Calculs de structures de bandes Méthode des ondes planes ...

Calculs de structures de bandes

Equation aux valeurs propres sur uk :

Θ̂Hω(r) =(ω

c

)2

Hω(r) Θ̂ = ∇×[

1

ε(r)∇×

avec : Hk (r) = uk (r) eikr

devient :

avec le nouvel opérateur : k = ik +( )1

(r)ik +( )

kuk (r) =(k)

c

2

uk (r)

Méthode des ondes planes

Méthode des ondes planesLa méthode consiste à utiliser la périodicité des champs et de la carte diélectrique et à effectuer une décomposition de Fourier de E(r), H(r), (r) ou 1/ (r)

après troncation à un nombre fini d'ondes planes,

Θ̂Hω(r) =(ω

c

)2

Hω(r)

sous une forme d'équation aux valeurs propres:

MGn ,Gm

k[ ] Hmk[ ] = k

c

2

Hmk[ ]

pour réécrire

E(r) = E(G)G réseau réciproque

ei k+G( )r H(r) = H(G)G réseau réciproque

ei k+G( )r

(r) = (G)G réseau réciproque

eiGr (r) 1 = 1(G)G réseau réciproque

eiGr

Méthode des ondes planesPlus techniquement : H = 0

H(G).(k +G) = 0, G R.R.

impose la transversalité de H

H(r) se réécrit :

avec : G=G1+G2 et {G1,G2,k+G} trièdre direct

H(r) = h1r G '1+h2

r G '2( )

G ' réseau réciproque

ei k +G'( )r

H = i k + G' h1r G '2 h2

r G '1( )

G ' R .R .

ei k +G'( )r

(r) 1 = 1(G' ')G'' R .R .

eiG''r

(r) 1 H = i 1(G' ') k + G' h1r G '2 h2

r G '1( )

G',G '' R .R .

ei k +G'+G''( )r

(r) 1 H = i 1(G G') k + G' h1r G '2 h2

r G '1( )

G,G ' R .R .

ei k +G( )r

qu'il est plus commode de réécrire avec G=G'+G''

Méthode des ondes planesaprès le deuxième rotationel :

1(G G') k + G' k + G

r G 2.

r G '2

r G 2.

r G '1

r G 1.

r G '2

r G 1.

r G '1

G ' R .R .

h1h2

=

c

2 h1h2

G

puis en projetant sur ei(k+G)r on aboutit à un ensemble d'équations sur G :

(r) 1 H = 1(G G') k + G' k + G

r G 2 .

r G '2

r G 2 .

r G '1

r G 1.

r G '2

r G 1.

r G '1

G,G' R .R .

h1h2

e

i k +G( )r

(r) 1 H = k

c

2

H = k

c

2

H(G)G R .R .

ei k +G( )r

on se limite à m vecteurs du réseau réciproque et l'équation se réduit à la diagonalisation d'une matrice hermitienne 2mX2m dont les vecteurs propres sont ( /c)2 et les vecteurs propres {H(G)}

Méthode des ondes planesCas des systèmes bidimensionnels

La méthode est vite gourmande en temps de calcul, il faut plusieurs milliers d'ondes planes pour le calcul de la structure de bandes d'un empilement de sphères sur un réseau diamant.

Elle est surtout utilisée dans les cas bidimensionnels

x

y

zOn se limite à la propagation dans le plan x,y

les dérivées par rapport à z sont nulles


Polarisations TE et TM

∇× H(r) − jωε0ε(r)E(r) = 0

∇× E(r) + jωμ0H(r) = 0permet de relier Hz à Ex,EY et Ez à Hx,HY

Les équations du champ Hz et Ez sont découplées :

1

(x,y)2Ez =

c

2

Ez

1

(x,y)Hz

=

c

2

Hz


Polarisations TE et TM

Deux polarisations indépendantes :

"TM" ou sMode transverse pour EH dans le plan perpendiculaire

Hz=0, Ez 0

Hz 0, Ez =0 "TE" ou p

Mode transverse pour HE dans le plan perpendiculaire


k+G est dans le plan x,yG1 peut être choisi sur Oz et G2 pour compléter le trièdre direct {G1,G2,k+G}

1(G G') k + G' k + G

r G 2.

r G '2

r G 2.

r G '1

r G 1.

r G '2

r G 1.

r G '1

G ' R .R .

h1h2

=

c

2 h1h2

G

devient :

TM : h1G =0 pour tout G, G1 = G1' et G2. G1'=0

1(G G') k +G' k +G h2,GG ' R .R .

=c

2

h2,G

G

TM


pour m vecteurs du réseau réciproque, l'équation se réduit à la diagonalisation d'une matrice hermitienne m x m dont les vecteurs propres sont ( /c)2 et les vecteurs propres {H(G)}

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

|k + G1| · |k + G1| · · · |k + G1| · |k + Gm| · · · |k + G1| · |k + GN |...

. . ....

.

..|k + Gn| · |k + G1| · · · |k + Gn| · |k + Gm| · · · |k + Gn| · |k + GN |

.

.

....

. . ....

|k + GN | · |k + G1| · · · |k + GN | · |k + Gm| · · · |k + GN | · |k + GN |

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

κ̂(G1 − G1) · · · κ̂(G1 − Gm) · · · κ̂(G1 − GN )...

. . ....

..

.κ̂(Gn − G1) · · · κ̂(Gn − Gm) · · · κ̂(Gn − GN )

.

.....

. . ....

κ̂(GN − G1) · · · κ̂(GN − Gm) · · · κ̂(GN − GN )

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

C1

..

.Cn

.

..CN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=ω2

c2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

C1

..

.Cn

.

..CN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

ˆ (x,y) =1

(x,y)

TM


TE : h2G =0 pour tout G et G1. G2'=0l'angle G2,G2' est le même que l'angle (k+G), (k+G')et |k+G||k+G'|G2.G2' = (k+G).(k+G')

1(G G') k + G' k + G

r G 2.

r G '2

r G 2.

r G '1

r G 1.

r G '2

r G 1.

r G '1

G ' R .R .

h1h2

=

c

2 h1h2

G

devient :

TE1(G G') k +G'( ) k +G( )h1,G

G ' R .R .

=c

2

h1,G

G


pour m vecteurs du réseau réciproque, l'équation se réduit à la diagonalisation d'une matrice hermitienne m x m dont les vecteurs propres sont ( /c)2 et les vecteurs propres {H(G)}

ˆ (x,y) =1

(x,y)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

(k + G1) · (k + G1) · · · (k + G1) · (k + Gm) · · · (k + G1) · (k + GN )...

. . ....

.

.

.(k + Gn) · (k + G1) · · · (k + Gn) · (k + Gm) · · · (k + Gn) · (k + GN )

..

....

. . ....

(k + GN ) · (k + G1) · · · (k + GN ) · (k + Gm) · · · (k + GN ) · (k + GN )

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

κ̂(G1 − G1) · · · κ̂(G1 − Gm) · · · κ̂(G1 − GN )...

. . ....

.

.

.κ̂(Gn − G1) · · · κ̂(Gn − Gm) · · · κ̂(Gn − GN )

..

....

. . ....

κ̂(GN − G1) · · · κ̂(GN − Gm) · · · κ̂(GN − GN )

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

A1

.

.

.An

..

.AN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=ω2

c2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

A1

.

.

.An

..

.AN

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

TE


un dernier petit effort de technique numérique avant une pause

Dans le cas général il faut le faire numériquement en se mettant à profit toutes les symétries du cristal et en restreignant à la zone de Brillouin irréductible. En général avec des algorithmes de transformée de Fourier rapide

Il reste à calculer la transformée de Fourier 1/ (x,y)

Pour certaines formes, il y a des solutions analytiques, par exemple pour des piliers ou des trous :

ou J1 est une fonction de Bessel du 1er ordre+ sommation sur le réseau

(G) = a G,0 + ( a b )2 R2

Scellule

J1 GR( )GR


méthode inverse et méthode de Ho

Tel qu'il a été décrit le formalisme utilise la transformée de Fourier de 1/ on peut aussi utiliser la transformée de Fourier de et inversé la matrice obtenue.Pour un nombre fini d'ondes planes les deux approches différent. En général, mais ce n'est pas une régle absolue, la méthode directe de Ho converge plus rapidement.

ref: Phys. Rev. Lett. 65, 3152, 1990 et JOSA B, 13, 1870, 1996

Etape Méthode inverse Méthode de Ho

1 Calcul de la transformée de Fourier

-1(G)=TF(1/ ) (G)=TF( )

2 Troncation [ -1(G)]N [ (G)]N

3 Inversion - [ -1(G)]N, Ho=[ (G)]N -1


méthode inverse et méthode de Ho

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

xy

Gmax=2N=13

Gmax=4N=43

Gmax=20N=1009

Gmax=8N=163

00.511.522.533.544.5

xy

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

xy

0

0.5

1

1.5

2

xy

0

0.5

0

0.5

1

1.5

2

xy

0.20.40.60.811.21.41.61.8

xy

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

xy

0

0.5

1

1.5

xy

untruncated'real' structure

inverse method

Ho's method

Méthode des ondes planeslimites du modèle

d1

d2

n 2n 1

n 2n 1 n 1

PhCPhC0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 5 10 15 20

n(y

)

y [a]

Prise en compte simultanée de grands et petits contraste d'indice

2D & 3Dla méthode onde plane est surtout utilisée pour les réseaux bidimensionnels, elle converge très lentement.

2D 3D

Nb ondes planes par direction

Nb ondes planes par cellule 2 3

Taille mémoire ( 2)2 = 4 (2 3)2 = 4 6

Temps de calcul 2( 2)3 = 2 6 (2 3)3 = 8 9

Pertes, valeurs complexes et milieu dispersif ou non-linéairetemps de vie (E+i ), longueur de pénétration (k+i ), absorption (n+ik), ( )

possible mais délicat

(2: polarisation non séparable)

Bestiaire des systèmes bidimensionnels

a2

a1

b2

b1

X

M

Γ

a2

a1

b2

b1

Γ

M

K

(a)

(b)

geometrysquare lattice triangular lattice

direct vectors a1 = (1, 0); a2 = (0, 1) a1 = (1, 0); a2 = (12,√

32

)

reciprocal vectors b1 = 2πa

(1, 0); b2 = 2πa

(0, 1) b1 = 2πa

(1,−13

√3); b2 = 2π

a(0, 2

3

√3)

f R2πa2

2π√3

R2

a2

unit cell surface a2√

32

a2

Attention : contrairement à l'intuition la distance K n'est pas égale à /a

X =a

Xréduit

= ±1

2

M = 2a

Mréduit

= ±22

M = 23

3 aM

réduit= ±

3

3

K =43 a

Kréduit

= ±23

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8 TE polarization

TM polarization

Reduced fre

quency

Filling factor

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau carré, trous

facteur de remplissage = fair

n=3.36


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_sqr_hole_TE.dat

k

M MG

X0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_sqr_hole_TM.dat

k

M MG

X

facteur de remplissage = fair = 50 %n=3.36


TE TM

2

1

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau carré, piliers

facteur de remplissage = fdiél

n=3.36

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

TE polarization

TM polarization

Reduced fre

quency

Filling factor


facteur de remplissage = fdiél = 20 %n=3.36

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_sqr_pill_TM.dat

k

M MG

X0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_sqr_pill_TE.dat

k

M MX

G


TE TM

2

1

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau triangulaire, trous


n=3.36

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8 TE polarization

TM polarization

Reduced fre

quency

Filling factor

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau triangulaire, trous


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_tri_hole_TE.dat

k

MM MG K

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_tri_hole_TM.dat

k

M MG

K

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau triangulaire, trousTE TM

2

1

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau triangulaire, piliers


n=3.36

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

TE polarization

TM polarization

Reduced fre

quency

Filling factor

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau triangulaire, piliers


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_tri_pill_TE.dat

k

M MK

G

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_tri_pill_TM.dat

k

M MG

K

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau triangulaire, piliersTE TM

2

1


n=3.36

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

TE polarization

TM polarization

Reduced fre

quency

Filling factor

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau graphite, trous


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_hon_hole_TE.dat

k

M MG K

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_hon_hole_TM.dat

k


TE TM

2

1


TE TM

4

3



n=3.36

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

TE polarization

TM polarization

Reduced fre

quency

Filling factor

Bestiaire des systèmes bidimensionnelsRéseau graphite, piliers



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_hon_pill_TE.dat

k

M MK

G

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

disp_hon_pill_TM.dat

k

M MKG

TE TM

2

1


TE TM

4

3


Cas 2D et propagation hors plancône de lumière

k =c

n

kx

k//

milieu 1

milieu 2

Rappel: réfraction et réflexion vues comme un phénomène de diffusion entre courbes de dispersion.Ibn Sahl (c. 984) (aussi connues sous le nom de lois de Snell-Descartes, c.1631) :

n'est autre que la conservation de k// à l'interface (invariance par translation) :

sin θ1

sin θ2

=n2

n1

k0n1 sin θ1 = k0n2 sin θ2 β1 = β2

n2

k 1

β1

θ1

θ2

β2

k 2

n > n1 2

Réflexion total interne :k<n2 /c :

couplage 1 vers 2 possiblek>n2 /c :

couplage 1 vers 2 impossible

milieu 1

milieu 2


Lame mince et guide d'onde

n2

n > n1 2

cladding light lin

e: ω = kc / n 2

light cone

weakly guided (field mostly in n )

fundamental mode

higher-order mode

at larger ω, β

ω

core light line: ω = k c / n 1

β = k ( )|| ΟΟ1

no modescan exist here

Ι

ΙΙ

ΙΙΙ

TE pol.

résonance, mode de fuite

vrais modes guidésétats permis dans le milieu 2

mode Fabry-Perot


n2

n > n1 2

cladding light lin

e: ω = kc / n 2

light cone

weakly guided (field mostly in n )

fundamental mode

higher-order mode

at larger ω, β

ω

core light line: ω = k c / n 1

β = k ( )|| ΟΟ1

no modescan exist here

Ι

ΙΙ

ΙΙΙ

TE pol.

Remarque: le continuum d'états à l'intérieur du cône de lumière provient de la projection du diagramme de dispersion sur k// du milieu gaine qui est semi-infini

kz

k//

milieu 2

milie

u 1

conservation k//

kz

k//

12


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

u=a/λ

k

Γ ΓM K

Ι

ΙΙ

ΙΙΙ

core light cone

cladding light cone

Membrane

résonances

vrais modes de cristaux photoniques

états permis dans le milieu 2

cône de lumière (air)

cas d'un guide faible contraste d'indice. Il n'y a pas de vrais modes confinés


Idem: le continuum d'états à l'intérieur du cône de lumière provient de la projection du diagramme de dispersion sur k// du milieu gaine et repliée sur la première zone de Brillouin

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

u=a/λ

k

Γ ΓM K

Ι

ΙΙ

ΙΙΙ

core light cone

cladding light cone

Intersection du cône =kc/n2 avec les plan M, MK et K

=courbe dispersion du cristal photonique avec ntrou=ndiélectrique=nair

Cas 2D et modes de défautssuper-cellule

But: alcul de modes de défauts

Défaut ponctuel

x

y

Défaut linéaire (guide d'onde)

Nouvelle cellule élémentaire agrandie fois dans la direction a1 et fois dans a2

N =G2

maxπ(2παa

) (2πβa

) = αβN0

Pour la même précision que la cellule élémentaire d'origine il faut N ondes planes

Cas 2D et modes de défautssuper-cellule et structure de bande projetée

supercell

direct lattice reciprocal lattice Brillouin zone

unit cell

k x

k y

k x

k y

a

a

a

βa

−π/a

−π/a

π/a

π/a

−π/aπ/(βa)

−π/(βa)

π/a

Cas d'un défaut linéaire (guide d'onde)

Réseau carré

x

y

Bon nombre quantique réduit à kx

De la même manière il faut projeter sur kx le diagramme de dispersion du milieu gaine (le cristal photonique) qui est semi-infini.

0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.60.40.200.20.40.6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

u [

a.2p

i/c]


Réseau carré

x

y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

k vector in units of 2pi/a

om

ega

a /(

2pi c

)

GX M

Projection sur M Projection sur X

M X

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.500.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

u [

a.2p

i/c]

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

u [

a.2p

i/c]

0.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.2 0 0.2

0.4 0.60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

u [

a.2p

i/c]

0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

u [

a.2p

i/c]


k ||

k ΓM

ΓΚ

Γ

Μ

Κπ/a−π/a

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

u=a/λ

k||

even

even

odd

Le cas du réseau triangulaire est un peu plus délicat : K n'a pas la même longueur pour un réseau unidimensionnel et un réseau triangulaire de même période a et il faut tenir compte des portions qui sortent de la première zone de Brillouin du réseau hexagonal

On peut faire ce genre de construction, mais cela n'a rien de mystérieux ...


Réseau triangulaire

... si on se souvient que les courbes de dispersion sont des nappes à deux dimensions

0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.5

0

0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

f = 0.3 , eps trou = 1 , eps guide = 10.89 , bandes 1 et 2 , TE polarization

u [

a.2p

i/c]

0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.5

0

0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

f = 0.3 , eps trou = 1 , eps guide = 10.89 , bandes 1 et 2 , TE polarization

u [

a.2p

i/c]

Projection sur K

0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4f = 0.3 , eps trou = 1 , eps guide = 10.89 , bandes 1 et 2 , TE polarization

u [

a.2p

i/c]

période d

période 3/4d

Autres méthodesMéthode Korringa-Kohn-Rostocker (KKR)

matrice de diffraction de la cellule élémentairefonction de Green de la structure périodique

•Plus complexe mais plus stable•Donne directement la densité d'états et la densité locale d'états-J. Phys. Cond. Matt. 6, 171, 1994-Phys. Rev. B, 51, 2068, 1995

Méthode liaisons fortesbase de fonctions localiséesstructure périodique et intégrales de recouvrement

•Il n'existe pas de base de fonctions suffisamment localisées•Calcul ab initio des éléments de matrices ou bien déterminés par comparaison avec un calcul onde plane•base adaptée à la description de défauts-Phys. Rev. Lett., 81, 1405, 1998 (résonances de Mie)-Phys. Rev. B, 61, 4381, 2000

Calculs de structures de bandes Méthode des ondes planes ...

Documents

Transcript of Calculs de structures de bandes Méthode des ondes planes ...