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ITIS OMAR NOVARA DIPARTIMENTO DI MECCANICA

PROGRAMMA DI MECCANICA CLASSE QUARTA MECCANICA 2004-2005

La compressione e la trazione semplice Determinazione del modulo di elasticità normale tramite il diagramma σ/ε Progetto e verifica di aste semplicemente compresse. Calcolo approssimato di tubi sottili sottoposti a pressione interna Il problema del carico di punta La lunghezza libera Il raggio giratorio La snellezza Verifica di una sezione con il metodo ω Risoluzione di travature reticolari piane isostatiche e caricate solamente sui nodi Esercitazione n.1 Progetto di una incavallatura semplice Richiami sulle reazioni vincolari su travi rettilinee Determinazione qualitativa e quantitativa delle funzioni di taglio e momento flettente Il taglio come derivata del momento flettente Distribuzione delle tensioni in una trave in flessa Concetto di asse neutro Progetto e verifica di travi isostatiche sottoposte a carichi concentrati e distribuiti Le travi Gerber Calcolo degli alberi Alberi soggetti a Torsione Alberi soggetti ad azione combinata di Flessione e Torsione Calcolo di un giunto a dischi Verifica dei bulloni di collegamento (bulloni non lavoranti a taglio)

Differenze di comportamento e realizzazione di giunti in cui si prevedano bulloni lavoranti o meno al taglio

Ingranaggi Proporzionamento degli ingranaggi cilindrici a denti diritti ed elicoidali Sforzi tangenziali, radiali ed assiali e sollecitazioni indotte sugli alberi Verifica del dente a flessione (metodo di Lewis semplificato) e a pressione Esercitazione n.2 Verifica di un riduttore ad assi paralleli La fatica La fatica nei materiali ferrosi Tracciamento del diagramma semplificato di Smth e Goodman Valutazione del grado di sicurezza

2

Balestre Studio della lamina a pianta romboidale Determinazione della tensione e della deformata Tracciamento della caratteristica Progetto di una molla a balestra assegnati carico e freccia max Verifica a fatica Macchine Idrauliche (pompe centrifughe) Richiami sul teorema di Bernoulli e sulle perdite di carico Definizione di prevalenza e portata Determinazione della potenza assorbita Analisi dei rendimenti idraulici, meccanici e volumetrici La similitudine fluidodinamica e geometrica Altezza massima di installazione di una pompa NPSH della pompa Scelta a catalogo di una pompa centrifuga Novara 03-06-05 Silvano Andorno

ITI OMAR Dipartimento di meccanica Verifica di recupero Primo quadrimestre Materia: Meccanica Classe: 4MA Docente Silvano Andorno Data: 25-01-04

1. Un pilastro, di altezza h = 4 m, costituito da un profilato a I (HE) realizzato in acciaio Fe360, è sottoposto ad un carico verticale e centrato di 70000N. Determinare la sezione minima del profilato con cui realizzare il pilastro e verificarne la resistenza al carico di punta (metodo ω) nell’ipotesi che le condizioni di vincolo siano tali da ritenere la lunghezza libera di inflessione del pilastro pari a 1.25 h. Limitazioni: snellezza massima 150 carico massimo ammissibile a compressione 160 N/mm2

2. Una trave lunga 5 m, di massa trascurabile, è vincolata su due appoggi orizzontali, distanti 3 m, disposti in modo tale realizzare, sulla trave stessa, due sbalzi di uguale lunghezza. La trave è caricata da un carico uniformemente distribuito lungo il proprio asse e paria a 900 N/m. Si richiede di: a. determinare le funzioni del momento flettente e del taglio lungo l’asse della trave; b. determinare i massimi (se esistono) delle funzioni del momento flettente e del taglio ed

eventualmente verificare che in corrispondenza del massimo del momento flettente il taglio è nullo;

c. determinare i valori massimi del momento flettente e del taglio; d. tracciare diagrammi di momento flettente e taglio con le usuali convenzioni di segno

3. Due corpi A e B, in posizioni iniziali diametralmente opposte, si muovono lungo una traiettoria circolare di diametro d = 50 m con le seguenti velocità (rad/s):

3 22 3

A

B

tt

ωω

= +⎧⎨ = +⎩

(la variabile t indica il tempo)

Determinare: a. il tempo impiegato per il ricongiungimento; b. la velocità angolare e periferica dei due corpi al momento del ricongiungimento; c. lo spazio percorso dai due corpi fino al momento del ricongiungimento.

4. Una circonferenza rotola lungo un piano orizzontale e sia v = 5 m/s la velocità del suo centro.

Determinare le velocità dei punti A, C, B, B posti alle estremità del diametro orizzontale e verticale

ITIS OMAR Dipartimento di Meccanica Verifica n.1 Classe 4MA Meccanica 28-09-04 1) Determinare il momento quadratico di superficie, rispetto all’asse x-x, della figura sotto rappresentata.

a = 3 cm h = 12 cm b = 3 cm c = 5 cm 2) Un capannone industriale è sostenuto da una maglia (6x6m) di pilastri HE, di altezza 4 m, realizzati in Fe360. Nell’ipotesi che il peso totale gravante sul tetto sia pari a p =1700 N/m2 , determinare il tipo di profilato adatto imponendo una tensione massima ammissibile a compressione cammσ = 160 N/mm2 e una snellezza massima λ = 150. Si ritenga inoltre che il tipo di vincolo dei pilastri sia tale da considerare una lunghezza libera di inflessione pari all’altezza del pilastro stesso. 3) Una travatura reticolare costituita da tre aste incernierate agli estremi è caricata come in figura. Determinare le reazioni vincolari e le sollecitazioni sulle varie aste individuando tiranti e puntoni.

a = 3 m b = 6 m F = 8000 N β = 20° 4) Un sasso di massa 4kg viene lasciato cadere verticalmente da un’altezza di 18m. Calcolare, in assenza di ogni fenomeno passivo, il tempo impiegato per l’impatto. 5) Un triangolo rettangolo ha i cateti lunghi rispettivamente 4 e 7 m. Determinare l’ipotenusa e gli angoli interni del triangolo.

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica

Verifica di Meccanica Classe 4MA Ver.2 I Modulo 23-11-04

• Con riferimento alla struttura reticolare sotto rappresentata, determinare:

1. le reazioni vincolari; 2. le sollecitazioni sulle aste; 3. le deformazioni e le rotazioni delle aste;

Dati Le aste della travatura sono realizzate con due profilati a L 35x4 UNI 5783 P = 30000 N; h = 3 m; b = 5 m

• Un serbatoio verticale, cilindrico, aperto superiormente, di diametro 6 m e altezza 15 m, deve contenere un liquido di densità 1800 kg/m3. Determinare:

1. la pressione, in bar, sul fondo del serbatoio; 2. lo spessore minimo con cui realizzare il serbatoio nell’ipotesi che il materiale costitutivo abbia una

tensione ammissibile a trazione pari a 75 N/mm2 • Applicando il teorema di Guldino determinare la superficie ottenuto facendo ruotare rispetto ad un asse verticale la spezzata sotto rappresentata.

I segmenti della spezzata sono entrambi lunghi 0.5 m e l’angolo da essi formato vale 110°

• Indichiamo con 1 il nodo corrispondente alla cerniera, con 3 il nodo corrispondente all’appoggio, e con 3 il nodo caricato dalla forza P. Calcoliamo le reazioni vincolari: Reazione H3 dell’appoggio (diretta verso dx, quindi positiva)

0 rispetto al punto 1iM =∑

3

3 50000 H h PbH N

==

Reazioni V1 (diretta verso l’alto) e H1 (diretta verso dx) della cerniera 1

1

1

0

030000

yiF

V PV N

=

− ==

∑

1 3

1

00

50000

xiFH HH N

=

+ =

= −

∑

La reazione H1 è quindi diretta verso sx. Determiniamo ora le sollecitazioni agenti sulle aste. Imponendo le condizioni di equilibrio al nodo 3 si ottiene, per via immediata, che:

1,3

2,3

050000 puntone

SS N

=

= −

Imponendo le condizioni di equilibrio al nodo 1 si ottiene, per via immediata, che: 2 2

1,2 1 1 58310 tiranteS H V N= + = Ogni asta è costituta da due profilati a L accoppiati con area resistente totale pari a:

22 2.67 5.34 A c= ⋅ = m Determiniamo l’allungamento del tirante (modulo di elasticità normale E = 206000 N/mm2) Lunghezza iniziale del tirante

2 2 5831 tl h b m= + ≅ m L’allungamento percentuale ε vale:

1,2 0.00053SA E

ε = =⋅

La lunghezza finale del tirante vale: * 5834.1 t t tl l l mmε= + =

Determiniamo ora l’accorciamento del puntone

2,3 0.000455SA E

ε = ≅⋅

* 4997.7 p p pl l l mmε= − =

Determiniamo ora la rotazione delle aste. Indichiamo con α e β gli angoli formati rispettivamente dalle aste S1,3-S2,3 e S1,3-S1,2 (α = 90°).

1tan 59,036bh

β − ⎛ ⎞= ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

Calcoliamo ora i nuovi angoli α’ e β’ che si determinano sotto carico. 2 2 2

1' cos 90,044 °2

th b lhb

α − ⎛ ⎞+ −= ≅⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 21' cos 59,01

2t

t

h l bh l

β − ⎛ ⎞+ −= =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

°

Le rotazioni delle aste sono pertanto: 0,04450,0259

αβ

∆ =∆ =

• Determiniamo la pressione sul fondo del serbatoio

5

1800 9.81 15 2.65 10

p gh barδ ⋅ ⋅= = ≅

Lo spessore minimo del tubo vale:

10.5 2pDs mmσ

= ≅⋅

• La distanza del baricentro rispetto all’asse di rotazione vale:

3 0.25 cos55 2.857 Gx m= − ⋅ ° ≅ La superficie vale pertanto:

22 0.5 2 17.95 GS xπ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≅ m

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica Verifica di Meccanica Classe 4MA 17-01-05 Allievo: _________________________

• Un solaio, di dimensioni 4m x 7m, è sostenuto da travi IPE, con passo 120 cm, posate parallelamente al lato corto. Nell’ipotesi che le travi si comportino come semplicemente appoggiate agli estremi, determinare la sezione minima del profilato in grado si sopportare un carico sul solaio (comprensivo del peso proprio) di 3500 N/m2 con una tensione massima di flessione di 120 N/mm2.

• Tracciare, in opportuna scala, i diagrammi di momento flettente e taglio della trave rettilinea sotto rappresentata.

3 m 3 m 2 m 2 m

p1 p2

p1 = 4000 N/mp2 = 7000 N/m

F

F = 9000 N

• Un’autovettura avente una carreggiata di 1.5 m affronta una curva di raggio medio 50 m alla velocità di 40 km/h1. Sapendo che gli pneumatici hanno un diametro di 0.45 m determinare la frequenza di rotazione delle ruote interne e di quelle esterne

1 Si tratta, ovviamente, della velocità del baricentro della autovettura

Risoluzione del problema n.2 Sia A l’appoggio di sinistra e B la cerniera di destra. Siano VA e VB le reazioni verticali dei rispettivi vincoli e HB la reazione orizzontale della cerniera. Indichiamo inoltre con a e b rispettivamente le distanze 3 m e 2 m Poiché non ci sono carichi orizzontali è immediato riconoscere che:

0BH = Determiniamo ora le reazioni vincolari rimanenti. Annullando i momenti al punto B determiniamo VA

2 21 2

3 1 / 22 2AV p a p a Fb⎛ ⎞= + −⎜

⎝ ⎠a⎟

A

(1.1)

VB può essere agevolmente determinata annullando la somma delle forze verticali agenti:

1 2BV p a p a F V= + + − (1.2) Data la natura dei carichi il momento flettente è definito da quattro funzioni distinte:

( )

( )

21

2

1 2

02

2( )2 2

2 2 20

A

Af

p xV x x a

x aaV x p a x p a x aM x

F a b x a x a b

− ≤

−⎛ ⎞− − − ≤ ≤= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− + − ≤ ≤ +

2 2 2a b x a b

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

≤

+ ≤ ≤ +⎪⎩

(1.3)

Anche il taglio è espresso da tre funzioni distinte:

( )1

1 2

0 2

( ) 2 2

0 2

A

A

V p x x aV p a p x a a x a

T xF a

a b

− ≤

− − − ≤ ≤=

≤ ≤ ++ 2 2

x a b

≤

x a b

⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ≤ ≤ +⎩

(1.4)

Sostituendo i valori numerici nelle (1.1) e (1.2) si ottiene:

2 21 2

3 1 3 1/ 2 4000 9 7000 9 9000 2 / 6 11250 2 2 2 2AV p a p a Fb a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠N

1 2 4000 3 7000 3 9000 11250 30750 B AV p a p a F V N= + + − = ⋅ + ⋅ + − ≅ Sostituendo i valori numerici nelle (1.3) e (1.4) si ha infine:

( ) ( )( )

2

2

400011250 0 32

11250 12000 1.5 3500 3 3 6( )9000 8 6 8

0

f

xx x

x x x xM xx x

⋅⋅ − ≤ ≤

⋅ − − − − ≤ ≤=

− − ≤ ≤

8 10x

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ ≤ ≤⎩

x ascissa (m)

0 2 4 6 8 10

Mom

ento

flet

tent

e (N

m)

-20000

-10000

0

10000

20000

Tagl

io (N

)

-40000

-20000

0

20000

40000

11250 4000 0 311250 12000 7000 ( 3) 3 6

( )9000 6 80

x xx x

T xx

− ⋅ ≤ ≤− − ⋅ − ≤ ≤

=≤ ≤

8 10x

⎧⎪⎪⎨⎪⎪ ≤ ≤⎩

NB.: l’ascissa x è espressa in metri

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica Classe 4MA 15-02-05 Allievo: _______________________

• Un albero, rotante ad una frequenza di n giri/min, deve trasmettere, tramite un giunto a dischi di cui si allega il catalogo del costruttore, una potenza di N kW. Verificare la resistenza dei bulloni di serraggio ritenendoli realizzati in acciaio 8.8 e ipotizzando che il coefficiente d’attrito tra le superficie a contatto delle flange valga 0.3

10 9300 90

N nn n= + ⋅= − ⋅

rr

nr numero d’ordine sul registro di classe

• Determinare le funzioni di momento flettente e taglio della trave sotto riportata

a = 3m; b = 3.5m;

a b

C

q

q = 800 N/m; C = 5000 Nm

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica Classe 4MA 15-02-05 Allievo: _______________________

• Un albero, rotante ad una frequenza di n giri/min, deve trasmettere, tramite un giunto a dischi di cui si allega il catalogo del costruttore, una potenza di N kW. Verificare la resistenza dei bulloni di serraggio ritenendoli realizzati in acciaio 8.8 e ipotizzando che il coefficiente d’attrito tra le superficie a contatto delle flange valga 0.3

10300 10

N nrn n= += − ⋅ r

nr numero d’ordine sul registro di classe

• Determinare le funzioni di momento flettente e taglio della trave sotto riportata

q2 q1

b ca

a = 3m; b = 2m; c = 3m

q1 = 800 N/m; q2 = 500 N/m

Risoluzione della trave Momento flettente Mf e taglio T nel primo tratto 0 x c≤ ≤ x

q1

Q1x

Mfx

N

T

21

2fxqM x= −

1xT q x= Momento flettente Mf e taglio T nel secondo tratto c x c b≤ ≤ +

N

Mfx

c

Qc

x

1 2fxcM q c x⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

1xT q c= Momento flettente Mf e taglio T nel terzo tratto c b x c b a+ ≤ ≤ + +

( )2

2 12 2fx

x c b cM q q c x− − ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

T

N

Mfx

Q1c

cb

x

Q2x

( )2 1xT q x c b q c= − − +

( )

( )

( )

21

1

2

2 1

1

02

2

2 2

f

q x x

cM x q c x c x c b

x c b cq q c x c b x c

q xT x

⎧⎪− ≤⎪⎪⎪ ⎛ ⎞= − − ≤ ≤ +⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪ − − ⎛ ⎞⎪− − − + ≤ ≤ +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

=

( )1

2 1

0

x cq c c x c bq x c b q c c b x c b a

⎧ ≤ ≤⎪

≤ ≤ +⎨⎪ − − + + ≤ ≤ + +⎩

c

b a

≤

+

N.B.: visto che l’ascissa x è crescente da destra a sinistra si ha: fxdMT

dx= −

x [m]

02468

Mom

ento

flet

tent

e [N

m]

-20000

-15000

-10000

-5000

0

x [m]

02468

Tagl

io [N

]

0

1000

2000

3000

4000

5000

ITI OMAR Dipartimento di meccanica Verifica n.2 Primo quadrimestre Materia: Meccanica Classe: 4MA Docente Silvano Andorno Data: 17-0-04

1. Un pilastro, di altezza h = 4 m, costituito da un profilato a I (HE) realizzato in acciaio Fe360, è sottoposto ad un carico verticale e centrato di 70000N. Determinare la sezione minima del profilato con cui realizzare il pilastro e verificarne la resistenza al carico di punta (metodo ω) nell’ipotesi che le condizioni di vincolo siano tali da ritenere la lunghezza libera di inflessione del pilastro pari a 1.25 h. Limitazioni: snellezza massima 150 carico massimo ammissibile a compressione 160 N/mm2

2. Una trave lunga 5 m, di massa trascurabile, è vincolata su due appoggi orizzontali, distanti 3 m, disposti in modo tale realizzare, sulla trave stessa, due sbalzi di uguale lunghezza. La trave è caricata da un carico uniformemente distribuito lungo il proprio asse e paria a 900 N/m. Si richiede di: a. determinare le funzioni del momento flettente e del taglio lungo l’asse della trave; b. determinare i massimi (se esistono) delle funzioni del momento flettente e del taglio ed

eventualmente verificare che in corrispondenza del massimo del momento flettente il taglio è nullo;

c. determinare i valori massimi del momento flettente e del taglio; d. tracciare diagrammi di momento flettente e taglio con le usuali convenzioni di segno

3. Dimensionare un giunto a dischi in grado di trasmettere una potenza di 15 kW con una frequenza di rotazione pari a 200 giri/min. Verificare inoltre i bulloni nell’ipotesi che il coefficiente di attrito tra le superficie a contatto delle flange sia pari a 0.3. N.B.: considerare i bulloni solamente soggetti a momento torcente e sforzo nomale

4. Dimensionare un ingranaggio costituto da un pignone di 20 denti e da una ruota da 45 denti nell’ipotesi che quest’ultima trasmetta una potenza di 30 kW ad una frequenza di rotazione di 150 giri/min. Precisazioni: le ruote dentate sono realizzate con il medesimo materiale e la tensione massima ammissibile a trazione sia pari a 120 N/mm2; il oefficiente λ (rapporto tra larghezza e il modulo) sia pari a 15: indicata con v la velocità periferica in m/s, misurata in corrispondenza della primitiva, la formula di riduzione per l’effetto dinamico del carico sia 10

10 vα =

+

ITI OMAR Esercitazione di Meccanica Classe 4MA 2004-05 Si deve realizzare la copertura di capannone industriale di base rettangolare (8m x 20 m) tramite la posa di sei incavallature equidistanti disposte parallelamente al lato corto. L’incavallatura è realizzata, secondo lo schema sotto rappresentato, con profilati a L mutuamente accoppiati e saldati nei fazzoletti di giunzione.

Disposizioni e Limitazioni Materiale utilizzato per l’incavallatura Acciao tipo I 2157 /amm N mmσ ≅

Deformazione massima ammessa max1 1

700 800f l⎛ ⎞≤ ÷⎜

⎝ ⎠⋅⎟ con l luce della incavallatura

Snellezza massima dei puntoni λ < 200 Carichi agenti Peso della copertura 600 N/m2

Peso neve 900 N/m2

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica Verifica di Meccanica 10-05-05 Classe 4MA Una tettoia sporgente 2.5 m e lunga 8 m è sostenuta da 4 travi IPE a sbalzo equidistanti. Nell’ipotesi che il carico complessivo gravante la tettoia sia pari a 2000 N/m2, determinare la sezione adatta di profilato. ( ) 2130 /amm N mmσ ≅

2.5 m

Una molla a balestra lunga 750 mm, ricavata idealmente da una lamina a pianta romboidale, è costituita da 8 foglie spesse 10 mm e larghe 60 mm. Il carico massimo e minimo siano rispettivamente 10000 N e 7000 N. Determinare:

1) le frecce in corrispondenza dei rispettivi carichi; 2) la tensione massima di flessione sulla balestra; 3) il coefficiente di sicurezza a fatica nell’ipotesi che:

a. 2 201250 / ; 1030 / ; 450 /R snN mm N mm N mmσ σ σ≅ ≅ ≅ 2

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica Verifica di Macchine Idrauliche (pompe centrifughe) Classe 4Ma Una pompa centrifuga tipo NP (vedi catalogo allegato), accoppiata ad un motore asincrono trifase a due coppie di poli, è utilizzata per trasferire una portata nominale d’acqua di 10 m3/h tra due bacini aventi un dislivello reciproco di 18 m. Le perdite di carico Y nel circuito possono ritenersi pari a 30 J/kg. Determinare:

1. il modello di pompa più adatto; 2. il rendimento totale della pompa; 3. la portata effettiva della pompa; 4. la potenza assorbita dalla pompa; 5. la potenza utile della pompa 6. l’altezza massima di installazione della pompa nell’ipotesi che le perdite di carico nel condotto di

aspirazione siano il 30% delle perdite di carico totali e che la temperatura massima dell’acqua sia pari a 30 °.

7. la perdita di carico che deve essere inserita tramite una valvola di parzializzazione in mandata qualora si voglia ridurre la portata a 7 m3/h .

Una pompa centrifuga NP 40/200 con diametro della girante pari a 185 mm, accoppiata ad un motore asincrono trifase a una coppia di poli, viene inserita in un circuito realizzato per trasferire acqua tra due bacini aventi un dislivello reciproco di 40 m. Le perdite di carico Y(m) dell’impianto possono ritenersi valutabili con la seguente relazione:

2 365000 portata in [m / ]Y Q Q≅ ⋅ s Determinare:

1. la prevalenza fornita dalla pompa; 2. la portata smaltita dalla pompa; 3. il rendimento della pompa; 4. la potenza assorbita dalla pompa; 5. l’altezza massima di istallazione della pompa nell’ipotesi che le perdite di carico nel condotto di

aspirazione siano il 20% delle perdite di carico totali e che la temperatura massima dell’acqua sia pari a 22 °.