ONDES SONORES DANS LES FLUIDESTD PO2

Exercice PO2.1 : Ondes sonores à 1DOn s'intéresse à la propagation unidimensionnelle (selon Ox) d'ondes sonores dans

l'air, supposé parfait et soumis aux seules forces de pression, caractérisé à l'équilibre

par des valeurs uniformes P0 de la pression et ρ0 de la masse volumique. Du point de

vue thermodynamique, ses évolutions sont considérées comme isentropiques, auxquelles

correspond le coe�cient de compressibilité χ0. Le passage d'une onde sonore crée une

perturbation et le �uide se déplace en de petits mouvements autour de l'équilibre,

les champs de pression et de masse volumique devenant : P (x, t) = P0 + p(x, t) et

ρ(x, t) = ρ0 + µ(x, t), tandis que la vitesse s'écrit #»v (M) = v(x) # »ux, v, µ et p étant

considéré comme des in�niments petits du premier ordre.

1. Établir les 3 équations scalaires reliant p, v et µ (et leurs dérivées) dans l'approxi-

mation acoustique. En déduire l'équation de propagation des ondes acoustiques

pour la surpression et celle pour la vitesse dans ce modèle à 1D. Quelle est la

célérité c de ces ondes ?

2. On considère une onde plane progressive pour laquelle la surpression et la valeur

algébrique de la vitesse des particules de �uide dans la direction de propagation

ne dépendent que de la variable t− x/c et s'écrivent donc sous la forme p(x, t) =

fp(t − x/c) et v(x, t) = fv(t − x/c). On dé�nit l'impédance acoustique liée à

une telle onde comme le quotient Z = p/v. Dans un �uide illimité, montrer que

cette impédance ne dépend que des caractéristiques du �uide et l'exprimer en

fonction de la masse volumique ρ0 et de la célérité c. Que devient cette relation

pour une onde se propageant selon les x décroissants (p(x, t) = gp(t + x/c) et

v(x, t) = gv(t+ x/c)) ?

3. On considère maintenant une onde plane progressive monochromatique de pulsa-

tion ω : p(x, t) = p0ej(ωt−kx). On dé�nit l'intensité d'une onde acoustique par la

valeur moyenne de la norme du vecteur p #»v . Exprimer l'intensité I de cette onde

en fonction de p0, ρ0 et c.

4. Calculer l'amplitude de la surpression puis du déplacement d'air pour l'onde

sonore incidente au seuil d'audition et au seuil de la douleur pour un son de

fréquence 440 Hz.

Exercice PO2.2 : Instruments de musiqueOn utilisera les résultats de l'application 2 du cours pour les conditions aux limites.

1. Fréquences de résonance d'un tuyau d'orgue

PROGRAMME de PC PHYSIQUE des ONDES.

QUESTIONS de COURS.

Questions de cours.

! Enoncer les 3 équations constitutives liant les grandeurs p0, p~ , "

v , 0, ~ dans le cadre de

l’approximation acoustique.

! En déduire l’équation de d’Alembert 3D vérifiée par la surpression acoustique.

! Comment est définie la direction de propagation de l’onde sonore ?

! Connaissant l’écriture d’une OPPM sonore, comment déterminer sa direction de propagation ?

! Donner la relation de dispersion de ces ondes.

! Quel lien existe-t-il entre p~ et . Définir ainsi la notion d’impédance.

! Donner l’expression de la puissance surfacique moyenne transportée par une OPPM sonore.

! Quelle est la définition de l’intensité sonore ?

! Que se passe-t-il pour une onde sonore arrivant sur la surface de séparation entre 2 milieux distincts ?

! Quelles sont les CL (sur la vitesse et la pression) à l’interface entre deux milieux ?

! Etablir alors les expressions des coefficients de réflexion et de transmission de la surpression.

! Quelle relation simple lie ces deux coefficients ?

! Donner les définitions et expressions des coefficients de réflexion et de transmission en puissance.

! Quel est le lien entre ces deux derniers coefficients ?

! Pourquoi les personnes ayant inhalé de l’hélium parlent-elles avec une voie plus aigüe ?

! Une guitare plongée dans l’hélium émettrait-elle un son plus aigu, plus grave ou le même que dans

l’air ?

QCM.

1. L’intensité sonore émise par un scooter en accélération est de 90 dB avec un pot d’échappement et de

110 dB sans pot d’échappement. A combien de scooters avec pot est équivalent le bruit émis par un

scooter sans pot ?

a. 2. b. 20. c. 100 d. 10 000

2. Quelle est l’expression de la vitesse des ondes sonores dans un GP de masse molaire M et de

température T. On note # = cp / cv.

a.

"

v

M

TR. b.

M

TR# c.

M

TR

#.

i

r

vv

vr

0

0$3. Quel est le coefficient de réflexion à l’interface entre 2 milieux d’impédances

caractéristiques Z1 et Z2.

a. 12

12

ZZ

ZZr v

%

&$ . b.

12

21

ZZ

ZZr v

%

&$ . c.

12

22

ZZ

Zr v

%$ .

4. La vitesse des particules admet un ventre aux deux extrémités du

tuyau d’orgue de longueur L représenté ci-contre. Quelle est alors la

fréquence fondamentale sonore émise par le tuyau ?

a. L

cf

4$ . b.

L

cf

2$ . c.

L

cf $ .

5. On envoie des ondes ultrasonores de fréquence 5.3 MHz sur des globules sanguins. L’onde réfléchie

par les globules est décalée de ' ( par rapport à l’onde initiale. Quelle est la vitesse vg des globules ?

a. (2

vcvg

'$ . b.

(

vcvg

'$ . c.

(

vcvg

'$ 2 .

Réponses : 1.c, 2.b, 3.b, 4.b et 5.a.

L

HILD Jean-Claude 32

Un tuyau d'orgue de longueur L, schématisé ci-dessus, est ouvert à ses deux

extrémités : un n÷ud de surpression est donc présent aux deux extrémités. La

surpression p1 véri�e l'équation de d'Alembert à 1D et on cherche une solution

en onde stationnaire : p1 = p0 cosωt sin(kx+ ϕ) avec k = ωC

Montrer que les fréquences de résonance du tuyau sont nc

2L, où n est un entier.

Retrouver qualitativement ce résultat à partir d'un schéma simple.

2. Di�érents instruments à vent

Un instrument à vent peut être considéré comme un tuyau sonore de longueur

L véri�ant à ses extrémités l'une ou l'autre des deux conditions aux limites :

tuyau ouvert ou tuyau fermé. Un jeu de conditions aux limites sera dit pair si les

conditions aux deux extrémités sont de même nature (ouvert-ouvert ou fermé-

fermé) et impair si les conditions aux deux extrémités sont de nature di�érente

(ouvert-fermé).

(a) Montrer par un raisonnement physique simple que la note fondamentale, note

la plus basse émise par l'instrument, ne dépend que de la longueur L du tuyau,

de la vitesse de propagation du son c et de la parité. Donner l'expression de

la fréquence correspondante.

a) b) c)

Quelques instruments à vent : a) �ûte traversière, b) clarinette et c) orgue

de la basilique de Saint-Denis.

(b) Pour les applications numériques suivantes, la vitesse du son dans l'air sera

prise égale à 340 m.s−1.

PC - Lycée François 1er - Le Havre 1/3 2018 / 2019

i. La �ûte traversière est un instrument considéré comme ouvert à ses deux

extrémités. Déterminer la longueur de l'instrument pour que son fonda-

mental soit la note Mi de fréquence 330 Hz.

ii. L'anche d'une clarinette est assimilée à une extrémité fermée. À longueur

égale, la clarinette joue-t-elle plus haut ou plus bas que la �ûte ?

iii. Le plus long tuyau d'un grand orgue mesure 10,6 m et émet une note

fondamentale à 16 Hz. Déterminer la parité de son jeu de conditions aux

limites.

Exercice PO2.3 : Effet DOPPLER

1. Une onde sinusoïdale de fréquence f se propage dans la direction de (Ox) dans le

sens positif de (Ox) avec la célérité c. Un observateur se déplace avec une vitesse

~v = v~ux parallèle à (Ox).

(a) Écrire le signal s(x, t) de l'onde.

(b) Pour l'observateur en mouvement, le point d'abscisse x est repéré par une abs-

cisse le long d'un axe (O′x′) qui lui est lié. Exprimer s(x′, t) dans le référentiel

de l'observateur.

(c) En déduire l'expression de la fréquence f ′ pour l'observateur en mouvement.

Comparer f ′ et f suivant le signe de v.

2. Application : mesure de la vitesse de circulation du sang par e�et Doppler

Dans le cas général, lorsqu'un émetteur E, en déplacement à la vitesse # »vE dans

un référentiel R, émet une onde à la fréquence fE , de vitesse de propagation

c, alors un récepteur R en déplacement à la vitesse # »vR évaluée dans ce même

référentiel perçoit un signal à la fréquence fR.

La théorie nous indique que

fR = fE1− # »uER· # »vR

c

1− # »uER· # »vEc

avec # »uER le vecteur unitaire dirigé de E vers R.

Considérons une sonde �xe associée au référentiel R. Elle émet, dans ce référen-

tiel, une onde ultrasonore de fréquence f = 4 MHZ qui se propage dans le corps

humain à la vitesse c = 1, 5.l03 m.s−1. Le globule rouge est mobile et circule à

la vitesse#»

V = V # »ux. Le vecteur d'onde#»

k fait un angle θ avec le vecteur unitaire# »ux. Le globule perçoit alors une fréquence f ′. Il rétrodi�use une partie de l'onde

qu'il reçoit. La sonde ultrasonore, qui peut également fonctionner en réceptrice,

réceptionne alors une onde de fréquence f”.

(a) Quel est l'intérêt du gel situé entre la sonde et la peau ?

(b) Donner l'expression de la fréquence f ′ en fonction de f , V , c et θ. En déduire

l'expression de la fréquence f” en fonction des mêmes grandeurs.

(c) En considérant que V � c, donner l'expression de V en fonction de f , V , c

et θ.

(d) Pour un angle θ = 45°, calculer le décalage en fréquence ∆f = f”−f pour une

vitesse du sang dans l'aorte de 1 m.s−1 et de 10−3 m.s−1 dans un capillaire.

Exercice PO2.4 : Transmission à travers un mur

PROGRAMME de PC PHYSIQUE des ONDES.

- L 0

La vitesse de déplacement de la particule fluide en x = - L dans un

tuyau de longueur L est de la forme v ( t ) = v0 cos ( !t ).

a. Comment s’écrit la vitesse des particules en tout point du tuyau ? xb. Montrer que si le tuyau est fermé à son extrémité en x = 0, on

obtient des ondes stationnaires. Déterminer alors v ( x , t ).

c. L’ouverture en x = - L induit la présence d’un ventre de v en cette extrémité. Donner alors les

fréquences vérifiant cette condition. Que vaut la fréquence fondamentale ?

5. Ondes acoustiques dans deux milieux non miscibles.

Un réservoir contient deux liquides non miscibles, de masses volumiques 1 et 2 > 1 et de

coefficients de compressibilité "1 et "2. L’origine de l’axe vertical O z est placée au niveau du plan de

séparation des deux liquides à l’équilibre. Le fond du réservoir, situé en z = L est une paroi rigide : la

vitesse de déplacement des particules y est nulle : vz ( z = L , t ) = 0. On négligera tout effet de la

pesanteur. Une onde acoustique harmonique p1+ cos ( !t - k1 z ) se propage dans le liquide 1.

a. Ecrire les expressions des surpressions p1 ( z , t ) et p2 ( z , t ) et des vitesses

des particules de fluide associées v1 ( z , t ) et v2 ( z , t ) dans les deux

liquides en fonction de p1+, de l’amplitude complexe p1- de la surpression

de l’onde réfléchie dans le milieu 1 et des amplitudes complexes p2+ et p2-

des ondes de surpression se propageant dans le milieu 2.

1 "1

0 b. Ecrire les CL en z = 0 et z = L.

2 "2c. Calculer le coefficient de réflexion r = p1- / p1+ de la surpression.

d. Quelle est la valeur de son module ? Interprétation physique ? L e. Exprimer l’amplitude de la surpression p2 ( z = L , t ) en z = L.

f. Pour quelle valeur de k2 L cette amplitude est-elle maximale ?

z

6. Transmission d’une onde sonore à travers une membrane. membrane

Une membrane mobile de masse surfacique # et d’épaisseur

négligeable est placée dans un très long tuyau de section S rempli

d’air. On suppose que la membrane acquiert un mouvement sinusoïdal

de translation : $ ( t ) = a cos ( !t + % ) sous l’effet des ondes sonores

sinusoïdales de pulsation ! émises par une source située en x = - &.

a. Que

onde incidente

$ ( t ) x

lles sont les différentes ondes dans les deux parties du tuyau ?

( x , t ).

t de la membrane est très faible devant la longueur d’onde ' : a << ' (

e. de coupure.

. Couche sonore antireflet.

éristiques des tissus musculaires et de

b. eur e en graisse,

O

b. Pour chacune de ces ondes, écrire les surpressions p ( x , t ) et vitesses v

c. Ecrire les CL en x = $ ( t ).

d. L’amplitude du mouvemen

| k $ ( t ) | << 1. En déduire les coefficients de réflexion et de transmission en surpression.

Montrer que la membrane joue le rôle d’un filtre dont on donnera la nature et la pulsation

f. Quelles sont les particularités des différentes ondes lorsque ! >> !C et lorsque ! << !C ?

x 0 e

muscle air

gr

7 aisse a. Les impédances caract

l’air pour les ultrasons valent ZM = 1.7 106 kg.m-2.s-1 et ZA =

400 kg.m-2.s-1. Calculer le coefficient de transmission des

puissances sonores à une interface air-muscle et commenter.

Pour supprimer l’onde réfléchie dans l’air, on réalise une co d’épaissuche antireflet

d’impédance ZG. On note cA, cG et cM les célérités du son dans chacun des trois milieux, et on pose kA

= ! / cA, kG = ! / cG et kM = ! / cM. On cherche les champs de vitesse dans ces milieux sous la forme :

- vx ( x < 0 , t ) = vA exp [ j ( !t - kA x ) ]

- vx ( 0 < x < e , t ) = vG+ exp [ j ( !t - kG x ) ] + vG- exp [ j ( !t + kG x ) ]

- vx ( x > e , t ) = vM exp [ j ( !t - kM x ) ]

Interp e

c. ndante du champ des surpressions dans les trois milieux ?

on demandée) des équations précédentes aboutit à la condition : ( ZG - ZA ) / ( ZG + ZA )

= ( ZG - ZM ) exp ( - 2 j kG e ) / ( ZG + ZM ). Déterminer les valeurs convenables de e et ZG.

rét r ces expressions.

Quelle est la forme correspo

d. Ecrire les CL.

e. La résolution (n

HILD Jean-Claude 31

Pour étudier l'atténuation sonore intro-

duite par un mur, adoptons le modèle

simpli�é suivant : dans un tuyau de sec-

tion S, rempli d'air, une onde sonore in-

cidente plane progressive harmonique de

pulsation ω arrive sur un piston de sur-

face S, d'épaisseur e et de masse volumique µ, libre de se déplacer au voisinage de

x = 0. Sous l'e�et de cette excitation, le piston acquiert un mouvement sinusoïdal :

ξ(t) = a cos(ωt+ ϕ)

Le champ des vitesses est cherché sous la forme :

PC - Lycée François 1er - Le Havre 2/3 2018 / 2019

v1(x < ξ, t) = A1 exp(jωt− jkx) +B1 exp(jωt+ jkx)

v1(x > e+ ξ, t) = A2 exp(jωt− jkx)

1. Justi�er ces expressions et donner l'expression de la surpression p1(x, t) corres-

pondant à chacune de ces ondes.

2. Préciser les conditions aux limites pour la vitesse, au niveau du piston. L'épaisseur

e du mur et l'amplitude de son mouvement sont supposés très petits devant la

longueur d'onde λ. Nous pouvons donc considérer que v1(x = ξ−, t) = v1(x =

0−, t) et que v1(x = e+ ξ+, t) = v1(x = 0+, t) Simpli�er alors l'expression de ces

conditions aux limites.

3. Établir un lien entre p1(x = 0−), p1(x = 0+), ξ, et la masse m du piston.

4. En déduire l'expression des coe�cients de transmission et de ré�exion de la sur-

pression acoustique. Le coe�cient de transmission est de la forme

t =A2

A1

= b1

1 + µejω/(2µ0c)

où µ0 est la masse volumique du �uide, et b une constante numérique à détermi-

ner.

5. Commenter, en terme de �ltre, puis interpréter physiquement la dépendance de

t avec la pulsation ω des ondes.

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