Ondes électriques - Free

physique année scolaire 2018/2019

Ondes électriquesLes points du cours à connaître

I- Réexion et transmission

1. Propriétés d'une OPPM (cas d'un câble coaxial)

La gure 1 représente un câble coaxial. Celui-ci est constitué de trois cylindres de mêmeaxe Oz :

• l'âme, conducteur électrique, pour r < a ;

• la gaine , isolant de permittivité relative εr, pour r ∈ [a; b] ;

• la masse, conducteur, pour r > b.

Structure du câble coaxial schéma

Figure 1 Structure du câble coaxial

La gure 2 représente Les éléments du circuit (dipôles) sont des constantes localisées :on notera l'inductance propre par unité de longueur l et la capacité propre par unité delongueur c.

Modélisation électrique du câble coaxial sans pertes schéma

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert et que la céléritédes ondes dans le câble est c0 = 1√

` c.

1 Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte exercice

Une loi des mailles donne :

` dx∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx

La loi des n÷uds donne :

I(x, t)− I(x+ dx, t) = c.dx∂V (x+ dx, t)

∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c dx

∂V

∂t

spé PC*1 page n 1 Lycée Saint Louis


Figure 2 Modélisation électrique du câble coaxial sans pertes

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance ` dx etune capacité c dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −`∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au tempst et à l'espace x commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à tla seconde, on trouve : ∂

2V∂x2

= ` c∂2V∂t2

.De même, en dérivant par rapport à x la seconde équation et par rapport à t la première,on trouve : ∂2I

∂x2= ` c∂

2I∂t2

. Ainsi, tension V et intensité I vérient ainsi la même équation depropagation, celle de D'Alembert :

∂2V

∂t2= c2

0

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c2

0

∂2I

∂x2avec la célérité c0 =

1√` c

Montrer que V+ = Zc I+ pour une propagation selon xV− = −Zc I− pour une propagation selon x

2 Relation entre tension et intensité pour une OPPM se propageant dans uncâble coaxial exercice

On a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x croissants

V

(t− x

c0

)= Zc I

(t− x

c0

)et on a vu que pour l'onde plane se propageant vers les x décroissants

V

(t+

x

c0

)= −Zc I

(t+

x

c0

)



L'impédance ne dépend que des caractéristiques du câble :

Zc = ` c0 =

√`

c=

1

c c0

car c0 = 1√` c. Elle est réelle, positive et s'exprime en Ω.

Dans le cas du câble d'antenne Zc v 50Ω.

Impédance caractéristique d'un câble coaxial s'y retrouver

Attention au signe !Pour une onde plane quelconque, il y a superposition d'une onde se propageant vers les xcroissants (I+) et d'une onde se propageant vers les x décroissants (I−) :

I (t, x) = I+

(t− x

c0

)+ I−

(t+

x

c0

)

⇒ V (t, x) = Zc I+

(t− x

c0

)− Zc I−

(t+

x

c0

)

remarque

l'énergie dans ` dx est dEL = 12` dx I2, qui donne une densité linéique d'énergie inductive

eL =1

2` I2

L'énergie dans c.dx est dEC = 12c dxV 2, qui donne une densité linéique d'énergie capa-

citive

eC =1

2c V 2

L'énergie dans le petit élément de longueur dx est dE = dEL+dEC = 12` dx I2+ 1

2c dxV 2

qui fait apparaître la densité linéique d'énergie

e = eL + eC =1

2` I2 +

1

2c V 2

Densités d'énergies s'y retrouver

la partie du câble pour les abscisses x < x0 transfère une puissance à la partie x > x0 :

P (t) = V (x0, t) I(x0, t)

On peut le retrouver en électricité : c'est la puissance qu'échange un dipôle, celui quicorrespond à la partie x > x0 du câble.

Puissance transférée d'un morceau à l'autre du câble s'y retrouver



Déterminer le signe de la puissance transférée de la partie du câble coaxial pour lesabscisses x < x0 à la partie x > x0 dans le cas d'une onde plane progressive, suivant sonsens de propagation.

3 Puissance transférée par une onde plane suivant le sens de propagation exercice

Pour une onde se propageant vers les x croissants, comme V (x0, t) = Zc I(x0, t), on trouveP (t) = Zc I(x0, t)

2 > 0 : la partie x > x0 du câble gagne du travail électrique.Pour une onde se propageant vers les x décroissants, comme V (x0, t) = −Zc I(x0, t), on trouveP (t) = −Zc I(x0, t)

2 < 0 : la partie x > x0 du câble perd du travail électrique.

Montrer que∂e

∂t= −∂P

∂x

4 Bilan énergétique local exercice

pour la partie du câble comprise entre x0 et x0 + dx, la variation d'énergie électrique est

dE

dt= +P (x0, t)− P (x0 + dx, t) = −∂P

∂xdx

D'autre part, comme E = e dx,dE

dt=∂e

∂tdx

On trouve donc le bilan local. On retrouve le fait qu'une onde correspond à un transfert d'énergiesans transfert de matière

2. Réexion en bout de ligne (cas d'un câble coaxial)

La gure 3 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc relié en x = x0 àune impédance Z.

Câble coaxial terminé par une impédance schéma

Figure 3 Câble coaxial terminé par une impédance



On dénit le coecient de réexion

en intensité : rI =Ir(x = x0, t)

Ii(x = x0, t)et en tension : rV =

Vr(x = x0, t)

Vi(x = x0, t)

Coecients de réexion en amplitude s'y retrouver

on dénit le coecient de réexion énergétique par

R =

∣∣∣∣〈Pr〉〈Pi〉∣∣∣∣ ∈ [0, 1]

où la puissance moyenne est 〈P 〉 = 12

Re(V I∗

).

Coecient de réexion en énergie s'y retrouver

On dit qu'il y a "adaptation d'impédance" si toute l'énergie est absorbée dans l'impé-dance terminale. C'est le cas si Z = Zc.

Adaptation d'impédance s'y retrouver

3. Réexion et transmission à une interface (cas d'un câble coaxial)

La gure 4 représente un câble coaxial d'impédance caractéristique Z1 relié en x = x0 àun autre câble coaxial d'impédance caractéristique Z2.

Deux câbles coaxiaux schéma

Figure 4 Deux câbles coaxiaux



on dénit le coecient de transmission par

en intensité : tI =It(x = x0, t)

Ii(x = x0, t)et en tension : tV =

Vt(x = x0, t)

Vi(x = x0, t)

Coecient de transmission en amplitude s'y retrouver

on dénit le coecient de transmission énergétique par

T =

∣∣∣∣〈Pt〉〈Pi〉∣∣∣∣⇒ R + T = 1

Coecient de transmission en énergie s'y retrouver

II- Dispersion et absorption

1. Equations d'onde et relation de dispersion

La gure 5 représente On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductancepropre par unité de longueur `, une capacité propre par unité de longueur c, une résistancepar unité de longueur r1 et une conductance par unité de longueur g2.

Modélisation d'un câble coaxial résistif schéma

Figure 5 Modélisation d'un câble coaxial résistif

Déterminer l'équation d'onde (dite "des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensitédans le câble et vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0et g2 = 0.

5 Equation de propagation dans un câble coaxial résistif exercice


` dx∂I(x, t)

∂t+ r1 dx I(x, t) = −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx




I(x, t)− I(x+ dx, t) = c dx∂V (x+ dx, t)

∂t+ g2 dxV (x+ dx, t)

soit − ∂I∂x

dx ≈ c dx∂V∂t

+ g2 dxV (x, t).On arrive à deux équations couplées :

c∂V

∂t+ g2 V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1 I(x, t) = −∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au tempst et à l'espace x commutant. En dérivant la seconde par rapport à x, on trouve : ∂2V

∂x2=

−` ∂∂t

(∂I(x,t)∂x

)−r1

∂I(x,t)∂x

et en utilisant la première, ∂2V∂x2

= l ∂∂t

(c∂V∂t

+ g2 V (x, t))+r1

(c∂V∂t

+ g2 V (x, t)).

Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂2V

∂x2= ` c

∂2V

∂t2+ (r1 c+ ` g2)

∂V

∂t+ r1 g2 V (x, t)

On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

On va chercher des solutions sous la forme :

ψ(~r, t) = Re(ψ(~r, t)

)où

ψ = ψ0.ej(k x−ω t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes. Cette fois, k est a priori complexe.

Recherche des solutions d'une équation d'onde s'y retrouver

La relation de dispersion est l'équation entre le vecteur d'onde complexe k et la pulsationω des OPPM qui composent l'onde qui se propage dans ce milieu.

Relation de dispersion dénition

Déterminer la relation de dispersion qui correspond à l'équation d'onde des télégra-phistes.

6 Relation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif exercice

Cela donne l'équation de dispersion

k2 = ` c ω2 + j (r1 c+ ` g2)ω − r1 g2

En général, on cherche un vecteur d'onde complexe

k = kr + j ki avec kr = Re(k)

et ki = Im(k)

Solution d'une équation de dispersion s'y retrouver



La forme de l'onde sera :ψ = ψ0 e

−ki x e−j (ω t−kr x−ϕ0)

2. Milieu absorbant / Onde amortie

L'onde est de la forme :ψ = ψ0 e

−ki x e−j (ω t−kr x−ϕ0)

Donc l'amplitude de l'onde est

ψ0 e−ki x = ψ0 e

−xδ

L'amplitude de l'onde décroît sur une taille caractéristique (appelée longueur de péné-tration)

δ =1

ki=

1

Im(k)

Puisque l'amplitude de l'onde décroît avec x si l'onde se propage vers les x croissants, onparle d'onde absorbée.

Onde amortie s'y retrouver

La gure 6 représente la "photographie" d'une onde amortie sur une corde. L'atténuationa lieu dans le sens de propagation de l'onde. L'onde perd de l'énergie au prot du milieude propagation : il y a absorption de l'onde.

"Photographie" d'une onde amortie sur une corde schéma

Figure 6 "Photographie" d'une onde amortie sur une corde

3. Milieu dispersif



Pour une onde plane de pulsation ω ayant une partie réelle du vecteur d'onde kr, ondénit une vitesse de phase

vϕ =ω

kr

Vitesse de phase dénition

Un milieu est dit dispersif si la vitesse de phase dépend de la pulsation ω de l'ondeplane.

Milieu dispersif dénition

Montrer qu'un milieu qui suit l'équation de D'Alembert est non dispersif.

7 Cas de l'équation de D'Alembert exercice

L'équation de dispersion se réécrit

k2 =ω2

c20

=(k2r − k2

i

)+ 2 j kr ki

k est alors réel : k = k = kr = ± ωc0

et ki = 0.

en optique, on dénit l'indice optique par n = cvoù v est la vitesse de l'onde électroma-

gnétique dans un milieu (transparent) et c la vitesse de la lumière dans le vide. La loiempirique de Cauchy relie n à la longueur d'onde (dans le vide) λ = c

ν= 2π.c

ω:

n = A+B

λ2

où A et B sont des constantes.On voit donc que les milieux matériels sont dispersifs pour les ondes lumineuses : vϕ = c

nest fonction de λ donc de ω.

Exemple de la loi de Cauchy s'y retrouver

III- Paquet d'ondes

1. Notion de paquet d'ondes

une OPPM n'est pas physique car elle a une extension innie dans l'espace et dans letemps. Elle ne nit jamais, et a débuté il y a un temps inni ! // L'OPPM est un outil ma-thématique intéressant car on peut décomposer une onde sous la forme de superpositiond'OPPM.

Nécessité du paquet d'ondes s'y retrouver



La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox parune superposition d'OPPM peut s'écrire

ψ =

∫ ∞0

A (ω) .ej.(ωt−k.x)dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.

Forme mathématique d'un paquet d'onde dénition

Bien souvent A (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur ∆ω : on parle de paquetd'ondes.Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension ∆ν = ∆ω

2π.

Extension d'un paquet d'ondes s'y retrouver

La gure 7 représente un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtained'OPPM.

Paquet d'ondes schéma

Figure 7 Paquet d'ondes

On peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée ∆t telle que

∆t∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x,reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :

∆x∆k ≈ 1

"Petit" paquet d'ondes s'y retrouver



2. Vitesse de groupe

On s'intéresse à un petit paquet d'ondes : on suppose que k = k0 + δk et ω = ω0 + δω,avec δω ω0 et δk k0

Petit paquet d'ondes s'y retrouver

On dénit la vitesse de groupe par

vg =dω

dk

au voisinage de (k0;ω0).

Vitesse de groupe dénition

Montrer queψ = A′ ej (ω0 t−k0 x)

pour peu que l'on pose l'enveloppe

A′ =

∫A (ω0 + δω) e

j δω(t− x

vg

)dδω

8 Enveloppe d'un paquet d'ondes exercice

On peut faire un développement limité autour de (k0;ω0) :

k (ω) ≈ k (ω0) +dk

dω(ω − ω0) = k0 +

δω

vg

En remplaçant dans l'onde plane complexe, on trouve

ψ =

∫A (ω0 + δω) e

j(ω0 t+δω t−k0 x− δωvg x

)dδω

on a donc trouvé une onde moyenne (autour de (k0;ω0) : ej (ω0 t−k0 x)), modulée par uneenveloppe A′ qui se déplace donc vers les x croissants à la vitesse de groupe vg car on

retrouve le facteur ej δω

(t− x

vg

).

Interprétation du paquet d'onde s'y retrouver

3. Propagation d'un paquet d'ondes

Montrer que vitesses de phase et de groupe sont égales dans le cas de l'équation deD'Alembert :

vϕ = vg = c0

Il n'y a pas de dispersion.

9 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert exercice



Dans le cas de l'équation de D'Alembert, l'équation de dispersion se réécrit

k2 =ω2

c20

⇒ k =ω

c0

pour une onde se propageant vers les x croissants. Donc

vϕ = vg = c0

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant se caracté-rise par la transmission du paquet d'ondes identique à lui-même au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbantanimation

La gure 8 représente la propagation dans un milieu absorbant. Le paquet d'onde va sedéformer : il va s'étaler et s'amenuiser.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant schéma

Figure 8 Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant

La propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif fait apparaître un élargisse-ment de ce paquet d'ondes. Le fait que le milieu soit absorbant se caractérise par l'aai-blissement de l'amplitude du paquet d'ondes au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant animation



pour transmettre une information, un émetteur doit envoyer à un récepteur une ondelimitée dans le temps et l'espace : une impulsion, un petit paquet d'ondes.Le récepteur détectera le passage de ce paquet d'onde, c'est à dire, en gros, le passagedu maximum de l'enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe.La transmission de l'information se fait donc à la vitesse vg.

Transmission de l'information s'y retrouver



Exercice traité en n de cours

exo 11.1) Modélisation de la propagation dans un câble coaxial

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur `, unecapacité propre par unité de longueur c, une résistance par unité de longueur r1 et une conductance par unitéde longueur g2.

1) Etude générale1.a) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.1.b) Déterminer la relation de dispersion qui correspond à l'équation d'onde des télégraphistes. En

déduire que le milieu est ni absorbant ni dispersif.2) Cas non résistif.On suppose r1 = 0 et g2 = 0.

2.a) Montrer que l'on retrouve l'équation d'onde de D'Alembert et que la relation de dispersion nouspermet de réécrire une OPPM.

2.b) Montrer qu'il y a équipartition de l'énergie sous ses deux formes (inductive et capacitive) pourune onde plane dans un câble coaxial.

3) Réexion en bout de ligneLe câble coaxial d'impédance caractéristique Zc non résistif est relié en x = x0 à une impédance Z.

3.a) Calculer les coecients de réexion en amplitude rI et rV .3.b) En déduire le coecient de réexion en énergie R.3.c) Que vaut R dans le cas :

• d'une ligne ouverte

• d'une ligne en court-circuit

• d'une ligne fermée sur une inductance pure

• d'une ligne fermée sur une capacité pure

• d'une ligne fermée sur une impédance égale à l'impédance caractéristique du câble ?

4) On suppose maintenant le câble résistif mais r1 c+ ` g2 ≈ 0.4.a) Montrer que la relation de dispersion est celle de Klein-Gordon :(ω

c

)2

= k2 +(ωcc

)2

En déduire que le milieu est non absorbant.4.b) tracer ω en fonction de k et donner une interprétation géométrique aux vitesses de phase et de

groupe. En déduire que le milieu est dispersif.4.c) Montrer que vitesses de phase et de groupe sont diérentes et que

vg vϕ = c2

L'information se propage-t-elle plus vite que la lumière ?5) On suppose enn le câble résistif mais g2 = 0.

5.a) Réécrire la relation de dispersion.5.b) Pour une propagation vers les x croissants, montrer que ki > 0. En déduire que le milieu est

absorbant. Pourquoi faut-il régénérer le signal au bout d'une certaine distance ?



1) Etude générale1.a) Une loi des mailles donne :

l.dx.∂I(x, t)

∂t+ r1.dx.I(x, t) = −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂t+ g2.dx.V (x+ dx, t)

soit

−∂I∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t+ g2.dx.V (x, t)

On arrive à deux équations couplées :

c∂V

∂t+ g2.V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1.I(x, t) = −∂V

∂x

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. En dérivant la seconde par rapport à x, on trouve :

∂2V

∂x2= −l ∂

∂t

(∂I(x, t)

∂x

)− r1

∂I(x, t)

∂x

et en utilisant la première,

∂2V

∂x2= l

∂

∂t

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)+ r1

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(x, t) suit aussi :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2+ (r1 c+ ` g2)

∂V

∂t+ r1.g2.V (x, t)

1.b)Cela donne l'équation de dispersion

k2 = ` c ω2 + j (r1 c+ ` g2)ω − r1 g2

2) Cas non résistif.2.a) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0 et l'équation de dispersion

devientk2 = ` c ω2

soit k = ± ωc0

avec c0 = 1√` c.

2.b) En utilisant l'impédance caractéristique Zc = ` c0 =√

`c = 1

c c0, on montre que, s'il s'agit d'une

onde plane progressive (dans un sens ou dans l'autre),

eL = eC ⇒ e = ` I2 = c V 2

3) Réexion en bout de ligne3.a)3.b) On peut montrer que le coecient de réexion en énergie au bout d'un câble coaxial d'impédance

caractéristique Zc fermé sur une impédance terminale Z est :

R =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2

3.c) Dans le cas où Z →∞, R = 1 : la réexion est totale.Dans le cas où Z = 0, R = 1 : la réexion est encore totale.Dans le cas où Z = j.L.ω, R = 1 : la réexion est totale.Dans le cas où Z = 1

j.C.ω = −jC.ω , R = 1 : la réexion est totale.

R =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2 = 0⇔ Z = Zc



3.d)4) On suppose le câble résistif mais r1 c+ ` g2 ≈ 0.

4.a) La relation de dispersion est celle de Klein-Gordon :(ωc

)2

= k2 +(ωcc

)2

avec(ωcc

)2= r1 g2. Comme k réel, le milieu n'est pas absorbant.

4.b)

vϕ est variable donc le milieu est dispersif.4.c)

k =

√ω2 − ω2

c

cpour tout ω > ωc

La vitesse de groupe se calcule ainsi :dk

dω=

2ω

2 c√ω2 − ω2

c

vϕ =c√

1−(ωcω

)2la vitesse de groupe est :

vg = c

√1−

(ωcω

)2

et vitesses de phase et de groupe sont diérentes car

vg vϕ = c2

Le vecteur d'onde est réel, et pour tout ω > ωc

k = kr =

√ω2 − ω2

c

c

On a alors pour tout ω > ωc

vϕ =c√

1−(ωcω

)2La vitesse de phase dépend de ω : le milieu est dispersif.

5)5.a) On aboutissait à l'équation de dispersion

k2 = ` c ω2 + j (r1 c+ ` g2)ω − r1 g2 = k2r − k2

i + 2 j kr ki

donck2 = ` c ω2 + j r1 c ω



5.b)k2 = k2

r − k2i + 2 j kr ki

Dans le cas d'une propagation vers les x croissants, c'est à dire pour kr > 0, on trouve :

ki =r1 c ω

2 kr> 0



Techniques à maîtriser

I- Etablir une équation d'onde

Reconnaître une équation de d'Alembert.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on prend garde à faire la diérence entre lesactions qui s'exercent à gauche (−~F (x)) et à droite (+~F (x+ dx)).

A) Etablir une équation de propagation dans un milieu continu méthode

On part de l'étude d'un élément n, on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donneune équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus enfaisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n, n− 1 et n+ 1.On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

B) Etablir une équation de propagation dans un milieu discontinu méthode

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on écrit la loi des mailles et celle des n÷uds.On découple les deux équations couplées en les re-dérivant.

C) Etablir une équation de propagation dans un câble électrique méthode

11.1.1) Corde verticale

On s'intéresse à une corde inextensible, de masse linéique µl, accrochée en un point O, l'axe Ox étant vertical,vers le bas. Déterminer l'équation d'onde que suit y(x, t), la coordonnée orthogonale à Ox.

On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie del d'abscisse inférieure à x. On négligera pas l'eet de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre lesabscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.

Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t) + µl.dx.~g

dont la projection suivant ~ux donne :

µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) + µl.g.dx =

∂Tx∂x

dx+ µl.g.dx

Aussi, on pourra considérer Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0−µl.g.x, constante. Donc, la projection suivant ~uy du

théorème du centre de masse donne :

µl.dx∂2y

∂t2= (T.α)(x+dx,t) − (T.α)(x,t) =

∂ (T.α)

∂xdx



Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x on en déduit l'équation

µl∂2y

∂t2= (T0 − µl.g.x) .

∂2y

∂x2+∂T

∂x

∂y

∂x= (T0 − µl.g.x) .

∂2y

∂x2− µl.g

∂y

∂x

soit∂2y

∂t2=

(T0

µl− g.x

).∂2y

∂x2− g ∂y

∂x

11.1.2) Equation de propagation dans un câble coaxial sans perte

On s'intéresse à un câble coaxial sans perte. On notera l'inductance propre par unité de longueur l et lacapacité propre par unité de longueur c.

Montrer que tension V et intensité I vérient l'équation de D'Alembert. Que vaut la célérité des ondes dansle câble ?


l.dx.∂I(x, t)

∂t= −V (x+ dx, t) + V (x, t) = −∂V

∂xdx



∂tsoit − ∂I

∂xdx ≈ c.dx∂V

∂t

L'étude électrocinétique du petit élément de longueur dx qui présente une inductance l.dx et une capacitéc.dx nous amène à deux équations couplées :

∂V

∂x= −l ∂I(x, t)

∂tet

∂I

∂x= −c∂V

∂t

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacex commutant. Ainsi, en dérivant par rapport à x la première et par rapport à t la seconde, on trouve :

∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2

De même, en dérivant par rapport à x la seconde équation et par rapport à t la première, on trouve :

∂2I

∂x2= l.c

∂2I

∂t2

Ainsi, tension V et intensité I vérient ainsi la même équation de propagation, celle de D'Alembert :

∂2V

∂t2= c20

∂2V

∂x2et

∂2I

∂t2= c20

∂2I

∂x2

avec la célérité c0 = 1√l.c.

11.1.3) Equation de propagation dans un câble coaxial avec perte

On s'intéresse à un câble coaxial dispersif. Ce câble a une inductance propre par unité de longueur l, unecapacité propre par unité de longueur c, une résistance par unité de longueur r1 et une conductance par unitéde longueur g2.

1) Déterminer l'équation "des télégraphistes" suivie par la tension et l'intensité dans le câble.2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

1) Une loi des mailles donne :

l.dx.∂I(x, t)


∂xdx






soit


∂t+ g2.dx.V (x, t)


c∂V

∂t+ g2.V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1.I(x, t) = −∂V

∂x


∂2V

∂x2= −l ∂

∂t

(∂I(x, t)

∂x

)− r1

∂I(x, t)

∂x


∂2V

∂x2= l

∂

∂t

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)

)+ r1

(c∂V

∂t+ g2.V (x, t)


∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂V

∂t+ r1.g2.V (x, t)

2) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r1 = 0 et g2 = 0.

11.1.4) Propriétés ondulatoires d'un câble

Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm etb = 3, 5mm.

L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique(polyéthylène) de permittivité diélectrique relative εr = 2, 26. La capacité et l'inductance linéiques du câblesont respectivement :

c = 2π.ε0.εrln( ba )

l = µ0

2π ln(ba

)1) Calculer la vitesse c0 de propagation des signaux électriques.2) Calculer l'impédance caractéristique Zc du câble.

1) La célérité des ondes est :

c0 =1√l.c

=1

√µ0.ε0.εr

= 2.108m.s−1

2) L'impédance caractéristique est :

Zc =

√l

c=

1

2π

√µ0

ε0.εrln

(b

a

)

II- Etablissement de la relation de dispersion



An d'arriver à la relation de dispersion, on recherche les solutions de l'équation de propagation sous la

forme ψ = ψ0 e−j(ω t−k x−ϕ0). NB : on aurait pu tout aussi bien choisir ψ = ψ0.e

+j.(ω.t−k.x−ϕ0). Maisune fois fait le choix, on n'en change plus !On trouve ensuite k = f(ω).

D) Déterminer la relation de dispersion méthode

11.2.1) Equation de dispersion dans le cas de l'équation de propagation de D'Alembert

Déterminer l'équation de dispersion dans le cas de l'équation de D'Alembert.

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2⇒ k2 =

ω2

c20

11.2.2) Equation de dispersion dans le cas d'un câble coaxial résistif

Dans le cas d'un câble coaxial résistif, on aboutit à l'équation de propagation dite des "télégraphistes" :

∂2ψ

∂x2= l.c

∂2ψ

∂t2+ (r1.c+ l.g2)

∂ψ

∂t+ r1.g2.ψ

Déterminer alors l'équation de dispersion.

Cela donne l'équation de dispersion

k2 = l.c.ω2 + j. (r1.c+ l.g2)ω − r1.g2

11.2.3) Equation de dispersion dans le cas d'une chaine de pendules couplés

La propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L,couplés par des ressorts de raideur K, disposés à une distance a les uns des autres dans l'approximation desmilieux continus suit l'équation : ∂

2ψ∂t2 + ω2

p.ψ = c2 ∂2ψ∂x2 avec c2 = a2.ω2

p.Déterminer l'équation de dispersion.

L'équation de dispersion est celle de Klein Gordon :

ω2 = ω2p + c2.k2

III- Utilisation de la relation de dispersion

Déterminer la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion.


Il faut trouver la solution de la relation de dispersion de en utilisant k = kr + j.ki qui donne deuxéquations réelles.Une fois déterminés kr et ki, on réinjecte dans la forme de l'onde :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−k x−ϕ0) = ψ0.e

−ki.x.e−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)

E) Forme de l'onde solution méthode



On repasse ensuite aux réels.

11.3.1) Equation de dispersion de Klein Gordon

On s'intéresse à un milieu qui vérie la relation de dispersion de Klein-Gordon :

ω2 = ω2p + k2.c2

1) Calculer en fonction de ω, ωp et c :1.a) la vitesse de phase vϕ,1.b) la vitesse de groupe vg.

2) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.3) Comparer chacune des vitesses à c.

1)1.a) la vitesse de phase :

vϕ =c√

1−(ωpω

)21.b) la vitesse de groupe :

vg = c.

√1−

(ωpω

)2

2)

vg =c2

vϕ

3) vg < c < vϕ.

11.3.2) Diverses ondes à la surface de l'eau

On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnéepar :

ω2 =

(g.k +

γ.k3

µ

)th (k.h)

où g = 9, 81m.s−2 est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10−3SIla tension supercielle à l'interface eau-air.

1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde :1.a) de marée (λ = 1000km et h = 5km),1.b) de houle (λ = 5m),1.c) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),1.d) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cm et h = 1mm).

1) NB : en eaux profondes, th (k.h) ≈ 1. On trouve :1.a) pour une onde de marée de λ = 1000km et h = 5km,

vg = 800km/h

1.b) pour une onde de houle (λ = 5m),

vg = 5km/h

1.c) pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),

vg = 30cm.s−1



1.d) et pour une onde de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cmet h = 1mm),

vg = 20cm.s−1

11.3.3) Onde absorbée

1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par un volumeélémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.

1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dansle milieu (loi de Beer-Lambert).

1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?2) Application : une bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km−1. Au bout de quelle longueur

l'intensité d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?

1) La puissance incidente sur une tranche de section transversale S comprise entre les abscisses z et z+dzest I(z).S où I(z) est l'intensité de l'onde à l'abscisse z. De même, la puissance transmise est I(z + dz).S.

La puissance absorbée est proportionnelle au volume S.dz traversé et à l'intensité incidente, on a donc :I(z + dz).S − I(z).S = −β.S.I(z).dz où β est un coecient positif.

1.a) On a donc dIdz = −β.I(z) qui s'intègre en :

I(z) = I0.e−β.z

L'intensité décroît exponentiellement.

1.b) L'intensité en décibels est IdB = 10log(I(z)Iref

). C'est donc une fonction ane décroissante de z

de pente − 10.βln(10) :

IdB = 10.log

(I0Iref

)− 10.β

ln(10)z

2) 10.βln(10) = 0, 1dB.km−1. La longueur L au bout de laquelle I(L)

I0= 1

2 est :

L =2

β= 30km

IV- Paquets d'onde

Associer la vitesse de groupe à la propagation de l'enveloppe du paquet d'ondes.


L'onde complexe est la superposition d'ondes monochromatiques :

ψ =

∫ ∞0

A (ω) .ej.(ωt−k.x)dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.En faisant le développement limité autour de ω0, k0 :

ω = ω0 + uk(ω) ≈ k0 + ∂k

∂ωu = k0 + uvg

F) Paquets d'onde méthode



on peut déterminer le paquet d'onde par le changement de variable ω → u :

ψ =

∫ ∞−∞

A (ω0 + u) .ej.(u t− u

vg

)ej.(ω0 t−k0 x)du

11.4.1) Paquet d'onde à spectre rectangulaire

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre rectangulaire :A(ω) = A0

∆ω si ω ∈[ωm − ∆ω

2 ;ωm + ∆ω2

]A(ω) = 0 sinon

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'unesuperposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = Re

(∫ ω=∞

ω=0

A(ω).ej.(ω.t−k(ω).x).dω

)La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposeraque la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ωm du paquet.

On notera vg la vitesse de groupe correspondante.On trouve :

ψ(x, t) = A0.sinc

[∆ω

2

(t− x

vg

)]. cos (ωm.t− km.x)

11.4.2) Paquet d'onde à spectre gaussien

Établir l'expression de l'amplitude du paquet d'ondes si le paquet d'ondes est à spectre gaussien :

A(ω) =A0√

2.π.∆ωe−

(ω−ωm)2

2.∆ω2

On donne : ∫ ∞−∞

e−α2.x2+j.β.x.dx =

√π

αe−

β2

4.α2

pour tout réel β et tout complexe α d'argument compris entre −π4 et +π4 .

Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d'unesuperposition continue d'O.P.P.M, (un paquet d'ondes), son amplitude pouvant s'écrire :

ψ(x, t) = Re

(∫ ω=∞

ω=0

A(ω).ej.(ω.t−k(ω).x).dω

)La répartition A(ω) des amplitudes des composantes spectrales de l'onde dénit son spectre. On supposeraque la largeur spectrale ∆ω de ce paquet d'ondes est faible devant la pulsation moyenne ωm du paquet.

On notera vg la vitesse de groupe correspondante.On trouve :

ψ(x, t) = A0.e− (∆ω)2

2

(t− x

vg

)2

. cos (ωm.t− km.x)

11.4.3) Interférence d'un paquet d'onde

On s'intéresse à un paquet d'onde de largeur spectrale ∆ω, faible devant la pulsation moyenne ωm dupaquet.

1) Calculer l'amplitude du paquet d'ondes suivant :

ψ(x, t) =

n=+N−12∑

n=−N−12

A0. cos (ωn.t− kn.x)



où ωn = ωm + nN∆ω. On supposera pour simplier les calculs que N est impair.

2) Quelle durée caractéristique ∆t peut être attribuée aux bouées d'ondes de ce paquet ? Commenter sadépendance vis-à-vis de sa largeur spectrale ∆ω.

1) On peut changer ψ(x, t) en :

ψ(x, t) = A0.Re

ej.(ωm.t−km.x)

n=+N−12∑

n=−N−12

ej. nN ∆ω.

(t− x

vg

)Il s'agit ensuite de calculer la série géométrique. On trouve pour nir :

ψ(x, t) = A0.sin[

∆ω2

(t− x

vg

)]sin[

∆ω2.N

(t− x

vg

)] . cos (ωm.t− km.x)

2) On peut associer à chaque " bouée " du paquet d'ondes une durée

∆t ≈ 1

∆ω

d'autant plus courte que la largeur spectrale est étendue.

11.4.4) Vitesses de phase et de groupe

1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variablela longueur d'onde λ :

vg = vφ − λdvφdλ

2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω = A.kα où A et α sont indépendants de k. Exprimerla vitesse de groupe en fonction de vφ et α.

1) On peut écrire

vg =d(vφ.k)

dk= vφ + k

dvφdk

= vφ + kdλ

dk

dvφdλ

qui donne la formule de Rayleigh car λ = 2.πk , d'où k dλdk = k−2.π

k2 = −λ.2) On peut faire la dérivée logarithmique de la relation de dispersion, et on trouve :

vg = α.vφ

V- Discontinuité à une interface

Expliciter des conditions aux limites à une interface.Établir les expressions des coecients de transmission et de réexion.Associer l'adaptation des impédances au transfert maximum de puissance.


Il s'agit d'abord de déterminer la condition à l'interface. On écrit ensuite les ondes incidente, transmiseet rééchie en complexe. Puis on réécrit les conditions de continuité à l'interface en faisant apparaître les

G) Coecients de transmission et de réexion méthode



coecients de transmission et réexion en amplitude. Le tout donne un système d'équations qui permetde déterminer les coecients.

Les conditions de continuité à l'interface sont :- la continuité de la déformation y

(y = y−0 , t

)= y

(y = y+

0 , t)∀t ;

- la continuité de la force Ty(y = y−0 , t

)= Ty

(y = y+

0 , t)∀t.

H) Transmission et de réexion pour une onde mécanique sur une corde méthode

11.5.1) Coecients de réexion au bout d'un câble coaxial

On considère un câble coaxial d'impédance caractéristique Zc, pour x < x0. Le câble se termine sur uneimpédance Z en x = x0.

1) Déterminer les coecients de réexion en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire le coecient de réexion en énergie.

1) En x = x0, le câble se termine sur une impédance Z. Cette impédance impose comme condition à lalimite

V (x0, t) = Z.I(x0, t) ∀t

Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que se superposent

• une onde incidente qui se propage vers les x croissants : Vi = Zc.Ii ;

• une onde rééchie qui se propage vers les x décroissants : Vr = −Zc.Ir.L'onde dans le câble (pour x < x0), est

I = Ii + Ir

V = Vi + Vr = Zc.(Ii − Ir

)Donc, en x0, ∀t,

Zc.(Ii − Ir

)= Z.

(Ii + Ir

)En x0, ∀t,

Ii.(Zc − Z

)= Ir.

(Zc + Z

)Il vient d'après la condition à la limite précédemment énoncée

rI =Zc − ZZc + Z

et rV =Z − ZcZc + Z

= −rI

2) Aussi,

R =

∣∣∣∣∣−Zc.I2r

Zc.I2i

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ I2r

I2i

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ V 2r

V 2i

∣∣∣∣∣ce qui permet de conclure

R = |rV |2 = |rI |2 =

∣∣∣Z − Zc∣∣∣2∣∣∣Zc + Z∣∣∣2

11.5.2) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux câbles coaxiaux

On considère deux câble coaxiaux connectés en x = x0 :

• pour x < x0, l'impédance est Zc1 ;

• pour x > x0, l'impédance est Zc2 .

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude pour la tension et l'intensité.2) En déduire les coecients de réexion et transmission en énergie.



1) En x = x0, il y a continuité de l'intensité et de la tension à la limite :

V (x−0 , t) = V (x+0 , t) et I(x−0 , t) = I(x+

0 , t) ∀t

Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x croissants : Vi = Zc1 .Ii ;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x décroissants : Vr = −Zc1 .Ir.• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x0) vers les x croissants : Vt = Zc2 .It.

L'onde dans le premier câble (pour x < x0), estI = Ii + Ir

V = Vi + Vr = Zc1 .(Ii − Ir

)En x0, ∀t, Vi + Vr = Vt ⇒ Zc1 .

(Ii − Ir

)= Zc2 It

Ii + Ir = It ⇒ 1Zc1

(Vi − Vr

)= 1

Zc2Vt

On peut réécrire les conditions à la limite de la façon suivante1 + rI = tI

1− rI =Zc2Zc1

tI

1 + rV = tV1− rV =

Zc1Zc2

tV

soit rI =

Zc1−Zc2Zc1+Zc2

= −rVtI =

2.Zc1Zc1+Zc2

=Zc1Zc2

tV

2) Du coup, R = |rV .rI | =

(Zc1−Zc2)2

(Zc1+Zc2)2

T = |tV .tI | =4.Zc1 .Zc2

(Zc1+Zc2)2

11.5.3) Coecients de réexion et transmission à la jonction de deux cordes

On s'intéresse à une corde très longue qui est composée de deux tronçons de masses linéiques µ1 (si x < 0)et µ2 (si x > 0), la tension étant toujours T0 ; le n÷ud en x = 0 est sans masse.

1) Déterminer les coecients de réexion et transmission en amplitude.

2) Entre quelles limites peuvent-ils varier ? Discuter ces cas suivant la valeur du coecient α =√

µ2

µ1.

1) On écrit• la continuité de la déformation en x = 0 : y (x = 0−, t) = y (x = 0+, t) ∀t ;• la continuité des projections des tensions puisqu'il n'y a pas de masse discrète en x = 0 : Ty (x = 0−, t) =Ty (x = 0+, t) ∀t.

Or Fy = Zc.vy avec Zc =√µ.T0. Pour réaliser une telle condition, il faut supposer que coexistent

• une onde incidente qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x croissants : Tyi =Zc1 .vyi =

√µ1.T0.j.ω.yi ;

• une onde rééchie qui se propage dans le premier câble (pour x < x0) vers les x décroissants : Tyr =−Zc1 .vyr = −

√µ1.T0.j.ω.yr.

• une onde transmise qui se propage dans le second câble (pour x > x0) vers les x croissants : Tyt =Zc2 .vyt =

√µ2.T0.j.ω.yt.

Ainsi, la première relation donne : yi + yr = yt soit 1 + r = t. D'autre part, la seconde relation donne :√µ1 −

√µ1r =

√µ2t. Ces deux conditions donnent :

r =√µ1−√µ2√

µ1+√µ2

= 1−α1+α

t =2.√µ1√

µ1+√µ2

= 21+α



2)

• α = 1 correspond à une seule corde de dimension innie, d'où r = 0 et t = 1 ;

• α = 0 correspond à une extrémité libre en x = 0 (attention l'onde transmise ne transporte pas d'énergiepuisque la masse de la deuxième corde est nulle), d'où r = 1 et t = 0 ;

• α =∞ correspond à un objet rigide en x = 0, d'où r = −1 et t = 0.



Les techniques mathématiques à connaîtreIntégration d'équations aux dérivées partielles

Equation aux dérivées partiellesOn cherche à déterminer une fonction ψ qui dépend de plusieurs variables et sur laquelle porte une équationaux dérivées partielles (EDP). Exemples d'EDP :

• équation de D'alembert : ∂2ψ∂t2 = c2 ∂

2ψ∂x2 ;

• équation de diusion : ∂ψ∂t = D ∂2ψ∂x2 ;

• équation de Laplace : ∂2ψ∂x2 + ∂2ψ

∂y2 + ∂2ψ∂z2 = 0.

Méthode de la séparation des variables

La méthode de séparation des variables consiste à poser ψ (x, t) = f(x) g(t) et à remplacer dans l'EDP, pour

voir si on arrive à obtenir des équations diérentielles sur f(x) et sur g(t) indépendamment. Exemple pour l'équation de D'alembert :

∂2ψ

∂t2= c2

∂2ψ

∂x2⇒ f(x)

d2g

dt2= c2

d2f

dx2g(t)⇒ g”(t)

g(t)= c2

f”(x)

f(x)

Comme le membre de gauche ne dépend que de t et le membre de droite que de x on en déduit qu'ils sontconstants, c'est-à-dire qu'il existe K ∈ R tel que :

g”(t)−K g(t) = 0 et f”(x)− K

c2f(x) = 0

On a ainsi obtenu deux équations à variables séparées...Méthode des complexes

La méthode des complexes consiste à poser ψ (x, t) = Re(ψ)

(x, t) avec ψ (x, t) = A e−j(ω t−k x) et à remplacer

dans l'EDP (uniquement si elle est linéaire).Cela mène à une équation reliant k à ω (relation de dispersion). Il s'agit ensuite de résoudre cette équation, en

posant k = kr + j ki (où kr = Re(k)et ki = Im

(k)).

Il faut ensuite exprimer ψ (x, t) puis ψ = Re(ψ).

Exemple pour l'équation de diusion :

∂ψ

∂t= D

∂2ψ

∂x2⇒ ∂ψ

∂t= D

∂2ψ

∂x2⇒ −j ω = −D k2

On pose donc k = kr + j ki, qui donne dans la relation de dispersion :

j ω = D(k2r − k2

i + 2 j kr ki)

c'est-à-dire deux équations réelles :

k2r = k2

i et kr ki =ω

2D

Etc...



Programmation en python

exo 11.2) Superpositions d'OPPM

1) Réaliser un programme qui permette de visualiser l'évolution dans le temps1.a) d'une OPPM qui se propage vers les x croissants dans un milieu non dispersif1.b) d'une OPPM de même amplitude qui se propage vers les x décroissants dans le même milieu1.c) de la superposition des deux, soit d'une OPSM,1.d) d'un paquet d'OPPM qui se propage vers les x croissants dans un milieu non dispersif1.e) d'un paquet d'OPPM qui se propage vers les x croissants dans un milieu dispersif et absorbant.



Résolution de problème

Les câbles sous marins

Extraits de "PECHE ET CABLES SOUS-MARINS TRAVAILLONS ENSEMBLE - 2nde Edition"publié par International Cable Protection Committee disponible sur le site "www.iscpc.org/"

Regénérer le signal électrique grâce à des répéteurs.

Un signal relayé par un satellite géostationnaire doit voyager environ 72,000 km (45.000 miles) jusqu'ausatellite puis revenir sur terre, il y a donc un temps de retard notable (au moins un quart de seconde) dans laplupart des conversations transmises par satellite. En revanche, le délai d'un signal voyageant 8,000 km (5,000miles) à travers un océan par câble est seulement d'environ 1 / 30 de seconde, ce qui n'est pas perceptible dansune conversation.

Dans les premiers câbles téléphoniques sous-marins, les signaux étaient transportés par des ls de cuivre. Ilsont été appelés câbles coaxiaux ou analogiques et pouvaient durer plus de 30 ans. Beaucoup de ces câbles ontété posés entre 1950 et 1988. Quelques-uns sont encore en usage aujourd'hui.

An d'éviter la perte de signal à travers de très longs câbles, des amplicateurs, appelés répéteurs, ont étéinsérés dans le câble à des intervalles allant de 2 à 40 miles le long de câbles coaxiaux. Un répéteur ressemble àune torpille.

exo 11.3) Enoncé

On modélisera les câbles sous marins comme ci-contre, avec une impédance Zc =√

lc = 50 Ω.

Déterminer les ordres degrandeur des caractéris-tiques des câbles sous ma-rins :

• l'inductance par unitéde longueur l ;

• la capacité par unité delongueur c ;

• la résistance par unitéde longueur r.

Du texte, on extrait :

• la célérité des ondes électriques dans le câble ∆t = 130 s pour ∆` = 8000 km donc c0 = 8×106

× 30 =

2, 4× 108 m · s−1 ;



• la taille caractéristique d'absorption δ ≈ 10 miles = 85 × 10 km ≈ 104 m.

On refait la théorie du câble résistif : Une loi des mailles donne :

l.dx.∂I(x, t)


∂xdx




soit


∂t+ g2.dx.V (x, t)


c∂V

∂t+ g2.V (x, t) = −∂I

∂xet l

∂I(x, t)

∂t+ r1.I(x, t) = −∂V

∂x


∂2V

∂x2= −l ∂

∂t

(∂I(x, t)

∂x

)− r1

∂I(x, t)

∂x

et en utilisant la première,∂2V

∂x2= l

∂

∂t

(c∂V

∂t

)+ r

(c∂V

∂t


∂2V

∂x2= l.c

∂2V

∂t2+ (r.c)

∂V

∂t

On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où r = 0. On va chercher des solutions sous la forme :

ψ(~r, t) = Re(ψ(~r, t)

)où

ψ = ψ0.ej(k x−ω t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes. Cette fois, k est a priori complexe. Cela donne l'équation de dispersion

k2 = l.c.ω2 + j r c ω

En général, on cherche un vecteur d'onde complexe

k = kr + j.ki avec kr = Re(k)

et ki = Im(k)

La forme de l'onde sera :ψ = ψ0.e

−ki.x.e−j.(ω.t−kr.x−ϕ0)

Dans le cas d'une propagation vers les x croissants, c'est à dire pour kr > 0, on trouve :

ki =r.c ω

2.kr> 0

Dans le cas d'une propagation sans pertek2r = l.c.ω2

donc1

δ= ki =

r.c ω

2√l.cω

= c0r c

2

On a donc deux équations et trois inconnues. Il nous faut une troisième équation, on peut prendre l'impédancecaractéristique :

c0 = 1√l.c

= 2, 4× 108 m · s−1

δ = 2c0 r c

≈ 104 m

Zc = l.c0 =√

lc = 1

c.c0≈ 50 Ω

Ainsi, l = Zc

c0≈ 50

2,4×108 = 2× 10−7 H ·m−1

c = 1Zc c0

≈ 150×2,4×108 = 1× 10−10 F ·m−1

r = 2c0 δ

1Zc c0

= 2Zcδ ≈

2×50104 = 1× 10−2 Ω ·m−1



Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 11.4) Modélisation de la propagation d'un tremblement de terre

On donne l'enregistrement du tremblement de terre de La Rochelle du 28 avril 2016, en trois endroits :

1) On assimile le milieu de propagation à une tige solide de masse volumique µ, qui suit la loi de Hookeavec le module d'Young E. On néglige la pesanteur.

1.a) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2avec c0 =

√E

µ

1.b) Montrer qu'une OPPM est solution d'une telle équation diérentielle.1.c) Les enregistrements font-ils apparaître une OPPM?

2) En s'appuyant sur les enregistrement donnés, estimer :2.a) la vitesse de phase Vp des ondes P (repérées sur les enregistrements par "Pg") ;2.b) la vitesse de phase Vs des ondes S (repérées sur les enregistrements par "Sg") ;2.c) la vitesse de groupe (à dénir).2.d) Le milieu de propagation (la Terre !) est-il dispersif ?

3) Pour déterminer la position du séisme, il sut de connaître les distances (notées d1 , d2 et d3) de celui-cià trois stations qui l'ont enregistré : trois sphères de rayon d1 , d2 et d3 se croisent en un seul point qui est lefoyer du séisme.

On pose, pour une station d'enregistrement :d, la distance à l'épicentre (à déterminer) ;t0, la date du séisme (inconnue) ;la vitesse de phase Vp des ondes P (supposée connue) ;la vitesse de phase Vs des ondes S (supposée connue aussi).

3.a) Exprimer les dates d'arrivée des ondes P (tp) et S (ts) à la station.3.b) Exprimer d en fonction de variables connues (Vp, Vs, ts et tp).

1)1.a) La longueur du système à vide est

` = [(x+ dx)]− [x] = dx

La longueur du système allongé est

`′ = [(x+ dx) + ξ(x+ dx, t)]− [x+ ξ(x, t)] = `+∂ξ

∂xdx⇒ ∆` =

∂ξ

∂xdx

Le théorème de la résultante cinétique donne

µS dx∂2x

∂t2= µS dx

∂2ξ

∂t2Fx(x+ dx, t)− Fx(x, t) =

∂Fx∂x

dx

Enn la loi de Hooke donne

∂Fx∂x

=∂

∂x

(E S

∆`

`

)= E S

∂

∂x

(∂ξ

∂x

)= E S

(∂2ξ

∂x2

)En remplaçant, on trouve

µS dx∂2x

∂t2= E S

(∂2ξ

∂x2

)dx



On a donc bien

c0 =

√E

µ

1.b) On remplace par une OPPM et ça marche !1.c) Les enregistrements font apparaître des paquets d'OPPM (groupes).

2)2.a) Entre le premier enregistrement à d1 = 49 km et le second à d2 = 92 km s'est écoulé ∆t = 7, 0 s.

Soit la vitesse de phase des ondes P : vp = (92−49)×103

7,0 = 6, 1× 103 m · s−1 ;

2.b) la vitesse de phase des ondes S : vs = (92−49)×103

13,9 = 3, 1× 103 m · s−1 ;

2.c) la vitesse de groupe vg ≈ (134−49)×103

30 = 2, 8× 103 m · s−1.2.d) Le milieu de propagation est dispersif car l'enveloppe du paquet d'ondes s'élargit.

3) On a pu déterminer le foyer du séisme, en connaissant les vitesses des ondes P et S. Cela nécessitel'utilisation d'au moins 3 stations d'enregistrement situées en des lieux diérents et qui enregistrent les ondesP et S. L'onde emprunte le trajet le plus court. On considère que la propagation de l'onde se fait en lignedroite.

3.a) Avec une seule station, on peut écrire :le temps d'arrivée de l'onde P est : tp = t0 + d

Vp,

le temps d'arrivée de l'onde S est : ts = t0 + dVs.

3.b) En faisant la diérence entre les deux relations précédentes, on arrive à :

ts − tp = d

(1

Vs− 1

Vp

)donc d =

ts−tp1Vs− 1Vp

.

exo 11.5) Corde avec frottement

On considère une corde inextensive tendue principalement suivant un axe Ox, de masse linéique µl soumiseà une tension T0 avec une force de frottement uide par unité de longueur ~ff = −λ.~v.On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de l d'abscisse supérieure à x sur la partie de ld'abscisse inférieure à x.

1) Déterminer l'équation de propagation des ondes sur une telle corde.2) Déterminer alors l'équation de dispersion.3) Chercher des solutions et interpréter.

1) Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t.Cet élément fait avec l'axe Ox un angle

α(t) ≈ y (x+ dx, t)− y (x, t)

dx=∂y

∂x

car cet angle est petit. Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)− λ.dx.~v

dont la projection suivant ~ux donne :

µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t)− λ.dx∂x

∂t≈ ∂Tx

∂xdx

car le déplacement de la corde se fait selon une direction Oy perpendiculaire à Ox. Aussi, on pourra considérer

Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α,

ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t)− λ.dx∂y

∂t= T0

∂α

∂xdx− λ.dx∂y

∂t

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x , soit une équation de propagation

∂2y

∂t2+

1

τ

∂y

∂t= c20

∂2y

∂x2



avec la célérité de l'onde c0 =√

T0

µlet le temps caractéristique d'amortissement τ = µl

λ .

2) Cela donne l'équation de dispersion

(−j.ω)2

+−j.ωτ

= c20.(j.k)2

soit l'équation de dispersion

k2 =ω2

c20+j.ω

τ.c20

3) Il y a amortissement (milieu absorbant) et dispersion.

exo 11.6) Chaîne de pendules couplésOn réalise une chaîne de pendules simples couplés par desressorts de torsion, schématisée sur la gure ci-contre.Chaque pendule n, accroché en On, d'abscisse xn = na,est constitué d'une barre homogène de masse m, de lon-gueur ` et de moment d'inertie J = m`2

3 par rapport àl'axe Ox.Il oscille dans un plan zOny par rapport à l'axe horizontalOx. On repère par θn la position angulaire du pendule parrapport à sa position d'équilibre verticale. Les liaison entreles pendule et l'axe sont supposées de type pivot parfaites.Chaque pendule est relié à ses voisins par un l de tor-sion de constante K, confondu avec Ox. Ainsi, le pendulen − 1 exerce un couple Γn−1→n = −K (θn − θn−1) sur lependule n qui tend à ramener le l vers une torsion nulle.On néglige tout frottement avec l'air.

1) Quelle est l'équation diérentielle liant les petits angles θn, θn−1, θn+1 ?

2) Montrer que, dans l'approximation des milieux continus, l'équation d'onde est ∂2ψ∂t2 + ω2

p ψ = c20∂2ψ∂x2 . On

donnera les expressions de c0 et ωp.3) Quelle est la relation de dispersion ?4) Préciser la bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés.5) Calculer en fonction de ω, ωp et c0 :

5.a) la vitesse de phase vϕ,5.b) la vitesse de groupe vg.

6) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.7) Comparer chacune des vitesses à c0.

1) Système : pendule n (solide)Référentiel : sol (galiléen)

Bilan des forces :Poids de moment MOnx = − `

2mg sin θn ;Liaison pivot de moment nul ;Action du pendule n− 1 de moment Γn−1→n = −K (θn − θn−1) ;Action du pendule n+ 1 de moment Γn−1→n = −K (θn − θn+1).

Le théorème du moment cinétique s'écrit donc :

Jd2θndt2

= − `2mg sin θn −K (θn − θn−1)−K (θn − θn+1) ≈ − `

2mg θn +K (θn+1 − 2 θn + θn−1)

2) Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation θn varie lentementdevant a : θn(t) = ψ(x ≈ na, t). Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n− 1) a et enx ≈ (n+ 1) a

θn+1(t) = ψ(x ≈ (n+ 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ na, t) + ∂ψ∂x a+ ∂2ψ

∂x2a2

2

θn−1(t) = ψ(x ≈ (n− 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ na, t)− ∂ψ∂x a+ ∂2ψ

∂x2a2

2

L'équation diérentielle devient :

J∂2ψ

∂t2= − `

2mg ψ +K a2 ∂

2ψ

∂x2⇒ ∂2ψ

∂t2+

3 `mg

2m`2ψ =

3K a2

m`2∂2ψ

∂x2



En posant c0 =√

3K a2

m`2 et ωp =√

3 g2 ` , on trouve bien ∂2ψ

∂t2 + ω2pψ = c20

∂2ψ∂x2 .

3) En injectant une solution de type OPPM (ψ(x, t) = ψ0ej(ω t−k x), dans l'équation d'onde, on obtient

−ω2 + ω2p = −c20 k

2

4) La bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés : ω > ωp.5)

5.a) la vitesse de phase :

vϕ =c0√

1−(ωpω

)25.b) la vitesse de groupe :

vg = c0

√1−

(ωpω

)2

6)

vg =c20vϕ

7) vg < c0 < vϕ.



Approche documentaire (DNS)

Les câbles électriques dans les transports

Extraits de "Développement d'une méthodologie dédiée à la réectométrie en vue du diagnostic laire"thèse de doctorat de MOSTAFA KAMEL SMAIL soutenue le mardi 7 décembre 2010

Utiliser la propagation et la réexion des ondes pour détecter les pannes dans uncâble électrique.

Les câbles et leurs applicationsDepuis l'apparition des premiers systèmes élec-

troniques, le câble électrique fut le premier sup-port physique permettant de faire circuler un cou-rant électrique. Jusqu'à aujourd'hui, le câble élec-trique est toujours d'actualité et a connu des mo-dications intrinsèques permettant de s'adapteraux contraintes électriques et environnementalesde plus en plus sévères. Les câbles électriquessont omniprésents dans beaucoup de domaines oùl'acheminement de l'énergie et de l'information estnécessaire pour garantir le bon fonctionnementd'un système. Le type de câble est diérent suivantla nature du signal que l'on désire transmettre etde l'environnement dans lequel évolue le système.Les signaux peuvent être analogiques ou numé-riques, de faible ou de forte puissance et de basses,moyennes ou hautes fréquences. A titre d'exemple,un réseau informatique peut utiliser trois types decâbles : le câble coaxial, la paire torsadée ou la bre optique. Le choix de ces câbles dépend du débit souhaité, dela longueur du réseau et de l'environnement dans lequel évolue le réseau. Les réseaux électriques haute tensionutilisent des câbles de transport d'énergie dont la constitution est diérente de ceux utilisés pour les réseauxinformatiques car ces câbles sont conçus pour transporter et distribuer de l'énergie électrique à fort courant etbasses fréquences (50 Hz) sur de très longues distances à travers le pays. L'aéronautique et le spatial sont deparfaits exemples d'applications où plusieurs types de câbles sont utilisés avec des longueurs cumulées allantjusqu'à 500 km pour un long courrier (Airbus A380), longueur en constante augmentation depuis les quarantedernières années, Figure 1.1. L'utilisation de câbles légers, souples, peu encombrants, d'une grande abilité etrésistants à divers environnements sont les principales contraintes imposées par ces industries.

La Figure 1.2 donne une très bonne vision des diérents types decâbles utilises et de leur complexité. Nous trouvons des câbles pourles zones pressurisées, des câbles résistant au feu ou a la chaleur, descâbles coaxiaux pour les systèmes de transmission hautes fréquences(radio, radar, données) et des câbles d.alimentation pour transporterde la puissance. En général, ces câbles sont constitues d.un ou plusieursconducteurs en cuivre ou en aluminium protégés par des matériauxisolants comme le polyimide, la bre de verre ou le mica.

Le problème de défauts de câblage a eu une grande attention àla n des années 90 en raison de deux accidents tragiques : le 17juillet 1996 l'explosion en plein air du Boeing 747 du vol TWA 800et le crash d'un MD-11 de Swissair le 2 septembre 1998. La NTSB(National Transportation Safety Board) a déterminé par la suite lacause de l'accident de la TWA 800 qui était une explosion du réservoirde kérosène due à un arc électrique. Pour Swissair c'était à cause d'un



incendie provoqué par un court-circuit dans un câble. Bien que les accidents du Boeing 747 de TWA 800 etle MD-11 de Swissair sont cités comme les causes de l'impulsion de la recherche et le développement dansle domaine de la abilité de câblage, il y a eu un nombre considérable d'incidents qui n'ont pas abouti à desaccidents, mais ont été attribués à des défaillances de câblage (en janvier 2008 : Boeing 757 de AA, février 2009 :Airbus340 de VA) [PORT 03]. S'ajoutent à ces problèmes le vieillissement de la otte de la marine américaine, la NAVY , et ses conséquences sur la maintenance des câbles embarqués.

Avec le temps, les réseaux de câbles des avions ou des bateaux sefragilisent et se détériorent en augmentant ainsi la probabilité d'appa-rition de défauts de toutes sortes. Les problèmes liés aux câbles coûtentexcessivement cher et impliquent un temps d'immobilisation assez im-portant. Le gouvernement américain a donc encouragé les industries etles universités à développer des systèmes intelligents de détection, dediagnostic et de prévention pour déceler toute apparition d'anomaliesur les câbles.

Parfois suivant l'environnement où le réseau de câbles évolue (aé-ronautique, automobile, nucléaire, bâtiment...), l'inaccessibilité pourcontrôler son état pose un véritable problème. Cette inaccessibilitédiminue l'ecacité de la maintenance du réseau par les technicienset augmente donc la probabilité d'avoir une défaillance des systèmesélectroniques.

La possibilité de connaître l'état d'un câble est devenue une néces-sité pour rendre plus ecaces les opérations de maintenance lorsqu'undéfaut laire met en panne tout un système.

La constitution d'un câble peut varier d'un fabricant à un autre,mais en général ils sont réalisés à partir de :

• Fils simples constitués d'un conducteur isolé

• Paires de ls parallèles qui peuvent être blindées, Figure 1.7

• Fils blindés constitués d'un conducteur isolé entouré d'un écran

• Paires simples constituées de deux conducteurs isolés torsadés, Fi-gure 1.8

• Paires blindées constituées d'une paire simple entourée d'un écran

• Câbles coaxiaux constitués d'un conducteur central, d'un diélec-trique et d'une tresse extérieure, Figure 1.9

Les méthodes de détection et localisation de défauts dans les câbles électriquesIl existe plusieurs types de défauts ayant chacun leurs propres caractéristiques, c'est pour cette raison que

de nombreuses méthodes ont été développées pour tester l'état des câbles. Il existe diérentes méthodes pourdétecter et localiser des défauts de câblage des techniques basses, moyennes ou hautes fréquences. Certainesméthodes nécessitent des outils de mesure directement couples électriquement aux extrémités du câble et d'autrespar des outils de mesure sans contact (sonde de courant) pour diagnostiquer le câble.

Certaines méthodes de diagnostic ne permettent pas d.analyser un câble lorsque celui-ci n'est pas déconnectéou lorsque d'autres signaux y sont présents (diagnostic hors ligne). D'autres méthodes permettent une analysedu câble lorsque d'autres signaux y sont transmis (diagnostic en ligne).

La méthode capacitive et inductive permet de déterminer la présence d'un circuit ouvert ou d'un court-circuit. La méthode est basée sur la mesure de la capacité ou de l'inductance du câble. La mesure de la capacitéest utilisée pour localiser un circuit ouvert et la mesure de l'inductance est utilisée pour localiser un court-circuitsur le câble.

Il existe une méthode haute fréquence qui a l'avantage d'obtenir une image de l'état du câble en se position-nant a une extrémité de celui-ci. Cette méthode s'appelle la réectométrie et repose sur l'analyse d'une onderééchie par rapport à une onde incidente en utilisant les phénomènes de propagation des ondes dans les milieuxphysiques. Pour l'utiliser dans l'analyse des câbles électriques, il est nécessaire d'injecter des signaux dont lalongueur d'onde est petite ou équivalente à la longueur du câble. Ceci implique donc l'utilisation de signauxhaute fréquence.Théorie des lignes de transmission

La diérence principale entre la théorie des circuits et la théorie des lignes de transmission est la tailleélectrique. L'analyse de type circuit suppose que les dimensions physiques d'un réseau sont beaucoup pluspetites que la longueur d'onde électrique, alors que les lignes de transmission peuvent être une petite fraction



de longueur d'onde, voire plusieurs longueurs d'onde. Une ligne de transmission est donc un réseau distribué deparamètres où les tensions et les courants peuvent varier en amplitude et en phase le long de la ligne.

En basse fréquence lorsque la longueur d'onde est grande devant la longueur de la ligne, la diérence depotentiel entre les deux conducteurs est la même tout au long de la ligne. Par contre en haute fréquence lorsquela longueur d'onde est petite ou comparable à la longueur de la ligne, ce n'est plus le cas. Ce phénomène a étémis en évidence par le physicien allemand Heinrich Rudolf Hertz sur la ligne bilaire.

En haute fréquence une ligne de transmission peut se modéliser à l'aide de quatre paramètres qui constituentle modèle à constantes réparties. La Figure 1.19 montre une ligne de transmission qui est souvent représentéeschématiquement comme une ligne bilaire et le modèle équivalent. Il n'est valable que pour une longueurinnitésimale de ligne, à condition que la longueur L de la ligne de transmission soit inférieure ou égale audixième de la longueur d'onde guidée λg.

L'onde peut se propager grâce aux échanges d'énergie électrique et d'énergie magnétique. Ces eets semodélisent respectivement par la présence d'une capacité linéique C et une inductance linéique L. La capacitélinéique C dépend de l'écart entre les deux conducteurs, du diamètre des conducteurs et de la permittivitédu diélectrique et s'exprime en Farad/m. L'inductance linéique L dépend du diamètre des conducteurs, del'écart entre les deux conducteurs et de la perméabilité des matériaux et s'exprime en Henry/m. La capacitéet l'inductance modélisent les eets de propagation dans la ligne. Les pertes par eet de Joule sont modéliséespar une résistance linéique R, qui est due aux pertes ohmiques dans les conducteurs, dépend des diamètreset matériaux des conducteurs et s'exprime en ohms/m. La conductance linéique G traduit les pertes dues audiélectrique. Elle dépend de la capacité linéique et de l'angle de perte du diélectrique et s'exprime en Siemens/m.R et G représentent les pertes.

Les paramètres du modèle à constantes réparties sont appelés paramètres primaires. Ces quatre paramètres



susent pour modéliser le comportement d'une ligne de transmission en haute fréquence. Cependant certainsparamètres sont sensibles aux variations de la fréquence. D'une façon générale, l'inductance et la capacitélinéique dépendent de la fréquence jusqu'à environ 1 GHz. La résistance linéique augmente lorsque la fréquenceaugmente et la conductance linéique augmente également avec la fréquence mais reste négligeable en dessousde 1 MHz.

Pour une ligne de transmission réelle (avec pertes), l'impédance caractéristique est une grandeur complexe.Cette impédance caractéristique est diérente selon le type de câble. En vidéo, les câbles utilisés sont des câblescoaxiaux d'impédance caractéristique 75 ohms. En hyperfréquence, les lignes de transmission utilisées ont pour laplupart une impédance caractéristique de 50 ohms. Le réseau CAN utilise une paire torsadée dont l'impédancecaractéristique est de l'ordre de 120 ohms. FlexRay est un protocole qui véhicule des données sur une pairetorsadée d'impédance caractéristique de 90 ohms. L'impédance caractéristique dépend de la géométrie et de laconstitution du câble.

Chaque discontinuité dans un câble est associée à un coecient de réexion qui donne une information surla polarité des champs dans le milieu de propagation et la quantité d'énergie renvoyée vers le plan le générateur.

Enoncé

1) A l'aide du modèle électrique équivalent donné dans le document, déterminer l'équation d'onde (dite"des télégraphistes") suivie par la tension et l'intensité dans les câbles électriques.

2) Vérier que l'on retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas non résistif. En déduire l'expression dela célérité vp des ondes dans le câble en fonction de L et C.

3) A partir des données de L et de C de diérents câbles, vérier les valeurs des vitesses et des impédances

caractéristiques Zc =√

LC indiquées dans le tableau du document.

4) On s'intéresse au montage de la gure 1.20 (on supposera le câble sans résistance).4.a) Donner la formes des OPPM complexes incidentes et rééchies sur le câble.4.b) Rappeler la dénition des coecients de réexion en intensité et en tension en z = 0.4.c) Ecrire les conditions aux limites en z = 0 et en z = −l.4.d) Déterminer les coecients de réexion en intensité et en tension en z = 0 en fonction de ZL et

ZC .



Correction

1) Une loi des mailles donne :

Ldz.∂I(z, t)

∂t+R.dx.I(z, t) = −V (x+ dz, t) + V (z, t) = −∂V

∂zdz


I(z, t)− I(x+ dz, t) = C.dz∂V (z + dz, t)

∂t+G.dz.V (z + dz, t)

soit

−∂I∂zdz ≈ C.dz ∂V

∂t+G.dz.V (z, t)


C∂V

∂t+G.V (z, t) = −∂I

∂zet L

∂I(z, t)

∂t+R.I(z, t) = −∂V

∂z

On découplera les précédentes équations en les dérivant, les dérivations par rapport au temps t et à l'espacez commutant. En dérivant la seconde par rapport à z, on trouve :

∂2V

∂z2= −L ∂

∂t

(∂I(z, t)

∂z

)−R∂I(z, t)

∂z


∂2V

∂z2= L

∂

∂t

(C∂V

∂t+G.V (z, t)

)+R

(C∂V

∂t+G.V (z, t)

)Ce qui nous mène à l'équation "des télégraphistes" que I(z, t) suit aussi :

∂2V

∂z2= L.C

∂2V

∂t2+ (RC + LG)

∂V

∂t+RG.V (z, t)

2) On retrouve l'équation de D'Alembert dans le cas où R = 0 et G = 0. Donc vp = 1√LC

des ondesdans le câble en fonction de L et C.

3) Le tableau suivant donne les valeurs calculées :câble C en pF ·m−1 L en µH ·m−1 vp en m · s−1 X =

vpc Zc en Ω

RG58CU 100 0,250 2, 0× 108 0,67 50AWG22 106,5 0,517 1, 35× 108 0,45 70AWG24 47,28 0,587 1, 90× 108 0,633 111AWG26 49,61 0,659 1, 75× 108 0,583 115AWG20 31,76 0,976 1, 80× 108 0,599 175

Si les valeurs sont les bonnes pour le premier câble, elles dièrent sensiblement pour les suivants, mêmesi l'ordre de grandeur est le bon.

4)4.a) En règle générale :

ψ = ψ0.ej(k z−ω t+ϕ0)

donc pour l'onde se propageant vers les z croissants :V+ = V0+e

j(k z−ω t)

I+ = I0+ej(k z−ω t)

et pour l'onde se propageant vers les z décroissants :V− = V0−e

j(−k z−ω t)

I− = I0−ej(−k z−ω t)

V+ = Zc I+ pour une propagation selon z V− = −Zc I− pour une propagation selon z



4.b) On dénit le coecient de réexion

en intensité : rI =I−(z = 0, t)

I+(z = 0, t)et en tension : rV =

V−(z = 0, t)

V+(z = 0, t)

4.c) Les conditions aux limites sont :en z = 0 :

VL = ZL IL ⇒(V0+ + V0−

)e−jω t = ZL

(I0+ + I0−

)e−jω t ⇒ Zc

(I0+ − I0−

)= ZL

(I0+ + I0−

)en z = −l :

VG − ZG Ii = Vi ⇒(V0+e

−j k l + V0−ej k l)e−jω t = VG − ZG

(I0+e

−j k l + I0−ejk l)e−jω t

4.d) Le coecient de réexion en amplitude pour l'intensité, en z = 0 est donc

rI =ZC − ZLZC + ZL

et en tension

rV = −ZC − ZLZC + ZL



Problème (DNS)Vibration d'une corde verticale

L'objet de l'étude est une corde AB de longueur L, parfaitement exible et sans frottements internes, desection négligeable, homogène de masse totale mT et de densité linéique uniforme µ. On l'étudie dans un planvertical déni par le repère (O, x, z). On appelle G le centre de masse de la corde.

I) Vibrations d'une corde xée à deux extrémités.La corde est verticale, xée en ses deux extrémités A et B (cf. gure).

L'axe des z est orienté vers le bas et l'origine est à l'extrémité B : les points O et B coïncident. L'axe Oxest dans un plan horizontal. La tension de la corde au point A est très grande devant le poids de la corde :T (A) mT .g. La position d'un point M de la corde est repérée par sa cote z dans un référentiel galiléen lié àB.

I.1) Position d'équilibre.I.1.a) Dénir ce qu'est la tension ~T (M) de la corde en un point M .I.1.b) Exprimer T (M) en fonction de T (A), mT .g et µ.g.z.I.1.c) Montrer qu'à l'équilibre T (M) est pratiquement constante le long de la corde.I.2) Vibrations.

La corde vibre et le point M , de cote z à l'équilibre, se déplace transversalement. Ce déplacement, noté x,est fonction de z et du temps t. On note l'angle θ (z, t) que fait localement la corde avec l'axe vertical.

I.2.a) Déterminer l'équation des ondes suivie par la fonction x (z, t) en négligeant les termes du deuxièmeordre en θ (approximation des petits mouvements). Exprimer la célérité c des ondes en fonction de T (A) et dela masse linéique µ. Calculer c pour µ = 10−3kg.m−1 et T (A) = 1N .

I.2.b) À l'instant initial, la forme de la corde est donnée par x (z, 0) = a sin(π.zL

), où a est une constante

positive. Les vitesses initiales de tous les points de la corde sont nulles. Déterminer la fonction d'onde stationnairex (z, t) sous la forme x (z, t) = X(z).A(t).

I.2.c) À l'instant initial, la corde est excitée selon deux modes propres : x (z, 0) = a sin(π.zL

)+b sin

(4π.zL

),

où a et b sont des constantes positives. Les vitesses initiales de tous les points de la corde sont nulles. Détermineravec le minimum de calculs la nouvelle fonction d'onde x (z, t).

I.2.d) La gure suivante représente l'allongement relatif de la corde en fonction de l'amplitude initiale dela déformation. Commentez ce résultat, par exemple en discutant l'hypothèse (implicite !) que la masse linéiquene changeait pas au cours du mouvement.



Allongement relatif de la corde (en %) en fonction de l'amplitude relative de la cordeII) Vibrations d'une corde xée à une extrémité.

Corde xée en une extrémité et libre à l'autreDésormais (cf. gure précédente), l'extrémité B est xe, l'extrémité A est libre.

II.1) Position d'équilibre.La corde est en équilibre. Montrer que la tension de la corde au point M est donnée par T (z) = µ.g. (L− z).

II.2) Vibrations.La corde vibre.

II.2.a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'élément dz de corde à la cote z,montrer que la fonction d'onde vérie l'équation :

∂2x

∂t2= g. (L− z) ∂

2x

∂z2− g ∂x

∂z

II.2.b) Que devient l'équation d'onde si l'on tient compte de la force de frottement visqueux−→df =

−α∂x∂t∧x dz agissant sur l'élément de corde dz, α étant la constante de frottement ?II.2.c) On cherche une solution à l'équation d'onde au voisinage du point de xation (z L). Montrer

qu'une onde sinusoïdale de pulsation ω et d'amplitude complexe x (z, t) = x0.ej.(ω.t−k.z), où k est une constante

réelle, ne peut se propager que pour une certaine valeur α0 de la constante de frottement, que l'on exprimeraen fonction de µ, g et L.

II.2.d) Donner, pour α = α0, les expressions de la vitesse de phase vϕ et de la vitesse de groupe vg del'onde. Y a-t-il dispersion ?

II.2.e) On néglige maintenant le terme de frottement et on cherche une solution à l'équation

∂2x

∂t2= g. (L− z) ∂

2x

∂z2− g ∂x

∂z

dans la région z L sous la forme x (z, t) = a.ej.(ω.t−k.z), avec k = k1 + j.k2 complexe (k1 et k2 étant réels).Exprimer k2. En déduire que l'amplitude de l'onde augmente pendant la propagation. Le résultat est-il cohérentavec les questions précédentes ?

II.2.f) On pose ω20 = g

4.L . Établir alors et représenter graphiquement la relation k1 = f(ω). Montrerque la corde se comporte comme un ltre passe-haut.

II.2.g) Déterminer la relation entre la vitesse de phase et la vitesse de groupe.II.3) Considérations énergétiques.II.3.a) Montrer que la puissance mécanique (moyenne ou instantanée) qui traverse la corde à la cote z

dans le sens des z croissants est proportionnelle à la tension T (z) et au carré de l'amplitude du mouvement dela corde.

II.3.b) En déduire que l'amplitude du mouvement augmente avec z dans cette portion de la corde.



I) Vibrations d'une corde xée à deux extrémités.I.1) Position d'équilibre.I.1.a) La tension en M , ~T (M), est la force exercée par la partie [MA] sur la partie [BM ].I.1.b) L'équilibre du morceau de corde [z, z+dz] s'écrit T (z+dz)−T (z)+µ.dz.g = 0. d'où ∂T (z)

∂z =−µ.dz.g et donc en intégrant T (z) = −µ.g.z + cste. On détermine la constante grâce à T (z = L) = T (A),donc T (z) = T (A) + µ.g.(L− z). D'autre part, mT = µ.L, donc :

T (z) = T (A)− µ.g.z +mT .g

I.1.c) Comme µ.g.(L− z) < mT .g T (A) , on en déduit

T (z) ≈ T (A)

I.2) Vibrations.I.2.a) Le théorème de la résultante cinétique appliqué à l'élément compris au repos entre z et z+dz

s'écrit µ.dz.~a(Gz) = ~T (z+ dz)− ~T (z) +µ.dz.~g. NB : en supposant qu'il n'y a pas de mouvement vertical, la

projection sur∧z redonne le résultat de la question précédente. La projection sur

∧x donne µ.dz ∂

2x∂t2 = T (z +

dz) sin (θ(z + dz, t)) − T (z) sin (θ(z + dz, t)), soit : µ.dz ∂2x∂t2 ≈ TA. (θ(z + dz, t)− θ(z + dz, t)) = TA.

∂θ∂zdz,

En remarquant que θ ≈ tan θ = x(z+dz)−x(z)dz ≈ ∂x

∂z , on trouve :

µ.∂2x

∂t2= TA.

∂2x

∂z2

C'est bien une équation de propagation (de d'Alembert) avec la célérité

c =

√TAµ

= 32m.s−1

I.2.b) Comme on cherche x (z, t) = X(z).A(t), l'équation précédente devient X”(z).A(t) =1c2X(z).A′′(t), d'où X”(z)

X(z) = 1c2A′′(t)A(t) . Le premier membre est indépendant de t, le second indépendant

de z, on en déduit que cette expression est une constante qu'on suppose négative (si on la prend positive,on ne peut pas annuler X(z) en 0 et L). On la note −k2.

Nous obtenons X ′′(z) + k2X(z) = 0, donc X(z) = X cos(k.z) + Y sin(k.z). Comme la corde est xéeen B pour tout t, X(0) = 0, donc X = 0. Comme la corde est xée en A pour tout t, X(L) = 0, doncY sin(k.L) = 0. Comme la solution Y = 0 ne nous intéresse pas (elle donne la corde immobile), nous obtenonssin(k.L) = 0, d'où k.L = p.π où p est un entier. Donc X(z) = Y sin(kp.z)

k = kp = pπ

L

D'autre part A′′(t) + k2.c2.A(t) = 0 donne, en posant ωp = kp.c, A(t) = A. cos(ωp.t) +B. sin(ωp.t).Ici, seul le mode 1 est excité, donc il restera x(z, t) = [A1. cos(ω1.t) +B1. sin(ω1.t)] .Y1 sin(k1.z). De plus,

x (z, 0) = a sin(π.zL

), ce qui donne A1.Y1 = a et B1 = 0, soit

x(z, t) = a. cos

(π.c.t

L

). sin

(π.zL

)I.2.c) Maintenant deux modes sont excités,

x(z, t) = [A1. cos(ω1.t) +B1. sin(ω1.t)] .Y1 sin(k1.z) + [A4. cos(ω4.t) +B4. sin(ω4.t)] .Y4 sin(k4.z). Commel'équation diérentielle est linéaire, on étudie séparément l'eet des deux termes. Le premier (mode 1)donne le résultat de la question précédente, le second (mode 4) donne b sin

(4.π.zL

), ce qui donne A4.Y4 = b

et B4 = 0, soit

x(z, t) = a. cos

(π.c.t

L

). sin

(π.zL

)+ b. cos

(4.π.c.t

L

). sin

(4.π.z

L

)I.2.d) Sur la courbe proposée, on constate que l'allongement relatif augmente lorsque a

L , donc lamasse linéique varie (car mT est constante). On pourra par exemple considérer la masse linéique constante,à moins de 10% près tant que ∆L

L < 0, 1, donc pour aL < 0, 05.

II) Vibrations d'une corde xée à une extrémité.II.1) Position d'équilibre. De la même façon que précédemment, T (z) = −µ.g.z+cste. On détermine

la constante grâce à T (z = L) = T (A) = 0, donc T (z) = T (A) + µ.g.(L− z), soit :

T (z) = µ.g.(L− z)



II.2) Vibrations.II.2.a) Le théorème de la résultante cinétique appliqué à l'élément compris au repos entre z

et z + dz s'écrit µ.dz.~a(Gz) = ~T (z + dz) − ~T (z) + µ.dz.~g. La projection sur∧x donne µ.dz ∂

2x∂t2 =

T (z+dz) sin (θ(z + dz, t))−T (z) sin (θ(z, t)), soit : µ.dz ∂2x∂t2 ≈ T (z+dz).θ(z+dz, t)−T (z).θ(z, t) = ∂(T.θ)

∂z dz,

En remarquant que θ ≈ tan θ = x(z+dz)−x(z)dz ≈ ∂x

∂z , on trouve : µ.∂2x∂t2 = µ.g ∂

∂z

((L− z)∂x∂z

)=

µ.g(−∂x∂z + (L− z)∂

2x∂z2

)On aboutit donc bien à :

∂2x

∂t2= g. (L− z) ∂

2x

∂z2− g ∂x

∂z

II.2.b) Le théorème de la résultante cinétique appliqué à l'élément compris au repos entre z

et z + dz s'écrit maintenant µ.dz.~a(Gz) = ~T (z + dz) − ~T (z) + µ.dz.~g +−→df . La projection sur

∧x donne

µ.dz ∂2x∂t2 = T (z+ dz) sin (θ(z + dz, t))−T (z) sin (θ(z, t))−α∂x∂t dz, soit : µ.∂

2x∂t2 = µ.g ∂

∂z

((L− z)∂x∂z

)−α∂x∂t =

µ.g(−∂x∂z + (L− z)∂

2x∂z2

)− α∂x∂t On aboutit cette fois à :

∂2x

∂t2+α

µ

∂x

∂t= g. (L− z) ∂

2x

∂z2− g ∂x

∂z

II.2.c) En remplaçant par x (z, t) = x0.ej.(ω.t−k.z), on obtient la relation de dispersion −ω2 + α

µ j.ω =

−g. (L− z) k2 + j.g.k.Il y a propagation sans atténuation si k est une constante réelle. La partie imaginaire de l'équation

précédente donne αµω = g.k, d'où α = µ.g.k

ω .

La partie réelle donne −ω2 = −g. (L− z) k2, et lorsque z L on en déduit ω = k√g.L, puis

α = α0 = µ

√g

L

II.2.d) La vitesse de phase est vϕ = ωk , on trouve donc :

vϕ =√g.L

La vitesse de groupe est vg = dωdk , on trouve donc aussi :

vg =√g.L

Comme vϕ = cste, le milieu est non dispersif.II.2.e) En remplaçant par x (z, t) = a.ej.(ω.t−k.z), on obtient la relation de dispersion

−ω2 = −g. (L− z) k2 + j.g.k = −g. (L− z)(k2

1 − k22 + 2.j.k1.k2

)+ j.g. (k1 + j.k2).

La partie imaginaire de l'équation précédente donne−2.k1.k2.g. (L− z) + g.k1 = 0. On en déduit :

k2 =1

2. (L− z)≈ 1

2.L

En remplaçant dans x (z, t), on trouve :

x (z, t) = a.ek2.z.ej.(ω.t−k1.z) = a.ez

2.L .ej.(ω.t−k1.z)

L'amplitude augmente bien lorsque z car ez

2.L dans le sens de la propagation. Ce terme d'amplicationpeut compenser les éventuels frottements, une propagation avec frottements est donc possible, ce qui estcohérent avec la question précédente.

II.2.f) La partie réelle de la relation de dispersion est :−ω2 = −g. (L− z)

(k2

1 − k22

)− g.k2 ≈ −g.

(L.k2

1 − L. 14.L2 + 1

2.L

)= −g.L.k2

1 + g4.L − 2 g

4.L

On trouve donc :

k1 =

√ω2 − ω2

0

g.L

La courbe k1 = f(ω) est représentée sur la gure suivante :



Courbe k1 = f(ω)Les fréquences basses correspondant à ω < ω0 ne donnent pas de solution à k1, donc il n'y a pas de

propagation : c'est donc un ltre passe-haut.

II.2.g) En diérentiant la relation k21 =

ω2−ω20

g.L , on obtient 2.k1.dk1 = 2ω.dωg.L et donc

vϕ.vg = g.L

II.3) Considérations énergétiques.II.3.a) La puissance mécanique traversant la corde à la cote z est le produit scalaire entre la force

et la vitesse :P (z, t) = ~T~v = T (z, t) sin (θ(z, t)) ∂x∂t ≈ T (z, t).θ(z, t)∂x∂t . Et comme θ ≈ ∂x

∂z , on trouve :

P (z, t) = ~T~v = T (z, t) sin (θ(z, t))∂x

∂t≈ T (z, t).

∂x

∂z

∂x

∂t

∂x∂z et ∂x

∂t sont tous les deux proportionnels à l'amplitude de x(z, t), donc P (z, t) et sa valeur moyenne sontproportionnelles à la tension T (z) et au carré de l'amplitude du mouvement de la corde X.

II.3.b) La puissance moyenne reçue par l'élément de corde situé entre z et z + dz : est < P (z, t) >− < P (z + dz, t) > est positive. Or < P (z, t) > − < P (z + dz, t) >∝ X.∂X∂z On en déduit que ∂X

∂z > 0 :l'amplitude de l'élément de corde situé entre z et z + dz (X) augmente si z . C'est bien ce que l'on avaiton a vu dans la partie précédente (e

z2.L dans le sens de la propagation).


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