp hψψψ −=′ +Θ+ 1

1 (2.7-12) Damit lautet die bei x=xp+Θh diskretisierte Differentialgleichung

( )[ ] ( ) 01 11 =−+Θ−+Θ ++ pppp hc

k ψψψψ (2.7-13) Wir formen diese Gleichung um und erhalten die neue Lösung an der Stelle p+1 aus der bekannten Lösung an der Stelle p zu

( ) p1p 1 ψψ

+Θ−−=

+Θ + h

ck

hc

k (2-7-14) Mit der Abkürzung

c

hk=α (2.7-15)

6 Aus

dxd

d

d

dx

d ppp

ΘΘ

==′ Θ+Θ+Θ+

ψψψ folgt mit ( ) ppp ψψψ Θ−+Θ= +Θ+ 11 und x=xp+θh das Ergebnis

hppp1

)( 1 ψψψ −=′ +Θ+


lautet die Gleichung (2.7-14)

( )ppp Aψψ

αα

ψ =Θ+

Θ−−=+ 1

111 . (2.7-16)

mit

( )α

αΘ+

Θ−−=

111

A (2.7-17) Welche Bedingungen müssen nun Θ und α erfüllen, damit das Lösungsschema stabil ist? Es ist offensichtlich, dass sich die Lösung mit zunehmender Anzahl von Schritten nicht aufschaukeln darf. Es muss also gelten 11 ≤≤− A (2.7-18) Unter Beachtung der Tatsache, dass in unserem Fall stets α>0 und Θ>0 gilt, liefert ei-ne Untersuchung der beiden Fälle (i) A≤−1 und (ii) 1≤A folgendes Ergebnis. (i) A≤−1

Daraus folgt

( )[ ]α

αΘ+

Θ−−≤−

111

1 , was schließlich wegen α>0 und Θ>0 zu 2)21( ≤Θ−α führt. Wir nehmen jetzt an, dass (1-2Θ)>0 ist. Dann ergibt sich

Θ−

≤212

α

Ersetzt man die Abkürzung c

hk=α und stellt nach h um, erhält man schließlich als

Bedingung für h

kc

hΘ−

≤212 )

21

0für( <Θ≤ (2.7-19)

Die Schrittweite h muß also für den Fall 210 <Θ≤ die obige Bedingung erfüllen.

Das Lösungsverfahren wir in diesem Fall als bedingt stabil bezeichnet. Für den Fall, dass d.h. 2

1≥Θ ist, ergibt sich ( ) 212 ≤−Θ−α , woraus

( )122−Θ

−≥α

folgt. Da der Nenner positiv ist, ist diese Bedingung für jedes beliebige α und da-mit auch für jedes beliebige h erfüllt . Ein Verfahren mit 2

1≥Θ ist also unbedingt stabil, d.h. es gibt keine Bedingung, die die Schrittweite h erfüllen muss, um die Stabilität des Verfahrens zu sichern.

2.7. Eigenschaften von Diskretisierungsverfahren 37 (ii) 1≤A

Daraus folgt

( )1

111

≤Θ+

Θ−−α

α

woraus durch Umformen schließlich die stets erfüllte Lösung

01 ≤−

folgt, die keine neuen Erkenntnisse bringt. Konvergenz Die numerisch berechnete Lösung muss bei immer feiner werdender Gitterweite im-mer besser mit der exakten Lösung der Differentialgleichung übereinstimmen. Diese Eigenschaft wird als Konvergenz bezeichnet. Satz (Äquivalenztheorem von LAX)7 Für ein konsistentes Diskretisierungsschema ist die Stabilität eine notwendige und hin-reichende Bedingung für dessen Konvergenz. Zur Überprüfung der Konvergenz muss also zunächst die Konsistenz eines Verfahrens überprüft werden. Wenn dann die Stabilität der Lösung gezeigt werden kann, ist si-chergestellt, dass das Lösungsverfahren konvergiert. Abschließend sei in diesem Zusammenhang noch erwähnt, dass es neben der Siche-rung der Konsistenz, der Stabilität und der Konvergenz bei der Anwendung von Dis-kretisierungsmethoden weiterhin sehr wichtig ist, dass sogenannte Erhaltungseigen-schaften der Differentialgleichung (bzw. der damit beschriebenen physikalischen Vor-gänge) unabhängig von der Wahl des Gitters auch von den diskretisierten Gleichungen erfüllt werden. So kann es beispielsweise passieren, dass durch den Lösungsprozess dem physikalischen System laufend Energie zugeführt wird, wodurch sich ein physi-kalisch unbrauchbare Lösung ergeben kann.

7 Anmerkung: Der obige Satz gilt strenggenommen nur für lineare Systeme.

2. Das Differenzenverfahren - uni-magdeburg.de 2.pdf · Simpsonsche Regel verwendet (quadratische...

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