ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΚΑΙΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ

IOYNΙΟΣ 2019

0

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Ρ(Α∪Β)¿Ρ(Α)+Ρ(Β)–Ρ(Α∩Β)

Γεγονότα Α και Β ξένα μεταξύ τους ⟺ Α∩Β=∅ ⟺ P(Α∩Β)=0

Πιθανότητα υπό συνθήκη Ρ(Α/Β)= Ρ (Α ∩Β)Ρ(Β)

Α και Β ανεξάρτητα γεγονότα ⟺ Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α)Ρ(Β).

Θεώρημα ολικής πιθανότητας.

Αν Α1, Α2, Α3, Α4=Διαμέριση του συνόλου αναφοράς Ω, τότε

Ρ(Β)=Ρ(Β/Α1)Ρ(Α1)+Ρ(Β/Α2)Ρ(Α2)+Ρ(Β/Α3)Ρ(Α3)+Ρ(Β/Α4)Ρ(Α4):

Θεώρημα του Bayes:

Ρ(Αj/Β) =Ρ (B /Α j)P(A j)

P(B)=

Ρ(B /Α j)P(A j)Ρ(B /Α1)P (A1)+Ρ(B /Α2)P (A2)+Ρ(B /Α3)P (A3)+Ρ (B /Α4)P(A4)

,

j=1-4.

Επιτρέποντας την επανάληψη καθενός αντικειμένου, με λήψη k από n αντικείμενα μπορούμε να δημιουργήσουμε nk διατεταγμένες k-άδες αντικειμένων.

Υπάρχουν (nk) τρόποι λήψης k διαφορετικών στοιχείων (χωρίς διάταξη αυτών) από n

διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία, όπου είναι (nk)= n !k ! (n−k )! .

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές: Μέση ή αναμενόμενη τιμή (expected value) τυχαίας μεταβλητής Χ: Ε(Χ)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xkP(X=xk) ή, συντομότερα, Ε(Χ)=

∑i=1

k

x iP (X=xi)=∑i=1

k

x iPX (x i).

Μέση τετραγωνική τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ:

Ε(Χ2)=∑i=1

k

x i2P ( X=x i )=¿∑

i=1

k

xi2 PX (x i )¿

Διακύμανση (variance) S της τυχαίας μεταβλητής Χ:

S=Ε{[Χ−¿Ε(Χ)]2}=∑i=1

k

[x i−E (X )]2P(X=x i)=∑i=1

k

[x i−E (X )]2PX (x i )=

1

Τυχαία μεταβλητή Bernoulli: Παίρνει τιμές 1 και 0 με πιθανότητες ΡΧ(1)=p και ΡΧ(0)=q, όπου p+q=1, Ε(Χ)=p και Ε(Χ2)=p. Διασπορά S=p−¿p2=pq. Το 1 αντιστοιχεί σε επιτυχία και το 0 σε αποτυχία.

Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή: Πιθανότητα να συμβεί πρώτη φορά επιτυχία κατά την υπ’ αριθ. k εκτέλεση ενός πειράματος Bernoulli Ρ(k)=qk−1 p=p (1−p)k−1.

Διωνυμική τυχαία μεταβλητή: Η πιθανότητα να συμβούν Κ=k επιτυχίες σε Ν επαναλήψεις του απλού πειράματος Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p και πιθανότητα αποτυχίας q (p+q=1)

είναι ίση με ΡΚ(k)=(Νk ) pkqN−k. Είναι Ε(Κ)=Np, Ε(Κ2)=Νpq+(Np)2, άρα διασπορά S=Νpq και

τυπική απόκλιση σ=√Npq.

Μεταβλητή Poisson: Έχει συνάρτηση μάζας πιθανότητας ΡΚ(k)=e− λ λk

k!, k=0, 1, 2, …, με λ>0.

Ε(Κ)=λ και Ε(Κ2)=λ2+λ, άρα διασπορά S=λ και τυπική απόκλιση σ=√ λ.

Aν ο αριθμός επαναλήψεων N του πειράματος είναι μεγάλος και η πιθανότητα επιτυχίας p είναι μικρή αλλά τέτοια ώστε το γινόμενο Νp να είναι «μέτριο» (γύρω στο 5 με 10), η διωνυμική τυχαία μεταβλητή, προσεγγίζεται με τυχαία μεταβλητή Poisson με παράμετρο λ=Np.

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές:

Ρ(α≤Χ≤β)=∫α

β

f X ( x )dx=¿FX(β)−¿FX(α), f X(x )≥0: Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.

Ρ(Χ≤x)=FX(x)=∫−∞

x

f X (υ )dυ=αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας ή συνάρτηση κατανομής. FX' (x )

=f X ( x ), FX(−∞)=0, FX(+∞)=1, ∫−∞

+∞

f X(x )dx=1.

Μέση τιμή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ: Ε(Χ)=∫−∞

+∞

xf X (x )dx

Μέση τετραγωνική τιμή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ: Ε(Χ2)=∫−∞

+∞

x2 f X ( x )dx.

Ροπή n τάξης: Ε(Χn)=∫−∞

+∞

xn f X ( x )dx.

Διακύμανση: SX=E{[X−¿E(X)]2}=∫−∞

+∞

(x−μX)2 f X ( x )dx. Είναι S=E(X2)−¿ [E(X)]2

Τυπική απόκλιση: σX=√S X .

2

Ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή Χ στο διάστημα (α,β): Για α<x<β, είναι f X ( x )=1/(β−¿α) και, για x≤α ή x≥β, είναι f X ( x )=0. Μέση τιμή=(α+β)/2 και τυπική απόκλιση=(β−¿α)/√12.

Εκθετική τυχαία μεταβλητή Χ: Για x<0, είναι f X ( x )=0 και, για x≥0, είναι f X ( x )=λe− λ x. Μέση τιμή 1/λ και τυπική απόκλιση 1/λ.

Κανονική τυχαία μεταβλητή Χ: f X ( x )= 1√2 π σ

e−(x−μ )2

2σ 2 , x∈R, μ=μέση τιμή της Χ και σ=τυπική

απόκλιση της Χ. Αν είναι μ=0 και σ=1, η κανονική κατανομή ονομάζεται κανονικοποιημένη ή τυποποιημένη ή τυπική.

Υ=g(Χ): Συνάρτηση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ. Εύρεση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας fY(y) της Υ: α) Λύνουμε την y=g(x) ως προς x, που μας δίνει x=x(y). β)

Είναι: fY(y)=f X (x ( y))

|g' (x ( y ))|. Αν η εξίσωση y=g(x) έχει περισσότερες από μία λύσεις, τις x1=x1(y),

x2=x2(y), …, xK=xK(y), τότε είναι fY(y)=f X (x1( y))

|g' (x1( y ))|+f X (x2( y))

|g' (x2( y ))|+…+

f X (xK ( y))

|g' (xK ( y ))|.

Ε(Υ)=Ε[g(X)]=∫−∞

+∞

g(x ) f X ( x )dx .

Ε[αg(X)+βh(X)]=αΕ[g(X)]+βΕ[h(X)].

Αν η τυχαία μεταβλητή Υ έχει την τυποποιημένη κανονική κατανομή, τότε η Ρ(Υ≤y)=FY(y) συμβολίζεται και με Φ(y) και οι τιμές της δίνονται, για y>0, από πίνακα, τον ακόλουθο:

3

Φ(y)=∫−∞

y1

√2πe

−υ2

2 dυ=FY(y), y≥0.

Αν για μια διωνυμική τυχαία μεταβλητή (που είναι διακριτή) το Ν είναι αρκετά μεγάλο (από 50 και πάνω) και το γινόμενο Νpq=Np(1−¿p) είναι σχετικά μεγάλο (από 8-10 και πάνω), η πιθανότητα η διωνυμική τυχαία μεταβλητή Κ, που είναι ο αριθμός επιτυχιών σε Ν επαναλήψεις ενός πειράματος Bernoulli, να πάρει τιμή k είναι ίση με την πιθανότητα η κανονική συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ, που έχει μέση τιμή Νp και τυπική απόκλιση √Ν p (1−p), να πάρει τιμή από k−¿0,5 μέχρι k+0,5. Η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Κ να πάρει τιμή από k1 μέχρι και k2

4

Γ

y=f1(x)C

β

Α

y=f2(x)y

α

ΔΒ

D

Ο x

Ο

y

δ

Γx=f1(y)

CΑ

x=f2(y)

γΔ

Β

D

x

είναι ίση με την πιθανότητα η παραπάνω κανονική μεταβλητή Χ να πάρει τιμή από k1−¿0,5 μέχρι k2+0,5.

Από κοινού συνάρτηση κατανομής των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ: FX,Y(x,y)=Ρ(X≤x,Y≤y).

Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας fX,Y(x,y) των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ: Είναι fX,Y(x,y)≥0 και η πιθανότητα οι τιμές του ζεύγους (X,Y) να βρίσκονται μέσα σε χωρίο D

του επιπέδου xΟy είναι ίση με ∬D

❑

f X ,Y ( x , y )dxdy. Επίσης, ∫x=−∞

+∞

∫y=−∞

+∞

f X ,Y (x , y )dxdy=1 και

Ρ(α≤X≤β,γ≤Υ≤δ)=∫x=α

β

∫y= γ

δ

f X ,Y ( x , y )dxdy .

Διπλό ολοκλήρωμα:

∬D

❑

f ( x , y )dxdy=∫x=a

x= β ( ∫y=f 1(x)

y=f 2(x)

f ( x , y ) dy)dxΕναλλακτικά,

5

∬D

❑

f ( x , y )dxdy=∫y= γ

y=δ ( ∫x=f 1( y)

x=f 2( y)

f ( x , y )dx)dyFX,Y(x,y)= ∫

u=−∞

x

∫υ=−∞

y

f X , Y (u , υ) dudυ, fX,Y(x,y)= ∂2F X, Y ( x , y)∂x ∂ y

Περιθώριες ή οριακές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των Χ και Υ: f X ( x )=

∫−∞

+∞

f X, Y ( x , y )dy, f Υ ( y )=∫−∞

+∞

f X, Y ( x , y )dx.

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μεταβλητής Χ υπό τη συνθήκη Υ=y:

f X /Y ( x / y )=f X, Y ( x , y )f Y ( y )

=f X ,Y (x , y )

∫−∞

+∞

f X ,Y (x , y )dx

Τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ ανεξάρτητες μεταξύ τους: f X , Y ( x , y )=f X ( x ) f Υ ( y ). Τότε είναι και Ε(ΧΥ)=Ε(Χ)Ε(Υ).

Τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ ορθογώνιες μεταξύ τους: Ε(ΧΥ)=0.

Συναρτήσεις δύο τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ, των Z=h(X,Y) και W=g(X,Y) . Οι Ζ και W είναι τυχαίες μεταβλητές.

Ιακωβιανή (Jacobian) των συναρτήσεων z=h(x,y) και w=g(x,y) ονομάζεται η ορίζουσα

J(h,g)=|hx(x , y) hy (x , y )gx (x , y ) gy (x , y)|=|hx (x , y) gx (x , y )

h y (x , y ) gy (x , y )|, όπου hx, hy, gx και gy είναι μερικές παράγωγοι

ως προς x και y. Αν γράψουμε z(x,y) και w(x,y) αντί των h(x,y) και g(x,y), η ιακωβιανή των

συναρτήσεων z(x,y) και w(x,y) γράφεται ως J[z(x,y),w(x,y)]=|z x(x , y) z y(x , y)wx (x , y) w y (x , y)|. Λύνουμε το

σύστημα των εξισώσεων z=h(x,y) και w=g(x,y) ως προς x και y, παίρνουμε x=x(z,w) και y=y(z,w), και αντικαθιστούμε στην Ιακωβιανή που γίνεται J{z[x(z,w),y(z,w)],w[x(z,w),y(z,w)]=

|hx[ x ( z ,w ) , y (z ,w )] hy [ x ( z ,w ) , y (z ,w )]gx [x ( z ,w ) , y ( z ,w )] g y [x ( z ,w ) , y ( z ,w )]|=|z x[ x ( z ,w ) , y (z ,w )] z y [ x ( z ,w ) , y ( z ,w )]

wx [ x ( z ,w ) , y (z ,w )] w y [x ( z ,w ) , y ( z ,w )]| την

οποία, για συντομία, θα παριστάνουμε με Jzw. Είναι fZ,W(z,w)=f X ,Y [ x ( z ,w ) , y ( z ,w ) ]

|J zw|, όπου |J zw|

είναι η απόλυτη τιμή της Ιακωβιανής Jzw.

Αν το σύστημα z=h(x,y) και w=g(x,y) έχει περισσότερες από μία λύσεις ως προς (x,y), έστω τις [x=x1(z,w), y=y1(z,w)], [x=x2(z,w), y=y2(z,w)], …, [x=xK(z,w), y=yK(z,w)], τότε είναι

6

fZ,W(z,w)=f X ,Y [ x1 ( z ,w ) , y1 ( z ,w )]

|J1 zw|+f X ,Y [ x2 ( z ,w ) , y2 ( z ,w )]

|J2 zw|+…+

f X ,Y [ xΚ ( z ,w ) , y Κ ( z ,w ) ]|JΚzw|

.

Από την fZ,W(z,w) βρίσκουμε τις FZ,W(z,w)= ∫u=−∞

z

∫υ=−∞

w

f Z ,W (u ,υ )dud υ, fZ(z)=

∫w=−∞

+∞

f Z ,W ( z ,w )dw και fW(w)= ∫z=−∞

+∞

f Z ,W (z ,w )dz .

Ε[g(X,Y)]= ∫x=−∞

+∞

∫y=−∞

+∞

g ( x , y ) f X, Y ( x , y )dxdy=∬D

❑

g ( x , y ) f X ,Y ( x , y )dxdy

Ε[αg(X,Y)+βh(X,Y)]=αΕ[g(X,Y)]+βΕ[h(X,Y)],

Μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ: Ε(Χ)= ∫x=−∞

+∞

∫y=−∞

+∞

x f X , Y ( x , y )dxdy = ∫x=−∞

+∞

xf X ( x )dx

Μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Y: Ε(Y)= ∫x=−∞

+∞

∫y=−∞

+∞

y f X , Y ( x , y ) dxdy= ∫y=−∞

+∞

yf Y ( y ) dy

Μέση τετραγωνική τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ: Ε(Χ2)= ∫x=−∞

+∞

∫y=−∞

+∞

x2 f X ,Y ( x , y )dxdy= =

∫x=−∞

+∞

x2 f X ( x ) dx

Μέση τετραγωνική τιμή της τυχαίας μεταβλητής Y: Ε(Y2)= ∫x=−∞

+∞

∫y=−∞

+∞

y2 f X, Y ( x , y )dxdy= =

∫y=−∞

+∞

y2 f Y ( y ) dy

Συσχέτιση των μεταβλητών Χ και Υ: Ε(ΧY)= ∫x=−∞

+∞

∫y=−∞

+∞

xy f X, Y ( x , y )dxdy, Ε(ΧΥ)=Ε(ΥΧ).

SX=Ε[(Χ−¿μΧ)2]= διακύμανση (variance) της Χ. Έχουμε:SX=Ε[(Χ−¿μΧ)2]= ∫x=−∞

+∞

¿¿=

∫x=−∞

+∞

(x−μΧ )2 f X ( x )dx.

ρX Υ=Ε [(Χ−μ Χ)(Y−μΥ )]

σ XσY

=Ε(ΧΥ )−Ε (Χ )Ε(Υ )

σ X σY=Ε(ΧΥ )−μX μΥ

σ X σY=συντελεστής συσχέτισης των

Χ και Υ, Ε [(Χ−μΧ )(Y−μΥ )]=ρXY σ X σY , ρXY=ρΥΧ, −¿1≤ρX Υ ≤1 ⇔ |ρXY|≤1.

Αν είναι ρXY=0, οι Χ και Υ είναι ασυσχέτιστες

Δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές είναι και ασυσχέτιστες μεταξύ τους.

Δύο ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές δεν είναι υποχρεωτικά ανεξάρτητες μεταξύ τους.

7

Δύο κανονικές ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δύο κανονικών τυχαίων μεταβλητών:

fX,Y(x,y)=1

2π σ X σY √1−ρ2 e

−12(1−ρ2) [ (x−μX )2

σ X2 −

2ρ ( x−μ X) ( y−μY )σ X σ Y

+(y− μY )2

σY2 ]

όπου μX=μέση τιμή της Χ, μY=μέση τιμή της Υ, σX=τυπική απόκλιση της Χ, σY=τυπική απόκλιση της Υ και ρ=συντελεστής συσχέτισης των Χ και Υ. Περιθώριες συναρτήσεις

πυκνότητας πιθανότητας: fΧ(x)= 1√2 π σ X

e−(x−μX )2

2σ X2

, fY(y)= 1√2 π σY

e−( y−μY )2

2σ Y2

. Η κατανομή της Χ υπό

τη συνθήκη Υ=y, είναι κανονική με μέση τιμή μX+ ρσ Χ

σΥ( y−μY ) και τυπική απόκλιση σ X √1−ρ2

.

Αν Χ και Υ είναι τυχαίες μεταβλητές, με συντελεστή συσχέτισης ρ, και Ζ=αΧ+βΥ τότε είναι μΖ=Ε(Ζ)=αμΧ+βμΥ και σ Ζ

2=α2σ Χ2 +β2σ Υ

2+2αβρσΧσΥ. Αν είναι ρ=0, τότε σ Ζ2=α2σ Χ

2 +β2σ Υ2 .

Αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι κανονικές, με συντελεστή συσχέτισης ρ, τότε και οι Ζ=αΧ+βΥ και W=γΧ+δΥ είναι κανονικές με μΖ=Ε(Ζ)=αμΧ+βμΥ, μW=Ε(W)=Ε(γΧ+δΥ)= γμΧ+δμΥ, σ Ζ

2=α2σ Χ2 +β2σ Υ

2+2αβρσΧσΥ, σ w2 =γ2σ Χ

2 +δ2σ Υ2+2γδρσΧσΥ και συντελεστή συσχέτισης r= [αγ

σ Χ2 +(βγ+αδ)ρσΧσΥ+βδσ Υ

2 ]/(σZσW).

Kάθε γραμμικός συνδυασμός δύο ή περισσότερων κανονικών τυχαίων μεταβλητών είναι κανονική τυχαία μεταβλητή.

Μέσος όρος n τυχαίων μεταβλητών Χ1, Χ2, …, Χn που έχουν μέσες τιμές μ1, μ2, …, μn, τυπικές αποκλίσεις σ1, σ2, …, σn και συντελεστές συσχέτισης ρij, i,j=1, 2, …, n: Χ=Χ1+Χ2+…+Χn

n. Ο Χ είναι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μX=Ε(Χ )=

μ1+μ2+…+μn

n και

διακύμανση SX= 1n2 ∑

i=1

n

σ i2+ 1n2 ∑

i=1

n

∑j=1

n

ρij σ i σ j , i≠ j. Αν Χ1, Χ2, …, Χn ασυσχέτιστες μεταξύ τους,

τότε SX= 1n2 ∑

i=1

n

σ i2=

1n2 (σ1

2+σ22+…+σn

2). Αν Χ1, Χ2, …, Χn ασυσχέτιστες μεταξύ τους, με ίδια

μέση τιμή μ και ίδια τυπική απόκλιση σ, τότε ο Χ έχει μέση τιμή μ και διακύμανση σ2

n, άρα

τυπική απόκλιση σ√n .

Αν Χ1, Χ2, …, Χn ανεξάρτητες μεταξύ τους κανονικές τυχαίες μεταβλητές με ίδια μέση

τιμή μ και ίδια τυπική απόκλιση σ, τότε Χ=Χ1+Χ2+…+Χn

n=κανονική με μέση τιμή μ και

τυπική απόκλιση σ√n , είτε ο n είναι μικρός είτε μεγάλος.

8

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: Αν Χ1, Χ2, …, Χn ανεξάρτητες μεταξύ τους με ίδια (μη κανονική) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (άρα ίδια μέση τιμή μ και ίδια τυπική απόκλιση

σ) ο μέσος όρος αυτών Χ=Χ1+Χ2+…+Χn

n προσεγγίζει κανονική τυχαία μεταβλητή με μέση

τιμή μ και τυπική απόκλιση σ√n , αρκεί ο αριθμός n να είναι αρκετά μεγάλος (συνήθως από 30

και πάνω).

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα ισχύει και για τον μέσο όρο ανεξάρτητων μεταξύ τους διακριτών τυχαίων μεταβλητών που έχουν ίδια συνάρτηση μάζας πιθανότητας αλλά τότε πρέπει να προσέχουμε ως «διαχωριστικό» αριθμό μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων αριθμών να πάρουμε τον μέσο όρο τους.

Γενικότερη εκδοχή του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (ισχύει υπό περιορισμούς που, στις συνηθισμένες περιπτώσεις, τηρούνται): Αν Χ1, Χ2, …, Χn ανεξάρτητες μεταξύ τους χωρίς ίδια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, με μέσες τιμές μ1, μ2, …, μn και τυπικές αποκλίσεις σ1,

σ2, …, σn, για αρκετά μεγάλα n, ο Χ=Χ1+Χ2+…+Χn

n είναι προσεγγιστικά κανονική τυχαία

μεταβλητή με μέση τιμή μ1+μ2+…+μn

n και τυπική απόκλιση √σ1

2+σ22+…+σ n

2

n.

9

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ

Στοχαστική ανέλιξη x(t) στατική ή στάσιμη υπό τη στενή έννοια: Η f X ( t1) , X ( t2) ,…Χ (t n)(x1 , x2 ,…, xn) είναι ίδια με την f X ( t1+ τ ) , X ( t2+ τ ) ,…Χ (t n+τ )(x1 , x2 ,…,xn) για όλα τα n, t1, t2,

…, tn και τ. Τότε f X (t )(x )= ανεξάρτητη του t και f X ( t1) , X ( t2)(x1 , x2)=συνάρτηση μόνο των x1, x2 και t1−¿t2 ή, εναλλακτικά, f X (t+ τ ) , X (t )(x1 , x2)=συνάρτηση μόνο των x1, x2 και τ.

Μέση ή αναμενόμενη τιμή της x(t): E[x(t)]=∫−∞

+∞

xf X (t ) (x )dx=m(t). Διασπορά: E[{x(t)–

m(t)}2]=∫−∞

+∞

[ x ( t )−m(t )]2 f X ( t ) ( x )dx=σ2(t). Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης: Rxx(t1,t2) =Ε[x(t1)x(t2)]=

∫x1=−∞

+∞

∫x2=−∞

+∞

x1 x2 f X ( t1) , X ( t2)(x1 , x2)d x2d x1, Rxx(t1,t2)=Rxx(t2,t1).

Συνάρτηση αυτομεταβλητότητας: Cxx(t1,t2)=Ε[{x(t1)–m(t1)}{x(t2)–m(t2)}]. Cxx(t,t)= Ε[{x(t)–m(t)}2]=σ2(t). Επειδή Ε[{Χ–Ε(Χ)}{Υ–Ε(Υ)}]=Ε(ΧΥ)–Ε(Χ)Ε(Υ), έχουμε Cxx(t1,t2)=

Rx(t1,t2)–m(t1)m(t2). Συντελεστής συσχέτισης: ρxx(t1, t2)= C xx( t1 , t2)σ x( t1)σ x (t 2)

= C xx(t1 , t2)

√C xx (t 1 , t 1 )√C xx (t 2, t 2)

Αν x(t) στάσιμη, τότε Ε[x(t)]=σταθερή=mx και Rxx(t1,t2)=Rxx(t1–t2) ή Rxx(t+τ,t)=Rxx(τ). Rxx(τ)=άρτια συνάρτηση.

Αν για μια στοχαστική ανέλιξη x(t) είναι Ε[x(t)]=σταθερή και Rxx(t1,t2)=Rxx(t1–t2) ή Rxx(t+τ,t)=Rxx(τ), η x(t) είναι στατική ή στάσιμη υπό την ευρεία έννοια.

Μετασχηματισμός Fourier σήματος x(t):

Χ (ω )=F {x (t )}=∫−∞

+∞

x (t)e− jω tdt=R(ω)+jΙ(ω), όπου R(ω)=∫−∞

+∞

x (t )συνω tdt=πραγματικό μέρος του

Χ(ω) και Ι(ω)=−∫−∞

+∞

x (t )ημωtdt=φανταστικό μέρος του Χ(ω). R(ω)=άρτια συνάρτηση και

Ι(ω)=περιττή συνάρτηση. e–jωt=συνωt–jημωt και ejωt=συνωt+jημωt.

Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier:

x(t)= F−1{Χ (ω)}= 12π ∫

−∞

+∞

Χ (ω)e jω tdω

Φασματική πυκνότητα ισχύος Sxx(ω) της x(t): Sxx(ω)=F{Rxx(τ)}=∫−∞

+∞

R xx(τ )e− jωτ d τ

Sxx(ω)=άρτια και μη αρνητική συνάρτηση. Ε[x2(t)]=Rxx(0)=μέση ισχύς= 12π ∫

−∞

+∞

Sxx(ω)d ω.

10

t0 t

δ(t)h(t)

ΓΧΑ σύστημα

είσοδος έξοδος

Λευκός θόρυβος n(t): Snn(ω)=Ν0=σταθερή ⟺ Rnn(τ)=Ν0δ (τ ).

Αμοιβαία συσχέτιση των στοχαστικών ανελίξεων x(t) και y(t): Rxy(t1,t2)=Ε[x(t1)y(t2)], εναλλακτικά, Ε[x(t)y(t+τ)]=Rxy(t,t+τ). Aν x(t) και y(t) στάσιμες και Rxy(t,t+τ)=Rxy(τ), για όλα τα t, οι x(t) και y(t) είναι αμοιβαία στάσιμες.

Αμοιβαίο φάσμα ισχύος: Sxy(ω)=F{Rxy(τ)}=∫−∞

+∞

Rxy(τ)e− jωτ d τ⟺Rxy(τ)=F–1{Sxy(ω)} =

12π ∫

−∞

+∞

Sxy(ω)e jωτ d ω ⟹ Rxy(0)= 12π ∫

−∞

+∞

Sxy(ω)d ω.

ΓΧΑ συστήματα

Η h(t) είναι η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος.

Αν σήμα εισόδου=x(t) και σήμα εξόδου=y(t), τότε y ( t )=x (t)⨂h(t)=συνέλιξη των x(t)

και y(t): x (t )⊗h ( t )=∫−∞

+∞

x ( t−τ ) h (τ )d τ=∫−∞

+∞

x (τ )h ( t−τ )d τ . Τότε, Y (ω )=X (ω )H (ω ) .

Αν x(t)=στοχαστική ανέλιξη, τότε και y(t)=στοχαστική ανέλιξη με Ε[y(t)]=Ε[x(t)]⊗h(t).

Αν x(t)=στάσιμη, τότε και y(t)=στάσιμη με Ε[y(t)]=mxH(0)=my, Rxy(τ)=Rxx(τ)⊗h(τ), Ryx(τ)= Rxx(τ)⊗h(−¿τ)=Rxy(−¿τ) και Ryy(τ)=Rxx(τ)⊗h (– τ )⊗ h ( τ ). Αντίστοιχα, Sxy(ω)=Sxx(ω)Η (ω ), Syx(ω)=Sxx(ω)H (ω ) και Syy(ω)=Sxx(ω)|Η (ω)|2.

Φασματική πυκνότητα ισχύος θερμικού θορύβου αντιστάτη με αντίσταση R (μετρούμενη σε V2sec): Ν0=2kTR, όπου k η σταθερά του Boltzmann (k=1,38·10−23Joule/oK) και Τ η απόλυτη θερμοκρασία του αντιστάτη.

Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων:

11

ΒΑΒΑή

i(t)

+ –u(t)

R i(t)

+ –u(t)

R

ΒΑΒΑή

i(t)

+ –u(t)

L i(t)

+ –u(t)

L

ΒΑΒΑ ή i(t)

–u(t)

C i(t)

+ –u(t)

C

+

–e(t)

+

ΑΒ i(t)

+

ΑΒ Ι(t)

u(t)–

1) Αντιστάτης . u(t)=Ri(t). R=αντίσταση του αντιστάτη και μετρείται σε Ω.

2) Πηνίο . u (t )=L di(t )dt

. L=αυτεπαγωγή του πηνίου και μετρείται σε Η (Henry -

Ανρύ).

3) Πυκνωτής. i (t )=C du(t)dt

. C=χωρητικότητα του πυκνωτή και μετρείται σε F (Farad).

4) Η ιδανική πηγή τάσης. uAB(t)=e(t), ανεξαρτήτως της τιμής του ρεύματος i(t)

5) Η ιδανική πηγή ρεύματος. Παρέχει ρεύμα I(t), ανεξάρτητα από την τάση u(t) που υπάρχει μεταξύ των ακροδεκτών της.

Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff: Σε κάθε κόμβο ενός ηλεκτρικού κυκλώματος, το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που εισέρχονται σ’ αυτόν είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που εξέρχονται από αυτόν.

12

Νόμος τάσεων του Kirchhoff: Το αλγεβρικό άθροισμα των πτώσεων τάσης κατά μήκος των στοιχείων ενός βρόχου ηλεκτρικού κυκλώματος είναι ίσο με 0.

Ισοδύναμο ηλεκτρικού κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας ω. Τα ρεύματα και οι τάσεις αντικαθίστανται από τους μετασχηματισμούς Fourier αυτών, οι αντιστάσεις R με τους εαυτούς τους, τα πηνία L με φανταστικές αντιστάσεις jLω και οι πυκνωτές C με φανταστικές αντιστάσεις 1/(jCω).

Βέλτιστο φιλτράρισμα.

Εύρεση ΓΧΑ συστήματος (φίλτρου) με κρουστική απόκριση h(t) και απόκριση συχνότητας Η(ω), στην είσοδο του οποίου θα οδηγούμε το στοχαστικό σήμα x(t), και το στοχαστικό σήμα εξόδου y(t) που αυτό θα δίνει θα προσεγγίζει, κατά την έννοια του ελάχιστου μέσου τετραγωνικού σφάλματος, ένα τρίτο στοχαστικό το σήμα s(t). Είναι:

Rxs(τ)=Rxx(τ)⊗h(τ ) ⟺ Η(ω)=Sxs(ω)Sxx (ω) (Φίλτρο Wiener).

Εργοδικότητα

Χρονική μέση τιμή x (t) κυματομορφής x(t): Είναι x (t)= limΤ→+∞

12Τ ∫

−Τ

Τ

x ( t )dt.

Χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης x (t+τ ) x (t) κυματομορφής x(t): Είναι x (t+τ ) x (t)

= limΤ→+∞

12Τ ∫

−Τ

Τ

x ( t+τ ) x (t)dt=συνάρτηση του τ.

Χρονική συνάρτηση ετεροσυσχέτισης x (t ) y (t+τ ) μεταξύ των x(t) και y(t): Είναι

x (t ) y (t+ τ )= limΤ→+∞

12Τ ∫

−Τ

Τ

x (t ) y ( t+ τ)dt=συνάρτηση του τ.

Αν για στάσιμη στοχαστική ανέλιξη x(t) είναι Ε[x(t)]=x (t) και Rxx(τ)=x (t+τ ) x (t), όπου οι χρονικές μέσες τιμές είναι μιας οποιοασδήποτε συνάρτησης-κυματομορφής από όλες όσες αντιστοιχούν στη στοχαστική ανέλιξη x(t), τότε η στοχαστική ανέλιξη x(t) ονομάζεται εργοδική. Δηλ., σε μια εργοδική στοχαστική ανέλιξη, από ένα σήμα-υπλοποίησή της υπολογίζουμε τη στοχαστική μέση τιμή και τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισής της.

Αν οι στοχαστικές ανελίξεις x(t) και y(t) είναι εργοδικές και είναι Rxy(τ)=x (t ) y (t+ τ ), οι x(t) και y(t) ονομάζονται αμοιβαία εργοδικές στοχαστικές ανελίξεις.

Χρήσιμες γνώσεις από την Τριγωνομετρία

13

συν2θ+ημ2θ=1, εφθ=ημθ/συνθ,

συν(–θ)=συνθ, ημ(–θ) =–ημθ, εφ(–θ)=–εφθ, συν(π–θ)=–συνθ, ημ(π–θ)=ημθ, εφ(π–θ)=–εφθ, συν(π+θ)=–συνθ, ημ(π+θ)=–ημθ, εφ(π+θ)=εφθ, συν(π/2–θ)=ημθ, ημ(π/2–θ)=συνθ, εφ(π/2–θ)= σφθ, σφ(π/2–θ)=εφθ, συν(π/2+θ)=–ημθ, ημ(π/2+θ)=συνθ, εφ(π/2+θ)=–σφθ και σφ(π/2+θ)=–εφθ.

ημ(a+b)=ημaσυνb+συνaημb ημ(a–b)=ημaσυνb–συνaημb

συν(a+b)=συνaσυνb–ημaημb συν(a–b)=συνaσυνb+ημaημb

ημ2a=2ημaσυνa συν2a=συν2a–ημ2a=2συν2a–1=1–2ημ2a

ημaσυνb= [ημ(a+b)+ημ(a–b)]

συνaσυνb= [συν(a+b)+συν(a–b)]

ημaημb= [συν(a–b)–συν(a+b)].

.

14

15