1

Ondes

v 5

18

2

Ondes sismiques

3

Types d'ondes

x

€

δy = δy(x,t)

y

€

δx = δx(x,t)

x

Exemples: son dans l'air: onde longitudinale. lumière: transverse.

4

Ondes périodiques

t

δ

période T

Exemple:ondes sinusoïdales

δ T

t

5

Exemple: le sonOn peut enclencher une onde de pression dans un gaz par lavibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci secomporte comme un piston. Les molécules d'une couchetransmettent le mouvement à la couche suivante etc.

Pressionexterne = P0

P0+ΔP P0−ΔP

P(t) = P0 + ΔP sinωt

voir plus loin...

6

Exemple: ondes e.m. transverses

B

Ex

yOnde électromagnétique polarisée horizontalement

Ex = E sin ωt

7

Ondes dans le tempsConsidérons des ondes d'eau que l'on génère en jetant une pierre(on néglige l'atténuation au cours du temps).

On peut fixer un point, à distance r dupoint d'impact et observer l'hauteur del'onde au cours du temps:

h(t) = H sin(ωt + φ)

H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(φ) est l'hauteur à t = 0.

tH

h

ω = 2π/T

TEx: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. en un point E(t) = E0 sin(ωt)

8

Ondes dans l'espace

On peut aussi prendre une photo au temps tet observer l'hauteur de l'onde en fonctionde la distance r du centre:

h(r) = H sin(κr + γ)

H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(γ) est l'hauteur en r = 0.

rH

h

κ = 2π/λλ

Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. à un instant E(r) = E0 sin(κr)

9

Vitesse des ondes

δ(x,t) = A sin(κx + ωt + φ)

Une onde sinusoïdale est en général donnée par:

On peut extraire la vitesse de cette onde. On fixe un pointde l'onde au temps t, on attend une période t → t + T, et on repère la distance parcourue. Par définition elle sera une

longueur d'onde λ plus loin.

La vitesse de propagation est doncv = λ/T

t

t+T λ

Si ν est la fréquence = 1/T

v = λν

10

Vitesse des ondes .2On parle d'onde progressive quand la vitesse n'est pas nulleet il y a donc transport d'énergie. Exemples:La vitesse de la lumière dans le vide est c = 2.998 108 m/s.Le son dans l'air voyage à 344 m/s, dans le fer à 5120 m/s.

On peut relier la vitesse de propagation d'une onde à descaractéristiques physiques. P. ex., la vitesse dans une cordeest donnée par

€

v =Tension

masse /longueur

Ex. 21.3: transmission d'une impulsion le long d'unecorde de piano Tension=1098 N, masse parunité de longueur = 0.065 kg/m ⇒ v = 130 m/s

Par contre: la vibration d'une corde de piano à la résonanceconstitue une onde stationnaire, v = 0.

v

11

Interférences

Des ondes peuvent s'additionner et former des figures complexes.

a(t) = A1 sin(ω1t + φ1) + A2 sin(ω2t + φ2)P. ex.:

Les ondes d'eaupeuvent se croiser sansse détruire.

* Ce principe de superposition est valable si le phénomène est"linéaire".Si par contre on a, p. ex., un phénomène de saturation, l'amplitudetotale peut être plus petite quel'addition linéaire.

12

Interférences

interférence destructive interférence constructive

les ondes sont en contre-phase les ondes sont en phase

Additionnons deux ondes de même amplitude et fréquence.On a deux cas particuliers:

somme = onde avec ledouble d'amplitude

€

Asin(ωt) −Asin(ωt) = 0

€

Asin(ωt) + Asin(ωt) = 2Asin(ωt)

Ex.: considérer un cas intermédiaire.

13

Interférences .2L'addition de deux ondes de fréquence différente, génère desbattements.Ex.: 2 sinusoïdes, même amplitude. Fréquences écartées de δ/2π

€

A(t) = sin ωt( ) + sin (ω + δ)t( ) =

= 2cos δ2

t

× sin t(2ω + δ)

2

≈ 2cos δ2

t

× sin ωt( ) si δ <<ω

Donc, approximativement, on a une onde de même fréquenceque l'onde initiale, mais modulée par le cosinus avec unefréquence qui est égale à la moitié de la différence entreles fréquences des deux ondes.

14

Séries de Fourier

Approximations d'une ondecarrée par superpositiond'ondes sinusoïdales de fréquencesmultiples (harmoniques)

m=7,9

m=21m=501€

f(t) = cte + ai sin (iω)t( )i=1,M∑

15

Fourier .2

16

SYNTHESIZER

Moog 1970

17

Ondes stationnaires et résonance

la distance entre les"noeuds" est la moitiéde la longueur d'ondede chaque ondeindividuelle.

On peut faire interférer deux ondes voyageant en directionsopposées et produire une onde immobile (v=0) ou "stationnaire"

18

Ondes stationnaires et résonance .2Dans plusieurs systèmes, on peut entretenir des ondes stationnaires,si les conditions "au bord" sont respectées. Par exemple, une cordetendue entre deux points, peut être sollicitée à vibrer selon des"modes" de longueur d'onde qui dépendent de la longueur de lacorde.

€

λ = 2L /n n=0

1

2

3

La fréquence dépend de la tension dela corde:

€

ν =vλ

=n2L

Tensionmasse /L

n = 0,1,2,3,...

On peut s'imaginer qu'il s'agit de 2 ondes progressives, de vitesse v,qui rebondissent aux bords et interfèrent continuellement.

(pas d'oscillation)

19

Ondes stationnaires et résonance .3

Il est possible d'exciter une corde de façon efficace seulement quandon tombe sur les fréquences propres du système, les harmoniques.Sinon l'énergie est rapidement dispersée.

€

λ = 2L /n

antinodes= ventres

20

Ondes stationnaires et résonance .4

tuyau ouvert: les ventres(antinodes) sont sur lesextrémités

La fondamentaleλ = 2L ν = v/2L

Harmoniqueλ = L ν = v/L

21

Ondes stationnaires et résonance .5tuyau fermé: un ventre estsur l'ouverture, un noeudsur le côté fermé.

Fondamentaleλ = 4L ν = v/4L

Harmoniqueλ = 4/3 L ν = 3v/4L

22

a) Source sonore stationnaire et b) en mouvement par rapport aumilieu (p. ex. l'air). La longueur d'onde est modifiée, à cause du mouvement. La personne qui écoute le son, va enregistrer un sonplus aigu ou plus bas suivant qu'elle voit la source s'approcher(position A) ou s'éloigner (B).Si ν est la fréquence d'émission, dans a) on a λ = v/ν. v est lavitesse de propagation de l'onde, une constante.Au point B on aura λ' = (v-V)/ ν, où V<v est la vitesse de la source.La fréquence du son à l'oreille de B sera

L'effet Doppler avec observateur immobile

ν' = v/ λ' = v ν /(v−V)

ν' = v/ λ' = v ν /(v+V)et pour A:

et source enmouvementvv

a) b)

A B

v

v

23

v

La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ouplus bas suivant qu' elle se rapproche de la source (dans la figure,se serait pour V<0) ou elle s'en éloigne (V>0).Si ν est la fréquence d'émission, au repos (V=0) on a λ = v/ν.La vitesse du son d'après l'observateur vaut v' = v − V.Donc la fréquence est modifiée par

Effet Doppler avec source immobile

ν' = v'/ λ = (v−V)ν/v

et observateur enmouvement

V

Donc ν' > ν quand V > 0 ν' < ν quand V < 0

24

Ondes de chocQuand la vitesse de la source est égale à celle de l'onde, V = v,une onde de choc se forme sur le front avant.

Si V>v, l'onde de choc suit lasource. C'est l'origine du bangsonique.

région de hautepression

L'équivalent du bang sonique dans le cas électromagnétique estl'effet Cherenkov.

25

Transducteurs son⇔ électricité

Haut-parleur

Transducteur piézoélectrique

26

Le sonOn peut enclencher une onde de pression dans un gaz par lavibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci secomporte comme un piston. Les molécules d'une couchetransmettent le mouvement à la couche suivante etc.

Macroscopiquement, le comportement est décrit par lemodule de compressibilité adiabatique K qui permet d'exprimerla variation de pression par rapport au changement de densité

€

ΔP =K Δρρ

Pressionexterne = P0

P0+ΔP P0-ΔP

P(t) = P0+ΔP sinωt

27

Le son .2

On trouve que la vitesse de propagation du son dans un milieu avec module de compressibilité adiabatique Ket densité ρ est donnée par

€

v =Kρ

kg/m3 m/sAir 1.2 344Eau 998 1498Fer 7900 5120

densité vitesse

28

Transport de l'énergie et de la quantité demouvement par une onde

La quantité d'énergie transportée par une onde progressive estune fonction de l'amplitude de l'onde.

Pour un ressort "oscillateur harmonique" E = (1/2) k x2, doncl'énergie est proportionnelle au déplacement au carré.

C'est en effet aussi le cas pour les oscillations sinusoïdales,pour lesquelles l'énergie est proportionnelle à l'amplitude aucarré: Energie ∝ (Amplitude)2.

De même pour la quantité de mouvement transportée par lephénomène oscillatoire.

Pour une onde stationnaire l'énergie est localisée. Dans le casde la vibration d'une corde, il y a localement transformationde l'énergie potentielle élastique en énergie cinétique et viceversa.

29

Le son .3

La puissance sonore par unité de surface du son, ou intensité I,est proportionnelle à l'amplitude de l'onde de pressionau carré

€

I =ΔEΔSΔt

=ΔP2

2ρv

Ex.:haut-parleur 1 W, S=0.05 m2, I à la surface =1/0.05 = 20W/m2

à R=1 m, l'onde est répartie sur une demi-sphère S=2πR2

R

€

I = (1 W) /(2π ×12 m2) ≈1/6 Wm−2

€

ΔP = 2Iρv ≈ 2 161.2 × 344 ≈12N/m2

30

Le son .4

Le décibel

€

β =10log II0

est une grandeur qui exprime la sensibilité "logarithmique"de l'oreille.

Par convention, on utilise pour I0 = 10−12 W/m2.

ce qui correspond à environ 0 dB pour le seuil d'audition à 1000 Hz.Le seuil de la douleur est à 120 dB