caracterización y diseño de bobinas y transformadores

CARACTERIZACIÓN Y DISEÑO DE BOBINAS YTRANSFORMADORES

EFECTOS CAPACITIVOS

CONCEPTOS BÁSICOS DE ELECTROSTÁTICA

• Cargas puntuales

Fuerza entre dos cargas

Intensidad de campo eléctrico

Constante dieléctrica del vacío

Eo=8.8542·10-12 [F/m]

[ ]NrFr

QQ

oba

ba ····4

12

·, εεππ

=

Q

Q

a

b

F a,b

r

r

[ ]mVrE

r

Q

oba

a ····4

12, εεππ

=

EFECTOS CAPACITIVOS

Eo

Pi

D

d

EoD

E: campo Newtoniano

Integrando las ecuaciones de Maxwell

V : potencial electrostático

V: trabajo para mover una carga a velocidadconstante de A a B

MATERIALES DIELÉCTRICOS

De donde

0=

=

Erot

Edivoεε

ρρ

VdE gra−=

∫∫ =−=−a

b

b

aba dlEdlEVV )·()·(

EP

PED

oe

o

··

·

εεχχεε

=+=

)1·(· eo ED χχεε +=

EFECTOS CAPACITIVOS

Tma de Gauss

Donde σf es la densidad de carga libre

De donde

encerradacerradaSQdsD =∫∫ ,

·

ff DssD σσσσ =⇒= ··

ro

fro EED

εεεεσσ

εεεε·

·· =⇒=

dVdxdV

EVdEro

f ··

graεεεε

σσ=⇒=⇒−=

ds

d

s

VQ

C ro

ro

f

f ··

··

·εεεε

εεεεσσσσ

===

EFECTOS CAPACITIVOS

ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO

Ambas placas están a igual tensión por lo que el campo E esconstante a lo largo de toda la superficie

dvEdvDE

vro

v

····21

·2· 2∫∫∫∫∫∫ == εεεεεε

L

d

H

V

E

ds

Vdvd

Vroro ····

21

····21 2

2

2εεεεεεεεεε == ∫∫∫

2··21

VCeq=εε

ds

C roeq ··εεεε=

EFECTOS CAPACITIVOS

Según la estrategia de devanar las capacidades parásitascambian.

Consideremos placas planas de sección S y longitud l.

Caso a)

El campo eléctrico depende de “x”

Caso b)

El campo eléctrico no depende de “x”

V

a)

x

V V/2

b)

E=V/2

d

h

E(x)=V·xh·d d

ds

Vdvd

Vroro ····

81

··4

···21 2

2

2εεεεε == ∫∫∫

ds

C roeq ···41 εε=

ds

VdvdhxV

roro ····61

···

···21 2

2

εεεεε =

= ∫∫∫

ds

C roeq ···31 εε=

0

EFECTOS CAPACITIVOS

Condensador cilíndrico

Aplicando el Teorema de Gauss a un condensador cilíndricosometido a una tensión V, tenemos:

r

R1

R2

E(r )

ds+Q-Q H

εlibre

cerradaS

QsdE =∫∫ ,

·

12

·ln···2

·R

R

H

QrdEV

oεεππ== ∫∫

rH

QE

···2πε=

==

12

ln

···2

RR

HVQ

Cεεππ

EFECTOS CAPACITIVOS

O también

Si el condensador esta formado por dos capas de conductoresunidos como se indica en la figura y sometidos a la tensión V,el condensador equivalente será:

== ∫∫∫ 1

2·ln

··2··)(···

21 2

2

RR

HQ

dvrEro ππεεεεεεεε

eqeqeq C

QCVC 2

22 ··

21

··21 ==εε

=

12

ln

···2

R

RH

Ceq

εεππ

r

R1

R2

E(r )

ds+Q-Q HV

y

∆C

EFECTOS CAPACITIVOS

Tomemos un diferencial de condensador ∆C:

La energía almacenada en este condensador diferencial será:

Integrando a lo largo de la altura H, tendremos:

La energía almacenada en un condensador equivalente es

De donde se deduce la capacidad equivalente

∆=∆

12

ln

···2

RR

yC

εεππ

2

2··

21

∆=∆ V

CW

=

== ∫∫12

·ln4

···4

·

12

ln

···2·

21 22

00

RRVHV

RR

dydWW

HH εεππεεππ

2··21

VCW eq=

=

12

·ln2

··

RRH

Ceq

εεππ

EFECTOS CAPACITIVOS

Si por el contrario las conexiones entre devanados sonlas mostradas en la figura:

El perfil de tensiones a lo largo del eje y será como elindicado en el caso a): V(y)=V·y/H

Siguiendo el mismo proceso que es el caso anteriortendremos:

r

R1

R2

E(r )

ds+Q-Q H

V

y

∆C

∆=∆

12

ln

···2

RR

yC

εεππ

2·

··21

∆=∆

HyV

CW

=

== ∫∫12

·ln3

·····

12

ln

···2·

21 2

2

22

00

RRVH

HyV

RR

dydWW

HH εεππεεππ

EFECTOS CAPACITIVOS

Finalmente igualando la expresión anterior a la energíaalmacenada en un condensador C eq sometiodo a latensión V, obtendremos el valor de C eq:

Las técnicas de interleaving:

• Aumentan la capacidad entre devanados C 12 (se reducela distancia entre ellos)

• Disminuyen la capacidad propia C 11, C22

C11 C22

C12

=

12

·ln3

···2

RR

HCeq

εεππ

ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES

Ejemplo de diseño:

Convertidor en puente completo

Vi: 83-365 V (eficaces)Vo: 12 V (DC) Po: 100 W Fc: 100kHz

Asignaremos inicialmente el 10 % de pérdidas a lossemiconductores y otro 10 % a los magnéticos.

L FN1:N 2

UB

u 1 u 2 u 0

u 1

φ, im

u 2

i 2

t

t

t

t

TT/2

d·(T/2)


a) Diseño del transformador de aislamiento

1º) Determinar el ciclo de trabajo del convertidor

M=d·(N2/N1)

rt=N1/N2=8

UBmax=516 V ⇒ d=0.18UB =311 V ⇒ d=0.3UBmin =117 V ⇒ d=0.82

2º) Determinar los valores de corriente y tensión que deben sermanejados por los magnéticos

Corriente eficaz por el secundario

i2=IO·√d≈4.56 A

(suponemos despreciables los rizados de corriente debidos a la L F y Lm)

Corriente eficaz por el primario

I1=I2/rt ≈ 0.57 A

3º) Selección de los conductores

Objetivo: minimizar los efectos de la alta frecuencia

δ (100kHz)=0.24 mm

PRIMARIO: hilo redondo de φ 0.15 mmSECUNDARIO: Hilo litz 400x φ 0.04mm

Cf··µπρδ =


4º) Selección del material magnético

Objetivo: minimizar las pérdidas en alta frecuenciaEvitar la saturación del nucleo

3F3 PHILIPS

Entre 20 – 300 kHz

Cm=0.25, x=1.6, y=2.5, c t=1.26, ct1=1.05·10-2, ct2=0.79·10-4

Saturación B S=0.3 T

5º) Evaluación de las pérdidas en el núcleo

Pn(N1)=K1/N1

6º) Evaluación de las pérdidas en el cobre

)···(··)/( 221

3 TcTccBfCmmWPn ttty

acx

C +−=

eC

maxmax

ANf

dUNB

·1··4

·)1( =

eeC

Bc VANf

ddUfNPn ·

·1··12

·69····25.0)1( 6.1

−=

( )212

2

2212

1

1 ··

400·4

·

·1

··

4·

·1·)1( t

mt

Cum

Cu rI

lr

N

IlN

NPcu

+

=φπ

ρφπ

ρ


PCu(N1)=K1·N1

Pérdidas totales

PT(N1)= PCu(N1)+ Pn(N1)

El mínimo se obtiene cuando

PCu(N1)=Pn(N1)

Inductancia magnetizante:

P(W) Pn PCu

N1N1optimo

e

ero

l

ANNLm

···1)1(

2 µµ=


Corriente magnetizante:

7º) Disposición de los devanados

El primario se divide en dos capas en paralelo para minimizarla inductancia de dispersión.

C

B

fNLm

dUN

)·1(·4

·)1Im( =

PrimarioSecundario

núcleo


Fichero Mathcad

Ieff 0.6rt 8

f .100 103

Ub 311d 0.3

ρcu .1.7 108

capas 2 numero de capas en paralelo del primario

Datos del núcleo

Ve .574 109

Ae .24.8 106

φ c .5 10 3

mur 2000

muo ..4 π 10 7

le .23.2 103

h .6.3 103

Datos conductores

φ 1 .0.15 103

φ 2 .0.04 103

Cálculo de pérdidas en el cobre

Pcu1( )N1 ...ρcu..N1 π φ c

.π φ 1

4

2

1

capasIeff

2

Bmax( )N1.Ub d...4 f N1 Ae

Lm( )N1...N1

2muo mur Ae

le

Pcu2( )N1 ..ρcu

..N1

rtπ φ c ..2 0.2 103

..π φ 2

4

2

400

( ).Ieff rt 2

Im_max( )N1.Ub d

..4 Lm( )N1 f

Pcu( )N1 Pcu1( )N1 Pcu1( )N1


Cálculo de pérdidas en el núcleo

Pn( )N1 ...0.25 ( )f 1.6 ..Ub d...12 f N1 Ae

9 .6 d2.5

Ve

N1 ..,8 9 40

0 10 20 30 400

2

4

Pcu( )N1

Pn( )N1

N1

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

Im_max( )N1

N1


0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

Bmax( )N1

N1

A la vista de las anteriores gráficas se selecciona:

Núcleo RM5N1=32 (dos capas en paralelo)N2=8Pérdidas totales P T=1.2 W


b) Diseño de la bobina

A partir del rizado de corriente (i r=1A) se determina el valor deLF

UB=516 V, d=0.18 ⇒ LF=0.45mH

A partir de éste valor se ha de determinar el número de espirasN y el entrehierro necesarios para obtener el valor deseado deLF.

El cálculo sigue un proceso iterativo similar al realizado con eltransformador.

Tdi

VUL

r

OBF ··

·2

−=

eoe

e

Ag

A

lN

L

··

2

µµµµ+

=

o

e

maxmax gl

INB

µµµµ+

= ·

EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA

EJEMPLO:

Transformador para flyback:

Resultados en función de la estrategia de devanado:(Corriente neta por los devanados 2 A)

EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA

Influencia del entrehierro:

RM12, conductores de φ1.5 mm,Análisis a 150 kHz

CRITERIOS DE DISEÑO

ESPESOR ÓPTIMO EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE CAPASQUE FORMAN EL DEVANADO

Espesor óptimo normalizado ϕopt (m)=espesor/ δSKIN

Pérdidas: P(m)=P DC·F(ϕopt (m),m)

Bobinas con entrehierro central

m ϕopt(m) F(ϕopt(m),m)1 1.57 1.442 0.961 1.3493 0.77 1.344 0.663 1.3375 0.591 1.3356 0.539 1.3347 0.499 1.3348 0.466 1.3349 0.439 1.33410 0.417 1.334

Bobinas con entrehierro central y exterior

m ϕopt(m) F(ϕopt(m),m)1 3.133 1.4372 1.57 1.443 1.143 1.3644 0.961 1.3495 0.849 1.3436 0.77 1.347 0.711 1.3388 0.663 1.3379 0.624 1.33610 0.591 1.335

EJEMPLO DE DISEÑO

MÉTODO DE DISEÑO DE BOBINAS:

Datos de partida:

L=450 µHFrecuencia=200 kHzCorriente máxima I MAX=8.8 ACorriente ac I ac=0.5 ACorriente eficaz I RMS≈8.5 AFactor de uso de ventana k W=0.3Saturación B S=0.3 TFactor de forma geométrico K FG=85Factor de pérdidas en el núcleo

1.- Selección del núcleo

2ac

NU

MB

VolP

K =

3

2

222 ·····

·2

V

IILK

KK

P

RMSac

W

FGMCU

OPT

ρρ

=

3

5

2

22

2 1·

·······

VB

IIL

K

KVB

I

IKP

MAX

MAXRMS

W

FGCUMAX

MAX

ac

MBmax

+= ρρ

EJEMPLO DE DISEÑO

Representación de las pérdidas óptimas totales y las pérdidasa BMAX en función del volumen del núcleo.El volumen óptimo se encontrará en el cruce de ambas curvas.Con volúmenes inferiores al óptimo forzosamente acudiremosa un diseño a B MAX para evitar la saturación.Con volúmenes superiores al óptimo minimizamos pérdidas acosta de incrementar el volumen.

1 10 7 1 10 6 1 10 5 1 10 4 0.0010.1

1

10

100

1 103

1 104

Popt ( )v

Pbmax ( )v

v

Se asumen como aceptables unas pérdidas del orden de 5W,por lo tanto seleccionamos un volumen de núcleo ≈ 13.000 mm3

Es decir un RM14.

2.- Selección del número de vueltas

a) por límite de pérdidas

4

12

·

··

··

·0

==⇒⇒==

e

W

RMS

ac

CU

WMOPT Al

VA

I

ILKKN

dNdP

ρρ

EJEMPLO DE DISEÑO

b) por límite de B MAX

En nuestro caso es la opción b) la seleccionada

N=74

3.- Diámetro del hilo

4.- Determinación del entrehierro

eMAX

MAX

ABIL

N·

·=

mmN

AK WW 8.0·

··4 ≈=ππ

φφ

mml

LNA

gr

eeo 3·· 2

=−=µµ

µµ

EJEMPLO DE DISEÑO

FICHERO MATHCAD:

DATOS DE ENTRADA:INDUCTANCIA

l .450 10 6

FRECUENCIAf 100000

CORRIENTESimax 8. 8

iac 0. 5

irms 8. 5

FACTOR DE USO DE VENTANAkw 0. 3

RESISTIVIDAD CONDUCTOR

res1

.5.7 107

PERMEABILIDADur 2000

bmax 0. 3 B MAXIMO

PERDIDAS NUCLEOkfg 85 factor de forma geometrico=80 por lo general

km .5.28 106 factor de pérdidas del núcleo

v ..,.500 10 9 .600 10 9 .550000 10 9

perbopt ( )v .2

.....res km kfg

kwl2 iac 2 irms 2

v

2

3

perbmax ( )v ...kmiac 2

imax 2bmax 2 v ....

.res kfg

kwl2 irms 2 imax 2

bmax 2

1

v

5

3

cálculo a mínimas pérdidas perbopt(v) y a Bmax, perbmax(v). Hay un punto de corte.A la izda de derecho punto el diseño ha de ser a Bmax ya que en el otro caso sesatura la bobina. A la derecha del punto el diseño ha de ser a mínimas pérdidas.

1 107

1 106

1 105

1 104

0.0010.1

1

10

100

1 103

1 104

perbopt ( )v

perbmax ( )v

v

EJEMPLO DE DISEÑO

v2 .13 106 v1 .13 10

6

Aw1 .135 106

Aw2 .135 106

Ae1 .178 106

Ae2 .178 106

lmed1 .90 10 3 lmed2 .90 10 3

le2 .71 10 3 le1 .71 10 3

n1opt

4

.....km kw

resl2 iac

2

irms2

Aw1v1

.lmed1 Ae12

n2opt.l imax

.bmax Ae1

=n1opt 14.047 =n2opt 74.157

b1max.imax l

.Ae1 n1optb2max

.imax l.Ae2 n2opt

=b1max 1.584 =b2max 0.3

b1ac.iac l

.Ae1 n1optb2ac

.iac l.Ae2 n2opt

=b1ac 0.09 =b2ac 0.017

d1

..4

πAw1 kw

n1optd2

..4

πAw2 kw

n2opt

=d1 0.002 =d2 8.339 104

p1nu ...km v1iac 2

imax 2b1max 2 p2nu ...km v2

iac 2

imax 2b2max 2

=p1nu 0.556 =p2nu 0.02

pdev1 ...res n1opt lmed1

.π4

d1 2irms 2 pdev2 .

..res n2opt lmed2

.π4

d2 2irms 2

=pdev1 0.556

g1....4 π 10 7 Ae1 n1opt 2

l

le1

urg2

....4 π 10 7 Ae2 n2opt 2

l

le2

ur

=g1 6.258 105

=g2 0.003

=n1opt 14.047 =n2opt 74.157

=pdev1 0.556 =pdev2 15.49

=p1nu 0.556 =p2nu 0.02

=d1 0.002 =d2 8.339 104

=b1max 1.584 =b2max 0.3

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