ALGEBRA LINIARA.GEOMETRIE ANALITICA SI

DIFERENTIALA

Lector univ. dr. Cristina Flaut

SPATII VECTORIALE

Fie (R , +, ·) un corp, 1 �= 0, si (M, +) grup abelian. Spunem ca M esteR−spatiu vectorial daca este definita o operatie algebrica externa pe M,notata tot multiplicativ:

” · ” : R×M → M, (α, x) = αx, astfel ıncat sa fie ındeplinite urmatoareleconditii:

i)(α + β)v = αv + βv, ∀α, β ∈ R , ∀v ∈ M ;ii)(α · β)v = α(βv), ∀α, β ∈ R , ∀v ∈ M ;iii) α(v1 + v2) = αv1 + αv2, ∀α ∈ R , ∀v1, v2 ∈ M ;iv)1 · v = v, ∀v ∈ V.

Elementele din M se numesc vectori iar elementele din R se numescscalari.

EXEMPLE.1) Fie R

2 = {(a, b)|a, b ∈ R}. Luand K = R si V = R2, atunci R

2 este unspatiu vectorial peste R ın raport cu operatiile:

,,+” (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2) - adunarea vectorilor;

,,·” α (a, b) = (αa, αb) , α ∈ R - ınmultirea cu scalari.

2) Fie Rn = {(x1, x2, ..., xn) |xi ∈ R, i = 1, n}. Luand K = R si V = Rn,Rn devine R- spatiu vectorial ın raport cu operatiile:

1

,,+” (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ,

,,·” α (x1, x2, ..., xn) = (αx1, αx2, ..., αxn) , α ∈ R.

3) Fie K un corp comutativ, m, n ∈ N∗ si

Mm×n(K) ={

(aij) j=1,n,i=1,m/aij ∈ K}

multimea matricelor de tip m × n peste K.Definim adunarea matricelor:

,,+” : Mm×n(K) ×Mm×n(K) → Mm×n(K)((aij) j=1,n,i=1,m, (bij) j=1,n,i=1,m

)�→ (aij + bij) j=1,n,i=1,m

si ınmultirea cu scalari:

,,·” : K ×Mm×n(K) → Mm×n(K)(α, (aij)j=1,n , i = 1, m

)�→ (αaij)j=1,n,i=1,m.

Atunci Mm×n(K) devine spatiu vectorial peste corpul K, numit K-spatiulvectorial al matricelor de tip m × n peste K.

In particular avem:

Kn = M1×n(K) ={

(aj)j=1,n |aj ∈ K, j = 1, n}

care se numeste K - spatiul vectorial standard de ordin n ce are drept elementematrice linii.

Km = Mm×1(K) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎝

a11

a21

...am1

⎞⎟⎟⎠ |ai ∈ K, i = 1, n

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

care se numeste K spatiul vectorial standard de ordin m ce are drept elementematrice coloana.

OBSERVATIE.Daca M este un R−spatiu vectorial , atunci:i) Pentru orice element x ∈ M, avem 0x = 0.ii) Pentru orice scalar α ∈ R, avem α0 = 0.iii) Pentru orice element x ∈ M,avem (−1)x = −x.iv) Pentru orice scalar α ∈ R si orice element x ∈ M, avem (−α)x =

α(−x) = −αx.

2

v) Pentru orice scalar α ∈ R si orice vector x ∈ M avem ca αx = 0 dacasi numai daca α = 0 sau x = 0.�

Fie M un R−spatiu vectorial si M ′ ⊆ M o submultime nevida a sa.

Definitie. M ′ se numeste subspatiu vectorial al lui M , notat M ′ ≤M,daca sunt ındeplinite conditiile:

i)∀x , y ∈ M ′ ⇒ x − y ∈ M ′,

ii)∀α ∈ R, ∀x ∈ M ′ ⇒ αx ∈ M ′.

Definitie. Fie M un R−spatiu vectorial si S = {x1, x2, ..., xn} un sistemde elemente din M.

i) Spunem ca S este un sistem liniar independent daca din orice relatie deforma a1x1+a2x2+...+anxn = 0 rezulta ai = 0, ∀i ∈ {1, 2, ..., n}. Suma a1x1+a2x2 + ...+anxn se numeste combinatie liniara a elementelor x1, x2, ..., xn cucoeficienti din corpul R.

ii) Daca exista a1, a2, ..., an ∈ R nu toate nule astfel ıncat a1x1 + a2x2 +... + anxn = 0 spunem ca sistemul S este liniar dependent.

iii) Sistemul S formeaza un sistem de generatori daca pentru orice x ∈M, exista scalarii a1, a2, ..., an ∈ R astfel incat x = a1x1 + a2x2 + ... + anxn.

Definitie. Fie M un R−spatiu vectorial si B ⊂ M, o submultime nevidaa sa, astfel ıncat sa fie ındeplinite conditiile:

i) B este un sistem de generatori pentru M ;ii) B este sistem liniar independent.Spunem, atunci, ca B este o baza pentru R− spatiul vectorial M.

Fie V un spatiu vectorial peste un corp comutativ K, dimK V = n sifie B = {e1, e2, .., en} o baza ın V. Atunci orice vector v ∈ V admite o expri-

mare unica de forma v =n∑

i=1

xiei (numita descompunerea lui v dupa vectorii

bazei). Elementele xi gasite mai sus se numesc coordonatele vectorului v ınraport cu baza B, iar bijectia f : V → Kn, definita prin f(v) = (x1, x2, ..., xn)se numeste sistem de coordonate. Datorita acestei bijectii identificam uneoriun vector cu sistemul de coordonate corespunzator ıntr-o baza data.

Fie V un K − spatiu vectorial de dimensiune n si bazaB = {e1, e2, ..., en} ın V.

3

Daca f1, f2, ..., fq ∈ V, atunci

f1 =

n∑i=1

ai1ei, f2 =

n∑i=1

ai2ei, ..., fq =

n∑i=1

aiqei.

Acestor relatii li se ataseaza matricea:

A =

⎛⎜⎜⎝

a11 a12 ... a1q

a21 a22 ... a2q

−−−−−−−an1 an2 ... anq

⎞⎟⎟⎠

numita matricea de trecere de la sistemul de vectori {e1, e2, ..., en} la sistemulde vectori {f1, f2, ..., fq}.

Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K, dimK V = n, iarB = {e1, e2, ..., en} si B = {e′1, e′2, ..., e′n} doua baze ın V.

In continuare vom vedea cum se modifica coordonatele ın baza B ale unuivector x ∈ V atunci cand aceasta se schimba cu baza B′.

Notam cu C = (cij)i,j=1,n matricea patratica ale carei coloane sunt coor-donatele vectorilor bazei B′ ın raport cu baza B (adica matricea de trecerede la baza B la baza B′).

Vom nota cu xi, respectiv x′i, i = 1, n coordonatele vectorului x ∈ V ın

raport cu baza B, respectiv B′. Deci avem:

x =

n∑i=1

xiei si x =

n∑j=1

x′je

′j cu e′j =

n∑k=1

ckjek.

Rezulta atunci ca

x =n∑

j=1

x′je

′j =

n∑j=1

x′j

(n∑

k=1

ckjek

)=

n∑k=1

(n∑

j=1

ckjx′j

)ek.

Deci avem xk =n∑

j=1

ckjx′j cu k = 1, n.

Aceste relatii caracterizeaza transformarea coordonatelor la o schimbarea bazei. Matriceal putem scrie

X = CX ′, unde X =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2...

xn

⎞⎟⎟⎟⎠ , X ′ =

⎛⎜⎜⎜⎝

x′1

x′2...

x′n

⎞⎟⎟⎟⎠ .

4

EXERCITII REZOLVATE

Exercitiul 1.i) Sa se arate ca vectorii:v1 = (1, 5, 2) , v2 = (−1, 1, 0) , v3 = (2, 1, 5) formeaza o baza ın R

3.ii) Sa se determine coordonatele vectorului v = (3, 6,−1) ın raport cu

aceasta baza.

Solutie:i) Verificam liniar independenta vectorilor v1, v2, v3. Formam combinatia

liniara αv1 +βv2 +γv3 = 0. Aceasta relatie este echivalenta cu sistemul liniarsi omogen:⎧⎨⎩

α − β + 2γ = 05α + β + γ = 02α + 5γ = 0

Deoarece sistemul are determinantul 24, deci nenul, vectorii {v1, v2, v3} suntliniar independenti.

Aratam ca formeaza si sistem de generatori( cu toate ca nu mai este nece-sar, deoarece sunt liniar independenti si numarul lor, fiind egal cu dimensi-unea spatiului, este maxim, deci formeaza o baza). Consideram v = (a, b, c)un vector arbitrar din R3 si demonstram ca exista scalarii x, y, z ∈ R astfelıncat v = xv1 + yv2 + zv3. Aceasta relatie este echivalenta cu sistemul:⎧⎨⎩

x − y + 2z = a5x + y + z = b2x + 5z = c

care admite solutie, fiind de tip Cramer. Obtinem ca sistemul {v1, v2, v3}formeaza o baza ın R3.

ii) Daca α, β si γ sunt coordonatele vectorului v ın baza de mai sus, atuncisunt solutii ale sistemului:⎧⎨⎩

α − β + 2γ = 35α + β + γ = 62α + 5γ = −1

Rezolvandu-l, obtinem α = 2, β = −3, γ = −1.

Exercitiul 2. Fie V = R3, B = {e1, e2, e3} si B′ = {f1, f2, f3} doua

baze ın R3 cu

⎧⎨⎩

e1 = (1, 2, 3)e2 = (1, 0, 1)e3 = (1, 1, 1)

,

⎧⎨⎩

f1 = (1,−1, 2)f2 = (1, 1, 0)f3 = (2, 0, 1)

si v = (1,−1, 4) ∈ V.

5

Sa se scrie matricea C de trecere de la baza B la baza B′ si sa se de-termine formula schimbarii de coordonate pentru vectorul v la schimbareabazei.

Solutie. Determinam mai ıntai coordonatele vectorului v ın bazele B siB′.

v = a1e1 + a2e2 + a3e3⎧⎨⎩

a1 + a2 + a3 = 12a1 + a3 = −13a1 + a2 + a3 = 4

, rezulta

⎧⎨⎩

a1 = 32

a2 = 72

a3 = −4

Deci v = 32e1 + 7

2e2 − 4e3.

v = b1f1 + b2f2 + b3f3.⎧⎨⎩

b1 + b2 + 2b3 = 1−b1 + b2 = −12b1 + b3 = 4

Rezulta ca

⎧⎨⎩

b1 = 3b2 = 2b3 = −2

, deci v = 3f1 + 2f2 − 2f3.

Determinam matricea de trecere de la baza B la B′.

f1 = α1e1 + α2e2 + α3e3

α1 + α2 + α3 = 12α1 + α3 = −13α1 + α2 + α3 = 2

rezulta ca

⎧⎨⎩

α1 = 12

α2 = 52

α3 = −2

Deci f1 = 12e1 + 5

2e2 − 2e3.

f2 = β1e1 + β2e2 + β3e3⎧⎨⎩

β1 + β2 + β3 = 12β1 + β3 = 13β1 + β2 + β3 = 0

, rezulta ca

⎧⎨⎩

β1 = −12

β2 = −12

β3 = 2.

Deci f2 = −12e1 − 1

2e2 + 2e3.

f3 = γ1e1 + γ2e2 + γ3e3

6

⎧⎨⎩

γ1 + γ2 + γ3 = 22γ1 + γ3 = 03γ1 + γ2 + γ3 = 1

rezulta ca

⎧⎨⎩

γ1 = −12

γ2 = 32

γ3 = 1.

Deci f3 = −12e1 + 3

2e2 + e3.

Obtinem astfel matricea C =

⎛⎝ 1

2− 1

2− 1

252

− 12

32

−2 2 1

⎞⎠

Cum v = 3f1 + 2f2 − 2f3 avem:

a1 =

3∑j=1

c1jbj =1

2· 3 − 1

22 +

1

2· 2 =

3

2− 2 + 2 =

3

2.

a2 =3∑

j=1

c2bj =5

2· 3 − 1

2· 2 − 3

2· 2 =

15

2− 1 − 3 =

7

2.

a3 =

3∑j=1

c3bj = −2 · 3 + 2 · 2 − 2 · 1 = −6 + 4 − 2 = −4

si astfel am regasit coordonatele vectorului v ın baza B.

EXERCITII PROPUSE

1. Fie spatiul vectorial real R3. Care dintre urmatoarele multimi de

vectori formeaza subspatii vectoriale ın R3? Pentru subspatiile vectorialegasite sa se determine dimensiunea lor si cate o baza.

a) V1 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 = x2 = −x3}b) V2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | 2x1 + 3x2 = x3}c) V3 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x2

1 = x2 + x3}d) V4 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 = 0} .

2. Fie x = (x1, x2, x3) ∈ R3. Fie multimile:a) V1 = {x ∈ R3 / x1 = x2 = x3};b) V2 = {x ∈ R

3/ x2 = 0};c) V3 = {x ∈ R3/ x3 = 4};d) V4 = {x ∈ R3 / x1 = x2 + x3};

7

e) V5 = {x ∈ R3 / x3 = 2k + 1, k ∈ Z};Care dintre urmatoarele multimi de vectori formeaza subspatii vectoriale

ın R3? Sa se gaseasca o baza ın aceste subspatii vectoriale.

3. Care din urmatoarele multimi de vectori din R4 sunt liniar indepen-dente:

a) v1=(2, 0, 0, 0) , v2=(0, 2, 0, 0) , v3=(0, 0, 0, 3) , v4=(2, 2, 2, 2) ,v5 =(0, 0, 4, 0) ;

b) v1 = (5, 9, 2, 1) , v2 = (−2, 0, 3, 4) , v3 = (0, 0, 3, 1) , v4 = (0, 0, 0, 6) ;c) v1=(2, 0, 0, 5) , v1=(−4,−1, 2,−6) , v3=(−2,−1, 2,−1) , v4=(0, 3, 4, 0) ;d) v1 = (1, 1, 1, 0) , v2 = (0, 3, 2, 1) , v3 = (1, 4, 0, 4) ;e) v1 = (2, 1, 0, 3) , v2 = (4, 2, 0, 6) ?

4. Sa se stabileasca formulele de transformare ale coordonatelor cand setrece de la baza B la baza B

′ın urmatoarele cazuri:

a) B = {(2, 3) , (0, 1)} , B′= {(6, 4) , (4, 8)} ın R2;

b) B = {(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)} , B′

= {(2, 0, 3) , (−1, 4, 1) , (3, 2, 5)}ın R3.

c) B = {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)} ,B

′= {(1, 1, 0, 0) , (1, 0, 1, 0) , (1, 0, 0, 1) , (1, 1, 1, 1)} ın R

4

d) B = {(1, 2,−1, 0) , (1,−1, 1, 1) , (−1, 2, 1, 1) , (−1,−1, 0, 1)} ,B

′= {(2, 1, 0, 1) , (0, 1, 2, 2) , (−2, 1, 1, 2) , (1, 3, 1, 2)} ın R4.

5. Fie spatiul vectorial real R4 si v1, v2, v3, v4 ∈ R4. Sa se verifice dacavectorul v este o combinatie liniara de vectorii v1, v2, v3 pentru:

a) v = (2,−5,−7, 14) , v1 = (2, 1, 1, 2) , v2 = (1, 3, 1, 3) , v3 = (1, 1, 5,−3) ;b) v = (−1, 1, 3, 1) , v1 = (1, 2, 1, 1) , v2 = (1, 1, 1, 2) , v3 = (−3,−2, 1,−3) ;c) v=(3, 0, 3,−6) , v1=(2, 3, 4, 1) , v2=(−1, 1,−1, 3) , v3=(3,−5, 1,−13) ;d) v = (−22, 14, 7,−15) , v1 = (3,−1, 2, 3) , v2 = (−2, 2, 3, 1) ,

v3 = (8,−4, 1, 9) .

6. In R3 se dau vectorii x1 = (1, 3, 5) , x2 = (6, 3, 2) si x3 = (3, 1, 0).Aratati ca acesti vectori formeaza o baza ın R

3 si determinati coordonatelevectorilor x = (1, 1, 1) si y = (2, 2, 2) ın aceasta baza.

7. In R3 consideram vectorii v1 = (1, 2,−1) , v2 = (1,−2, 1) ,v3 = (1, 1,−1) , v = (1, 2, 3) , u = (−1,−2,−3). Demonstrati ca {v1, v2, v3}este o baza ın R

3 si calculati coordonatele vectorilor v, u ın aceasta baza.

8. In R2 consideram vectorii v1 = (1,−1) si v2 = (2, 3) . Aratati ca{v1, v2} este o baza ın R2 si determinati coordonatele vectorului v = (−4, 5)ın aceasta baza.

8

9. Fie x = (1,−1, 0) ∈ R3, reprezentat ın baza {e1, e2, e3} ,e1 = (1, 1, 1) , e2 = (1, 1, 0) , e3 = (1, 0, 0). Determinati componentele vec-torului x ın baza {f1, f2, f3} , f1 = (0, 0, 1) , f2 = (3,−1, 2) , f3 = (1, 2, 5) .

APLICATII LINIARE

Definitie. Fie M si N doua spatii vectoriale peste corpul comutativ R.O functie f : M → N se numeste aplicatie liniara sau morfism de R-spatiivectoriale, daca sunt ındeplinite conditiile:

i) f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ Mii) f(ax) = af(x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ M.

Definitie. Fie f : M → N o aplicatie liniara.i) Multimea Ker f = {x ∈ M / f(x) = 0N} ⊂ M se numeste nucleul

aplicatiei liniare f si este subspatiu al R-modului Mii) Multimea Imf = f(M) ⊂ N se numeste imaginea modului M prin

morfismul f si este subspatiu al R-modului Niii) dimK Imf se numeste rangul lui f ;iv) dimKKerf se numeste defectul lui f.

Propozitie. Fie f : V → W o aplicatie liniara, cu V si W douaK-spatii vectoriale. Daca V este un K−spatiu vectorial finit dimensional,atunci si spatiul vectorial Imf este finit dimensional si avem ca:

dimK Ker f + dimK Imf = dimK V.�

In cele ce urmeaza V si W vor fi doua spatii vectoriale peste acelasi corpcomutativ K.

Propozitie Daca {e1, e2, ..., en} este o baza a lui V iar{f1, f2 ,..., fm} este o baza a luiW, atunci exista o unica matrice

A = (aij) ∈ Mm×n(K) astfel ıncat f(ei) =m∑

j=1

ajifj . Daca elementul

x ∈ V, x =n∑

i=1

xiei, este dus de f ın y = f(x) cu f(x) =n∑

i=1

yifi, atunci

yi =n∑

j=1

aijxj , j = 1, m.�

9

Din aceasta propozitie, rezulta ca o aplicatie liniara f este unic determi-

nata de valorile f(ei) ∈ W. Dar cum f(ei) ∈ W, avem ca f(ei) =m∑

j=1

ajifj cu

i = 1, n,iar matricea A = (aij)i,j=1,n are ca elemente pe coloane coordonatele vecto-rilor f(e1), f(e2), ...., f(en) ın baza {f1, f2, ..., fm}, care sunt unic determinate.

Fie x =n∑

j=1

xjej ∈ V. Rezulta:

f(x) =

n∑j=1

xjf(ej) =

n∑j=1

xj

(m∑

i=1

aijfi

)=

m∑i=1

(n∑

j=1

xjaij

)fi.

Dar f(x) =m∑

i=1

yifi, deci yi =n∑

j=1

aijxj , i = 1, m, relatii echivalente cu

scrierea matriceala Y = AX, unde X = (x1, x2, ..., xn)t ∈ Kn siY = (y1, y2, ..., ym)t ∈ Km.

Matricea A se numeste matricea asociata aplicatiei liniare f ın raport cuperechea de baze considerate.

Propozitie. Fie f : V → V o aplicatie liniara,dimK V =n si {e1, e2, ..., en},{f1, f2, ..., fn} doua baze ın V. Fie A matricea atasata aplicatiei f ın raportcu prima baza si B matricea atasata aplicatiei f ın raport cu a doua baza,atunci exista L matrice nesingulara astfel ıncat B = L−1AL (matricea Lfiind matricea de trecere de la prima baza la a doua baza). Deci A si Breprezinta aceeasi aplicatie liniara daca exista L matrice nesingulara astfelıncat B = L−1AL.�

Propozitie. Fie V un spatiu vectorial, de dimensiune n peste corpul K,si {e1, e2, ..., en}, {f1, f2, ..., fn} baze ın V , iar f : V → V o aplicatie liniara.Atunci f este aplicatie liniara bijectiva (automorfism) daca si numai dacamatricea asociata lui f ın raport cu bazele date este inversabila.�

Definitie. Matricele A, B ∈ Mn(K) se numesc asemenea daca exist

EXERCITIU REZOLVAT

1. Fie T : R5 → R4.

10

T (x1, x2, x3, x4, x5)= (2x 1−x 2−x 3+x 4+x 5, x 1+4x 2−2x 3−x 4+x 5,x1−2x2+2x3+2x4−x5, 2x1+2x2+x4) o aplicatie liniara. sa se determine

KerT si ImT.Rezolvare:Fie x ∈ R5 cu x = (x1, x2, x3, x4, x5) astfel ca T (x) = 0.Rezulta atunci ca

(∗)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x1 − x2 − x3 + x4 + x5 = 0x1 + 4x2 − 2x3 − x4 + x5 = 0x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4 − x5 = 02x1 + 2x2 + +x4 = 0

Fie A =

⎛⎜⎜⎝

2 − 1 − 1 1 11 4 − 2 − 1 11 − 2 2 2 − 12 2 0 1 0

⎞⎟⎟⎠

Se observa ca rangA = 3 iar minorul principal este

d1 =

∣∣∣∣∣∣2 − 1 − 11 4 − 21 − 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 18 �= 0 si x4, x5 necunoscute secundare. Atunci

punand x4 = a, x5 = b sistemul devine

⎧⎨⎩

2x1 − x2 − x3 = −a − bx1 + 4x2 − 2x3 = a − bx1 − 2x2 + 2x3 = −2a + b

cu solutiile

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = −12a−2b18

x2 = 3a+2b18

x3 = −9a+12b18

x4 = ax5 = b

, a, b ∈ R.

Deci KerT = {x ∈ R5|x =(−12a−2b

18, 3a+2b

18, −9a+12b

18, a, b

), a, b ∈ R} =

={x ∈ R

5|x = a(−12

18, 3

18, −9

18, 1, 0

)+ b(−2

18, 2

18, 12

18, 0, 1

)}.

Fie e1 =(−12

18, 3

18, −9

18, 1, 0

), e2 =

(−218

, 218

, 1218

, 0, 1), {e1, e2} formeaza un sistem

de generatori pentru subspatiul KerT. Sa aratam ca {e1, e2} sunt si liniarindependenti. Pentru aceasta fie α1, α2 ∈ R astfel ca α1e1 + α2e2 = 0 ⇒⇒ α1

(−12

18, 3

18, −9

18, 1, 0

)+ α2

(−218

, 218

, 1218

, 0, 1)

= 0.Vom avea urmatorul sistem⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

−1218

α1 − 218

α2 = 0318

α1 + 218

α2 = 0−918

α1 + 1218

α2 = 0α1 = 0

α2 = 0

11

Matricea acestui sistem este B =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

−1218

−218

318

218−9

181218

1 00 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠si are rangul doi,

minorul principal fiind

∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = 1 �= 0, deci sistemul omogen admite o unica

solutie, anume cea banala: α1 = α2 = 0. Rezulta ca vectorii e1, e2 sunt liniarindependenti, formand astfel o baza. Obtinem dimR KerT = 2.

Vom determina acum dimR ImT :

ImT = {y ∈ R4|∃x ∈ R

5astfel caT (x) = y},Rezulta ca xi, i = 1, 5 trebuie sa satisfaca sistemul de ecuatii liniare:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y1 = 2x1 − x2 − x3 + x4 + x5

y2 = x1 + 4x22x3 − x4 + x5

y3 = x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4 − x5

y4 = 2x1 + 2x2 + x4

. Rezulta ca

ImT = {y ∈ R4|y = (2x1 − x2 − x3 + x4 + x5, x1 + 4x2 − 2x3 − x4 + x5,

x1 − 2x2 + 2x3 + 2x4 − x5, 2x1 + 2x2 + x4)} =

= {y ∈ R4|y = x1(2, 1, 1, 2) + x2(−1, 4,−2, 2) + x3(−1,−2, 2, 0)+

+x4(1,−1, 2, 1) + x5(1, 1,−1, 0)} .

Notam f1 = (2, 1, 1, 2) ; f2 = (−1, 4,−2, 2) ; f3 = (−1,−2, 2, 0) ;f4 = (1,−1, 2, 1) ; f5 = (1, 1,−1, 0) si vom avea ca f1, f2, f3, f4, f5

formeaza un sistem de generatori pentru ImT . Sa vedem cati dintre ei suntliniar independenti. Fie α1, α2, α3, α4, α5 ∈ R astfel ca α1f1 + α2f2 + α3f3 +α4f4 + α5f5 = 0.

Rezulta sistemul (∗) cu matricea A care are rangul 3. Atunci trei dintreacesti vectori sunt liniar independenti (de exemplu f1, f2, f3 pentru ca d1 �= 0este minor principal). Deci dimR ImT = 3.

EXERCITII PROPUSE

12

1. Sa se verifice care dintre urmatoarele aplicatii f : R2 → R2 este liniara:a) f (x1, x2) = (x1, x1x2) .b) f (x1, x2) = (x2

1 + x22, 0) .

c) f (x1, x2) = (−x1 + 2x2, x1 + x2) .d) f (x1, x2) = (x1x2, x1x2) .e) f (x1, x2) = (2x2

1, x21 + x2

2) .

2. Aratati ca functia f : R3 → R3,f (x1, x2, x3) = (x1 + x2, −x1 + x3, 2x2 + 3x3) este o aplicatie liniara si

scrieti matricea asociata ei ın baza canonica.

3. Sa se determine aplicatia liniara f : R3 → R3 data ın baza canonicaprin matricea: ⎛

⎝ 0 1 11 − 1 23 2 1

⎞⎠ .

4. Fie aplicatia liniara f : R3 → R3 data ın baza canonica prin matricea:⎛⎝ 1 1 − 1

1 0 22 − 1 3

⎞⎠

Se cer:a) Sa se determine f.b) Sa se calculeze f (1, 1, 1) .

5. Fiind data matricea A =

⎛⎝ 1 − 1 0

1 1 1−2 1 2

⎞⎠ ∈ M3 (R), scrieti aplicatia

liniara f : R3 → R3 corespunzatoare.

6. In R3 se considera aplicatia liniara f care ın baza canonica are ma-tricea:

A =

⎛⎝ 1 − 1 0

2 1 − 1−1 1 − 2

⎞⎠

Se cere:a) Sa se determine f ;b) Calculati f (1, 0,−2) .

7. Determinati aplicatiile liniare f : R3 → R3 care verifica relatiile:

13

a) f (0, 0, 1) = (2, 3, 5) ; f (0, 1, 1) = (1, 0, 0) ; f (1, 1, 1) = (0, 1,−1) .b) f (e1) = (1, 2, 3) ; f (e2) = (3, 4, 2) ; f (e3) = (2, 1, 3) , unde {e1, e2, e3}

este baza canonica ın R3. Calculati apoi pentru fiecare caz ın parte, f (1, 1, 1) .

8. Fie f : R3 → R2 o aplicatie liniara astfel ıncatf (e1) = (2, 1) , f (e2) = (0, 1) , f (e3) = (1, 1), unde {e1, e2, e3} este bazacanonica din R3. Determinati aplicatia f .

9. Se dau aplicatiile f1, f2 : R3 → R3,f1 (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3,−x1 + x2 + x3, x1 + x2 − x3) ;f2 (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + 3x3, 2 x1 + x2 + 3x3, 3x1 + x2 + 2x3) .Se cere sa se arate ca f1, f2 sunt aplicatii liniare.

MATRICE, DETERMINANTI, SISTEME DEECUATII LINIARE

Fie multimile M = {1, 2, ..., m} si N = {1, 2, ..., n} si fie K un corpcomutativ. Se numeste matrice de tip m × n orice functie A : M × N → K.Valorile A(i, j) = aij se numesc elementele matricei si de obicei sunt scriseıntr-un tabel cu m linii si n coloane astfel:

A =

⎛⎜⎜⎝

a11 a12 .... a1n

a21 a22 .... a2n

−−−−−−−am1 am2 .... amn

⎞⎟⎟⎠ .

Daca m = n matricea se va numi matrice patratica. Matricea care seobtine din matricea A schimband ın aceasta liniile cu coloanele se numestetranspusa matricei A si se noteaza At.

In continuare vom nota Mm×n(K) multimea matricelor de tip m × navand elementele din K.

Fie A, B ∈ Mm×n(K), A = (aij), B = (bij).Definim adunarea matricelor astfel:

A + B = (aij + bij) j = 1, mi=1,n.

Inmultirea cu scalari o vom defini astfel:

αA = (αaij) j = 1, mi=1,n ,cu α ∈ K.

Adunarea matricelor are proprietatile:

14

i) A + B = B + A;ii) (A + B) + C = A + (B + C);iii) A + O = A, unde O este matricea ce are toate elementele nule;iv) A + (−A) = O, unde −A este opusa matricii A, anume

−A = (−aij) j = 1, mi=1,n.Daca A ∈ Mm×n(K) si B ∈ Mn×p(K) atunci putem defini produsul celor

doua matrice astfel:

A · B = C unde C = (cij) cu cij =n∑

t=1

aitbtj . Matricea C ∈ Mm×p(K).

Inmultirea matricelor are proprietatile:v) (AB) C = A(BC).vi) A (B + C) = AB + AC.vii) (B + C) D = BD + CD.Fie N = {1, 2, ..., n}. Vom numi permutare de ordin n orice functie bijec-

tiva σ : N → N. De obicei ea se scrie sub forma unui tablou astfel:

σ =

(1 2 ... n

σ(1) σ(2) ... σ(n)

).

Notam cu Sn multimea permutarilor de ordin n.Fie i, j ∈ {1, 2, ..., n} cu i < j. Spunem ca (i, j) formeaza o inversiune

pentru permutarea σ daca σ(i) > σ(j). Vom nota cu m(σ) numarul tuturorinversiunilor permutarii σ, iar cu ε(σ) = (−1)m(σ) signatura (sau semnul)permutarii.

Fie A o matrice patratica de ordin n, A = (aij). Se numeste determinantde ordin n elementul din K notat det A = ∆ definit astfel:

∆ = det A =∑

σ∈sn

ε(σ)a1σ(1)a2σ(2)...anσ(n).

Se observa ca numarul termenilor ce apar ın suma de mai sus este n!Numim minorul asociat elementului aij, determinantul matricei de ordin

n − 1 (notat cu ∆ij) obtinut din A prin eliminarea liniei i si coloanei j.Complementul algebric al lui aij este elementul (−1)i+j ∆ij .

Propozitie. Determinantul unei matrice A coincide cu determinantulmatricei transpuse.�

Observatie. Propozitia anterioara arata ca orice proprietate adevaratareferitoare la liniile unui determinant, este adevarata si pentru coloanele de-terminantului. De aceea ın cele ce urmeaza se vor demonstra proprietatile

15

referitoare doar la liniile unui determinant specificand ca ele sunt adevaratesi pentru coloane.

Propozitie. Daca toate elementele unei linii (coloane) sunt nule, atuncideterminantul este nul.�

Propozitie. Daca ıntr-o matrice schimbam doua linii (coloane) ıntreele, obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantuluimatricei initiale.�

Propozitie. Daca o matrice are doua linii (coloane) identice, atunci de-terminantul sau este nul.�

Propozitie. Daca toate elementele unei linii (coloane) a unei matriceA ∈ Mn(K) sunt ınmultite cu un element α ∈ K, obtinem o matrice al caruideterminant este egal cu α ınmultit cu determinantul matricei initiale.�

Propozitie. Daca elementele a doua linii (coloane) ale unei matrice suntproportionale, atunci determinantul matricei este nul.�

Propozitie. Fie A = (aij)i,j=1,n ∈ Mn(K) o matrice patratica de ordin

n. Daca elementele liniei i sunt de forma aij = a′ij + a′′

ij , ∀j = 1, n iar A′

si A′′ sunt matricele ce se obtin din A ınlocuind elementele de pe linia i cuelementele a′

ij , respectiv a′′ij, cu i, j = 1, n, atunci det A = det A′ + det A′′.�

Definitie. Fie A ∈ Mn(K), A = (aij)i,j=1,n. Vom spune ca linia i amatricei A este o combinatie liniara de celelalte linii, daca exista elementeleb1, b2, ..., bi−1, bi+1...bn ∈ K astfel ıncat

aij = b1a1j + b2a2j + ... + bi−1ai−1,j + bi+1ai+1,j + ... + bnanj ,

∀j = 1, n. (Analog si pentru coloane).

Propozitie. Daca o linie (coloana) a unei matrice patratice este ocombinatie liniara de linii (coloane), atunci determinantul matricei este nul.�

Propozitie. Daca la o linie (coloana) a matricei A ∈ Mn(K) adunamelementele altei linii (coloane), ınmultite cu acelasi element, atunci matriceaobtinuta are acelasi determinant ca si matricea A.�

Propozitie. Fie A = (aij)i,j=1,n ∈ Mn(K) si ∆ = det A. Atunci pentru

orice i = 1, n, avem relatia:

16

∆ = ai1∆i1 +ai2∆i2 + ...+ain∆in, unde ∆ij este complementul algebric alelementului aij, ∀j = 1, n. Aceasta relatie poarta denumirea de dezvoltareadeterminantului ∆ dupa linia i.�

Observatie. 1) Se poate demonstra o proprietate asemanatoare si pentrua dezvolta un determinant dupa o coloana si anume daca A ∈ Mn(K) si∆ = det A, atunci pentru orice j = 1, n are loc egalitatea:

∆ = a1j∆1j + a2j∆2j + ... + anj∆nj ,

unde ∆ij reprezinta complementul algebric al elementului aij , ∀i = 1, n.2) Calculul unui determinant de ordin n se reduce la calculul a mai multi

determinanti de ordin n − 1 obtinuti din dezvoltarea acestuia dupa o liniesau o coloana. Pentru simplificarea calculelor se alege linia (coloana) cucel mai mare numar de elemente egale cu zero, sau aplicam proprietatiledeterminantilor date mai sus pentru ca pe o anumita linie (coloana) saobtinem cat mai multe elemente nule.

3) Fie A ∈ Mn(K) si ∆ = det A. Atunci pentru orice i �= j avem:

ai1∆j1 + ai2∆j2 + ... + ain∆jn = 0.

Definitie. i) Fie A ∈ Mm×n(K) o matrice. Numim minor de ordin p almatricei A un determinant de ordin p al unei submatrice patratice de ordinp obtinuta din A prin eliminarea a m − p linii si n − p coloane.

ii) Se numeste rangul matricei A, A ∈ Mm×n(K) un numar r = rangA ≤≤ min(m, n), astfel ıncat cel putin un minor de ordin r al matricei A sa fienenul si toti minorii de ordin q ≥ r + 1 sa fie nuli. Acel minor de ordin rnenul se mai numeste si minor principal.

Fie A ∈ Mm×n(K) o matrice. Vom nota cu CA1 , CA

2 , ..., CAn ,(LA

1 , LA2 , ..., LA

m

)coloanele (liniile) matricei A. Notam cu E = Mm×1(K), F = M1×n(K) de-spre care stim ca sunt spatii vectoriale si ca dimK E = m, dimK F = n.Deci are sens sa vorbim de subspatiul vectorial al lui E (F) generat de ele-mentele CA

1 , CA2 , ..., CA

n (respectiv de elementele LA1 , LA

2 , ..., LAm) si pe care-l

notam < CA1 , CA

2 , ..., CAn > (respectiv < LA

1 , LA2 , ..., .LA

m >).

Propozitie. (Kronecker). Cu notatiile de mai sus avem ca

rangA = dimK < CA1 , CA

2 , ..., CAn >= dimK < LA

1 , LA2 , ..., LA

m >,

deci putem spune ca rangA este egal cu numarul maxim de coloane (linii)care sunt liniar independente.�

17

Observatie.1) Din Teorema lui Kronecker rezulta ca rangul unei matrice nu se schimba

daca la o linie (coloana) adunam o alta linie (coloana) ınmultita cu un elementdin corpul K.

2) Determinantul unei matrice patratice este nul daca si numai dacauna dintre liniile (coloanele) sale este o combinatie liniara de celelalte linii(coloane).

3) Teorema lui Kronecker ne permite sa calculam rangul unei matrice ınmod iterativ:

- Matricea fiind nenula are cel putin un minor de ordinul ıntai nenul (deexemplu luam orice element nenul al matricei).

- Daca am gasit un minor de ordin t nenul, ıl bordam pe rand cu e-lementele corespunzatoare uneia dintre liniile si coloanele ramase, obtinandastfel toti minorii de ordin t + 1 care-l contin. Daca toti acestia sunt nuli,atunci rangul este r = k. Daca nu, exista cel putin un minor de ordin k + 1nenul pe care-l bordam ca mai sus si continuam astfel procedeul.

Observatie.1) Daca A = 0, atunci punem prin definitie rang A = 0.2) rangA =rangAt.3) Rangul unei matrice nu se schimba daca permutam liniile (coloanele)

ıntre ele.4) Rangul unei matrice nu se schimba daca ınmultim o linie (coloana) cu

un element nenul din corpul K.5) Daca rangA = r, atunci toti minorii de ordin mai mare sau egal cu

r + 1 sunt nuli.Fie A ∈ Mn(K). Matricea A se numeste matrice inversabila daca si

numai daca exista o matrice A−1 ∈ Mn(K), astfel ıncat A·A−1 = A−1A = In,

unde In este matricea unitate: In =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0....00 1 0...00 0 1...0−−−0 0 0...1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .

Propozitie. Fie A = (aij)i,j=1,n ∈ Mn(K). Atunci matricea A esteinversabila daca si numai daca det A este un element inversabil ın K (adicaeste diferit de elementul nul din K). In acest caz

A−1 = (a∗ij)i,j=1,n cu a∗

ij = (−1)i+j(det A)−1 · ∆ji

18

unde ∆ji este minorul elementului aji.�Observatie. Matricea (det A) · A∗ din Propozitia IV. 18. se numeste

matricea adjuncta matricei A.

Sisteme de ecuatii liniareFie K un corp comutativ si fie un sistem de m ecuatii liniare cu n ne-

cunoscute de forma:

(1)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

−−−−−−−−−−−−−−am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn

care mai poate fi scris matriceal astfel:(∗) AX = B unde

A =

⎛⎜⎜⎝

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

−−−−−−−−−am1 am2 ... amn

⎞⎟⎟⎠ ∈ Mm×n(K),

X =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2...

xm

⎞⎟⎟⎟⎠ ∈ Mm×1(K), B =

⎛⎜⎜⎜⎝

b1

b2...

bm

⎞⎟⎟⎟⎠ ∈ Mm×1(K).

A este matricea sistemului si B este matricea coloana a termenilor liberi.Daca B = O sistemul este omogen. O solutie a sistemului (1) este un

sistem ordonat de elemente {x1, x2, ..., xn} ∈ Kn care ınlocuite ın sistemul(1) transforma fiecare ecuatie ın egalitate. Daca x1 = x2 = ... = xn = 0,atunci solutia se numeste solutie banala.

Sistemul (1) este compatibil determinat daca are solutie unica, compatibilnedeterminat daca are mai multe solutii si incompatibil daca nu are nici osolutie.

Propozitie. (Regula lui Cramer). Fie un sistem de n ecuatii liniare cun necunoscute cu coeficienti ıntr-un corp comutativ K :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

−−−−−−−−−−−−−−an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

19

Fie A = (aij)i,j=1,n matricea coeficientilor si ∆ = det A. Daca ∆ �= 0,atunci sistemul are o unica solutie data de relatiile:

x1 = ∆1 · ∆−1, x2 = ∆2 · ∆−1, ..., xn = ∆n · ∆−1

cu ∆i, i = 1, n, determinantii matricelor obtinute din A prin ınlocuireacoloanei i cu coloana termenilor liberi.�

Observatie. Fie A ∈ Mm×n(K) matricea sistemului (1). Matriceaextinsa Ae ∈ Mm×n+1(K) se obtine din matricea A adaugand la aceastaınca o coloana si anume coloana termenilor liberi.

Teorema Kronecker-Capelli. Un sistem de ecuatii liniare este com-patibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangulmatricei extinse.�

Observatie. Un sistem omogen este ıntotdeauna compatibil, el admitandcel putin o solutie si anume solutia banala. Daca notam cu r rangul matriceicoeficientilor si cu n numarul necunoscutelor atunci avem:

1) Daca r = n, atunci solutia banala este singura solutie a sistemului.2) Daca r < n, atunci sistemul omogen are si solutii nenule.Teorema Kroecker-Capelli nu da o metoda de aflare a solutiilor sistemului

liniar (1), ci ne permite sa decidem daca acesta este compatibil sau nu. Pentrua determina solutiile acestui sistem vom proceda astfel:

Daca sistemul liniar este compatibil, fie r = rangA = rangAe. Decimatricea contine un minor de ordin r nenul si sa presupunem ca acest minoreste determinantul matricei

M =

⎛⎜⎜⎝

a11 a12 ... a1r

a21 a22 ... a2r

−−−−−−−−ar1 ar2 ... arr

⎞⎟⎟⎠ .

Atunci det M se va numi minor principal al sistemului liniar, necunoscutelex1, x2, ..., xr se vor numi necunoscute principale, iar necunoscutele xr+1, ..., xn

se vor numi necunoscute secundare. Distingem dou cazuri:a) r = n. Sistemul are acelasi numar de ecuatii si de necunoscute, iar

determinantul sau este nenul. In acest caz, sistemul va avea solutie unica cese poate determina cu regula lui Crammer.

b) r < n, atunci trecem ın membrul drept al ecuatiilor din sistem totitermenii care contin necunoscutele secundare xr+1xr+2, ..., xn si le atribuim

20

valori arbitrare, respectiv λr+1, ..., λn ∈ K. Obtinem astfel un sistem de recuatii cu r necunoscute:⎧⎨

⎩a11x1 + a12x2 + ... + a1rxr = b1 − a1r+1λr+1 − ... − a1nλn

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−ar1x1 + ar2x2 + ... + arrxr = br − arr+1λr+1 − ... − arnλn

Acest sistem are determinantul nenul si se rezolva cu ajutorul regulei luiCramer, deci va avea solutia unica {α1, α2, ..., αr} ∈ Kr. Sistemul ordonatde elemente {α1, α2, ...., αr, λr+1, ..., λn} ∈ Kr va forma o solutie a sistemuluiliniar dat. Deoarece valorile λr+1, ..., λn ale necunoscutelor secundare suntalese arbitrar solutia sistemului nu este unica.

EXERCITII PROPUSE

1. Sa se calculeze determinantii:

D =

∣∣∣∣∣∣x2 x1 x3

x3 x2 x1

x1 x3 x2

∣∣∣∣∣∣ , unde x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei: 2x3 − x2 +

x − 1 = 0.

D1 =

∣∣∣∣∣∣3 4 54 5 35 3 4

∣∣∣∣∣∣ , D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 03 2 1 01 1 1 12 4 5 6

∣∣∣∣∣∣∣∣.

2. Sa se rezolve sistemele:

a)

⎧⎨⎩

x + y + z = 12x + 3y + 4z = 1x − y − z = 0

; b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + y + z + w = 1x + 2y + 3z + 4w = 0x + y + 4z + 5w = 1x + y + 5z + 6w = 0

.

3. Sa se rezolve sistemele:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x − 3y + z = −1x + y − 3z = 0

x − 12y + 11z = −14x − 15y + 9z = 0

; b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + y + z = 22x − y − 2z = −2x + 4y + 5z = 8

2x − 5y + 6z = 10

21

c)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x + 3y − z + w = 5x − y + 2z − 2w = −53x + y + 2z − 2w = −3−3x − y − 2z + 2w = 3

.

4. Sa se rezolve urmatoarele sisteme discutand dupa valorile parametruluireal α :

a)

⎧⎨⎩

αx − 3y + 4z = 15x + (α − 1) y − 4z = 8x + (α + 5) y − 12z = 10

; b)

⎧⎨⎩

x + α2y + 2αz = −22αx + y + α2z = 7

α2x + 2αy + z = −5.

VECTORI SI VALORI PROPRII. FORMA DIAGO-NALA.

Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K si f : V → V oaplicatie liniara.

Definitie. Un vector x ∈ V −{0} se numeste vector propriu al aplicatieiliniare f daca exista λ ∈ K astfel ca f(x) = λx. Scalarul λ se numeste valoareproprie a aplicatiei liniare f corespunzatoare vectorului propriu x. Multimeatuturor valorilor proprii ale lui f poarta numele de spectrul aplicatiei f,notat S(f).

Observatie. Fie I : V → V aplicatia liniarPropozitie. Daca x este un vector propriu al lui f, atunci oricare ar fi

α ∈ K\{0}, vectorul αx este propriu.�Definitie. Fie f : V → V o aplicatie liniara si V ′ un subspatiu vec-

torial al spatiului vectorial V. V ′ se numeste subspatiu f− invariant al luiV (sau subspatiu f − invariant fata de f) , daca si numai daca f(V ′) ⊆ V ′.

Propozitie. Fie f : V → V o aplicatie liniara. Sunt adevarate urmatoareleafirmatii:

a) Unui vector propriu al lui f ıi corespunde o singura valoare proprie.b) Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte sunt liniar

independenti.c) Multimea S(λ) = {αx / f(x) = λx, λ valoare proprie, α ∈ K} este un

subspatiu vectorial al spatiului vectorial V invariant fata de f.(S (λ) se numeste subspatiul propriu corespunzator valorii proprii λ.)�

22

Propozitie. Subspatiile proprii corespunzatoare la valori proprii disticteau intersectia formata doar din vectorul nul, deci S(λ1)∩S(λ2) = {0} pentruλ1 �= λ2.�

Definitie. Fie A = (aij)i,j=1,n ∈ Mn(K), matrice patratica de ordin ncu coeficienti ın corpul comutativ K si X ∈ Mn×1(K). Daca exista λ ∈ Kastfel ıncat AX = λX, atunci X se numeste vector propriu al matricei A ,iar λ se numeste valoare proprie pentru matricea A.

Fie In matricea unitate de ordin n, In ∈ Mn(K). Atunci, cu notatiilede mai sus, ecuatia matriceala AX = λX devine (A − λIn) X = 0 si esteechivalenta cu sistemul liniar omogen:⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩(a11 − λ)x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + (a22 − λ) x2 + ... + a2nxn = 0−−−−−−−−−−−−−−−−

an1x1 + an2x2 + ... + (ann − λ)xn = 0

,

care are solutii nebanale daca si numai daca det (A − λIn) = 0.

Definitie. Polinomul PA(λ) = det (A − λIn) se numeste polinom car-acteristic al matricei A, iar ecuatia det (A − λIn) = 0, λ ∈ K se numesteecuatia caracteristica a matricei A.

Propozitie. Doua matrice asemenea au acelasi polinom caracteristic.�Fie acum V un K- spatiu vectorial cu dimK V = n, f : V → V o aplicatie

liniara, B = {e1, e2, ..., en} o baza ın V si A = (aij)i,j=1,n matricea asociataaplicatiei liniare f ın baza B. Consideram x �= 0, x ∈ V un vector propriupentru f si λ ∈ K valoarea proprie asociata. Fie X t = (x1, x2, ..., xn) ∈ Kn

coordonatele vectorului x ın raport cu baza B. Atunci relatia f(x) = λxse va scrie matriceal AX = λX, adica AX − λInX = 0. Deci un vectorpropriu pentru f admite ca sistem de coordonate, ın raport cu baza B, osolutie nebanala a sistemului liniar omogen determinat de ecuatia matriceala(A − λIn)X = 0, cu In ∈ Mn(K) matricea unitate de ordin n. Rezultaca, pentru a avea si solutii nebanale, matricea acestui sistem trebuie sa fiesingulara, deci det (A − λIn) = 0 ∈ K, adica λ sa fie valoare proprie pentrumatricea A.

Daca vom considera o alta baza B′ a spatiului vectorial V si A′ matriceaasociata aplicatiei liniare f ın raport cu baza B′, atunci A si A′ sunt matriceasemenea, deci au acelasi polinom caracteristic si aceleasi valori proprii.

23

Din cele de mai sus rezulta ca putem defini polinomul caracteristic al

aplicatiei liniare f ca fiind PA(λ), Pf(λ)def= PA(λ) care este invariant la

schimbarea bazei . Mai mult, radacinile sale fiind si ele invariante la schimbaride baze, putem gasi valorile proprii ale unei matrice asociate aplicatiei liniareıntr-o baza aleasa arbitrar.

Definitie. Fie A ∈ Mn(K) si PA(λ) = 0 ecuatia sa caracteristica.Atunci multimea S(A) = {λi / i = 1, s, λi radacinile distincte ale ecuatieicaracteristice} se numeste spectrul matricei A, care este invariant la schimbaride baze.

Observatie.1) Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n si f : V → V o aplicatie

liniara. Pentru f avem urmatorii invarianti la schimbari de baze: rang f, Pf (λ)si S(f) unde S(f) = S(A), cu A matricea asociata aplicatiei f ıntr-o bazaoarecare.

2) In cazul cand K = R si A ∈ Mn(R), se poate ıntampla ca ecuatiadet (A − λIn) = 0 sa nu aiba toate radacinile reale si atunci valorile propriiale matricei A se gasesc ın C, iar vectorii proprii corespunzatori ın comple-xificatul lui Rn.

Propozitie. Fie A ∈ Mn(K) o matrice patratica cu coeficienti ın corpulcomutativ K, atunci polinomul ei caracteristic are expresia:

PA(λ) = (−1)n (λn − δ1λn−1 + δ2λ

n−2 − ... + (−1)nδn) ,unde δi, i = 1, n reprezinta suma minorilor principali de ordinul i ai matri-cei (A − λIn) .�

Consecinte.i) Daca A ∈ Mn(K), atunci PA(X) = PAt(X).ii) Daca A ∈ Mn(C), atunci PA(X) = PA(X).�Teorema Cayley-Hamilton. Daca PA(λ) este polinomul caracteristic

al matricei A, atunci PA(A) = 0.�Consecinte. Daca f : V → V este o aplicatie liniara iar Pf(λ) este

polinomul sau caracteristic, atunci Pf(f) = 0.�Consecinte. Fie A o matrice de ordin n. Atunci orice polinom ın A, de

grad mai mare sau egal cu n, poate fi exprimat printr-un polinom de gradn − 1.�

24

Forma diagonala

In cele ce urmeaza, V va fi un K−spatiu vectorial de dimensiune n sif : V → V o aplicatie liniara. Se pune problema gasirii unei baze ın V ınraport cu care matricea asociata aplicatiei liniare sa aiba o forma cat maisimpla. Mai ıntai vom da urmatoarea definitie:

Definitie. Aplicatia liniara f : V → V diagonalizabila, daca exista obaza {e1, e2, ..., en} ın V ın raport cu care matricea atasata aplicatiei f sa fiediagonala, adica o matrice de forma:

diag (a11, a22, ..., ann) =

⎛⎝ a11 0 ... 0

0 a22 ... 00 0 ... ann

⎞⎠ , cu ai ∈ K, i = 1, n.

Observatie. In baze diferite, aplicatiei liniare f ıi corespund matricediferite, matrice care sunt asemenea. In cazul ın care f este diago-nalizabila,matricele din clasa de asemanare corespunzatoare aplicatie liniare f se numescmatrice diagonizabile.

Propozitie. Fie f : V → V o aplicatie liniara. Atunci f este diagonal-izabila daca si numai daca exista o baza a spatiului vectorial V formata dinvectori proprii ai lui f .�

Propozitie. Dimensiunea unui subspatiu propriu al aplicatiei liniare f :V → V este cel mult egala cu ordinul de multiplicitate al valorii propriicorespunzatoare.�

Propozitie. Aplicatia liniara f : V → V este f este diagonalizabiladaca si numai daca polinomul sau caracteristic are toate radacinile ın corpulcomutativ peste care a fost considerat spatiul vectorial V, iar dimensiuneafiecarui subspatiu propriu este egala cu ordinul de multiplicitate al valoriiproprii corespunzatoare.�

Procedeu1) Consideram o baza ın spatiul vectorial V si determinam matricea

A = (aij)i,j=1,n a aplicatiei liniare f ın aceasta baza.2) Determinam valorile proprii ale lui A si verificam daca se gasesc toate

ın corpul K. In caz contrar oprim procedeul.

25

3) Aflam cate valori proprii exista si care este ordinul lor de multiplicitate.Presupunem ca avem q valori proprii distincte, q ≤ n, cu ordinele de multi-plicitate α1, α2, ..., αq. Calculam rangul fiecarei matrice A−λjIn, cu j = 1, q.Daca rangul fiecarei matrice A − λjI este n − αj , ∀j = 1, q, atunci f este

diagonalizabil. (In caz contrar, f nu este diagonalizabila si oprim procedeul).4) Rezolvam cele q sisteme omogene (A − λjIn) X = 0, cu

j = 1, q. Un sistem fundamental de solutii al unui astfel de sistem reprezintao baza ın subspatiul propriu S(λj). Deci matricea aplicatiei f , ın raport cubaza formata din vectorii proprii astfel, gasiti are pe diagonala valorile propriiλ1, λ1, ...., λ2, λ2, ..., λq, λq, ..., λq, care apar de atatea ori cat este ordinul lorde multiplicitate.

5) Daca D ∈ Mn(K) este matricea diagonala astfel gasita mai sus siL ∈ Mn(K) este matricea de trecere de la baza initiala la baza formata dinvectorii proprii, atunci D = L−1AL.

EXEMPLE

1) Fie A =

⎛⎝ 1 −2 3

0 4 15 1 −1

⎞⎠ .

Polinomul caracteristic al matricei A este

P (λ) = det (A − λI) =

∣∣∣∣∣∣1 − λ −2 30 4 − λ 15 1 −1 − λ

∣∣∣∣∣∣ = −λ3+4λ2+17λ−75.

Din teorema Cayley-Hamilton avem ca P (A) = 0, adica −A3 + 4A2++17A − 75I3 = 0.

2) Tot cu ajutorul teoremei Cayley-Hamilton putem calcula si inversaunei matrice nesingulare.

Vom considera aceeasi matrice A =

⎛⎝ 1 −2 3

0 4 15 1 −1

⎞⎠ , despre care stim

ca −A3 + 4A2 + 17A− 75I3 = 0. De aici rezulta ca−A3 + 4A2 + 17A = 75I3,

A · 175

(−A2 + 4A + 17I3) = I3, deciA−1 = 175

(−A2 + 4A + 17I3) .

26

3) Fie f : R3 → R3 o aplicatie liniara (spatiul vectorial R3 este consid-

erat real) care are ın raport cu baza canonica matricea: A =

⎛⎝ 0 1 0

0 0 11 0 0

⎞⎠ .

Polinomul caracteristic este

P (λ) = det (A − λI3) =

∣∣∣∣∣∣−λ 1 00 − λ 11 0 − λ

∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 1.

Valorile proprii nu sunt toate reale, deci f nu este diagonalizabil.

4) Fie aplicatia liniara f : R3 → R

3 definita ın baza canonica prin ma-

tricea A =

⎛⎝ 1 − 1 2

−1 1 − 22 − 2 0

⎞⎠ .

Polinomul caracteristic este

P (λ) = det (A − λI3) =

∣∣∣∣∣∣1 − λ −1 2−1 1 − λ −22 −2 −λ

∣∣∣∣∣∣ = −λ (λ + 2) (λ − 4) .

P (λ) = 0 ⇒

⎧⎨⎩

λ1 = 0λ2 = −2λ3 = 4.

Determinam acum vectorii proprii.

Pentru λ1 = 0 rezolvam sistemul:

⎧⎨⎩

x1 − x2 + 2x3 = 0−x1 + x2 − 2x3 = 02x1 − 2x2 = 0.

Solutiile acestui sistem sunt de forma: (a, a, 0) = a (1, 1, 0) . Deci unvector propriu este v1 = (1, 1, 0) .

Pentru λ2 = −2 avem:

⎧⎨⎩

3x1 − x2 + 2x3 = 0−x1 + 3x2 − 2x3 = 02x1 − 2x2 + 2x3 = 0.

Solutiile acestui sistem sunt de forma:(−a

2, a

2, a)

= a(−1

2, 1

2, 1), deci un

vector propriu atasat valorii proprii λ2 = −2 este v2 =(−1

2, 1

2, 1).

Pentru λ3 = 4 avem:

⎧⎨⎩

−3x1 − x2 + 2x3 = 0−x1 − 3x2 − 2x3 = 02x1 − 2x2 − 4x3 = 0.

27

Solutiile acestui sistem sunt de forma (a,−a, a) , deci un vector propriuatasat valorii proprii λ = 4 este (1,−1, 1) .

Avem trei vectori proprii care corespund la valori proprii distincte, decisunt liniar independenti si atunci matricea A este diagonalizabila.

Fie L =

⎛⎝ 1 −1

21

1 12

−10 1 1

⎞⎠ si D =

⎛⎝ 0 0 0

0 −2 00 0 4

⎞⎠ matricea diagonala.

Atunci D = L−1AL.

5) Fie f : R3 → R3 o aplicatie liniara care are ın baza canonica matricea

A =

⎛⎝ 1 2 1

−1 2 − 11 − 1 2

⎞⎠ .

Avem P (λ) =

∣∣∣∣∣∣1 − λ 2 1−1 2 − λ −11 −1 2 − λ

∣∣∣∣∣∣ = (λ − 1) (λ − 2)2 .

P (λ) = 0 ⇒{

λ1 = 1λ2 = λ3 = 2

. Pentru λ1 = 1 obtinem sistemul⎧⎨⎩

2x2 + x3 = 0−x1 + x2 − x3 = 0

x1 − x2 + x3 = 0. Acesta are solutia x1 = 0, x2 = a, x3 = a, deci

un vector propriu corespunzator este v1 = (0, 1, 1) .

Pentru λ2 = λ3 = 2 avem sistemul

⎧⎨⎩

−x1 + 2x2 + x3 = 0−x1 − x3 = 0

x1 − x2 = 0..

Rangul matricei corespunzatoare acestui sistem este doi, deci avem solutiax1 = a, x2 = a, x3 = 2a. Un vector propriu este v2 = (1, 1, 2) . Vectoriiproprii v1 si v2 sunt liniar independenti, dar nu formeaza o baza. Rezulta canu exista o baza fata de care A sa poata fi adusa la forma diagonala.

V ezi si ANEXA 1!

EXERCITII PROPUSE

1. Fie T : R3 → R3 o aplicatie liniara care are ın baza canonica a lui R3

matricea:

A =

⎛⎝ 5 −6 −6

−1 4 23 −6 −4

⎞⎠

28

a) Gasiti valorile proprii ale aplicatie liniare.b) Pentru fiecare valoare proprie gasiti cate un sistem maximal liniar

independent de vectori proprii asociati.

2. Fie aplicatia liniara T : R3 → R3 definita ıntr-o baza B prin matricea:

A =

⎛⎝ 7 −12 6

10 −19 1012 −24 13

⎞⎠

Sa se determine:a) Valorile proprii, vectorii proprii si subspatiile proprii corespunzatoare.b) Daca matricea aplicatiei liniare T este diagonalizabila.

3. Fie aplicatia liniara T : R3 → R3 definita ıntr-o baza B prin matricea:

A =

⎛⎝ −1 1 1

−3 2 2−1 1 1

⎞⎠

Sa se arate ca nu exista nici o baza ın R3 fata de care matricea aplicatieiT sa aiba forma diagonala.

4. Fie T : R3 → R3 o aplicatie liniara definita ıntr-o baza B prinmatricea A :

i) A =

⎛⎝ 4 −1 −2

2 1 −21 −1 1

⎞⎠ ; ii) A =

⎛⎝ 4 1 1

2 4 10 1 4

⎞⎠

a) Sa se determine valorile proprii, vectorii proprii si subspatiile propriicorespunzatoare pentru matricele de la punctele i) si ii).

b) Sa se verifice, pentru aceleasi matrice, daca exista o baza B′ın R3 fata

de care matricea aplicatiei liniare are forma diagonala.

5. Fie f : R3 → R3 o aplicatie liniara definita ıntr-o baza B a lui R3 prinmatricea:

i) A=

⎛⎝ 1 −1 2

−1 1 −22 −2 0

⎞⎠ ; ii) A=

⎛⎝ 5 2 −3

6 4 −44 5 −4

⎞⎠ ; iii) A=

⎛⎝ 4 −3 −3

6 −5 −60 0 1

⎞⎠ .

Se cer:

29

a) Sa se arate ca exista o baza B′ın R3 fata de care matricea aplicatieii

liniare are forma diagonala.b) Sa se scrie matricea de trecere de la baza initiala B la baza B

′(matricea

diagonalizatoare).

SPATII VECTORIALE EUCLIDIENE

Definitie. Fie V un spatiu vectorial complex. Se numeste produs scalaro aplicatie <, >: V × V → C care are proprietatile:

i) < v, w >=< w, v >, ∀v, w ∈ V ;ii) < u, v + w >=< u, v > + < u, w >, ∀u, v, w ∈ V ;iii) a < v, w >=< av, w >, ∀a ∈ C si u, v ∈ V ;iv) < v, v >≥ 0 si < v, v >= 0 daca si numai daca v = 0.

Propozitie. Produsul scalar are proprietatile:i) < v, aw >= a < v, w >, a ∈ C, v, w ∈ V.ii) < u + v, w >=< u, w > + < v, w >, u, v, w ∈ V.iii) Daca < x, y >= 0, ∀y ∈ V ⇒ x = 0 si daca < x, y >=< z, y >,

pentru orice y ∈ V, atunci x = z.�Observatie. 1) Dac2) Orice subspatiu vectorial al unui spatiu vectorial euclidian este la

randul sau euclidian, produsul scalar fiind acelasi.

Definitie. Un spatiu vectorial (real sau complex) pe care s-a definit unprodus scalar se numeste spatiu vectorial euclidian (real sau complex).

Exemple. 1) Cn este spatiu euclidian ın raport cu produsul scalar:

< x, y >= x1y1 + x2y2 + ... + xnyn,

unde: x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Cn, y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Cn.2) Rn este spatiu euclidian ın raport cu produsul scalar:

< x, y >= x1y1 + x2y2 + ... + xnyn,

unde x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn.Definitie. Fie V un spatiu vectorial real sau complex. Spunem ca

aplicatia || || : V → R+ este o norma pe V, daca satisface urmatoarele conditiipentru ∀x, y ∈ V, λ ∈ K:

30

1) ||x|| ≥ 0 si ||x|| = 0 daca si numai daca x = 0,

2) ||λx|| = |λ| · ||x||,3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.Un spatiu vectorial pe care s-a definit o norma se numeste spatiu normat.

Exemple. 1) R ca R- spatiu vectorial este normat, cu functia valoareabsoluta ca norma.

2) C este R-spatiu vectorial normat cu functia modul.3) Pe Rn avem norma euclidiana:

||x|| =√

x21 + x2

2 + ... + x2n,

unde x = (x1, x2, ..., xn) . In afara de aceasta norma se pot defini si altenorme, de exemplu

||x||0 = max{|x1|, ..., |xn|}sau ||x||1 = |x1| + ... + |xn|.

Propozitie. Orice spatiu vectorial euclidian este normat. (Norma obtinutase numeste norma euclidiana).�

Observatie. 1) Din primele doua proprietati ale normei rezulta ca oricevector v ∈ V se poate scrie sub forma: v = ||v|| · e , unde ||e|| = 1. Vectorul ecu aceasta proprietate se numeste versor. Deci versorul asociat unui vectornenul v are expresia:

e =1

||v|| · v

2) Fie V spatiu euclidian real si v, w doi vectori nenuli. InegalitateaCauchy-Schwarz: |< v, w >| ≤ ||v|| · ||w|| se poate scrie:

−1 ≤ < v, w >

||v|| · ||w|| ≤ 1

Suntem ın masura acum sa definim unghiul a doi vectori nenuli.

Definitie. Fie V spatiu euclidian real si v, w doi vectori nenuli din V.Numarul θ ∈ [0, π] definit de egalitatea

cos θ =< v, w >

||v|| · ||w||

31

se numeste unghiul dintre v si w.

Definitie. Fie V o multime nevida. O functie d : V × V → R+ caresatisface conditiile:

1) d(u, v) ≥ 0; d(u, v) = 0 ⇔ u = v, ∀u, v ∈ V,2) d(u, v) = d(v, u), ∀u, v ∈ V,3) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v), ∀u, v, w ∈ V

se numeste distanta sau metrica pe V .O multime nevida ınzestratSe observa ca orice spatiu vectorial normat este metric si ca orice spatiu

vectorial euclidian (care este normat) este metric.

Ortogonalitate

Propozitie. Fie E o multime ortogonala dintr-un spatiu eucli-dian Vformata din elemente nenule. Multimea E este liniar independenta. Daca ınplus dimK V = n, atunci orice multime ortogonala care contine n elementenenule este o baza a lui V.�

Fie V un spatiu vectorial euclidian si

B = {e1, e2, .., en} ⊂ V

o baza ın V. B este ortonormata daca si numai daca:

< ei, ej >= δij =

{1, daca i = j0, daca i �= j,

unde simbolul δij se numeste simbolul lui Kronecker.Propozitie. Fie V un spatiu euclidian cu dimK V = n. Daca B =

{e1, e2, .., en} este o baza ortogonala a lui V si v ∈ V cu

v =n∑

i=1

xiei,

atunci avem ca:xi =

< v, ei >

〈ei, ei〉.

32

In particular, daca B este o baza ortonormata, atunci xi =< v, ei > .�Coordonatele xi =< v, ei >, i = 1, n, ale vectorului v se numesc coordo-

nate euclidiene.Definitie. Fie V un spatiu vectorial euclidian. Fie v, w ∈ V, w �= 0.

Vectorul <v,w><w,w>

·w se numeste proiectia vectorului v pe w iar numarul <v,w><w,w>

,se numeste marimea algebrica a proiectiei vectorului v pe w.

Propozitie. Daca V este un spatiu vectorial euclidian complexde dimensiune n si B = {e1, e2, ..., en} este o baza ortonormata, atunci

< v, w >=n∑

j=1

xjyj , unde xj =< v, ej >, yj =< w, ej > . In particular,

||v||2 =n∑

j=1

|xj |2 .�

Propozitie. Fie V un spatiu euclidian si W o submultime nevida a sa.Multimea

W⊥ = {x ∈ V/ < x, y >= 0, ∀y ∈ W}

este subspatiu vectorial al lui V.�Definitie. Fie V un spatiu euclidian si W un subspatiu vectorial al sau,

atunci multimea

W⊥ = {x ∈ V | < x, y >= 0, ∀y ∈ W}

se numeste complementul ortogonal al lui W.

Propozitie. Fie V un spatiu vectorial euclidian de dimensiune n. Existao baza ortonormata {e1, e2, .., en} ın V.�

Procedeu.Pornind de la baza B = {v1, ...., vn}, vom construi mai ıntai o baza for-

mata din elemente ortogonale pe care mai apoi le normam.

Pasul 1. Se ia w1 = v1.

Pasul 2. Se considera w2 = v2 + αw1. Vectorul w2 este nenul deoarece v1

si v2 sunt liniar independenti. Vom determina scalarul α astfel ıncat w2 siw1 sa fie ortogonali si atunci multimea {w1, w2} este liniar independenta.

33

0 =< w2, w1 >=< v2 + αw1, w1 >=< v2, w1 > +α < w1, w1 > .

Deci α = −<v2,w1>〈w1,w1〉 , avem ca w2 = v2 − <v2,w1>

〈w1,w1〉 w1 si folosindu-ne dedefinitiile anterioare avem ca w2 se obtine scazand din v2 proiectia lui v2 pew1.

Pasul 3. Consideram w3 = v3 + α1w1 + α2w2, care este nenul pentru cav3, v2, v1 sunt liniar independenti, iar scalarii α1, α2 se determina astfel ıncatw3 sa fie ortogonal cu w1 si w2.

0 =< w3, w1 >=< v3, w1 > +α1 < w1, w1 > +α2 < w2, w1 > .

Cum < w2, w1 >= 0 rezulta α1 = − <v3,w1><w1,w1>

.

0 =< w3, w2 >=< v3, w2 > +α1 < w1, w2 > +α2 < w2, w2 > .

Cum < w2, w1 >= 0 rezulta α2 = − <v3,w2><w2,w2>

.Deci avem ca:

w3 = v3 −< v3, w1 >

< w1, w1 >w1 −

< v3, w2 >

< w2, w2 >w2,

adica w3 se obtine scazand din v3 proiectiile lui v3 pe w1 si pe w2.Deoarece w1, w2, w3 sunt ortogonali doi cate doi, avem ca multimea

{w1, w2, w3} este liniar independenta.Pasul j. Presupunem ca am determinat vectorii w1, w2, ..., wj−1. Vom

determina vectorul wj de forma:

wj = vj + α1w1 + α2w2 + ... + αj−1wj−1,

unde scalarii α1, α2, ..., αj−1 se determina astfel ıncat wj sa fie ortogonal cuw1, w2, ..., wj−1.

Deci, din conditiile < wj , wi >= 0, ∀i = 1, j − 1 rezulta αi = −<vj ,wi>

<wi,wi>,

∀i = 1, j − 1.Atunci rezulta ca:

wj = vj − <vj ,w1>

<w1,w1>w1 − <vj ,w2>

<w2,w2>w2 − ... − <vj ,wj−1>

<wj−1,wj−1>wj−1.

Dupa n pasi, repetand procedeul anterior, obtinem n vectori ortogonali,deci liniar independenti, deci o baza formata din vectori ortogonali. Pentrua gasi baza ortinormata vom considera vectorii:

ei = wi

||wi|| , i = 1, n.Procedeul descris se numeste procedeul de ortogonalizare GRAM-SCHMIDT.

34

Exemplu. Folosind procedeul Gram-Schmidt sa se gaseasca o bazaortonormata ın R3 pornind de la baza

B = {v1, v2, v3}, v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3, ), v3 = (1, 0, 2).

Pasul1 .w1 = v1 = (1, 1, 1);

Pasul 2. w2 = v2 + αw1.

0 =< w2, w1 >=< v2 + αw1, w1 >=< v2, w1 > +α < w1, w1 >

Dar < v2, w1 >= 1 · 1 + 1 · 2 + 1 · 3 = 1 + 2 + 3 = 6 si

< w1, w1 >= 1 + 1 + 1 = 3, deci α = −63

= −2.

Avem w2 = (1, 2, 3) + (−2,−2,−2) = (−1, 0, 1), deci

w2 = (−1, 0, 1).

Pasul 3. w3 = v3 + α1w1 + α2w2,

0 =< w3, w3 >=< v3, w2 > +α1 < w1, w2 > +α2 < w2, w2 > .

Dar < w1, w2 >= 0 si< w2, w2 >= (−1)2 + 02 + 12 = 2,< v3, w2 >= 1 · (−1) + 0 · 0 + 2 · 1 = 1, de unde rezulta:

α2 = −12.

0 =< w3, w1 >=< v3, w1 > +α1 < w1, w2 > +α2 < w2, w1 >

Dar < w2, w1 >= 0 si < v3, w1 >= 1 · 1 + 0 · 1 + 2 · 1 = 3, deci α1 = −1.

Atunci:w3 = (1, 0, 2)− (1, 1, 1) − 1

2(−1, 0, 1) = (1

2,−1, 1

2)

Deci avem baza ortogonala {w1, w2, w3}

w1 = (1, 1, 1) ,w2 = (−1, 0, 1),w3 = (1

2,−1, 1

2),

||w1|| =√

12 + 12 + 12 =√

3

||w2|| =√

(−1)2 + 02 + 12 =√

2

||w3|| =√

14

+ 1 + 14

=√

62

Consider

e1 = w1

||w1|| =(

1√3, 1√

3, 1√

3

)e2 = w2

||w2|| =(− 1√

2, 0, 1√

2

)e3 = w3

||w3|| =(

1√6, −2√

6, 1√

6

)

35

Deci baza {e1, e2, e3} este baza ortonormata cautata.

EXERCITII PROPUSE

1. a) Sa se gaseasca produsul scalar al vectorilor x = (2, 3,−1, 0) ,y = (−3, 4, 5, 1) .

b) Sa se gaseasca norma vectorului z = (1, 2, 0,−6) .

2. Sa se verifice care din aplicatiile <, ·, > : R2 × R

2 definite prin:a) 〈x, y〉 = x1y1 − 4x1y2 + x2y2,b) 〈x, y〉 = 3x1y1 − x1y2 − x2y1 + 2x2y2,c) 〈x, y〉 = 4x1y1 − x2y1 + 5x2y2,d) 〈x, y〉 = 4x1y1 − x2y1 − x1y2 + 5x2y2 + 1,pentru orice x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ R

2 sunt produse scalare pe R2.

3. Sa se calculeze produsul scalar al vectorilor:a) v1 = (1, 12,−7, 3, 4) , v2 = (2, 1, 3, 7,−5) ∈ R5.b) v1 = (0, 2, 7,−5, 1, 4) , v2 = (2,−4, 3, 9, 8, 4) ∈ R

6.c) v1 = (10,−2, 3, 5, 0, 4) , v2 = (1, 2,−2, 0, 1, 5) ∈ R6.

4. Fie V = R2. Sa se arate ca pentru x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ R2

aplicatia< x, y >= x1y1 − x2y1 − x1y2 + 4x2y2

defineste un produs scalar.

5. Fie V = R2. Sa se arate ca pentru x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ R2

aplicatia< x, y >= 5x1y1 − 4x2y1 − x1y2 + 2x2y2

defineste un produs scalar.

6. Fie V = C2 si x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ C2 . Sa se gaseascace conditii trebuie sa ındeplineasca numerele complexe a, b, c, d pentru caurmatoarea aplicatie sa fie un produs scalar pe V :

< x, y >= ax1y1 + bx2y1 + cx1y2 + dx2y2?

7. Sa se normeze vectorii:v1 = (1,−2, 4, 0, 3) , v2 = (−9, 8, 2, 7, 3) , v3 = (1, 2, 0, 1, 3) .

36

8. Folosind procedeul Gram-Schmidt sa) B = {v1, v2, v3}, v1 = (1, 0, 1), v2 = (2, 1,−3), v3 = (−1, 1, 0).b) B = {v1, v2, v3}, v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 5,−1), v3 = (2, 1,−1).

9. Sa se determine vectorul normat v ∈ R4, ortogonal vectorilor v1 =(1, 0, 1, 1) , v2 = (−1, 2, 3, 1) , v3 = (1, 0, 1, 0) .

FORME BILINIARE. FORME PATRATICE

Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K.

Definitie. O functie f : V × V → K se numeste biliniara daca este ofunctie de doua variabile, liniara ın raport cu fiecare variabila, adica:

i) f (ax + by, z) = af (x, z) + bf (y, z)

ii) f (x, ay + bz) = af (x, y) + bf (x, z) , ∀x, y, z ∈ V, ∀a, b ∈ K.

Exemple. 1) Fie V un spatiu vectorial real, atunci produsul scalar definitpe acest spatiu este o forma biliniara.

2) Produsul scalar definit pe un spatiu vectorial complex nu este formabiliniara.

Observatie. 5. Fie f1 : V × V → K si f2 : V × V → K doua formebiliniare. Vom defini adunarea formelor biliniare si ınmultirea lor cu scalariexact ca la functiile obisnuite:

(f1 + f2) (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y)

(αf1) (x, y) = αf1 (x, y) , ∀α ∈ K, x, y ∈ V.

Fie B (V, K) = {f : V × V → K| f forma biliniara}.Observatie. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n peste corpul

comutativ K si B = {e1, e2, ..., en} baza ın acest spatiu. Fie x, y ∈ V ,

x =n∑

i=1

xiei, y =n∑

i=1

yiei si fie f : V × V → K o forma biliniara. Atunci vom

avea f (x, y) = f

(n∑

i=1

xiei,n∑

j=1

yjej

)=

n∑i=1

n∑j=1

xiyjf (ei, ej) .

37

De aici rezulta ca daca se cunosc valorile f (ei, ej) , cu i, j = 1, n, pentruvectorii bazei B = {e1, e2, ..., en}, forma biliniara este unic determinata.

Notam aij = f (ei, ej) ∈ K si atunci putem scrie ca f (x, y) =n∑

i=1

n∑j=1

aijxiyj

ceea ce reprezinta expresia analitica a formei biliniare fata de baza con-siderata.

Matricea A = (aij)i,j=1,n ∈ Mn(K) se numeste matricea formei biliniaref ın raport cu baza {e1, e2, ..., en} iar daca notam cu X = (xj)

j=1,n∈

∈ Mn×1(K) si Y = (yj)j=1,n

∈ Mn×1(K) coordonatele vectorilor x si y

ın baza {e1, e2, .., en}, putem scrie expresia analitica a formei biliniare simatriceal astfel:

f (x, y) = X tAY .

Exemplu. Fie f : R2 × R

2 → R.

f (x, y) = 2x1y1 − x1y2 + 3x2y1 + 4x2y2 si fie e1 = (1, 0) , e2 = (0, 1) ,baza canonica ın R2. Atunci matricea atasata acestei forme biliniare va fi:

A =

(a11 a12

a21 a22

), unde:

a11 = f (e1, e1) = 2a12 = f (e1, e2) = −1a21 = f (e2, e1) = 3a22 = f (e2, e2) = 4.

Deci A =

(2 − 13 4

).

Definitie. Fie f : V × V → K forma biliniara. Ea se numeste simetricadaca f(x, y) = f(y, x), pentru orice x, y ∈ V. Daca f(x, y) = −f(y, x), atuncif se numeste antisimetrica.

Propozitie. Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K, cudimK V = n. Aplicatia care asociaza fiecarei forme biliniare f : V ×V → Kmatricea ei ın raport cu o baza data ın spatiul V este un izomorfism ıntrespatiul vectorial B (V, K) si spatiul vectorial Mn(K).�

Observatie Daca matricea A este nesingulara (singulara), atunci formabiliniara f se numeste nedegenerata (degenerata).

Propozitie. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n si f : V × V →→ K forma biliniara. Atunci f este simetrica (antisimetrica) daca si nu-mai daca matricea formei biliniare f ıntr-o baza a spatiului vectorial V estesimetrica (antisimetrica).�

38

Propozitie. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n si L ma-tricea de trecere de la baza {e1, e2, ..., en} la baza {f1, f2, ...fn}, iarA = (aij)i,j=1,n , B = (bij)i,j=1,n matricele formei biliniare f : V × V → K

fata de cele doua baze. Atunci B = tLAL.�Observatie. La schimbarea bazei, rangul formei f nu se modifica. Intr-

adevar, daca A si B sunt matricile formei biliniare f ın raport cu doua bazediferite din V , iar L este matricea de trecere de la o baza la alta avem relatiaB = LtAL. Matricea L fiind nesingulara vom avea c a A si B au acelasi rang.

Propozitie. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n si f : V → K oforma biliniara simetrica. Atunci rang f = n − dim Ker f.�

Forme patraticeFie K un corp comutativ, V spatiu vectorial peste corpul K si

f : V × V → K o forma biliniara simetrica.

Definitie. Functia g : V → K, data de relatia g(x) = f(x, x) se numesteforma patratica asociata formei biliniare simetrice f (sau mai spunem ca feste forma polara sau forma dedublata a lui g).

Observatie. Fie x, y ∈ V, atunci g(x + y) = f(x + y, x + y) == f(x, x) + f(x, y) + f(y, x) + f(y, y) = f(x, x) + f(y, y) + 2f(x, y) pentruca f este forma biliniara simetrica. Rezulta:

f(x, y) = 12[g(x + y) − g(x) − g(y)] .

Daca se stie forma patratica g, atunci forma biliniara simetrica f esteperfect determinata.

Exemple. 1) Consider V = Rn si f : Rn × Rn → R, f(x, y) =< x, y >(produsul scalar). f este forma biliniara simetrica si forma patratica asociataeste g : Rn → Rn, g(x) = f(x, x) =< x, x >= ||x||2. Deci forma patraticacorespunzatoare produsului scalar real este patratul normei euclidiene.

2) Fie f : R2 × R2 → R f(x, y) = 2x1y1 + 3x1y2 + 3x2y1 + x2y2 o formabiliniara simetrica, atunci forma patratica asociata ei este: g : R2 → R,g(x) = f(x, x) = 2x1x1 +3x1x2 +3x2x1 +x2x2, deci g(x) = 2x2

1 +6x1x2 +x22.

Observatie. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n,{e1, e2, ..., en} o baza a sa si f : V ×V → K o forma biliniara simetrica. Daca

39

x ∈ V, atunci avem ca x =n∑

i=1

xiei si deci forma patratica asociata lui f va

fi:

g(x) = f(x, x) =

n∑i=1

n∑j=1

aijxj = X tAX,

undeaij = f (ei, ej) = f (ej , ei) cu i, j = 1, n, iar X = (xj)j=1,n ∈ Mn×1(K)

reprezinta coordonatele vectorului x ın baza {e1, e2, ..., en}. Putem deduce deaici ca matricea si rangul formei patratice g coincid cu matricea si rangulformei biliniare simetrice asociate lui g.

Definitie. Fie f : V × V → K o forma biliniara simetrica si g : V → Kforma patratica asociata. Spunem ca vectorii x, y ∈ V sunt ortogonali ınraport cu f (sau cu g) daca f(x, y) = 0.

Definitie. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n si f : V × V → Ko forma biliniara simetrica. O baza {e1, e2, ..., en} din V se numeste bazaortogonala ın raport cu forma f daca f (ei, ej) = 0 pentru orice i �= j cui, j = 1, 2, ..., n.

Observatie. In raport cu o baza ortogonala matricea formei biliniaresimetrice f este o matrice de forma:

A =

⎛⎜⎜⎝

a11 0 0 ... 00 a22 0 ... 0−−−−−−−−−0 0 0 ... ann

⎞⎟⎟⎠ ,

adica o matrice diagonala si deci forma biliniara simetrica va avea expresia:

f(x, y) =n∑

i=1

aiixiyi,

iar forma patratica expresia

g(x) =n∑

i=1

aiix2i .

Aceste relatii reprezinta formele canonice (sau expresiile canonice) cores-punzatoare formei biliniare simetrice f si formei patratice g, spunand astfelca ele au fost reduse la expresia canonica.

40

Reducerea formelor patratice la forma canonica

In continuare vom da diferite metode de aducere la expresia canonicaa formelor patratice. Urmatoarea propozitie ne da o metoda generala deconstructie a unei baze fata de care o forma patratica sa poata fi redusa laexpresia canonica.

Propozitie. (Metoda lui Gauss). Fie V un spatiu vectorial complex dedimensiune n si g : V → C o forma patratica. Atunci putem construi o bazaortogonala ın raport cu g, fata de care forma patratica sa poata fi redusa laexpresia canonica.�

Procedeu.1) Fie B = {h1, h2, ..., hn} baza ın V si A = (aij)i,j=1,n matricea asociata

formei patratice g ın raport cu aceasta baza, deci

g(x) =n∑

i=1

n∑j=1

aijxixj.

2) Daca g nu este identic nula si aii = 0 pentru i = 1, n, vom gasi celputin un element aij �= 0, pentru i �= j. Facand transformarea de coordonate:⎧⎨⎩

xi = x′i + x′

j

xj = x′i − x′

j

xk = x′k

cu k �= i, j, expresia formei patratice devine

g(x) =n∑

i=1

n∑j=1

a′ijx

′ix

′j.

Deoarece xixj = x′2i −x′2

j rezulta ca cel putin unul din elementele a′ii,

i = 1, n este nenul.3) Fie B′ = {h′

1, h′2, ..., h

′n} baza din V fata de care coordonatele lui x

sunt x′i cu i = 1, n. Matricea de trecere la aceasta baza este:

C ′ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 ...i

0 ...j

0 ... 00 1 0 ... 0 ... 0 ... 0−−−−−−−−−−−−−−−0 0 0 ... 1 ... 1 ... 0−−−−−−−−−−−−−−−0 0 0 ... 1 ... −1 ... 0−−−−−−−−−−−−−−−0 0 0 ... 0 ... 0 ... 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

j

i

41

Putem presupune pentru usurarea calculelor ca a′11 �= 0 si atunci vom

avea

g(x) = a′11x

′21 + 2

n∑k=2

a′1kx

′1x

′k +

n∑i,j �=1

a′ijx

′ix

′j .

4) Dam factor comun pe x′1, adaugam termenii necesari pentru a obtine

patratul expresiei a′11x1 + a′

12x′2 + ... + a′

1nx′n si atunci expresia lui g(x) va fi:

g(x) =1

a′11

(a′11x

′1 + a′

12x′2 + ... + a′

1nx′n)

2+

n∑i,j=2

a′′ijx

′ix

′j

unden∑

i,j=2

a′′ijx

′ix

′j nu contine pe x′

1.

5) Fie B′′ = {h′′1, h

′′2, ..., h

′′n} baza ın V fata de care coordonatele vectorului

x sunt:

{x′′

1 = a′11x

′1 + a′

12x′2 + ... + a′

1nx′n

x′′j = x′

j cu j = 2, n.

Atunci ın raport cu aceasta baza forma patratica g are expresia:

g(x) =1

a′11

x′′21 +

n∑i,j=2

a′′ijx

′′i x

′′j .

Notand p(x) =n∑

i,j=2

a′′ijx

′′i x

′′j obtinem o form apatratica ın n − 1 variabile

si repetam procedeul.Matricea de trecere de la baza B′ la baza B′′ este:

C ′′ =

⎛⎜⎜⎝

1a′11

−a′12

a′11

.... −a′1n

a′11

0 1 .... 0−−−−−−−−−−−

0 0 .... 1

⎞⎟⎟⎠

Deci dupa cel mult n − 1 pasi obtinem o baza {e1, e2, ..., en} ın Vortogonala fata de g ın raport cu care forma patratica sa se reduca la expresiacanonica.

Propozitie. (Metoda Jacobi). Fie V un spatiu vectorial de dimensiunen , g : V → R o forma patratica si A = (aij)i,j=1,n matricea ei ıntr-o bazadata {e1, e2, ..., en} din V. Daca determinantii:

42

∆1 = a11, ∆2 =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , ..., ∆n = det A sunt nenuli, atunci exista o baza

{h1, h2, ..., hn} ın V fata de care expresia formei patratice g are forma:

g(x) =n∑

i=1

∆i−1

∆ix′2

i , unde x′i, i = 1, n sunt coordonatele lui x ın aceasta baza,

iar ∆0 = 1.�Procedeu.1) Se considera vectorii {h1, h2, .., hn} de forma:

h1 = b11e1, h2 = b21e1 + b22e2, ...., hn = bn1e1 + bn2e2 + ...+ bnnen, astfel ıncatsa avem: f (hi, ej) = 0 cu 1 ≤ j < i ≤ n, iar f (hi, ei) = 1 unde f este formabiliniara simetrica asociata formei patratice g. Deci vom avea ca:

f(hi, e1) = bi1a11 + bi2a12 + ... + biia1i = 0f(hi, e2) = bi1a21 + bi2a22 + ... + biia2i = 0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−f(hi, ei−1) = bi1ai−1,1 + bi2ai−1,2 + ... + biiai−1,i = 0f(hi, ei) = bi1ai1 + bi2ai2 + ... + biiaii = 1.

Determinantul acestui sistem este:

∆i =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 .... a1i

a21 a22 .... a2i

−−−−−−−−ai1 ai2 ... aii

∣∣∣∣∣∣∣∣care din ipoteza este diferit de zero si conform

regulei lui Cramer admite solutie unica, de exemplu:

bii =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 ... a1i−1 ... 0

−−−−−−−−−−ai−11 ... ai−1 i−1 ... 0ai1 ... aii−1 ... 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∆i

=∆i−1

∆i.

Deci baza {h1, h2, ..., hn} este perfect determinata.2) Fie T = (tij)i,j=1,n matricea formei patratice g ın raport cu baza

{h1, h2, .., hn} unde tij = f (hi, hj) = f (hi, bjie1 + ... + bjjej) =

= bj1f (hi, e1) + bj2f (hi, e2) + ... + bjjf (hi, ej) .

Cum f (hi, ej) = 0 cu j < i rezulta ca tij = 0 pentru j < i. Cum f esteforma biliniara simetrica rezulta ca tij = 0 si pentru j > i.

Daca j = i, atunci:

43

tii = f (hi, hi) = f (hi, bi1e1 + ... + biiei) = bi1f (hi, e1) + ...

bi i−1f (hi, ei−1) + biif (hi, ei) = bii =∆i−1

∆i

.

In baza {h1, h2, ..., hn}, forma patratica are expresia:

g(x) =

n∑i,j=1

tijx′ix

′j =

n∑i=1

∆i−1

∆ix′2

i , pentru ca tij = 0 ∀i �= j.

Propozitie. (Metoda valorilor proprii).Fie V un spatiu euclidian real de dimensiune n si fie g : V → R o forma

patratica. Atunci exista o baza {h1, h2, ..., hn} a lui V ın raport cu care g are

forma canonica g(x) =n∑

i=1

λix′2i , unde λ1, λ2, ..., λn sunt valorile proprii ale

matricei formei (valorile proprii nu sunt neaparat distincte, fiecare aparandscrisa de atatea ori cat este ordinul sau de multiplicitate), iar x′

i, i = 1, nsunt coordonatele lui x ın raport cu baza {h1, h2, ..., hn}.�

EXERCITII REZOLVATE

Exercitiul 1. Fie f : R2×R2 → R f(x, y) = 3x1y1+5x1y2+4x2y1+2x2y2.Aratam ca f este o forma biliniara:

f (ax + by, z) = 3 (ax1 + by1) z1 + 5 (ax1 + by1) z2 + 4 (ax2 + by2) z1+

+2 (ax2 + by2) z2 = 3ax1z1 + 3by1z1 + 5ax1z2 + 5by1z2 + 4ax2z1+

+4by2z1 + 2ax2z2 + 2by2z2 = 2a (3x1z1 + 5x1z2 + 4x2z1 + 2x2z2) +

+b (3y1z1 + y1z2 + y2z1 + y2z2) = af (x1, z) + bf (y1, z) .

Analog se arata f (x, ay + bz) = af (x, y) + bf (x, z) ∀x, y, z ∈ R2,

a, b ∈ R.

Exercitiul 2. Fie g : R3 → R, g(x) = x21 − x2

2 + x23 + 4x1x2 − 6x1x3+

+8x2x3, forma patratica si {e1, e2, e3} baza canonica ın R3. Sa determinam

44

matricea formei patratice g ın raport cu aceasta baza. Pentru aceasta vomscrie expresia formei astfel:

g(x) = x21 − x2

2 + x23 + 2x1x2 + 2x2x1 − 3x1x3 − 3x3x1 + 4x2x3 + 4x3x2.

Fie f forma biliniara asociata formei patratice g. Avem:

a11 = f (e1, e1) = 1a21 = f (e1, e2) = 2a31 = f (e2, e2) = −3

a12 = f (e1, e2) = 2a22 = f (e2, e3) = −1a32 = f (e3, e2) = 4

a13 = f (e3, e3) = −3a23 = f (e3, e1) = 4a33 = f (e1, e3) = 1

.

Deci matricea este A =

⎛⎝ 1 2 − 3

2 − 1 4−3 4 1

⎞⎠ .

Exercitiul 3. Fie forma patratica

g : R3 → R, g(x) = 2x1x2 + x1x3 − 2x2x3.

Matricea formei ın baza canonica este:

A =

⎛⎝ 0 1 1

2

1 0 − 112− 1 0

⎞⎠ , deci a11 = a22 = a33 = 0.

Facem schimbarea de coordonate:x1 = x′

1 + x′2

x2 = x′1 − x′

2

x3 = x′3

si obtinem:

g(x) = 2(x′2

1 − x′22

)+ (x′

1 + x′2)x′

3 − 2 (x′1 − x′

2)x′3 =

= 2x′21 − 2x′2

2 + x′1x

′3 + x′

2x′3 − 2x′

1x′3 + 2x′

2x′3 ⇒

⇒ g(x) = 2x′21 − 2x′2

2 − x′1x

′3 + 3x′

2x′3.

Matricea de trecere este: C ′ =

⎛⎝ 1 1 0

1 −1 00 0 1

⎞⎠ si atunci noua baza este:

⎧⎨⎩

e′1 = e1 + e2

e′2 = e1 − e2 .e′3 = e3

Grupam termenii care contin pe x1 si formam un patrat perfect:

g(x) =(2x2

1 − x′1x

′3

)− 2x′2

2 + 3x′2x

′3 =

45

=

(√2x′

1 −1

2√

2x′

3

)2

− 1

8x′2

3 − 2x′2 + 3x′

2x′3.

Notez x′′1 =

√2x′

1 − 12√

2x′

3, x′′2 = x′

2, x′′3 = x′

3.Matricea de trecere va fi:

C ′′ =

⎛⎝ 1√

20 0

0 1 014

0 1

⎞⎠ , iar forma patratica g va avea expresia:

g(x) = x′′21 − 1

8x′′2

3 − 2x′′22 + 3x′′

2x′′3 ın baza

⎧⎨⎩

e′′1 = 1√2e′1

e′′2 = e′2e′′3 = 1

4e′1 + e′3.

Grupam apoi termenii care contin pe x′′2 si formam un patrat perfect:

g(x) = x′′21 −

(2x′′2

2 − 3x′′2x

′′3

)− 1

8x′′2

3 =

= x′′21 −

(√2x′′2

2 − 3

2√

2x′′

3

)2

+9

8x′′2

3 − 1

8x′′2

3 =

= x′′21 +

(√2x′′

2 −3

2√

2x′′

3

)2

+ x′′23 .

Notez:

⎧⎨⎩

x′′′1 = x′′

1

x′′′2 =

√2x′′

2 − 32√

2x′′

3

x′′′3 = x′′

3

, iar forma patratica devine:

g(x) = x′′′21 + x′′′2

2 + x′′′23 .

Matricea de trecere la noua baza este:

C ′′′ =

⎛⎝ 1 0 0

0 1√2

0

0 34

1

⎞⎠ , iar baza va fi

⎧⎨⎩

e′′′1 = e′′1e′′′2 = 1√

2e′′2

e′′′3 = 34e′′2 + e′′3,

care este si baza fata de care forma patratica g are expresie canonica.

Exercitiul 4. Fie g : R3 → R, g(x) = x21+x2

2+4x23+x1x2+2x1x3−x2x3.

Matricea ei ın baza canonica este:

46

A =

⎛⎝ 1 1

21

12

1 −12

1 −12

4

⎞⎠ . Cum aii �= 0, i = 1, 3, pentru a aduce forma g

la expresia canonica, nu mai este nevoie sa facem schimbare de coordonatesi vom forma direct patratele perfecte. Grupam termenii ce contin pe x1 :

g(x) =(x2

1 + x1x2 + 2x1x3

)+ x2

2 + 4x23 − x2x3 ⇒

g(x) =

(x1 +

1

2x2 + x3

)2

− 1

4x2

2 −1

4x2

3 − x2x3 + x22 + 4x2

3 − x2x3

g(x) =

(x1 +

1

2x2 + x3

)2

+3

4x2

2 +15

4x2

3 − 2x2x3.

Grupam apoi termenii ce contin pe x2 :

g(x) =

(x1 +

1

2x2 + x3

)2

+

(3

4x2

2 − 2x2x3

)+

15

4x2

3 ⇒

g(x) =

(x1 +

1

2x2 + x3

)2

+

(√3

2x2 −

2√3x3

)2

− 4

3x2

3 +15

4x2

3 ⇒

g(x) =

(x1 +

1

2x2 + x3

)2

+

(√3

2x2 −

2√3x3

)2

+29

12x2

3.

Notez

⎧⎨⎩

x′1 = x1 + 1

2x2 + x3

x′2 =

√3

2x2 − 2√

3x3

x′3 = x3

.

Atunci forma patratica g va avea expresia:

g(x) = x′21 + x′2

2 + 2912

x′23 .

Matricea de trecere la noua baza va fi:

C =

⎛⎝ 1 0 0

− 1√3

2√3

0

−53

43

1

⎞⎠ , iar noua baza va fi

⎧⎨⎩

e′1 = e1

e′2 = − 1√3e1 + 2√

3e2

e′3 = −53e1 + 4

3e2 + e3.

Exercitiul 5. Fie forma patratica g : R3 → R,

47

g(x) = x21 + 2x2

2 + 6x23 + 2x1x2 + 4x2x3.

Matricea acesteia ın baza canonica este:

A =

⎛⎝ 1 1 0

1 2 20 2 6

⎞⎠ .

∆0 = 1, ∆1 = 1 ∆2 =

∣∣∣∣ 1 11 2

∣∣∣∣ = 1 �= 0, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣1 1 01 2 20 2 6

∣∣∣∣∣∣ = 2 �= 0.

Atunci expresia canonica va fi:

g(x) = x21 + x2

2 + 12x2

3, iar baza va fi:

h1 = b11e1

h2 = b21e1 + b22e2

h3 = b31e1 + b32e2 + b33e3 cu b11 = 1 = ∆0

∆1⇒ h1 = e1.⎧⎨

⎩f(h2, e1) = b21 + b22 = 0

f (h2, e2) = b21 + 2b22 = 1 ⇒{

b22 = 1 = ∆1

∆2

b21 = −1

h2 = −e1 + e2

f(h3, e1) = b31 + b32 = 0f(h3, e2) = b31 + 2b32 + 2b33 = 0f(h3, e3) = 2b32 + 6b33 = 1

⇒

⎧⎨⎩

b33 = ∆2

∆3= 1

2

2b32 + 3 = 1 ⇒b32 = −1 ⇒ b31 = 1

deci h3 = e1 − e2 + 12e3.

Exercitiul 6. Fie forma patratica g : R3 → R g(x) = x22 − x2

3 + 4x1x2−

−4x1x3. Matricea formei ın baza canonica este: A =

⎛⎝ 0 2 −2

2 1 0−2 0 −1

⎞⎠ .

Ecuatia caracteristica este det (A − λI3) =

∣∣∣∣∣∣−λ 2 −22 1 − λ 0

−2 0 −1 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

Rezulta ca λ (−λ2 + 9) = 0 cu

⎧⎨⎩

λ1 = 0λ2 = 3λ3 = −3

solutii.

Pentru λ1 = 0 obtinem vectorul propriu µ1 = (1,−2,−2) pe care-lnormam si rezulta ca µ1 =

(13,−2

3,−2

3

). Pentru λ2 = −3 rezulta µ2 =

48

= (−2,−2, 1) iar normat va fi: µ′2 =

(−2

3,−2

3, 1

3

). Pentru λ3 = 3 rezulta

µ3 = (−2, 1,−2) iar normat va fi µ′3 =

(−2

3, 1

3,−2

3

).

Fie C =

⎛⎝ 1

3−2

3−2

3

−23

−23

13

−23

13

− 23

⎞⎠ .

Schimbarea de coordonate va fi:

x1 =x′

1 − 2x′2 − 2x′

3

3

x2 =−2x′

1 − 2x′2 + x′

3

3

x3 =−2x′

1 + x′2 − 2x′

3

3.

Forma canonica a lui g va fi: g(x′) = −3x′22 + 3x′2

3 .

EXERCITII PROPUSE

1. Sa se precizeze care din urmatoarele functii sunt forme biliniare si ıncaz afirmativ sa se scrie matricea formei biliniare ın baza canonica:

a) f : R3 × R

3 → R, f (x, y) = x1y2 − x2y1 + x1y3 − x3y1 + 7;b) f : R4 ×R4 → R, f (x, y) = 2x1y1 + x2y1 + x2y2 − 3x3y3 + x4y1 + x4y4;c) f : R4 × R4 → R, f (x, y) = 4x1y1 − 2x1y2 + x2y3 + x2y4 + 2x3y1+

+x3y3 − 2x4y1 + x4y2.

2. Fie f : R3 × R3 → R o functie data de:

f (x, y) = 5x1y1 − x1y2 − x2y1 + 5x2y2 − x2y3 − x3y2 + 5x3y3 − x3y1 − x1y3

a) Sa se arate ca f este o forma biliniara;b) Sa se scrie matricea lui f ın baza canonica;c) Sa se determine forma patratica g asociata lui f si sa se stabileasca

expresia sa canonica.

3. Sa se aduca la forma canonica, prin metoda lui Gauss, urmatoareleforme patratice, precizandu-se indicele pozitiv si signatura:

49

a) Q (x) = x21 + 2x2

2 + 5x23 + 2x1x2 + 4x2x3;

b) Q (x) = x21 + x1x2 + x3x4;

c) Q (x) = x21 + 4x2

2 + x23 − 4x1x2 + 2x1x3.

4. Folosind metoda lui Gauss, sa se reduca la forma canonica urmatoareleforme patratice, precizand indicele pozitiv, indicele negativ, signatura sinatura acestora:

a) f (x) = x21 + x2

2 − x23 + 2x1x2 + x2x3 + 2x3x1;

b) f (x) = x21 + x2

2 − 3x23 + x2

4 − x1x2 + 3x2x3 + 5x3x4;c) f (x) = 9x2

1 + 6x22 + 6x2

3 + 12x1x2 − 10x1x3 − 2x2x3;d) f (x) = x2

1 + x22 + x2

3 − 2x24 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 + 2x2x3 − 4x2x4;

e) f (x) = x21 + x2

2 + x23 + x2

4 + x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4;f) f (x) = x2

1 + 2x22 + 5x2

3 + 2x1x2 + 4x2x3;g) f (x) = x2

1 + 4x22 + x2

3 − 4x1x2 + 2x1x3.

5. Sa se aduca la forma canonica, folosind metoda lui Jacobi, urmatoareleforme patratice:

a) Q (x) = x21 + 3x2

2 − 3x24 − 4x1x3 + 2x1x3 − 2x1x4 − 6x2x3 − 2x3x4.

b) Q (x) = x1x2 + x2x3 + x3x1.

6. Sa se aduca la forma canonica, prin metoda valorilor proprii, urmatoareleforme patratice, precizandu-se indicele pozitiv si signatura:

a) Q (x) = x21 + x2

2 + 5x23 − 6x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3;

b) Q (x) = 5x21 + 6x2

2 + 7x23 − 4x1x2 + 4 x2x3.

c) Q (x) = 4x1x2 − x23.

Capitolul 5.Geometrie analitica

Definitia 1: Fie V un spatiu vectorial euclidian peste corpul comutativalnumerelor reale R. O multime E = {A, B, C, ...}se numeste spatiu punctual

euclidian daca exista o functie f : E × E → V astfel ıncat :

i) f(A, B) + f(B, C) = f(A, C), ∀A, B, C ∈ E

ii) Functiile fA : E →V, fA(B) = f(A, B) sunt bijective.

V se numeste spatiu director, elementele lui V se noteaza cu a, b, c, ...,elementele lui E se numesc puncte iar f se numeste functie de structuraafina.Daca dimensiunea lui V este n, atunci E se mai noteaza En

50

Definitia 2: O pereche ordonata (A, B) de puncte din E se numeste segment

orientat sau vector legat si se noteaza−→AB. Valoarea f(A, B) se numeste

partea vectoriala a lui−→AB.

Definitia 3: Doi vectori legati−→AB si

−−→CD se numesc egali daca f(A, B) =

= f(C, D) si A = C, iar daca A �= C si f(A, B) = f(C, D) vectorii se numescparaleli.

Fie acum E3 spatiul punctual tridimensional si−→AB un segment orientat.

A se numeste origine, B extremitate. Dreapta determinata de A si B se

numeste dreapta suport a lui−→AB si se noteaza cu AB. Daca A = B obtinem

segmentul orientat nul, a carui dreapta suport este nedeterminata.Doua segmente orientate nenule au aceesi directie daca dreptele lor suport

sunt paralele sau coincid.O dreapta ımpreuna cu o alegere a unui sens de parcurs se numeste

dreapta orientata.

Un segment orientat nenul−→AB determina unic dreapta AB si un sens de

parcurs pe aceasta dreapta si anume sensul de la A la B.Doua segmente orientate nenule situate pe aceeasi dreapta (coliniare) au

acelasi sens daca sensurile, determinate pe dreapta suport comuna, coincid.

Lungimea (norma sau modulul) unui segment orientat−→AB este distanta

de la punctul A la punctul B si se noteaza ‖−→AB‖.Doua segmente orientate au aceeasi lungime daca segmentele neorientate

corespunzatoare sunt congruente.

Definitia 4: Spunem ca segmentele orientate nenule−→AB si

−−→CD sunt

echipotente si scriem−→AB � −−→

CD daca si numai daca au aceeasi directie, senssi aceeasi lungime.

Relatia de echipotenta pentru segmente orientate nenule este o relatie deechivalenta. Clasele de echivalenta relativ la relatia de echipotenta se mainumesc si vectori liberi si se noteaza AB. Vectorul liber care are lungimeazero se numeste vector nul si se noteaza cu o

Multimea V a vectorilor liberi poate fi structurata ca spatiu vectorialpeste corpul R, definind adunarea vectorilor si ınmultirea vectorilor cu unscalar astfel:

Fie a, b doi vectori liberi si−→OA ∈ a (

−→OA este un reprezentant al vectorului

liber a) si−→AB ∈ b. Vectorul liber c reprezentat de segmentul orientat

−−→OB se

numeste suma vectorilor a si b si se noteaza c = a + b.

51

Vectorii a, b, c sunt coplanari iar c nu depinde de alegerea reprezentantilor.Adunarea vectorilor liberi este asociativa, comutativa, are element neutru

vectorul nul 0 si orice vector a admite un simetric −a care are aceeasi directiesi lungime ca a, dar sens opus.

Fie λ ∈ R∗ si v ∈ V . Definim vectorul λv ca fiind acel vector liber dinV care are aceeasi directie ca si v, acelasi sens daca λ > 0 sau sens contrardaca λ < 0 si lungimea egala cu | λ | ınmultit cu lungimea vectorului v.

Proprietati:

1) ∀v ∈ V, 1 · v = v

2) ∀λ, µ ∈ R, ∀v ∈ V, λ(µv) = (λµ)v

3) ∀λ, µ ∈ R, (λ + µ)v = λv + µv, ∀v ∈ V

4) λ(u + v) = λu + λv, ∀λ ∈ R, v, u ∈ V

Vom nota cu V3 spatiul vectorilor liberi de dimensiune 3.Fie v1, v2 ∈ V3, v1 �= 0, v2 �= 0. Notam cu ρ ∈ [0, π) unghiul format

de dreptele suport ale vectorilor v1 si v2 (se mai numeste si unghiul dintrevectorii v1 si v2). Atunci functia 〈, 〉 : V3 × V3 → R definita prin

〈v1, v2〉 =

{‖v1‖ · ‖v2‖ cos ρ pentru v1 �= 0, v2 �= 0

0 , pentru v1 = 0 sau(si) v2 = 0.

se numeste produs scalar pe V3.

Vectorul a × b =

{‖a‖ · ‖b‖ sin ρe, pentru a, b necoliniari,

0,pentru a, b coliniari

unde e este un versor (vector de lungime 1) perpendicular pe v1 si v2 sicu sensul dat de regula mainii drepte se numeste produsul vectorial dintre asi b.

Proprietati:

1) a × b = − b× a

2) t(a × b) = (ta) × b = a × (tb), ∀t ∈ R

3) a(b + c) = a × b + a × c

4) a × 0 = 0, a × a = 0

5) ‖a × b‖2 = ‖a‖2‖b‖2 −⟨a, b⟩2

(identitatea lui Lagrange)

52

Fie{i, j, k

}o baza ortonormata ın V3 si vectorii a, b ∈ V3, a = r1i + s1j+

+t1k, b = r2i + s2j + t2k. Avem

× i j k

i 0 k −j

j −k 0 i

k j −i 0

ceea ce duce la a× b = (s1t2 − s2t1)i + (r2t1 − r1t2)j + (r1s2 − r2s1)k sau

simbolic a × b =

∣∣∣∣∣∣i j kr1 s1 t1r1 s2 t2

∣∣∣∣∣∣Fie a, b, c ∈ V3. Numarul

⟨a, b × c

⟩se numeste produsul mixt al vectorilor

a, b, c.

Proprietati:

1)⟨a, b × c

⟩=⟨c, a × b

⟩=⟨b, c × a

⟩2)⟨a, b × c

⟩= −

⟨a, c × b

⟩3)⟨ta, b × c

⟩=⟨a, tb × c

⟩=⟨a, b × tc

⟩4)⟨a1 + a2, b × c

⟩=⟨a1, b × c

⟩+⟨a2, b × c

⟩5)⟨a × b, c × d

⟩=

∣∣∣∣ 〈a, c〉⟨a, d⟩⟨

b, c⟩ ⟨

b, d⟩ ∣∣∣∣ (identitatea lui Lagrange)

6)⟨a, b × c

⟩= 0 ⇔

⎧⎨⎩

i) Cel putin unul din vectorii a, b, c este nul;ii) Doi dintre vectori sunt coliniari;

iii) Vectorii a,b,c sunt coplanari.

Observatie:

i) ‖a × b‖ reprezinta aria paralelogramului determinat de cei doi vectori;

ii)∣∣⟨a, b × c

⟩∣∣ reprexinta volumul paralelipipedului determinat de cei treivectori;

iii) Doi vectori nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca produsul lorscalar este nul. Doi vectori nenuli sunt coliniari daca si numai daca produsullor vectorial este nul. Trei vectori nenuli sunt coplanari daca si numai dacaprodusul lor mixt este nul.

53

Dreapta ın plan

1) Ecuatia dreptei determinata de doua puncte distincte:M1(x1, y1), M2(x2, y2) :

(1)x − x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

, care poate fi pusa sub forma de determinant

astfel:

(2)

∣∣∣∣∣∣x y 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣ = 0. De aici obtinem si conditia ca trei puncte

Mi(xi, yi), i = 1, 3 sa fie coliniare:

∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

2) Ecuatia dreptei determinata de un punct M(x0, y0) si de panta m:

(2) y − y0 = m(x − xo)

3) Ecuatia carteziana generala a unei drepte:

ax + by + c = 0 cu a2 + b2 > 0

4) Intersectia a doua drepte d1 : a1x+b1y+c1 = 0 , d2 : a2x+b2y+c2 = 0este:

i) o dreapta ⇔ a1

a2

=b1

b2

=c1

c2

ii) un punct M(x0, y0) ⇔a1

a2

�= b1

b2

iii) multimea vida (d1‖ d2) ⇔a1

a2=

b1

b2�= c1

c2

Conditia ca trei drepte di : aix + biy + ci = 0 sa fie concurente este ca:

rang

⎛⎝ a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

⎞⎠ = 2.

54

4) Fie h : ax + by + c = 0 si M0(x0, y0) un punct exterior dreptei. Atunci

distanta de la punctul M0 la h este d(M0, h) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

Daca M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) sunt puncte distincte, notam cu

∆ =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣, atunci d(M1, M2M3) =|∆|√

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2si deci

aria triunghiului M1M2M3 este1

2|∆| .

Dreapta ın spatiu

Fie d o dreapta ce trece prin punctul M0(x0, y0, z0) si are ca vector directorvectorul a(l, m, n)

i) Ecuatiile parametrice ale dreptei d sunt:⎧⎪⎨⎪⎩

x = x0 + tly = y0 + tm, t ∈ R,z = z0 + tn

care sunt echivalente cu ecuatiile carteziene ale dreptei:

x − x0

l=

y − y0

m=

z − z0

n, cu conventia ca daca numitorul este nul,

atunci si numaratorul este nul.

ii) Dreapta determinata de doua puncte distincte M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) :

x − x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

=z − z1

z2 − z1

Planul

55

1) Ecuatia planului ce trece prin punctul M0(x0, y0, z0) si are ca vectornormal vectorul n (a, b, c) este:

P : a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0) = 0 sau echivalent ax+by+cz+d = 0cu d = −ax0 − by0 − cz0.

2) Ecuatia unui plan determinat de trei puncte necoliniare Mi(xi, yi, zi), i == 1, 3 este:

P :

∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

Distanta de la un punct exterior M0(x0, y0, z0) la planul P : ax + by++cz + d = 0 este:

d(M0, P ) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2

Conice

Se numeste conica sau curba algebrica de gradul doi multimea Γ == {(x, y) ∈∈ R2 | a11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 cu

a211 + a2

12 + a222 �= 0} = {(x, y) ∈ R2/g(x, y) = 0} unde

g(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x + 2a20y + a00.cu a2

11 + a212 + a2

22 �= 0Exista doar noua tipuri de conice (scrise aici sub forma canonica):

1) Cerc: x2 + y2 = r2

2) Elipsa:x2

a2+

y2

b2− 1 = 0

3) Hiperbola:x2

a2− y2

b2− 1 = 0

4) Parabola: y2 = 2px

56

5) Pereche de drepte concurente:x2

a2− y2

b2= 0

6) Pereche de drepte paralele: x2 − a2 = 0

7) Pereche de drepte confundate: x2 = 0

8) Punct:x2

a2+

y2

b2= 0

9) Multime vida:x2

a2+

y2

b2+ 1 = 0 sau x2 + a2 = 0

Vom considera numerele:

∆ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a10

a12 a22 a20

a10 a20 a00

∣∣∣∣∣∣ , δ =

∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ , I = a11 + a22

numiti invariantii conicei (pentru ca nu depind de sistemul de coordonateales). Acesti invarianti determina tipul conicei dupa cum rezulta din tabelulurmator:(pentru D = 0 avem conice degenerate, pentru D �= 0 avem conicenedegenerate)

δ > 0 Punct

∆ = 0 δ = 0 Multime vida punct, drepte paralele sau confundate

δ < 0 Drepte concurente.Daca I = 0 atunci dreptele sunt perpendiculare

δ > 0 ID < 0 Elipsa

ID > 0 Multime vida

∆ �= 0 δ = 0 Parabola

δ < 0 Hiperbola

Centrul unei conice (daca exista) se determina din sistemul:

⎧⎪⎨⎪⎩

1

2

∂g

∂x= 0

1

2

∂g

∂x= 0

⇔{

a11x + a12y + a10 = 0a21x + a22y + a20 = 0

Reducerea la forma canonica

57

Metoda valorilor proprii

Fie A =

(a11 a12

a21 a22

). Deoarece A este o matrice simetrica valorile ei

proprii sunt reale si distincte. Calculam valorile proprii din relatia: det(A−−λI2) = 0 si pentru fiecare valoare proprie λ1 si λ2 gasim cate un vectorpropriu (u1, v1), (u2, v2) despre care stim ca sunt ortogonale. Ii vom normasi ıi vom nota cu e1, e2. Fie R matricea ce are drept coloane coordonateleversorilor e1 si e2. Daca det R = +1 atunci facem schimbarea de variabila(

xy

)= R

(x′

y′

).

Daca det R = −1 schimbam coloanele ın matricea R, obtinem o matriceR′ si facem schimbarea de variabila(

xy

)= R′

(x′

y′

)

Facand calculele si grupand convenabil termenii obtinem forma canonicaceruta.

Cuadrice

Multimea punctelor din spatiu∑= {(x, y, z) ∈ R

3 | a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz+

+2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0} se numeste cuadrica. Vom notag(x, y, z) = a11x

2 + a22y2 + a33z

2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a10x++2a20y + 2a30z + a00

La cuadrice avem urmatorii invarianti:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 a10

a12 a22 a23 a21

a13 a23 a33 a30

a10 a20 a30 a00

∣∣∣∣∣∣∣∣, δ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣ ,

J =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣+∣∣∣∣ a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣+∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ , I = a11 + a22 + a33

58

Daca ∆ = 0 cuadrica este degenerata (con, cilindru, perechi de plane).Daca ∆ �= 0 cuadrica este nedegenerata (sfera, elipsoid, hiperboloid,

paraboloid).Centrul cuadricei se obtine rezolvand sistemul:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1

2

∂g

∂x= a11x + a12y + a13z + a10 = 0

1

2

∂g

∂y= a21x + a22y + a23z + a20 = 0

1

2

∂g

∂z= a31x + a32y + a33z + a30 = 0

Tipuri de cuadrice(scrise ın forma canonica)

1) Sfera: x2 + y2 + z2 = r2

2) Elipsoidul:x2

a2+

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0; a, b, c > 0

3) Hiperboloid cu o panza:x2

a2+

y2

b2− z2

c2− 1 = 0; a, b, c > 0

4) Hiperboloid cu doua panze:x2

a2+

y2

b2− z2

c2+ 1 = 0; a, b, c > 0

5) Paraboloid: Z =x2

a2+

y2

b2; a, b > 0

6) Paraboloid hiperbolic (sau sa.): z =x2

a2− y2

b2; a, b > 0

7) Cilindru eliptic:x2

a2+

y2

b2− 1 = 0

8) Cilindru hiperbolic:x2

a2− y2

b2− 1 = 0

9) Cilindru parabolic: y2 = 2px

59

10) Pereche de plane concurente:x2

a2− y2

b2= 0

11) Pereche de plane paralele: x2 − a2 = 0

12) Pereche de plane confundate: x2 = 0

13) Dreapta:x2

a2+

y2

b2= 0

14) Punct:x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0

15) Multime vida:x2

a2+

y2

b2+

z2

c2+ 1 = 0 sau x2 + a2 = 0.

Urmariti ANEXA 2 pentru a vedea aceste cuadrice.

Reducerea la forma canonica

Se determina valorile si vectorii proprii pentru matricea simetrica:

A =

⎛⎝ a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

⎞⎠.

Vectorii proprii sunt ortogonali, ıi normam si obtinem versorii e1, e2, e3. FieR matricea ce are drept coloane coordonatele vectorilor e1, e2, e3. Daca

det R = +1 se face schimbarea de variabila

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ = R

⎛⎝ x′

y′

z′

⎞⎠ . Daca

det R = −1 se schimba doua coloane ın R, se obtine matricea R′ si se face

schimbarea de coordonate

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ = R′

⎛⎝ x′

y′

z′

⎞⎠ .

Capitolul 6. Geometrie diferentiala

60

In acest paragraf prin functie diferentiabila vom ıntelege o functie de clasaC∞.

Definitia 1: O functie diferentiabila α : I → Rn se numeste curba (notata

cu α) cu I ⊂ R, I interval.(Uneori se numeste curba imaginea α(I)).

Definitia 2: i) Un punct P de pe curba α(I) se numeste simplu daca existao singura valoare t ∈ I astfel ıncat α(t) = P. Daca exista mai multe valoridistincte t a.ı. α(t) = P , atunci punctul P se numeste multiplu;

ii) O functie diferentiabila si injectiva α : I → Rn se numestecurba simpla;

iii) O functie diferentiabila α : [a, b] → Rn, pentru care α(a) == α(b) se numeste curba ınchisa

In cele ce urmeaza vom considera n ∈ {2, 3}.Fie α : I → Rn o curba si t, t+h ∈ I astfel ıncat α(t) = P si α(t+h) = Q.

Construim derivata:�α

′(t) = lim

h→0

�α(t+h)−�α(t)h

= limh→0

−−→PQh

Vectorul �α′(t) cu originea ın P = α(t) se numeste vector viteza Definitia 3:

Un punct P = α(t) al curbei α ın care �α′(t) �= �0 se numeste punct regulat.

Daca �α′(t) �= �0 pentru orice t ∈ I, atunci curba se numeste regulata

Definitia 4: i) Fie P un punct regulat al curbei α.

Dreapta care trece prin P si are ca vector director pe �α′(t) se numeste

tangenta la curba α ın P .

ii) Planul care trece prin P si are drept vector normal pe �α′(t)

se numeste plan normal la curba α.iii) Un punct P = α(t) de pe curba α astfel ıncat �α

′(t) = �0 se

numeste punct singular.

iv) Daca exista m > 1 astfel ıncat �α′(t) = �α

′′(t) = ... =

= �α(m−1)

(t) = �0 si �α(m)

(t) �= 0, atunci punctul P corespunzator se numeste

punct singular de ordin m, iar vectorul �α(m)

(t) se numeste vector tangent lacurba α ın punctul singular P.

61

v) Fie P un punct singular de ordin m. Dreapta determinata

de punctul P si vectorul �α(m)

(t) se numeste tangenta curbei ın punctul P.

Planul care trece prin P si are drept vector normal pe �α(m)

(t) se numesteplan normal la curba α ın P.

Curbe ın R2

Fie curba α : I → R2, α(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I. Fie P = α(t) un punct

regulat al curbei.

Definitia 5: i) Dreapta care trece prin punctul P si are ca vector director

pe �α′(t) se numeste tangenta la curba α ın punctul P.

ii) Dreapta care trece prin punctul regulat P = α(t) si esteperpendiculara pe �α

′(t) se numeste normala curbei ın punctul P.

Intr-un punct regulat fixat P = α(t), tangenta si normala la curba auecuatiile:

x−x(t)

x′(t)

= y−y(t)

y′(t)

si respectiv (x − x(t))x′(t) + (y − y(t))y

′(t) = 0

Definitia 6: i) Daca P = α(t) este un punct singular de ordin m, atunci

dreapta care trece prin P si are ca vector director pe �α(m)

(t) se numestetangenta curbei ın punctul P.

ii) Dreapta care trece prin punctul P si este perpendiculara

pe �α(m)

(t) se numeste normala curbei ın punctul P.Intr-un punct singular de ordin m, P = α(t), tangenta si normala la curba

au ecuatiile:x−x(t)

x(m)(t)= y−y(t)

y(m)(t)si (x − x(t))x(m)(t) + (y − y(t))y(m)(t) = 0

Fie curba α : I → Rn (n = 2, 3) si P ∈ α(I). Multimea punctelor din α(I)a caror distanta fata de P este mai mica decat un numar ε > 0 se numestevecinatate a punctului P ın α(I).

In cele ce urmeaza vom cerceta care este aspectul curbei ın vecinatateaunui punct al sau (care este pozitia curbei ın raport cu tangenta ın acestpunct)

1) P este punct regulat. Atunci �α′(t) �= �0a) Daca �α

′(t) si �α

′′(t) sunt liniar

independenti atunci ıntr-o vecinatate a punctului P curba α va avea forma

62

b) Daca �α′(t) si �α

′′(t) sunt coloniari (liniari dependenti) dar �α

′(t) si �α

′′′(t)

sunt liniar independenti, atunci P se numeste punct de inflexiune si curba vaarata ca ın figura:

2) P este punct singular, atunci �α′(t) = �0.

a) Daca �α′′(t) si �α

′′′(t) sunt liniar independenti, atunci P se numeste

punct de ıntoarcere de prima speta.

b) Presupunem ca �α′′′

(t) si �α′′(t) sunt coliniari, dar �α

′′(t) si �α

(4)

(t) sunt liniarindependenti. Atunci P se numeste punct de ıntoarcere de a doua speta

Curbe ın R3

Fie curba α : I → R3, α(t) = x(t), y(t), z(t)). Curbele din spatiu suntcurbe plane sau curbe strambe (care nu sunt plane).

Definitia 7: O curba din spatiu α : I → R3 se numeste curba plana daca

pentru orice t ∈ I, exista a, b, c, d ∈ R astfel ıncat ax(t)+by(t)+cz(t)+d = 0

Definitia 8: i) Planul care trece prin punctul P si are drept vector normal

pe �α′(t) se numeste plan normal la curba α ın P.

63

ii) Dreapta care trece prin punctul P si are drept vector di-

rector pe �α′(t) se numeste tangenta la curba α ın P. Ecuatiile lor sunt:

(x − x(t))x′(t) + (y − y(t))y

′(t) + (z − z(t))z

′(t) = 0 (ecuatia planului

tangent la curba ın punctul P)

x−x(t)

x′(t) = y−y(t)

y′ (t) = z−z(t)

z′(t) (ecuatia tangentei la curba ın punctul P)

Daca P este punct singular de ordin m(P = α(t)), atunci planul ce are

drept vector normal pe �α(m)

(t) si trece prin P se numeste plan normal la

curba α, iar dreapta ce trece prin P si au drept vector director pe �α(m)

(t) senumeste tangenta la curba ın punctul P. Ecuatiile lor sunt:

(x − x(t))x′(t) + (y − y(t))y

′(t) + (z − z(t))z

′(t) = 0

x−x(t)

x′(t)

= y−y(t)

y′(t)

= z−z(t)

z′(t)

Formulele lui Frenet

Ne propunem sa studiem forma unei curbe din spatiu ın vecinatatea unuipunct al sau.

Presupunem ca α : I → R3 este o curba, P = α(t) un punct regulat alsau si ca �α

′(t), �α

′′(t), �α

′′′(t) sunt liniar independenti.

Planul determinat de punctul P si vectori �α′(t), �α

′′(t) se numeste plan

osculatorIn vecinatatea lui P, curba considerata are o abatere de la tangenta, nu-

mita curbare, si o abatere de la planul osculator, numita torsionare. In celece urmeaza vom gasi elementele matematice care masoara curbarea si tor-sionarea unei curbe regulate ın R3

Fie β : J → R3, cu ‖ �β′(s) ‖= 1, ∀s ∈ J , numita curba de viteza unu.

Campul �T = �β′

se numeste camp tangent (unitar) al lui β. Derivam

relatia < �β′, �β

′>= 1 si obtinem < �β

′′, �β

′>= 0, deci �T

′= �β

′′si �β

′′⊥ �β

′

�T′se numeste camp curbura, iar functia K : J → [0,∞), K(s) =‖ �T

′(s) ‖

se numeste curbura lui β. Presupunem K > 0. Atunci campul vectorial �N == 1

K�T

′se numeste camp normal principal al lui β.(el indica ın fiecare punct

sensul ın care se curbeaza β). �T (s) si �N(s) determina planul osculator alcurbei β ın punctul P (s).

64

Campul �B = �T × �N se numeste camp binormal pe β (si controleazaabaterea curbei de la planul osculator, adica torsionarea ei).

Campurile �T , �N, �B definite pe β sunt ortonormate.Ansamblul (�T , �N, �B) poarta numele de campul reperului Frenet pe β iar

(�T (s), �N(s), �B(s)) se numeste reper Frenet atasat punctului β(s) de pe curba.Acest reper determina un triedru Frenet (mobil) ale carui muchii se

numesc tangenta, normala si binormala.

- Planul determinat de �B(s) si �N(s) (binormala si normala la curba ınpunctul β(s)) se numeste plan normal (la curba ın punctul β(s)).

- Planul determinat de �T (s) si �N(s) (de tangenta si normala la curba) senumeste plan osculator

- Planul determinat de �T (s) si �B(s) se numeste plan rectificant.

Propozitia 9: �B′este coliniar cu �N.

Demonstratie: Aratam ca < �B′, �B >= 0 si < �B

′, �T >= 0

Cum �B(s) este un versor, rezulta < �B, �B >= 1, deci < �B′, �B >= 0. Cum

�B = �T × �N obtinem < �B, �T >= 0.Derivam aceasta egalitate si rezulta ca< �B

′, �T > + < �B, �T

′>= 0 ⇒< �B

′, �T >= − < �B, K �N >

Dar < �B, �N >= �0 ⇒< �B′, �T >= − < �B, K �N >= �0 q.e.d.

Functia τ : J → R data de �B′= −τ �N se numeste torsiunea curbei.

Avem �N′=< �N

′, �T > �T+ < �N

′, �N > �N+ < �N

′, �B > �B. Cum �N(s) este

versor rezulta < �N′, �N

′>= �0.

Avem < �N, �T >= 0 si < �N, �B >= 0. Derivam aceste relatii si avem:

< �N′, �T >= − < �N, �T

′>= − < �N, K �N >= −K

< �N′, �B >= − < �N, �B

′>= − < �N,−τ �N >= τ

Deci am demonstrat urmatoarea propozitie

Propozitia 10 (Formulele lui Frenet): Daca β : J → R3 este o curba cuviteza unu cu curbura K > 0 si cu torsiunea τ,atunci:

�T′= K �N, �N

′= −K �T + τ �B, �B

′= −τ �N

Exercitii recapitulative

65

I. Sa se studieze dependenta liniara a urmatoarelor sisteme de vectori dinR3:

i) v1 = (1, 0, 9), v2 = (−3, 4, 2), v3 = (2, 7,−2);ii) v1 = (1, 0,−1, ), v2 = (−2, 3, 2), v3 = (1, 1, 2), v4 = (0, 1, 1).

II. In R3se considera vectorii : v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 3, 5), v3 =(3, 0, 3),

v4 = (1, 0, 2), v5 = (0, 0, 4). Sa se determine dimensiunea subapatiuluigenerat de acestia.

III. Se considera vectorii v1 = (2, 1, 1), v2 = (0, 2, 1), v3 = (−1, 4, 2).Sase arate ca acestia formeaza o baza si sa se determine coordonatele vectoruluiv = (1, 1, 1) in raport cu aceasta baza.

IV. Sa se determine matricea de trecere de la baza B = {(1, 2), (4,−1)}la baza

B′ = {(1, 1), (2, 7)}.V. Fie aplicatia liniara f : R3→ R

3definita in baza canonica prinmatricea

A =1 −1 2−1 1 −22 −2 0

.Sa se arate ca exista o baza B′in R3fata de care

matricea aplicatii liniare are forma diagonala.VI. Sa se aduca la forma canonica urmatoarea forma patratica:

f(x) = x22 − x2

3 + 4x1x2 − 4x1x3.

VII. Fie vectorii: v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 3, 5), v3 = (3, 0, 3).Sa secalculeze

< v1, v2 >, < v2, v3 >, v1×v3, (v1×v2, v3).

VIII. i) Sa se cerceteze coliniaritatea punctelor:v1 = (2, 1, 1), v2 = (2, 3, 5), v3 = (1, 1, 2).

ii) Sa se cerceteze coplanaritatea vectorilor:v1 = i + 2j − 3k, v2 = −i + 3j − 4k, v3 = 2i + 4j − 5k.

IX. Sa se scrie ecuatia dreptei determinata de :i) Punctele M1 = (1, 2, 3), M2 = (0,−1, 4), M3 = (5, 6, 1) .ii) Intersectia planelor 5x + 4y − 2z + 1 = 0, x + 3y − 2z − 4 = 0.

X. Sa se scrie ecuatia unui plan care:i) este paralel cu planul xoz si trece prin punctul M(5,−2, 4);ii) trece prin punctele M1 (2, 3,−5) si este paralel cu vectorii v1 = i −

5j + 4k si

66

v2 = 2i + 4j − 2k.XI.Sa se scrie in forma canonica conicele:

i) 6x2 − 4xy + 9y2 − 4x − 32y − 6 = 0ii) 9x2 + 24xy + 16y2 − 40x + 30y = 0

XII. Sa se scrie ecuatiile tangentei si ecuatia planului normal la o curbaintr-un punct dat,

pentru:i) x = et cos 3t, y = et sin 3t, z − e−2t in t = 0;ii) y = x2, z = 1

x3 ,in punctul M0 (1, 1, 1) .XIII. Sa se calculeze versorii bazei triedrului lui Frenet in punctul

M0 (−2, 4. − 12) la curba x2 − y2 − z = 0, x2 − y = 0.Indicatie:Se considera pentru curba ca parametrizare x = t, y = y (t) , z =

z (t) ,functiile y (t) , z (t) fiind definite implicit prin x2 − y2 − z = 0, x2 − y =0,apoi derivam de doua ori in raport cu t aceste relatii.

XIV.Se considera curba x = et, y = e−t, z =√

2t si punctul M0 =(t0 = 0) .

i) Sa se calculeze versorii bazei triedrului lui Frenet.ii) Sa se scrie ecuatiile axelor si planelor triedrului lui Frenet.

BIBLIOGRAFIE

1. M. Becheanu, C. Nita, Mirela Stefanescu, s.a., Algebra pentru perfectionareaprofesorilor, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983, p. 207-226.

2. Stan Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica siPedagogica, Bucuresti, 1989, p. 5-45.

3. I.N. Herstein, Topics in Algebra, editia a doua, Jhon Wiley and Sons,New-York, 1975.

4. Ion D. Ion, Nicolae Radu, Constantin Nita, Dorin Popescu, Problemede algebr a, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.

5. Ion D. Ion, Nicolae Radu, Algebra, editia a III-a, Editura Didactica siPedagogica, Bucuresti, 1981, p. 111-133.

67

6. Serge Lang, Algebra, Columbia University, New-York, 1965.

7. Serge Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer-Verlag, 1993.

8. Larson/Edwards, Elementary Linear Algebra, editia a doua, D.C. Heathand Company, Lexington, 1991.

9. C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu, Bazele algebrei, vol. I, EdituraAcademiei, Bucuresti, 1986, p. 1-19; 279-293; 313-318.

10. Neal H. McCoy, Thomas R. Berger, Algebra: Groups, Rings and otherTopics, Allyn and Bacon, Boston, 1997.

11. Mihaela Raduica, Curs de algebra liniara, Brasov, 1992.

12. Eugenia Radescu, Algebra liniara, Editura ”Universitaria”, Craiova,1997.

13. Steven Roman, Advanced Linear Algebra, Springer-Verlag, 1992.

14. Silviu Sburlan, Principiile fundamentale ale matematicii moderne, Ed-itura Academiei, Bucuresti, 1991.

15. V. Stammbach, Lineare Algebra, B.G. Teuchner, Stuttgart, 1980.

16. C. Udriste (coord.), Algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, EdituraDidactica si Pedagogica, Bucuresti, 1982, p.17-88.

68

ANEXA 1 PENTRU DETERMINAREACOORDONATELORINTR− O BAZA DATA, MATRICEA DETRECERE DE LAO BAZA LAALTA BAZASI VERIFICAREA FORMULEISCHIMBARIICOORDONATELOR LASCHIMBAREA BAZEI

a= 881, 2, −5<, 86, 0, 4<, 81, 5, −9<<;Det@aDa1= MatrixForm@Transpose@aDDb= 88−5, 8, −7<, 82, 1, 7<, 85, 8, 9<<;Det@bDb1= MatrixForm Transpose b@ @ DD −54 i

k

1 6 12 0 5−5 4 −9

y{

294ik {

−5 2 58 1 8−7 7 9

yec1= x+ 6 y+ z« −5; ec2= 2 x+ 5 z« 8;ec3 = −5 x+4 y− 9 z « −7;sistem = ec1&&ec2&&ec3sol1= Solve sistem, x, y, z<D@ 8

c= sol1 ; MatrixForm@cD8 <

ik k 9 { {

i y yx → − 599

y→ − 49

z → 38

v1= 8−5, 8, −7<a1=

ik 1 6 12 0 5

−5 4 −9

y{c1= LinearSolve@a1, v1D8 <−5, 8, −7

88 < 8

1, 6, 1 , 2, 0, 5<, 8−5, 4, −9<<:− 599

, −49

,389

>

v2= 82, 1, 7<c2= LinearSolve@a1, v2D82, 1, 7<

:− 389

,1318

,179

>

v3= 85, 8, 9<c3= LinearSolve a1, v3@ D

8 <

5, 8, 9:− 31727

,4727

,17027

> d= c1, c2, c3 ; MatrixForm@dD8 <

ik 27

4727

17027 {

y− 599

− 49

389

− 389

1318

179

− 317

g= MatrixForm@Transpose@dDDik

− 599

− 389

− 31727

− 49

1318

4727

389

179

17027

y{

w = 11, 14, 9 ;x = LinearSolve@a1, wD8 <

:− 431

27,

8027

,24827

>

w = 811, 14, 9<b1=

ik−5 2 58 1 8

−7 7 9

y{y= LinearSolve@b1, wDz= MatrixForm@yD8 <

11, 14, 988 < 8

−5, 2, 5 , 8, 1, 8<, 8−7, 7, 9<<:− 3049

, −13849

,197

>ik 7 {

y− 3049

− 13849

19

MatrixForm@g.zD

i k 9

179

17027 { k 7 {

y.

i y− 599

− 389

− 31727

− 49

1318

4727

38

− 3049

− 13849

19

ik

− 599

− 389

− 31727

− 49

1318

4727

389

179

17027

y{.

ik

− 3049

− 13849

197

y{ êê MatrixForm

ik

− 43127

802724827

y{

PENTRU VECTORISI VALORIPROPRII

a= 7, −12, 6<, 810, −19, 10<, 812, −24, 13<<; Eigenvalues@aD88 8 <

−1, 1, 1

Eigenvectors a@ D 88 < 8 < 8

3, 5, 6 , −1, 0, 1 , 2, 1, 0<<

JordanDecomposition a@ D 888 < 8 < 8 << 88 < 8 <

3, −1, 2 , 5, 0, 1 , 6, 1, 0 , −1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 80, 0, 1<<<

b= 1, −1, 2<, 8−1, 1, −2<, 82, −2, 0<<; Eigenvalues@bD88 8 <

−2, 0, 4

Eigenvectors b@ D 88 < 8 < 8

−1, 1, 2 , 1, 1, 0 , 1, −1, 1<<

JordanDecomposition b@ D 888 < 8 < 8 << 88 < 8

−1, 1, 1 , 1, 1, −1 , 2, 0, 1 , −2, 0, 0 , 0, 0, 0<, 80, 0, 4<<<

c= 1, 2, 1<, 8−1, 2, −1<, 81, −1, 2<<; Eigenvalues@cD88 8 <

1, 2, 2

Eigenvectors c@ D 88 < 8−3, −1, 2 , −1, −1, 1 , 80, 0, 0<<<

JordanDecomposition c@ D 888−3, −1, 1<, 8−1, −1, 0<, 82, 1, 0<<, 881, 0, 0<, 80, 2, 1<, 80, 0, 2<<<

ANEXA 2 ParametricPlot3D@Evaluate@sfera@3D@u, vDD, 8u, 0, 2 π<, 8v, 0, π<D

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

plan@a_, b_, c_, d_D@u_, v_D := 9u, v, −

ac

u−bc

v−dc=

ParametricPlot3D @ @ @ D@

Evaluate plan 1, 2, 5, 3 u, vDD, 8u, −5, 5<, 8v, −3, 6<D

-5

-2.5

0

2.5

5

-2

0

2

4

6

-4

-2

0

-5

-2.5

0

2.5

5

¦ Graphics3D ¦

cilindru r_ u_, v_ := rCos u , rSin u , v@ D@ D 8 @ D @ D < ParametricPlot3D@Evaluate@cilindru@4D@u, vDD, 8u, 0, 2∗ Pi<, 8v, −4, 5<D

-4-2

02

4

-4

-2

02

4

-4

-2

0

2

4

-4-2

02

4

-4

-2

02

4

¦ Graphics3D ¦ con @ D@ D 8 @ D @ D @ D @ D <

theta_ u_, v_ := vTan theta Cos u , vTan theta Sin u , vParametricPlot3D Evaluate con Pi 4 u, vDD, 8u, 0, 2∗Pi<, 8v, −3, 5<D@ @ @ ê D@

-5-2.5

02.5

5

-5

-2.5

0

2.55

-2

0

2

4

-5-2.5

02.5

5

-5

-2.5

0

2.55

¦ Graphics3D ¦

tor a_, b_ u_, v_ := a+ bCos v Cos u , a+ bCos v Sin u , bSin@vD<@ D@ D 8H @ DL @ D H @ DL @ D ParametricPlot3D@Evaluate@tor@5, 3D@u, vDD, 8u, 0, 2 π<, 8v, 0, 2 π<D

-5

0

5

-5

0

5-2

0

2

-5

0

5

¦ Graphics3D ¦ pareliptic @ D 9u_, v_ :=

è @ D è @ D =

v Cos u , v Sin u , vParametricPlot3D Evaluate pareliptic@u, vDD, 8u, 0, 2 π<, 8v, 0, 5<D@ @

-2-1

01

2

-2

-10

12

0

2

4

-2-1

01

2

-2

-10

12

¦ Graphics3D ¦

pseudosfera r_ u_, v_D:= r 9Sin@uDCos@vD, Sin@uDSin@vD, LogATanA u@ D@

2EE + Cos@uD=

Clear pseudosfera@ D

ParametricPlot3DAEvaluate@pseudosfera@5D@u, vDD, 9u,π

2, π=, 8v, 0, 2 π<E

-5-2.5

02.5

5

-5

-2.50

2.55

0

5

10

-5

-2.50

2.55

¦ Graphics3D ¦ elipsoid@ D@ D 8 @ D @ D @ D @ D @ D<a_, b_, c_ u_, v_ := aSin v Cos u , bSin v Sin u , cCos v ParametricPlot3D @ @

Evaluate elipsoid@4, 3, 2D@u, vDD, 8u, 0, 2 π<, 8v, 0, π<D

-4-2

02

4

-2

0

2-2-1012

-4-2

02

4

¦ Graphics3D ¦

catenoid u_, v_ := Cosh v Cos u , Sinh v Sin u , v@ D 8 @ D @ D @ D @ D < ParametricPlot3D@Evaluate@catenoid@u, vDD, 8v, −2, 2<, 8u, 0, 2 π<D

-2

0

2

-2

0

2-2

-1

0

1

2

-2

0

2

¦ Graphics3D ¦ elicoid@ D@ D 8 @ D @ D <a_ u_, v_ := vCos u , vSin u , au ParametricPlot3D @

Evaluate@elicoid@2D@u, vDD, 8u, 0, 2 π<, 8v, −2, 3<D

-20

2

-20

2

0

5

10

-20

2

¦ Graphics3D ¦

hiperboloid1 u_, v_ := Cosh u Cos v , Cosh u Sin v , Sinh u@ D 8 @ D @ D @ D @ D @ D< ParametricPlot3D@Evaluate@hiperboloid1@u, vDD, 8v, 0, 2 π<, 8u, −2, 2<D

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

-2

0

2

¦ Graphics3D ¦ hiperboloid2 @ D 8 @ D @ D @ D @ D @ D<

u_, v_ := Sinh u Cos v , Sinh u Sin v , Cosh uParametricPlot3D Evaluate hiperboloid2 u, vDD, 8v, 0, 2 π<, 8u, −3, 3<D@ @ @

-10-5

0

5

10-10

-5

0

5

10

0

2.5

5

7.5

10

-10-5

0

5

10

¦ Graphics3D ¦