Curs 2 - Propagarea in medii absorbante

PROPAGAREA LUMINII IN MEDII ABSORBANTE

3. PROPAGAREA LUMINII ÎN MEDII ABSORBANTE

3.1. Ecuatia de propagare în medii absorbante. Indici opticiPropagarea luminii în medii absorbante (disipative) este însoţită de apariţia unei călduri ireversibile, deci

de scăderea energiei undei. Să considerăm un mediu liniar, omogen nemărginit, dar disipativ. Într-un astfel de mediu 0 şi în consecinţă şi J 0. În schimb, în astfel de medii densitatea volumică de sarcină = 0. Între vectorii e şi d există relaţia:

D = E (3.1)Permisivitatea este constantă, dar complexă, deoarece, aşa cum se constată experimental, există un defazaj

între D şi E aşa încât: = exp(i) = I +iII (3.2)

De asemenea şi vectorii E şi J sunt defazaţi unul faţă de celălalt, conductivitatea fiind o constantă complexă:J = E (3.3)

= exp(i) = I + II (3.4)În schimb, în domeniul luminii vizibile, vectorii B şi H sunt în fază, între aceştia având loc relaţia:

B = 0H (3.5)permeabilitatea mediului confundându-se, practic, cu constanta universală 0 (permeabilitatea vidului).Sistemul ecuaţiilor lui Maxwell se va scrie:

x H = (3.6)

E = 0 (3.7)

x E = - 0 (3.8)

H = 0 (3.9)Aplicând operatorul rotor asupra ecuaţiei (3.8) găsim, ţinând seama de (3.6):

x ( x E ) = - 0

şi, întrucât , dacă luăm în consideraţie şi relaţia (3.3) urmează că:

(3.10)

Aceasta este ecuaţia de propagare a undelor în mediul disipativ considerat. În timp ce ecuaţia de propagare a undelor în mediul ideal neabsorbant:

este invariantă în raport cu inversarea sensului timpului (t - t) ecuaţia de propagare în medii disipative nu este invariantă în raport cu inversarea sensului timpului. Din punctul de vedere termodinamic, aceasta înseamnă că procesele de propagare a undelor în medii disipative sunt ireversibile. Ireversibilitatea este datorată scăderii energiei, ca urmare a existenţei unui curent nenul şi deci a apariţiei unei călduri Joule ireversibile.

Vom încerca soluţii de forma:= (3.11)

Observăm că pentru astfel de soluţii:

(3.12 a)

iK (3.12 b)Introducând (3.11) în (3.10) şi ţinând seama de (3.12 a) găsim:

{2E(r) + 0(i + 2) E(r)}exp(-it) = 0Ecuaţia este identic satisfăcută numai dacă:

2E(r ) + 0(i + 2)E(r) = 0 (3.13)

NOTIUNI FUNDAMENTALE APLICATE IN OPTICA TEHNICA33


Ţinând acum seama de (3.12 b) găsim:

K2 = (3.14)

ceea ce ne permite să aducem ecuaţia (3.13) la forma Helmholtz:2E(r) + K2E(r) = 0 (3.15)

Introducem vectorul indice de refracţie complex legat de prin relaţia:

(3.16)

Din (3.14) şi (3.16) obţinem:

(3.17)

notand acum:K = KI + KII (3.18)N = NI + NII (3.19)

soluţia (3.11) se va scrie:

(3.20)

Se vede că amplitudinea undei scade exponenţial cu distanţa. Vectorul N I este normal pe suprafeţele echifaze, iar NII este normal pe suprafeţele echiamplitudine. Unghiul dintre aceşti doi vectori (fig. 3.1) este unghiul de eterogenitate. Cum în general 0, rezultă că în mediile absorbante undele electromagnetice sunt unde eterogene.

Mai observăm că din (3.3), (3.9) şi (3.12) rezultă condiţiile:

KE = 0; KH = 0.Aceste relaţii nu implică însă în mod obligatoriu:

KIEI = 0; KIHI = 0.adică transversalitatea undei electromagnetice. Se arată că orice undă electromagnetică omogenă se poate descompune într-o undă electrică transversală TE şi o undă magnetică transversală TM. În unda electrică TE, vectorii EI şi EII sunt paraleli între ei, dar perpendiculari pe planul determinat de K I şi KII, pe când HI şi HII formează un unghi între ei, fiind însă conţinuţi în planul determinat de KI şi KII. În unda magnetică TM situaţia este inversă.

Indicii optici ai lui Drude. Din punctul de vedere optic, mediul în care se propagă unda electromagnetică se caracterizează prin mărimea complexă:

n2 = NNAcestei mărimi complexe îi corespund două mărimi de material nd şi kd, denumite indicii Drude şi definiţi prin relaţia:

n = nd + ikd (3.21)Ţinând seama de (3.14):

sau, identificând separat partea reală şi cea imaginară:n2

d – k2d = F 2ndkd = G (3.22)

Relaţiile (3.22) se numesc relaţiile lui Ketteler. Rezolvând sistemul format de aceste relaţii găsim:

nd = [F + (F2 + G2)1/2]1/2 (3.23)



kd = [ - F + (F2 + G2)1/2]1/2 (3.24)

Indicii optici ai lui Drude nd şi kd sunt independenţi de direcţia de propagare, fiind constante de material care depind numai de natura şi de stare mediul.

Indicii optici ai lui Vašiček. Aceşti indici sunt legaţi direct de propagarea undei şi sunt definiţi prin relaţiile: nv = NI; kv = NII (3.25)

De aici urmează:n2 = N2 = NI2 - NII2 +2iNINIIcos

sau: n2 = n2

v – k2v + 2invkvcos (3.26)

Pe de altă parte însă:n2 = F + iG

Identificând şi de data aceasta părţile reale şi cele imaginare ale expresiilor lui ń2, obţinem:

nv = NI = (3.27)

kv = NII = (3.28)

3.2. Studiul reflexiei–refractiei la suprafata de separarea două medii absorbanteConsiderăm două medii liniare, izotrope, omogene, absorbante şi o undă incidentă de expresie:

Unda reflectată va fi de forma:

iar cea transmisă, de forma:

La suprafaţa de separare dintre cele două medii, componenta tangenţială a câmpului electric este continuă:

(3.29)unde 1 este versorul tangentei la planul de separaţie .

Pentru ca relaţia de mai sus să fie îndeplinită pentru orice r şi t, este necesar ca pe planul fazele undelor Ei, Er, Et să fie aceleaşi. Punând r = 1 rezultă:

Ni1 = Nr1 = Nt1 (3.30)Ţinând seama că are atât partea reală cât şi partea imaginară, ambele satisfăcând condiţia de mai sus, rezultă :I) Teorema reflexiei: a) pentru propagarea fazei:

NiI1 = Nr

I 1 (3.31)

b) pentru propagarea amplitudinii:Ni

II1 = NrI 1 (3.32)

II) Teorema refracţiei: a) pentru propagarea fazei:Ni

I1 = NtI 1 (3.33)

b) pentru propagarea amplitudinii:



NiII1 = Nt

I 1

(3.34)

Vom aplica aceste relaţii în următorul caz particular simplu (fig. 3.2). Planul II separă două medii semiinfinite izotrope, liniare, omogene şi fară memorie. Mediul (I) este conservativ, având permitivitatea reală, astfel că:

NI12 = n2

v1 = n2d1 = n2

1 = 1/0

NII12 = kv1 =0 (3.35)

Mediu al doilea, în schimb, este absorbant având permeabilitatea complexă:2 = I

2 + i2 = 0n22 (3.36)

Notând cu 1i, respectiv 1r, versorii direcţiei de propagare a undei incidente, respectiv a undei reflectate, legea (3.31) se va scrie:

n11i1 = n11r1

Punând 1 = 1y şi observând că:

; (3.37)

şi că ambele unghiuri se găsesc în primul cadran, rezultă: = I (3.38)

adică egalitatea dintre unghiul de incidenţă şi unghiul de reflexie. Unda reflectată este omogenă întrucât NII1 = 0.

În ceea ce priveşte legile refracţiei, particularizând (3.33) rezultă:nt1i1y = nv () 1t1y (3.39)

şi întrucât:

1t1y = (3.40)

din (3.33 a), (3.39) şi (3.40) rezultă:

(3.41)

Aşadar, în acest caz legea lui Snellius nu mai este respectată deoarece raportul sin / sin depinde de şi deci unghiul de incidenţă . În ceea ce priveşte caracterul eterogen al undei, din (3.34) rezultă:

NII21y = 0 NII

2 1y (3.42)deci N2

II şi, în consecinţă, şi K2II sunt normali pe planul II, de unde urmează că :

= adică unghiul de eterogenitate cu cel de refracţie.

Formalismul unghiului de refracţie complex. Formal, este posibil să se scrie o lege analoagă legii lui Snellius şi în cazul mediilor absorbante, introducând argumentul complex definit prin relaţia:

nv() sin = n2 sin Atunci, relaţia (3.14) se va scrie:



(3.43)

Întrucât indicii Drude nd2 şi kd2 sunt constante de material independente de unghiul , relaţia (3.43) este într-adevăr analoagă legii lui Snellius. Aşadar, refracţia unei unde într-un mediu absorbant poate fi modelată prin refracţia în acest mediu sub un unghi de refracţie complex. Atragem atenţia că acest unghi complex nu este decât un artificiu de calcul, fără a avea însă vreo semnificaţie fizică. În cadrul formalismului unghiului de refracţie complex, formulele lui Fresnel capătă o formă analogică celor stabilite în 6.2 şi 6.3, coeficienţii Fresnel fiind însă şi ei mărimi complexe:

; (3.44)

; (3.45)

Unghiul principal de incidenţă. O analiză mai detaliată a reflexiei pe un plan mediu absorbant a unei unde luminoase, plan – polarizate, incidentă dintr-un plan mediu ideal, arată că lumina reflectată este eliptic polarizată în toate cazurile, cu excepţia incidenţei normale şi a celei razante. În acelaşi timp, se arată că există un unghi de incidenţă p, numit un unghi de incidenţă principal (sau unghi de incidenţă pseudobrewsteriană) pentru care axele elipsei undei reflectate se confundă cu tangenta, respectiv cu normala la planul de incidenţă, expresia acestui unghi fiind dată de:

(3.46)

Incidenţa brewsteriană apare ca un caz particular, caracteristic materialelor neabsorbante, pentru care k v = 0 şi nv

= n:(3.47)

3.3. Reflexia – refractia luminii pe medii stratificateÎn discuţiile anterioare, privitoare la reflexia – refracţia luminii, s-a presupus că între materialul considerat

şi exterior există o suprafaţă de separaţie ideală. O astfel de presupunere nu este însă decât o ipoteză simplificatoare, în realitate întotdeauna între mediul exterior şi material existând un film superficial cu o structură



mai mult sau mai puţin complicată. Originea acestui film este multiplă. Mai întâi, ca urmare a prelucrării suprafeţei materialului – călire imperfectă sau alte tratamente termice, polisare, atac chimic etc. – chiar la suprafaţa materialului apare un strat de tranziţie. În afară de aceasta, sub acţiunea oxigenului atmosferic şi al vaporilor de apă, multe materiale se acoperă cu un film de oxid cu o grosime care poate varia de la sutimi de nanometru la zeci sau chiar sute de nanometri. În general, aceste filme superficiale pot fi aproximate ca o suprapunere de straturi paralele, omogene. În principiu, coeficienţii de reflexie şi de transmisie ai unui astfel de film pot fi calculaţi exact, folosind o metodă matriceală. Să considerăm (vezi fig. 3.3) un film format din m straturi paralele (1), (2), …, (m), fiecare strat fiind presupus izotrop, liniar, omogen şi fără memorie, de grosime de indicele de refracţie complex nj. Mediul exterior (0) este neabsorbant, n fiind real, în schimb substratul pe care este depus filmul este presupus absorbant, având indicele de refracţie complex nm+1. Vom nota cu zj cota suprafeţei de separaţie dintre stratul (j–1) şi stratul (j). în particular, z1 specifică planul de separaţie dintre mediul exterior şi film, iar z m+1 cel dintre film şi substrat.

Vom presupune că unda luminoasă incidentă din mediul (O) este o undă plană, monocromatică, omogenă şi plan–paralelă. Ca de obicei, vom descompune unda electrică într-o componentă E p, care oscilează în planul de incidenţă şi o componentă Es, care oscilează într-un plan normal pe cel de incidenţă. Întrucât, formal, ambele unde se comportă analog vom nota unda electrică cu E, indicele putând semnifica p, respectiv s, după cum este vorba de una sau de cealaltă componentă. Mai observăm că întrucât planele de separaţie dintre straturi, este justificat să se utilizeze formalismul unghiului de refracţie complex. Vom face convenţia de a denumi “sens +” sensul dinspre mediul înconjurător spre substrat şi “sens –“ sensul dinspre substrat spre mediul înconjurător. În acord cu aceste notaţii, E+(z) va semnifica intensitatea rezultantă într-un plan de cotă z a câmpului electric al tuturor undelor de diverse ordine de reflexie, sau refracţie, care se propagă în sensul (+) iar E -(z), cea corespunzătoare propagării în sensul (-). În fiecare plan z = const. se poate defini matricea unicoloană:

(3.48)

Fie două plane arbitrare de cotă zI, respectiv zII, caracterizate prin matricele E(zII), dependenţa dintre acestea fiind dată de relaţia:

E(zI) = Q(zI, zII) E(zII) (3.49)unde Q(zI, zII) este o matrice 2 x 2 caracteristică sistemului optic cuprins între cele două planuri. Acest sistem constă dintr-un lanţ de subsisteme formate din straturile filmului care alternează cu interfeţele dintre două straturi.Notând cu:

(3.50)

matricea interfeţei z = zj dintre stratul (j –1) şi stratul (j) găsim:

(3.51)

Pe de altă parte, fiecare strat (j), cuprins între feţele z = z j şi z = zj+1, va fi caracterizat printr-o matrice:

(3.52)

astfel că matricea E(zj + 0) şi E(zj+1 - 0) sunt legate între ele prin relaţia:

(3.53)

Matricea caracteristică a întregului film va fi dată de produsul dintre matricile interfaţă şi strat în ordinea strictă a succesiunii lor în sistem:

Q(z1, zm+1) = I1 S1I2S2 … ImSmI(m+1) (3.54)Cu ajutorul acestei matrici găsim:



(3.55)

Ţinând seama că în substratul presupus semiinfinit nu există unda inversă (E-(zm+1 + 0) = 0). Relaţia matriceală (3.55) este echivalentă cu două ecuaţii algebrice din care se deduc uşor coeficienţii de reflexie şi de transmisie pentru întregul film cuprins între mediul înconjurător şi substrat:

; (3.56)

unde = p, s.Determinarea elementelor matricei interfaţă Ij. Elementele acestor matrice nu depind decât de

caracteristicile celor două medii în vecinătatea interfeţei. Este comod ca, în vederea determinării acestor elemente, să considerăm cele două medii semiinfinite, ceea ce ne permite utilizarea formulelor lui Fresnel (3.44) şi (3.45). Vom presupune în prima etapă a calculului că unda incidentă şi cea tramsmisă se propagă în sensul (+), iar cea reflectată în sensul (-).

Urmează că:E

+ (zj+0) = tjE+ (zj-0) (transmisie) (3.57 a)

E- (zj-0) = rjE

+ (zj-0) (reflexie) (3.57 b)Pe de altă parte, ţinând seama că E(zj + 0) = 0, întrucât în stratul (j), considerat semiinfinit undele nu se propagă în sensul (-), relaţia (3.50) conduce la:

E+(zj-0) = AjE

+(zj+0) (3.58 a)E

-(zj-0) = CjE+(zj+0) (3.58 b)

Comparând (3.53) cu (3.58) obţinem:

; (3.59)

Pentru determinarea elementelor Bj şi Dj vom considera de data aceasta o undă incidentă pe interfaţa din mediul (j) în sensul (-). Urmează atunci să scriem în locul relaţiilor (3.53) relaţiile:

E- (zj -0) = tjE

- (zj+0) (transmisie) (3.60 a)E

+ (zj-0) = rjE- (zj+0) (reflexie) (3.60 b)

coeficienţii Fresnel rIj şi tIj, corespunzători propagării undei în sensul (-) fiind legaţi de coeficienţii r I

j şi EIj prin

relaţiile:rIj= - rj (3.61 a)

tjtIj- rjrIj = 1 (3.61 b)

Pe de altă parte, observând că în acest caz E+(zj – 0) = 0, din (3.51) rezultă:

0 = AjE+(zj+0) + BjE-

(zj +0) (3.62 a)E-

(zj-0) = CjE+(zj+0) + DjE-

(zj+0) (3.62 b)Din (3.60) şi (3.62), ţinând seama de (3.59) şi (3.61), se obţine:

; (3.63)

Din relaţia de mai sus şi din (3.59) rezultă în definitiv expresia matricei caracteristice interfeţei (j):

(3.64)

Determinarea elementelor matricei strat S j. Referindu-ne la unde armonice plane, putem scrie pentru unda care se propagă în stratul (j) în sensul (+):

E+(zj+1-0) = E

+(zj+0)exp (ij) (3.65 a)

Analog pentru unda propagată în sensul (-):E

-(zj+1-0) = E-(zj+0)exp (-ij) (3.65 b)

unde:



j = Kjr = (NIjr + i NII

jr) (3.66)

Introducând indicii Vašiček nvj = |NIj|, kvj = |NII

j| şi notând grosimea stratului cu (j) iar unghiul adevărat de refracţie în acest strat cu j.

j = dj(nvjcosj + ikvj) (3.67)

Comparând relaţiile (3.65) cu relaţia (3.52) rezultă:

(3.68)

Film simplu strat. În cazul cel mai simplu, filmul constă dintr-un singur strat omogen. Relaţia (3.55) capătă, cu notaţiile din fig. 3.4, forma:

(3.69)

unde:

Q(z1,z2) = I1, S1, I2 (3.70)

în care s-a notat:

= d(nv1cos1 + ikv1)

Calculând relaţia (3.69) obţinem:

(1+r1r2exp(-i2))E+2

(r1+r2exp(-i2))E+2

Introducând în (3.56) rezultă pentru coeficienţii de transmisie şi de reflexie:

(3.71)

(3.72)

Film dublu strat. În mod analog, coeficienţii corespunzători unui film format din două straturi omogene (fig. 3.5) se vor putea calcula pornind de la relaţia:

= I1S1I2S1I3 (3.73)

Astfel pentru coeficientul de reflexie pe un strat de film se obţine expresia:

(3.74)



3.4. Absortia–dispersia luminiiAşa cum rezultă din soluţia (3.20) a ecuaţiei de propagare a luminii în medii absorbante, în astfel de medii

intensitatea câmpului electric scade exponenţial cu distanţa pe care se propagă unda. Limitându-se la cazul simplificat în care unda transmisă în mediul absorbant este omogenă, intensitatea acesteia va fi dată de expresia:

I = I0 exp (-x) (3.75)unde este coeficientul de absorţie. Această relaţie este cunoscută sub numele de legea Lambert–Bouguer. În particular, dacă mediul absorbant este sub formă de soluţie, având concentraţia c, din (3.35) se obţine legea lui Beer:

I = I0 exp ( -Acx) (3.76)Coeficientul de absorţie depinde puternic de frecvenţă, aşa cum se exemplifică în fig. 3.6, pentru

absorţia luminii în vapori de sodiu. Este interesant că în toate mediile există o foarte strânsă legătură între dependenţa de frecvenţă a coeficientului de absorţie şi dispersia luminii, adică dependenţa de frecvenţă a indicelui de refracţie. Această legătură a fost observată mai întâi de către Kundt. În particular, în vid, mediu ideal neabsorbant, nu are loc dispersia luminii aşa cum arată observaţiile astronomice efectuate asupra eclipselor sau asupra pulsariilor. Să urmărim acum, în paralel, variaţia cu frecvenţa a indicelui de refracţie n şi a coeficientului de absorţie , în vecinătatea unui maxim al acestuia din urmă (fig. 3.7).

Se observă că pentru frecvenţe îndepărtate de valoarea k, pentru care prezintă un maxim, n creşte monoton cu . În aceste domenii, se poate folosi, cu bună aproximaţie, formula lui Cauchy care dă dependenţa indicelui de refracţie de lungime de undă:

n = A + B-2 - C-4 (3.77)Adăugarea unui al patrulea termen de forma D-6 conduce la rezultate şi mai bine verificate de experienţă. După cum se vede însă din fig. 3.7, în intervalul de frecvenţe din jurul valorii k, are loc scăderea lui n cu frecvenţa, fenomen observat pentru prima oară de către Le Roux, care l-a denumit dispersie anormală. În aceste domenii, în care absorţia este semnificativă, trebuie să se ţină seama de caracterul complex al indicelui de refracţie şi al permitivităţii. O relaţie de dependenţă de frecvenţă a permitivităţii relative complexe r, bine verificată de experienţă este următoarea:

r() = 1 + aH (3.78)

În această formula, este numărul de atomi/volum k frecvenţele maximelor de absorţie, k un coeficient caracteristic maximului de ordine k, a o constantă, iar f(k) un factor denumit tărie a modului de oscilaţie de frecvenţă k şi care exprimă ponderea acelui mod în ansamblul frecvenţelor. Pentru întregul domeniu de

frecvenţe, . Dacă este foarte diferit de k, adică în intervale de frecvenţă în care absorţia este

neglijabilă, relaţia (3.38) ia forma:

(3.79)

cunoscută sub numele de formula lui Sellmeier. Observăm că pentru frecvenţe foarte mari (radiaţii X), depăşeşte oricare din frecvenţele k aşa încât r devin subunitar, ceea ce conduce la indici de refracţie de asemenea subunitari şi în consecinţă la viteze de fază superioare vitezei plafon c. Acest fapt nu contrazice teoria relativităţii restrânse, deoarece viteza de propagare a semnalelor este viteza de grup şi aceasta este inferioară vitezei plafon.Într-adevăr, conform formulei lui Rayleigh (2.33):



iar dv / d 0, astfel încât vg să rămână permanent inferior vitezei plafon c. Mai observăm că, întrucât pentru radiaţia X, n1, este posibilă reflexia totală a acestor radiaţii în suprafaţa de separaţie aer-sticlă. Menţionăm că abaterea lui n faţă de unitate este foarte mică, de ordinul 10-6.

Refracţia masică. Din (3.39), ţinând seama că , rezultă că pentru o anumită substanţă de densitate

şi o anumită frecvenţă, mărimea:

(3.80)

denumită refracţie masică, este o caracteristică de material.Fenomenele de absorţie-dispersie sunt intim legate de structura microscopică a substanţei.


Curs 2 - Propagarea in medii absorbante

Documents

Transcript of Curs 2 - Propagarea in medii absorbante