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CORRIGE TD n°4 EXERCICE 1 : les trous d’Young On considère une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ=656,3 nm, se propageant le long de l’axe Oz. On intercale sur le trajet de cette onde un écran percé de deux trous de dimension négligeables, écartés d’une distance a, comme représenté sur la figure ci-dessous.

Chaque trou peut être considéré comme une source ponctuelle émettant un champ électrique d’amplitude E0. On place un écran à une distance D. On observe la figure d’interférence au point P situé sur l’écran, à la côte x. La distance D est beaucoup plus grande que l’écart a et que la côte x.

1. Ecrire l’expression de la différence de marche, ainsi que la différence du trajet (2) par rapport au trajet (1) en fonction de D, a, x, λ.

2. Calculer l’interfrange. 3. Faire les applications numériques pour D=2m, a=2mm et x=10cm.

CORRECTION

1. Soit H le projeté orthogonal de S1 sur S2H. D’après le théorème de Malus, la différence de marche 21 2 sinS H aδ θ= = . Or tan /x Dθ = et .a D On en déduit que 1θ et donc que tan sinθ θ θ . Ce qui nous donne que 21 2 /S H ax Dδ = = .

Le déphasage nous est donné par : 21 212 2 ax

Dπ πϕ δλ λ

= = .

2. On obtient l’interfrange lorsque aiD

λ= soit Dia

λ= .

3. L’interfrange est donc de 0,632 mm.

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EXERCICE 2 : Interfrange On réalise une expérience d’interférences avec des fentes d’Young dans l’air. On obtient un interfrange i0= 2 mm. Le dispositif est ensuite immergé totalement dans de l’eau d’indice n = 4/3. Quelle est la nouvelle valeur de l’interfrange ?

CORRECTION La différence de marche dans doit être multipliée par l’indice optique de l’eau donc le déphasage

s’écrit 212 naxπδ

λ= et donc l’interfrange est 0iDi

na nλ

= = .

EXERCICE 3 : Interférences à 3 ondes On considère une onde monochromatique plane de longueur d’onde λ = 656,3 nm se propageant le long de l’axe Oz avec une polarisation rectiligne. On place un écran percé de trois trous de dimensions négligeables disposés symétriquement, comme montré sur la figure ci-dessous. Chaque trou peut être considéré comme une source ponctuelle d’amplitude E0 du champ électrique. On place un écran à la distance D, que l’on prendra beaucoup plus grande que l’écartement a des trous. 2 et 1 D m a mm= = .

1. Ecrire l’expression de la différence de marche entre le rayon passant par le trou en +a/2 et le rayon passant par le centre. De même, calculer la différence de marche entre le rayon passant par le trou en –a/2 et le rayon passant par le centre. En déduire les différences de phase des trajets (1) et (2) par rapport à celui issu du trou central O.

2. Calculer l’expression du champ électrique E observé au point P.

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3. Déduire l’expression de l’éclairement lumineux E au point P. Tracer l’éclairement E en fonction de la position Y.

4. Décrire la figure d’interférences obtenue. Définir l’interfrange i et donner son expression pour le cas étudié ici. Valeur numérique de i.

CORRECTION

1. Calculons les différences de marche. D’après le théorème de Malus :

1 sin2aOHδ θ= − = − et 2 2 sin

2aS Kδ θ= = . Or tan Y

Dθ = et Y D d’où

tan sinθ θ θ et donc 1 2aYOHD

δ = − = − et 2 2 2aYS KD

δ = =

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On en déduit les différences de phase 1

aYD

πϕλ

= − et 2aYD

πϕλ

= .

2. Les sources S1 O et S2 sont des sources secondaires cohérentes (c’est un dispositif de

division du front d’onde) qui sont déphasées l’une par rapport à l’autre. Pour avoir accès au champ en P, on applique le théorème de superposition si bien que

( ) ( )( ) ( ) ( )0 1 2exp 1 exp expE P E i t kr i iω ϕ ϕ= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ où 1ϕ et 2ϕ sont les déphasages des rayons (1) et (2) par rapport au rayon qui passe par O.

( ) ( )( )0 exp 1 exp expaY aYE P E i t kr i iD D

π πωλ λ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )( )0 exp 1 2cos aYE P E i t krD

πωλ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

3. On en déduit l’éclairement E(P).

( ) ( ) ( )2

* 2 2 20 01 2cos 1 4cos 4cosaY aY aYP E P E P E E

D D Dπ π πλ λ λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + = + +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦E

( ) 2 20 0

2cos 121 4cos 4 3 4cos 2cos

2

aYaY aY aYDP E ED D D

ππ π πλλ λ λ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥+ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎜⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎢ ⎥= + + = + +⎜⎟ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎟⎜⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

E

En posant aYD

πϕλ

= , ( ) ( )20 3 4cos 2cos 2P E ϕ ϕ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦E .

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4. On a deux séries de franges : une série de franges très brillantes et une série de franges

sombres. Entre deux franges très brillantes, on trouve une frange d’éclairement plus faible, entourée par deux franges noires. Toutes ses franges sont perpendiculaires au plan de la figure. On définit l’interfrange par la longueur que l’on trouve entre deux franges très brillantes.

On a alors 2 2,623 mmDiaλ= = .

EXERCICE 4 : Miroir de Lloyd Le miroir de Lloyd est constitué d’une lame de verre plane opaque utilisée comme un miroir plan. La surface de ce miroir est un rectangle de côtés 15 cm et 5 cm environ ; la planéité de ce miroir est parfaite. Ce miroir épais (pour éviter les déformations), donc lourd, est placé sur un support rigide, installé sur un banc optique indéformable. Il est possible à l’aide de la vis V de régler l’inclinaison de ce miroir par rapport aux rayons incidents.

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La source S ponctuelle éclaire sous incidence rasante un miroir de Lloyd AB. Cette source est placée à distance a/2 du miroir et la distance source-bord droit du miroir est noté l. L’écran est placé à une distance d au bout du miroir, et permet d’observer les interférences entre le faisceau d’éclairage direct et le faisceau réfléchi par le miroir.

1. Est-ce un dispositif à division du front d’onde ou à division d’amplitude ? 2. Quelles sont les sources secondaires S1 et S2 associées à ce dispositif ? Représenter le

champ d’interférences. 3. Déterminer la différence de marche géométrique et la différence de phase. Les sources

secondaires sont-elles cohérentes ? synchrones ? en phase ? 4. En déduire l’expression de l’éclairement sur l’écran. Quelle est la forme des franges

obtenues ? Peut-on remplacer la source ponctuelle par une fente fine ? 5. On élargit maintenant la fente source. Sa largueur est b répartie également de part et

d’autre de la position a/2. En prenant un modèle de fente source qui émet uniformément, exprimer le nouvel éclairement.

CORRECTION :

1. Comme il n’existe pas de lame semi-réfléchissante, le dispositif du miroir de Lloyd est un dispositif à division de front d’onde.

2. Pour l’éclairage direct, la source secondaire S1 est identique à la source primaire S. La lumière réfléchie semble provenir de S2, image de S par le miroir plan, symétrique de S par rapport au plan du miroir. Le champ d’interférences est la zone où les faisceaux provenant de S1 et S2 peuvent se superposer.

3. Le chemin optique de S à M par la voie (1) est simplement ( ) 11SM SM S M= = .

Pour la voie (2), le trajet géométrique s’identifie immédiatement à S2M, auquel il faut ajouter λ0/2 pour tenir compte du déphasage de π introduit à la réflexion sous incidence rasante :( ) 2 02

/ 2SM S M λ= + .

La différence de marche est donc : ( ) 2 1 0, / 2S M S M S Mδ λ= − + . Les sources secondaires S1 et S2 sont évidemment cohérentes, mais pas synchrones : il y a un déphasage de π. Elles sont en opposition de phase.

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4. Avant de déterminer l’éclairement, calculons le champ en M en utilisant le théorème de superposition.

( ) ( )( ) ( )0

2 ,exp 1 expS

S ME M E i t kSM i

πδω

λ⎡ ⎤⎛ ⎞

= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

On en déduit l’éclairement :

( ) ( ) ( ) ( )*0 0

0 0

2 , 22 1 cos 2 1 cosS M axM E M E M

Dπδ π

λ λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟= = + = −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦E E E .

Les franges sont rectilignes et parallèles à (Oy). Comme pour l’expérience des trous d’Young, il est possible d’utiliser une fente source (fine) parallèle à (Oy) pour éclairer le dispositif. L’expérience est alors plus lumineuse à l’écran.

5. A une largeur dxs élémentaire de la fente source, on associe l’éclairement infinitésimal

0s

Sdxdb

=E E , et on superpose les éclairements en M donnés par les éléments incohérents

de la source :

( ) ( )/ 2 / 2

00/ 2 / 2

2 22 1 cos

s

a bs s

x a b

x x dxMD b

πλ

+

= −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜= − ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫E E .

Après le calcul de l’intégral et en notant ( ) sinsinc xxx

= , on a :

( ) 00 0

2 22 1 sinc cosbx axMD D

π πλ λ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟= − ⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦E E .

On retrouve l’aspect habituel des franges mais le contraste est modulé à l’écran par le sinus cardinal. Le contraste reste bon au voisinage de 0 mais décroît rapidement.