Teoría de Vigas 4ta parte

Ejemplo de giros y deflexiones

2a/3

a

b

q P

A

B C

- Deflexión o flecha en B - Giro en A

Ejemplo de giros y deflexiones

B P

a q

2P/3 P/3

2P/3

A

C

Ejemplo de giros y deflexiones

q 2P/3 C

- Flecha en B

Ejemplo de giros y deflexiones

Viga análoga

EI

xM

dx

vd )(2

2

EI

x

dx

dv )(

EI

xV

dx

vd )(3

3

EI

q

dx

vd

4

4

Viga análoga (Analogía de Mohr)

2

2

dx

Md

dx

dVq

Teorema Fundamental

de Vigas: 2

2

dx

d

dx

d

EI

M

Ecuación de la elástica:

Las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión son análogas a las ecuaciones fundamentales de la viga, en el sentido en que en ambas aparecen tres términos, (M/EI, θ, ν) y (q, V, M) respectivamente, relacionados mediante la primera y segunda derivada.

El método consiste en crear una viga que es cargada con una carga análoga q, equivalente a los valores de M/EI de nuestra viga real, y con condiciones de borde en V y M, que reflejen las condiciones de borde de θ y ν de la viga real.

V My qEI

M

“viga análoga”

Apoyo fijo Apoyo fijo

Apoyo deslizante Apoyo deslizante

Empotramiento

Empotramiento

Libre

Libre

Apoyo fijo

Apoyo deslizante

Articulación

Articulación

Articulación Apoyo deslizante

qEI

M V Mv

Ejemplo

P

M/(EI)

Viga Análoga

θ=V*

v=M*

-

-

P

Viga Original

PL/EI

Viga análoga (Analogía de Mohr) Ejemplo con otras condiciones de borde.

MvVqEI

M ;; Determinar el descenso de D.

Tramo BCD Suma (F)= 0 RB+Rc=P Suma(MB)=0 L.RC-3/2L.P=0 RC=3/2.P RB=-1/2.P

Tramo BCD

Tramo AB

RB=1/2.P

Tramo AB Suma (F)= 0 1/2.P+RA=0 RA=-1/2.P Suma(MA)=0 MA-L/2.P/2=0 MA=P*L/4

RA

MA

-P/2

P P

-P/2 -

+

V

M

PL/4

-PL/2

+

-

Viga análoga: vínculos

Viga original

Viga análoga

Carga

MvVqEI

M ;;

PL/(4EI)

-PL/(2*(2EI) =-PL/(4EI)

140 MPa

18 kN/m

Asumiendo q=1kN/m RA+RB+RC= 12 Suma Mder_art=0 5*2.5-3*RC=0 RC=12.5/3 kN

Suma Mizq_art=0 2*RB2+7*RA- 7*3.5=0 RA= 1.767 kN RB = 6.066 kN

A B C

Diagramas

M

V

q admisible

Mmax= -3.666 σ>Mmax/Wx 140 MPa> 3.666*q/278 q< 140*10^6*278/10^6/3.666 q< 10.6 kN/m

Módulo Resistente

PNI 22 IxPNI22= 3060 cm4

Ix= 3060 + 2*[(d*1.5^3)/12+d*1.5*(11+1.5/2)2]

Ix= 3060+2*d*207.4 cm3

Wx=Ix/y Wx = (3060+2*d*207.4)/12.5

Espesor d

q= 18 kN/m σ>Mmax/Wx 140 MPa> Mmax/(3060+2*d*207.4)/12.5 140,000 kPa > 3.7*18 kNm /[ (3060 * 10-6 +2*d*207.4 * 10-4)/12.5] 140,000> 3.7*18/(244.8* 10-6+33.2*d*10-4) d> 7 cm