EJERCICIOS DE INTEGRALES DEFINIDAS:

1.) Se considera, en el primer cuadrante, la región R del plano limitada por: el eje

X, el eje Y, la recta x = 2 y la curva y = .

a) Calcula razonadamente, el área de la región R b) Encuentra el valor de α para que la recta x = α divida a la región R en dos partes A (izquierda) y B (derecha) tales que el área A sea el doble que la B.

2.) Dada la función f (x) = (x -1) (x + 1) (x - 3).

a) Calcula una primitiva de f (x). b) Justifica que c) Halla el área limitada por la función f (x), el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.

3.) Calcula la integral definida:

4.) Si f es una función continua en , ¿puede ser Razona la respuesta con un ejemplo. b) Calcula:

5.) Dadas las curvas y calcula razonadamente:a) Su punto de corte.b) El área encerrada por ellas y el eje Y.

6.) Calcula el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.

7.) Calcula el volumen de la esfera de radio r, partiendo de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r² y girando un semicírculo en torno al eje de abscisas para obtener una esfera.

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SOLUCIONES

1.) a) Gráficamente, la región R tiene el siguiente aspecto:

Siendo el área pedida:

u2

b) Se ha de cumplir que:

Como una primitiva de es , tendremos:

Operando, pasando los arctg(α/2) a un lado y lo demás a otro queda:

·arctg(α/2) = arctg1 – arctg0 = 45º = ∏/4. Despejando arctg(α/2) queda:

; ; α = 2tan ≈ 1,2 ---------------------------o-------------o--------------o----------------------------------2.) a) Para calcular la primitiva de una función polinómica lo mejor será desarrollar los productos que el enunciado indica:

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La integración de esta función es, ahora, inmediata:

b) Calculada la primitiva en el apartado anterior es obvio responder que efectivamente la función no es su primitiva. De hecho, si derivamos la función no obtenemos la función polinómica que ofrece el enunciado,

c) Representamos la función y las rectas que limitan el área a calcular:

La función de nuestro enunciado corta al eje de abcisas en los puntos x = -1, x = 1 y x = 3. En sus puntos de corte una función cambia de signo y debemos tenerlo en cuenta al calcular el área.

Comprobamos que f (x) es positiva en el intervalo (-1 , 1) y negativa en (1 , 3). Por tanto, y aplicando la regla de Barrow:

---------------------------o-------------o--------------o-----------------------------------3.) La dificultad de este ejercicio está en estudiar y evaluar adecuadamente el valor absoluto.Por definición:

y por tanto:

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En consecuencia, la integral definida que nos piden debe operarse como dos integrales definidas de la siguiente forma:

---------------------------o-------------o--------------o-----------------------------------4.) a) Es claro que si puede ocurrir. Imaginemos una función con simetría impar, por ejemplo f (x) = x3. Esta función es continua para todo valor real y, si realizamos una integral definida entre dos valores reales que equidisten del cero, tendremos una integral definida nula pues las áreas son, a ambos lados del eje de simetría, iguales y de signo opuesto. Por tanto, siempre que el área se divida en dos regiones de igual valor a ambos lados del eje de abcisas ocurrirá.

Lo comprobamos:

De hecho, si se nos pidiera calcular el área que la función encierra entre el eje de abcisas y las abcisas x = 1 y x = - 1 el cálculo conveniente para resolver dicha integral definida sería:

b) Para resolver esta integral definida realizamos un cambio de variable:

y sustituyendo en la integral:

---------------------------o-------------o--------------o-----------------------------------5.) a) El punto de corte se obtiene resolviendo el sistema de las ecuaciones propuestas:

Y factorizando por Ruffini obtenemos que las raíces y factores asociados son:

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De donde el corte de ambas curvas se obtiene para x = 2, de donde el punto resulta (2 , 1).

b) El área encerrada por las curvas y el eje Y será la que indica la siguiente gráfica:

De forma que la integral nos queda:

---------------------------o-------------o--------------o-----------------------------------6.) Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

---------------------------o-------------o--------------o-----------------------------------7.) Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

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