02 κεφάλαιο 2 - τελ - repository.kallipos.gr—3), αρθρωτές δοκοί...

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 2

2-1

Κεφάλαιο 2

Υπολογισμός εντασιακών μεγεθών

Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, το οποίο κατέχει κεντρική θέση στο παρόν βιβλίο, παρουσιάζονται οι βασικές μέθοδοι της Στατικής για τον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής μιας μεγάλης σειράς διάφορων επίπεδων και χωρικών ισοστατικών φορέων πoυ συναντώνται συχνά στην πράξη του πολιτικού μηχανικού. Οι φορτίσεις περιλαμβάνουν τόσο εξωτερικά φορτία με συγκεντρωμένες ή/και κατανεμημένες δυνάμεις, όσο και καταναγκασμούς με ομοιόμορφη/ανομοιόμορφη θερμοκρασιακή φόρτιση και καταναγκασμένες μετατοπίσεις. Η παράγραφος 2.1 περιέχει τις ασκήσεις της ομάδας Ζ που αφορούν τον υπολογισμό μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών, δηλαδή αφενός αντιδράσεων στήριξης και ροπών πάκτωσης, και αφετέρου αξονικών δυνάμεων, τεμνουσών δυνάμεων, ροπών κάμψης και ροπών στρέψης σε συγκεκριμένες διατομές επίπεδων και χωρικών φορέων. Για τον υπολογισμό χρησιμοποιείται τόσο η μέθοδος των διαχωριστικών τομών σε συνδυασμό με τις συνθήκες ισορροπίας όσο και η κινηματική μέθοδος, η οποία στηρίζεται στην αρχή των δυνατών έργων (ΑΔΕ). Η παράγραφος 2.2 περιέχει τις ασκήσεις της ομάδας Η που αφορούν στον υπολογισμό ολόκληρης της εντασιακής κατάστασης, δηλαδή των διαγραμμάτων ροπών, τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων, διαφόρων βασικών τύπων στατικών φορέων στο επιπεδο και στο χώρο. Επιλύονται αμφιέρειστες δοκοί (Ομάδα Η1), πρόβολοι (Ομάδα Η2), μονο- και αμφιπροέχουσες δοκοί (ομάδα Η3), αρθρωτές δοκοί (δοκοί Gerber, Ομάδα Η4), αμφιέρειστα πλαίσια και τόξα (Ομάδα Η5), τριαρθρωτά πλαίσια και τόξα (Ομάδα Η6), ενισχυμένες δοκοί (Ομάδα Η7), επίπεδα δικτυώματα (Ομάδα Η8) και σύνθετοι επίπεδοι φορείς (Ομάδα Η9). Τέλος, η παράγραφος 2.3 περιέχει τις ασκήσεις της ομάδας Θ που αφορούν τον υπολογισμό της εντασιακής κατάστασης χωρικών φορέων. Επιλύονται χωρικοί πλαισιακοί φορείς (Χωροπλαίσια, Ομάδα Θ1), επίπεδοι φορείς με εκτός επιπέδου φόρτιση (Εσχάρες δοκών, Ομάδα Θ2), και χωρικοί δικτυωτοί φορείς (Χωροδικτυώματα, Ομάδα Θ3).

Προαπαιτούμενη γνώση Απαραίτητες είναι οι βασικές γνώσεις Στατικής, όπως αυτή διδάσκεται στο μέθημα της Τεχνικής Μηχανικής. Επίσης, απαραίτητη είναι η προηγούμενη μελέτη και κατανόηση της σχετικής με το παρόν κεφάλαιο θεωρίας, όπως αυτή παρουσιάζεται σε βιβλία Στατικής των Κατασκευών (βλ. π.χ. [1] και [2]), καθώς και των ασκήσεων του προηγηθέντος κεφαλαίου 1.


2-2

2.1 Υπολογισμός μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών (Ομάδα Ζ) 2.1.1 Υπολογισμός με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και με τις συνθήκες ισορροπίας Για τους παρακάτω ισοστατικούς φορείς να υπολογιστούν τα ζητούμενα εντασιακά μεγέθη εφαρμόζοντας τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και με τις συνθήκες ισορροπίας.

c=3.00 b=2.00a=1.00

12 3

4

q=20kN/m

L=6.00

X

Z

1

4

2

L=5.00

H/2=2.00

H/2=2.00

q=10kN/m

5

3

Z

X

1

5

3

q=30kN/m

2

X

Z

4

4.00

1.50

3.00 2.00

Ζητούνται:

Α , Α , Α , Μ , Q , NX1 Z1 Z4 2 2 2

Z1

Z2

Z3

Α , Μ , Q , N

Ζητούνται:

Z5 222

Α , Μ , Q , N

Ζητούνται:

4Z5 2334


2-3

2.00

1

3.00

5

Z

X

2 3 4

1.50

4.00

q=30kN/m

Z6

Z5

Z4

Μ , Q , N

Ζητούνται:

2 1523

3.00 4.00

4.00

3.00

1

2 3

4

5

Z

X

F=50kN

Α , Ν , Ν

Ζητούνται:

24Χ2

y1Α , M , M , Μ , NZ5 x1

Ζητούνται:

z1 12

13

y2.50

z5

x

y

xz

άρθρωσηΚυλινδρική

440kN

80kN

1x z

y

2.50

3.00

30kN

3

2∏

4.00

X

ZY


2-4

Z8

Z7

αΖητείται η τέμνουσα Q

3.001.753.50 1.75

10.00

1

2

3

4 5 6

7

α

Z

X

F =100kN4

3.50

2.00

1.50

7.00

q=10kN/m α

1

2

3

4

5

6

7

8 9

ML4

4.00 4.00 3.00

1.00

1.00

3.00

1.50

6.50

αξονική δύναμη Ν

Ζητείται: Να προσδιοριστεί η τιμή της ροπής M L4

45,ML4

στο σημείο α.

έτσι ώστε η αναπτυσσόμενη

της δοκού 4-5 να είναι μηδενική.Να=


2-5

ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Z1

Υπολογισμός των αντιδράσεων ΑΧ1, ΑZ1, AΖ4

X X1

Z41

2

Z4

2

Z4

Z4

Z Z1 Z4

F 0 A 0

q c 2M 0 A L a c 0

2 3

q c a 2 q c A

2 L 6 L

20 3 1 2 20 3 A

2 6 6 6 A 5 10 15kN

q cF 0 A A 0

2

Z1 Z4

q c A A 30 15 15kN

2

Υπολογισμός των φορτίων διατομής στη διατομή 2: Μ2, Q2, N

Τομή Α (αριστερό τμήμα) Εναλλακτικά: Τομή Β (δεξιό τμήμα)

Υπολογισμός της ροπής Μ2

15kNmaAM

0aAM

0M

Z12

Z12

αριστ2,

15kNm756023153320M

bcA3cqM

0bcA3c22cqM 0M

22

Z42

2

Z42δεξ2,

Υπολογισμός της τέμνουσας Q2

15kNAQ

0AQ0F

Z12

Z12αριστZ

15kN1530A2cqQ

0A2cqQ 0F

Z42

Z42δεξZ

Υπολογισμός της αξονικής δύναμης Ν2

0AN

0NA 0F

X12

2X1αριστX

0N 0N 0F 22X δεξ

q=20kN/m

a=1.00 b=2.00c=3.00

L=6.00

Z

X

2

1

3

4

(2 c)/3 c/3

Συνισταμένη: R= (q c) / 2 = 30kN∏

ΑΖ4Ζ1Α

Χ1Α

∏

1

2

a

Ζ1Α =15kN

Χ1Α =02Q

N2

2Mq=20kN/m

bc

2

4

Ζ4Α =15kN

1

2M

Ζ1Α =15kN

Α =0Χ1

(2 c)/3∏

R=30kN


2-6

Άσκηση Z2 Υπολογισμός της αντίδρασης ΑZ5

1

2 2

Z5 Z5 Z5 Z5

M 0

H q H 10 4 A L q H 0 A A A 16kN

2 2 L 2 5

Υπολογισμός των φορτίων διατομής στη διατομή 2: Μ2, Q2, N2

Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube:

https://youtu.be/jOUjmVOIJ8E

Υπολογισμός της ροπής Μ2

2,δεξ

2 Z5 2 Z5

2

2 2

M 0

q H H q H H M A L 0 M A L 0

2 4 2 4

10 4 M 16 5 80 20 M 60kNm

8


20kN24102HqQ 02HqQ 0F 22δεξX


16kNAN 0AN 0F Z52Z52δεξZ (Συνεπώς, η αξονική επιπόνηση του στύλου 1-3 είναι εφελκυστική)

1 5

L=5.00

3

q=10kN/m

2

X

Z

4H/2=2.00

H/2=2.00

Ζ5ΑΖ1Α

ΑΧ1

R= q H∏

Z

R=q (H/2)

L=5.00

X

H/2=2.00∏

q=10kN/m

2

3 4

5

M2

2N

Q2

H/4

Α =16kNΖ5


2-7

Άσκηση Z3 Υπολογισμός της αντίδρασης ΑZ5

Διαχωριστική τομή Ι (ολόκληρος ο φορέας):

X5X5Z5

X5Z51

A0.375A0.3R0.5 A

01.5A5A2.5R 0M

(*)

Η αντίδραση AZ5 δεν μπορεί να υπολογιστεί άμεσα από μία μόνο συνθήκη ισορροπίας. Γι’ αυτό χρησιμοποιούμε εδώ και την εσωτερική στατική συνθήκη Μ(3)=0 (καμπτική άρθρωση στο σημείο 3)

Διαχωριστική τομή ΙΙ (δεξιό τμήμα του φορέα):

5.560A5.52A

0

60

222305.5A2A0M

Z5X5

X5Z5δεξ3,

(**)

Εισάγοντας την (**) στην (*) παίρνουμε:

80.50kN A 71.727A0.891

3.273

5.5600.3A

0.109

5.520.375A Z5Z5Z5Z5

Από την (**) παίρνουμε:

18.36kN10.90929.2735.56080.505.52A X5

q=30kN/m

3.00

1

2.00

Z

5

2 4

X

3

4.00

1.50

ΑΖ5

Χ5Α

R=30 5 =150kN (Συνισταμένη)∏

5.50

ΙΙ

Ι


2-8

Υπολογισμός της Μ4

100.98kN18.365.5

A5.5M

05.5AM

0M

X54

X54

4

Υπολογισμός της Q34

20.50kN

60AQ

0230AQ

0F

Z534

Z534

Z

Υπολογισμός της N23

18.36kN

AN

0AN

0F

X523

X523

X

Ζ5ΑΑ =18.36kNX5

4QN4

4M

5.50

XZ

q=30kN/m

2.00

34Q

34N

q=30kN/m23Q

M2

23N

XZ

Α =80.50kNZ5

ΑX5

Α =18.36kNX5

Ζ5Α

ZX

5

432

5

43

5

4


2-9

Άσκηση Z4

4.694mcosα4.9d

4.9mtgα25.5c1.54b

0.35

1.5tgα

0.2875.22

1.5sinα

0.9585.22

5

1.532

32cosα

22

Υπολογισμός της αξονικής δύναμης N15

58.00kN4.694

90.753

d

A3N0dN3A0M:II Τομή

90.75kN25

5.530A0

2

1.54305A0M:Ι Τομή

Z51515Z53

2

Z5

2

Z51

δεξ,

3

1

2.00

q=30kN/m

2

1.50

5

3.00

4.00

4X

Z

∏

α

b d

cΖ5Α

15N

ΙΙ

I

Υπολογισμός της ροπής M2

148.15kNmM

453.75305.602M

590.755.26958.00M

05AeNM

0M

5.269mcosα5.5e

2

2

2

Z5152

2


Με βάση το παραπάνω σχήμα, παίρνουμε:

74.10kN0.28758.0090.75Q

sinαNAQ 0sinαNAQ 0F

23

15Z52315Z523Z

15

X 4

5

Nα

∏

5.00

Z2 3

5.50

Α =90.75kNΖ5

α

=58.00kN

e

M2

Q23

23N


2-10

Άσκηση Z5

2.40m0.64sinβ4d0.65

3

43

3sinβ

2.121m0.7073sinα3c0.707sinα 45α

22

Υπολογισμός της αντίδρασης ΑΧ2

87.50kNA 043504A0M:Ι Τομή X2X21


94.30kN2.121

200

c

200N0450cN0M:II Τομή 2424δεξ3,


145.83kN2.4

350

d

750N

04350dN 0M:III Τομή

13

13δεξ2,

3.00

1

3.00

4.00

2

F=50kN

4.00

X

Z

3

5

4

α

β

∏

∏

ΑΧ2

24Nc

d

13N

I

II

III


2-11

Άσκηση Z6

Υπολογισμός της αντίδρασης ΑZ5

40kNA 02.50805.00A0M:Ι Τομή Z5Z5 αριστ3,X

Υπολογισμός της στρεπτικής ροπής Μx1

90kNm3.00302.50805.0040M

03.00302.50805.00AM 0M:II Τομή

x1

Z5x11X

Υπολογισμός της καμπτικής ροπής Μy1

40kNm3.00404.00804.0040M

03.00404.00804.00AM 0M:II Τομή

y1

Z5y11Y

Υπολογισμός της καμπτικής ροπής Μz1

220kNm4.00302.5040M

04.00302.5040M 0M:II Τομή

z1

z11Z


40kNN 040N0F:IΙ Τομή 1212X

80kN

Y Z

X

ΑΖ5

40kN

5

2.503

2.50

4xy

z

z1Μ

Μy1

1

30kN

∏ 2

4.00

x

y

zzy x

3.00

12N

≈

∏5

XZ

Y

≈40kN

80kN

ΑΖ5

4.00

xy

I

2 3

30kN1

x1Μ

II

II

Σε κάτοψη:

Μz1

Μy1

2.50

2.50

Μx1


2-12

Άσκηση Z7

57X6α57X6αX N0.707AQ0cosαNAQ0F:Ι Τομή

Επομένως, για τον υπολογισμό της Qα απαιτούνται οι AX6 και Ν57.

Η ΑΧ6 προκύπτει από τη συνθήκη ισορροπίας των οριζοντίων δυνάμεων για ολόκληρο το φορέα: 0A0F X6X (ελλείψει οριζοντίων φορτίων και άλλων οριζοντίων αντιδράσεων στήριξης)

Η Ν57 προκύπτει από τη συνθήκη ισορροπίας ροπών ως προς την καμπτική άρθρωση 3 για το άνω τμήμα του φορέα (Τομή ΙΙ):

4 457 4 573,άνω

F 5.25 F 5.25 100 5.25M 0 N d F 5.25 0 N 106.08kN

d d 4.949

Με τις τιμές αυτές των ΑΧ6 και Ν57 παίρνουμε για τη ζητούμενη τέμνουσα: 75.00kN106.080.7070Qα

Άσκηση Z8 Σκεπτικό επίλυσης: Προσδιορίζεται η τιμή της Να=Ν45 ως συνάρτηση του φορτίου ML4. Στην κατά αυτόν τον τρόπο προσδιορισθείσα σχέση θέτουμε Να=0 και επιλύουμε ως προς ML4. Η προκύπτουσα τιμή της ML4 είναι η ζητούμενη.

3.50

3.50

4F =100kN

7

6 ΑΧ6

X

Z

2

αQ

Ζ7Α

Ζ1Α

∏

N57

d

α=45o

5.25

II

I

oα=45

cosα=sinα=0.707

d= 7.0 sinα=4.949m∏

7.00

4.00

q=10kN/m

L4

α

5.00

1.50

M

Q =026

26M =0

Μα

αQ

N26

αN =Ν45

R=50kN

Ζ1Α

θ

θ

X

Z

θ

x

θ

26N ∏cosθ

Ι

θ

4

3

2

1


2-13

46.8N0.936Α0.351N

0.9364.272

4

1.54

4cosθκαι

0.3514.272

1.5

1.54

1.5sinθμε

cosθ50cosθNsinθΑN

0cosθRsinθΑcosθNN

5)-4 δοκού άξονας τοπικός :(x 0F:I Τομή

26Z1α

22

22

26Z1α

Z126α

X

(*)

Παρατηρούμε ότι η τιμή της Να λόγω ΜL4 δεν μπορεί να προσδιορισθεί άμεσα από μία και μόνο συνθήκη ισορροπίας αλλά απαιτεί τον προηγούμενο υπολογισμό και άλλων εντασιακών μεγεθών, εδώ των ΑΖ1 και Ν26:

Υπολογισμός της αντίδρασης ΑΖ1

3.125kN

8

0.550 A 02.53R8A0M Z1Z17

(**)

(Η διεύθυνση της Α9 συμπίπτει για ευνόητους λόγους με τη διεύθυνση του άξονα της ράβδου 7-9)

Υπολογισμός της Ν26

752.5

M

2.5

43.125

2.5

450

2.5

MN

02.5N4A4RM 0M: II Τομή

L4L426

26Z1L4αριστ4,

(***)

Εισάγοντας τις (**) και (***) στην (*) παίρνουμε τη σχέση:

L4α α L4 α L4

MN 0.351 3.125 0.936 75 46.8 N 1.097 0.374 M 70.2 46.8 N 0.374 M 24.497

2.51.097

Θέτοντας Να=0 παίρνουμε τη ζητούμενη τιμή της ML4:

65.5kNmM 24.497M0.3740N L4L4α

4.00 4.00

q=10kN/m

3.00

2.50

1.00

3.00

ΑΖ1Ζ8Α

L4M

8 9

9Α

R=50kN

26N

7

Z

X

2.50

4.00

ΙI


2-14

2.1.2 Υπολογισμός με την αρχή των δυνατών έργων (κινηματική μέθοδος)

Άσκηση Z9

Για τους ισοστατικούς φορείς των προηγούμενων ασκήσεων Ζ1 και Ζ2 να υπολογιστούν τα εκεί ζητούμενα εντασιακά μεγέθη εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Τα αποτελέσματα να συγκριθούν με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που είχαν προκύψει εφαρμόζοντας τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και τις συνθήκες ισορροπίας.

Άσκηση Z10

Άσκηση Z11 Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ3 να υπολογιστεί η ροπή Μ4, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Z12 Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ4 να υπολογιστεί η αξονική δύναμη Ν15, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Z13 Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ5 να υπολογιστεί η αξονική δύναμη Ν12, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Z14 Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ6 να υπολογιστεί η ροπή Μy1, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Z15 Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ7 να υπολογιστεί η τέμνουσα Qα, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Z16 Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ8 να προσδιοριστεί, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων, η τιμή της ροπής ΜL4, έτσι ώστε η αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη Ν45,ML4 της δοκού 4-5 να είναι μηδενική.


2-15

ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Z9 (Ζ1) Υπολογισμός της Αx1

(1) Καταλύουμε στο σημείο 1 την οριζόντια δεσμική ράβδο, η οποία αντιστοιχεί στην αντίδραση ΑΧ1, και ταυτόχρονα προσάγουμε στις όχθες της τομής τα δύο σκέλη της ΑΧ1 με την επιλεγείσα θετική της φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα

πόλων (Σημ.: Για τον ιδιαίτερα απλό φορέα μας είναι πρακτικά περιττό).

(3) Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα μία οριζόντια δυνατή μετατόπιση ίση με τη μονάδα 1v.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά,

δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αντίδραση ΑΧ1 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). Το σκέλος της ΑΧ1, που δρα στην αριστερή όχθη της τομής - δύναμης έδρασης- παραμένει αμετάθετο και, συνεπώς, δεν παράγει δυνατό έργο.

00R1A

00q1A

vX1

vX1

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς τη ζητούμενη αντίδραση ΑΧ1.

0A X1

(Σύγκρ. Άσκηση Ζ1)

Α

Z6.00

3.001.00 2.00

Χ11

2

X

4

3

q

¶(1)

I

ΑΧ1

v1 v1

R

R


2-16

Υπολογισμός της ΑΖ1 και ΑΖ4

(1) Καταλύουμε την κατακόρυφη δεσμική ράβδο στο σημείο 1 / 4, η οποία αντιστοιχεί στην αντίδραση ΑΖ1 /

ΑΖ4, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην επιρράβδια όχθη της τομής την ΑΖ1 / ΑΖ4 με την επιλεγείσα θετική της φορά. Το σκέλος της ΑΖ1 / ΑΖ4 που δρα επί του εδάφους μπορεί να αγνοηθεί εξαρχής, αφού για οποιαδήποτε δυνατή μετακίνηση παραμένει αμετάθετο και, συνεπώς, δεν παράγει έργο.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (Σημ.: Για τον ιδιαίτερα απλό φορέα μας είναι πρακτικά περιττό).

(3) Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα μία μοναδιαία δυνατή στροφή φν=1ν.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αντίδραση ΑΖ1 / ΑΖ4 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

0906A03306A Z1vv

Z1 06A9006A330 Z4v

Z4v

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς τη ζητούμενη αντίδραση ΑΖ1 / ΑΖ4.

15kNA Z1


15kNA Z4


Z

1.00

X

2

1

q=20kN/mR

2.003.00

3

4

ΑΖ1Α

1.00

1

3.00 2.00

Ζ4

3

R

2

4

q=20kN/m

(1)

I

(1)

I

R=30kN q

Ζ1Α

6vm

vφ =1v

2 +33

= 3mv

3mq

Ζ4Α

vm6

23

1 + = 3vm

v=1vφ

R=30kN3m

3∏


2-17

Υπολογισμός της M2

(1) Εισάγουμε μία καμπτική άρθρωση στο

σημείο 2, η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μ2, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Μ2 με τη συμβατικά θετική τους φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων.

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο 2 της μονοκινηματικής δοκού μία μοναδιαία κατακόρυφη δυνατή μετατόπιση w2

ν=1ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μ2 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

018M1.2

0185

11M

05

330

5

1M1M

2

2

vv

2v

2

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Μ2.

15kNm1.218M2


Z

3.001.00

R

1

2

X

2.00

4

3

q=20kN/m

2M

(2)(1) (1,2)

I II

2M R=30kN

3m

(1/5) 3v∏ =(3/5)v

(1/5)v1v

v1=1 /1v


2-18


(1) Εισάγουμε μία διατμητική άρθρωση στο

σημείο 2, η οποία αντιστοιχεί στην τέμνουσα Q2, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Q2 με τη συμβατικά θετική τους φορά.


(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο αριστερό τμήμα της μονοκινηματικής δοκού μία μοναδιαία δυνατή στροφή φαρ

ν=1ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη τέμνουσα Q2 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

090Q6

09051Q

03305Q1Q

2

2

vv2

v2

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Q2.

15kN690Q 2


(1)

Z

31 3 =∏

R=30kN

v

I II

v

3m

(2)

32Q

X

1.00 3.00

R

1

2.00

4

q=20kN/m

(1,2)¶

δεξvφ =1v

φαρv =1v

∏ =5v 51 v

Q2

2Q

1v

2


2-19

Υπολογισμός της N2

(1) Εισάγουμε μία αξονική άρθρωση στο

σημείο 2, η οποία αντιστοιχεί στην αξονική δύναμη Ν2, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Ν2 με τη συμβατικά θετική τους φορά.


(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο χαλαρό δεξιό τμήμα της δοκού μία οριζόντια μοναδιαία δυνατή μετατόπιση 1ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν2 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του κατακόρυφου φορτίου q κατά την οριζόντια μετατόπιση του είναι προφανώς μηδενικό).

01N v2

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Ν2.

0N2


q=20kN/m

3

R=30kN

(1)

1v

III

1

X

Z

3.001.00N2

2R

2.00

4

¶(1,2)

¶(2)

2Nv1


2-20

Άσκηση Z10 (Ζ2) Υπολογισμός της ΑΖ5

(1) Καταλύουμε την κατακόρυφη δεσμική ράβδο στο σημείο 5, η οποία αντιστοιχεί στην αντίδραση ΑΖ5, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην επιρράβδια όχθη της τομής την ΑΖ5 με την επιλεγείσα θετική της φορά. Το σκέλος της ΑΖ5 , που δρα επί του εδάφους, μπορεί να αγνοηθεί εξαρχής, αφού για οποιαδήποτε δυνατή μετακίνηση παραμένει αμετάθετο και συνεπώς δεν παράγει έργο.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (Σημ.: Για τον ιδιαίτερα απλό αυτόν φορέα είναι πρακτικά περιττό).

(3) Επιβάλλουμε στο σημείο 5 του χαλαρού φορέα μία κατακόρυφη δυνατή μετατόπιση ίση με τη μονάδα 1ν.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αντίδραση ΑΖ5 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

0A16

0A5

240

01A5

2R

Z5

Z5

vZ5

v

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς τη ζητούμενη αντίδραση ΑΖ5.

16kNA Z5


R=40kN

L=5.00ΑΖ5

2.00

2.00

q=10kN/m

(1)

I

R=40kN

v1

(1/5)

(2/5)v

v

Ζ5Α

5

4

X

Z

1

2

3


2-21


(1) Εισάγουμε μία καμπτική άρθρωση στο σημείο 2, η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μ2, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Μ2 με τη συμβατικά θετική τους φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Παρατηρούμε ότι ο κύριος πόλος (2) βρίσκεται στο άπειρο και, συνεπώς, ο δίσκος ΙΙ δεν έχει δυνατότητα περιστροφής, δηλαδή μπορεί να υποστεί μόνο παράλληλη μετάθεση.

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο 2 του μονοκινηματικού πλαισίου μία μοναδιαία οριζόντια δυνατή μετατόπιση u2

ν=1v και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μ2 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο ενός συνεχούς φορτίου ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

0M2

130

02

1M

2

120120

0φM2

1R1R

2

v

2

v

v

v2

v

2v

1


kNm60M2


(1)

R =20kN

q=10kN/m

I

L=5.00

2.00

2.002M

II

(1,2)

(2)¶

(2)

v1

M2

v=1 /2φv

(1/2)v

1

2R =20kN


2-22


(1) Εισάγουμε μία διατμητική άρθρωση στο σημείο 2, η οποία αντιστοιχεί στην τέμνουσα Q2, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Q2 με τη συμβατικά θετική τους φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Παρατηρούμε ότι (α) εμφανίζεται αντίφαση ως προς τον κύριο πόλο (1) και, συνεπώς, ο δίσκος Ι παραμένει αμετακίνητος και (β) ότι ο δίσκος ΙΙ μπορεί να υποστεί μόνο παράλληλη μετάθεση κατά την οριζόντια διεύθυνση.

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο οριζοντίως χαλαρό τμήμα 2-3-4-5 του πλαισίου μία μοναδιαία οριζόντια δυνατή μετατόπιση 1ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

(4) Καταγράφουμε τα (εξωτερικά) δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη τέμνουσα Q2 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο ενός συνεχούς φορτίου ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R. Το κάτω σκέλος της Q2 και η R2 δεν παράγουν έργο, αφού δεν μετατοπίζεται ο δίσκος Ι).

0Q20

01Q120

01Q1R

2

v2

v

v2

v1

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Q2.

20kNQ 2


(2)

1R =20kN

R =20kN2

v1

(1,2)

(1)

I

II

L=5.00

Q

q=10kN/m

2

¶

2.00

2.00

¶ ¶(1)

2Q


2-23


(1) Εισάγουμε μία αξονική άρθρωση στο σημείο 2, η οποία αντιστοιχεί στην αξονική δύναμη Ν2, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Ν2 με τη συμβατικά θετική τους φορά.

v v v v vL∆u A φ cosγ φ cosγ L φ 5 φ

cosγ

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Παρατηρούμε ότι οι δύο δίσκοι Ι και ΙΙ μπορούν να περιστραφούν περί τα σημεία 1 και 5 αντιστοίχως, παραμένοντας, όμως, παράλληλοι μεταξύ τους.

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο τμήμα 1-2 του χαλαρού πλαισίου μία δυνατή στροφή φv και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν2 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

v v v v2 2

v2 2

0

H 4N ∆u R φ 0 N 5 φ 40 φ 0

2 24

N 5 40 φ 0 5 N 80 02


16kN5

80N2 (Σύγκρ. Άσκηση Ζ2)

Παρατήρηση: Διαπιστώνουμε ότι ο προσδιορισμός- η σχεδίαση της κατάστασης δυνατής μετακίνησης του φορέα δεν είναι τετριμμένος αλλά απαιτεί μία σειρά από απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς. Εφόσον η μετατοπισμένη κατάσταση σχεδιαστεί υπό κλίμακα, το μέγεθος των δυνατών μετακινήσεων που χρειαζόμαστε για τον υπολογισμό των δυνατών έργων. Στο παραπάνω παράδειγμά μας η τιμή της Δuv προκύπτει και γραφικά, π.χ. με μέτρηση της απόστασης δύο σημείων.

¶(1,2)

(2)

q=10kN/m

L=5.00

(1)

II

I

2N

2.00

2.00

(2)

(2)

R=40kN

51

5

43

2

1

X

Z

H φ∏ v

vφ

vφφv

γ

Α∏

vφ

H=4m

γ

L=5.00

A=L/cosγ

∆uv

vφ

vφI=

IIvφ =φv

N2R

H/2


2-24

Άσκηση Z11 (Ζ3)


(1) Εισάγουμε μία καμπτική άρθρωση στο σημείο 4, η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μ4, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Μ4 με τη συμβατικά θετική τους φορά.

150kNRRR

60kN230R

90kN330R

21

2

1

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Η θέση του κύριου πόλου (2) προκύπτει με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς.

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο 4 του μονοκινηματικού πλαισίου μία μοναδιαία οριζόντια δυνατή μετατόπιση u4

ν=1ν και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

4

3

8

62

38

12.00φw

5.5

1φ

8

3

38

1φ

vII

v3

vvIII

vvvII

q=30kN/m

3.00 2.00

4.00

1.50

M4

1R 2R

4

3

5

1

2

I

II

III

(1)

∏

(1,2)(2,3)

(3)

θ

θ

(2)

tgθ=3/4

(2)

(2)

a=2.00/tgθ=8/3m

∏

IIIφv

Ivφ

vφI

IIvφ φ

IIv

1R 2R

M4

∏ ∏

1v

w3v


2-25

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μ4 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο ενός συνεχούς φορτίου ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

0M0.55756.2505.50183M4321150

0φMφM

2wR

2wR2wR

4

v

4

v

vIII4

vII4

v3

v32

v31


m100.99kN0.55756.25M 4

(Σύγκρ. Άσκηση Ζ3: M4=-100.98kNm)

Παρατήρηση: Η προκύπτουσα διαφορά στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα οφείλεται στις αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις. Είναι σαφές ότι, εφόσον στις διάφορες ενδιάμεσες αριθμητικές πράξεις στρογγυλοποιούμε πάντα στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα, τα τελικά αποτελέσματα είναι ακριβή μέχρι το πρώτο ψηφίο μετά το κόμμα. Έτσι, αν επιθυμούμε ακρίβεια των τελικών αποτελεσμάτων στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα, όπως π.χ. συνήθως απαιτείται σε κατασκευές από οπλισμένο σκυρόδεμα, θα πρέπει κατά τους υπολογισμούς μας να λαμβάνουμε υπόψη τρία ψηφία μετά το κόμμα. Κατ' αναλογία, αν επιθυμούμε ακρίβεια των τελικών αποτελεσμάτων στο τρίτο ψηφίο μετά το κόμμα, όπως π.χ. συνήθως απαιτείται σε μεταλλικές κατασκευές, θα πρέπει κατά τους υπολογισμούς μας να λαμβάνουμε υπόψη τέσσερα ψηφία μετά το κόμμα.

Άσκηση Z12 (Ζ4) Υπολογισμός της Ν15

(1) Τέμνουμε (καταλύουμε) τη ράβδο 1-5, στην οποία αναπτύσσεται η ζητούμενη αξονική δύναμη Ν15, και ταυτόχρονα προσάγουμε στις δύο όχθες της τομής τα δύο σκέλη της Ν15 με τη συμβατικά θετική τους φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Η θέση του κύριου πόλου (2) προκύπτει με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς.

2.00

q=30kN/m

1.50

3.00

4.00

5.50/2

15N

R=30 5.50=165kN∏X

Z

5

432

1


2-26

5.852m5.502c

8.779m5.50a3b

13.75mtgθ5.00a

2.752.00

5.50tgθ

22

22

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο 5 του χαλαρού πλαισίου μία μοναδιαία δυνατή οριζόντια μετατόπιση 1v και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

v5

v5

v2

vII

v3v

2

vI

v2

v3v

I

vII

v3

v5v

II

v5

v5

v5

22

u0.674u1.50ac

b5.50u

φbc

5.50

c

v5.50u

φ5.50u

c

vφ

φbv

1.50a

uφ

u0.958cosαuv

0.9581.55

5cosα

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν15 και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

(2)θ

(1,2)

(2)∏

I IΙ

(2)

(1)

a

b

c

15N

vII

φII

φv

(2)∏

2vu

Ivφ

Iφv

v3v

5vv

u =15v v

5.50/2

R

α


2-27

0uN0.95855.610u0.958Nu20.674165

165kNR0vN2uR

0

v515

v515

v5

v515

v2


58.04kN0.95855.61N15 (Σύγκρ. Άσκηση Ζ4: N15 = 58.00kN)

Παρατήρηση: Διαπιστώνουμε ότι ο προσδιορισμός- η σχεδίαση της κατάστασης δυνατής μετακίνησης του φορέα δεν είναι τετριμμένος αλλά απαιτεί ορισμένους γεωμετρικούς συλλογισμούς. Εφόσον η μετατοπισμένη κατάσταση σχεδιαστεί υπό κλίμακα, το μέγεθος των δυνατών μετακινήσεων που χρειαζόμαστε για τον υπολογισμό των δυνατών έργων. Στο παραπάνω παράδειγμά μας η τιμή της u2

v προκύπτει και γραφικά, π.χ. με μέτρηση της απόστασης δύο σημείων. Όσον αφορά την προκύπτουσα διαφορά στο δεύτερο σημείο μετά το κόμμα της Ν15, αυτή οφείλεται στις ενδιάμεσες αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις (Βλ. σχετική παρατήρηση στο τέλος της προηγούμενης Άσκηση Ζ11).


2-28



(1) Τέμνουμε (καταλύουμε) τη ράβδο 1-2, στην οποία αναπτύσσεται η ζητούμενη αξονική δύναμη Ν12, και ταυτόχρονα προσάγουμε στις δύο όχθες της τομής τα δύο σκέλη της Ν12 με τη συμβατικά θετική τους φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Η θέση του κύριου πόλου (2) προκύπτει στον κόμβο 3 του δικτυώματος.

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο 5 του χαλαρού πλαισίου μία μοναδιαία δυνατή κατακόρυφη μετατόπιση 1v και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. Αυτή συνίσταται σε μία στροφή του δίσκου ΙΙ περί τον κύριο πόλο του (κόμβος 3).

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν12 και από το δεδομένο φορτίο F κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν.

050N0.75

01504

3N

0150φ3N

12

v

v

12

vv12


66.67kNN12

Άσκηση: Η ευρεθείσα τιμή της Ν12 να επαληθευθεί με κατάλληλη διαχωριστική τομή και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας (βλ. Άσκηση Ζ5).

4.00

3.00

3.00

4.00

F=50kN

12N

(1)

(1,2)

(2)

(2)

(2)

II

I

F=50kN

φ =1 /4 1vv

∏3 vφ

vv vφ =1 /4

12N


2-29


Υπολογισμός της My1

(1) Εισάγουμε στο σημείο 1 μία κυλινδρική άρθρωση (= καμπτική άρθρωση ως προς τον τοπικό άξονα y της δοκού 1-2), η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μy1, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση το επιρράβδιο σκέλος της Μy1 με τη συμβατικά θετική του φορά. Το επικόμβιο σκέλος μπορεί να αγνοηθεί εξαρχής, αφού δρα επί του αμετακίνητου εδάφους και, συνεπώς, δεν παράγει δυνατό έργο.

(2) Η κατασκευή του διαγράμματος πόλων είναι πρακτικά περιττή λόγω της απλότητας του χωρικού μας φορέα. Είναι σαφές ότι το τμήμα 1-2-3 στρέφεται περί τον άξονα της κυλινδρικής άρθρωσης που εισάγαμε στο σημείο 1 και ότι το τμήμα 3-4-5 στρέφεται περί τον καθολικό άξονα Χ στο σημείο 5 (σφαιρική άρθρωση).

(3) Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο 2 του μονοκινηματικού πλαισίου μία μοναδιαία κατακόρυφη δυνατή μετατόπιση w2

ν=1v και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας.

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά

έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μy1 και από τα δεδομένα μοναχικά φορτία στο σημείο 4 κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν.

03040M4

1

04

340

2

180

4

1M

y1

vvv

y1

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Μy1.

m40kN410M y1


2.5080kN

40kNxy

z

2.50

Μy1

x

4.00

zy

30kN3.00

2

3

4

5

1

φ =1 /4vvv1

v(3/4)

v1

(3/4)v

φ =1 /4v v

v(1/2)

4' 4


2-30


Υπολογισμός της Qα (1) Καταλύουμε τον εσωτερικό σύνδεσμο στο σημείο α, ο οποίος μεταφέρει τη ζητούμενη τέμνουσα Qα,

δηλαδή εισάγουμε στο σημείο α μία διατμητική άρθρωση. Ο αρχικά ισοστατικός φορέας μετατρέπεται, έτσι, σε μία μονοκινηματική αλυσίδα, η οποία συντίθεται από τέσσερις στερεούς δίσκους Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και ΙV. Ταυτόχρονα, για να διατηρηθεί η αρχική εντασιακή κατάσταση του δεδομένου φορέα, προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Qα με τη συμβατικά θετική τους φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (βλ. ακόλουθο σχήμα).

Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: (1) Ø λόγω των δύο οριζόντιων κυλίσεων στα σημεία 1 και 7. Συνεπώς ο δίσκος Ι μπορεί να εκτελέσει μόνο

παράλληλη μετάθεση οριζοντίως.

(1,2) Ø λόγω της διατμητικής άρθρωσης στο σημείο α.

(2,3) στο σημείο 3 λόγω της σύνδεσης των δίσκων ΙΙ και ΙΙΙ μέσω καμπτικής άρθρωσης στο σημείο αυτό.

(3,4) στο σημείο 5 (αιτιολογία ανάλογη του (2,3)).

(1,4) στο σημείο 7 (αιτιολογία ανάλογη του (2,3)).

Προσδιορισμός υπόλοιπων πόλων:

μετάθεση. παράλληλη μόνο

εκτελέσει ναμπορεί ΙΙ δίσκος ο Συνεπώς στο 22 1,2 1

2

1

2.00

3.50

1.50

α

3

1.753.50 1.75 3.00

Z

7 X

4F =100kN

54 6

αQ

I

II

IV

III

1

2

II

3

I 7

IV

III

5 6

(1)¶

(2,3) (3,4)

(1,4)

¶

(1,2)(2)

(1,3)

8∏

(2,4)(4)


2-31

1 σημείο στο 1,3

1,3 1,2 2,3

1,3 3,4 1,4

3

3

3 1 1,33 σημείο στο

6 κύλιση στην κάθετης ευθείαςεπί

(2,3) και (3) συμπίπτουν fl (2) στο ίδιο σημείο με τον (3), δηλαδή στο σημείο 3

Όμως, ο (2) είχε βρεθεί στο . Συνεπώς, ο δίσκος ΙΙ παραμένει ακίνητος.

8 σημείο στο 2,4

2,4 1,2 1,4

2,4 3,4 2,3

8 σημείο στο 4

4 3,4 3

4 1 1,4

(3) Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα ένα δυνατό άλμα Δwαv στη διατμητική άρθρωση α και με τη βοήθεια

των ήδη γνωστών πόλων στροφής προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. Στο παράδειγμά μας, το άλμα Δwα

v δημιουργείται επιβάλλοντας στον κόμβο 1 του φορέα μια μοναδιαία δυνατή οριζόντια μετατόπιση 1v προς τα αριστερά. Με τη βοήθεια των πόλων στροφής προσδιορίζεται η μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο χαλαρός φορέας, π.χ. εύκολα επαληθεύει ο αναγνώστης ότι η βύθιση του κόμβου 5 είναι ίση με 1v, όπως επίσης ότι η βύθιση w4 του σημείου εφαρμογής του φορτίου F είναι ίση με 0.75v.

v

35

34v4

35

v

34

v4 0.75

7

5.25

L

L w

L

1

L

w

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη τέμνουσα Qα και από το δεδομένο εξωτερικό φορτίο F4=100kN κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν:

00.75100Q0wF∆wQ αv44

v

vαα

1

(5) Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Qα. Η ευρεθείσα τιμή της Qα ταυτίζεται με την τιμή που υπολογίστηκε με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και τις συνθήκες ισορροπίας.

75kNQ α (Σύγκρ. Άσκηση Ζ7)

αQ

F =100kN4

45o

o45

65

7

v11v

1v

1v

2

1v1

3 8 4

wv4

vIVφ

φIVv

L 34

L 35


2-32


(1) Καταλύουμε τον εσωτερικό σύνδεσμο στο σημείο α, ο οποίος μεταφέρει την αξονική δύναμη Να, δηλαδή εισάγουμε στο σημείο α μία αξονική άρθρωση. Ο αρχικά ισοστατικός φορέας μετατρέπεται έτσι σε μία μονοκινηματική αλυσίδα, η οποία συντίθεται από πέντε στερεούς δίσκους Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV και V (βλ. ακόλουθο σχήμα). Ταυτόχρονα, για να διατηρηθεί η αρχική εντασιακή κατάσταση του δεδομένου φορέα, προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Να με τη συμβατικά θετική τους φορά.

(2) Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (βλ. ακόλουθο σχήμα).

Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: (1,4), (1,2), (2,3), (3,4) (3,5), (5)

Προσδιορισμός υπόλοιπων πόλων:


8 κύλιση στην κάθετης ευθείαςεπί 3

3 5 3,5


συμπίπτουν 3,5 και 3

5 3,5 3

fl Αντίφαση, διότι ο (5) είχε βρεθεί στο σημείο 9 fl O δίσκος V είναι αμετακίνητος.

1,3

1,3 1,2 2,3

1,3 3,4 1,4

4.00 4.00 3.00

q=10kN/m

L4M

α

3.00

1.00

1.00

1.50

αΝII

I III

IV

VX

Z

8

7

9

R=50kN

¶

(2,3)

∏(2)

(1,2)

∏(1)

(1,4)∏

(1,3)

¶(4)

(5)

(3,4)

(3,5)(3)

(5)

X

Z

98

7


2-33

1

1

1 3 1,3

1 κύλιση στην κάθετης ευθείαςεπί

2

2 2,3 3

2 1,2 1

στο 4

4 3,4 3

4 1,4 1

fl Ο δίσκος ΙV μπορεί να εκτελέσει μόνο παράλληλες μεταθέσεις.

(3) Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα ένα δυνατό χάσμα Δuα

v στην αξονική άρθρωση α και με τη βοήθεια των ήδη γνωστών πόλων στροφής προσδιορίζουμε την μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. Στο παράδειγμά μας το άλμα Δuα

v δημιουργείται επιβάλλοντας στον κόμβο 1 του φορέα μια δυνατή οριζόντια μετατόπιση προς τα δεξιά. Με τη βοήθεια των πόλων στροφής προσδιορίζεται η μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο χαλαρός φορέας (βλ. και παρακάτω).

(4) Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Να και από όλα τα εξωτερικά φορτία (εδώ: q=10kN/m και ML4) κατά τη δυνατή μετακίνηση (μετατόπιση, στροφή) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν:

0∆φMuR∆uN v4L4

vR

vαα

(5) Η ζητούμενη τιμή της ML4 προκύπτει θέτοντας Να=0 στην παραπάνω εξίσωση:

v4

vR

L4v4L4

vR

∆φ

uRM0∆φMuR

Οι δυνατές μετακινήσεις uRv και Δφ4

v, λόγω της επιβληθείσας οριζόντιας μετατόπισης στον κόμβο 1, υπολογίζονται εύκολα από τη γεωμετρία του φορέα στην κατάστασης δυνατής μετακίνησης. Εφόσον οι δυνατές μετατοπίσεις σχεδιαστούν υπό την ίδια κλίμακα όπως και ο φορέας, τα απαιτούμενα γεωμετρικά

(1) ∏

(2)∏

1cm

∏

R=50kNcº4.6m

φvI

vuR

vφI

4v∆w

L4M

φIIv

φvII

αμετακίνητος

8 9

dº7.0m

αv∆u

αN

1m


2-34

μεγέθη μπορούν να ληφθούν γραφικά, δηλαδή να μετρηθούν στο χαρτί. Στο παραπάνω σχήμα, η δυνατή μετατόπιση του κόμβου 1 θεωρήθηκε ίση με 1m και σχεδιάστηκε ως 1cm (κλίμακα 1:100). Σημειώνεται ότι πρόκειται για νοητές καταστάσεις, στις οποίες ισχύουν και εφαρμόζονται οι γεωμετρικοί κανόνες που διέπουν τις απειροστές μετακινήσεις. Προκύπτουν έτσι τα εξής μεγέθη:

Στροφή δίσκου Ι: 22

vI 100.217

4.6m

m101φ

Μετατόπιση σημείου εφαρμογής συνισταμένης R:

m100.4562.54.6φu 2vI

vR

Μετατόπιση σημείου 4:

v v 2 2 2 2

4 34 I∆w L φ 4 1.5 0.217 10 0.927 10 m

Στροφή δίσκου ΙΙ: 22v

4vII 100.132

7.0m

m100.927

d

∆wφ

22vII

vI

v4 100.349100.1320.217φφ∆φ

65.34kNm100.349

100.45650kNM

2

2

L4

Η τιμή αυτή της ΜL4 ταυτίζεται πρακτικά με την τιμή της ΜL4 = -65.5kNm που υπολογίστηκε πιο πάνω με τις συνθήκες ισορροπίας.

Απόκλιση:

3%0.24%100%65.5

65.3465.5


2-35

2.2 Υπολογισμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής επίπεδων φορέων (Ομάδα Η) 2.2.1 Αμφιέρειστες δοκοί (Ομάδα Η1) Για τις παρακάτω αμφιέρειστες δοκούς ευθύγραμμης και τεθλασμένης γεωμετρίας να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), N(x). Στις περιπτώσεις αλλαγής προσήμου της τέμνουσας Q(x) να προσδιοριστεί η θέση x0 διέλευσης του διαγράμματός της διά του μηδενός και να υπολογιστεί η τιμή της μέγιστης ροπής maxM.


2-36

H1/4

2∏

6.00

3.00

3.00X

Z

1

3.00

3P=60kN

3

H1/5

1.002.00

P =30kN1

2

X

Z

11.00

2.00

4

P =10kN2

2.00

2.00

2.00

1

2

3

4

6.000.25P

P

P

P=150kN

X

Z

H1/3


2-37

ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H1/1

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση Ζ1)

13.28kN A 024.2237.50A0F

24.22kN A 02.503

23.5037.508.00A0M

0A0F

Z1Z1Z

Z4Z41

X1X

Β. Υπολογισμός των Ν(x), Q(x), M(x) σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές

• Λόγω ΑΧ1=0 και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν(x) είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού, δηλαδή για όλα τα x.

Σημείο 1:

13.28kNQ

0Q13.280F

0M0M

0N0F

1

1Z

11

1X

Σημείο 2:

13.28kNQ 0Q13.280F

46.48kNmM 0M3.5013.280M

0N0F

22Z

222

2X

Σημείο 3:

X 3

3 33

Z 3 3

F 0 N 0

M 0 24.22 2.00 M 0 M 48.44kNm

F 0 24.22 Q 0 Q 24.22kN

Σημείο 4:

24.22kNQ

0Q24.220F

0M0M

0N0F

4

4Z

44

4X

4

32

1

8.00

2.503.50

q=30kN/m

2.00

A Z1

X1A

Z4A

R= ∏30 2.50/2=37.50kNX

Z

23

∏ 2.5

0

Z1A =13.28kN

N1

Q1

M1

2N

A =13.28kNZ1

Q2

0 M2

3.50

A =24.22kNZ4

2.00

3M

3N

3Q

Q4N

Z4A =24.22kN4

4M


2-38

Γ. Σχεδίαση των διαγραμμάτων Q(x), M(x) [βλ. παρακάτω σχήμα]

• Στο αφόρτιστο τμήμα 1-2 η τέμνουσα παραμένει σταθερή (Q1=Q2=13.28kN) και η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά (από M1=0 σε M2=46.48kNm).

• Παρομοίως στο αφόρτιστο τμήμα 3-4: Η τέμνουσα παραμένει σταθερή (Q3 = Q4 = -24.22kN) και η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά (από M3 =

48.44kNm σε M4 = 0).

• Στην περιοχή 2-3 του φορτίου q(x) το διάγραμμα τεμνουσών είναι μια παραβολή 2ου βαθμού που στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω.

Αιτιολογία: Το δεδομένο φορτίο q(x) μεταβάλλεται γραμμικά-τριγωνικά και μάλιστα αυξάνει με αυξανόμενο x. Συνεπώς, λόγω της γνωστής μας διαφορικής εξίσωσης ισορροπίας Q΄(x) = –q(x), ισχύουν τα εξής: (α) Η τέμνουσα Q(x), ως ολοκλήρωμα της γραμμικής συνάρτησης –q(x), μεταβάλλεται παραβολοειδώς, και (β) η κλίση της εφαπτομένης στο διάγραμμα Q(x,) η οποία εκφράζεται από την πρώτη παράγωγο –q(x) της Q(x), αυξάνει (κατ’ απόλυτο τιμή) με αυξανόμενο x, δηλ. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω.

• Το πρόσημο της τέμνουσας αλλάζει στο διάστημα μεταξύ των σημείων 2 και 3. Συνεπώς, μεταξύ των δύο αυτών σημείων εμφανίζεται η μέγιστη ροπή κάμψης maxM.

• Στο σημείο 2 η καμπύλη της τέμνουσας έχει οριζόντια εφαπτομένη, όχι γόνατο, διότι η πρώτη παράγωγος της είναι ίση με το μηδέν: Q΄(x=3.50) = – q(x=3.50) = 0. Αντίθετα, στο σημείο 3 η καμπύλη της τέμνουσας έχει γόνατο, διότι η πρώτη της παράγωγος, δηλαδή το φορτίο q(x), έχει άλμα q=30kN/m.

• Υπολογισμός της maxM: Έστω ότι η τέμνουσα μηδενίζεται στο σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση x0 από την αρχή (σημείο 2) του τριγωνικού φορτίου q(x). Τέμνουμε τη δοκό στο σημείο Α και καταστρώνουμε τις συνθήκες ισορροπίας για το αριστερό ή το δεξιό τμήμα της 1-Α (ή Α-4):

43

21

4321

3.50 4.99+ x =0

13.28

+

-

-24.22

Q(x) [kN]όχι γόνατο

+

A

όχι γόνατο όχι γόνατο

M(x) [kNm]

46.48 48.44

οριζ. εφαπτομένηmaxM=59.65

κλείουσα

2

1

3.50

Z

X

0

Z1A =13.28kN

x12 ∏R'=

x

Q =0A

maxM

0

x /30

A

=∏

2.50

q x0

2.50∏ x0

30= 0x12 ∏0 0x∏ /2 = 0x6 ∏ 2


2-39

59.65kNm66.276.62

1.493.5013.283

1.491.496maxM

0x3.50A3

xRmaxM0M

1.49m x 0x613.28 0RA0F

2

0Z10

A

020Z1Z

Έλεγχος με τους τύπους του Πίνακα 1.2-1 (κάτω) του [1]:

α6

xqxQMmaxM,

q

αQ2x

30

0iii

0

Με Qi = Q2 = 13.28kN, Mi = M2 = 46.48kNm, α= 2.50m και q = 30kN/m παίρνουμε πράγματι:

59.65kNm

6.6219.7946.482.506

1.49301.4913.2846.48maxM

και

1.49m30

2.5013.282x

3

0

Δ. Υπολογισμός της ακριβούς καμπύλης των διαγραμμάτων Q(x), M(x) στο τμήμα 2-3

Χρησιμοποιούμε την ίδια διαχωριστική τομή που χρησιμοποιήσαμε για τον υπολογισμό της maxM, αλλά τώρα για την τυχούσα θέση x μεταξύ των σημείων 2 και 3:

32

3

3

2x

22

22Z

x2x21x60.2285.75xM

33.50x6x13.28xMή

x2x13.2846.48xM

03xx6x3.513.28xM0M

x6x4260.22xQ 3.50x613.28xQή

x613.28xQ 0xQx613.280F

Για το σημείο μηδενισμού της τέμνουσας παίρνουμε, όπως και πριν Q=0 και λύνουμε ως προς 0xx :

1.49m x 0x613.28xQ 0200

Για τη μέγιστη ροπή maxM προκύπτει:

59.65kNm 1.4923.501.4913.28

x23.5x13.28xMmaxM

3

3000

2

1

A =13.28kN

Z

X0

Z1

R'= x∏6 2

x/3

3.50

Q(x)

M(x)

xx

x = x - 3.50


2-40

Άσκηση H1/2

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης

110kN A 0A16040A0F

90kN A 02.00404.001608.00A0M

0A0F

Z1Z3Z1Z

Z3Z31

X1X


• Λόγω ΑΧ1=0 και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν(x) είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού: Ν(x)=0 για όλα τα x (Σύγκρ. Άσκηση Η1/1).

• Οι ροπές στα σημεία 1 και 3 είναι προφανώς μηδενικές λόγω των εκεί αφόρτιστων αρθρώσεων (Σημ.: Δεν υπάρχουν εξωτερικές ροπές-φορτία): Μ1=Μ3=0.

Σημείο 1:

110kNQ

0Q1100F

1

1Z

Σημείο 2:

10kNQ 0Q4.00301100F

200kNmM 0M2.001204.001100M

22Z

222

Σημείο 3:

90kNQ

0Q900F

3

3Z

X

Z

32

1

=20kN/m

q =10kN/m2

4.008.00

1

4.00

q

Z1A

AX1

Z3A

R2

1R

8.0020 ∏=1R 160kN=

2 40kN=4.00R = 10 ∏

2.00

1 =0

1N

A =110kN1Q

Z1

1M0=0

21

=

=30kN/m

4.00

2q

2.00

∏30=R 4.00 120kN

A =110kNZ1

2M

2Q

0

q1+

=0N2

M3

3

A =90kNZ3

=3

Q

=0

N 0


2-41

Γ. Σχεδίαση των διαγραμμάτων Q(x), M(x) [βλ. παρακάτω σχήμα]

• Λόγω των ομοιόμορφων σταθερών φορτίων q1+q2 στο τμήμα 1-2 και q1 στο τμήμα 2-3, η τέμνουσα Q(x) μεταβάλλεται γραμμικά και η ροπή παραβολοειδώς (παραβολή 2ου βαθμού) σε όλο το μήκος της δοκού.

• Το πρόσημο της τέμνουσας αλλάζει στο διάστημα μεταξύ των σημείων 1 και 2. Συνεπώς, κάπου μεταξύ των δυο αυτών σημείων η τέμνουσα μηδενίζεται και εκεί ακριβώς εμφανίζεται η μέγιστη ροπή maxM.

• Υπολογισμός της maxM: Έστω ότι η τέμνουσα μηδενίζεται στο σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση x0 από το σημείο 1. Τέμνουμε τη δοκό στο σημείο Α και καταστρώνουμε τις συνθήκες ισορροπίας για το αριστερό ή το δεξιό τμήμα της 1-Α (ή Α-3):

201.67kNm3.67153.67110maxM

0xA2

xx30maxM0M

3.67m30110 x 0x30110 0RA0F

2

0Z10

0A

00Z1Z

Έλεγχος (βλ. [2], Πίνακα 6.5.2-1):

2

xqxQMmaxM,

q

Qx

20

0iii

0

Με Qi=Q1=110kN, q=q1+q2=30kN/m και Μi=Μ1=0 παίρνουμε πράγματι:

201.67kNm2

3.67303.671100maxM

3.67m30

110x

2

0

1

Z1A =110kN

=30kN/mq+q

0

21

0R'= ∏30 x

maxM

AQ =0A

0x

X

Z

οριζ. εφαπτομένηmaxM=201.67

110

M(x) [kNm]

Q(x) [kN]

-0 =x 3.67

+

200

A

+

-90

-10

γόνατο


2-42

Δ. Υπολογισμός της ακριβούς καμπύλης των διαγραμμάτων Q(x), M(x)

Τμήμα 1-2:

2221Z1x x15x110xM2xqqxAxM0M

Για την τέμνουσα παίρνουμε με παραγώγιση της ροπής: x30110x152110xMxQ

Σημείο μηδενισμού τέμνουσας: Θέτουμε Q=0 και λύνουμε ως προς x=x0: 3.67m30110x0x30110xQ 000

Τμήμα 2-3:

2

2

2

1Z3x

x10x7080xM

2x820x890xM

8x4για,2xLqxLAxM0M

Για την τέμνουσα ισχύει: 8x4γιαx,2070xMxQ

1

Z1A =110kN

Z

X

0

=30kN/m

x

1 2q + q

M(x)

X

Z

3M(x)

Z3A =90kN

=20kN/m1

q

L - x


2-43

Άσκηση H1/3


Σημείωση/υπενθύμιση: Οι συμβατικά θετικές φορές των αντιδράσεων στήριξης ορίζονται γενικώς ως αντίθετες προς τις θετικές φορές των αξόνων αναφοράς Χ, Υ, Ζ (βλ. προηγούμενες ασκήσεις Η1/1, Η1/2 και επόμενη Άσκηση Η1/4). Συχνά, όμως, ιδίως σε υπολογισμούς με το χέρι, βολεύει να εισάγονται οι αντιδράσεις στήριξης ως θετικές κατά την έννοια των αξόνων αναφοράς. Αυτό γίνεται στην παρούσα άσκηση για την αντίδραση ΑΧ1. Αν για μία οποιαδήποτε αντίδραση Α, ανεξάρτητα από την καθορισθείσα συμβατική θετική της φορά, προκύψει από τους υπολογισμούς, που θα ακολουθήσουν, θετική τιμή, τότε η πραγματική φορά της αντίδρασης αυτής συμπίπτει με τη συμβατική φορά της. Αντίθετα, αν από τους υπολογισμούς προκύψει αρνητική τιμή για την Α, τότε η πραγματική φορά της Α είναι αντίθετη προς τη συμβατική φορά της που χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς.

Για τις αντιδράσεις στήριξης του δεδομένου φορέα παίρνουμε:

12.5kN A 0AA0F

12.5kN A 00.25P0.25P6.00A0M

450kNP3 A 0PPPA0F

Z1Z4Z1Z

Z4Z41

X1X1X


Προκαταρκτικές παρατηρήσεις: (1) Στα σημεία 2 και 3 η αξονική δύναμη εμφανίζει θετικό άλμα ίσο με Ρ και η ροπή αρνητικό άλμα ίσο με 0.25Ρ. (2) Στα αφόρτιστα τμήματα 1-2α, 2δ-3α και 3δ-4 η αξονική δύναμη Ν(x) και η τέμνουσα Q(x) είναι σταθερές, η δε ροπή Μ(x) μεταβάλλεται γραμμικά. (3) Ειδικότερα, ελλείψει εγκάρσιας φόρτισης, η τέμνουσα Q(x) είναι σταθερή σε όλο το μήκος της δοκού.

Ακολουθεί η κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας για επιλεγμένα τμήματα της δοκού:

Σημείο 1:

X 1

11

Z Z1 1

1

F 0 N 450kN

M 0 M 0

F 0 A Q 0

Q 12.50kN

Σημείο 2α:

12.50kNQ0F

25.00kNmM

2.0012.5M0M

450kNN0F

2αZ

2α

2α2α

2αX

X

Z4

32

1

2.00

P=150kN0.25

2.002.00

6.00

P=150kN

P=150kN

Z1A

AX1

A Z4

3α 3δ2δ2α

1N

A =12.5kN1Q

Z1

1M

A =450kNX1

2.00

N

M2α

Q2α

2α

12.5kN

450kN

2α


2-44

Σημείο 2δ:

12.50kNQ0F

300kNN

0150450N0F

2δZ

2δ

2δX

12.5kNmM

00.251502.0012.5M0M

2δ

2δ2δ

Σημείο 3α:

12.50kNQQ0F

300kNNN0F

2δ3αZ

2δ3αX

12.50kNm2.0012.5012.50M

2.00QMM0M

3α

2δ2δ3α3α

Σημείο 3δ:

12.50kNQQ0F

150kNN

150NN0F

3α3δZ

3δ

3α3δX

25.00kNm37.512.50M

0.25PMM0M

3δ

3α3δ3

Σημείο 4:

0M0M

12.50kNAQ0F

150kNN0F

44

Z44Z

4X

Λαμβάνοντας υπόψη

• ότι ελλείψει εγκάρσιου φορτίου η τέμνουσα είναι σταθερή σε όλο το μήκος της δοκού,

• ότι στα σημεία 2 και 3 η αξονική δύναμη εμφανίζει θετικό άλμα ίσο με Ρ και η ροπή κάμψης αρνητικό άλμα ίσο με 0.25•Ρ και

• ότι στα αφόρτιστα τμήματα 1-2α, 2δ-3α, και 3δ-4 η αξονική δύναμη Ν(x) είναι σταθερή, η δε ροπή Μ(x) μεταβάλλεται γραμμικά εφόσον η τέμνουσα είναι σταθερή,

μπορούμε να σχεδιάσουμε τα διαγράμματα των φορτίων διατομής.

Q12.5kN

2δ

2.00

450kN N2δ2δ

2δMP=150kN

0.25

2.00

M3α

N3αQ3α

3α2δ

2δN2δQ

2δM

P0.25

3δ

3αN

Q3α3αM

MN3δ

3δ

Q3δ

3α

M4

4

A =-12.50kNZ4

N4

Q

P=150kN


2-45

Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων

Παρατηρήση: Η κλίση της εφαπτομένης, σε οποιοδήποτε σημείο του διαγράμματος των ροπών κάμψης, ισούται με την τέμνουσα στο σημείο αυτό. Στη περίπτωσή μας, η τέμνουσα είναι σταθερή και ίση σε όλα τα σημεία του φορέα. Συνεπώς, οι γραμμικές συναρτήσεις που συνθέτουν το διάγραμμα ροπών έχουν όλες την ίδια κλίση παντού, δηλαδή οι γραμμές του διαγράμματος ροπών είναι παράλληλες μεταξύ τους. Άσκηση H1/4

--

-

-450

-300

-150

N(x) [kN]

Q(x) [kN]

12.50

+ + +

12.50

M(x) [kNm]

12.50

25.0

+

--

+

-25.0-12.50


20kN A 0AA0F

20kN A 03.00609.00A0M

60kN A 060A0F

Z1Z3Z1Z

Z3Z31

X1X1X


• Οι ροπές στα σημεία 1 και 3 είναι μηδενικές λόγω των αρθρώσεων: Μ1=Μ3=0. Επίσης Μ21=Μ23=Μ2, αφού ο κόμβος 2 δεν φορτίζεται με εξωτερική ροπή.

• Ροπή κάμψης στο σημείο 2:

6.00

3.00

3.00

3.00

P=60kN

∏

A Z1

X1A

A Z3


2-46

Με δεδομένες τις τιμές των ροπών στα σημεία 1, 2 και 3, το διάγραμμα ροπών προκύπτει συνδέοντας τις τεταγμένες Μ1=0, Μ2=240kNm και Μ3=0 γραμμικά (βλ. παράγραφο Γ), αφού τα στοιχεία 1-2 και 2-3 είναι αφόρτιστα.

• Λόγω Q(x)=M΄(x), η τέμνουσα εκφράζει την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της Μ(x), όπου x ο τοπικός άξονας του κάθε στοιχείου. Λόγω της γραμμικής μεταβολής της Μ(x), η γωνία κλίσης της, δηλαδή η τέμνουσα, είναι σταθερή για κάθε στοιχείο. Έχουμε:

56.57kN33

2400

L

MMQ:3-2 Στοιχείο

28.28kN66

0240

L

MMQ:2-1 Στοιχείο

2223

2323

2212

1212

Έλεγχος της Q12 (ισορροπία δυνάμεων κατά τον τοπικό άξονα z στον κόμβο 1):

28.28kN222060Q

22AAQ

0cos45Asin45AQ0F

12

Z1X112

oZ1

oX112z

• Από την ισορροπία των δυνάμεων κατά τον τοπικό άξονα x στον κόμβο 1 (βλ. παραπάνω σχήμα) παίρνουμε:

56.57kN222060 22AAN

0sin45Acos45AN0F

Z1X112

oZ1

oX112x

Έλεγχος (ισορροπία του κόμβου 2): Όπως η τέμνουσα, έτσι και η αξονική δύναμη, διατηρείται σταθερή μεταξύ των σημείων 1 και 2, αφού το στοιχείο 1-2 είναι αφόρτιστο. Επομένως, Q21=Q12 και Ν21=Ν12.

N12

Q12

45o

X1A =60kN

Z1A =-20kNx

z

240kNmM

06.00206.0060M

0M

2

2

2

Έλεγχος:

240kNm60180M

03.00203.0060M

0M

2

2

2

-20kN 6.00

6.00

60kN

M2

P=60kN

20kN

3.00

3.00

M2


2-47

56.57kNQN

0QN0F

2321

2321x

Από την ισορροπία κατά τον τοπικό άξονα z παίρνουμε:

28.28kNQQN0F 122123z

Έλεγχος (ισορροπία του κόμβου 3): Επαφίεται ως απλή άσκηση στον αναγνώστη.


∏21Q

N2123N

Q23

x

z

240M(x) [kNm]

Q(x) [kN]

N(x) [kN]

240

+

+

+

28.28 -56.57

-

28.28+

56.57

+


2-48

Άσκηση H1/5

2

1cosαsinα

45α

1.01.0

1.0tgα


Β4 Άσκηση βλ.

14kNA0M

6kNA0M

0A0F

Z14

Z41

X1X


Σημείο 2α:

28kNmM

2.0014M0M

14kNQ0F

0N0F

21

212α

21z

21x

Σημείο 2δ:

28kNmM02.0014M0M

11.31kNQ0cos4514cos4530Q0F

11.31kNN0sin4514sin4530N0F

23232δ

23oo

23z

23oo

23x

Σημείο 3δ:

12kNmM

2.006M0M

6kNQ0F

0N0F

34

343δ

34z

34x

P =10kN2

2.001.002.00

1P =30kN 1.00

AZ1

Z4AαΧ1A

0

2.00

14kN2α

M21

Ν21

21Q

xz

2δ14kN

2.00

x

z

023Q

23ΝM23

P =30kN1

α=45ο

6kN

2.00

3δ34Q

34Ν

M34

xz


2-49


Αφού μεταξύ των κόμβων δεν δρούν εξωτερικά φορτία, τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), N(x) προκύπτουν με γραμμική σύνδεση των υπολογισθεισών τεταγμένων τους στους κόμβους 1, 2, 3 και 4.

Έλεγχος (ισορροπία του κόμβου 3):

010615.99

1062111.312111.31

PQcos45Qsin45NF

02111.312111.31

Nsin45Qcos45NF

01212MMM

234o

32o

32Z

34o

32o

32X

32343

2828

12

M(x) [kNm]

+

+

+

+

14

-11.31

Q(x) [kN]

-6-

-

11.31

+

N(x) [kN] 0

0

43

21

43

21

4

2

1

3

2P =10kN

34Q

34Ν

M34

32Ν

Q32

M32

οα=45

3


2-50

2.2.2 Πρόβολοι (Ομάδα Η2) Για τους παρακάτω φορείς-προβόλους ευθύγραμμης, τεθλασμένης και καμπύλης γεωμετρίας, να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), N(x).

(βλ. Άσκηση Β1)


H2/2

H2/1

3.00

0.50 0.501.00 0.500.50

q=10kN/m

0.50

P =20kNX

P =10kNZ

X

Z

X

Z

12

21

Ως πρόβολος θα μπορούσε να προσομοιωθεί απλουστευτικά και το απεικονιζόμενο τμήμα μιας οδογέφυρας στη φάση κατασκευής (προβολοδόμηση).


2-51


Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση B1)

15kNmM 03.003

13.0010

2

1M0M

15kN A 03.00102

1A0F

0A0F

Π1Π11

Z1Z1Z

X1X


Σημείο 1:

15kNAQ0F

15kNmMM0M

0AN0F

Z11Z

Π111

X11X

Σημείο 2: Ν2=0, Q2=0, M2=0

(Ελεύθερο άκρο χωρίς συγκεντρωμένα φορτία)

Παρατηρήσεις:

• Λόγω ΑΧ1=0 και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν(x) είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού, δηλαδή για όλα τα x).

• Λόγω του τριγωνικού φορτίου q(x), το διάγραμμα της τέμνουσας Q(x)=-∫q(x) dx είναι μία παραβολή 2ου βαθμού που στρέφει τα κοίλα προς τα άνω.

• Λόγω της παραβολικής (2ου βαθμού) μορφής του διαγράμματος τεμνουσών, το διάγραμμα της ροπής M(x)= ∫Q(x) dx είναι μια καμπύλη 3ου βαθμού.

Γ. Υπολογισμός της ακριβούς καμπύλης των διαγραμμάτων Q(x), M(x)

Θεωρούμε μια διαχωριστική τομή σε τυχούσα θέση Α μεταξύ των σημείων 1 και 2 και καταστρώνουμε τις συνθήκες ισορροπίας για το δεξιό ή για το αριστερό τμήμα του φορέα. Π.χ. οι συνθήκες ισορροπίας για το δεξιό τμήμα Α-2 μας δίνουν:

32x

22Z

x9

5xM0x

3

1x

3

5xM0M

x3

5xQ0x

3

5xQ0F

q=10kN/m

3.00

AX1

AZ1

Π1Μ

15kNm0

15kN

N1

1Q

1M

M(x)

Q(x)x / 3

3 - x=x

35 2∏ xR=

x

A

10∏

q

3.00

∏=

xx

3

2

X

Z


2-52

Δ. Σχεδίαση διαγραμμάτων

Άσκηση H2/2

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση B2)

Λόγω της δράσης του οριζόντιου φορτίου Ρx

0M0M

0A0F

20kNPA0PA0F

Π11

Z1Z

XX1XX1X

Λόγω της δράσης του κατακόρυφου φορτίου ΡZ

30kNmM03.00PM0M

10kNPA0PA0F

0A0F

Π1ZΠ11

ZZ1ZZ1Z

X1X


Σημ.: Χάριν μεγαλύτερης ακρίβειας των αποτελεσμάτων οι παρακάτω υπολογισμοί γίνονται με 3 ψηφία μετά το κόμμα.

Με γνωστές ήδη τις αντιδράσεις στήριξης, ξεκινάμε με τομή στο σημείο 1 και προχωρούμε

-15

-

καμπύλη3 βαθμούου

M(x) [kNm]

Q(x) [kN]2 βαθμούκαμπύληου15

+

N(x) [kN]0

2

2

21

1

1Οριζόντια εφαπτομένη

λόγω Q2 = Q(x=3) = 0

0=q(x=3)λόγω

Οριζόντια εφαπτομένη

XP =20kN

0.501.00 0.500.50 0.50

ZP =10kN

0.50

Z1A

AX1

Π1Μ A

45o o45

∏ ∏


2-53

συστηματικά προς τα δεξιά.

Σημείο 1:

(α) Λόγω PX

0Q0F

0M0M

20kNAN0F

1Z

11

X11X

(β) Λόγω PZ

10kNQ0AQ0F

30kNmM0MM0M

0N0F

1Z11Z

1Π111

1X

Σημείο Αα (σε απειροστή απόσταση αριστερά του σημείου Α):

(α) Λόγω PX

0Q0F

0M0M

20kNAN0F

AαZ

AαAα

X1AαX

(β) Λόγω PZ

10kNAQ0F

20kNm1030M

01.00AMM0M

0N0F

Z1AαZ

Aα

Z1Π1AαAα

AαX

Σημείο Αδ (σε απειροστή απόσταση δεξιά του σημείου Α):

(α) Λόγω PX

0MM0M

14.142kNQΝ

QΝ

0Qcos45Qsin45Ν0F

28.284kN2220QΝ

0Νsin45Qcos45Ν0F

AαAδA

AδAδ

AδAδ

Aαo

Aδo

AδZ

AδAδ

Aαo

Aδo

AδX

-20kN0

0N

1

1

Q

1M

10kN

030kNm

N

1

1

Q

1M

MAα

QAα

AαN

0-20kN

0

1.00

Aα

1

1.00

N

Aα

Aα

Q

AαM

10kN

0

30kNm

Aα

1

flδεξ.

δεξ.δεξ.

A

AA

QAαρ.

αρ.A

M

Q N

45o

Mαρ.NA

A

QNA

αρ.

αρ.AM

MAδεξ.

Ao

QAαρ.

45

NAδεξ.

δεξ.A


2-54

(β) Λόγω PZ

20kNmMM0M

7.071kNQΝ

14.142kN2210QΝ

0Qcos45Qsin45Ν0F

QΝ

0Νsin45Qcos45Ν0F

AαAδA

AδAδ

AδAδ

Aαo

Aδo

AδZ

AδAδ

Aαo

Aδo

AδX

Σημείο 2:

(α) Λόγω PX

0M0M

14.142kNN

14.142kNQ

QΝ

0cos45Qsin45Ν0F

28.284kNQΝ

0Psin45Qcos45Ν0F

22

2

2

22

o2

o2Z

22

Xo

2o

2X

(β) Λόγω PZ

0M0M

7.071kNQ

7.071kNΝ

14.142kN2210QΝ

0Pcos45Qsin45Ν0F

QΝ

0sin45Qcos45Ν0F

22

2

2

22

Zo

2o

2Z

22

o2

o2X

Τα M(x), Q(x) και N(x) στα υπόλοιπα χαρακτηριστικά σημεία του φορέα υπολογίζονται κατά τον ίδιο τρόπο με αυτόν που παρουσιάστηκε πιο πάνω. Ο υπολογισμός τους επαφίεται ως απλή εξάσκηση στον αναγνώστη.

Ο υπολογισμός των φορτίων διατομής θα μπορούσε να γίνει και χωρίς προηγούμενο υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης, ξεκινώντας με θεώρηση της ισορροπίας του ελεύθερου άκρου 2 και προχωρώντας στη συνέχεια προς τα αριστερά μέχρι και την πάκτωση 1.

Γενική παρατήρηση σχετικά με τα διαγράμματα M(x), Q(x) και N(x):

Εφόσον η φόρτιση του φορέα συνίσταται αποκλειστικά από τα δύο συγκεντρωμένα φορτία στο ελεύθερο άκρο 2, τα δομικά στοιχεία του φορέα είναι όλα αφόρτιστα μεταξύ των κόμβων τους. Κατά συνέπεια, η τέμνουσα και η αξονική δύναμη είναι σταθερές σε κάθε στοιχείο ενώ η ροπή τους μεταβάλλεται γραμμικά.

M

Q

2N2

2

XP =20kN

P =10kNZ

2Q

2NM2


2-55


P =20kNX

-10 -10

0

-5

-30

-20

-20

-15

-10-10

M(x) [kNm]

ZP =10kN

- -

-

--

0 -

XP =20kN

+

-

+

-14.142

14.142

-14.142

14.142

Q(x) [kN]

10

7.071

+ +

P =10kNZ

++

+

7.071

7.071

+

ZP =10kN

+

- -

-14.142XP =20kN

N(x) [kN]

-14.142-

-20

-14.142

0 -

-7.071

-

-7.071

7.071


2-56

2.2.3 Μονο- και αμφιπροέχουσες δοκοί (Ομάδα Η3) Για τις παρακάτω μονο- και αμφιπροέχουσες δοκούς ευθύγραμμης και τεθλασμένης γεωμετρίας, να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), N(x). Στις περιπτώσεις αλλαγής προσήμου της τέμνουσας Q(x), να προσδιοριστεί η θέση x0 διέλευσης του διαγράμματός της δια του μηδενός και να υπολογιστεί η τιμή της μέγιστης ροπής maxM.

H3/4

H3/1

H3/2

H3/3

q=20kN/m

3.00 1.50

2.002.00

3.00

1.00

q=10kN/m LM =3kNm

q =8kN/m3

2.00 6.00 1.501.50

q =15kN/m2

q1=10kN/m

PZ3=25kN

4.00

στάθμη ύδατος

6.00

h

Να υπολογιστεί η στάθμη του ύδατος h έτσι ώστε

minM = maxM στο τμήμα 1-2.

2

4

1

3

5

4

321

1

3

42

32

1



X

Z

X

Z

Z

X

Z

X


2-57


Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση Β3)

7.5A0AA1.50200F

37.5A02

1.503.001.50203.00A0M

0A0F

Z1Z2Z1Z

Z2Z21

X1X

Β. Υπολογισμός των M(x), Q(x), N(x) σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές

• Ροπές κάμψης Μ(x)

Για ευνόητους λόγους οι ροπές στα σημεία 1 και 3 είναι μηδενικές. Επίσης,, ισχύει προφανώς:

Μ21=Μ23=Μ2.

Σημείο 2:

22.5kNmM

021.501.5020M

0M

2

2

2

Με βάση τα παραπάνω προκύπτει κατ’ αρχάς η κλείουσα του διαγράμματος Μ(x) που συνδέει ευθύγραμμα τις τεταγμένες Μ1=0, Μ2=-22.5kNm και Μ3=0 των σημείων 1, 2 και 3 αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ(x) παρακάτω).

Στο αφόρτιστο τμήμα 1-2 το διάγραμμα M(x) είναι γραμμικό και, συνεπώς, ταυτίζεται με την κλείουσα.

Στο φορτισμένο τμήμα 2-3 το διάγραμμα Μ(x) είναι παραβολικό (παραβολή 2ου βαθμού) και προκύπτει με «κρέμασμα» (επαλληλία, πρόσθεση) του διαγράμματος Μομολ(x) μιας ομόλογης δοκού, δηλαδή μιας αμφιέρειστης δοκού μήκους 1.50m με εγκάρσιο φορτίο q=20kN/m. Στο μέσον Α του τμήματος 2-3 η τελική ροπή θα είναι:

5.625kNm5.62511.2581.50202MM 22A

• Τέμνουσες δυνάμεις Q(x)

Από την συνθήκη ισορροπίας ΣFX=0 στον κόμβο 1 προκύπτει άμεσα: 1 Z1Q A 7.5kN.

Η ίδια τιμή προκύπτει και για την Q21, όπως άμεσα συνάγεται από την ισορροπία ΣFX=0 για το αφόρτιστο τμήμα 1-2:

7.5kNQ

0AQ0F

21

Z121Z

Επομένως, η τέμνουσα είναι σταθερή και ίση με -7.5kN σε όλο το τμήμα 1-2. Το συμπέρασμα αυ-τό προκύπτει άμεσα και από το γεγονός ότι η ροπή στο τμήμα 1-2 μεταβάλλεται γραμμικά και, κα-τά συνέπεια, η τέμνουσα Q(x)=M΄(x), ως πρώτη παράγωγος της ροπής, είναι σταθερή και ίση με:

7.50kN3.00

022.5

L

MMQ

12

1212

1.503.00

q=20kN/m

AΧ1

Z1AAZ2

2M

q=20kN/m

1.50

3.00

-7.50

021Q

2

1


2-58

Η τέμνουσα Q23 δεξιά του κόμβου 2 προκύπτει από τη συνθήκη ισορροπίας ΣFZ=0 για το τμήμα 2-3:

30kNQ01.5020Q0F 2323Z

Η τέμνουσα στο άκρο του προβόλου είναι, προφανώς, μηδενική: Q3=0.

Το φορτίο του τμήματος 2-3 είναι σταθερό και, συνεπώς, η τέμνουσα, ως ολοκλήρωμα του (αρνητικού) φορτίου (Q΄(x)=-q(x)), μεταβάλλεται στο τμήμα αυτό γραμμικά από Q23=30kN σε Q3=0. Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει άμεσα και από το γεγονός ότι η ροπή στο τμήμα 2-3 μεταβάλλεται παραβολικά (παραβολή 2ου βαθμού) και κατά συνέπεια η τέμνουσα Q(x)=M΄(x), ως πρώτη παράγωγος της ροπής, μεταβάλλεται γραμμικά.

Στο σημείο 2 η ροπή εμφανίζει γόνατο και, συνεπώς, η τέμνουσα εμφανίζει άλμα. Το άλμα αυτό πρέπει να ισούται με το μέγεθος της αντίδρασης ΑZ2. Πράγματι, καταστρώνοντας την συνθήκη ισορροπίας ΣFX=0 στον κόμβο 2 παίρνουμε:

030.037.57.5QAQ0F 23Z221Z

• Αξονικές δυνάμεις Ν(x)

Όπως εύκολα αντιλαμβάνεται ο αναγνώστης, από τη συνθήκη ισορροπίας ΣFX=0 για οποιοδήποτε τμήμα του δεδομένου φορέα προκύπτει N(x)=0, δηλαδή σε όλα τα σημεία x του φορέα η αξονική δύναμη είναι ίση με το μηδέν.


23Q

1.50

q=20kN/m

Z2A

Q2321Q2

-22.5M(x) [kNm]

-5.625

5.625-

1.50/2

κλείουσα

οριζόντια εφαπτομένη

Q(x) [kN]

-

30

+

-7.5

N(x) [kN]0 0

Α 321

3

3

2

1

1

2


2-59

Άσκηση H3/2

2 212L 2.00 3.00 3.606m

2.00cosθ 0.555

3.6063.00

sinθ 0.8323.606

Σημ.: Xάριν μεγαλύτερης ακρίβειας των αποτελεσμάτων οι

υπολογισμοί γίνονται με τρία ψηφία μετά το κόμμα.

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση Β5)

3kNA0AAcosθ3.606100F

17kNA032

3.606104.00A0M

30kNA0sinθ3.60610A0F

Z1Z3Z1Z

Z3

2

Z31

X1X1X



Στο σημείο 1 ισχύει λόγω της αφόρτισης άρθρωσης Μ1=0.

Ροπή στο σημείο 3: Μ34=Μ32=Μ3.

3kNmM0MM0M 3L33

Ροπή στο σημείο 2: Αποσπώντας το τμήμα 2-3-4 και καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ΣΜ(2)=0 παίρνουμε:

31kNmM

02.00173M

0M

2

2

2

Ροπή στο σημείο 4:

3kNmM0MM0M 4L44

Με βάση τα παραπάνω προκύπτει, κατ’ αρχάς, η κλείουσα του διαγράμματος Μ(x) που συνδέει ευθύγραμμα τις τεταγμένες Μ1=0, Μ2=31kNm, Μ3= -3kNm και Μ4= -3kNm των σημείων 1, 2, 3 και 4 αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ(x) παρακάτω).

Στα αφόρτιστα τμήματα 2-3 και 3-4 το διάγραμμα M(x) είναι γραμμικό και, συνεπώς, ταυτίζεται με την κλείουσα.

Στο φορτισμένο τμήμα 1-2 το διάγραμμα Μ(x) είναι παραβολικό (παραβολή 2ου βαθμού) και προκύπτει με «κρέμασμα» (επαλληλία, πρόσθεση) του διαγράμματος Μομολ(x) μιας ομόλογης

q=10kN/m

3.00

1.002.00 2.00

M =3kNmL

AZ1

Χ1A

AZ3

θ

3.60

6

1.00

M3 ML

M =3kNmL

17kN

1.002.00

2M

4M ML

Ø 0


2-60

δοκού, δηλαδή μίας αμφιέρειστης δοκού μήκους 3.606m με εγκάρσιο φορτίο q=10kN/m στην κλείουσα. Στο μέσον Α του τμήματος 1-2 η τελική ροπή θα είναι:

31.75kNm16.2515.583.606102MM 22A

Η μέγιστη ροπή maxM και το σημείο στο οποίο αναπτύσσεται θα υπολογιστούν πιο κάτω με την βοήθεια των τεμνουσών δυνάμεων.

• Τέμνουσες και αξονικές δυνάμεις

Σημείο 1:

14.145kNN

0cosθ30sinθ3N0F

1

1x

16.6412.496

26.626kNQ

0sinθ30cosθ3Q0F

1

1z

24.9611.664

Σημείο 2 του τμήματος 1-2: Αποσπάται το τμήμα 2-3-4 και καταστρώνονται γι’ αυτό οι συνθήκες ισορροπίας δυνάμεων κατά την έννοια των τοπικών αξόνων x και z:

14.145kNN

0sinθ17N0F

21

21x

9.430kNQ

0cosθ17Q0F

21

21z

Στο φορτιζόμενο τμήμα 1-2 η ροπή μεταβάλλεται παραβολικά και συνεπώς η τέμνουσα Q(x)=M΄(x), ως πρώτη παράγωγος της ροπής, μεταβάλλεται γραμμικά από Q1=26.626kN σε Q21=-9.430kN.

Η τέμνουσα αλλάζει πρόσημο μεταξύ των σημείων 1 και 2. Το σημείο μηδενισμού Β υπολογίζεται από τη γεωμετρία:

2.663mx

9.43026.626

3.606

26.626

x

0

0

Λόγω M΄(x)=Q(x), στο σημείο μηδενισμού της τέμνουσας εμφανίζεται η μέγιστη ροπή maxM. Η τιμή της προκύπτει από την ισορροπία ροπών για το τμήμα 1-Β:

35.446kNmmaxM

2

xx10sinθx30

cosθx3maxM

0M

000

0

2

3kN

30kNθ

N1

Q1

θ

θx

z

θ

M =3kNmL

17kNN21

Q21

xz

θ

3.60

6

26.626

+

-

-9.430

1

2

Βx 0

3kN

30kN

θ

10kN/m

maxM

Q =0B

B

x sinθ∏0

x 0

x0 cosθ∏


2-61

Στο αφόρτιστο τμήμα 2-3, όπου η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά, η τέμνουσα Q(x)=M΄(x) είναι σταθερή και ίση με:

17kN2.00

313

L

MMQ

23

2323

δηλαδή είναι κατ΄ απόλυτη τιμή ίση, ως όφειλε, με την αντίδραση ΑΖ3.

Στο αφόρτιστο τμήμα 3-4, όπου η ροπή είναι σταθερή, η τέμνουσα Q(x)=M΄(x) είναι μηδενική.

Στο αφόρτιστο αξονικά τμήμα 1-2 η αξονική δύναμη είναι σταθερή και ίση με Ν1=Ν21=14.145kN.

Στα τμήματα 2-3 και 3-4 η αξονική δύναμη είναι μηδενική, όπως εύκολα μπορεί να επαληθεύσει ο αναγνώστης διενεργώντας διαχωριστικές τομές και καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ΣFΧ=0.


Έλεγχος: Ισορροπία κόμβου 2

0cosθ9.43sinθ14.145QF

0sinθ9.43cosθ14.145NF

5.23111.76917

7.8467.8460

23Z

23X

maxM=35.446

κλείουσα

3.60

6/22.

663

+

+

31

=16.2510 8∏ 2 /3.606

-3-

15.5

M(x) [kNm]

Q(x) [kN]

2.66

3

-17

+

-

-

26.626

-9.430

N(x) [kN]

+

14.145

0 0

04

32

1

2 34

1

4

3

2

1

θ

=14.14521N Z

X

21Q =-9.430

=-17Q23

23N =0


2-62

Άσκηση H3/3


85.58kNA147AA0147AA

0251.58615210AA0F

61.42kNA0368.56A

02

1.561.581.525

2

6615

2

22106A0M

0A0F

Z2Z4Z2Z4Z2

Z4Z2Z

Z4Z4

Z42

X2X


• Λόγω ΑΧ2=0 και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν(x) είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού, δηλαδή για όλα τα x.


Σημείο 1 και σημείο 5: Στα ελεύθερα άκρα 1 και 5 ισχύει, προφανώς, Μ1=0 και Μ5=0, αφού στα σημεία αυτά δεν ενεργούν εξωτερικές ροπές.

Σημείο 2:

20.0kNmM

022.002.0010M

0M

2

2

2

Σημείο 4:

9.0kNmM

021.501.508M

0M

4

4

4

Σημείο 3:

Αποσπάται το τμήμα 1-3 (τομή αριστερά του σημείου 3 και σε απειροστή απόσταση από αυτό) και καταστρώνεται η συνθήκη ισορροπίας των ροπών ως προς το σημείο 3:

1.502.00

=10kN/m1

q

6.00 1.50

=15kN/m=25kNZ3P2

q

3=8kN/mq

A Z2

X2AZ4A

q =10kN/m1

2.00

2M

q =8kN/m3

1.50

M4

P =25kN

1.50

Z3

M3

q =15kN/m2

q =10kN/m1

085.58kN

2.00

321


2-63

61.50kNmM0128.385016.88M

01.5085.581.5022.002.001021.501.5015M

0M

33

3

3

Με βάση τα παραπάνω, προκύπτει η κλείουσα του διαγράμματος Μ(x) που συνδέει ευθύγραμμα τις τεταγμένες Μ1=0, Μ2= -20.0kNm, Μ3=61.50kNm, Μ4= -9.0kNm και Μ5=0 των σημείων 1, 2, 3, 4 και 5 αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ(x) παρακάτω).

Στο φορτισμένο τμήμα 1-2 το διάγραμμα Μ(x) είναι παραβολικό (2ου βαθμού παραβολή) και προκύπτει με «κρέμασμα» (επαλληλία, πρόσθεση) στην κλείουσα του διαγράμματος Μομολ(x) μιας ομόλογης δοκού (δηλ. μίας αμφιέρειστης δοκού μήκους 2.00m με εγκάρσιο φορτίο q=10kN/m). Στο μέσον του τμήματος 1-2 η τελική ροπή θα είναι:

5.0kNm5.010.08

2.0010

2

MM

22

Με ανάλογο σκεπτικό υπολογίζεται το διάγραμμα Μ(x) για τα φορτισμένα με ομοιόμορφο φορτίο τμήματα 2-3, 3-4 και 4-5. Η ροπή στο μέσον του κάθε τμήματος θα είναι αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ(x) παρακάτω):

2.25kNm8

1.508

2

9

8

1.508

2

MM:54 Τμήμα

64.22kNm8

4.5015

2

961.5

8

4.5015

2

MMM:43 Τμήμα

24.97kNm8

1.5015

2

61.520

8

1.5015

2

MMM:32 Τμήμα

224

2243

2232

Η μέγιστη ροπή maxM αναπτύσσεται στο τμήμα 3-4, διότι στο τμήμα αυτό, όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω, η τέμνουσα διέρχεται δια του μηδενός.

• Τέμνουσες δυνάμεις Q(x)

Σημείο 1 και σημείο 5: Στα ελεύθερα άκρα 1 και 5 ισχύει προφανώς Q1=0 και Q5=0, αφού στα σημεία αυτά δεν ενεργούν εξωτερικές κατακόρυφες δυνάμεις.

Σημείο 2 του τμήματος 1-2: Αποσπάται το τμήμα 1-2 (τομή στο σημείο 2α, δηλαδή αριστερά της στήριξης 2 και σε απειροστή απόσταση από αυτήν) και καταστρώνεται για το τμήμα αυτό η συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων ΣFZ=0:

20kNQ

02.0010Q0F

21

21Z

Σημείο 2 του τμήματος 2-3:

Z 23 21 23 23F 0 Q Q 85.58 0 Q 20 85.58 Q 65.58kN

Σημείο 3: Στο σημείο 3, λόγω της ύπαρξης του συγκεντρωμένου φορτίου PZ3 , το διάγραμμα των τεμνουσών δυνάμεων κάνει άλμα ίσο με την τιμή του φορτίου (PZ3=25kN). Κατ’ αρχάς, υπολογίζεται η τιμή της τέμνουσας Q3α=Q32 αριστερά του σημείου 3 από τη συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων ΣFZ=0 για το αποσπώμενο τμήμα 2-3:

21Q

2.00

1q =10kN/m

85.58kN

23Q21Q =-20kN

2


2-64

43.08kNQ

065.581.5015Q0F

3α

3αZ

Και, έπειτα, υπολογίζεται η τιμή της τέμνουσας Q3δ=Q34 δεξιά του σημείου 3 από τη συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων ΣFZ=0 για τον αποσπώμενο κόμβο 3:

18.08kN2543.08Q

025QQ0F

3δ

3α3δZ

Σημείο 4 του τμήματος 3-4: Αποσπάται το τμήμα 3-4 (τομή στο σημείο 3δ, δηλαδή δεξιά της στήριξης 3 και σε απειροστή απόσταση από αυτήν) και καταστρώνεται για το τμήμα αυτό η συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων ΣFZ=0:

49.42kN67.50QQ04.5015QQ0F 3δ433δ43Z

Σημείο 4 του τμήματος 4-5:

12kNQ61.4249.42Q

061.42QQ0F

4545

4345Z

Στο φορτιζόμενο τμήμα 3-4 η ροπή μεταβάλλεται παραβολικά και, συνεπώς, η τέμνουσα Q(x)=M΄(x) μεταβάλλεται γραμμικά από Q3δ=18.08kN σε Q43= -49.42kN.

Διαπιστώνουμε ότι η τέμνουσα αλλάζει πρόσημο μεταξύ των σημείων 3 και 4. Το σημείο Α μηδενισμού της υπολογίζεται από τη γεωμετρία:

1.206mx

49.4218.08

4.50

18.08

x

0

0

Λόγω M΄(x)=Q(x), στο σημείο μηδενισμού της τέμνουσας (σημείο Α) εμφανίζεται η μέγιστη ροπή maxM. Η τιμή της προκύπτει από την ισορροπία ροπών για το τμήμα 3-Α:

72.4kNmmaxM

61.502xx15maxM

0M

00

3

=65.58kNQ23 3αQ

q =15kN/m2

1.5032

P =25kNZ3

Q3δ3αQ =43.08kN3

q =15kN/m2

4.50

=18.08kN3δQ Q43

43

61.42kN

=-49.42kNQ43 45Q4

4.50-49.42kN

18.08kN

+

-x0

A3

4

1.206

2=15kN/mq

=18.08kN3δQ QAA

3M =61.50kNm

=0

maxM

3


2-65


1.50

1.50 /2∏ 815=4.22

/2 84.5015 ∏

=38.0

maxM=72.41.206

+

-20-9

οριζόντια εφαπτομένη

-

61.5

-

2∏ / 82.0010 =58 =2.258/2∏ 1.50

M(x) [kNm]

γόνατο

1.206

+ 25

-20

65.58

43.08

-

18.08

-

-49.42

+ +12

0 0 0

Q(x) [kN]

N(x) [kN]

5

4

3

2

1

1

2

3 4 5

54

3

21

A


2-66

Άσκηση H3/4

Η φόρτιση του φορέα, λόγω του ύδατος, αντιστοιχεί με τα φορτία της υδροστατική πίεσης που δίνονται στο δεξιό παραπάνω σχήμα. Ζητούμενη είναι εκείνη η τιμή h της στάθμης του ύδατος, για την οποία οι τιμές της μέγιστης και της ελάχιστης ροπής στο τμήμα 1-2 συμπίπτουν κατ’ απόλυτη τιμή. Προς τούτο υπολογίζονται πρώτα η maxM και η minM στο τμήμα 1-2 ως συναρτήσεις του h και στη συνέχεια τίθεται |maxM|=|minM|. Η επίλυση της εξίσωσης αυτής ως προς h μας δίνει τη ζητούμενη τιμή. Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης Σημ.: Η γνώση των αντιδράσεων στήριξης δεν απαιτείται για την εύρεση του ζητούμενου h. Οι αντιδράσεις υπολογίζονται εδώ μόνο χάριν πληρότητας.

0A0hq2

1hq

2

1A0F X122X1X

kNh30A03

h5

3

h5h1806.00A

03

hhq

2

1

3

hhq

2

1

2

6.00Lq6.00A0M

Z2

33

Z2

22121Z21

kNh30A0h60h30A

0Lqh30A0LqAA0F

Z1Z1

121Z1121Z2Z1Z

Β. Υπολογισμός των minM και maxM

Ροπές στα σημεία 1 και 2 Παρατηρούμε ότι λόγω της συμμετρίας του φορέα και της φόρτισης, οι ροπές Μ1 και Μ2 πρέπει να είναι ίσες. Επίσης, λόγω του δεδομένου καθορισμού της ίνας αναφοράς και της φοράς του οριζόντιου τριγωνικού φορτίου q2, οι δύο αυτές ροπές θα είναι αρνητικές. Αναλυτικότερα έχουμε:

Σημείο 1 (Υπολογισμός της ελάχιστης ροπής minΜ=M1)

1

1 2 1 2

1

31

M 0

h 1 hM R 0 M q h 0

3 2 3

1 hM 10 h h 0

2 3

5M h kNm

3

1

3

h

26.00

στάθμη ύδατος4

4.00

1.00

X1

Z1AA

h

1

6.00Z2A

2

3 4

q =10 ∏h1

=10q2

h∏ ∏=10q h2

A

X

Z

1

h/3

0

3

1M2

q ∏=10 h

h30 ∏

Z

X

h2R


2-67

Σημείο 2

2

2 2 2 2

32

M 0

h 1 hM R 0 M q h 0

3 2 3

1 h 5M 10 h h h kNm

2 3 3

Βλέπουμε ότι πράγματι ισχύει Μ1=Μ2 και ότι οι ροπές αυτές είναι αρνητικές.

Ροπή στο μέσο του ανοίγματος 1-2 (Υπολογισμός της μέγιστης ροπής maxΜ=MΑ)

Παρατηρούμε ότι εάν το τμήμα 1-2 ήταν αφόρτιστο, η ροπή Μ(x) θα ήταν σ’ αυτό σταθερή και ίση με την Μ1 (= Μ2). Λόγω όμως του ομοιόμορφου φορτίου q, η ροπή στο τμήμα 1-2 μεταβάλλεται παραβολικά και παίρνει τη μέγιστη τιμή της στο μέσο του ανοίγματος (σημείο Α):

kNmh3

5h45

8

6.00h10h

3

5

8

6.00qMMmaxM 3

23

21

1A

Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών ως προς το σημείο Α για το αριστερό ή για το δεξιό τμήμα του φορέα, κάνοντας, όμως, τώρα χρήση της υπολογισθείσας τιμής της αντίδρασης ΑZ1:

kNm3

h5h45M

0h903

h5h45M

0h903

hh51.50h30M

03.00h303

hR1.50RM

0M

3

A

3

A

2A

21A

A

Γ. Υπολογισμός της ζητούμενης στάθμης h

Δεδομένου ότι ζητείται το ύψος h της στάθμης του ύδατος, έτσι ώστε στο τμήμα 1-2 να ισχύει

|maxM|=|minM|, θέτουμε |ΜΑ|=|Μ1| και επιλύουμε ως προς το ζητούμενο h:

λύση τετριμμένη0hβ

3.67mh13.5h10

135h

10

345h

3

h1045

3

h10h45α

3

h5

3

h5h45βή

3

h5

3

h5h45α

3

h5

3

h5h45

MM

22

23

333333

1A

30 h∏

h

22M

2q ∏=10 h

4X

Z

h/3R2

2q

1

h

A∏ h=10

1h∏=10q

3.00

3

30 ∏ h0

R2

MA

h/3

1R

1.50


2-68

2.2.4 Αρθρωτές δοκοί (δοκοί Gerber) (Ομάδα Η4)

Για κάθε μία από τις σημειούμενες φορτίσεις της παρακάτω αρθρωτής δοκού

να υπολογιστούν ξεχωριστά τα διαγράμματα ροπών κάμψης Μ(x) με τη

μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας. Επίσης, να σχεδιαστεί

ποιοτικά η αντίστοιχη παραμόρφωση (ελαστική γραμμή) του φορέα με βάση

τη σχέση κ(x)=Μ(x)/ΕΙ, όπου κ(x) η καμπυλότητα και ΕΙ η δυσκαμψία της

δοκού (σταθερή σε όλο το μήκος της).

Για την απεικονιζόμενη αρθρωτή δοκό να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα

διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), N(x) με:

α) τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας,

β) τη μέθοδο των αντιδράσεων στήριξης στις αρθρώσεις και

γ) τη μέθοδο της προσαρμοζόμενης κλείουσας.

Στις περιπτώσεις αλλαγής προσήμου της τέμνουσας Q(x) να προσδιοριστεί η

θέση x όπου αυτή μηδενίζεται και να υπολογιστεί η τιμή της μέγιστης ροπής

maxM.

H4/2

H4/1

0

3.50

=10kNPX3

2.00

12

3

G1

1.50

5.004.00

2.00

X

Z2

ZP

=5kN/mq

=20kN=15kNP

4

5

X5

1.50

1.50

=20kN

Z

6.01.0 1.0

4.0

12

Z =20kNP

34

LM =10kNm

4.01.0 1.0

4.0

=20kN

5

LM =10kNmPZ

6

2.0

LM =10kNm

PZ

87

X

1.0

109


2-69

ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H4/1 Α. Επίλυση με τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας

Πλήθος φατνωμάτων:

Πλήθος στηρίξεων:

Πλήθος αγνώστων αντιδράσεων στήριξης:

Πλήθος καθολικών συνθηκών ισορροπίας:

m=2

m+1=3

r=m+2=4

3

Απαιτούμενο πλήθος πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας: r-3=1 Διαθέσιμες πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας (πρόσθετες αρθρώσεις): 1 fl Φορέας ισοστατικός

Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης

Πρόσθετη συνθήκη ισορροπίας:

(1) 17.86kNA025.005.0053.50A0M Z4Z4δεξG1, Καθολικές συνθήκες ισορροπίας:

(2) 25kNA01510A0F X1X1X

(3)

05.004.00A

2

5.001.504.005.0054.00A2.00200M

Z4

Z31

Με γνωστή την ΑΖ4 (βλ. (1)) 19.82kNA Z3

(4) 05.00520AAA0F Z4Z3Z1Z

Με γνωστές τις ΑΖ4 και ΑΖ3 (βλ. (1) και (3) αντίστοιχα) 7.32kNA Z1

Σημ.: Με τις επιλεγείσες συνθήκες ισορροπίας και την κατάστρωσή τους με την παραπάνω σειρά, αποφεύχθηκε η αναγκαιότητα επίλυσης συστήματος εξισώσεων. Κάθε μία συνθήκη ισορροπίας μας έδινε την τιμή μιας άγνωστης αντίδρασης, λαμβάνοντας βέβαια υπόψη τις τιμές των προηγουμένως υπολογισθεισών αντιδράσεων.

Σχεδίαση διαγραμμάτων

Για τη σχεδίαση του διαγράμματος Μ(x) υπολογίζονται οι τιμές της ροπής στα σημεία 2, 3 και 4 καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών σε κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα ως εξής:

X

Z2

2.00

1

Z

P

4

=10kNPX3

1.50

2 3

2.00

G1

3.50

=20kN

=5kN/mq

=15kNP

5

X5

1.50

A Z1

X1A

Z3A Z4A


2-70

Τμήμα 1-2:

14.64kNmM

02.00AM0M

2

Z12αριστ2,

Τμήμα 1-3:

10.72kNmM

02.00204.00AM

0M

3

Z13

αριστ3,

Τμήμα 4-5:

5.63kNmM

021.501.505M

0M

4

4

δεξ4,

Λόγω QG1-4>0 (βλ. επόμενο σχήμα) και Q4-G1<0, η μέγιστη ροπή κάμψης εμφανίζεται στο τμήμα G1-4 και υπολογίζεται ως εξής:

7.14kNQ

05.632

3.5053.50Q

0M

G1

2

G1

4

1.43m5

7.14

5

Qx

0x5Q

0F

G10

0G1

Z

5.10kNmmaxM

01.437.142

1.435maxM

0M

2

A

- Το διάγραμμα ροπών είναι προφανώς γραμμικό στο τμήμα 1-2-3-G1 και δίνεται στο παρακάτω σχήμα.

- Στο ίδιο σχήμα δίνεται και το διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων Q(x), το οποίο υπολογίζεται κατά τα γνωστά, και μάλιστα πολύ γρήγορα κάνοντας χρήση της διαφορικής σχέσης Q(x)=M΄(x).

- Τέλος, το διάγραμμα αξονικών δυνάμεων Ν(x) υπολογίζεται εύκολα βάσει της συνθήκης ισορροπίας ΣFΧ=0. Είναι προφανές ότι στο τμήμα 1 έως 3 του φορέα η αξονική δύναμη είναι σταθερή και ίση με ΑX1. Λόγω του μοναχικού αξονικού φορτίου ΡΧ3=10kN, η αξονική δύναμη στο τμήμα 3 έως 5 του

25kN

7.32kN

1 2

2M

2.00

2.002.00

1 2

=20kNPZ2

3

M3

7.32kN

25kN

X5P

1.50

54

=15kN4M

=5kN/mq

G1

3.50

4

q=5kN/m

G1Q Q4G1

4MMG1( 0)

)0( G1M-5.63

=7.663.50∏5 82/

x0

maxM=5.10

+

-

0x

7.14kN

maxM

AQA

=0

=5kN/mq


2-71

φορέα μειώνεται κατά 10kN, είναι δηλαδή ίση με AX1-10=25-10=15kN. Η τιμή αυτή συμπίπτει, προφανώς, με την τιμή του μοναχικού αξονικού φορτίου ΡΧ5=15kN.

Διαγράμματα Μ(x), Q(x), N(x):

Β. Επίλυση με τη μέθοδο των αντιδράσεων στήριξης στις αρθρώσεις

Οι υπολογισμοί ξεκινούν από το ανώτατο λειτουργικό επίπεδο (εδώ: δίσκος ΙΙ) και προχωρούν προς το κατώτατο (εδώ: δίσκος Ι).

2

1

G1

3

5

4

-5.63

5.10

+

7.66

-

1.41

-10.72

-

+

14.64

M(x) [kNm]

-12.68

+

1

Q(x) [kN]

2 43

7.32

G1

7.5

5

-

20

7.14

+

19.82 -

-10.36

+17.86

25

+

N(x) [kN]

12 G1

10

5

15

3 4

+

2.00

A X1

Z1A

21

2.00

=20kNP

Z

Z2

X

X5P

X3P =10kN

A Z3

∆ίσκος ΙΙ

G1

3

1.50

A Z4

1.50

5

3.50

4

q=5kN/m

=15kN

A G1X

A G1X

A G1Z

∆ίσκος Ι

G1

Λειτουργικό σκαρίφημα:


2-72

7.14kNA0AA1.503.5050F

17.86kNA02

1.503.5053.50A0M

15kNA015A0F

II ∆ίσκος

G1ZZ4G1ZZ

Z4

2

Z4G1

G1XG1XX

7.32kNA0AA20A0F

19.82kNA01.504.00A4.00A2.00200M

25kNA0A10A0F

I ∆ίσκος

Z1Z3G1ZZ1Z

Z3G1ZZ31

X1G1XX1X

Διαπιστώνουμε ότι τα αποτελέσματα για τις αντιδράσεις AX1, AZ1, AZ3, AZ4 ταυτίζονται με τα αποτελέσματα της προηγούμενης επίλυσης με τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας. Κατά συνέπεια, θα υπάρχει ταύτιση και των διαγραμμάτων M(x), Q(x), N(x), τα οποία εδώ μπορούμε να υπολογίσουμε ξεχωριστά για το δίσκο Ι και τον δίσκο ΙΙ, αφού είναι γνωστές οι αντιδράσεις AG1X, AG1Z στην άρθρωση G1.

Γ. Επίλυση με τη μέθοδο της προσαρμοζόμενης κλείουσας

Για κάθε τμήμα της αρθρωτής δοκού μεταξύ δύο διαδοχικών στηρίξεών της (τμήμα 1-3 και τμήμα 3-4) υπολογίζουμε και σχεδιάζουμε τα διαγράμματα ροπών των αντίστοιχων ομόλογων αμφιέρειστων δοκών (Σημ.: Το τμήμα 4-5 αποκόπτεται και η καμπτική του επιρροή επί της λοιπής δοκού υποκαθίσταται από το φορτίο ΜL4=(5·1.50)·(1.50/2)=5.63kNm).

2.00

Z1,ομόλ1A

2

2.00

=20kNP

Z

Z2

X

X5PX3

P =10kN

G13

1.50 1.50

5

3.50

4

q=5kN/m

=15kN

12

Z2P =20kN

3

=5kN/mq

=10kNPX3

Ομόλογες δοκοί:

4

Ομόλογη 1 Ομόλογη 2

P =15kNX5

L4 =5.63kNmΜ

Z3,ομόλ2A

2.00 2.00

∏/2 85 ∏ 3.50

=7.66MG1,ομόλ =7.50

++

- -5.63

=202,ομόλM

[kNm]M(x),ομόλ

1

Z4=5P =7.50kN∏1.50


2-73

20kNmM0M2.00A0M

10kNA02.00P4.00A0M

1 δοκός Ομόλογη

ομόλ.2,ομόλ.2,ομόλ1Z1,2

ομόλ1Z1,Z2ομόλ1Z1,3

7.5kNmM0M1.50A0M

5kNA02

3.505M5.00A0M

2 δοκός Ομόλογη

G1,G1,Z3,G1

Z3,

2

L4Z3,4

ομόλ.ομόλ.ομόλ2

ομόλ2ομόλ2

Παρατηρούμε ότι η τεταγμένη MG1,ομολ του διαγράμματος ροπών της ομόλογης δοκού 2 στη θέση της άρθρωσης G1 της δεδομένης αρθρωτής δοκού δεν είναι μηδενική, όπως πρέπει να είναι στο τελικό διάγραμμα ροπών της αρθρωτής δοκού αλλά έχει την πεπερασμένη τιμή 7.50kNm. Προκειμένου η τεταγμένη αυτή να μηδενιστεί, χαράσσουμε την κλείουσα ως εξής (βλ. παρακάτω σχήμα):

Εφόσον η πρώτη (και μοναδική) άρθρωση G1 βρίσκεται μεταξύ των στηρίξεων 3 και 4, δηλαδή στο δεξιό φάτνωμα της αρθρωτής δοκού, ξεκινάμε από το δεξιό της άκρο 4 και ενώνουμε ευθύγραμμα την τεταγμένη Μ4=0 με την τεταγμένη ΜG1,ομολ, συνεχίζοντας την ευθεία μέχρι τη στήριξη 3. Προσδιορίζουμε, έτσι, με γεωμετρικό τρόπο την τεταγμένη Μ3, που είναι η τελική ροπή στη στήριξη 3.

Σημείωση: Για τον γεωμετρικό προσδιορισμό της Μ3, η τεταγμένη στο σημείο 4 θεωρείται μηδενική και όχι ίση με ΜL4=, διότι η ύπαρξη του φορτίου ΜL4 έχει ληφθεί υπόψη στον υπολογισμό της ΜG1,ομολ. Ο αναγνώστης μπορεί να καταλάβει καλύτερα το σημείο αυτό, αν υπολογίσει την Μ3 ανεξάρτητα για κάθε ένα από τα δύο φορτία q και ΜL4, και κατόπιν αθροίσει τα αποτελέσματα.

G1,ομόλ.33 3 G1,ομόλ. 3

MM 5.00 5.00Υπολογισμός της Μ γεωμετρικά : M M M 7.50 10.71kNm

5.00 3.50 3.50 3.50

Σημείωση: Η μικρή διαφορά έναντι της τιμής |Μ3|=10.72kNm που υπολογίστηκε προηγουμένως (βλ. υποπαραγράφους Α και Β), οφείλεται στις αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα. Έτσι, π.χ. η ροπή ΜL4 δεν είναι ακριβώς ίση με 5.63kNm, αλλά με q·(1.50)2/2=5.625kNm.

Στη συνέχεια, ενώνουμε ευθύγραμμα την τεταγμένη Μ3 με την τεταγμένη Μ1 του επόμενου προς τα αριστερά και τελευταίου σημείου στήριξης 1, ολοκληρώνοντας, έτσι, κατ’ αρχάς τη σχεδίαση της μη προσαρμοσμένης ακόμη κλείουσας.

Τέλος, επανασχεδιάζουμε το διάγραμμα ροπών τοποθετώντας τον άξονα τετμημένων έτσι ώστε η τεταγμένη MG1,ομολ να μηδενίζεται, δηλαδή MG1,ομολ =0. Με αυτήν την προσαρμογή παίρνουμε το τελικό διάγραμμα ροπών της αρθρωτής δοκού:

Το διάγραμμα Q(x) προκύπτει από το διάγραμμα Μ(x) κατά τα γνωστά.

ομόλM(x), [kNm]

M2,ομόλ=20

+

∏ -5.63-

+

=7.50G1,ομόλM∏

4

32 G11

M3

+ 7.665.10

431

14.64

2

M(x) [kNm]

-5.63

-10.72

-

+G1

-

2.00 2.00

20

7.50


2-74

Άσκηση H4/2 Επίλυση με τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας

Πλήθος φατνωμάτων:

Πλήθος στηρίξεων:

Πλήθος αγνώστων αντιδράσεων στήριξης:

Πλήθος καθολικών συνθηκών ισορροπίας:

m = 4

m+1 = 5

r = m+2=6

3

Απαιτούμενο πλήθος πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας: r-3 = 3

Διαθέσιμες πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας (πρόσθετες αρθρώσεις): 3

fl Φορέας ισοστατικός

Φόρτιση 1.

Πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας

(1) Z9Z8Z9Z8δεξ7, A5A05.00A1.00A0M

(2) Z9Z8Z9Z8δεξ6, A59A09.00A5.00A0M

Από τις (1) και (2) προκύπτουν: 0Aκαι0A Z9Z8

(3) 25kNA05.00204.00A0M Z2Z2 αριστ3,

Καθολικές συνθήκες ισορροπίας

(4) 0A0F X4X

(5)

0.83kNA06.00A5

06.00A1205.0025

06.00A6.00205.00A0M

Z5Z5

Z5

Z5Z24

(6)

5.83kNA0200.83A25

020AAA0F

Z4Z4

Z5Z4Z2Z

A

3

Z

1 2

Z2A

4.01.0

X

4Z4

A X4

1.0 6.0

65

A Z5

1.02.0

8

Z8A

7

4.01.0

10

Z9A

9

1.04.0

=20kNPZP =20kNZ

M =10kNmL

ZP =20kN=10kNmLM

=10kNmLM

X=20kNZ

1.0

ZP

1.04.0 6.0 4.0

1.0 1.04.0

1.0

6 7 8 954

321 10

Z2A A Z5Z4AZ8A Z9A

A X4


2-75

Σχεδίαση διαγράμματος Μ(x) Για τη σχεδίαση του διαγράμματος Μ(x), υπολογίζονται οι τιμές της ροπής στα σημεία 2, 4 και 5 καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών σε κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα:

Τμήμα 1-2:

20kNmM0120M 0M 222, αριστ

Τμήμα 1-4:

5kNmM

06.00205.0025M

0M

4

4

αριστ4,

Τμήμα 5-6:

0 55, M0M δεξ

Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης - ελαστικής γραμμής του φορέα

Λόγω της σχέσης ροπής-καμπυλότητας (κ=Μ/ΕΙ), στις περιοχές αρνητικών/θετικών ροπών η καμπυλότητα είναι αρνητική/θετική ενώ όπου η ροπή είναι μηδενική, η ελαστική γραμμή είναι ευθύγραμμη με μηδενική καμπυλότητα. Εφόσον η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού, αρνητική/θετική καμπυλότητα σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω/άνω.

Φόρτιση 2.


(1) 0A0M Z23, αριστ

(2) Z9Z8Z9Z8δεξ7, A5A05.00A1.00A0M

1ZP

2

2M

1

P =20kNZ

1

1

3

2

25kN4.0 1

4M

4

65

1

M5

1 32 4

6

5

7

8 910

-20

-

+

5

M(x) [kNm]

0 00 0

γόνατο

ευθεία

ευθείαγόνατο

1.0

Z

1.0

1

6.04.01.0

3

A Z2

2 X4A

A Z4

4

2.01.0

4.0

Z5A

5 6 7

ZP =20kNX

4.01.0

A Z8

98

A Z9

10


2-76

(3) Z9Z8Z9Z8δεξ6, A598A02.00209.00A5.00A0M

Από τις (2) και (3) προκύπτουν: 2.5kNAκαι12.5kNA Z9Z8


(4) 0A0F X4X

(5)

11.667kNA0180401506.00A

018016.002.512.0012.56.00A

09.002016.00A12.00A6.00A0M

Z5Z5

Z5

Z9Z8Z54

(6)

1.667kNA0202.512.511.667A

020AAAA0F

Z4Z4

Z9Z8Z5Z4Z

Σχεδίαση διαγράμματος Μ(x)

Στα σημεία 1, 2, 3, 4, 6 και 7 οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Το ίδιο ισχύει και για τα σημεία 9 και 10. Για τα σημεία 5 και 8 οι τιμές της ροπής υπολογίζονται καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών σε κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα:

Τμήμα 3-5:

10kNmM

06.001.667M

0M

5

5

5,

αριστ

Τμήμα 8-10:

10kNmM

04.002.5M

0M

8

8

δεξ8,

Απομένει ο υπολογισμός της ροπής στο σημείο εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης PZ. Το τμήμα 6-7 είναι μια αμφιέρειστη δοκός, η οποία φορτίζεται με το εξωτερικό φορτίο PZ=20kN. Όπως εύκολα μπορεί να επαληθευτεί από τον αναγνώστη, η ροπή στο σημείο εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης, είναι ίση με Μ=ΡΖ·L67/4=20kNm.

Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης (ελαστικής γραμμής) του φορέα

4

-1.667kN

3

1

0

6.0

5

3Q =0M5

8 10

-2.5kN

9

14.0

M8

1 3 7 102 4 5 8 9

6

-10

-

M(x) [kNm]

+

20

-10

-

ευθεία

γόνατο

ευθεία

γόνατο


2-77

Στις περιοχές 1-2-3-4 και 9-10 η ροπή είναι μηδενική και, συνεπώς, λόγω κ=Μ/ΕΙ, η δοκός δεν καμπυλώνεται, αλλά παραμένει ευθύγραμμη.

Στις περιοχές 4-5-6 και 7-8-9 η ροπή είναι αρνητική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται αρνητικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού.

Στην περιοχή 6-7 η ροπή είναι θετική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται θετικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω.

Σημειώνεται, επίσης, ότι η γραμμική μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w(x) θα είναι παραβολή 3ου βαθμού, αφού ισχύει η σχέση κ(x)=-[w(x)]".

Φόρτιση 3.


(1) 0A0M Z2ριστ3, α

(2) Z4Z5Z4Z56, A7A07.00A1.00A0M αριστ

(3) Z4Z5Z4Z57, A511A011.00A5.00A0M αριστ

Από τις (2) και (3) προκύπτουν: 0Aκαι0A Z5Z4


(4) 0A0F X4X

(5) 5kNA01.00204.00A0M Z8Z89

(6) 25kNA020AA0F Z9Z9Z8Z


Στα σημεία 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 10 οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Στο σημείο 9, η ροπή μπορεί να υπολογιστεί πολύ εύκολα και είναι:

Μ9 = -20·1.00 = -20kNm

Z

1.01.0

1

6.04.0 1.0

32

Z2A4

Z4A

A X4

1.0 4.0

65

A Z5

7

4.0 1.0

=20kNPZ

8 9

Z8A

10

Z9A

X

21

M(x) [kNm]

43

5

6

-

8

7

910

-20


2-78


Φόρτιση 4.


(1) Z9Z8Z9Z8δεξ7, A5A05.00A1.00A0M (2) Z9Z8Z9Z8δεξ6, A59A09.00A5.00A0M Από τις (1) και (2) προκύπτουν: 0Aκαι0A Z9Z8

(3) 2.5kNA0104.00A0M Z2Z23, αριστ


(4) 0A0F X4X

(5)

2.083kNA06.00A5.002.5

06.00A10105.00A0M

Z5Z5

Z5Z24

(6)

4.583kNA02.083A2.5

0AAA0F

Z4Z4

Z5Z4Z2Z


Στα σημεία 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 και 10 οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Στην άρθρωση του σημείου 3 η ροπή είναι ίση με Μ3=10kNm, λόγω του γεγονότος ότι εκεί δρα η εξωτερική διπλή ροπή ML=10kNm. Το μοναδικό σημείο στο οποίο θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είναι το σημείο 4:

Τμήμα 1-4:

12.5kNmM

010105.002.5M

0M

4

4

4,

αριστ

ευθεία

γόνατο

1.01.0

1

Z

6.01.04.0

3

=10kNm

A Z2

2

ML

X4A

A Z4

4

4.01.0

Z5A

5 6 7

X

1.04.0

A Z8

98

A Z9

10

=10kNmM

2.5kN

1

1

4.0 1

3

L

2 4

4M


2-79


Στις περιοχές 1-2 και 5-6-7-8-9-10 η ροπή είναι μηδενική και, συνεπώς, λόγω κ=Μ/ΕΙ, η δοκός δεν καμπυλώνεται, αλλά παραμένει ευθύγραμμη.

Στην περιοχή 2-3-4-5 η ροπή είναι θετική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται θετικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού.

Φόρτιση 5.



(2) Z9Z8Z9Z8δεξ7, A5A05.00A1.00A0M (3) Z9Z8Z9Z8δεξ6, A592A0109.00A5.00A0M Από τις (2) και (3) προκύπτουν: 0.625kNAκαι3.125kNA Z9Z8


(4) 0A0F X4X

(5)

4.583kNA01037.56.00A

016.000.62512.003.1256.00A

0101016.00A12.00A6.00A0M

Z5Z5

Z5

Z9Z8Z54

(6)

2.083kNA00.6253.1254.583A

0AAAA0F

Z4Z4

Z9Z8Z5Z4Z


Στα σημεία 1, 2, 3, 4, 7, 9 και 10 οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Στην άρθρωση του

21

M(x) [kNm]

43

5+

6

8

7

910

1012.5

ευθεία

γόνατογόνατοευθεία

1.01.0

1

6.04.0 1.0

32

Z2A4

Z4A

A X4

1.0 4.0

=10kNmLM

65

A Z5

7

Z

X

4.0 1.0

8 9

Z8A

10

Z9A


2-80

σημείου 6 η ροπή είναι ίση με Μ6=10kNm, λόγω του γεγονότος ότι εκεί δρα η εξωτερική διπλή ροπή ML=10kNm. Τα σημεία στα οποία θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είναι τα σημεία 5 και 8:

Τμήμα 8-10:

2.5kNmM

04.000.625M

0M

8

8

δεξ8,

Τμήμα 3-5:

12.5kNmM

06.002.083M

0M

5

5

αριστ5,

Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης του φορέα

Φόρτιση 6.



(2) Z4Z5Z4Z56, A7A07.00A1.00A0M αριστ

(3) Z4Z5Z4Z5αριστ7, A5112A01011.00A5.00A0M Από τις (2) και (3) προκύπτουν: 2.917kNAκαι0.417kNA Z5Z4

1

10

-0.625kN

4.0

9

8M

8

2.083

6.0

4

0 5

=0Q3

3M5

4

12

10

+

M(x) [kNm]

3

12.5

65

7

810

9

-2.5-

γόνατο

γόνατο

ευθεία

γόνατο

ευθεία

=10kNm

1.0

1

1.0

Z M

6.0

3

A Z2

2

4.0

X4A

A Z4

4

1.02.0

Z5A

5 6

1.0

L

7

4.0

X

A Z8

98

4.0

A Z9

10

1.0


2-81


(4) 0A0F X4X

(5)

3.125kNA0106.67229.174.00A

01016.000.41710.002.9174.00A

01016.00A10.00A4.00A0M

Z8Z8

Z8

Z4Z5Z89

(6)

0.625kNA0A3.132.9170.417

0AAAA0F

Z9Z9

Z9Z8Z5Z4Z


Στα σημεία 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9 και 10 οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Τα σημεία στα οποία θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είναι τα σημεία 5 και 8: Τμήμα 3-5:

2.5kNmM

06.000.417M

0M

5

5

αριστ5,

Τμήμα 8-10:

2.5kNmM

04.000.625M

0M

8

8

δεξ8,

Απομένει ο υπολογισμός της ροπής στο σημείο εφαρμογής της εξωτερικής ροπής ΜL. Το τμήμα 6-7 είναι μια αμφιέρειστη δοκός, η οποία φορτίζεται από τη ροπή ΜL=10kNm. Είναι γνωστό ότι στο σημείο εφαρμογής μιας ροπής το διάγραμμα ροπών κάνει «άλμα» ίσο με την τιμή της ροπής αυτής. Ωστόσο, θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είτε δεξιά είτε αριστερά του σημείου εφαρμογής της εξωτερικής ροπής. Όπως εύκολα μπορεί να επαληθευτεί από τον αναγνώστη ως μία μικρή άσκηση, η ροπή δεξιά του σημείου εφαρμογής της εξωτερικής ροπής, είναι ίση με -5kNm.

Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης του φορέα

Στις περιοχές 1-2-3-4 και 9-10 η ροπή είναι μηδενική και, συνεπώς, λόγω κ=Μ/ΕΙ, η δοκός δεν καμπυλώνεται αλλά παραμένει ευθύγραμμη. Στις περιοχές 4-5-6 και στο δεξιό μισό της δοκού 6-7 η ροπή είναι αρνητική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται αρνητικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού. Στο αριστερό μισό της δοκού 6-7 και στην περιοχή 7-8-9 η ροπή είναι θετική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται θετικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω.

3

=0Q34

-0.417

0

6.0

5M

5

0.625kN

8M

8

14.0

9 10

312 4 5

M(x) [kNm]

7

6 8

109

--

+

-2.5

2.55

+

-5

γόνατο

ευθεία ευθείαγόνατο

γόνατο


2-82

2.2.5 Αμφιέρειστα πλαίσια και τόξα (Ομάδα Η5) Για τους παρακάτω αμφιέρειστους πλαισιακούς και τοξωτούς φορείς, να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), N(x). Με βάση την αποκτηθείσα από τις προηγούμενες ασκήσεις πείρα, να γίνει προσπάθεια περιορισμού του πλήθους των διαχωριστικών τομών προς υπολογισμό των φορτίων διατομής, κάνοντας – μεταξύ άλλων – χρήση συλλογισμών που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας.

H5/1

Ζητούνται:

∏ M(x), Q(x), N(x) λόγω Ρ

συναρτήσει των διαστάσεων L και H.

∏ Σκαρίφημα (ποιοτικά)

της παραμορφωμένης κατάστασης

του φορτιζόμενου πλαισίου.

L/2 L/2

H

A

P

4

3

1

2

X

Z

H5/2

H/2

BM

32

X

Z

41

Ζητούνται:

∏ M(x), Q(x), N(x) λόγω M

συναρτήσει των διαστάσεων L και H.


της παραμορφωμένης κατάστασης

του φορτιζόμενου πλαισίου.

L

H/2L

L


2-83

2 3

H5/4

1 4

L

Z

X

1 4

L/2L/2

H5/3

Z

X

2 3

P

A

Ζητούνται:

∏ M(x), Q(x), N(x) λόγω του

ομοιόμορφου φορτίου p

συναρτήσει των διαστάσεων L, H.


της παραμορφωμένης

κατάστασης του

φορτιζόμενου πλαισίου.

∏ Πως μεταβάλλονται ποιοτικά

τα διαγράμματα M(x), Q(x), N(x),

αν αντί του ομοιόμορφου φορτίου

p ο στύλος φορτίζεται με ένα

τριγωνικό φορτίο που αυξάνεται

γραμμικά καθ' ύψος από 0 στον

κόμβο 1 σε p στον κόμβο 2;

Ζητούνται:

∏ M(x), Q(x), N(x) λόγω Ρ και Μ .

∏ Σύγκριση των αποτελεσμάτων

με τα αποτελέσματα των

προηγουμένων ασκήσεων Η5/1

και Η5/2.

ML

B

H/2

H/2

L

P=30kN M =20kNm

H=5.0m L=4.0mL

H

p

(βλ. Άσκηση Ζ2)

1 4

L

p

2

H

3

X

Z


2-84



2PA0AAP0F

2PA02LPLA0M

0A0F

Z1Z4Z1Z

Z4Z41

X1X

Β. Υπολογισμός των M(x), Q(x), N(x)

Στύλοι: Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο 4, η τέμνουσα καθ’ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου 3-4 είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του είναι καθ’ όλο το ύψος του μηδενική.

Λόγω ΑX1=0, η τέμνουσα καθ’ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου 1-2 είναι επίσης μηδενική. Για τις ροπές του στύλου 1-2 ισχύει ό,τι και για το στύλο 3-4.

Οι αξονικές δυνάμεις των δύο στύλων είναι σταθερές καθ’ όλο το ύψος τους, αφού οι στύλοι δεν φέρουν αξονικά φορτία μεταξύ των άκρων τους. Οι τιμές των αξονικών αυτών δυνάμεων πρόκυπτουν από τις ακόλουθες διαχωριστικές τομές:

2PN

0F

12

Z

2PN

0F

43

Z

Ζύγωμα:

Εφόσον οι ροπές των στύλων 1-2 και 3-4 είναι μηδενικές, το ζύγωμα συμπεριφέρεται ως αμφιαρθρωτή δοκός που φορτίζεται με ένα συγκεντρωμένο φορτίο P στο μέσον της. Επομένως, ο υπολογισμός της M(x) και της Q(x) γίνεται κατά τα γνωστά από την απλή αμφιέρειστη δοκό: Στο μέσο του ζυγώματος (σημείο Α) η ροπή είναι ίση με ΜΑ=PL/4 ενώ η τέμνουσα εμφανίζει άλμα ίσο με Ρ. Αριστερά του σημείου Α η τέμνουσα είναι σταθερή και ίση με ΜΑ/(L/2)=Ρ/2 και δεξιά του σημείου Α, επίσης, σταθερή και ίση με -ΜΑ/(L/2)=-Ρ/2.

Η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ’ όλο το μήκος του μηδενική, όπως εύκολα προκύπτει από την ακόλουθη διαχωριστική τομή:

2

1

L/2L/2

4

Z

X

P

A3

H

AZ4

Z1A

X1A

0

Z1A

1

=P/2

N12

4

AZ4 =P/2

43N


2-85

x του τιμή εοποιαδήποτ για

0xN0FX

Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων M(x), Q(x), N(x)

Δ. Σχεδίαση (ποιοτικά) της παραμορφωμένης κατάστασης

Οι δύο στύλοι έχουν μηδενικές ροπές κάμψης και, συνεπώς, λόγω κ(x)=Μ(x)/ΕΙ, δεν καμπυλώνονται, αλλά παραμένουν ευθύγραμμοι.

Στο ζύγωμα η ροπή είναι θετική και συνεπάγεται θετική καμπύλωση, δηλαδή η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά του ζυγώματος. Η γραμμική μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ στο ζύγωμα σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w(x) θα είναι παραβολή 3ου βαθμού, δεδομένου ότι ισχύει η σχέση κ(x) = -[w(x)]".

Σημειώνεται, επίσης, ότι, λόγω της συμμετρίας του διαγράμματος των ροπών κάμψης ως προς κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο του ζυγώματος, η καμπύλωση του ζυγώματος και κατ’ επέκταση η ελαστική του γραμμή θα είναι συμμετρικές.

Τέλος, επισημαίνεται, αν και αυτονόητο, ότι οι ορθές γωνίες μεταξύ ζυγώματος και στύλων στους κόμβους 2 και 3 παραμένουν ορθές και στην παραμορφωμένη κατάσταση του πλαισίου.

X

Z

4

H

3N(x)

x

1

A

PL/4

2

4

3

M(x) [kNm] Q(x) [kN]

1 4

2P/2

A3

+

+

-

-P/2

N(x) [kN]

---P/2

A

-P/2 4

3

1

2

∏

ευθεία ευθεία

α α

παραβολή3 βαθμούου


2-86

Άσκηση H5/2


LMA0AA0F

LMA0LAM0M

0A0F

LZ1Z4Z1Z

LZ4Z4L1

X1X


Στύλοι: Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο 4, η τέμνουσα καθ’ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου 3-4 είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία – λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του 4 – είναι μηδενική στο τμήμα 4-Β ενώ στο τμήμα Β-3 είναι ίση και αντίθετη προς την εξωτερική ροπή ΜL, δηλαδή ίση με –ΜL. Ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει τα παραπάνω με δύο κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας ροπών.

Λόγω ΑΧ1=0, η τέμνουσα καθ’ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου 1-2 είναι, επίσης, μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στον στύλο 1-2, η οποία λόγω της άρθρωσης στο ένα άκρο του είναι καθ’ όλο το ύψος του μηδενική.

Οι αξονικές δυνάμεις στους στύλους είναι ίσες και αντίθετες προς τις αντίστοιχες κατακόρυφες αντιδράσεις ΑΖ1 και ΑΖ4 και παραμένουν σταθερές καθ’ όλο το ύψος των στύλων. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει τα παραπάνω με κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των κατάλληλων συνθηκών ισορροπίας.

Ζύγωμα: Η ροπή στην κορυφή του στύλου 1-2 και, συνεπώς, και στο αριστερό άκρο του ζυγώματος 2-3 είναι μηδενική, δηλαδή Μ2=0.

Η ροπή στην κορυφή του στύλου 3-4 και, συνεπώς, και στο δεξιό άκρο του ζυγώματος 2-3 είναι ίση με –ΜL, δηλαδή Μ3=–ΜL.

Εφόσον το ζύγωμα είναι αφόρτιστο, η διαδρομή της ροπής του είναι γραμμική και, συνεπώς, η διαδρομή της τέμνουσας του είναι σταθερή και ίση με –ΜL/L. Το παραπάνω συμπέρασμα να τεκμηριωθεί από τον αναγνώστη με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής.

Η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ’ όλο το μήκος του μηδενική, όπως εύκολα προκύπτει από την εξής διαχωριστική τομή:

AX1

Z1A

1

X

Z

2

Z4A

4

3

BLMH/2

H/2

L


2-87

x του τιμή εοποιαδήποτ για

0xN0FX



Οι ροπές κάμψης στον αριστερό στύλο 1-2 και στο κάτω μισό Β-4 του δεξιού στύλου είναι μηδενικές και συνεπώς, λόγω κ(x)=Μ(x)/ΕΙ, τα τμήματα αυτά του πλαισίου δεν καμπυλώνονται αλλά παραμένουν ευθύγραμμα.

Στο ζύγωμα 2-3 η ροπή είναι αρνητική και συνεπάγεται αρνητική καμπύλωση, δηλαδή η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά του ζυγώματος.

Λόγω της σχέσης κ(x)=-[w(x)]" που συνδέει την καμπύλωση κ με τη βύθιση w, η γραμμική μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ στο ζύγωμα 2-3 σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w(x) του ζυγώματος θα είναι παραβολή 3ου βαθμού.

Επίσης, η σταθερή ροπή Μ και, συνεπώς, η σταθερή καμπύλωση κ στο επάνω μισό 3-Β του δεξιού στύλου σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w(x) του τμήματος αυτού θα είναι παραβολή 2ου βαθμού και συγκεκριμένα τόξο κύκλου (Σημ.: Είναι γνωστό ότι η καμπύλωση του κύκλου είναι σταθερή).

Σημειώνεται, τέλος, αν και αυτονόητο, ότι οι ορθές γωνίες μεταξύ ζυγώματος και στύλων στους κόμβους 2 και 3 παραμένουν ορθές και στην παραμορφωμένη κατάσταση του πλαισίου.

X

Z

N(x)

4

x

3

HML

B

M(x) [kNm]

1 414

Q(x) [kN] N(x) [kN]

1 4

-M2

32

3 -

-B

-

-

L

B

-M /LL

-M /LL

B+

2

LM /L3

ευθεία

ου3 βαθμούπαραβολή

∏

α α

ευθεία

B

∏

(τόξο κύκλου)καμπύλο τμήμα


2-88

Άσκηση H5/3


10kNA030AA0F

20kNA02.0030204.00A0M

0A0F

Z1Z4Z1Z

Z4Z41

X1X


Στύλοι: Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο 4, η τέμνουσα καθ’ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου 3-4 είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία – λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του 4 – είναι μηδενική στο τμήμα 4-Β ενώ στο τμήμα Β-3 είναι ίση και αντίθετη προς την εξωτερική ροπή ΜL, δηλαδή ίση με -ΜL. Ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει τα παραπάνω με δύο κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας ροπών.

Λόγω ΑΧ1=0, η τέμνουσα καθ’ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου 1-2 είναι, επίσης, μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στον στύλο 1-2, η οποία λόγω της άρθρωσης στο ένα άκρο του είναι καθ’ όλο το ύψος του μηδενική.


Ζύγωμα:

Η ροπή στην κορυφή του στύλου 1-2 και συνεπώς και στο αριστερό άκρο του ζυγώματος 2-3 είναι μηδενική, δηλαδή Μ2=0.

Η ροπή στην κορυφή του στύλου 3-4 και συνεπώς και στο δεξιό άκρο του ζυγώματος 2-3 είναι ίση με -ΜL, δηλαδή Μ3 = -ΜL.

Η ροπή στο σημείο Α, όπου δρα το φορτίο P, μπορεί να υπολογιστεί, π.χ. με τη βοήθεια της ακόλουθης διαχωριστικής τομής:

4

B

A

P

2

X

Z

H/2

H/2LM

3

L/2AZ1

AZ4L/2

1AX1

P=30kN M =20kNm

H=5.0m L=4.0mL


2-89

20kNmM02.0010M

0M

AA

A

Η ροπή στα αφόρτιστα τμήματα του ζυγώματος 2-Α και Α-3 μεταβάλλεται γραμμικά. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει για ποιο λόγο συμβαίνει αυτό.

Η τέμνουσα, ως πρώτη παράγωγος της γραμμικώς μεταβαλλόμενης ροπής, είναι σταθερή με τιμές:

10kN2.00020 στο αριστερό τμήμα 2-Α και

20kN2.002020 στο δεξιό τμήμα Α-3 του ζυγώματος.

Η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ’ όλο το μήκος του μηδενική, όπως ακριβώς και στην Άσκηση Η5/2.


Δ. Σύγκριση με τα αποτελέσματα των Ασκήσεων Η5/1 και Η5/2

Η φόρτιση του πλαισίου της παρούσας Άσκησης Η5/3 συντίθεται από τις επί μέρους φορτίσεις των πλαισίων των Ασκήσεων Η5/1 και Η5/2. Συνεπώς, λόγω της ισχύος της αρχής της επαλληλίας, τα αποτελέσματα της παρούσας Άσκησης προκύπτουν με αλγεβρική άθροιση των αποτελεσμάτων των Ασκήσεων Η5/1 και Η5/2, εάν σ’ αυτά εισαχθούν οι τιμές των εδώ δεδομένων:

L=4.00m, Η=5.00m, P=30kN και ML=20kNm.

Αποτελέσματα Άσκησης Η5/1:

10

2.0010kN

X

A2

Z

MA

B

M(x) [kNm]

1

-

B

4

Q(x) [kN]

1 4

2-

3

-20

-

N(x) [kN]

1

B-

4

3

+

A A+

-20

2

102 3

-

-20-10

A

20

1

A

PL/4

2

4

3

M(x) [kNm] Q(x) [kN]

1 4

2P/2

A3

+

+

-

-P/2

N(x) [kN]

--

-P/2

A

-P/2 4

3

1

2


2-90

Αποτελέσματα Άσκησης Η5/2:

Ως μικρή άσκηση, ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει αριθμητικά τον παραπάνω ισχυρισμό.

Άσκηση H5/4


L2HpA0AA0F

L2HpA02HHpLA0M

HpA0HpA0F

2Z1Z4Z1Z

2Z4Z41

X1X1X


Στύλοι: Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο 4, η τέμνουσα καθ’ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου 3-4 είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του είναι καθ’ όλο το ύψος του μηδενική.

Στον στύλο 1-2, που φορτίζεται με το ομοιόμορφο (σταθερό) φορτίο p, η τέμνουσα, ως ολοκλήρωμα του φορτίου, μεταβάλλεται γραμμικά από p·H στον κόμβο 1 σε 0 στον κόμβο 2, όπως εύκολα προκύπτει με τη βοήθεια της ακόλουθης διαχωριστικής τομής:

0HQ:HxΓια

Hp0Q:0xΓια

xHpxpAxQ

0xQxpA0F

X1

X1X

M(x) [kNm]

1 414

Q(x) [kN] N(x) [kN]

1 4

-M2

32

3 -

-B

-

-

L

B

-M /LL

-M /LL

B+

2

LM /L3

X

Z

41

p

32

H

LA Z1

A Z4

X1A1

A X1

11

p

=p H ∏

Q(x)

Z

Xx


2-91

Η ροπή στο στύλο 1-2, ως ολοκλήρωμα της γραμμικά μεταβαλλόμενης και μειούμενης καθ’ ύψος τέμνουσας, μεταβάλλεται ως παραβολή 2ου βαθμού, με μειούμενη καθ’ ύψος κλίση της εφαπτομένης της, η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα αριστερά, αντίθετα προς το φορτίο p. Λόγω του μηδενισμού της τέμνουσας στην κορυφή 2 του στύλου 1-2, το διάγραμμα ροπών έχει στο σημείο αυτό οριζόντια εφαπτομένη και ισχύει M2=maxM (Υπενθύμιση από τα Μαθηματικά: Η κλίση της εφαπτομένης σε ένα σημείο x0 μιας συνάρτησης f(x) είναι μηδενική, δηλαδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα x, αν η πρώτη παράγωγος f΄(x) της συνάρτησης έχει μηδενική τιμή στο σημείο x0, αν δηλαδή f΄(x0)=0).


Ζύγωμα:

Στο αφόρτιστο ζύγωμα 2-3 οι ροπές μεταβάλλονται γραμμικά από Μ2=p•H2/2 σε Μ3=0.

Η τέμνουσα είναι, ως πρώτη παράγωγος της ροπής, σταθερή και ίση με:

L2HpL2Hp0 22

Τέλος, η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ’ όλο το μήκος μηδενική, όπως εύκολα προκύπτει από την συνθήκη ισορροπίας ΣFX=0 σε κατάλληλη διαχωριστική τομή, π.χ. βλ. Άσκηση Η5/1.



Οι ροπές κάμψης στον δεξιό στύλο 3-4 είναι μηδενικές και, συνεπώς, λόγω κ(x)=Μ(x)/ΕΙ, ο στύλος δεν καμπυλώνονται, αλλά παραμένει ευθύγραμμος.

Στο ζύγωμα 2-3 η ροπή είναι θετική και συνεπάγεται θετική καμπύλωση, δηλαδή η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά του ζυγώματος.

Λόγω της σχέσης κ(x)=-[w(x)]" που συνδέει την καμπύλωση κ με τη βύθιση w, η γραμμική

pH

M(x) [kNm]

+2

1 14

-

4

Q(x) [kN]

1

+

2

-

4

N(x) [kN]

3

+

3


/22

οριζόντιαεφαπτομένη

pH /22

pH

+

32

2/2LpH-

2-pH /2L

2pH /2L


∏

α α

ευθεία

4 βαθμούπαραβολήου


2-92

μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ στο ζύγωμα 2-3 σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w(x) του ζυγώματος είναι παραβολή 3ου βαθμού.

Επίσης, δεδομένου ότι η ροπή Μ και, συνεπώς, και η καμπύλωση κ στον αριστερό στύλο 1-2 μεταβάλλεται ως παραβολή 2ου βαθμού σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w(x) του στύλου αυτού θα είναι παραβολή 4ου βαθμού.

Σημειώνεται τέλος, αν και αυτονόητο, ότι οι ορθές γωνίες μεταξύ ζυγώματος και στύλων στους κόμβους 2 και 3 παραμένουν ορθές και στην παραμορφωμένη κατάσταση του πλαισίου.

Ε. Σχεδίαση διαγραμμάτων M(x), Q(x), N(x) λόγω τριγωνικού οριζόντιου φορτίου

Παρατηρούμε ότι η μόνη ποιοτική αλλαγή στην μορφή των διαγραμμάτων παρουσιάζεται στα διαγράμματα ροπής και τέμνουσας του αριστερού στύλου 1-2. Ο αναγνώστης καλείται να εξηγήσει τη διαφοροποίηση αυτή και να επαληθεύσει τις αριθμητικές τιμές που δίνονται στα παραπάνω διαγράμματα.

M(x) [kNm]

εφαπτομένηοριζόντια


2/3

+

1

2+

pH pH

Q(x) [kN]

1

2

pH/2

3

4 4

3

-2pH /3L-

+

N(x) [kN]

/3L2

2-pH /3L

-

2

1

3

4+



2-93

2.2.6 Τριαρθρωτοί πλαισιακοί και τοξωτοί φορείς (Ομάδα Η6) Για τους παρακάτω τριαρθρωτούς πλαισιακούς και τοξωτούς φορείς Η6/1 έως Η6/9 να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων Μ(x), Q(x), N(x). Με βάση την αποκτηθείσα από τις προηγούμενες ασκήσεις πείρα, να γίνει προσπάθεια περιορισμού του πλήθους των διαχωριστικών τομών που απαιτούνται για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής, κάνοντας – μεταξύ άλλων – χρήση συλλογισμών που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας.

41

L

H6/1 X

p

Z

2

H

3

H

32

1

X

4

L

Z

p

2

1

Z

X

P

A3

4

Ζητούνται:




∏ Τα ίδια φορτία διατομής με

χρήση της ομόλογης δοκού

για το εγκάρσιο φορτίο p.

Ζητούνται:




∏ Τα ίδια φορτία διατομής με

χρήση της ομόλογης δοκού

για το εγκάρσιο φορτίο p.

H6/2

3.50

A=40kN

4.00

Ζητούνται:

∏ M(x), Q(x), N(x) λόγω P =40kN

με χρήση της ομόλογης δοκού.

A

H6/3

xA


2-94

p=30kN/m

5

3.00 2.00

1.50

4.00

1

2 3 4

Z

X

Ζητούνται:

∏ M(x), Q(x), N(x)

λόγω p=30kN/m.

∏ Η θέση και το

μέγεθος της

μέγιστης ροπής

στο ζύγωμα 2-3.

Ζητούνται:

∏ M(x), Q(x), N(x)

λόγω p=30kN/m.

∏ Η θέση και το

μέγεθος της

μέγιστης ροπής

στον στύλο 1-2.

2.00 3.00

5

X

Z

32

1

4

1.50

4.00

p=30kN/m

ελκυστήρας

H6/4

H6/5




2-95



0L2

Hp

L2

HpAAF:Έλεγχος

L2

HpA0LA

2

HHp0M

00HpHpAAHpF:Έλεγχος

0A0HA0M

HpA02

HHpLAHA0M

L2

HpA0

2

HHpLA0M

22

Z4Z1Z

2

Z4Z41

X4X1X

X4X43,

X1Z1X13,

2

Z1Z14

δεξ.

αριστ.


Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων, δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), Q(x), N(x), προκύπτει, εν συνεχεία, κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού.

Ακολούθως, διατυπώνονται οι συνθήκες ισορροπίας από τις οποίες προκύπτουν τα κομβικά φορτία διατομής των δομικών στοιχείων και σχολιάζεται με συντομία η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), Q(x), N(x).

Στύλος 1-2:

Κόμβος 1

0M0M

L2

HpAN0F

HpAQ0F

12

2

Z112Z

X112X

Κόμβος 2

2

Z

p

X

1

3

H

4AX1

Z1A Z4AL

X4A

A =-

pH

Z1

X1A =

pH2/2L

1

1M12Q

12N


2-96

2

Hp

2

HHpHAM0M

L2

HpAN0F

0HpAQ0F

2

X1212

2

Z121Z

X121X

Στον στύλο 1-2 η τέμνουσα μεταβάλλεται γραμμικά, ως ολοκλήρωμα του σταθερού φορτίου, Q' = -p, από Q12=p·H σε Q21=0, ενώ η ροπή μεταβάλλεται ως παραβολή 2ου βαθμού, ως πρώτο ολοκλήρωμα της γραμμικά μεταβαλλόμενης τέμνουσας Q=Μ' από Μ1=0 σε Μ21=p·H2/2.

Στον κόμβο 2 το διάγραμμα ροπών έχει οριζόντια εφαπτομένη, δηλαδή παράλληλη προς τον τοπικό άξονα x του στύλου 1-2, αφού στο σημείο αυτό η πρώτη παράγωγος της ροπής, δηλαδή η τέμνουσα Q21, είναι μηδενική, και στρέφει τα κοίλα προς τα αριστερά, δηλαδή ενάντια στο φορτίο p. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει το τελευταίο αυτό συμπέρασμα. Η αξονική δύναμη του στύλου 1-2 παραμένει καθ’ όλο το ύψος του σταθερή, αφού στον στύλο δεν υπάρχει εξωτερικό αξονικό φορτίο.

Ζύγωμα 2-3:

Κόμβος 2

2

HpMή

2

HpMM0M

L2

HpNQ0F

0QN0F

2

2

2

21232

2

2123Z

2123X

Κόμβος 3 (άρθρωση)

0LL2

Hp

2

HpLQMM0M:Έλεγχος

L2

HpQQ0F

0NN0F

22

23233

2

2332Z

2332X

Στο εγκαρσίως και αξονικώς αφόρτιστο ζύγωμα 2-3 η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά από Μ2=p·H2/2 σε Μ3=0 ενώ η τέμνουσα και η αξονική δύναμη είναι σταθερές.

Στύλος 3-4:


L2

HpQN0F

0NQ0F

2

3234Z

3234X

X

Z

N21

Q21

M21

2

1

pH

X1A = pH

Z1A =- 2/2L

H

p

21Q

2

21M

N21

23N

23Q23M

L323N

23Q23

M

2

= 2M

32Q

N32

3M=32M =0

Q

34NQ34

N32

32

3


2-97

Κόμβος 4

L2

HpNN0F

0QQ0F

2

3443Z

3443X

Ο στύλος 3-4 είναι μία εγκαρσίως και αξονικώς αφόρτιστη αμφιαρθρωτή δοκός, η οποία ως εκ τούτου εμφανίζει μηδενική ροπή και τέμνουσα, και σταθερή αξονική δύναμη.

Έλεγχος ισορροπίας κόμβου 4:

Τα φορτία διατομής Ν43 και Q43 στον πόδα του στύλου 3-4 υπολογίστηκαν χωρίς να γίνει χρήση των ήδη γνωστών αντιδράσεων στήριξης AX4 και AZ4. Επομένως, ο έλεγχος ισορροπίας του κόμβου 4 συνιστά έναν έλεγχο για την ορθότητα των παραπάνω υπολογισμών:

Κόμβος 4

0L2

Hp

L2

HpANF

000AQF

22

Z443Z

X443X

Ο ισορροπιακός έλεγχος ικανοποιείται.


Παρατήρηση: Τα παραπάνω διαγράμματα των φορτίων διατομής του δεδομένου τριαρθρωτού πλαισίου ταυτίζονται απόλυτα με τα αντίστοιχα διαγράμματα του αμφιέρειστου πλαισίου της Άσκησης Η5/4. Ο αναγνώστης καλείται να δώσει μία εξήγηση για το γεγονός αυτό.

Δ. Επίλυση του φορέα με χρήση της ομόλογης δοκού

(α) Το δεδομένο πλαίσιο επισάττεται («σαμαρώνεται») με μία αμφιέρειστη δοκό («ομόλογη δοκό»), η οποία φέρει το φορτίο p και εδράζεται επί του πλαισίου στους κόμβους 1 και 2. Η φόρτιση του πλαισίου συνίσταται τώρα πλέον στις δύο δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού, οι οποίες υπολογίζονται ιδιαίτερα εύκολα, όπως εύκολα υπολογίζονται και τα φορτία διατομής της Mομολ(x), Qομολ(x), Nομολ(x).

H

3

4

34QN34

0=3M

43NQ43

M4=0

A = pH2/2LZ4

N

0X4A =

43

43Q

4


M(x) [kNm]

+


1

2/2pH

2/22

+

pH pH

+

Q(x) [kN]

+

pH4 1 4

23

-pH /2L2

3

-

/2LpH- 2

N(x) [kN]

1 4

/2L2

-

23


2-98

(β) Το δεδομένο πλαίσιο επιλύεται με φορτία τις δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού και προσδιορίζονται τα φορτία διατομής του Mσαγμ(x), Qσαγμ(x), Nσαγμ(x). Η επίλυση αυτή γίνεται κατά τα γνωστά με τη βοήθεια κατάλληλων διαχωριστικών τομών, όπως ακριβώς στην προηγούμενη υποπαράγραφο Β, και μας δίνει τα εξής διαγράμματα φορτίων διατομής:

Η επίλυση του επισαγματωμένου φορέα είναι γενικώς απλούστερη από την επίλυση του αρχικώς δεδομένου φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση. Βέβαια, για το παράδειγμα μας, που είναι ένα απλό πλαίσιο με απλή φόρτιση, η επιτυγχανόμενη απλούστευση των υπολογισμών δεν είναι ιδιαίτερα σημαντική. Έτσι, π.χ. για τον υπολογισμό της Μ2 έχουμε:

στον αρχικό φορέα: στον επισαγματωμένο φορέα:

2Hp2HHpHAM

0M

2X12

2

2HpH2HpHAM

0M

2X12

2

Διαπιστώνουμε ότι η διαφορά στο «υπολογιστικό κόστος» είναι πρακτικά ανύπαρκτη. Εντούτοις, σε συνθετότερους φορείς με πολυπλοκότερες φορτίσεις μπορεί να επιτευχθεί σημαντική οικονομία υπολογισμών κάνοντας χρήση της ομόλογης δοκού.

(γ) Τα τελικά φορτία διατομής του δεδομένου πλαισίου υπό τη δεδομένη φόρτιση p προκύπτουν με επαλληλία των φορτίων διατομής, δηλαδή με αλγεβρική άθροιση, Mσαγμ(x), Qσαγμ(x), Nσαγμ(x) του επισαγματωμένου φορέα και των αντίστοιχων φορτίων διατομής Mομολ(x), Qομολ(x), Nομολ(x) της ομόλογης δοκού:

X1A

p

LA Z1

1

X

Z

2

A X4

AZ4

4

H

3

A=pH/2

=B pH/2

Μομολ(x)Q (x)ομολ(x)ομολN

0

/8pH2

-

+

+

pH /2

/2pH-

pH

M

1

+

2pH /22

4

pH/2

+

41

Q

32

+

/22

-

3

2/2LpH-

/2L1

N

2-pH

+ -

4

2

2/2LpH3

(x) [kNm] (x) [kN] (x) [kN]σαγμ σαγμ σαγμ

pHA =X1

Z

p

H

1

22M

X

pH/2

Z

=1

2M

X

2

A =X1 pH

H

A


2-99

xNxNxN

xQxQxQ

xMxMxM

ομολσαγμ

ομολσαγμ

ομολσαγμ

Στην περίπτωση μας η επαλληλία περιορίζεται στον στύλο 1-2:

Για το αφόρτιστο ζύγωμα 2-3 και τον αφόρτιστο δεξιό στύλο 3-4 τα τελικά φορτία διατομής συμπίπτουν με φορτία διατομής του επισαγματωμένου φορέα.

Τονίζεται ότι είναι αδιάφορο για τα αποτελέσματα της επίλυσης το αν η σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού ληφθεί στον κόμβο 1 ή στον κόμβο 2, αφού αυτό δεν μεταβάλλει τις αντιδράσεις στήριξης Α και Β. Επίσης, υπενθυμίζεται ότι η θέση της σταθερής έδρασης της ομόλογης δοκού είναι αδιάφορη για τα τελικά αποτελέσματα, ακόμη και στην περίπτωση που η ομόλογη δοκός φορτίζεται με αξονικά φορτία (βλ. Άσκηση Η6/3).

- pH /2

pH

(x)

/2pH

+

+-

ομολΜ

2/8+2/4pH

+

pH2/2

+Μ (x)σαγμ

=

= Μ(x)

pH2/4

/22pH+

2

1 1

2

1

2

pH /82


/823pH

1

2

=+

1 1

2

(x)σαγμQ +

+

2

=Q (x)ομολ Q(x)

pH /2 pH+


2-100

Άσκηση H6/2


0L2

Hp

L2

HpAAF:Έλεγχος

L2

HpA0LA

2

HHp0M

0Hp2

Hp

2

HpHpAAF:Έλεγχος

2

HpA0

2

HHpHA0M

2

HpA0LAHA0M

L2

HpA0

2

HHpLA0M

22

Z4Z1Z

2

Z4Z41

X4X1X

X4X4δεξ.3,

X1Z1X1αριστ.3,

2

Z1Z14



Ακολούθως, διατυπώνονται οι συνθήκες ισορροπίας από τις οποίες προκύπτουν τα κομβικά φορτία διατομής των δομικών στοιχείων και σχολιάζεται με συντομία η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), Q(x), N(x).

Στύλος 1-2:

Κόμβος 1

0M0M

L2

HpAN0F

2

HpAQ0F

11

2

Z112Z

X112X

Z

X

1

2

H

4

3

LAZ1 AZ4

AX4X1A

p

N

1

M112

Q12

A = pH2/2LZ1

pHA =-X1 /2


2-101

Κόμβος 2

2

HpHAM0M

L2

HpAN0F

2

HpAQ0F

2

X1212

2

Z121Z

X121X

Ζύγωμα 2-3:

Κόμβος 2

2

HpMή

2

HpMM0M

L2

HpNQ0F

2

HpQN0F

2

2

2

21231

2

2123Z

2123X


L2

HpQQ0F

2

HpNN0F

2

2332Z

2332X

0LL2

Hp

2

HpLQMM0M:Έλεγχος

22

23233

Στύλος 3-4:


L2

HpQN0F

2

HpNQ0F

2

3234Z

3234X

Κόμβος 4

L2

HpNN0F

2

HpHpQQ0F

2

3443Z

3443X

Ο στύλος 3-4 έχει μηδενικές ροπές στα άκρα του και φορτίζεται με ομοιόμορφο φορτίο p. Συνεπώς, η ροπή στο μέσον του είναι: 8HpM 2

A .

A =

pH

Z1

A =-X1

Z

/2L2pH

H

1

2

21M21Q

21N

X

/2

21Q

2

21M

N21

23N

23Q23M

L323N

23Q23

M

2

= 2M

32Q

N32

3M=32M =0

Q

34NQ34

N32

32

3

MN43Q

40=4

43

M34N

33=0

Q34

H

p

A

H/2


2-102

Έλεγχος ισορροπίας κόμβου 4

Τα φορτία διατομής Ν43 και Q43 στον πόδα του στύλου 3-4 υπολογίσθηκαν χωρίς να γίνει χρήση των ήδη γνωστών αντιδράσεων στήριξης AX4 και AZ4. Επομένως, η ισορροπία του κόμβου 4 συνιστά έναν έλεγχο για την ορθότητα των παραπάνω υπολογισμών.

Κόμβος 4

0L2

Hp

L2

HpANF

02

Hp

2

HpAQF

22

Z443Z

X443X

Ο ισορροπιακός έλεγχος ικανοποιείται.


Δ. Επίλυση του φορέα με χρήση της ομόλογης δοκού

(α) Το δεδομένο πλαίσιο επισάττεται με την ομόλογη δοκό:

4

Q43

43N

A =- /2L2pHZ4

A =-X4 /2pH

/2L

41

2

M(x) [kNm]

pH/21

Q(x) [kN]

pH /22

-

2pH

2

N(x) [kN]

2

1 -pH

+

4/2L

-

-

+-

-

- pH/2-

+3

pH/2

/2LpH2

-

-

- pH/2

pH /82+

3

4

23

- pH /2

pH/2

pH/2

Μ

/2pH +

-

0

Nομολ(x)ομολ(x)Q

+

2pH /8

(x)ομολ

B=

=A

3

4

2

Z

X

1

L

H

X4A

p

pH/2=-

Z4 pH /2LA =- 2pH2/2LA =Z1

/2X1A =-pH


2-103

(β) Το δεδομένο πλαίσιο επιλύεται με φορτία τις δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού, που είναι ίσες και αντίθετες προς τις αντιδράσεις στήριξης,:

(γ) Τα τελικά φορτία διατομής προκύπτουν με επαλληλία, δηλαδή αλγεβρική άθροιση, των παραπάνω:

xNxNxN

xQxQxQ

xMxMxM

ομολσαγμ

ομολσαγμ

ομολσαγμ

Για τον αφόρτιστο αριστερό στύλο 1-2 και για το αφόρτιστο ζύγωμα 2-3, τα τελικά φορτία διατομής συμπίπτουν με τα φορτία διατομής του επισαγματωμένου φορέα. Τονίζεται ότι είναι αδιάφορο για τα αποτελέσματα της επίλυσης το αν η σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού ληφθεί στον κόμβο 3 ή στον κόμβο 4, αφού αυτό δεν μεταβάλλει τις αντιδράσεις στήριξης Β και Α. Επίσης, υπενθυμίζεται ότι η θέση της σταθερής έδρασης της ομόλογης δοκού είναι αδιάφορη για τα τελικά αποτελέσματα ακόμη και στην περίπτωση που η ομόλογη δοκός φορτίζεται με αξονικά φορτία (Βλ. Άσκηση Η6/3).

4

σαγμσαγμ (x) [kN](x) [kNm] QM

1

σαγμ(x) [kN]N

2-pH

2

-

1

/2LpH2

/2L

3

pH/2-

-

+

4

2pH /2L

+

3

-pH/2

-

2

-

--pH /22

4

32

1

2

N(x) [kN]

-pH

-

1

-pH /2

-

4

+ /82pH

1

-

2

M(x) [kNm]

2

/2LpH2

/2L

3

pH/2-

-

+

4

2pH /2L

pH/2- pH/2 -

+2

-

1

Q(x) [kN]

pH/2

3+

-

4

23


2-104

Άσκηση H6/3

(α) Ως πρώτο βήμα γίνεται επίσαξη του δεδομένου πλαισίου με μια ομόλογη δοκό που φορτίζεται με το δεδομένο αξονικό φορτίο ΡΑ. Προκειμένου να καταδειχθεί ότι η θέση της σταθερής στήριξης τηςομόλογης, αμφιέρειστης, ισοστατικής δοκού δεν επηρεάζει τα τελικά αποτελέσματα, εξετάζονται δύο περιπτώσεις: Ι : σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού στον κόμβο 3.

ΙΙ : σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού στον κόμβο 2.

Για τις δύο αυτές περιπτώσεις υπολογίζονται τα φορτία διατομής της ομόλογης δοκού υπό το φορτίο ΡΑ(βλ. παρακάτω σχήματα).

Είναι προφανές ότι οι αξονικές δυνάμεις ΝΙομολ(x) και ΝΙΙ

ομολ(x) της ομόλογης δοκού είναι διαφορετικές στις δύο περιπτώσεις, ενώ βέβαια ροπές και τέμνουσες είναι μηδενικές ελλείψει εγκάρσιου φορτίου, δηλαδή Mομολ(x)=Qομολ(x)=0.

(β) Κατόπιν, για τις δύο περιπτώσεις επίσαξης Ι και ΙΙ επιλύεται το δεδομένο πλαίσιο με φορτία τιςαντίστοιχες δυνάμεις έδρασης της ομόλογης δοκού, δηλαδή αρνητικές αντιδράσεις στήριξης (βλ. παρακάτω σχήματα).

Οι ροπές και οι τέμνουσες προκύπτουν, προφανώς, ίδιες και στις δύο περιπτώσεις Mσαγμ(x)= MΙσαγμ(x)=

MΙΙσαγμ(x) και Qσαγμ(x)= QΙ

σαγμ(x)= QΙΙσαγμ(x). Ο αναγνώστης καλείται να το τεκμηριώσει αυτό με απλούς

υπολογισμούς ενώ, βέβαια, οι αξονικές δυνάμεις ΝΙσαγμ(x), ΝΙΙ

σαγμ(x) διαφοροποιούνται.

(γ) Τέλος, τα τελικά φορτία διατομής προκύπτουν με επαλληλία, δηλαδή αλγεβρική άθροιση, των φορτίων διατομής της ομόλογης δοκού και του επισαγματωμένου πλαισίου.

(I) Σταθερή στήριξη της ομόλογης δοκού στον κόμβο 3 του επισαγματωμένου πλαισίου:

=40kNPA

3.50

A

X

Z

1

2

4.00

4

3

Z1A

AX1 X4A

AZ4

A

3.50

A

X1A

2

1

Z4A

AX4

3

4

4.00Z

X

=40kNP

PA =40kN

00

=40kNAP

=0 1

--40kN

+

45.71kN4

3

-

-45.71kN

2

+40kN

=40 4.00

(x)NομολI

(x)MIομολ =0

(x)IομολQ =0

∏

3.50

(x)NIσαγμ

= 45.71kN=-Z1A AZ4

40kN=


2-105

(I) Σταθερή στήριξη της ομόλογης δοκού στον κόμβο 2 του επισαγματωμένου πλαισίου:

Η επαλληλία δίνει και στις δύο περιπτώσεις Ι και ΙΙ τα ίδια αποτελέσματα για την τελική αξονική δύναμη:

xNxNxNxNxN IIομολ

IIσαγμ

Iομολ

Iσαγμ

Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι τελικές ροπές και τέμνουσες του δεδομένου πλαισίου υπό τη

συγκεκριμένη φόρτιση είναι αυτές του επισαγματωμένου φορέα ενώ οι προκύπτουσες από την επαλληλία τελικές αξονικές δυνάμεις προκύπτουν ίδιες και για τις δύο περιπτώσεις έδρασης της ομόλογης δοκού (Ι και ΙΙ):

xNxN

xQ

xM

xNxNxN

xQxQxQ

xMxMxM

IIομολ

IIσαγμ

σαγμ

σαγμ

Iομολ

Iσαγμ

ομολσαγμ

ομολσαγμ

Τελικά διαγράμματα φορτίων διατομής:

Τέλος, παρατηρούμε ότι η θέση xΑ του σημείου Α, όπου ενεργεί το παράλληλο με το ζύγωμα φορτίο ΡΑ,

αφήνει ανεπηρέαστες τις ροπές και τις τέμνουσες δυνάμεις του πλαισίου.

IIN (x)

4.003.50

45.71kN

40kN=AX1

1

AZ4 =40 ∏

=

=0X4A4-45.71kN

+

145.71kN

σαγμ

4

-

=40kN =40kN

A

0

AP

2

0

PA

PA =40kN 3

=0

=0

40kN

2

0

(x)

(x)

(x)

IIομολQ

IIομολM

NIIομολ

3

+

Z1A =- Z4A

A2

1

3

4

+

M(x) [kNm]

60

160

Q(x) [kN]40

+

4

A

-45.71

3

1

2

-

0 +

N(x) [kN]

-45.711 4

A

+

2

4045.713

-

Ax


2-106

Άσκηση H6/4

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. Άσκηση Ζ3)

Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης AX5, AZ5 στον κόμβο 5 γίνεται όπως περιγράφηκε στην Άσκηση Ζ3:

80.50kNA18.36kN,A Z5X5

Για τις αντιδράσεις στον κόμβο 1 παίρνουμε:

69.50kNA5.0030A0F

18.36kNAA0F

Z5Z1Z

X5X1X


Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων, δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(x), Q(x), N(x), προκύπτει εν συνεχεία κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού.

Διαχωριστικές τομές για τον υπολογισμό των μεγεθών Μ4, Q34 και Ν23 παρουσιάστηκαν αναλυτικά στην Άσκηση Ζ3. Με κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας μπορούν να υπολογιστούν και τα υπόλοιπα φορτία διατομής σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία, δηλαδή στους κόμβους, του πλαισίου χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία.

Ακολούθως, περιγράφεται μια πρακτικά ενδιαφέρουσα πορεία υπολογισμού των φορτίων διατομής που κάνει χρήση ομόλογων δοκών. Ως πρώτο βήμα επισάττεται το δεδομένο τριαρθρωτό πλαίσιο με δύο ομόλογες δοκούς που φέρουν το ομοιόμορφο φορτίο p=30kN/m (βλ. ακόλουθο σχήμα).

Τα φορτία διατομής των αμφιέρειστων ομόλογων δοκών υπολογίζονται ιδιαιτέρως εύκολα και δεν χρειάζεται να μας απασχολήσουν περαιτέρω. Περιοριζόμαστε, λοιπόν, ακολούθως στον υπολογισμό των φορτίων διατομής του επισαγματωμένου πλαισίου και ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι τα φορτία 45kN στον κόμβο 2 και 30kN στον κόμβο 4 προκαλούν απλά και μόνον αξονικές δυνάμεις Ν12=-45kN και Ν45=-30kN αντίστοιχα ενώ ροπές και τέμνουσες προκαλεί μόνο το φορτίο 75kN στον κόμβο 3. Αδιαφορούμε, λοιπόν, περαιτέρω για τα δύο πρώτα φορτία και προχωρούμε στον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης λόγω του φορτίου 75kN στον κόμβο 3.

1

3.00

1.50

2.00

X

Z

32 4

4.00

p=30kN/m

A

X5A

Z5

A Z1

X1A


2-107

Η επόμενη παρατήρησή μας είναι ότι οι διευθύνσεις των συνισταμένων αντιδράσεων Α1 στον κόμβο 1 και Α5 στον κόμβο 5 οφείλουν να συμπίπτουν με τις διευθύνσεις των ευθειών 1-3 και 3-5 αντίστοιχα, διότι μόνον τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας ροπών του αριστερού (1-2-3) και του δεξιού (3-4-5) τμήματος του πλαισίου ως προς την άρθρωση 3:

0M

0M

,3

,3

II δίσκ.

I δίσκ.

Με αυτό το δεδομένο οι αντιδράσεις στήριξης Α1, Α5 υπολογίζονται από τις εξής συνθήκες ισορροπίας:

5

5551

1

1115

e

225A0eA3.00750M

e

150A0eA2.00750M

Z

1

2 43

X

1.50

p=30kN/m

4.00

p=30kN/m

45kN 45kN

30kN

3.00

2.00

30kN

30kN30kN45kN45kN

fl

1

30kN45kN

2 3 4

75kN

2.003.00

Z

1A

1

2.003.00

2 43

X

5A

1.50

4.00

75kN∆ίσκος Ι ∆ίσκος ΙΙ

∏∏∏ ∏ 1'5'

e =4.9m1

e 4.2m5 º


2-108

Έχοντας σχεδιάσει το πλαίσιό μας υπό κλίμακα προσδιορίζουμε τις τιμές e1 και e5 γεωμετρικά, δηλαδή μετρώντας τις αποστάσεις 5-5' και 1-1' αντιστοίχως (βλ. προηγούμενο σχήμα). Με e1=4.9m και e5º4.2m παίρνουμε:

53.57kNe

225A

30.61kNe

150A

5

5

1

1

Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε τις ροπές στους κόμβους 2 και 4, έχοντας προσδιορίσει προηγουμένως γεωμετρικά τις αποστάσεις e2 και e4:

73.46kNm2.430.61M

eAM

0eAM

0M

2

212

212

1

101.78kNm1.953.57M

eAM

0eAM

0M

2

453

453

3

Από τις παραπάνω ροπές Μσαγμ(x) του επισαγματωμένου πλαισίου, οι οποίες ελλείψει εγκάρσιου φορτίου μεταξύ των κόμβων μεταβάλλονται γραμμικά, προκύπτουν άμεσα (με βάση τη σχέση Q=M') οι τέμνουσες Qσαγμ(x):

5

2.003.00

75kN

2

X

Z

1e4

43

∏ ∏

=e2

1.9mº

5A

4.00

1.50

∏ ∏

2'

4'2e 4e

=53.57kN

=30.61kNA1

2.4m

1A =30.61kN

1

2'

2e

∏∏

22M

4.00

=53.57kNA 5

5

4' ∏∏ e4

1.50

4.00

4M3


2-109

Παρατήρηση: Στο διάγραμμα τεμνουσών το άλμα στο σημείο 3 δεν ισούται ακριβώς, ως όφειλε, με το μέγεθος του ενεργούντος εκεί συγκεντρωμένου φορτίου των 75kN. Παρομοίως, οι τέμνουσες στους δύο στύλους δεν είναι ίσες, ως όφειλαν να είναι για λόγους ισορροπίας κατά Χ. Οι μικρές αυτές αποκλίσεις οφείλονται, προφανώς, στον προσεγγιστικό γεωμετρικό προσδιορισμό των μοχλοβραχιόνων e2 και e4 που χρησιμοποιήθηκαν παραπάνω.

Για τους δύο αφόρτιστους στύλους ισχύει: M(x)=Mσαγμ(x), Q(x)= Qσαγμ(x). Για το φορτιζόμενο ζύγωμα τα τελικά φορτία διατομής προκύπτουν κατόπιν επαλληλίας κατά τα γνωστά: M(x)=Mσαγμ(x)+Mομολ(x), Q(x)=Qσαγμ(x)+Qομολ(x). Ειδικότερα, επειδή η Mομολ(x) είναι το γνωστό παραβολικό διάγραμμα ροπών της αμφιέρειστης δοκού υπό ομοιόμορφο φορτίο p, το τελικό διάγραμμα Μ(x) προκύπτει με «κρέμασμα» της παραβολής pL2/8 στο διάγραμμα Μσαγμ(x), όπως φαίνεται στο παρακάτω αριστερό σχήμα. Παρομοίως, το τελικό διάγραμμα Q(x) προκύπτει αθροίζοντας στο διάγραμμα Qσαγμ(x) το γνωστό γραμμικά μεταβαλλόμενο διάγραμμα τεμνουσών της αμφιέρειστης δοκού υπό ομοιόμορφο φορτίο p (βλ. παρακάτω δεξιό σχήμα).

Ως μικρή άσκηση, ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει ότι η μέγιστη ροπή στο ζύγωμα είναι maxM=6.70kNm και εμφανίζεται σε απόσταση x0=2.31m από τον κόμβο 2.

1

2.003.00

2 43

1.50

4.00

1

23

4-73.46 -101.78

- -

- -

flQ=

dMdx

18.374.00

=-

-73.46-0=

0-(-73.46)=

3.0024.49

+

-

-

+

-101.78-0

=-50.89

=2.00

5.5

0-(-101.78)= 18.50M (x) [kNm]σαγμ

Q (x) [kN]σαγμ

-73.46

-101.7830=

3.0033.75

/2 8∏ /230 2.00 8∏

=15.0

33.75 15.0

- -

(x)ομολM

-

+ -45

23.0∏30

= 45-

+

30 2.0∏

230=

-30

ομολQ (x) [kN](x)Mσαγμ [kNm]+M(x) =


2-110


Οι τελικές αξονικές δυνάμεις, οι οποίες ελλείψει αξονικών φορτίων μεταξύ των κόμβων είναι σταθερές σε κάθε δομικό στοιχείο, προκύπτουν από την ισορροπία δυνάμεων στους κόμβους 2 και 4 (Σημ.: Για τις παρατηρούμενες αριθμητικές αποκλίσεις βλ. παρατήρηση στην προηγούμενη σελίδα):

80.89kNNQN0F

18.37kN18.50kNNQN0F

69.49kNNQN0F

18.37kNNQN0F

454345Z

434543X

212321Z

232123X

--

(x) [kNm]M

- 2

1

3

4

-73.464

(x) [kN]Q-

2

1

18.50

-

+

24.49-4520.51

3

+

-101.78

5 5

-18.37

-

=-

-50.89-30=-80.89

+30-50.8920.89=-

30= 93.75

/82∏5.00

93.75

+4524.49= 69.49

Q23

N23

21N

2

Q21

43

43N

Q

45QN45

4

-69.491

-80.89N (x) [kN] 5

2 4

-

-

--18.37

3


2-111

Άσκηση H6/5

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. Άσκηση Ζ4)

090.7590.75AAF:Έλεγχος

90.75kNA

01.5025.505.50301.50A2.003.00A0M

90.75kNA025.505.50302.003.00A0M

165kNA01.504.0030A0F

Z5Z1Z

Z1

X1Z15

Z5Z51

X1X1X



Η αξονική δύναμη στο στοιχείο 1-5 υπολογίζεται με κατάλληλη κυκλική διαχωριστική τομή, όπως παρουσιάστηκε στην Άσκηση Ζ4. Παίρνουμε:

58kNN15

Στην ίδια Άσκηση Ζ4 παρουσιάστηκαν, επίσης, διαχωριστικές τομές για τον υπολογισμό των μεγεθών Μ2 και Q23. Με περαιτέρω κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας μπορούν να υπολογιστούν και τα υπόλοιπα φορτία διατομής σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία του φορέα, δηλαδή στους κόμβους, χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, όπως στις προηγούμενες ασκήσεις.

Ακολούθως, παρατίθενται τα διαγράμματα Μ(x), Q(x), N(x) του φορέα, τα οποία καλείται ο αναγνώστης να ελέγξει με τρεις διαφορετικούς ελέγχους ισορροπίας σε ισάριθμες κυκλικές διαχωριστικές τομές της επιλογής του. Ένας τέτοιος ισορροπιακός έλεγχος διενεργείται στην ακόλουθη υποπαράγραφο Γ.

ελκυστήρας1

3.002.00

Z

p=30kN/m 2

X

5

4.00

1.50

43

AX1

Z1A

Z5A


2-112

Μέγιστη ροπή στο στοιχείο 1-2 (Σημ.: Χρησιμοποιείται το διάγραμμα Q(x)):

199.7kNm51.341.8555.6148.15

2

xpxQMmaxM

1.85mx109.4455.60

55.60

5.50

x

20

0212

00

Γ. Έλεγχος

Προς μερικό έλεγχο των παραπάνω αποτελεσμάτων αποσπάται το αριστερό τμήμα του δεδομένου φορέα με μία κυκλική διαχωριστική τομή, που διέρχεται από την άρθρωση 3 και τέμνει τον ελκυστήρα 1-5, και καταστρώνονται γι’ αυτό οι τρεις συνθήκες ισορροπίας. Εφόσον οι συνθήκες ισορροπίας ικανοποιούνται, οι προηγουμένως υπολογισθείσες τιμές των φορτίων διατομής και των αντιδράσεων στήριξης, που υπεισέρχονται σ’ αυτές, μπορούν να θεωρηθούν ως ορθές.

1

32

4

-222.2-

-

148.15

148.15

5.50113.44

∏

=30 2 8/

199.7

+

+

εφαπτομένη

Q(x) [kN]M(x) [kNm]

1

-74.1

23

-

4

maxM=

5

5

+

+

109.44

-55.6

55.6

1.85

-74.1

-55.6

+

1 N(x) [kN]

2

-

3

5

4

74.1

-

+

58.0

0 0

x

2M 21Q

p

maxM

0


2-113

016.6574.1090.75

0.2875874.1090.75

sinαNQAF

00.036

0.9585855.60165165

cosαNNA5.5030F

1532Z1Z

1524X1X

55.5640

00.25

148.2305.8453.752.00Q5.50N2

5.5030M 3224

2

1

Σημείωση: Διαπιστώνουμε ότι οι συνθήκες ισορροπίας ικανοποιούνται. Οι παρατηρούμενες μικρές αποκλίσεις από το μηδέν οφείλονται στις αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις που έγιναν κατά την πορεία των υπολογισμών. Οι αποκλίσεις αυτές τείνουν στο μηδέν με αυξανόμενο πλήθος σημαντικών ψηφίων που λαμβάνονται υπόψη στις αριθμητικές πράξεις.

A Z1

X

Z

1

p=30kN/m 3

2

4.00

1.50

=- 90.75kNA 165kN=X1

N15

α

Q 74.1kN=-32

=-55.6kNN24

cosα=0.958

sinα=0.287


=58kN

2.00


2-114

2.2.7 Ενισχυμένες δοκοί (Ομάδα Η7)

H7/1

α) Για την απεικονιζόμενη ενισχυμένη δοκό:

3.00 4.00 4.00 3.00

1.804

3

21

q=30kN/m X

Z

να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων

διατομής M(x), Q(x), N(x).

β) Οι προκύπτουσες μέγιστες/ελάχιστες τιμές της ροπής κάμψης και των

αξονικών δυνάμεων των ράβδων να συγκριθούν με τις αντίστοιχες τιμές

των ακόλουθων τριών φορέων:

q=30kN/m

12 3

Z

4

X

β1) Αμφιέρειστη δοκός ίσου μήκους:

q=30kN/m

3 Z

X

6

5

5

β2) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους αλλά με αγκύρωση των ράβδων της

αλυσίδας στους ακραίους κόμβους

q=30kN/m

2

6

3

Z

4

X

β3) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους με δύο κάθετες ράβδους και

αγκύρωση των λοξών ράβδων της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους.

1

5

7

1

5

1.80

1.80

6

3.00 4.00 4.00 3.00


2-115

Οι φορείς της Άσκησης Η7/1 αποτελούν απλοποιημένα προσομοιώματα ενισχυμένων δοκών όπως αυτές που φαίνονται στις παρακάτω φωτογραφίες.


2-116

να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής

M(x), N(x) και να γίνει σύγκριση των μέγιστων/ελάχιστων αναπτυσσόμενων

ροπών κάμψης και αξονικών δυνάμεων ράβδων με τις αντίστοιχες τιμές των

φορέων (α) και (β3) της Άσκησης Η7/1.

q=30kN/m

Για την απεικονιζόμενη ενισχυμένη δοκό:

H7/2

21

3.006

3

4.00

Z

4

4.00

51.80

3.00

X

1.80

7 8

Ο παραπάνω φορέας αποτελεί υπεραπλουστευμένο προσομοίωμα

κρεμαστής γέφυρας του τύπου της παρακάτω φωτογραφίας.

διέλευση ράβδουχωρίς επαφή με δοκό


2-117

109 X

να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής

M(x), N(x) και να γίνει σύγκριση των μέγιστων/ελάχιστων αναπτυσσόμενων

ροπών κάμψης και αξονικών δυνάμεων ράβδων με τις αντίστοιχες τιμές των

φορέων (α) και (β3) της Άσκησης Η7/1.

q=30kN/m

3

H7/3

111

4.00

7

3.00 4.00

25

8

6

Z

4

3.004.00

12

2.00

1.001.00

4.00

Για την απεικονιζόμενη κρεμαστή γέφυρα:

Ο παραπάνω φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα κρεμαστής

γέφυρας με αγκύρωση στο στερεό έδαφος, όπως π.χ. η απεικονιζόμενη

παλαιά γέφυρα (Little Salmon river bridge, USA)


2-118

ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H7/1 (α) Αρχική ενισχυμένη δοκός

1.641mcosθ1.8α

0.912cosθ0.410sinθ24.23θ0.454.001.80tgθ

210kN7.030R

o

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης και αξονικών δυνάμεων ράβδων

223.90kNN01.641N7.00A0M :ΙI Τομή

223.90kNN

01.641N3.50R7.00A0M :Ι Τομή

052.5210157.5ARAF:Έλεγχος

52.5kNA03.50R14.00A0M

157.50kNA010.50R14.00A0M

0A0F

6464Z5δεξ3,

26

26Z1αριστ.3,

Z5Z1Z

Z5Z51

Z1Z15

X1X

Παρατήρηση: Παρά την ασύμμετρη φόρτιση, οι αξονικές δυνάμεις του συρμού ράβδων προκύπτουν συμμετρικές, αφού όπως γνωρίζουμε (Αβραμίδης 2014, παράγρ. 7.6.3-Α) η οριζόντια έλξη Η στις ράβδους της αλυσίδας 2-6-4 είναι σταθερή. Η=223.90•cosθ=204.20kN. Κόμβος 6:

183.75kNN

0sinθNNN

0F

63

646263

Z

Ακραίες τιμές: maxN=223.90kN, minN=-183.75kN

Β. Υπολογισμός φορτίων διατομής M(x), Q(x), N(x) της δοκού 1-3-5

Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής της δοκού 1-3-5 αποσπάται από αυτήν η ενισχυτική κατασκευή με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής και η επιρροή της επί της δοκού

q=30kN/m

21

3.00

6

3

4.00

Z

4

4.00

51.80

3.00

X

AZ1

AX1

Z5A

θ θ

R=210kN

3.50

α

N64

II∏

26NI

223.90kN=64N

63N

6

θθ

(=Ν36 )

N =62 223.90kN


2-119

αντικαθίσταται από τις δυνάμεις σύνδεσης - έδρασης των ράβδων:

Υπενθύμιση: Για μια ράβδο k-m, χωρίς αξονικά φορτία μεταξύ των κόμβων της, ισχύει πάντοτε Nkm=Nmk.

Ο υπολογισμός των φορτίων διατομής της παραπάνω δοκού γίνεται κατά τα γνωστά:

Ροπές κάμψης

Στα τμήματα 1-2 και 2-3 η ροπή μεταβάλλεται ως παραβολή 2ου βαθμού ενώ στα αφόρτιστα τμήματα

3-4 και 4-5 μεταβάλλεται γραμμικά.

157.50kNm3.0052.503.00AM0M

337.50kNm23.00303.00157.5M

023.00q3.00AM0M

Z54δεξ4,

22

2Z12αριστ.2,

Τέμνουσες δυνάμεις

Στα τμήματα 1-2 και 2-3 η τέμνουσα μεταβάλλεται γραμμικά, ενώ στα αφόρτιστα τμήματα 3-4 και 4-5 είναι σταθερή.

Τμήμα 1-2:

67.50kN2

3.0030

3.00

0337.50

2

Lq

L

MMQ

157.50kN2

3.0030

3.00

0337.50

2

Lq

L

MMQ

12

12

1221

12

12

1212

Τμήμα 2-3:

144.38kN2

4.0030

4.00

337.500

2

Lq

L

MMQ

24.38kN2

4.0030

4.00

337.500

2

Lq

L

MMQ

23

23

2332

23

23

2323

q=30kN/m

X1A

Z1A

1 θ2

Z5

N62 64N

3

6

θ

A

54

X

Z

36N

1

AZ1

2

4

5

3

q=30kN/m

3.00 4.00 4.00 3.00

θ

223.90kN46N =

183.75kN-=N36

26N = 223.90kN

=157.50kN 52.50kNZ5A =

‡


2-120

Τμήμα 3-4:

39.38kN4.00

0157.50

L

MMQ

34

3434

Τμήμα 4-5:

52.50kN3.00

157.500

L

MMQ

45

4545

Αξονικές δυνάμεις Ελλείψει αξονικών φορτίων μεταξύ των κόμβων 1, 2, 3, 4 και 5 η αξονική δύναμη σε κάθε ένα από τα τμήματα 1-2, 2-3, 3-4 και 4-5 είναι σταθερή. Στα δύο ακραία τμήματα 1-2 και 4-5 οι αξονικές δυνάμεις είναι μηδενικές λόγω ΑΧ1=0 και κύλισης στον κόμβο 5 αντίστοιχα. Στα δύο μεσαία τμήματα 2-3 και 3-4 οι αξονικές δυνάμεις είναι αρνητικές και κατ’ απόλυτη τιμή ίσες με την οριζόντια έλξη Η, δηλαδή με την οριζόντια συνιστώσα των ράβδων 2-6 και 6-4 του συρμού 2-4-6 της ενισχυτικής κατασκευής: Η=Ν26·cosθ=204.20kN.

Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων M(x), Q(x), N(x) της δοκού

2

6

3 4

12 3

54maxM=337.50

+

+

157.50

=60.0

∏30 4.00 82/

=33.75/82∏ 3.0030

γόνατο

M(x) [kNm]

1

+2

Q(x) [kN]

3

67.50

+ 45

-24.38 -

157.50

-144.38

39.38

-52.50

+223.90+223.90-183.75

-

- --204.20 -204.20

0 01 5

N(x) [kN]


2-121

Παρατηρούμε (βλ. γόνατα στο διάγραμμα ροπών κάμψης και άλματα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων) ότι η κατακόρυφη και οι δύο λοξές ράβδοι του υποστηρικτικού συστήματος ράβδων λειτουργούν ως οιονεί στηρίξεις, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται συνολικά ευμενέστερη κατανομή των ροπών κάμψης έναντι, π.χ. μιας απλής αμφιέρειστης δοκού (βλ. επόμενη περίπτωση (β1)). Το γεγονός αυτό θα γίνει αμεσότερα αντιληπτό στις ασκήσεις που ακολουθούν.

(β) Σύγκριση των max|M| και max|Ν| με τα αντίστοιχα μεγέθη τρίων άλλων αμφιέρειστων φορέων

ίσου μήκους

(β1) Αμφιέρειστη δοκός ίσου μήκους

Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης

52.5kNA0M

157.50kNA0M

0A0F

Z51

Z15

X1X

Παραμένουν ίδιες με εκείνες της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α), αφού η εξωτερική στήριξη δεν μεταβλήθηκε (αμφιέρειστη δοκός).


Σημείο εμφάνισης της maxM Σημείο μηδενισμού της Q

337.50kNm413.44kNmmaxM

413.44kNmmaxM

02x30maxM0M

5.25mx

0157.50x300F

201

0

0Z

Διάγραμμα Μ(x):

Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη ροπή της απλής αμφιέρειστης δοκού είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μέγιστη ροπή της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α).

q=30kN/m

3.00

X1A

Z1A

1

4.00Z5

4.00

3

A

3.00

5

X

Z

42

A =157.50kNZ1

x0

Q=0

maxM1

q=30kN/m

maxM=413.4421

+

M(x) [kNm]

43

=183.75

∏30 7.00 82/

+

5

x0= 5.25

7.00 7.00

Z5AM3 = ∏ 7.00 = 367.50

3.50


2-122

(β2) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους αλλά με αγγύρωση των ράβδων της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους

otgθ 1.80 7.00 0.257 θ 14.42 sinθ 0.249 cosθ 0.9685, α 1.8 cosθ 1.743m


52.5kNA0M

157.50kNA0M

0A0F

Z51

Z15

X1X

Παραμένουν ίδιες με εκείνες της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α), αφού η εξωτερική στήριξη δεν μεταβλήθηκε (αμφιέρειστη δοκός).

Αξονικές δυνάμεις ράβδων

Z5 65 65 Z5 653,Τομή I : M 0 A 7.00 N α 0 N A 7.00 1.743 N 210.84kNδεξ

Λόγω της συμμετρίας του ενισχυτικού συστήματος ράβδων έχουμε: Ν16=Ν65=210.84kN.

Κόμβος 6:

105.0kNN

0sinθNNN0F

63

656163Z

Ακραίες τιμές και σύγκριση με τις αντίστοιχες τιμές της ενισχυμένης δοκού (α):

maxN=210.84kN < 223.90kN [λοξές ράβδοι του συρμού ανάρτησης 1-6-5]

|minN|=|-105.0| kN < |-183.75| kN [ράβδος σύνδεσης 3-6]

Διαπιστώνουμε ότι οι εφελκυστικές αξονικές δυνάμεις στον συρμό ανάρτησης της δοκού με αγκύρωση των ράβδων στους ακραίους κόμβους είναι μικρότερες από εκείνες της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α) με αυτοαγκύρωση. Επίσης, μικρότερη κατ’ απόλυτη τιμή είναι η θλιπτική αξονική δύναμη στη ράβδο σύνδεσης 3-6.


Ροπές κάμψης αναπτύσσονται, προφανώς, μόνο στο αμφιαρθρωτό τμήμα 1-3. Για τη μέγιστη ροπή παίρνουμε:

337.50kNm 183.75kNm2

7.0030

2

LqmaxM

2213

Διάγραμμα Μ(x):

q=30kN/m

1

6

3

Z

1.80

5

X

7.00 7.00

Z1AX1A

Z5A

65N

αθ

∏

θ

I

(=Ν63

θ θ

6

N 36

N65

)

= 56N16N=61N

7.00 7.00

maxM=183.75M(x) [kNm]

1

+

2 3 45

3.50


2-123

Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη ροπή της ενισχυμένης δοκού με αγκύρωση της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους είναι σημαντικά μικρότερη από τη μέγιστη ροπή της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α) με αυτοαγκύρωση.

(β3) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους με δύο κάθετες ράβδους και αγκύρωση των λοξών ράβδων της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους

Αξονικές δυνάμεις Η ενισχυμένη αυτή δοκός έχει επιλυθεί στον τόμο θεωρίας (βλ. Αβραμίδης 2014, παράγρ. 7.6.3). Από την επίλυση είχαν προκύψει για τις αξονικές δυνάμεις του ενισχυτικού συστήματος ράβδων οι παρακάτω ακραίες τιμές, οι οποίες συγκρίνονται με τις αντίστοιχες ακραίες τιμές της ενισχυμένης δοκού (α):

maxN=238.10kN > 223.90kN [ράβδοι του συρμού ανάρτησης]

|minN|=|-122.38| kN < |-183.75| kN [ράβδοι σύνδεσης κάθετες στη δοκό]

Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη εφελκυστική δύναμη στις ράβδους του συρμού ανάρτησης 1-6-7-5 της δοκού με αγκύρωση των ράβδων στους ακραίους κόμβους είναι λίγο μεγαλύτερη από τη μέγιστη εφελκυστική δύναμη στις λοξές ράβδους 2-6 και 6-4 της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α) με αυτοαγκύρωση, ενώ η κατ’ απόλυτη μέγιστη τιμή θλιπτική δύναμη των δύο ράβδων σύνδεσης είναι κατά πολύ μικρότερη της θλιπτικής δύναμης της μοναδικής ράβδου σύνδεσης στην ενισχυμένη δοκό (α).


Από την επίλυση είχε προκύψει το ακόλουθο διάγραμμα M(x):

Όπως διαπιστώσαμε για την αρχική δοκό (α) με αυτοαγκύρωση (βλ. γόνατα στο διάγραμμα ροπών κάμψης), έτσι και εδώ, οι δύο κατακόρυφες ράβδοι του υποστηρικτικού συστήματος ράβδων λειτουργούν ως οιονεί στηρίξεις, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται ευμενέστερη κατανομή των ροπών έναντι, π.χ. της απλής αμφιέρειστης δοκού (β1). Για τη δεδομένη φόρτιση έχουμε δραστική μείωση της μέγιστης τιμής της ροπής στο αριστερά της άρθρωσης τμήμα 1-3 της δοκού σε σχέση με την ενισχυμένη δοκό με αυτοαγκύρωση (45.94kNm έναντι 337.50kNm), ενώ στο δεξιά της άρθρωσης τμήμα 3-5 η ροπή εμφανίζεται κατ’ απόλυτη τιμή αυξημένη (210kNm έναντι 157.50kNm). Για άλλες φορτίσεις, π.χ. για ομοιόμορφο φορτίο σε όλο το μήκος της δοκού 1-3-5, οι ροπές κάμψης μειώνονται και για το δεξιό τμήμα. Ο ενεργός αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει τον ισχυρισμό αυτόν με σύντομους υπολογισμούς.

q=30kN/m

6

2 3

Z

7

41.80

5

X

1

157.50kN=Z1A

AX1 =0

52.50kN=AZ5

3.00 4.00 4.00 3.00

12 3 4

5

-

-210

-30maxM=20.42 maxM=45.94

M(x) [kNm]


2-124

Άσκηση H7/2

o

o

tgθ 1.80 1.80 4.00 0.90 θ 41.99 sinθ 0.669 cosθ 0.743 α 1.8 cosθ 1.338m

tgψ 1.80 3.00 0.60 ψ 30.964 sinψ 0.5145 cosψ 0.8575 b 1.8 cosψ 1.543m


03.50R14.00AM :Έλεγχος

52.50kNA0AAR0F

157.50kNA010.50R14.00A0M

0A0F

Z51

Z5Z5Z1Z

Z1Z15

X1X

(Σύγκρ. Άσκηση Η7/1)

Β. Υπολογισμός δυνάμεων ράβδων

Τομή Ι:

Z1 763,

76 76

M 0 A 7.00 R 3.50 N α 0

157.50 7.00 210 3.50 N N 274.66kN

1.338

αρι στ .

Κόμβος 6:

367.50kN0.669274.662N

sinθN2N0F

274.66kNNN0F

63

6763Z

6768X

Κόμβος 7:

306.2kNN

0.669274.660.5145238N

sinθNsinψNN0F

238.0kNcosψcosθNN

0cosψNcosθN0F

72

72

767172Z

7671

7176X

Όπως γνωριζουμε (Αβραμίδης 2104, παράγρ. 7.6.3-Α), παρά την ασυμμετρία του εξωτερικού φορτίου οι αξονικές δυνάμεις ενός συμμετρικού ενισχυτικού συστήματος ράβδων είναι συμμετρικές. Συνεπώς ισχύουν οι σχέσεις:

274871856768 NN,NN,NN

Όσον αφορά στη σύγκριση των ακραίων τιμών των αξονικών δυνάμεων των ράβδων του ενισχυτικού συστήματος έχουμε:

6

q=30kN/m

7

3.00

1

4.00

2

8

4

X

4.00

Z

31.80

3.00

1.805

AX1

AZ1AZ5

θ

ψ

∏

∏

α

b

R=210kN

3.50 10.50

I

N76 II

63

θ

6

N

θ

86N=68N76N67 = N

7

θψ

N = N67 7671=N 17N

=N N72 27


2-125

maxN=274.66kN > 223.90kN [φορέας (α) Άσκησης Η7/1]

> 238.10kN [φορέας (β3) Άσκησης Η7/1]

|minN|=|-367.50|kN > |-183.75| kN [φορέας (α) Άσκησης Η7/1]

> |-122.38| kN [φορέας (β3) Άσκησης Η7/1]

Διαπιστώνουμε ότι τόσο η μέγιστη εφελκυστική αξονική δύναμη στον συρμό ράβδων όσο και η κατ’ απόλυτη τιμή μέγιστη θλιπτική δύναμη στις κάθετες στη δοκό ράβδους σύνδεσης είναι μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες δυνάμεις της ενισχυμένης δοκού (α) της Άσκησης Η7/1. Η ίδια διαπίστωση ισχύει και για τις αξονικές δυνάμεις maxN και |minN| της ενισχυμένης δοκού (β3) της Άσκησης Η7/1.

Γ. Υπολογισμός ροπών κάμψης Για τον υπολογισμό των ροπών κάμψης της δοκού 1-2-3-4-5 αποσπάται από αυτήν το ενισχυτικό σύστημα ράβδων με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής (βλ. τομή ΙΙ) και η επιρροή του επί της δοκού αντικαθίσταται από τις δυνάμεις σύνδεσης - έδρασης των ράβδων:

Προσοχή: Οι αξονικές δυνάμεις Ν67 και Ν68 των λοξών ράβδων 6-7 και 6-8 δεν ενεργούν επί της δοκού και συνεπώς δεν εμφανίζονται στην παραπάνω τομή.

Για τις ροπές παίρνουμε κατά τα γνωστά:

22 Z1 172,αριστ.

22 2

M 0 M A 3.00 q 3.00 2 N b 0

M 157.5 3.00 30 3.00 2 238.0 1.543 M 704.73kNm

Η τιμή αυτή είναι η maxM στο τμήμα 1-2-3, αφού μεταξύ των σημείων 1 και 2 αφενός, και 2 και 3 αφετέρου δεν διέρχεται η τέμνουσα από το μηδέν. Η τεκμηρίωση του ισχυρισμού αυτού επαφίεται ως άσκηση στον αναγνώστη.

Στο τμήμα 3-4-5 οι ροπές κάμψης μεταβάλλονται γραμμικά. Για τη μέγιστη τιμή στο τμήμα αυτό παίρνουμε:

4 Z5 584,

4 4

M 0 M A 3.00 N b 0

M 52.5 3.00 238.0 1.543 M 524.73kNm

δεξ

Διάγραμμα M(x):

Διαπιστώνουμε ότι οι μέγιστες ροπές κάμψης της δοκού 1-2-3-4-5 είναι σημαντικά μεγαλύτερες από εκείνες των φορέων (α) και (β3) της Άσκησης Η7/1.

X

21

3.00 4.00

q=30kN/m

3

4.00

45

3.00

Z

36N =-367.50kNZ5A =52.50kN

∏N 306.2kN-=48

b

ψ

AZ1=157.50kN=0X1A

N 238kN58 =

ψ

b 306.2kN-=27N238kN17 =N

21

3 45

524.73

+

M(x) [kNm]

+

704.73 γόνατο

6033.75


2-126

Άσκηση H7/3

0.97cosθ0.2425,sinθ14.036θ0.254.001.00tgθ

0.832cosθ0.5547,sinθ33.69θ0.6673.002.00tgθ

0.707cosθ0.707,sinθ45θ1.004.004.00tgθ

33o

33

22o

22

11o

11

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης και αξονικών δυνάμεων ράβδων

Από τη θεωρία γνωρίζουμε (βλ. Αβραμίδης 2014, παράγρ. 7.6) ότι, όταν οι συνδετήριες ράβδοι του ενισχυτικού συστήματος ράβδων είναι όλες κατακόρυφες και όταν τα εξωτερικά φορτία δρούν αποκλειστικά επί της δοκού, τότε η οριζόντια συνιστώσα Η όλων των αξονικών δυνάμεων των ράβδων του συρμού ανάρτησης έχει την ίδια σταθερή τιμή Η (εδώ των ράβδων 11-9, 9-7, 7-6, 6-8, 8-10 και 10-12). Επίσης, γνωρίζουμε ότι εφόσον το ενισχυτικό σύστημα ράβδων είναι συμμετρικό, οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων του ενισχυτικού συστήματος θα είναι συμμετρικές ακόμη και αν το εξωτερικό φορτίο είναι ασύμμετρο. Συνεπώς, οι αντιδράσεις Α11 και Α12 στα σημεία 11 και 12 έχουν ίση και αντίθετη οριζόντια συνιστώσα Η. Επίσης, λόγω θ=45ο, και η κατακόρυφη συνιστώσα τους θα πρέπει να είναι ίση με Η. Με αυτά τα δεδομένα παίρνουμε κατ’ αρχάς από τη συνθήκη ισορροπίας κατά Χ:

0A0HAH0F X1X1X

Η ισορροπία ροπών ως προς τον κόμβο 5 για ολόκληρο τον φορέα μας δίνει:

02205A14H14

04.00H10.50R14.00A14.004.00H0M

Z1

Z15

(1)

Τομή Ι: 0735A7H10

01.0H3.5R7.0A7.04.0H0M

Z1

Z13,

αριστ. (2)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) παίρνουμε: Η=122.5kN, ΑΖ1=280kN. Η ισορροπία ροπών ως προς τον κόμβο 1 για ολόκληρο τον φορέα μας δίνει:

0122.5175210280122.5HARAHF:Έλεγχος

175kN14122.5143.5021014H143.50RA

04.0014.00H3.50R14.00A4.00H0M

Z5Z1Z

Z5

Z51

Κόμβος 9:

βλ. [2], βασικές εξισώσεις του συρμού ράβδων (7.6.2-3), (7.6.2-4)

X

q=30kN/m

4.00 3.00 4.00

Z

3.004.00

2.00

1.00

1.00

4.0014.00

Z1AX1AZ5A

2θ 1θ

H

H

A11

2θ

12 3 4

5

67 8

9 10

11

12

1θ

θ1

θ3 3θ

H

H

12A

R=210kN

θ1

3.50 10.50I

H

H

θ2

9

1θ

91N97N

9-11N

HH


2-127

204.16kN0.6671122.5N

θtgtgθHsinθNsinθNN0F

147.24kN0.832122.5cosθHN

173.27kN0.707122.5cosθHN

91

21297111991Z

297

1119

Κόμβος 7:

126.29kN0.97122.5

cosθHN 376

51.04kN0.250.6667122.5N

tgθtgθHsinθNsinθNN0F

72

3237627972Z

Κόμβος 6:

Λόγω συμμετρίας του ενισχυτικού συστήματος ράβδων ισχύει: Ν68=Ν67

61.25kN0.250.25122.5tgθtgθHN 0F 3363Z

Διάγραμμα Ν(x):

Συγκρίσεις ακραίων τιμών:

maxN=173.27kN < 223.90 kN φορέας (α) Άσκησης Η7/1

< 238.10 kN φορέας (β3) Άσκησης Η7/1

|minN|=|-204.16|kN > |-183.75kN| φορέας (α) Άσκησης Η7/1

> |-122.38kN| φορέας (β3) Άσκησης Η7/1

Διαπιστώνουμε ότι οι αξονικές δυνάμεις στις λοξές ράβδους του συρμού ανάρτησης είναι όλες εφελκυστικές και ότι η μέγιστη εφελκυστική δύναμη είναι αρκετά μικρότερη από την maxN στις ράβδους του συρμού των ενισχυμένων δοκών (α) και (β3) της Άσκησης Η7/1. Παράλληλα διαπιστώνουμε ότι η κατ’ απόλυτη τιμή μέγιστη θλιπτική αξονική δύναμη αναπτύσσεται στους δύο «πυλώνες» 1-9 και 5-10, και ότι είναι αρκετά μεγαλύτερη από την |minN| στις κάθετες στη δοκό ράβδους σύνδεσης των ενισχυμένων δοκών (α) και (β3) της Άσκησης Η7/1.

Β. Υπολογισμός ροπών κάμψης της δοκού 1-3-5

Για τον υπολογισμό των ροπών κάμψης της δοκού 1-3-5 αποσπάται από αυτήν το ενισχυτικό σύστημα ράβδων με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής και η επιρροή του επί της δοκού αντικαθίσταται από τις δυνάμεις σύνδεσης-έδρασης των ράβδων:

7 θ32θ

72N

9779 NN =

N7

6

θ33θ

63N

H H

N68N67

+173.27

+147.24

+126.29

+61.25+51.04

5432

1

7 8

6

9 10

11 12

-204.16

συμμ.

N(x) [kN]

280kN 175kN


2-128

Για τις ροπές παίρνουμε κατά τα γνωστά:

22 Z1 192,αριστ.

22 2

M 0 M A 3.00 q 3.00 2 N 3.00 0

M 280.0 3.00 30 3.00 2 204.16 3.00 M 92.52kNm

87.48kNmM3.00204.163.00175.0M

03.00N3.00AM0M

44

10-5Z54δεξ4,

Διάγραμμα M(x):

115.27kNm3.0051.042

4.23303.00N

2

xqmaxM

4.23m30

51.04280.0204.16

q

NANx

95.86kNm2

2.52830

2

xqmaxM

2.53m2.52830

280.0204.16

q

ANx

2

27

2b

b

27Z119b

22a

a

Z119a

Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη αναπτυσόμενη ροπή κάμψης (115.27kNm) είναι σημαντικά μικρότερη τόσο από τη μέγιστη ροπή κάμψης 337.50kNm στη δοκό του φορέα (α) της Άσκησης Η7/1 όσο και από την κατ’ απόλυτη τιμή μέγιστη ροπή κάμψης |-210| kNm στη δοκό του φορέα (β3) της Άσκησης Η7/1.

122

7

111

9

53 4

6

10

8q=30kN/m

‡

21

3 45

qN

3.00 4.00 4.00 3.00

19 27N N36 48N 5-10N

Z1AX1A

Z5A

32

M(x) [kNm]

1

+

-87.48

4

5

830 3.00∏ 2 /=33.75 /2 84.0030 ∏

=60.0

a b

maxM =115.27b=95.86amaxM

=92.52M2

-

2.53

4.23


2-129

2.2.8 Επίπεδα δικτυώματα (Ομάδα Η8)

Για το απλό τριγωνικό συμμετρικό δικτύωμα του παρακάτω σχήματος (που

αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα ενός μικρού τμήματος του

απεικονιζόμενου στη φωτογραφία πραγματικού συστήματος δικτυωμάτων)

να υπολογιστούν οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων

α) με τη μέθοδο των (αποκλειστικά) κομβικών διαχωριστικών τομών,

β) με τη μέθοδο τομών Ritter και

γ) με τη βοήθεια των τύπων της ομόλογης δοκού.

Χάριν απλούστευσης της διαδικασίας, να υπολογιστούν σε κάθε περίπτωση

πρώτα οι τρεις αντιδράσεις στήριξης και να προσδιοριστούν οι τυχόν άτονες

ράβδοι.

2.002.00 2.00 2.00

D1 2D2.00

3D 4D

O1 2O 3O 4O

V1 V2 V3 V4 V5

3U 4U2U1U

X

Z

30kN

H8/1

30kN 30kN 30kN 30kN

7

4 8

3 51

26

9

10


2-130

H8/2

Για το απεικονιζόμενο απλό τριγωνικό δικτύωμα να υπολογιστούν οι

αξονικές δυνάμεις των ράβδων

α) με τη μέθοδο των (αποκλειστικά) κομβικών διαχωριστικών τομών και

β) με τη μέθοδο Ritter και

Χάριν απλούστευσης της διαδικασίας, να υπολογιστούν σε κάθε περίπτωση

πρώτα οι τρεις αντιδράσεις στήριξης.

2.00 4.00

4.00

2.00

1

2

3

45

X

Z

P =100kNZ5

Για το απεικονιζόμενο απλό τριγωνικό δικτύωμα μορφής Κ να υπολογιστούν

οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων με τον προσφορότερο τρόπο, αλλά χωρίς

προηγούμενο υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης. Στη συνέχεια να

υπολογιστούν οι αντιδράσεις στήριξης με τη βοήθεια των συνθηκών

ισορροπίας στους κόμβους των στηρίξεων και να ελεγχθεί η ορθότητά τους με

τις συνθήκες ισορροπίας για ολόκληρο τον φορέα.

H8/3

1 2

3

6

4

78

5

4.00

4.00

1D D3

4DD2

S1

2S S3

5SS4

1V

V2

V3

4V

4.004.00

40kN

20kN

X

Z

.


2-131


Η στερεότητα του δικτυώματος αποδεικνύεται εύκολα (βλ. π.χ. Άσκηση Γ24)


75kNA0305A20F

AAA:ισχύει φόρτισης και φορέα συμμετρίας Λόγω

0A0F

ZZZ

ZZ7Z3

X3X

Άτονες ράβδοι: Εύκολα διαπιστώνουμε (βλ. Αβραμίδης/Μορφίδης 2007, παράγρ. 9.1.3-Γ) ότι οι ράβδοι 1-2, 1-3 και 7-9, 9-10 είναι άτονες. Αυτό προκύπτει άλλωστε άμεσα από τις συνθήκες ισορροπίας δυνάμεων στους κόμβους 1 και 9 αντιστοίχως. Οι άτονες ράβδοι σημειώνονται στο παραπάνω σχήμα με ένα μηδενικό: V1=0, U1=0, V5=0, U4=0.

(α) Υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων με τη μέθοδο των αποκλειστικά κομβικών διαχωριστικών τομών

Κόμβος 2:

30kNO0cos45DO0F

42.43kN0.70730D

030cos45D0F

1o

11X

1

o1Z

Κόμβος 3:

45kN0.70742.4375V

0cos45DV750F

30kN0.70742.43U

0Ucos45D0F

2

o12Z

2

2o

1X

Κόμβος 4:

15kN0.70721.2130O

0cos45DOO0F

21.21kN0.7073045D

030Vcos45D0F

2

o221X

2

2o

2Z

6

30kN30kN

1

2

1

X

ZV

3

4

30kN

U1 U2

2V

O21O

D21D

2.00 2.00

U

O

4

2.00

5

8

7

30kN

U3

4V3V

O3

DD3

2.00

10

9

30kN

4

5V

4

2.00

AZ3

AX3

Z7Aάξ. συμμ.

0 0

00

2

30kN

1V =0

O1

45o

1D

75kN

1U 3

D 42.43kN=-1

=0

V2

2U45o

30kN

4 2O

45o

2D45kN2 =-V

30kN1=O


2-132

Κόμβος 6:

Z 3 3

X 2 3 2 3

F 0 V 30 0 V 30kN

F 0 O O 0 O O (συμμετρία!)

Περαιτέρω, λόγω της συμμετρίας ισχύουν οι σχέσεις:

4 2 5 1 3 2 4 1

3 2 4 1 3 2 4 1

V V V V D D D D

O O O O U U U U

Διάγραμμα αξονικών δυνάμεων

(β) Υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων με τη μέθοδο Ritter

Κυκλική διαχωριστική τομή Ι για τον υπολογισμό των Ο1, D1

42.43kN1.4142.0030D0eD2.00300M

30kNO02.00O2.00300M

114

113

Κυκλική διαχωριστική τομή ΙI για τον υπολογισμό των Ο2, U2, D2

630kN

O3

V3

=O2 15kN

0

0 0

+30 +15 +30+15

-30-30συμμ.άξ.

-42.43

21.21 21.2

1-4

2.43

-30

N [kN]

-45

-45

30kN 30kN 30kN 30kN 30kN

75

0

75

0

2.00

30kN

2.00

30kN 30kN 30kN 30kN

1

2

∏

I

o45

3

e1O

1D

1U =0

4

2.00=∏ cos452.00=e 1.414m=0.707∏ο

30kN30kN

U

II

3 2

O2

4

2De45o

2.00

30kN30kN30kN

2.00

2.00

∏

5

6

75kN e 0.707ο 2.00= ∏= 2.00 cos45∏ 1.414m=


2-133

30kNU02.00302.00U0M

15kNO02.00754.00302.00302.00O0M

224

225

Επειδή οι άξονες των ράβδων Ο2 και U2 είναι παράλληλοι, δηλαδή δεν τέμνονται, δεν υπάρχει ένα σημείο ως προς το οποίο από τις τρεις δυνάμεις ράβδων O2, U2, D2 μόνο η D2 να έχει ροπή. Δηλαδή, λόγω της παραλληλότητας των πελμάτων του δικτυώματος, δεν μπορεί να καταστρωθεί μία ασύζευκτη εξίσωση ισορροπίας που να περιέχει ως άγνωστη μόνον την D2. Με ήδη γνωστή, όμως, την O2 ισχύει:

21.21kNe2.00O2.0030D

0eD2.00O2.00300M

22

223

Κυκλική διαχωριστική τομή ΙΙΙ για τον υπολογισμό της V2

45kN2.002.00U2.0075V

02.00U2.00752.00V0M

22

222

Παρατήρηση: Και πάλι, λόγω της παραλληλότητας των Ο1 και U2, η συνθήκη ισορροπίας για τον προσδιορισμό της V2 περιέχει μία ακόμη δύναμη ράβδου: την (ήδη γνωστή) U2.

Κυκλική διαχωριστική τομή ΙV για τον υπολογισμό της V3

30kNUV

02.00V2.00U2.00302.00300M

23

324

Ισχύει ανάλογη παρατήρηση, όπως και στην προηγούμενη τομή ΙΙΙ. Τα παραπάνω αποτελέσματα ταυτίζονται με εκείνα της μεθόδου των κομβικών διαχωριστικών

τομών (βλ. υποπαράγραφο (α) πιο πάνω). Οι υπόλοιπες αξονικές δυνάμεις ράβδων προκύπτουν άμεσα βάσει της συμμετρίας (βλ. σχέσεις

στο τέλος της υποπαραγραφο (α)).

75kN

U =-2 30kN

2V

30kN30kN

1

III

2

2.00

3

O1

4

30kN30kN30kN

30kNIV

2.002.00

75kN

3

4

30kN 30kN 30kN

2.00

30kN

2U 30kN=-

3V3O

D2


2-134

(γ) Υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων με τη βοήθεια των τύπων της ομόλογης δοκού

Ομόλογη δοκός (βλ. [1], παράγρ. 7.7.4-Α1, Παράτηρηση 2):

Εφαρμογή τύπων

- Άνω πέλμα:

1 3 2 5O M h 60 2.00 30kN O M h 30 2.00 15kN

- Κάτω πέλμα:

30kN2.0060hMU 32

Οι παραπάνω τιμές ταυτίζονται με τις αντίστοιχες των προηγουμένων δύο μεθόδων (βλ. υποπαραγρ. (α) και (β) πιο πάνω).

Με γνωστές τις Ο1, Ο2, U2 υπολογίζουμε τις αξονικές δυνάμεις D1, D2, V2, V3 από κατάλληλες συνθήκες ισορροπίας κόμβων κατά τα γνωστά:

3Z

2Z

2X

1X

V0F:6 Κόμβος

V0F

D0F:4 Κόμβος

D0F:2 Κόμβος

Η αναλυτική κατάστρωση των παραπάνω συνθηκών ισορροπίας και η εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων επαφίενται στον αναγνώστη ως μικρή άσκηση.

10

75kN

2.002.00

2U1U

3

2.002.00

759

6

1

30kN

0 V

2

D1 2D

O1 2O

V2

30kN

4

V3

30kN

830kN

h=2.00

30kN

10

άξ. συμμ. 75kN

75kN

2.00 2.00 2.00

75kN

2.00

30kN 30kN30kN30kN 30kN

1,2 3,4 5,6 7,8 9,10

- -

- -15kN

30kN+

+

-30kN

15kN

∆ιάγραμμα M(x)

ομόλογης δοκού

ομόλογης δοκού

∆ιάγραμμα Q(x)

3=- 60kNmM 7M =- 60kNm

30kNm5=-M


2-135

Άσκηση H8/2

o

o

o

α 63.4354.00

tgα 2 cosα 0.44722.00

sinα 0.8944

β 452.00

tgβ 1 cosβ 0.70712.00

sinβ 0.7071

γ 26.5652.00

tgγ 0.5 cosγ 0.89444.00

sinγ 0.4472

Η στερεότητα του δικτυώματος αποδεικνύεται εύκολα (βλ. Άσκηση Ζ5).


100kNA0PA0F

150kNA0AA0F

150kNA06.00P4.00A0M

Z1Z5Z1Z

X1X1X2X

X2Z5X21

(α) Υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων με τη μέθοδο των αποκλειστικά κομβικών διαχωριστικών τομών

Κόμβος 1:

200kNS

0sinαSS1000F

335.42kNS0cosαS1500F

12

1412Z

1414X

Κόμβος 2:

50kNS

0cosβSS1500F

282.88kNS0sinβSS0F

24

2324X

232312Z

Κόμβος 3:

300kNS

0sinγSSsinβS0F

223.61kNS

0cosγScosβS0F

34

353423Z

35

3523X

2.00

4.00

4.00

1

2.00

X

Z

4

3

25

=100kNZ5P

β γ

α

Z1AX1A

X2A

1

100kN150kN

12S

α14S

β2

150kN S24

12S = 200kN

23S

34S23S =

35Sγ

β

282.88kN

3


2-136

Κόμβος 4:

03000.8944335.42

SsinαSF:Έλεγχος

200kNS

0ScosαSS0F

3414Z

45

451424X

Κόμβος 5:

00.4472223.61100

sinγS100F:Έλεγχος

00.8944223.61200

cosγSSF:Έλεγχος

35Z

3545X


(β) Υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων με τη μέθοδο Ritter

- Κυκλική διαχωριστική τομή Ι για τον υπολογισμό των S12, S14 (βλ. παρακάτω σχήμα)

335.4kN1.7894.00150S

04.00150eS0M

200kN2.002.001004.00150S

02.001002.00S4.001500M

14

142

12

124

Τα ίδια αποτελέσματα παίρνουμε καταστρώνοντας τις δύο συνθήκες ροπών για το άνω τμήμα (κυκλική/κλειστή διαχωριστική τομή Ι΄):

4

α S45

S =-34 300kN

50kNS24 =-

14S =-335.42kN

Z5P =100kN

γ5

200kN45 =-S

=S35 223.61kN

+223.61

-200

+282

.88

-50

-300

+20

0

-335

.42

1

45

3

2

N [kN]

100

150

150

100


2-137

335.4kN1.7896.00100S

06.00100eS0M

200kN2.004.00100S

04.001002.00S0M

14

142

12

124

- Κυκλική διαχωριστική τομή ΙΙ για τον υπολογισμό των S23, S24

[Α = σημείο τομής των αξόνων των ράβδων 2-3 και 1-4]

ab100S0b100aS0M

282.88kN1.414400S04.00100eS0M

2424A

23234

150kN

100kN

150kN

4.00

2.00

4.002.00

100kN

1

54

3

2

α

X

Z

∏eα

14S12S

I

I΄

1.789m=sinα∏2.00=e

5

100kN

150kN

150kN

4.00

1

2.00

4.00

e

=e

α

X

Z

S14

2.00

4

= 1.414msinβ∏

100kN

a

2

3

∏

β

c 1

c 2c

23S

A∏

b

β

δ

90 αο

24S

δ = =β 18.435(90ο -

-

α )-ο90 - =α -β ο

IΙ

=β 45ο fl cosβ = sinβ =0.707

=tgα 4/2 fl α = 63.43= 2 ο


2-138

Υπολογισμός των αποστάσεων a και b:

1

2

1 2

c 2.00 cosβ 2.00 0.707 1.414m

c e tgδ 1.414 tg18.435 1.414 0.333 4.242m

c c c 1.414 4.242 5.66m

a c sinβ 5.66 0.707 4.00m

b 6.00 c cosβ 6.00 5.66 0.707 2.00m

Συνεπώς: 24S 100 (2.00 / 4.00) 50kN

Παρατήρηση: Οι παραπάνω υπολογισμοί των διαφόρων αποστάσεων και μοχλοβραχιόνων, δηλαδή ο προσδιορισμός του σημείου τομής Α των δύο δυνάμεων S23 και S14, θα μπορούσαν να αποφευχθούν αν, αντί να υπολογίσουμε την S24 κατά Ritter από τη συνθήκη ισορροπίας ροπών ΣΜ(Α)=0, την υπολογίζαμε με τη βοήθεια της συνθήκης ισορροπίας δυνάμεων κατά Χ στον κόμβο 2:

50kN0.707282.88150S

cosβS150S

0cosβSS1500F

24

2324

2324X

Η S23 έχει ήδη υπολογιστεί και, συνεπώς, η παραπάνω εξίσωση μας δίνει τη ζητούμενη S24. Απλώς, στην περίπτωση αυτή δεν υλοποιείται η πλήρης αποσύζευξη, η οποία είναι το ζητούμενο στη μέθοδο Ritter, αφού ο υπολογισμός της S24 απαιτεί τον προηγούμενο υπολογισμό της S23.

- Κυκλική διαχωριστική τομή ΙΙΙ για τον υπολογισμό των S34, S45

200kN2.004.00100S

04.001002.00S0M

300kN2.006.00100S

06.001002.00S0M

45

453

34

342

β2

150kN S24

12S = 200kN

23S

5

100kN

150kN

150kN

4.00

1

4.00

X

Z

2.00

4

100kN

2.002

3

S34

45S

S23

III


2-139

- Κυκλική διαχωριστική τομή ΙV για τον υπολογισμό της S35

223.6kN1.7894.00100S

04.00100eS0M

35

354

Παρατηρήσεις: 1. Τα παραπάνω αποτελέσματα ταυτίζονται με εκείνα της μεθόδου των κομβικών διαχωριστικών τομών. 2. Οι παραπάνω διαχωριστικές τομές Ritter επιλέχθηκαν έτσι ώστε κάθε συνθήκη ισορροπίας ροπών σε κάθε διαχωριστική τομή να αποτελεί μία εξίσωση για μία μόνο αξονική δύναμη ράβδου. Συνεπώς, η σειρά με την οποία θεωρήσαμε τις τομές Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV είναι αδιάφορη.

Άσκηση H8/3 Κατ’ αναλογία προς το παράδειγμα του σχήματος 7.7.4-6 του τόμου θεωρίας (Αβραμίδης 2014), καταστρώνουμε κατάλληλες συνθήκες ισορροπίας για τις ακόλουθες κυκλικές διαχωριστικές τομές Ι έως VIII:

Τομή Ι:

άτονη 6-3 ράβδος0V0F

40kNS0F

2Z

4X

2.00

100kN

2.00100kN 4.00

2

1

4.00

150kN

150kN S454

Z

X

5

IV

3

e

γ

∏α

35S

2.00=e = 1.789msinα∏

V1

1

20kN

40kN

2V

6

3

4.00

D

4.00

1S

D13V

34.00

2

S

S

DX

Z

4S

S2

2D

5

8

V4

5

3

44.00

7

4

VIII

VI

III III

VII

V

IV

40kN 6

S4

V2


2-140

Τομή ΙΙ:

άτονη 7- 4 ράβδος0V0F

άτονη 7- 8 ράβδος0S0F

4Z

5X

Παρατήρηση: Το γεγονός ότι οι ράβδοι V2, V4 και S5 είναι άτονες προκύπτει άμεσα και βάσει των κανόνων που δόθηκαν στην παράγραφο 9.1.3-Γ/4 του [1].

Τομή ΙΙΙ:

42

o4

o2Z

DD

0cos45Dcos45D0F

Τομή ΙV:

0.70740DD

0cos45Dcos45D400F

42

o4

o2X

Σύγκριση των (*) και (**) δίνει:

28.29kND: βλ. Συνεπώς

28.29kND

256.58D56.58DD

2

4

444

Τομή V:

20kNV04.00408.00V0M

20kNV04.00408.00V0M

114

333

V4

5S

7

8

5SS4 o45

4DD2

640kN 7

2V V4D2 4D

8 45o45o

320kN 4

640kN

87

1V 3V

S2 S3

4.00 4.00

4.00


2-141

Τομή VΙ:

31

o3

o1Z

DD

0cos45Dcos45D0F

Τομή VII:

0.70760DD

0cos45Dcos45D20400F

31

o3

o1X

Σύγκριση των (•) και (••) δίνει:

42.43kND: βλ. Συνεπώς

42.43kND

284.87D84.87DD

1

3

333

Τομή VΙΙI:

30kNcos45DS

0cos45DS0F

o31

o31X


5

D1 3D45o2S S3

320kN

54

640kN

87

45o o45

1D 3D1V 3V

45

S1 2

3D o

V3

Z2A

3

1

54

2

6 87

-40 +20

+30

+20

0 0

-40 0

-20

+28.

29

+42.

43

-28.29

-42.43

N [kN] 40

20

AZ1

AX1AZ2


2-142


Κόμβος 1:

50kNA

00.70742.4320A0F

60kN0.70742.4330A

0cos4542.4330A0F

Z1

Z1Z

X1

oX1X

Κόμβος 2:

50kNA

0cos4542.4320A0F

Z2

oZ2Z

Έλεγχος ορθότητας αντιδράσεων στήριξης

Οι αντιδράσεις στήριξης προσδιορίστηκαν πιο πάνω με τη βοήθεια των προηγουμένως υπολογισθεισών αξονικών δυνάμεων των ράβδων. Κατά συνέπεια, η ορθότητα των παραπάνω τιμών των αντιδράσεων στήριξης μπορεί να ελεγχθεί καταστρώνοντας τις συνθήκες ισορροπίας για ολόκληρο τον φορέα, αφού σ’ αυτές δεν υπεισέρχονται οι εσωτερικές αξονικές δυνάμεις ράβδων αλλά μόνο τα εξωτερικά φορτία και, βέβαια, οι ζητούμενες αντιδράσεις στήριξης.

0400803208.00504.00208.0040M

05050F

0602040F

2

Z

X

1

Z1AX1A

30kN1S =

V 20kN1 = 42.43kN=D1

45o

2

AZ2

V =-3 20kN

45o3=- 42.43kND

30kN1S =

5

1

3

2

4

867

20kN

40kN

-50kN60kN

50kN

4.004.00

4.00

4.00

X

Z


2-143

2.2.9 Σύνθετοι επίπεδοι φορείς (Ομάδα Η9) Για τους παρακάτω σύνθετους φορείς να υπολογιστούν, με τη βοήθεια κατάλληλων διαχωριστικών τομών, και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων Μ(x), Q(x), N(x). Ως πρόσθετη άσκηση, ο αναγνώστης καλείται να εντοπίσει διαχωριστικές τομές θα μπορούσαν να είχαν εξοικονομηθεί κάνοντας χρήση συλλογισμών που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας.

H9/2

H9/1

3.001.753.50 1.75

10.00

1

2

3

4 5 6

7

Z

X

F =100kN4

3.50

2.00

1.50

7.00

q=10kN/m

1

2

3

4

5

6

7

8 9

ML4

4.00 4.00 3.00

1.00

1.00

3.00

1.50

6.50

=

L4M

-65.5kNm (βλ. Άσκηση Ζ8)


X

Z

α

α


2-144



50kNA0FAA0F

150kNA05.25F3.50A0M

0A0F

Z14Z7Z1Z

Z74Z71

X6X


Τα δομικά στοιχεία 1-7, 2-7 και 7-5 είναι αμφιαρθρωτά και αφόρτιστα, και, συνεπώς, επιπονούνται μόνο αξονικά, δηλαδή λειτουργούν ως ράβδοι δικτυώματος. Οι αξονικές τους δυνάμεις υπολογίζονται με κατάλληλες κυκλικές διαχωριστικές τομές ως εξής:

Ράβδος 7-5:

Η αξονική δύναμη Ν75=-106.08kN υπολογίστηκε ήδη στην Άσκηση Ζ7 όπου και παραπέμπεται ο αναγνώστης. (Σημείωση: Η αξονική δύναμη μπορεί να συμβολιστεί και ως Ν57, δηλαδή η ακολουθία των δύο αριθμών κόμβων είναι αδιάφορη στην προκειμένη περίπτωση, αφού η ράβδος δεν φέρει μεταξύ των άκρων της αξονικά φορτία και, συνεπώς, η αξονική δύναμη παραμένει σταθερή σε όλο το μήκος της).

Ράβδος 2-7:

150kNN

03.50A3.50N

0M

27

Z727

5

2

1

2.00

7.00

3.50

1.50

3

3.00

10.00

Z

7

3.50 1.75 1.75

X

4F =100kN

54 6

Z7A

AZ1

AX6

α

α=45o

AZ7

7

5

27N

N17

= 150kN

3.50

3.50


2-145

Ράβδος 1-7:

106.08kNN

0dNN3.50A

0M

17

1775Z7

2

Ισορροπιακός έλεγχος κόμβου 7:

07575150

0.707106.080.707106.08150

sinαΝsinαNAF

07575150

0.707106.080.707106.08150

cosαΝcosαNNF

7517Z7Z

751727X

Δοκός 3-4-5-6:

Τομή Ι:

0M0M

0Q0F

0N0F

55

56Z

56X

Τομή ΙΙ:

131.25kNm1.75sinαNM0M

75kNsinαNQ0F

75kNcosαNN0F

5744

5745Z

5745X

Τομή ΙΙΙ:

άρθρωση0M

25kNsinαNFQ0F

75kNcosαNN0F

3

57435Z

5735X

72

150kN=Z7A17N

106.08kNN75 =-

α=45ο

3.50

cosα=sinα=0.707

d=3.50 sinα∏

∏

d

150kN

7

=Z7A

106.08kN75 =-N

N =-27 150kN

N =17 106.08kN

α

3

3.003.50 1.75 1.75

X

Z

4 5

F =100kN4

X6A6

N =-75 106.08kN

=0α35N

Q353M =0

οα=45cosα=sinα=0.707

Τομή ΙΙΙΤομή ΙΙ

Τομή Ι


2-146

Δοκός 1-2-3:

Με γνωστά ήδη τα απεικονιζόμενα εντασιακά μεγέθη στην παραπλεύρως διαχωριστική τομή, ο υπολογισμός των M(x), Q(x), N(x) της δοκού είναι απλός. Για χαρακτηριστικά της σημεία παίρνουμε:

Z7. Άσκησηστην

κευπολογίστη που Q της τιμή την με Σύγκρ. α*

25kNQN

25kNQN

75kNNNQ

* 75kNNQ

262.50kNm3.50NM

3512

3523

273521

3523

352

Ισορροπιακός έλεγχος κόμβου 1:

0500.707106.0825

AsinαNNF

00.707106.0875

cosαNQF

Z11712Z

1712X


1

2

2.00

3.50

α

31.50

N27 =-150kN

17N 106.08kN=

34N = 75kN

25kN34 =Q

50kN=-Z1A

1

Z1A -= 50kN

N =106.08kN17

25kN=-12N

Q12 =-75kN

οα=45

α

7

+

131.25

-

-262.50

M(x) [kNm]

0

0

0

0

α

-

-75

Q(x) [kN]

0

0

7

0

0

+

-

+

25

-75

75


2-147

Άσκηση H9/2


05050A5.0010F:Έλεγχος

50kNcos45AA

70.72kNsin4550A

50kNA0AAA0F

53.125kNA02.50R3.00A11.00A0M

βλ. 3.125kNA08.00A2.503.00R0M

X9X

o9X9

o9

Z9Z9Z8Z1Z

Z8Z8Z19

Z1Z17

Ζ8 Άσκηση


Τα δομικά στοιχεία 2-6 και 7-9 είναι αμφιαρθρωτά και αφόρτιστα, και, συνεπώς, επιπονούνται μόνο αξονικά, δηλαδή λειτουργούν ως ράβδοι δικτυώματος. Η αξονική δύναμη Ν79 της ράβδου 7-9 είναι, προφανώς, ίση με Ν79 = -Α9 = -70.72kN. Η αξονική δύναμη N26 της ράβδου 2-6 προκύπτει με τη βοήθεια της κυκλικής διαχωριστικής τομής ΙΙ

7-

75

-150

N(x) [kN]

-25

-106.08

0+

-+

106.08

1

2

35

4

-

65.5kNm

4.00

-=L4M

1

3

2

q=10kN/m

4.00

Z

X

3.00

8

7

α4

6

5

6.50

3.00

9

1.50

1.00

1.00

οα=45

Z1A AZ8 AZ9

X9A

9A

R=50kN


2-148

της Άσκησης Ζ8:

48.80kNN

2.5043.1252.504.00502.5065.50N

02.50N4.00A4.00RM0M

26

26

26Z1L4αριστ4,

Παρατήρηση: Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι υπό τη δεδομένη φόρτιση η ράβδος 2-6 δεν λειτουργεί ως εφελκυόμενος ελκυστήρας, αλλά καταπονείται θλιπτικά. Με γνωστές τις αντιδράσεις στηρίξεων και τις αξονικές δυνάμεις των άβδων 2-6 και 7-9, ο υπολογισμός των φορτίων διατομής σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία του φορέα γίνεται κατά τα γνωστά με εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας σε κόμβους ή τμήματα του φορέα που αποσπώνται από αυτόν με κατάλληλες κυκλικές διαχωριστικές τομές, όπως π.χ. αυτές που σημειώνονται στα ακόλουθα σχήματα:

Τομή Ι:

80kNmM024.004.00qM0M

3.125kNN0AN0F

40kNQ04.00qQ0F

222

21Z121Z

2121X

Κόμβος 2:

3.125kNNN0F

8.80kN48.8040Q

NQQ0F

2123Z

23

262123X

Τομή ΙΙ:

76.20kNm1.0048.8125M

01.00N25.005.00qM0M

3.125kNN0AN0F

1.20kN48.85.0010Q

0N5.00qQ0F

3

2633

32Z132Z

32

2632X

A

X

Z1A 4.00

Z

1

AZ84.00

8

Z9A3.00

α=45ο 9

3.00

L4

q=10kN/m

R

M

4

2

3

65.5kNm=-

5

6

7

1.00

1.00

1.50

X9

26N =-48.80kN

Ι

ΙΙ

θ θ

cosθ=0.936sinθ=0.351


=3.125kN

2M2

2MN =-48.80kN26

23QN23

N =-3.125kN21

Q =-40kN21


2-149

Κόμβος 3:

2.50kN0.9363.1250.3511.20Q

0cosθNsinθQQ

0F

2.22kN0.3513.1250.9361.20N

0sinθNcosθQN

0F

34

323234

z

34

323234

x

4-3 δοκού άξονας τοπικός :z

4-3 δοκού άξονας τοπικός :x

Ισορροπιακός έλεγχος δοκού 3-4:

04.282.5076.2065.50

LQMMM 34343L44

Τομή ΙΙΙ:

0M0M

53.125kNN0AN0F

0Q0F

77

78Z878Z

78X

Κόμβος 7:

3.125kN0.70770.7253.125N

0sinαNNN0F

50kN0.70770.72Q

0cosαNQ0F

76

797876Z

76

7976X

3

θ

3M3M

Q34

32Q =-1.20kN

32N =-3.125kN

34N

x

z

L4

4

3

M =-65.5kNm

θ

L 34

z

x

3=-76.20kNmM

34Q =2.50kNL = 4.00/cosθ34 = 4.28m

V

9

A

6.50

X

L4

AZ1

Z

1

4.00

q=10kN/m4

2

3

M

Z8A

8

4.00 A

Z9A

α=45ο

9

3.00

3.00

56

α

7

=-65.5kNm

1.00

1.00

1.50

X9

N =-70.72kN79

=70.72kN

=50kN

=50kN

ΙΙI

ΙV

=-53.125kN

Q76

78N =53.125kN

78Q =079N =-70.72kN

76N

οα=45

7


2-150

Τομή ΙV:

3.125kN0.70770.7253.125N

0sinαNAN0F

50kN0.70770.72Q

0cosαNQ0F

67

79Z867Z

67

7967X

Τομή V:

50kNm3.00504.0050M

03.00A4.00AM0M

6

Z9X966

Κόμβος 6:

3.125kNN0NN0F

1.20kN5048.8Q

0QNQ0F

676765Z

65

676265X

Δοκός 5-6:

kNm51.201.001.2050

1.00QMM0M

3.125kNNN0F

1.20kNQQ0F

65655

6556Z

6556X

Κόμβος 5:

3.35kN0.9363.1250.3511.20Q

0cosθNsinθQQ

5-4 δοκού άξονας τοπικός :z0F

00.03kN0.3513.1250.9361.20N

0sinθNcosθQN

5-4 δοκού άξονας τοπικός :x0F

54

565654

z

54

565654

x

Παρατήρηση: Σύμφωνα με την Άσκηση Ζ8 η αξονική δύναμη Ν45=Ν54 της δοκού 4-5 πρέπει να προκύψει μηδενική. Η μικρή απόκλιση οφείλεται σε στρογγυλοποιήσεις κατά τους αριθμητικούς υπολογισμούς.

Ισορροπιακός έλεγχος δοκού 4-5:

00.0414.3451.265.5

4.283.3551.2065.50

LQMMM 45545L44

6N =-48.80kN62

65N65Q6M

6MQ =50kN67

N =3.125kN67

1.005M

N5656Q

=-6M 50kNmQ =1.20kN65

N =3.125kN65

6

5

5θ z

x

56N =3.125kN

M5

5M

Q =1.20kN56

54Q54N

4.28m

65.5kNm

4

=45 4.00/cosθ=L

xz

=-ML4

45Lθ

5

51.2kNmM5=-

54Q =3.35kN


2-151

Σημείωση: Η μικρή απόκλιση οφείλεται στις στρογγυλοποιήσεις κατά τους αριθμητικούς υπολογισμούς.


M(x) [kNm]

Q(x) [kN]

-40

-1.20

7

8

9

+1.200

+50

N(x) [kN]

-3.125

-

-2.22

-48.8

9

8 -

+3.125

0

-70.72

7 53.125

+

0

+3.35

0

+

+2.50

-

8.80 +

-76.20

-

0

9

8

0

-51.20

7

-50

0

-65.50

- -

-

-80

20

1.25

6

5

4

2

3

1

1

56

4

2

3

6

5

4

2

1

3

-

παραβολή

2 βαθμούου


2-152

2.3 Υπολογισμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής χωρικών φορέων (Ομάδα Θ) 2.3.1 Χωρικοί πλαισιακοί φορείς (Χωροπλαίσια) (Ομάδα Θ1) Για τους παρακάτω χωρικούς πλαισιακούς φορείς να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των ζητούμενων φορτίων διατομής με τη μέθοδο των επιλεγμένων διαχωριστικών τομών.

Θ1/1

Θ1/2

YZ

X

4.00

∏

3.00

1

23

4q=10kN/m

25kN20kN

15kN

2.00

Για τον απεικονιζόμενο φορέα ζητούνται:

N(x), Qy z(x),(x), Q

(x), M

(x)zy(x), MMx

∏

12

80kN

40kN

3

4

5

30kN

4.00

3.00

2.50

2.50

Για τον απεικονιζόμενο φορέα ζητούνται:

N(x), Q

(x), M

Mx

(x),zy(x), Q

(x), M (x)y z


Κυλινδρικήάρθρωση

Y Z

X

y

xz

z

xy

z

x

y

zx

y

xy

z

y

zx


2-153

ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Θ1/1

Ο δεδομένος χωρικός φορέας καταχρηστικά μόνο μπορεί να χαρακτηριστεί ως πλαισιακός, αφού δεν είναι παρά ένας πρόβολος τεθλασμένης γεωμετρίας στον χώρο. Οι έξι αντιδράσεις στήριξης που αναπτύσσονται στην πάκτωση 1 υπολογίζονται άμεσα καταστρώνοντας τις αντίστοιχες έξι συνθήκες ισορροπίας για ολόκληρο τον φορέα, αλλά, όπως θα δούμε παρακάτω, η γνώση τους δεν απαιτείται οπωσδήποτε για τον υπολογισμό των ζητούμενων φορτίων διατομής του δεδομένου φορέα. Αυτά είναι δυνατόν να υπολογιστούν άμεσα με τη γνωστή μας μέθοδο των επιλεγμένων κυκλικών διαχωριστικών τομών, ξεκινώντας από το ελεύθερο άκρο 4 του φορέα και προχωρώντας προς την πάκτωση 1. Οι τομές πρέπει να διέρχονται από όλα εκείνα τα διακεκριμένα σημεία του φορέα, π.χ. σημεία αλλαγής της διεύθυνσης του άξονα x ή σημεία όπου ενεργούν μοναχικά φορτία, στα οποία μας ενδιαφέρουν οι τιμές των φορτίων διατομής. Στα σημεία αυτά καταλύεται η συνέχεια του εκάστοτε στοιχείου και στις δύο όχθες της τομής προσάγονται τα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική τους φορά, βάσει του καθορισθέντος τοπικού συστήματος αναφοράς του υπόψη στοιχείου. Ακολούθως, καταστρώνονται κατάλληλες συνθήκες ισορροπίας για τον διαχωρισθέντα κόμβο ή για το διαχωρισθέν τμήμα του φορέα, από τις οποίες προκύπτουν τα ζητούμενα φορτία διατομής. Αυτό που κατά κανόνα επιδιώκουμε, χωρίς όμως να είναι πάντα εφικτό, είναι ο υπολογισμός ενός ζητούμενου φορτίου διατομής από μία και μόνο εξίσωση ισορροπίας. Για τον δεδομένο φορέα αυτό είναι, πράγματι, δυνατό. Εφιστάται η προσοχή του αναγνώστη στο γεγονός ότι οι γωνίες αλλαγής διεύθυνσης του άξονα του φορέα στους κόμβους 2 και 3 είναι ορθές (δηλαδή 90ο) και στο ότι ο προσανατολισμός των τοπικών συστημάτων αναφοράς x-y-z των τριών στοιχείων 1-2, 2-3 και 3-4 έχει καθοριστεί με τον συγκεκριμένο τρόπο που φαίνεται στην εκφώνηση.

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. παραπάνω σχήμα, δεξιά) Για τον υπολογισμό των έξι αντιδράσεων στήριξης καταστρώνονται οι έξι συνθήκες ισορροπίας για ολόκληρο τον φορέα ως προς τους καθολικούς άξονες αναφοράς X, Y, Z (τρεις συνθήκες ισορροπίας δυνάμεων και τρεις συνθήκες ισορροπίας ροπών ως προς το σημείο 1):

YZ

X

4.00

∏

3.00

1

23

4q=10kN/m

25kN20kN

15kN

2.00

y

xz

z

xy

z

x

y4.00

Y

y

Z3.00

3

X

∏

15kNy

xz

z

x

y

1

2 z

q=10kN/m

2.00x

420kN

25kN

ΑΧ1 ΠΧ1Μ

Ζ1ΑΥ1Α

ΜΠΥ1

ΠΖ1Μ


2-154

5kNmM02.0203.015M0M

200kNmM04.0203.02523.03.010M0M

110kNmM02.00254.0015M0M

55kNA0253.0010A0F

15kNA015A0F

20kNA020A0F

ΠZ1ΠZ11Z

ΠY1ΠY11Y

ΠX1ΠX11X

Z1Z1Z

Y1Y1Y

X1X1X

Β. Υπολογισμός των φορτίων διατομής (Ροπές κάμψης Μy(x) και Μz(x), ροπή στρέψης Μx(x)=ΜΤ(x), τέμνουσες δυνάμεις Qy(x) και Qz(x), και αξονική δύναμη Ν(x) για κάθε δομικό στοιχείο)

Στοιχείο 3-4

Δεξιό άκρο του στοιχείου 3-4 (κόμβος 4): Κατ' αρχάς είναι σαφές ότι στο ελεύθερο άκρο, δηλαδή στον κόμβο 4, όλα τα φορτία διατομής είναι μηδενικά, εκτός από τις δύο τέμνουσες που αντιστοιχούν στα ενεργούντα εκεί φορτία:

25kNQ0F

20kNQ0F

z4z

y4y

Από τις υπόλοιπες τέσσερεις συνθήκες ισορροπίας παίρνουμε άμεσα: Μx4=My4=Mz4=N4=0

Αριστερό άκρο του στοιχείου 3-4 (κόμβος 3): Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής στο αριστερό άκρο του στοιχείου 3-4, δηλαδή στον κόμβο 3, αποσπούμε το στοιχείο 3-4 από τον φορέα με μια κυκλική διαχωριστική τομή, προσάγουμε στη δεξιά όχθη της τομής, δηλαδή στο αριστερό άκρο του στοιχείου 3-4, τα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική φορά τους και καταστρώνουμε τις έξι συνθήκες ισορροπίας ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς x, y, z του στοιχείου 3-4.

40kNmM

02.020M0M

50kNmM

02.025M0M

0M0M

25kNQ0F

20kNQ0F

0N0F

z34

z343z

y34

y343y

x343x

z34z

y34y

34x

Για τα διαγράμματα των φορτίων διατομής ισχύουν οι γνωστοί από τους επίπεδους φορείς κανόνες. Ειδικότερα, εφόσον μεταξύ των κόμβων 3 και 4 δεν ενεργούν εξωτερικά φορτία, τα διαγράμματα του στοιχείου 3-4 προκύπτουν με ευθύγραμμη σύνδεση των τεταγμένων τους στους κόμβους 3 και 4.


Δεξιό άκρο του στοιχείου 2-3 (κόμβος 3): Για να βρούμε τα φορτία διατομής στο δεξιό άκρο του στοιχείου 2-3 αποσπούμε τον κόμβο 3 από τον φορέα με μια κυκλική διαχωριστική τομή, προσάγουμε στις δύο όχθες της τομής, δηλαδή αριστερά και

25kN20kN

4=0

y

x

z

Qz4

y4Q

3 yx

25kN20kN

4

2.00

z

Qz34

Qy34

Mz34

My34

34N

x34M


2-155

δεξιά του κόμβου 3, τα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική φορά τους και καταστρώνουμε τις έξι συνθήκες ισορροπίας για τον κόμβο αυτόν ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς x, y, z του στοιχείου 2-3:

40kNmMM0MM0M

0MM0MM0M

50kNmMM0MM0M

25kNQQ0QQ0F

15kNN15Q0N15Q0F

20kNQN0QN0F

z34z32z34z323z

x34y32x34y323y

y34x32y34x323x

z34z32z34z32z

34y3234y32y

y3432y3432x

Παρατήρηση 1: Οι τοπικοί άξονες z και των δύο στοιχείων 2-3 και 3-4 συμπίπτουν, δηλαδή έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια θετική φορά. Γι’ αυτό τα φορτία διατομής που αναφέρονται στον άξονα αυτόν είναι ίσα, κατά τιμή και πρόσημο, εκατέρωθεν του κόμβου 3: Qz32=Qz34, Mz32=Mz34. Αντίθετα, οι τοπικοί άξονες x και y των δύο στοιχείων 2-3 και 3-4, βρίσκονται μεν στο ίδιο επίπεδο, αλλά είναι στραμμένοι ο ένας ως προς τον άλλο κατά 90ο. Λόγω αυτού του γεγονότος, κατά τη μετάβαση από το δεξιό άκρο του στοιχείου 2-3, σημείο αριστερά του κόμβου 3, στο αριστερό άκρο του στοιχείου 3-4, σημείο δεξιά του κόμβου 3: η αξονική δύναμη Ν32 «μετατρέπεται» σε τέμνουσα δύναμη Qy34, η τέμνουσα δύναμη Qy32 «μετατρέπεται» σε αξονική δύναμη Ν34,λαμβάνοντας υπόψη και το

επικόμβιο φορτίο, η ροπή κάμψης Μy32 «μετατρέπεται» σε ροπή στρέψης Mx34 και η ροπή στρέψης Μx32 «μετατρέπεται» σε ροπή κάμψης Μy34.

Παρατήρηση 2: Εναλλακτικά, τα φορτία διατομής στο δεξιό άκρο του στοιχείου 2-3 μπορούν να υπολογιστούν και με τη βοήθεια της ακόλουθης τομής, αντί της κομβικής τομής που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω:

Επαφίεται στον αναγνώστη να ελέγξει αν η εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας στο παραπάνω διαχωρισθέν τμήμα του φορέα θα δώσει τα ίδια αποτελέσματα για τα ζητούμενα φορτία διατομής.

Αριστερό άκρο του στοιχείου 2-3 (κόμβος 2): Κατ’ αναλογία προς τη διαδικασία που ακολουθήσαμε για το στοιχείο 3-4, ο υπολογισμός των φορτίων διατομής στο αριστερό άκρο του στοιχείου 2-3, δηλαδή στον κόμβο 2, γίνεται αποσπώντας το στοιχείο 2-3 από το φορέα με μια κυκλική διαχωριστική τομή, προσάγοντας στη δεξιά όχθη της τομής, δηλαδή στο αριστερό άκρο του στοιχείου 2-3, τα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική τους φορά και καταστρώνοντας τις έξι συνθήκες ισορροπίας ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς x, y και z του στοιχείου 2-3:

3

15kN Mz34

z34Qy34My34Q

N34

x34M

x

z

y

N32Mx32

z32MMy32

x

y z Qy32

=0

z32Q

25kN20kN4

2.00

Qz32

y32Mz32M

zy

x

y32Q

x32M 32N

15kN

3


2-156

5kNm3.01540

3.0QMM0M

120kNm3.0Q

23.010MM0M

50kNmMM0M

55kN3.0010QQ0F

15kNQQ0F

20kNNN0F

y32z32z232z

z32

2y32y232y

x32x232x

z32z23z

y32y23y

3223x

Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής προκύπτουν με ευθύγραμμη σύνδεση των τεταγμένων τους στα σημεία 2 και 3, εκτός από το διάγραμμα My(x), το οποίο προκύπτει με «κρέμασμα» στην ευθύγραμμη κλείουσα της παραβολής q·L2/8 κατά τα γνωστά από τους επίπεδους φορείς.

Παρατήρηση 3 (σύγκρ. Παρατήρηση 2 πιο πάνω): Εναλλακτικά, τα φορτία διατομής στο αριστερό άκρο του στοιχείου 2-3 μπορούν να υπολογιστούν και με τη βοήθεια της ακόλουθης τομής, αντί της τομής που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω:

Επαφίεται στον αναγνώστη να ελέγξει αν η εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας στο παραπάνω διαχωρισθέν τμήμα του φορέα θα δώσει τα ίδια αποτελέσματα για τα ζητούμενα φορτία διατομής.


Δεξιό άκρο του στοιχείου 1-2 (κόμβος 2): Για να βρούμε τα φορτία διατομής στο δεξιό άκρο του στοιχείου 1-2 αποσπούμε τον κόμβο 2 από τον φορέα με μια κυκλική διαχωριστική τομή, προσάγουμε στις δύο όχθες της τομής τα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική φορά τους, δηλαδή κάτω και δεξιά του κόμβου 2, και καταστρώνουμε τις έξι συνθήκες ισορροπίας για τον κόμβο αυτόν ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς x, y, z του στοιχείου 1-2:

50kNmMM0MM0M

120kNmMM0MM0M

5kNmMM0MM0M

20kNQ0NQ0F

15kNQQ0QQ0F

55kNQN0QN0F

x23z21x23z212z

y23y21y23y212y

z23x21z23x212x

z2123z21z

y23y21y23y21y

z2321z2321x

3y

q=10kN/m

2z

x

3.00

Qy23

My23

z23Q

N32 Mx32

Mz23

N23Mx23

z32M

Qz32

y32My32Q

3y

q=10kN/m

2z

x

15kN

yx

25kN20kN

4

2.00

z

Q

y23Q

M

Mx23

y23

N23

z23

Mz23

3.00

zy

y2

x

z

x∏

M

y23My23

z23

Q

Q

z23

23N x23M

x21M

N21

Qz21z21M

y21M

y21Q


2-157

Παρατήρηση 4 (Σύγκρ. προηγούμενες παρατηρήσεις): Εναλλακτικά, τα φορτία διατομής στο δεξιό άκρο του στοιχείου 1-2 μπορούν να υπολογιστούν και με τη βοήθεια της ακόλουθης τομής:

Επαφίεται στον αναγνώστη να ελέγξει, αν η εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας στο παραπάνω διαχωρισθέν τμήμα του φορέα θα δώσει τα ίδια αποτελέσματα για τα ζητούμενα φορτία διατομής.

Αριστερό άκρο του στοιχείου 1-2 (κόμβος 1): Τα φορτία διατομής στο αριστερό άκρο του στοιχείου 1-2 μπορούν να υπολογιστούν - όπως και στα προηγούμενα δύο στοιχεία - αποσπώντας το στοιχείο 1-2 από τον φορέα με μια κυκλική διαχωριστική τομή και καταστρώνοντας γι’ αυτό τις συνθήκες ισορροπίας ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς του. Εφόσον, όμως, έχουμε ήδη υπολογίσει τις έξι αντιδράσεις στήριξης στην πάκτωση 1, μπορούμε, αντί της θεώρησης της ισορροπίας του στοιχείου 1-2, να θεωρήσουμε την ισορροπία του κόμβου 1 (Υπενθύμιση: Οι αντιδράσεις στήριξης αναφέρονται στους καθολικούς άξονες Χ, Υ, Ζ):

110kNmMM0M

200kNmMM0M

5kNmMM0M

20kNAQ0F

15kNAQ0F

55kNAN0F

ΠX1z11z

ΠY1y11y

ΠΖ1x11x

X1z1z

Y1y1y

Z11x

Επαφίεται στον αναγνώστη να ελέγξει αν διαχωρίζοντας με μια κυκλική τομή το στοιχείο 1-2 και εφαρμόζοντας σ’ αυτό τις συνθήκες ισορροπίας παίρνουμε τα ίδια αποτελέσματα.

Εφόσον μεταξύ των κόμβων 1 και 2 δεν ενεργούν εξωτερικά φορτία, τα διαγράμματα των φορτίων διατομής του στοιχείου 1-2 προκύπτουν με ευθύγραμμη σύνδεση των τεταγμένων τους στα σημεία 1 και 2.

Ακολούθως, δίνονται για ολόκληρο τον φορέα τα διαγράμματα των έξι φορτίων διατομής.

zy

x

x21M

N21

Qz21z21M

y21M

y21Q

3

q=10kN/m

2

15kN

∏

25kN20kN

4

2.00

zy

x

ΠΥ1Μ

Υ1Α

ΠΖ1Μ

Ζ1ΑΜΠΧ1Χ1Α

11N

x1M

y1M

y1Qz1M

z1Q


2-158

Γ. Σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής

Διαγράμματα αξονικών δυνάμεων Ν, τεμνουσών δυνάμεων Qy και Qz, ροπών στρέψης ΜΤ, και ροπών κάμψης My, Mz.

Να προσεχθεί το επίπεδο σχεδίασης των διαγραμμάτων Qy(x), Qz(x), Μy(x) και Μz(x).

(Σημ.: Για λόγους ευκρίνειας του διαγράμματος, η Μz(x) του στοιχείου 1-2 σχεδιάστηκε προς την αντίθετη πλευρά.)

-120

-120-

-

-200

-

-50

-5

-110

-

-5040

-50

+5

- 0

-15-55

0

20

2055

-

20+

-15-

+

- +

+

+

25

N(x) [kN] Q (x) [kN]y Q (x) [kN]z

M (x) = M (x) [kNm] M (x) [kNm]y zM (x) [kNm]T x

1

3

4

2

4

3

1

2

4

3

1

2

1

23

4

32

4

2

1

3

4

y z

x

xzy

yz

x

10 ∏3 /8 =11.252

1

40+

+


2-159

Άσκηση Θ1/2 (βλ. Άσκηση Ζ6)

Ο δεδομένος φορέας μάς είναι γνωστός από την Άσκηση Ζ6, όπου υπολογίστηκαν μεμονωμένα εντασιακά μεγέθη του. Εδώ θα γίνει η πλήρης επίλυσή του και θα σχεδιαστούν τα διαγράμματα όλων των φορτίων διατομής. Στην πάκτωση 1 αναπτύσσονται έξι αντιδράσεις στήριξης, ενώ μία ακόμη κατακόρυφη αντίδραση ΑΖ5 αναπτύσσεται στη στήριξη 5, η οποία είναι μια σφαιρική άρθρωση με δυνατότητα κύλισης κατά τις δύο οριζόντιες διευθύνσεις. Για τον υπολογισμό των ζητούμενων φορτίων διατομής, απαιτείται μόνον ο υπολογισμός της ΑΖ5 ενώ δεν απαιτείται η γνώση των υπόλοιπων έξι αντιδράσεων στήριξης. Παρ' όλα αυτά υπολογίζονται και αυτές χάριν πληρότητας. Εφιστάται η προσοχή του αναγνώστη στα εξής: (α) Οι γωνίες αλλαγής διεύθυνσης του άξονα του φορέα στους κόμβους 2 και 3 είναι ορθές, δηλαδή 90ο, (β) ο προσανατολισμός των τοπικών συστημάτων αναφοράς x-y-z των τριών στοιχείων 1-2, 3-2 και 5-3 έχει καθοριστεί με τον συγκεκριμένο τρόπο που φαίνεται στην εκφώνηση και (γ) η εσωτερική κυλινδρική άρθρωση στο δεξιό άκρο του στοιχείου 5-3 σημαίνει ότι η καμπτική ροπή Μy35 του στοιχείου αυτού είναι μηδενική. Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής ακολουθείται η γνωστή μας μέθοδος των επιλεγμένων κυκλικών διαχωριστικών τομών. Οι τομές πρέπει να διέρχονται από όλα εκείνα τα διακεκριμένα σημεία του φορέα, π.χ. σημεία αλλαγής της διεύθυνσης του άξονα x ή σημεία όπου ενεργούν μοναχικά φορτία, στα οποία μας ενδιαφέρουν οι τιμές των φορτίων διατομής. Στα σημεία αυτά καταλύεται η συνέχεια του εκάστοτε στοιχείου και στις δύο όχθες της τομής προσάγονται τα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική τους φορά, βάσει του καθορισθέντος τοπικού συστήματος αναφοράς του υπόψη στοιχείου. Ακολούθως, καταστρώνονται κατάλληλες συνθήκες ισορροπίας για τον διαχωρισθέντα κόμβο ή για το διαχωρισθέν τμήμα του φορέα, από τις οποίες προκύπτουν τα ζητούμενα φορτία διατομής. Αυτό που κατά κανόνα επιδιώκουμε, χωρίς να είναι πάντα εφικτό, είναι ο υπολογισμός ενός ζητούμενου φορτίου διατομής από μία και μόνο εξίσωση ισορροπίας. Για τον δεδομένο φορέα αυτό είναι, πράγματι, δυνατό.

Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. παραπάνω σχήμα, δεξιά)

Όπως σημειώθηκε πιο πάνω, λόγω της κυλινδρικής άρθρωσης στο δεξιό άκρο του στοιχείου 5-3 η ροπή κάμψης My στο σημείο αυτό είναι μηδενική:

Μy35=0 (όπου y ο τοπικός άξονας του στοιχείου 5-3)

Συνεπώς, αποσπώντας με μια κυκλική διαχωριστική τομή το στοιχείο 5-3 από τον υπόλοιπο φορέα και καταστρώνοντας γι’ αυτό την συνθήκη ισορροπίας ροπών στο σημείο 3 ως προς τον άξονα y παίρνουμε:

40kNA02.50805.00A0M Z5Z53y

Με γνωστή την αντίδραση AZ5 μπορούν να υπολογιστούν τα φορτία διατομής του στοιχείου 5-3 και, στη συνέχεια, τα φορτία διατομής των στοιχείων 3-2 και 1-2, χωρίς να απαιτείται ο προηγούμενος

Y Z

X

xy z

5z

y

x

άρθρωσηΚυλινδρική

440kN

80kN

z

y

2.50

2.50

3.00

30kN

3

x

4.00

12∏

Y Z

X

xy z

5z

yx

440kN

80kN

z

y

2.50

2.50

3.00

30kN

3

x

4.00

12∏

ΠΥ1Μ

ΑΥ1

ΜΠΖ1

ΑΖ1

ΜΠΧ1 Χ1Α

Ζ5Α


2-160

υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης στην πάκτωση 1. Εντούτοις, χάριν πληρότητας, υπολογίζονται και αυτές. Προς τούτο καταστρώνονται οι έξι συνθήκες ισορροπίας για ολόκληρο τον φορέα ως προς τους καθολικούς άξονες αναφοράς X, Y, Z:

220kNmM04.0302.540M0M

40kNmM03.0404.0804.0AM0M

90kNmM03.0302.5805.0AM0M

40kNA080AA0F

30kNA030A0F

40kNA040A0F

ΠZ1ΠZ11Z

ΠY1Z5ΠY11Y

ΠX1Z5ΠX11X

Z1Z5Z1Z

Y1Y1Y

X1X1X

Β. Υπολογισμός των φορτίων διατομής (Ροπές κάμψης Μy(x) και Μz(x), ροπή στρέψης Μx(x)=ΜΤ(x), τέμνουσες δυνάμεις Qy(x), Qz(x) και αξονική δύναμη Ν(x) για κάθε δομικό στοιχείο)


Αριστερό άκρο του στοιχείου 5-3 (κόμβος 5): Είναι σαφές ότι στο αριστερό άκρο του στοιχείου 5-3, δηλαδή στον κόμβο 5, όλα τα φορτία διατομής είναι μηδενικά, εκτός από την τέμνουσα δύναμη που αντιστοιχεί στην κατακόρυφη δεσμική ράβδο στήριξης του κόμβου 5:

40kNAQ0F Z5z5z

Από τις υπόλοιπες πέντε συνθήκες ισορροπίας παίρνουμε άμεσα:

Μx5 = My5 = Mz5 = Qy5 = N5 = 0

Σημείο 4΄ (αριστερά του σημείου εφαρμογής των μοναχικών φορτίων):

0M0M

100kNm2.5AM0M

0M0M

40kNAQ0F

0Q0F

0N0F

z454z

Z5y454y

x454x

Z5z45z

y45y

45x

Σημείο 4΄΄ (δεξιά του σημείου εφαρμογής των μοναχικών φορτίων):

0M0M

100kNm2.5AM0M

0M0M

40kNQ0A80Q0F

40kNQ0Q400F

0N0F

z434z

Z5y434y

x434x

z43Z5z43z

y43y43y

43x

Ζ5Α

5z

y

x

z5Q

Ζ5Α

5 zy

x2.50

x45

Qz45

z45

M

Q

M

45N

y45 My45

4'

x43M

z

2.50

5

ΑΖ5

43

y43 y43

z43

z43

Q M

4''N

xy

Q

M

80kN

40kN


2-161

Δεξιό άκρο του στοιχείου 5-3 (κόμβος 3): Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής στο δεξιό άκρο του στοιχείου 5-3, δηλαδή στον κόμβο 3, αποσπούμε το στοιχείο 5-3 από τον φορέα με μια κυκλική διαχωριστική τομή, προσάγουμε στην αριστερή όχθη της τομής, δηλαδή στο δεξιό άκρο του στοιχείου 5-3, τα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική τους φορά και καταστρώνουμε τις έξι συνθήκες ισορροπίας ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς x, y και z του στοιχείου 5-3. Λόγω της κυλινδρικής άρθρωσης στο δεξιό άκρο του στοιχείου 5-3, η ροπή κάμψης Μy35 είναι εξ ορισμού μηδενική:

x 35

y y35 y35

z z35 Z5 z35

x35x 3

y 3

Z5

z35z 3

F 0 N 0

F 0 Q 40 0 Q 40kN

F 0 Q 80 A 0 Q 40kN

Μ 0 Μ 0

Μ 0

Η συνθήκη αυτή χρησιμοποιήθηκε ήδη για τον

υπολογισμό της A

Μ 0 Μ 40 2.50 0 Μ z35 100kNm


Αριστερό άκρο του στοιχείου 3-2 (κόμβος 3): Επιλέγεται η θεώρηση της ισορροπίας στο ακόλουθο τμήμα του φορέα:

Οι συνθήκες ισορροπίας καταστρώνονται ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς του στοιχείου 3-2:

30kNQ

030Q0F

40kNQ

040Q0F

40kNN

080AN0F

z32

z32z

y32

y32y

32

Z532x

0M0M

0M02.5805.0AM0M

100kNmM02.5040M0M

z323z

y32Z5y323y

x32x323x

Ζ5Α

80kN

5

40kN

2.50

4

2.50

3

yz

x

NMy35

y35

35

x35M

Q

M

Q

z35

z35

=0 (εξ ορισμού)

40kN

Ζ5Α

2.50

2.50

yz

x

80kN30kN

Mx32

x zy

N32

Mz32

Qz32y32M y32Q

4

3

5


2-162

Δεξιό άκρο του στοιχείου 3-2 (κόμβος 2): Επιλέγεται η θεώρηση της ισορροπίας στο ακόλουθο τμήμα του φορέα:

120kNmM

03.040M0M

90kNmM03.030

2.5805.0AM0M

100kNmM

02.5040M0M

30kNQ

030Q0F

40kNQ

040Q0F

40kNN

080AN0F

z23

z232z

y23

Z5y232y

x23

x232x

z23

z23z

y23

y23y

23

Z523x


Δεξιό άκρο του στοιχείου 1-2 (κόμβος 2): Επιλέγεται η θεώρηση της ισορροπίας στο ακόλουθο τμήμα του φορέα (Υπενθύμιση: οι αντιδράσεις στήριξης έχουν ήδη υπολογιστεί):

Οι συνθήκες ισορροπίας καταστρώνονται ως προς τους τοπικούς άξονες αναφοράς x, y, z του στοιχείου 1-2, οι οποίοι συμπίπτουν με τους καθολικούς άξονες αναφοράς Χ, Υ, Z:

100kNm4.030220M04.0AMM0M

120kNm4.04040M04.0AMM0M

90kNmMM0M

40kNAQ0F

30kNAQ0F

40kNAN0F

z21Y1ΠZ1z212z

y21Z1ΠY1y212y

ΠX1x212x

Z1z21z

Y1y21y

X121x

30kN

80kN2.50

40kN2.50 x

y

4

3

5

Ζ5Α

z

2z23Q

z23M

23N

x23M

y23M

zy

x

y23Q

3.00

ΠΖ1ΜΜΠΥ1

ΑΧ1ΠΧ1Μ

Ζ1ΑΥ1Α

1

4.00

xzy

2

y21 Mx21N21

z21

Q

Q

z21y21

M

M


2-163

Αριστερό άκρο του στοιχείου 1-2 (κόμβος 1): Επιλέγεται η θεώρηση της ισορροπίας στο ακόλουθο τμήμα του φορέα (κομβική τομή στον κόμβο 1):

40kNAQ0F

30kNAQ0F

40kNAN0F

Z1z12z

Y1y12y

X112x

220kNmMM0M

40kNmMM0M

90kNmMM0M

ΠZ1z121z

ΠY1y121y

ΠΧ1x121x

Γ. Σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής

Για τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής ισχύουν οι γνωστοί από τους επίπεδους φορείς κανόνες. Ειδικότερα, αν μεταξύ δύο σημείων ενός ευθύγραμμου τμήματος δοκού δεν ενεργούν εξωτερικά φορτία, τα διαγράμματα αυτού του τμήματος προκύπτουν με ευθύγραμμη σύνδεση των τεταγμένων τους στα σημεία αυτά. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, παίρνουμε τα εξής τελικά διαγράμματα:

ΑΧ1ΠΧ1Μ 1

ΜΠΥ1

Υ1ΑΑΖ1

ΜΠΖ1

yM

QM

xz

y12

y12

z12Q12N

Mz12

x12

40

40

N(x) [kN]

0

+

+

-40

-

-40

-30

yQ (x) [kN]

-

-

zQ (x) [kN]

-40

+

40

40

-30

+

-

-

0

-100

+

-90

M (x) = M (x) [kNm] xT

-40 -90

+

120

100

-100

+

100

120

-220

+

(ανάποδα

M (x) [kNm] y M (x) [kNm] z

5

4

5

3

4

5

4

3

2

1 2

1

1

3

5

4

3

212

3

4

5

4

3

5

211

y zx

x z

y

zy

x

-

+

-

Y Z

X

για λόγουςευκρίνειας)


2-164

Να προσεχθεί το επίπεδο σχεδίασης των διαγραμμάτων Qy(x), Qz(x), Μy(x) και Μz(x).


Για οποιοδήποτε σημείο x του στοιχείου 2-5 ισχύουν:

0xM0M

x5x75xM

02xx10x75xM0M

125kNmxM

0125xM0M

zxz

2y

yxy

x

xxx

Για x=0 (κόμβος 2): Μy(0) = 0

Για x=2.5m (μέσον): Μy(2.5)=75·2.5-5·2.52=156.25kNm

Για x=5.0m (κόμβος 5): Μy(5.0) = 250kNm

(Σημ.: H My(x) σχεδιάζεται στο τοπικό επίπεδο x-z)



0xM0M

5x25xM

0x5.025

x5.05.010xM

0M

0xM

025.05.0105.025xM

0M

zxz

y

y

xy

x

x

xx

(Σημ.: H My(x) σχεδιάζεται στο τοπικό επίπεδο x-z αλλά ανάποδα)

0

75kN -50kN

=10kN/m

(x)

Zq

yM

Mx(x)

x

x

z

y

Mz(x)

-125kN

2

31.25(x)My [kNm]

250

2

5

5.0 - x

1

x

=10kN/mZ

q

z

y

5

4

z

xy

5.00

025kN

0

x∏ (x)yM

Mz(x)

Mx(x)

-125

-

[kNm]yM (x)


2-165



5x50xM

0x5.050xM0M

0xM0M

0xM0M

z

zxz

yxy

xxx

(Σημ.: H Mz(x) σχεδιάζεται στο τοπικό επίπεδο x-y)

Γ. Συνολική απεικόνιση των αντιδράσεων στήριξης και των διαγραμμάτων των ροπών κάμψης και στρέψης [Να προσεχθεί το επίπεδο σχεδίασης των διαγραμμάτων Μy(x) και Μz(x)]

3

6

5.00

5

y

xz

(x)MyMx(x)

50kN

0

∏

x

5.0 - x

(x)zM

-250

-(x)zM [kNm]

z

y

x

xz

y

x

y

z

xz

y

2

75kN

-125kNm

-50kN

5.00

5.00 0

5

0

1

25kN

0

10kN/m

4

0

35.00

5.00

6

5.00

10kN/m

50kN

X

Y

Z

z

xy


2-166

Διαγράμματα ροπών κάμψης Μy, Mz, και στρέψης ΜΤ.

0

-50kN

-125kNm

0

75kN

0

0

50kN

25kN

0

0

0

0

0

-50kN75kN

-125kNm

0

0

0

25kN

0

50kN

0

0

-50kN75kN

-125kNm

0

025kN

0

050kN

0

0

-250

0

zM (x) [kNm]

M (x) [kNm] y

31.25

+

+31.25

250

--125

-

TM (x) = M (x) [kNm] x

+

125

1

4

6

5

2

3

1

4

6

5

2

3

1

4

6

3

2

5

156.25


2-167

2.3.2 Επίπεδοι φορείς με εκτός επιπέδου φόρτιση (Ομάδα Θ2)

Για τους παρακάτω επίπεδους πλαισιακούς φορείς (Θ2/1, Θ2/2, Θ2/3: χωρίς εσωτερικές αρθρώσεις και Θ2/4, Θ2/5, Θ2/6: με εσωτερικές αρθρώσεις), που φορτίζονται κάθετα στο επίπεδό τους, να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των ζητούμενων φορτίων διατομής με τη μέθοδο των επιλεγμένων διαχωριστικών τομών.

Θ2/1

4.00z

x

xy

PZ =40kN

8.00

y z

4.00

∏ x2.00

2.00

zy

οι ροπές κάμψης

Για τον απεικονιζόμενο φορέα ζητούνται

y(x)M

οι ροπές στρέψης x(x).M

Κάτοψη:

xy

x

y

2.00x

y

4.00

4.00

≈

∏

=40kNZP

∏

∏

8.00 2.00

X

Y

6

54

3

2

1

και

6

54

1

2

3


2-168

Θ2/2

M

Κάτοψη

M

α

LΧ(6)

Ly(6)M

α

LΥ(6)

M =216.3kNm

tanα=1.5

L =3/sinα=3.605m

3.00

2-6

2.00

3.00

4.00

α

cosα=0.5547

sinα=0.8321

oα=56.31

Ly(6)

Για τον απεικονιζόμενο φορέα ζητούνται

οι ροπές κάμψης

οι ροπές στρέψης xM

My(x),

(x)

X

Z

Y

οι τέμνουσες δυνάμεις Q (x).z

x

y z

zy

x

3.00

zxy

y

x

∏

xy

∏

1 2 3

4

6 5

xy

X

Y

∏

2.00 4.00 3.003.00

3.00

και

1

2

6

5

4


2-169


Οι αντιδράσεις στήριξης του δεδομένου φορέα έχουν υπολογιστεί στην Άσκηση Β9:

Για τον υπολογισμό των ζητούμενων φορτίων διατομής εξετάζονται διαδοχικά κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα, για τα οποία καταστρώνονται οι συνθήκες ισορροπίας ροπών ως προς τους τοπικούς άξονες y και x.


Κόμβος 6: Προφανώς, αφού στον ακραίο κόμβο 6 δεν ενεργούν εξωτερικές ροπές, ισχύει: My6 = Mx6 = 0

Κόμβος 5:

0M0M

80kNmM02.040M0M

x565x

y56y565y


Κόμβος 5:

80kNmM02.040M0M

0M0M

x54x545x

y545y

Κόμβος 4:

80kNmM02.040M0M

80kNmM02.040M0M

x45x454x

y45y454y

x∏x

4.00 yx

z

40kN

zy

8.00

z

2.00

y 2.00

4.00 ΑΖ3 =-15kN

Α X3= 0

ΑΖ1 = 5kN0=Α Y1

0=Α Y4

ΑΖ4 = 50kN6

4 5

3

2

1

x

6 z

2.00y

40kN

5

Mx56

y56M

40kN 2.00

My54M 5

6

x54x

y z

5

2.00y

x

z

40kN

6

Mx45

My45

4

2.00


2-170


Κόμβος 4: Προφανώς, αφού στο σημείο 4 δεν ενεργούν εξωτερικές ροπές, ισχύει: My42 = My45 = -80kNm Mx42 = Μx45 = 80kNm Κόμβος 2:

80kNmM02.040M0M

0M08.0A10.040M0M

x24x242x

y24Z4y242y


Κόμβος 3: Προφανώς, αφού στον ακραίο κόμβο 3 δεν ενεργούν εξωτερικές Ροπές, ισχύει: My3 = Mx3 = 0

Κόμβος 2:

0M0M

60kNmM

04.0AM0M

x232x

y23

Z3y232y


Κόμβος 1: Προφανώς, ισχύει: My1 = Mx1 = 0

Κόμβος 2:

0M0M

20kNmM

04.0AM0M

x212x

y21

Z1y212y

Έλεγχος (Ισορροπία κόμβου 2):

0000

MMMM

0208060

MMMM

y24x21x23Y

y21x24y23X

x ∏

8.00

y z

6

2.00

2.00

540kN4

2

ΑΖ4 =50kN

0=ΑY4

My24Mx24

2

x4.00

0X3=Α

Α Ζ3 =-15kN

3

zy

Mx23

My23

Mx21

xy

z

2

4.00

5kN=Ζ1Α

1

0Y1=Α

My21

2

X

ZY

x21M = 0

0=Mx23

20kNm=My21

=y24 0M

=Mx24 80kNm

60kNmy23 =-M


2-171

Διάγραμμα ροπών κάμψης και στρέψης

Σημείωση: Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής σχεδιάζονται είτε στο αξονομετρικό σχήμα του φορέα, όπως παραπάνω, είτε - χάριν απλούστευσης - στην κάτοψη του φορέα, όπως θα γίνει στις επόμενες ασκήσεις. Άσκηση Θ2/2 Οι αντιδράσεις στήριξης του δεδομένου φορέα έχουν υπολογιστεί στην Άσκηση Β10:

∏

-80 -80

-60

20

--

-+

M [kNm]y

5

6

3

2

1

1

2

[kNm]xM

+

6

∏ 50

3

80

0

0TM =

4

4

z

xy

y zx

xy

z

z

xy

x

3.00

Z

3.00

2.00

yx

z

yz

α

4.00

L =3/sinα=3.605m

cosα=0.5547

2-6

tanα=1.5

M =216.3kNmLy(6)

α=56.31o

sinα=0.8321

Y

X

3.00

zy

x

Α 25kN=-Ζ10X1Α =

Α = 0Y1

60kNΖ5Α =

35kNΖ4Α =-

0=Α Y4

53

6

4

2

1


2-172

Για τον υπολογισμό των ζητούμενων φορτίων διατομής εξετάζονται διαδοχικά κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα, για τα οποία καταστρώνονται οι συνθήκες ισορροπίας ροπών ως προς τους τοπικούς άξονες y και x. Στους ακραίους κόμβους 1, 4, 5 και 6 ο υπολογισμός των φορτίων διατομής είναι στοιχειώδης και επαφίεται στον αναγνώστη. Ακολούθως, γίνεται θεώρηση των υπόλοιπων χαρακτηριστικών διατομών του φορέα. Στοιχείο 2-6: Κόμβος 2

0Q0F

0M0M

216.3kNmM

0216.3M0M

z26z

x262x

y26

y262y

Στοιχείο 3-5: Κόμβος 3

60kNQ060Q0F

0M0M

180kNmM

03.0060M0M

z35z35z

x353x

y35

y353y


25kNQ

025Q0F

0M0M

75kNmM

03.0025M0M

z21

z21z

x212x

y21

y212y

Τμήμα 2-3-4-5: Κόμβος 2

25kNQ03560Q0F

180kNmM03.060M0M

45kNmM09.0356.060M0M

z23z23z

x23x232x

y23y232y

zxy

M =216.3kNmLy(6)

6

2y26M

x26M Qz26

x

3

60kNΖ5 =Αy z

5

3.00

x35M

Qz35My35

3.00

Α

0=Α Y1

25kN= 0X1 Ζ1Α =-

1

2

Qz21

Mx21

y21M

6.00

zy

x

60kNΖ5 =Α

3.00 35kNΑ =-Ζ4

Y4Α = 0

y23Mx23M

Qz23

5

4

3

2


2-173

Τμήμα 3-4-5: Κόμβος 3

25kNQ

03560Q0F

180kNmM

03.0060M0M

105kNmM

03.0035M0M

z32

z32z

x32

x323x

y32

y323y


35kNQ035Q0F

0M0M

105kNmM

03.0035M0M

z34z34z

x343x

y34

y343y

Διαγράμματα φορτίων διατομής

z

3.00

x

0=Α Y4

Ζ5 =Α 60kN

Α =-Ζ4 35kN

3.00

My32Qx32Mz32

y

5

4

3

Q

x

yz

Mx34z34

y34M

3.00 35kNΖ4 =-Α

Y4Α = 04

3

4

6 5

21

3

-105

180

-216.3

-75

45 +

-

-

-

[kNm]My

[kNm]M

2

x

01

6

-

-180

3

5

4

=TM

00

0

[kN]Q z

2

-25

1

6 -60

35

3

5

4

0

-

--

+

-25

xy

+

xyx

y


2-174

2.3.3 Χωρικοί δικτυωτοί φορείς (Χωροδικτυώματα) (Ομάδα Θ3) Για τους παρακάτω χωρικούς δικτυωτούς φορείς να υπολογιστούν οι αξονικές δυνάμεις ράβδων με τη μέθοδο των επιλεγμένων διαχωριστικών τομών.

Θ3/1

Για το απλό χωροδικτύωμα του παρακάτω σχήματος ζητούνται:

(α) Να τεκμηριωθεί η στερεότητα και η ισοστατικότητά του.

(β) Να υπολογιστούν οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων

(β1) με τη μέθοδο των (αποκλειστικώς) κομβικών τομών και

(β2) με τη μέθοδο τομών Ritter.

10/ 2

10/ 2

25/

5/ 2

5.005/ 2

1

2

3

4

5

6

7

45o

45o

P7 =30kN

2

1

5

6

3

Κάτοψη

(επίπεδο Χ-Υ)

45o

45o

X

Y

10/ 2

7

2

=30kN7P

46

3

5

1

3

6

4

5

2

1

10/ 2

210/

25/ 5.00

5.00

5.00

5/ 2

5/ 2

10/ 2

X

ZY


2-175

Θ3/2

Για το απλό χωροδικτύωμα του παρακάτω σχήματος ζητούνται:

(α) Να τεκμηριωθεί η στερεότητα και η ισοστατικότητά του.

(β) Να υπολογιστούν οι έξι αντιδράσεις στήριξης.

(γ) Να υπολογιστούν οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων με τη μέθοδο των

(αποκλειστικώς) κομβικών τομών (δηλ. με τις συνθήκες ισορροπίας στους

κόμβους).

Εφιστάται η προσοχή του αναγνώστη στον καθορισθέντα στο σχήμα

προσανατολισμό των καθολικών αξόνων αναφοράς: Ο συνήθως

κατακόρυφος άξονας Ζ έχει οριστεί εδώ ως οριζόντιος για λόγους εξοικείωσης

με διαφορετικού προσανατολισμού χωρικά συστήματα αναφοράς.

Z

YX

1

2

3 4

5

6

7

30kN

5kN

1

2

3

4

5

6

7

4.00

1.50 2.50 2.50

1.25

1.25

Κάτοψη

30kN

5kN

5 6,

4

7

1

,2 3

3.00

1.00

30kN

≈

5kN

2.00

Όψη

≈


2-176


(α) Τεκμηρίωση της στερεότητας και ισοστατικότητας Το δεδομένο χωροδικτύωμα αποτελείται από δύο συνδεδεμένα μεταξύ τους ραβδοτρίποδα, το ραβδοτρίποδο 1-2-3-4 και το ραβδοτρίποδο 4-5-6-7, και, συνεπώς, συνιστά ένα απλό χωροδικτύωμα που είναι στερεό και ισοστατικό. Με δεδομένη τη στερεότητα του φορέα, η ισοστατικότητά του προκύπτει και από την εφαρμογή του κριτηρίου απαρίθμησης. Πράγματι, με

το πλήθος των δεσμικών ράβδων στήριξης Α=3·5=15, το πλήθος των ράβδων του δικτυώματος S=6 και το πλήθος των κόμβων του δικτυώματος K=7

παίρνουμε: 0,73615K3SAN

που σημαίνει μηδενικό βαθμό στατικής αοριστίας, δηλαδή ισοστατικότητα. (β1) Υπολογισμός με τη μέθοδο των αποκλειστικώς κομβικών τομών

Όπως γνωρίζουμε, ο υπολογισμός ενός απλού χωροδικτυώματος μπορεί να γίνει καταστρώνοντας και επιλύοντας τις τρεις συνθήκες ισορροπίας σε κάθε κόμβο μιας κατάλληλα επιλεγόμενης ακολουθίας κόμβων. Η διαδοχική σειρά με την οποία καταστρώνεται η ισορροπία κόμβων επιλέγεται έτσι ώστε κάθε φορά οι διαθέσιμες τρεις εξισώσεις ισορροπίας να μην περιέχουν περισσότερες από τρεις άγνωστες δυνάμεις. Στην περίπτωσή μας, οι ζητούμενες αξονικές δυνάμεις προκύπτουν με απόσπαση από τον φορέα πρώτα του κόμβου 7 και κατόπιν του κόμβου 4, με κατάστρωση για κάθε έναν από αυτούς των τριών συνθηκών ισορροπίας δυνάμεων και με επίλυση του προκύπτοντος συστήματος των τριών ανεξάρτητων γραμμικών εξισώσεων (βλ. [1], παράγρ. 1.2.2-B, εξ. (1.2-9)).

6

3

(επίπεδο Χ-Υ)

Y

210/

=30kN7P

2

1

25/

5/ 2o45

o45

6

5

1

2

o45

o45

7

4

25/

d

25/

a c

2

Κάτοψη

5

5

25/ 5.00

5.00

1

2

P7 =30kN

Y Z

X

4

3

4

7

5

2

2

X

3

3

10/

10/

10/ 2

6

210/

610.00h =2

h1 5.00=

α2

3α

α5

α6

4'∏

1α

25/a=

c= 5.00

10/ 2d=

α1= 2α = 3α =α4=α5=α6 45= o

5 2=L1 2L = =L3

L4 = 5.00

L5 =L 6= 10 2

P7 =30kN

=30kNX7P

=0Y7P

=0PZ7

Ø

1

4'

∏

∏

Μήκη ράβδων:


2-177

Ραβδοτρίποδο 4-5-6-7 / Ισορροπία κόμβου 7 Οι ζητούμενες αξονικές δυνάμεις S4, S5 και S6 των ράβδων 4, 5 και 6 προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας του κόμβου 7. Τοποθετώντας την αρχή του συστήματος αναφοράς Χ-Υ-Ζ στον κόμβο 7 (βλ. παραπάνω σχήμα) και κατ' αναλογία των σχέσεων (1.2-9) που δίνονται στο [1], οι εξισώσεις αυτές γράφονται ως εξής:

PL

ZS

L

ZS

L

ZS

PL

YS

L

YS

L

YS

PL

XS

L

XS

L

XS

Z7

6

66

5

55

4

44

Y7

6

66

5

55

4

44

X7

6

66

5

55

4

44

(*)

Το φορτίο Ρ7 είναι παράλληλο προς τον άξονα Χ, όποτε οι τρεις συνιστώσες του είναι:

0P0P30kNPP Z7Y77X7

Με την αρχή του συστήματος αναφοράς Χ-Υ-Ζ στον κόμβο 7, παίρνουμε για τις συντεταγμένες των κόμβων 4, 5 και 6 τις τιμές:

10Z10Z5.00Z

210Y210Y0Y

210X210X0X

654

654

654

και - σύμφωνα με τις σχέσεις (1.2-8) της παραγράφου 1.2.2-Β του [1] - για τα μήκη των ράβδων 4, 5 και 6 τις τιμές:

συμμετρίας λόγωLL

m21010210210L

5.00m500L

56

222

5

2224

Εισάγοντας τις παραπάνω αριθμητικές τιμές των φορτίων, των συντεταγμένων και των μηκών των ράβδων στις εξισώσεις ισορροπίας (*) παίρνουμε το εξής σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

0S21S21S

0S0.5S0.5

30S0.5S0.5

654

65

65

Η επίλυσή του μας δίνει τις ζητούμενες αξονικές δυνάμεις ράβδων:

30kNS30kN,SkN,260S 654

Είναι προφανές ότι η παραπάνω διαδικασία υπολογισμού των αξονικών δυνάμεων των ράβδων του ραβδοτριπόδου 4-5-6-7 αντιστοιχεί στην ανάλυση του εξωτερικού φορτίου P7 , που ενεργεί στον κόμβο 7 κατά τις διευθύνσεις των τριών ράβδων 4, 5 και 6. Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται, ακολούθως, για το ραβδοτρίποδο 1-2-3-4.

Ραβδοτρίποδο 1-2-3-4 / Ισορροπία κόμβου 4 Οι ζητούμενες αξονικές δυνάμεις S1, S2 και S3 των ράβδων 1, 2 και 3 προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας του κόμβου 4. Τοποθετώντας, τώρα, την αρχή του συστήματος αναφοράς Χ-Υ-Ζ στον κόμβο 4 και κατ' αναλογία των σχέσεων (1-9) που δόθηκαν στην παράγραφο 1.2.2-Β του [1], οι εξισώσεις αυτές γράφονται ως εξής:


2-178

PL

ZS

L

ZS

L

ZS

PL

YS

L

YS

L

YS

PL

XS

L

XS

L

XS

Z4

3

33

2

22

1

11

Y4

3

33

2

22

1

11

X4

3

33

2

22

1

11

(**)

Ως φορτίο Ρ4 του κόμβου 4 θα πρέπει βέβαια να θεωρηθεί η ήδη υπολογισθείσα αξονική δύναμη S4 της ράβδου 4, όποτε οι τρεις συνιστώσες του είναι:

kN260SP0P0P 4Z4Y4X4

Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι η συμβατικά θετική φορά της ΡZ4 είναι αυτή του άξονα Ζ, δηλαδή «προς τα κάτω» ενώ η συμβατικά θετική φορά της S4 είναι «προς τα επάνω», όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα του ελεύθερου κόμβου 4:

Με την αρχή του συστήματος αναφοράς Χ-Υ-Ζ στον κόμβο 4 παίρνουμε για τις συντεταγμένες των κόμβων 1, 2 και 3 τις τιμές:

5.00Z5.00Z5.00Z

0Y25Y25Y

5.00X25X25X

321

321

321

και - σύμφωνα με τις σχέσεις (1.2-8) της παραγράφου 1.2.2-Β του [1] - για τα μήκη των ράβδων 1, 2 και 3 τις τιμές:

m25505L

συμμετρίας λόγωLL

m2552525L

2223

12

222

1

Εισάγοντας τις παραπάνω αριθμητικές τιμές των φορτίων, των συντεταγμένων και των μηκών των ράβδων στις εξισώσεις ισορροπίας (**), παίρνουμε το εξής σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

260S21S21S21

0S0.5S0.5

0S21S0.5S0.5

321

21

321

Η επίλυσή του μας δίνει τις ζητούμενες αξονικές δυνάμεις ράβδων:

24.85kN2160S

17.57kNSS

17.57kN2260S

3

12

1

Είναι προφανές ότι η παραπάνω διαδικασία υπολογισμού των αξονικών δυνάμεων των ράβδων του ραβδοτριπόδου 1-2-3-4 αντιστοιχεί στην ανάλυση της αξονικής δύναμης S4 που ενεργεί στον κόμβο 4 κατά τις διευθύνσεις των τριών ράβδων 1, 2 και 3.

S

S1

S2

4

3∏

260/=

S3

4

∏ ∏2

1


2-179

(β2) Υπολογισμός με τη μέθοδο των τομών Ritter Με τη μέθοδο των τομών Ritter επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση του υπολογιστικού φόρτου με «έξυπνη» επιλογή των διαχωριστικών τομών, έτσι ώστε οι προκύπτουσες εξισώσεις ισορροπίας να αποσυζευχθούν στον μέγιστο δυνατό βαθμό. Αυτό επιτυγχάνεται, γενικά, με τη χρησιμοποίηση συνθηκών ισορροπίας ροπών αντί των συνθηκών ισορροπίας δυνάμεων. Στην περίπτωση μάλιστα των απλών δικτυωμάτων, όπως είναι το δεδομένο χωροδικτύωμα, η χρησιμοποίηση αποκλειστικά συνθηκών ισορροπίας ροπών μπορεί να οδηγήσει - όπως γνωρίζουμε, στην πλήρη αποσύζευξη των εξισώσεων ισορροπίας. Προς τούτο επιλέγεται κάθε φορά μία τέτοια διαχωριστική τομή και μία συνθήκη ισορροπίας ροπών ως προς έναν τέτοιο άξονα ώστε στην εξίσωση ισορροπίας να υπεισέρχεται μία μόνο άγνωστη αξονική δύναμη ράβδου. Για τον υπολογισμό των ζητούμενων αξονικών δυνάμεων των ράβδων του δεδομένου χωροδικτυώματος αρκούν - δεδομένων των συμμετρικών χαρακτηριστικών του - οι ακόλουθες τέσσερις διαχωριστικές τομές με τις αντίστοιχες εξισώσεις ισορροπίας ροπών (Σημ.: Στο ακόλουθο σχήμα οι τομές δίνονται στο επίπεδο Χ-Ζ. Για καλύτερη όμως κατανόηση των συνθηκών ισορροπίας που καταστρώνονται στη συνέχεια, βλ. και το αξονομετρικό σχήμα το φορέα):

00.01sin45303024.8517.5717.57

sin45SSSSSF:Έλεγχος

SS:συμμετρίας Λόγω

17.57kN2SS

0hcos45cosαScosαhS0M

IV Τομή

24.85kN2160S0sinαcaSaS0M

III Τομή

SS:συμμετρίας Λόγω

30kNS0cosαhShcos45P0M

φορέα του απεικόνιση κήαξονομετρι και βλ. II Τομή

42.43kN230SdhPS0dShP0M

I Τομή

o

o65321Z

21

32

1o

3321214

333421

56

55252o

764

427442765

(Σημ.: Η αμελητέα απόκλιση οφείλεται στις προηγούμενες αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο).

Όψη

(επίπεδο Χ-Ζ)P =30kN

1 5.00=h

7

,

5.00

∏

,

7

(a+c)

∏ sinα

3α

a c

Z

X

5S

3S

4S

I

III

IV

II

5.00c=

a= 5/ 2

α 3o= 45

, S6

h2 =10.00

d

10/d= 2 6521

3

4

= α 5

∏4'

5α


2-180

Σύγκριση των παραπάνω αποτελεσμάτων με εκείνα της μεθόδου των αποκλειστικά κομβικών διαχωριστικών τομών δείχνει, ως όφειλε, απόλυτη ταύτιση.

(γ) Διάγραμμα αξονικών δυνάμεων Στο ακόλουθο διάγραμμα οι εφελκυστικές αξονικές δυνάμεις S των ράβδων συμβολίζονται με μπλε χρώμα και οι θλιπτικές με κόκκινο χρώμα. Υπενθυμίζεται ότι ενώ σε πλαισιακούς φορείς οι αξονικές δυνάμεις συμβολίζονται κατά κανόνα με το γράμμα Ν, σε δικτυώματα χρησιμοποιείται πολύ συχνά το γράμμα S.

Ως μικρή άσκηση ο αναγνώστης καλείται να σχεδιάσει ποιοτικά την παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία μεταπίπτει ο φορέας λόγω του δεδομένου φορτίου.

3

2

5

46

7

1

-30

-3042.43

17.57

24.85

17.57

S [kN]

30kN


2-181

Άσκηση Θ3/2

(α) Τεκμηρίωση της στερεότητας και ισοστατικότητας

Το δεδομένο χωροδικτύωμα μπορεί να συντεθεί ως εξής: Ξεκινώντας από το ραβδοτετράεδρο 4-5-6-7, το οποίο ως ελεύθερο σώμα αποτελεί, όπως γνωρίζουμε, έναν εσωτερικά στερεό και ισοστατικό φορέα, δηλαδή δικτυωτό σώμα, συνδέουμε σ' αυτό τον κόμβο 1 με τις τρεις μη συνευθειακές και μη συνεπίπεδες ράβδους 4-1, 5-1 και 6-1. Το προκύπτον μόρφωμα είναι, συνεπώς, ένα ισοστατικό δικτυωτό σώμα. Ακολουθώντας την ίδια λογική της «ισοστατικής επέκτασης», συνδέουμε σ' αυτό τον κόμβο 2 με τις τρεις μη συνευθειακές και μη συνεπίπεδες ράβδους 1-2, 5-2 και 6-2, παίρνοντας έτσι και πάλι ένα ισοστατικό δικτυωτό σώμα. Σ' αυτό συνδέουμε, τέλος, τον κόμβο 3 με τις τρεις μη συνευθειακές και μη συνεπίπεδες ράβδους 1-3, 2-3 και 6-3, οπότε προκύπτει ο δεδομένος φορέας ως εσωτερικά ισοστατικό ελεύθερο δικτυωτό σώμα.

Η στήριξη του ελεύθερου αυτού φορέα στο στερεό υπόβαθρο γίνεται μέσω έξι δρομικών δεσμικών ράβδων, ανά δύο στους κόμβους 1, 2 και 3. Εύκολα αναγνωρίζει ο αναγνώστης ότι ο προσανατολισμός των έξι δεσμικών ράβδων στήριξης είναι τέτοιος, ώστε να αποκλείονται τόσο οι τρεις μετατοπίσεις του δικτυωτού σώματος κατά τη διεύθυνση των αξόνων Χ, Υ και Ζ, όσο και οι τρεις στροφές περί τους άξονες αυτούς.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, το δεδομένο χωροδικτύωμα συνιστά ένα απλό χωροδικτύωμα που είναι στερεό και ισοστατικό. Με δεδομένη τη στερεότητα του χωροδικτυώματος, η ισοστατικότητά του προκύπτει και από την εφαρμογή του κριτηρίου απαρίθμησης. Πράγματι με

το πλήθος των δεσμικών ράβδων στήριξης Α=6, το πλήθος των ράβδων του δικτυώματος S=15 και το πλήθος των κόμβων του δικτυώματος K=7

παίρνουμε: 0,73156K3SAN

που σημαίνει μηδενικό βαθμό στατικής αοριστίας, δηλαδή ισοστατικότητα.

2.50

1

3.00

32 ,

1.25

1.25

1.50

4.00

21

Κάτοψη

3

5kN

30kN

7

4

, 65

2.00

1.00

5kN

30kN

2.50

7

5

4

6

5

2

3

1

30kN

5kN

7

6

4

A X1

X

Z

Y

Z1A

A Z3

Z2A

Y3A

Y2A

A X1

A Z1

Όψη

Z3A ≈ Y3A

≈Z2AY2A

Z

X

Z

Y

∏

A Z2

Z3A

X1A

Z1A

A Y2 , Y3A

≈

≈

Ζ

ΧY


2-182

(β) Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης Το δεδομένο χωροδικτύωμα εδράζεται ισοστατικά με έξι δρομικές δεσμικές ράβδους. Συνεπώς, οι έξι αντιδράσεις στήριξης μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια έξι ανεξάρτητων χωρικών συνθηκών ισορροπίας για ολόκληρο τον φορέα. Επιλέγοντας με «έξυπνο» τρόπο τις συνθήκες ισορροπίας, παίρνουμε πλήρως αποσυζευγμένες εξισώσεις, δηλαδή από κάθε εξίσωση προκύπτει άμεσα μία άγνωστη αντίδραση στήριξης, όπως φαίνεται στους ακόλουθους υπολογισμούς. Σημειώνεται ότι στα παραπάνω σχήματα οι αντιδράσεις στήριξης έχουν εισαχθεί με συμβατικά θετικές φορές που είναι αντίθετες προς τη θετική διεύθυνση των καθολικών αξόνων αναφοράς.

19kNA03.0A1.25301.052.5A0M

:6-3 άξονα τον προς ως ροπών Ισορροπία

11kNA03.0A1.25301.052.5A0M


25kNA01.5A1.25A4.052.5A0M

:2 κόμβο στον Y άξονα τον προς ως ροπών Ισορροπία

15kNA01.5A1.25A4.052.5A0M

:3 κόμβο στον Y άξονα τον προς ως ροπών Ισορροπία

40kNA04.0303.0A0M


5kNA05A0F

:X κατά δυνάμεων Ισορροπία

Y2X1Y263

Y3X1Y352

Z3X1Z1Z32Y

Z2X1Z1Z23Y

Z1Z132

X1X1X

(γ) Υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων Κατ’ αρχάς ελέγχουμε τον φορέα προκειμένου να διαπιστώσουμε την ύπαρξη τυχόν άτονων ράβδων. Παρατηρούμε ότι οι τρεις μη συνεπίπεδες ράβδοι 4-7, 5-7 και 6-7 συναρθρώνονται στον κόμβο 7, ο οποίος είναι αφόρτιστος. Συνεπώς, οι τρεις αυτές ράβδοι είναι άτονες (βλ. [1], παράγρ. 1.2.2-Α(α)). Επίσης, παρατηρούμε ότι από τις τρεις ράβδους 4-1, 4-5 και 4-6 που συναρθρώνονται στον κόμβο 4 (Σημ.: Η ράβδος 4-7 που αναγνωρίστηκε ως άτονη μπορεί να αγνοηθεί) οι δύο (4-5 και 4-6) βρίσκονται μέσα στο επίπεδο Χ-Υ, στο οποίο βρίσκονται και τα δύο μοναχικά φορτία που ενεργούν στον κόμβο 4. Συνεπώς, η ράβδος 4-1, που δεν βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο Χ-Υ είναι άτονη (βλ. [1], παράγρ. 1.2.2-Α(δ)).

Οι αξονικές δυνάμεις των υπολοίπων ράβδων υπολογίζονται με τη βοήθεια των τριών εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων στον χώρο (βλ. [1], εξ. (1.2-6)), ξεκινώντας από τον κόμβο 3, στον οποίο συντρέχουν τρεις ράβδοι, και συνεχίζοντας με τρόπο τέτοιο, ώστε σε κάθε επόμενο κόμβο να μην υπάρχουν περισσότερες από τρεις άγνωστες δυνάμεις. Τα γεωμετρικά στοιχεία που απαιτούνται είναι τα μήκη των ράβδων και τα συνημίτονα διεύθυνσής τους. Τα γεωμετρικά αυτά χαρακτηριστικά υπολογίζονται εύκολα χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1.2-7) έως (1.2-9), όπου το σύστημα αναφοράς Χ-Υ-Ζ τοποθετείται κάθε φορά στον κόμβο για τον οποίο καταστρώνονται οι συνθήκες ισορροπίας.

Ισορροπία στον κόμβο 3

Στον κόμβο 3 συντρέχουν οι τρεις άγνωστες αξονικές δυνάμεις S32, S36 και S31 των ράβδων 3-2, 3-6 και 3-1 αντίστοιχα. Ο κόμβος «φορτίζεται» με τις γνωστές ήδη αντιδράσεις στήριξης AY3 και AZ3. Τοποθετώντας το σύστημα αναφοράς X-Y-Z στον κόμβο 3, παίρνουμε τις συνθήκες ισορροπίας:

PL

ZS

L

ZS

L

ZS0F

PL

YS

L

YS

L

YS0F

PL

XS

L

XS

L

XS0F

Z3

31

131

36

636

32

232Z

Y3

31

131

36

636

32

232Y

X3

31

131

36

636

32

232X


2-183

Mε τις συντεταγμένες των κόμβων 2, 6 και 1:

1.50Z4.00Z0Z

3.0Y0Y0Y

1.25X0X2.50X

162

162

162

παίρνουμε τα μήκη των ράβδων:

3.58m1.53.01.25L

4.0m4.000L

2.5m002.5L

222

31

22236

222

32

και με τα φορτία:

25kNAP11kNAP0P Z3Z3Y3Y3X3

οι παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας παίρνουν τη μορφή:

32 36 31

32 31

32 36 31 31

36 31

32 36 31

2.50 1.25S S 0 S 0

2.50 3.58 S 0.349 S 03.0

S 0 S 0 S 11 0.838 S 113.58

S 0.419 S 254.0 1.50

S 0 S S 254.0 3.58

Η επίλυση των εξισώσεων αυτών μας δίνει:

19.50kNS4.58kNS13.13kNS 363231


Στον κόμβο 2 συντρέχουν οι τρεις άγνωστες αξονικές δυνάμεις S25, S26 και S21 των ράβδων 2-5, 2-6 και 2-1 αντίστοιχα. Ο κόμβος «φορτίζεται» με τις γνωστές ήδη αντιδράσεις στήριξης AY2 και AZ2 καθώς και με την, επίσης, γνωστή αξονική δύναμη S23=S32 της ράβδου 2-3. Τοποθετώντας το σύστημα αναφοράς X-Y-Z στον κόμβο 2 παίρνουμε τις συνθήκες ισορροπίας:

PL

ZS

L

ZS

L

ZS0F

PL

YS

L

YS

L

YS0F

PL

XS

L

XS

L

XS0F

Z2

21

121

26

626

25

525Z

Y2

21

121

26

626

25

525Y

X2

21

121

26

626

25

525X


1.50Z4.00Z4.00Z

3.0Y0Y0Y

1.25X2.50X0X

165

165

165


3.58m12.8131.53.01.25L

4.72m22.254.002.50L

4.0m4.000L

22221

22226

22225



2-184

15kNAP19kNAP4.58kNSP Z2Z2Y2Y223X2


15S0.419S0.847S

19S0.838

4.58S0.349S0.530

153.58

1.50S

4.72

4.0S

4.0

4.0S

193.58

3.0S0S0S

4.583.58

1.25S

4.72

2.50S0S

212625

21

2126

212625

212625

212625


10.82kNS6.26kNS22.67kNS 252621


Στον φορτιζόμενο με τα εξωτερικά φορτία κόμβο 4 συντρέχουν οι τρεις άγνωστες αξονικές δυνάμεις S41, S45 και S46 των ράβδων 4-1, 4-5 και 4-6 αντίστοιχα. Υπενθυμίζεται ότι η ράβδος 4-7 αναγνωρίστηκε ήδη ως άτονη. Τοποθετώντας το σύστημα αναφοράς X-Y-Z στον κόμβο 4 παίρνουμε τις συνθήκες ισορροπίας:

PL

ZS

L

ZS

L

ZS0F

PL

YS

L

YS

L

YS0F

PL

XS

L

XS

L

XS0F

Z4

46

646

45

545

41

141Z

Y4

46

646

45

545

41

141Y

X4

46

646

45

545

41

141X


0Z0Z2.50Z

1.00Y1.00Y2.00Y

1.25X1.25X0X

651

651

651


συμμετρίας λόγωL1.60m01.01.25L

1.60m2.56301.01.25L

3.20m10.252.52.00L

45222

46

222

45

22241


0P30kNP5kNP Z4Y4X4


0S0.781

30S0.625S0.625S0.625

5S0.781S0.781

00S0S3.2

2.5S

301.6

1S

1.6

1S

3.2

2.0S

51.6

1.25S

1.6

1.25S0S

41

464541

4645

464541

464541

464541



2-185

(Το γεγονός ότι η ράβδος 4-1 είναι άτονη διαπιστώθηκε ήδη στην αρχή της επίλυσης)

41

45 46

S 0

S 20.80kN, S 27.21kN


Στον κόμβο 5 συναρθρώνονται η άτονη ράβδος 5-7, οι ράβδοι 5-2 και 5-4, των οποίων οι αξονικές δυνάμεις S52=S25, S54=S45 έχουν ήδη υπολογιστεί, και οι ράβδοι 5-1 και 5-6 με άγνωστες, ακόμη, αξονικές δυνάμεις. Θεωρώντας, εκτός των S51 και S56, ως άγνωστη την S54 και ως φορτίο του κόμβου 5 την γνωστή S52 και εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία υπολογισμού, όπως και για τους προηγούμενους κόμβους, παίρνουμε:

(Επαλήθευση προηγούμενου υπολογισμού)

51 56

54

S 17.74kN, S 10.83kN

S 20.80kN

Οι αριθμητικές πράξεις για την εύρεση των παραπάνω αποτελεσμάτων επαφίενται στον αναγνώστη.


Στον κόμβο 6 συναρθρώνονται η άτονη ράβδος 6-7, οι ράβδοι 6-5, 6-4, 6-3 και 6-2, των οποίων οι αξονικές δυνάμεις S56=S65, S64=S46, S63=S36 και S62=S26 έχουν ήδη υπολογιστεί, και η ράβδος 6-1 με άγνωστη ακόμη αξονική δύναμη. Θεωρώντας, εκτός της S61, ως άγνωστες τις S65 και S62, και ως φορτία του κόμβου 6 τις γνωστές S64 και S63 και εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία υπολογισμού, όπως και για τους προηγούμενους κόμβους, παίρνουμε:

(Επαλήθευση προηγούμενων υπολογισμών)

61

65 62

S 23.26kN

S 10.83kN, S 6.26kN

(δ) Διάγραμμα αξονικών δυνάμεων Στο ακόλουθο διάγραμμα οι εφελκυστικές αξονικές δυνάμεις S των ράβδων συμβολίζονται με μπλε χρώμα και οι θλιπτικές με κόκκινο χρώμα. Υπενθυμίζεται ότι ενώ σε πλαισιακούς φορείς οι αξονικές δυνάμεις συμβολίζονται κατά κανόνα με το γράμμα Ν, σε δικτυώματα χρησιμοποιείται πολύ συχνά το γράμμα S. Στο σχήμα δίνονται, επίσης, εκτός από τα φορτία, οι αντιδράσεις των στηρίξεων με την πραγματική τους φορά.

Ως μικρή άσκηση ο αναγνώστης καλείται να σχεδιάσει ποιοτικά την παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία μεταπίπτει ο φορέας λόγω του δεδομένου φορτίου.

Παρατήρηση: Από την προηγηθείσα επίλυση του χωροδικτυώματος έγινε φανερό ότι σε φορείς με μεγάλο πλήθος ράβδων η «χειροκίνητη» επίλυση είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα και επίπονη. Για τον λόγο αυτό είναι και ιδιαίτερα «επιρρεπής» σε αριθμητικά λάθη. Επίσης, όμως, διαφάνηκε ότι η κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας στους κόμβους του φορέα και η ακόλουθη επίλυση του προκύπτοντος γραμμικού συστήματος εξισώσεων αποτελεί μια εύκολα τυποποιήσιμη διαδικασία, η οποία ως εκ τούτου μπορεί να κωδικοποιηθεί και να προγραμματιστεί σε ηλεκτρονικό υπολογιστή χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία.

S [kN]

7

-13.13

-19.50

4.58

-22.67

6.26

-10.82

-20.8

-27.21

0

17.7410.83

0

00

23.26

5kN

30kN

6

4

5

2

3

15

40

25

15

19

11

YΧ

Ζ


2-186

Βιβλιογραφία κεφαλαίου 2 [1] Αβραμίδης, Ι.Ε. και Μορφίδης, Κ.Ε. (2008). Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ια: Ισοστατικοί φορείς - Σύνοψη Θεωρίας και Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: Σοφία. [2] Αβραμίδης, Ι.Ε. (2014). Στατική των Κατασκευών, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις αρχές και ισοστατικοί φορείς. Θεσσαλονίκη: Αυτοέκδοση. Προτεινόμενα συγγράμματα για περαιτέρω μελέτη: βλ. Βιβλιογραφία στις αρχικές σελίδες του βιβλίου.

02 κεφάλαιο 2 - τελ - repository.kallipos.gr—3), αρθρωτές δοκοί...

Documents

Transcript of 02 κεφάλαιο 2 - τελ - repository.kallipos.gr—3), αρθρωτές δοκοί...