Estudo Das Retas

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Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

ESTUDO DA RETA ESTUDO DA RETA

“A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre este plano”.

“A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre este plano”.

()

(C)(D)

(B)

(A)

A

BD

C

()

Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés das perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Estas perpendiculares formam um plano perpendicular ao plano que é o plano projetante da reta. Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (AB) é portanto esta interseção.

Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano, os pés das perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta. Estas perpendiculares formam um plano perpendicular ao plano que é o plano projetante da reta. Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta (AB) é portanto esta interseção.

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A=B

(B)

(A)

()

A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta quando esta lhe for perpendicular. Neste caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta

A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta quando esta lhe for perpendicular. Neste caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta

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A

(B)(A)

()B

Quando uma reta for paralela ao plano, a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta. No exemplo dado, seja a reta (A)(B) paralela ao plano cuja projeção neste plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelograma no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA (V.G.).

Quando uma reta for paralela ao plano, a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta. No exemplo dado, seja a reta (A)(B) paralela ao plano cuja projeção neste plano é a reta AB. As duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelograma no qual (A)(B) = AB. Diz-se então que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA (V.G.).

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() A

(B)

(A)

B

Quando uma reta for oblíqua a um plano, a sua projeção é menor que a reta do espaço. Isto pois a reta forma, com a sua projeção e as projetantes, um trapézio retângulo cuja base é menor que a reta do espaço.

Quando uma reta for oblíqua a um plano, a sua projeção é menor que a reta do espaço. Isto pois a reta forma, com a sua projeção e as projetantes, um trapézio retângulo cuja base é menor que a reta do espaço.

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()

(A)

(B)

(B4)

(B3)

(B2)(B1)

A=B B1 B2 B3 B4

• O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação desta em relação ao plano.

• Uma reta pode passar por todos os valores, de zero (reta ortogonal ao plano) até o limite máximo igual ao comprimento verdadeiro da reta (reta paralela ao plano).

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()

(A)

(B)

(B4)

(B3)

(B2)(B1)

A=B B1 B2 B3 B4

• Seja a reta (A)(B)

perpendicular ao plano Suponha que a reta girando em torno de (A) ocupe as posições (A)(B1), ...(A)(B3), etc, cujas projeções no plano (p) são respectivamente AB, AB1, AB2, etc. e assim por diante.

• Verifica-se que a projeção inicial é o ponto A=B e que esta projeção torna-se AB1 quando o ponto B atinge a posição (B1) e vai crescendo gradativamente.

• Conclui-se que a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele.

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POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

(M)

(s)

(r) ()

Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M), comum à reta (s) e ao plano (). Enquanto a reta (r) está situada no plano (), a reta (s) tem neste plano apenas um ponto (M). Conclui-se que o ponto (M) e a reta (r) definem o plano ) e a reta (s) a ele não pertence.

RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES

(r) e (s) são retas reversas ou não coplanares, o que significa que não pertencem ou não estão posicionadas no mesmo plano.

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RETAS COPLANARES

Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M), comum às retas (r) e (s) e ao plano (). As retas (r) e (s) pertencem ao mesmo plano.

(r) e (s) são ditas “coplanares”, “pois definem um plano.

()

(M) (s)

(r)

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()

(M) (s)

(r)

(r1)

(s1)

• Concorrentes: as retas (r) e (s) apresentam um ponto em comum (M).• Paralelas: as retas (r1) e (s1) são paralelas, não admitindo ponto comum.


RETAS COPLANARES

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Duas retas são concorrentes quando o ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais (M) estiver numa mesma linha de chamada

()

• RETAS COPLANARES CONCORRENTES


(M)

(r) (s)

r s M

M’

s’

s

M

r

r’

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Duas retas são concorrentes quando duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam.



()

r = s

(O)

(r) (s)

O

S’ O’

r’

O

r=s

Neste caso as 2 retas concorrentes admitem um mesmo plano de projetante e por isso suas 2 projeções de mesmo nome coincidem.

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Duas retas são concorrentes quando uma das projeções de uma reta se reduz a um ponto sobre a projeção de mesmo nome da outra reta.



()

(r)

(u)

(M)

M=u r

u’

r’ M’

r M=u

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Duas retas são paralelas quando >> (I) as suas projeções de mesmo nome são paralelas.

• RETAS COPLANARES PARALELAS


r

r’

s

s’(r)

r

(s)

s ()

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Duas retas são paralelas quando >> (II) duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas (é o caso de duas retas //s admitirem um mesmo plano projetante).



(r)

()

(s)

r=s

r’

s’

r=s

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Duas retas são paralelas quando >> (III) as suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto.



(r)

()

(s) r’ s’

s r

É o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si.

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ALGUMAS POSIÇÕES DA RETA ALGUMAS POSIÇÕES DA RETA

• RETA HORIZONTAL: reta paralela ao plano horizontal.

• RETA FRONTAL: reta paralela ao plano vertical.

• RETA FRONTO-HORIZONTAL: reta paralela aos dois planos.

• RETA VERTICAL: reta perpendicular ao plano horizontal.

• RETA DE TOPO: reta perpendicular ao plano vertical

Não mencionamos retas perpendiculares aos dois planos?

Por que?

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POSIÇÕES DA RETA POSIÇÕES DA RETA

Pois não há retas nesta posição!!! Toda a reta perpendicular a um plano será obrigatoriamente paralela ao outro, JÁ QUE OS PLANOS DE PROJEÇÃO SÃO PERPENDICULARES ENTRE SI.

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DETERMINAÇÃO DE UMA RETA DETERMINAÇÃO DE UMA RETA

A

B

A’

B’

De modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções desta reta sobre os dois planos ortogonais de Monge.

Sejam os planos () e (’) perpendiculares e AB e A’B’ respectivamente as projeções da reta (A)(B), cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano

perpencicular ao plano (); o mesmo se aplica com A’B’ em relação a (’). Cada um dos planos, que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será então a interseção destes 2 planos projetantes.

(A)

A

A’

B’(’)

(B)

B()

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PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA

()A

C

(A)

(C)

(B)

B

Sabe-se que três pontos em linha reta projetam-se segundo três pontos também em linha, EXCETO quando os pontos estão na mesma reta perpendicular ao plano.

Verifica-se então que se o o ponto (C) da figura ao lado pertence à reta (A)(B), a projeção C pertence à projeção AB.

REGRA GERAL...

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r’

A’

Ar

B’

B

t’

tE

E’ F’C’

CF

PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA

REGRA GERAL: um ponto pertence a uma reta quando as projeções deste ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, ou seja, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta.

EXEMPLOS

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Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares.

Veremos aqui a maior parte delas....

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No espaço Na épura

Características da reta Qualquer:

• O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH. • Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento. • Nenhuma de suas projeções está em V.G. • As projecções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT.

RETA QUALQUER (AG)

PV

A2C

B

F

GD

HA

E G1

G2

A1PH

A2

G2

G1

A1

L T

No espaço Na épura

RETA FRONTO-HORIZONTAL (AB)

Características da reta Fronto-horizontal:• O segmento AB tem a mesma cota – distância do ponto ao PH - em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. • Tem também, o mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - em todos os seus pontos e portanto é paralela ao PV. • Sendo paralela ao PV e ao PH também o será à LT. • Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. – Verdadeira Grandeza • Por ser paralela ao PV, a sua projeção vertical também estará em V.G.

PV

A2C

B

F

GD

HA

EB1

B2

A1PH

A2 B2

B1A1

L T

RETA HORIZONTAL (AC)No espaço Na épura

Características da reta Horizontal:

• O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao P H. • Porém tem afastamentos diferentes nos pontos, é oblíquo ao PV. • Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV, a sua projeção horizontal está em V.G. e é oblíqua à LT. • Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, a sua projeção vertical é paralela à LT.

PV

A2C

B

F

GD

HA

E C1

C2

A1PH

A2 C2

C1

A1

L T

RETA DE TOPO (AD)No espaço Na épura

Características da reta de Topo:• O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. • Porém tem afastamentos diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PV. • Por ser paralela ao PH, a sua projeção horizontal está em V.G. e é perpendicular à LT. • Sendo perpendicular ao PV, a sua projeção vertical transforma-se num ponto.

PV

A2=D2C

B

F

GD

HA

E

D1A1

PH

A2=D2

D1

A1

L T

RETA DE VERTICAL (AE)No espaço Na épura

Características da reta Vertical:• O segmento AE tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. • Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é perpendicular ao PH. • Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é perpendicular à LT. • Por ser perpendicular ao PH, a sua projeção horizontal estará reduzida a um ponto.

PV

A2C

B

F

GD

HA

E

A1=E1PH

A2

A1=E1

L T

E2

E2

RETA FRONTAL (AF)No espaço Na épura

Características da reta Frontal:

• O segmento AF tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto é paralelo ao PV. • Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e, é oblíquo ao PH. • Sendo paralelo ao PV, a sua projeção vertical estará em V.G. e é oblíqua à LT. •Por ser oblíqua ao PH mas paralela ao PV, a sua projeção horizontal será paralela à LT.

PV

A2C

B

F

GD

HA

E

A1PH

A2

A1

L T

F2

F2

F1F1

RETA DE PERFIL (AH)No espaço Na épura

Características da reta de Perfil• O segmento AH é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH;• As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento • As suas projeções horizontal e vertical não estão em V.G• As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. • No espaço, ela pode ser concorrente à LT.

PV

A2C

B

F

GD

HA

E

H1A1

PH

A2

H1

A1

L T

H2

H2


Uma reta de perfil só pode ocupar 2 posições em relação aos planos de projeção:

(i) ou possui os 2 traços distintos (H) e (V) e neste caso passa por 3 diedros ou,

(ii) possui os seus traços coincidentes sobre a LT e só atravessará os 2 diedros opostos.

(’S)

(A)

(s)

(P)

(’I)

(H)=(V) (H)

(r)

(V)

RETA DE PERFIL

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TRAÇOS DE RETA DE PERFILTRAÇOS DE RETA DE PERFIL


A2

B2

H’=V

A1

B1

EM ÉPURA:

- seja (A) (B) dada por suas projeções A2 e B2 e A1 e B1. V’ (=(V)) é o traço da reta sobre o plano vertical (p’). Suponha que o traço “H” da reta sobre o plano horizontal (p) e o traço “V” da reta sobre o plano vertical (p’) sejam desconhecidos. VAMOS DETERMINÁ-LOS!!.

- Opera-se fazendo-se centro em H’=V e descrevendo os raios de círculo até situar estes pontos em A3 e B3 na linha de terra.

OBS: na realidade não é necessário obrigatoriamente traçar os arcos de círculo. O transporte dos afastamentos dos pontos (A) e (B) para H’A3 e H’B3 levam ao mesmo resultado.

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PASSO 1

A2

B2

H’=V

A3 B3

A1

B1

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PASSO 2

EM ÉPURA:

- teremos em (A1)(B1) a verdadeira grandeza da reta (A)(B)

- através do prolongamento superior da reta (A1)(B1) podemos derivar o traço vertical (V)=V’ da reta (A)(B)

(A1)

(B1)

A2

B2

H’=V

A1 B1

A1

V’=(V)

B1

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(A1)

(B1)

A’

B’

H’=V

A1 B1

A

V’=(V)

B

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(A1)

(B1)

A2

B2

H’=V

A1 B1 H1

A1

(H)

V’=(V)

B1

PASSO 4 Pronto!

H e V’ estão determinados.

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EM ÉPURA:

- com o mesmo centro em H’=V e raio H’H1, descreve-se, em sentido contrário ao efetuado para o rebatimento (sentido dos ponteiros), o arco H1H, sendo (H) o traço horizontal.


Assim como analisado para o ponto, esta reta pode estar contida toda dentro de qualquer dos semiplanos ou em coincidência com a LT. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre a LT. No segundo caso, ambas as projeções coincidem com aquela com a LT.

A B

(A)=A’

(B)=B’

Reta situada no (Reta situada no (’’SS))

A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece acima da LT e a projeção horizontal sobre a LT.

(A)=A’

(’S)

(B)=B’

A

B

(’I)

(A)

(P)

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Reta situada no (Reta situada no (’’II))

(’S)

(’I)

(A)

(P)

(A) = A’

(B) = B’

A

B

A B

(A) = A’

(B) = B’

A reta coincide com a sua própria projeção vertical. Na épura, a projeção vertical aparece abaixo da LT e a projeção horizontal sobre a LT.

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Reta situada no (Reta situada no (A A ))

(P)

(’S)

(A)(A) = A

(B) = BB’

A’

(’I) A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se abaixo da LT.

A’ B’

(A) = A

(B) = B

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Reta situada no (Reta situada no (P P ))

A reta coincide com a sua própria projeção horizontal. Na épura, a projeção vertical da reta aparece sobre a LT, enquanto a sua a projeção horizontal posiciona-se acima da LT.

(P)

(’S)

(’I)

B’

(A) = A

(B) = B (A)

A’

B’A’

(B) = B

(A) = A

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Reta situada sobre a LINHA DE TERRA Reta situada sobre a LINHA DE TERRA ’’

(B)=B=B’(A)=A=A’

(’I)

(A)(A)=A=A’

(B)=B=B’

(P)

(’S)

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Outros exemplos:Outros exemplos:

(P)

(’S)

(A)

r’

(’I)

(r)

Reta (r) de topo no (A)

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(’S)

(u)

(’I)

(A)(P)

u



Reta (u) vertical no (’S)

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Reta (m) frontohorizontal no (P)

(P)

(’S)

(’I)

B’(m

) (A)

A’m’

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Estudo Das Retas

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