Ondes mécaniques - Free

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a λ a λ S ΔF = ES ΔE E 10 11 N · m -2 ψ (x, t) 1 c 2 0 2 ψ ∂t 2 = 2 ψ ∂x 2 c 0 m · s -1 1 c 2 0 2 ψ ∂t 2 ψ = 2 ψ ∂x 2 + 2 ψ ∂y 2 + 2 ψ ∂z 2 ψ(x, t)= F (x) G(t) ψ (x, t)= ψ 0 . cos (k.x + ϕ F ) . cos (ω.t + ϕ G )

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Ondes mécaniquesLes points du cours à connaître

I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

1. Onde le long d'une corde

2. Propagation du son dans un solide

Approximation des milieux continusDans l'approximation des milieux continus, la dimension entre les atomes, ions ou molécules(notée a) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sont telles que

a� λ

Loi de Hooke et module de YoungLa loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide de sectionS est proportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S∆`

`

où E est le module de Young (ou module d'élasticité), typiquement de l'ordre de E ≈ 1011 N ·m−2.

3. Généralisation : équation de d'Alembert

Equation de d'Alembertà une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert

1

c20

∂2ψ

∂t2=∂2ψ

∂x2

La célérité de l'onde c0 s'exprime en m · s−1A trois dimensions, on peut généraliser :

1

c20

∂2ψ

∂t2= ∆ψ =

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

II- Ondes planes stationnaires

1. Ondes planes stationnaires monochromatiques

Onde stationnaire planeDans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x)G(t)

(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des variables d'espace et de temps sontdécouplées.)

Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM)En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnairesde l'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x, t) = ψ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

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avec k = ωc0.

N÷uds de vibrationLes n÷uds de vibration sont les endroits où ψ(x, t) = 0∀t.

Ventres de vibrationLes ventres de vibration sont les endroits où l'amplitude est maximale.

Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventresDeux n÷uds de vibration successifs sont éloignés de λ

2.

Deux ventres de vibration successifs sont éloignés de λ2.

2. Modes propres

Modes propres d'une corde vibrante �xée à ses deux extrémitésLes conditions aux limites pour une corde de longueur L �xée à ses deux extrémités imposentdes solutions de types OPSM telles que

L = nλ

2⇒ f =

n c02L

où n est un entier non nul. Ces solutions sont appelées modes propres de la corde.

3. Spectre

SpectreLa représentation de |Cn| en fonction de n, ωn ou de la fréquence fn = ωn

2πest le spectre de f .

Exemple de spectre :

III- Ondes planes progressives

1. Ondes planes progressives monochromatiques

Forme d'une OPPMUne onde plane progressive monochromatique (ou harmonique, ou encore OPPM)

• vers les x croissants :hω = A cos [ω t− k x− ϕ0]

• vers les x décroissants :mω = A cos [ω t+ k x− ϕ0]

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avec k = ωc.

On peut généraliser avec la forme :

ψ = A cos[ω t− ~k ·~r − ϕ0

]Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période

• ω : pulsation (en rad · s−1) ;• ν = ω

2π: fréquence (en Hz) ;

• T = 1ν

= 2πω

: période (en s).

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombred'onde

• ~k : vecteur d'onde (en rad ·m−1) ;

• σ =|~k|2π

: nombre d'onde (en m−1) ;

• λ = 1σ

= 2π

|~k| : longueur d'onde (en m).

Relation entre OPPM complexe et réelleune onde plane progressive monochromatique a pour amplitude :

ψ(~r, t) = Re(ψ(~r, t)

)où ψ est l'OPPM complexe associée.L'amplitude complexe (en ~r, à l'instant t), associée à une onde plane monochromatique de

pulsation ω et de vecteur d'onde ~k est :

ψ = ψ0 ej(~k ·~r−ω t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes.

2. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires

3. Ondes progressives en général et paquet d'ondes

Forme d'une onde plane progressive en généralUne onde plane progressive vers les x croissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = h

(t− x

c0

)Une onde plane progressive vers les x décroissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = m

(t+

x

c0

)Forme mathématique d'un paquet d'onde

La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox par une su-perposition d'OPPM peut s'écrire

ψ =

∫ ∞0

A (ω) ej (ω t−k x) dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.

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Exercice traité en �n de cours

exo 10.1) Modélisation d'un instrument à corde

Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques homogènes, tendus entre deux pointsséparés par une longueur L. Le rayon du cylindre est a avec a� L.

1) La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T0. Au repos la corde est rectiligne et parallèleà l'axe horizontal (Ox).

On étudie les mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre. On note y (x, t) le déplacement (ouébranlement) du point de la corde à l'abscisse x à l'instant t. L'axe Oy est l'axe vertical ascendant.

1.a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles que véri�e l'ébranlement y(x, t).1.b) Calculer la célérité c pour une corde de piano de masse volumique ρ = 7800 kg ·m−3, de tension

T0 = 850 N, de diamètre φ = 1, 2 mm.2) La corde est �xée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L. On cherche une solutions de l'équation

di�érentielle précédente sous la forme d'une onde harmonique caractérisée par la pulsation ω et la norme duvecteur d'onde k.

2.a) Quelle doit être la forme de cette onde harmonique ?2.b) Montrer que seulement certaines fréquences sont possibles, qu'on appellera fréquences propres de

la corde.2.c) Pour un mode propre donné, dé�nir les ventres et les n÷uds de vibration. Quelle est la distance

entre deux ventres consécutifs ? entre deux n÷uds consécutifs ? entre un ventre et un n÷ud consécutifs ?3) Solution généraleOn écrit la solution correspondant aux conditions aux limites y(0, t) = y(L, t) = 0 comme une superposition

des modes propres :

y(x, t) =

∞∑n=1

[an cos

(nπ c t

L

)+ bn sin

(nπ c t

L

)]sin(nπ x

L

)On donne les spectres calculés pour une corde pincée à la moitié de sa longueur puis au cinquième de celle-ci,

où cn =√a2n + b2n :

3.a) Comment peut-on expliquer l'absence de certains harmoniques dans ces spectres ?On peut montrer que les coe�cients an associés à la corde pincée décroissent globalement comme 1/n2. En

revanche les amplitudes des di�érents harmoniques de la corde frappée décroissent plutôt en 1/n (au moins àpartir d'une certaine valeur de n).

3.b) Comparer alors les sons d'un clavecin (instrument à corde pincées) et d'un piano (instrument àcorde frappées). Quel caractère du son est alors ressenti à l'oreille ?

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Techniques à maîtriser

I- Etablir une équation d'onde

Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante in�niment souple dansl'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système in�nitésimal.Relier la raideur des ressorts �ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du moduled'Young.Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant unsystème in�nitésimalReconnaître une équation de d'Alembert.Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on prend garde à faire la di�érence entre lesactions qui s'exercent à gauche (−~F (x)) et à droite (+~F (x+ dx)).

Equation de propagation dans un milieu continu méthode

On part de l'étude d'un élément n, on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donneune équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus enfaisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n, n− 1 et n+ 1.On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

Equation de propagation dans un milieu discontinu méthode

II- Chercher des solutions sous la forme d'ondes stationnaires

Di�érencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.Décrire les modes propres.En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersionentre k et ω. Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.

Ondes stationnaires sur une corde méthode

III- Chercher des solutions sous la forme d'OPPM

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Di�érencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On cherche une onde de la forme :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−veck ~r−ϕ0) = ψ0 e

−j.(ω.t−kx.x−ϕ0)

On repasse ensuite aux réels.

Forme de l'onde solution méthode

IV- Pour aller plus loin

On réécrit la solution sous forme de séries de Fourier de l'onde stationnaire :

y (x, t) =

∞∑n=1

[An. cos

(nπ.c.t

L

)+Bn. sin

(nπ.c.t

L

)]sin(nπ.x

L

)On écrit les conditions initiales en position et vitesse :

y (x, t = 0) =∞∑n=1

An. sin(nπ.xL

)dydt (x, t = 0) =

∞∑n=1

Bnn.π.cL sin

(nπ.xL

)On invente ensuite une fonction périodique (de période 2L) qui est telle que :

s (x) =A′02

+

∞∑n=1

[A′n. cos

(n

2π.x

2L

)]+

∞∑n=1

[B′n. sin

(n

2π.x

2L

)]On se sert ensuite de l'expression des coe�cients de Fourier :

A′n =1

L

L∫−L

s (x) . cos(nπ.x

L

).dx et B′n =

1

L

L∫−L

s (x) . sin(nπ.x

L

).dx

On pourra utiliser un logiciel pour calculer les coe�cients !

Calcul d'un spectre d'une onde stationnaire méthode

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Les techniques mathématiques à connaître

Fonction périodiqueToutes les fonctions périodiques peuvent être écritescomme une somme de fonctions trigonométriques.

f (t) = C0 +

∞∑n=1

[Cn cos (nω t+ φn)]

est une fonction périodique de période T = 2πω

(cf. exemple ci-contre).Autre présentationpuisque

cos (nω t+ φn) = cos (nω t) cos (φn)−sin (nω t) sin (φn)

on peut réécrire

f (t) =A0

2+

∞∑n=1

[An cos (nω t)] +

∞∑n=1

[Bn sin (nω t)]

avec

• A0

2 = C0,

• An = Cn cos (φn) ∀n > 0 ,

• Bn = −Cn sin (φn) ∀n > 0.Dé�nitions physiques

• le continu, la moyenne, l'o�set : fcontinu = C0 ;

• l'ondulation : fond (t) =∞∑n=1

[Cn cos (nω t+ φn)] ;

• le fondamental : f1 (t) = C1 cos (ω t+ φ1) ;

• l'harmonique de rang n : fn (t) = Cn cos (nω t+ φn) ;

• la valeur e�cace : feff =√〈f2 (t)〉 =

√C2

0 + 12

∞∑n=1

C2n (formule de Parseval).

Suite CnLa représentation de |Cn| en fonction de n, ωn ou dela fréquence fn = ωn

2π est le spectre de f .La série converge ⇒ lim

n→∞Cn = 0.

Si f est continue (mathématiquement), Cn ≈ 1n2 si

n→ +∞ ;Si f est discontinue (mathématiquement), Cn ≈ 1

n sin→ +∞.Il apparaît parfois une déformation du signal, connuesous le nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomèneest un e�et de bord qui se produit à proximité d'unediscontinuité : pour représenter convenablement unefonction discontinue, il faudrait une in�nité d'harmo-niques.

Synthèse de Fourier méthode

1. Techniques mathématiques - Synthèse de Fourier

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Programmation en python

exo 10.2) Résolution de conditions aux limites

Une corde inextensible de longueur L = 1 m, de masse linéique µ` = 10 g ·m−1, avec une tension T0 = 10 Nest �xée en x = 0. En x = L, elle est liée à un anneau de masse M = 10 g pouvant glisser sans frottement surune tige.

L'équation d'onde admet des solutions d'ondes stationnaires de la forme y (x, t) = y0 sin (k x) cos (ω t) où lapulsation ω de ces ondes stationnaires obéit à

tan

(πω

ω0

)=b

ω

où c0 =√

T0

µ`, ω0 = π c0

L et b = T0

M c0:

1) Proposer une solution pour trouver les pulsations ω.

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Résolution de problème

Les cordes d'une guitare électrique

extrait de l'article wikipédia � Corde de guitare �

Changer l'épaisseur pour changer la note.

Accord des cordesL'accord de référence, pour les six cordes à vide, est Mi, Si, Sol, Ré, La, Mi de l'aigu au grave.

Tirant de cordesLe tirant des cordes, c'est leur diamètre. Cette valeur est exprimée en millièmes de pouces.

Exemple en corde souples : le pack 8/38 (.008/.038 : .008/.011/.014/.022/.030/.038 - Extra light) où il fautcomprendre :

• tirant du mi grave = 38 (0, 97 mm)

• tirant du mi aigu = 8 (0, 2 mm)

L'âme et le �lage

Une corde de guitare possède une âme (c'est-à-dire un �l principal) autour de laquelle vient s'enrouler unsecond �l, qui formera le �lage.

Les cordes de guitare d'une guitare électrique sont souvent en acier plaqué nickel. L'acier permet une inter-action très forte avec les aimants des micros, pour un son plus fort en sortie de guitare, tandis que le nickelprotège la corde de la corrosion et améliore le toucher.

exo 10.3) Enoncé

Combien d'octaves séparent les notes mi de la plus �ne et de la plus épaisse corde de guitare électrique pourl'accord de référence ?Données :

• Longueur d'une corde de guitare : 25,5 pouces

• Masse volumique du nickel : 8, 9 g · cm−3

• Masse volumique de l'acier : 7, 8 g · cm−3

• 1 pouce =2,54 centimètres

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Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 10.4) Chaîne de pendules couplésOn réalise une chaîne de pendules simples couplés par desressorts de torsion, schématisée sur la �gure ci-contre.Chaque pendule n, accroché en On, d'abscisse xn = na,est constitué d'une barre homogène de masse m, de lon-gueur ` et de moment d'inertie J = m`2

3 par rapport àl'axe Ox.Il oscille dans un plan zOny par rapport à l'axe horizontalOx. On repère par θn la position angulaire du pendule parrapport à sa position d'équilibre verticale. Les liaison entreles pendule et l'axe sont supposées de type pivot parfaites.Chaque pendule est relié à ses voisins par un �l de tor-sion de constante K, confondu avec Ox. Ainsi, le pendulen − 1 exerce un couple Γn−1→n = −K (θn − θn−1) sur lependule n qui tend à ramener le �l vers une torsion nulle.On néglige tout frottement avec l'air.

1) Quelle est l'équation di�érentielle liant les petits angles θn, θn−1, θn+1 ?

2) Montrer que, dans l'approximation des milieux continus, l'équation d'onde est ∂2ψ∂t2 + ω2

p ψ = c20∂2ψ∂x2 . On

donnera les expressions de c0 et ωp.3) Quelle est la relation de dispersion ?4) Préciser la bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés.5) Calculer en fonction de ω, ωp et c0 :

5.a) la vitesse de phase vϕ,5.b) la vitesse de groupe vg.

6) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.7) Comparer chacune des vitesses à c0.

exo 10.5) Ondes dans un ressort

Un ressort à spires non jointives de longueur L et de masse linéique µ a uneraideur K. Le ressort est placé sur un axe horizontal. Le déplacement desspires se fait sans frottement.On étudie une longueur élémentaire dx du ressort au repos qui, au passaged'une onde de déformation, voit ses extrémités se déplacer de ξ(x, t) et ξ(x+dx, t).

1) On considère deux ressorts associés en série de raideur k. L'ensemble est considéré comme un ressortunique de raideur K.

1.a) Déterminer la relation entre k et K.1.b) En déduire que l'expression de la raideur d'une longueur dx du ressort est kdx = K L

dx .2) On s'intéresse à un élément de ressort de longueur dx.

2.a) Exprimer l'allongement de cet élément de ressort en fonction de dξdx .

2.b) Exprimer les forces de rappel s'exerçant aux extrémités de cet élément.2.c) En déduire l'équation di�érentielle véri�ée par ξ(x, t) ainsi que la vitesse de propagation des ondes

dans le ressort.3) On considère le ressort �xé en x = 0 et relié à une masse ponctuelle m, libre de se déplacer en x = L.

3.a) Déterminer la forme des solutions d'ondes stationnaires.3.b) Montrer que ξ (x, t) = ξ0 sin (k x) cos (ω t).3.c) Montrer que la pulsation ω de ces ondes stationnaires obéit à

tan

c0L

)=

K L

mc0 ω

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exo 10.6) Phonons dans une barre

On s'intéresse à une tige solide de section S, de masse volumique µ, suivant la loi de Hooke avec le modulede Young E. On néglige la pesanteur.

1) Etablissement de la forme des ondes1.a) Rappeler la loi de Hooke.1.b) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation est celle de

D'Alembert avec la célérité c0 dont on donnera l'expression.La tige est libre (sans contraintes à ses extrémités x = 0 et x = `).

1.c) Montrer que les solutions de l'équation d'onde sont de la forme ξ (x, t) = ξ0 cos(ωp xc0

)cos (ωp t)

où l'on donnera l'expression de ωp.2) Etude énergétique.

2.a) Exprimer l'énergie cinétique due à la vibration dans la tige.2.b) En déduire la moyenne temporelle de l'énergie totale, sachant que le théorème d'équipartition

stipule que l'énergie potentielle est égale à l'énergie cinétique.L'énergie de vibration du réseau est quanti�ée, la quantum d'énergie est appelé phonon par analogie au

photon de la mécanique quantique. On démontre en mécanique quantique que l'énergie d'un mode élastique depulsation ω est E =

(n+ 1

2

)~ω lorsque le mode est dans l'état excité caractérisé par le nombre n, c'est à dire

lorsque le mode est occupé par n photons.2.c) Exprimer le carré de l'amplitude du phonon ξ2

0 .

exo 10.7) Corde attachée à un point matériel oscillant

Une corde inextensible de longueur in�nie, de masse linéique µ`, avec unetension T0 est �xée en x = 0 à un point matériel de masse m en S d'ordonnéeyS(t) qui peut se mouvoir suivant Oy sans frottement. S subit la force dedeux ressorts parallèles à Oy de raideur k. Lorsque S est en O, la force desressorts est nulle.

1) Etude de la cordeOn néglige la pesanteur. On note y(x, t) les déplacements transversaux, supposés petits et ~T (x, t) la tension

qu'exerce à l'instant t la partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de �l d'abscisse inférieure à x. Lepetit élément de longueur dx entre les abscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément faitavec l'axe Ox un angle α(x, t) petit.

1.a) Déterminer l'équation di�érentielle véri�ée par y(x, t) ainsi que la vitesse de propagation des ondesdans la corde.

1.b) Montrer que Zc =Ty

vyest indépendant de la position x sur la corde et de la date t.

1.c) Véri�er l'équation locale suivante et en donner la signi�cation physique :

∂t

(1

2µ` v

2y +

T 2y

2T0

)=

∂x(vy Ty)

2) Etude du point matériel en S2.a) Exprimer la force exercée par la corde sur le point matériel en S en fonction de µ`, T0 et dyS

dt .2.b) Montrer que S suit l'équation d'un oscillateur : yS + ω0

Q yS + ω20 yS = 0.

2.c) En donner une solution si l'amortissement est faible.

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Approche documentaire (DNS)

Chevaucher les ondes

Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQIdées de physique c© Pour la Science.

Un mobile rattrapant les ondes qu'il émet au cours de son mouvement en subitles rudes e�ets. Au contraire, quand il les dépasse, il peut en pro�ter. De violentsmouvements agitaient la carlingue d'un avion transsonique qui dépassait le mur

du son ; ce phénomène �t courir de graves dangers aux pilotes d'essais quifranchirent en premier le mur du son après la Seconde guerre mondiale.Actuellement, la conception des avions supersoniques modernes permet

d'atténuer considérablement tous ces e�ets.

Un avion qui vole à la vitesse du son vibre tant qu'il est di�cile à piloter. Depuis 1947, date à laquelle le�mur du son� fut vaincu par l'aviateur américain Charles Yeager, les pilotes savent que les fortes vibrationsqui, au passage du mur du son, secouent la carlingue d'un avion non préparé à cette �n, disparaissent dès quesa vitesse excède celle du son.

L'apparition de vibrations au passage de la vitesse de propagation d'une onde est un phénomène général.Il existe ainsi un �mur de l'onde� pour chaque type : un �mur de l'onde mécanique�, un �mur de la vague�etc. Quand la vitesse du mobile a dépassé celle de l'onde qu'il vient de chevaucher, celui-ci reprend une allurepaisible.Le mur de la caténaireEn 1990, les ingénieurs de la SNCF qui préparaient le record de vitesse du TGV furent confrontés au

phénomène : le train ne pouvait dépasser 500 kilomètres par heure car, à cette vitesse, le captage du courantdevient di�cile à cause des mouvements qui agitent la caténaire (le câble tendu, suspendu à l'horizontale au-dessus du train où circule le courant).

Ce courant alimentant enénergie la motrice est prélevépar le pantographe, un bras ar-ticulé situé sur le toit.

Telle une corde de piano,la caténaire vibre verticale-ment dans une direction per-pendiculaire à son axe : des�ondes transverses� s'y pro-pagent. Leur vitesse est d'au-tant plus grande que la caté-naire est légère et qu'elle esttendue (cette vitesse est égaleà la racine carrée du quotientde la tension par la masse parunité de longueur de la caté-naire).

À titre de comparaison, lacorde de piano qui donne lela du diapason (440 hertz) estsoumise à une tension d'en-viron 85 kilogrammes. D'unelongueur de 42 centimètres etd'un diamètre de un millimètre, une telle corde d'acier (de densité 7,86) pèse environ 6,2 grammes par mètre.

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Les ondes qui la parcourent avancent à 370 mètres par seconde (1 330 kilomètres par heure) ; elles font ainsiexactement 440 aller et retour par seconde.

Le problème des ingénieurs de la SNCF était que les ondes transverses qui parcourent une caténaire sontplus lentes que sur une corde à piano et deviennent comparables aux vitesses des trains les plus rapides. Unecaténaire de TGV est constituée d'un câble pro�lé de cuivre pur d'une section de 150 millimètres carrés, soutenupar un câble porteur en bronze. Comme la densité du cuivre est de 8,9, la masse par unité de longueur d'untel câble est de quelque 1,4 kilogramme par mètre soit environ 200 fois plus que celle de la corde à piano déjàévoquée ; il est mis sous une tension 30 fois plus forte que celle de cette corde, soit 2 600 décanewtons. La vitessede propagation des ondes transverses le long de la caténaire est, par conséquent, seulement deux fois et demieplus faible que le long de la corde à piano. Elle vaut environ 500 kilomètres par heure.

Toutefois, contrairement au marteau du piano, le pantographe ne frappe pas la caténaire, mais la soulève.A�n de créer le bon contact électrique recherché, il pousse le câble de cuivre vers le haut. Lorsque le train est àl'arrêt, le pantographe soulève le câble avec une force d'environ cinq décanewtons ; la caténaire adopte la formed'un V renversé dont la pointe est soutenue par le pantographe. La situation est similaire lorsque le train sedéplace lentement. La vitesse augmentant, le V renversé dû au pantographe se déforme et des ondulations sonttransmises dans la caténaire.

L'amplitude de ces déformations augmente avec la vitesse d'autant plus que l'on s'approche de la vitesse depropagation des ondes. Le soulèvement de la caténaire atteint alors 30 à 35 centimètres par endroits : tout sepasse comme si le câble se dérobait devant le pantographe. Le phénomène dégrade le captage du courant jusqu'àentraîner la disjonction des engins de traction, voire des avaries sur les installations !

Ainsi, la vitesse de propagation de ce type d'onde apparaît comme une vitesse limite. Il existe un �murde la caténaire� analogue au mur du son. Sur une voie de TGV normale, où la vitesse de propagation desondes mécaniques est proche de 500 kilomètres par heure, un bon captage de l'électricité n'est possible que sile TGV ne dépasse pas 470 kilomètres par heure. La SNCF a d'ailleurs spéci�é que, lors des trajets normaux,la vitesse de ses TGV ne devait jamais excéder 70 pour cent de la vitesse de propagation des ondes le long dela caténaire. Pour franchir la barre symbolique des 500 kilomètres sur rails il faut donc augmenter la vitesse depropagation des ondes mécaniques le long de la caténaire. Pour y parvenir, les ingénieurs avaient le choix entredeux solutions : abaisser la masse par unité de longueur de la caténaire ou augmenter sa tension. La premièresolution imposait de changer de matériau ; moins dense que le cuivre, le cadmium aurait fait l'a�aire. Cependant,le temps disponible pour préparer le record de vitesse ne su�sait pas pour concevoir, fabriquer et tester descaténaires d'un nouveau type. Aussi, les ingénieurs ont-ils choisi d'augmenter la tension de la caténaire. Aprèsdes tests de résistance des installations en place, la caténaire a été retendue sous une plus forte tension, 3 000décanewtons. Cette précaution a porté la vitesse de propagation des ondes mécaniques à 532 kilomètres parheure sur tout le tronçon du record. Finalement, le 18 mai 1990, la rame 325 a pu atteindre la vitesse record de515,3 kilomètres par heure. Conformément à ce qu'avaient prévu les ingénieurs, la caténaire ne se souleva pasplus de 30 centimètres.

Le mur des ondes de gravitéSi le �mur de la caténaire� semble infranchissable, la plupart des �murs d'ondes� ne le sont pas. Bien avant

le mur du son, un autre mur, moins célèbre avait été franchi, dès le début du XIXe siècle, sur les canauxanglais : le �mur des ondes de gravité�. Les ondes de gravité sont, par exemple, les vagues sur la mer ou cellesque crée un bateau sur une surface d'eau. Leur formation est un phénomène d'analyse délicate, car la vitessede propagation de telles vagues varie avec leurs longueurs d'onde, lesquelles dépendent à leur tour de leursconditions de création.

La situation se simpli�e toutefois dans un canal peu profond car la vitesse de propagation de toutes les

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vagues dont la longueur d'onde est supérieure à la profondeur du canal y est constante ; elle est égale à la racinecarrée du produit de la profondeur du canal par l'accélération de la pesanteur.

Dans les canaux de faible profondeur (1,2 mètre) en usage en Angleterre au XIXe siècle pour la navigationde barges à fond plat, cette vitesse excède à peine 12 kilomètres par heure. Si le canal est étroit, les ondesen occupent toute la largeur, et le sillage en V habituellement observé à l'arrière des bateaux ne se développepas. Les ondes prennent naissance à l'avant du bateau et forment plusieurs ondulations qui suivent la poupede l'embarcation. Ces ondes se déplacent avec la barge, leurs crêtes restant quasi perpendiculaires au bord ducanal. Elles ralentissent le bateau qui doit en permanence gravir la vague qu'il crée devant lui, contrairementau surfeur qui pro�te de l'énergie de la vague qu'il chevauche en la descendant continuellement.

Comme les déformations d'une caténaire, ces ondulations de la surface de l'eau augmentent en amplitudequand s'accroît la vitesse de l'embarcation. Ces oscillations commencent à se briser et à écumer quand le bateauapproche de la vitesse de propagation des ondes dans le canal (12 kilomètres à l'heure). Ce phénomène dissipe del'énergie, ce qui freine encore plus le bateau. Cet e�et est toutefois beaucoup moins gênant que les oscillations dela caténaire ou que les e�ets aérodynamiques à l'approche du mur du son. Le bateau peut continuer à naviguermalgré l'apparition de ces vagues turbulentes, et si l'on dispose d'un bon cheval, il est même possible de lui fairedépasser la vitesse des vagues.

Dans un savoureux texte de 1844, l'Anglais Scott Russel raconte comment le phénomène fut découvert parhasard dans le canal de Glasgow à Ardrossan. �Un cheval fougueux tirant une barge de William Houston, l'un despropriétaires du canal, prit peur et partit au galop, tirant le bateau avec lui. Il fut observé par Monsieur Houstonà son grand étonnement, que les vagues pleines d'écume de la poupe qui dévastaient les rives habituellementavaient disparu ; le bateau semblait porté sur une eau bien plus lisse qui freinait beaucoup moins le bateau.Monsieur Houston eut l'intelligence de reconnaître l'intérêt de cette découverte pour la société exploitant le canal,dont il était actionnaire. Il s'occupa lui-même d'introduire sur le canal des bateaux naviguant à des vitessespouvant atteindre neuf miles par heure, ce qui augmenta considérablement les béné�ces des propriétaires ducanal�.

Une fois le �mur de l'onde� passé, les vagues créées par le bateau sont désordonnées et ont une amplitudetrès faible. L'eau est à nouveau plate devant le bateau et la résistance à l'avancement fortement réduite.

Le grand physicien Rutherford, à qui l'on demandait s'il suivait la mode dans ses recherches en physique,avait déjà répondu : �Je crée la vague, je ne la suis pas ?�. Comme le batelier de William Houston.

exo 10.8) Enoncé

1) Corde de pianoOn s'intéresse à une corde de piano en acier suivant l'axe Ox, soumise à une tension T0, de masse linéique

µl, de longueur `. Véri�er :1.a) qu'une telle corde "de densité 7, 86 d'un diamètre d'un millimètre pèse 6, 2 g ·m−1".1.b) que sur une telle corde, soumise à une tension "d'environ 85 kg", les ondes se propagent à la

vitesse de 1330 km ·h−1 (on donnera l'équation di�érentielle suivies par les ondes transverses).1.c) qu'une telle corde "de longueur 42 cm donne le la du diapason à 440 Hz" (on donnera la forme

des solutions de l'équation di�érentielle pour ce "la").2) Caténaire

2.a) Véri�er qu'une caténaire "de section 150 mm2 de densité 8,9 tendue à 2 600 décanewtons" voitdes ondes se déplacer à 500 kilomètres par heures.

2.b) Que devient cette vitesse si les caténaires sont tendues à "3 000 décanewtons" ?

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Problème (DNS)Propagation d'ondes sismiques

Les vibrations sismiques se composent, d'une part d'ondes de compression, et d'autre part d'ondes de ci-saillement. Ces ondes ne se propagent pas à la même vitesse, ce qui permet de les distinguer. En�n, il y aégalement des � ondes de surface �.

La source de ces ondes peut être naturelle (tremblement de Terre), ou arti�cielle (explosion souterraine deforte puissance, camion vibreur). L'étude du temps de propagation de ces ondes apporte des renseignementsprécieux sur la nature du sous-sol et des couches internes de la Terre. Dans cette partie, on montre dans uncas simple comment le temps de propagation de ces ondes permet de connaître la vitesse de propagation enprofondeur.

Dans ce qui suit, le sous-sol est modélisé comme une succession de couches horizontales, au sein desquellesla vitesse de propagation de l'onde sismique V (z), dépend de la profondeur z, supposée positive. L'axe Ozcaractérise la verticale orientée vers le bas.

Pour étudier la propagation des vibrations dans le sous-sol, on a recours à une analogie avec l'optique. Unesource de vibration émet à la surface du sol, en un point O, un train d'ondes sismiques. On appelle rai sismiquela trajectoire normale à toutes les surfaces de l'onde émise. Le rai sismique est l'analogue du rayon lumineux.

1) Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction d'un rayon lumineux à l'interface de deux milieuxtransparents d'indice de réfraction respectivement égaux à 1 et n > 1. Illustrer votre réponse par un schéma.

Par analogie avec l'optique, on dé�nit l'�indice de réfraction� des ondes sismiques comme égal à l'inversede la vitesse : n(z) = 1

V (z) . L'indice de réfraction ainsi dé�ni a donc la dimension de l'inverse d'une vitesse,contrairement à l'indice optique qui est sans dimension.

2) Dé�nir pour les ondes sismiques, l'analogue du chemin optique dans un milieu d'indice variable, etmontrer que cette quantité τ est égale au temps de propagation de l'onde sismique le long du rai sismique.

Le rai sismique peut être vu comme une trajectoire z(x). On introduit i, angle en radian entre la tangenteà la trajectoire et la verticale dé�nie par ~ez.

3) En raisonnant sur un milieu constitué de couches horizontales d'indice nm (cf. �gure précédente), et enappelant im l'angle du rai avec la verticale dans la couche m, montrer que le produit nm sin(im) reste constantle long du rai (les lois sont les mêmes qu'en optique).En déduire que dans un sol où l'indice dépend continûment de la profondeur z, la grandeur sin(i(x))

V (z(x)) resteconstante le long de la trajectoire.Exprimer sin (i(x)) en fonction de la dérivée dz

dx de la trajectoire du rai sismique.

On considère un rai OA issu d'une source O située à l'origine x = 0, z = 0 du repère. Ce rai est incurvé de

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façon à revenir vers la surface en un point A situé à une distance ∆ = xA de la source des ondes, après êtrepassé par un point A′ de profondeur maximale z = h (cf. �gure précédente).

4) Quel doit être le sens de variation de l'indice avec la profondeur, et par voie de conséquence, de la vitesseV (z), pour qu'une telle situation soit observée ?A quel phénomène optique fréquent dans les régions chaudes et désertiques du globe, la situation ci-dessusest-elle comparable ?

5) Si A′ est le point de profondeur maximale h, la quantité sin(i(x))V (z(x)) reste égale à 1

V (h) le long de latrajectoire. Donner en fonction de V (z) et de V (h), l'équation di�érentielle à laquelle obéit la trajectoire z(x)du rai sismique.

6) En supposant que la vitesse de propagation des vibrations sismiques obéit à la loi V (z) = V0 + κ.z, eten se limitant aux rais sismiques dont la profondeur h reste su�samment faible pour que la quantité κ.z

V0soit

petite devant 1, véri�er que la trajectoire d'équation

z(x) = h−(√

h− x√

κ

2V0

)2

est solution de l'équation di�érentielle obtenue.Quelle est la forme géométrique de ce rai sismique ?Pour quelle valeur de x, z(x) s'annule-t-il ?

Remarque : la constante V0 n'est autre que la vitesse de propagation des ondes au voisinage de la surface,et κ le premier coe�cient du développement limité de V (z) au voisinage de la surface.

La �gure précédente représente deux rais issus de O sous des incidences très proches de i0 (angle entre le raiet la verticale), émergeant en deux points voisins A et B, et contenus dans un même plan vertical. Le point Cappartenant au rai émergeant en B, forme avec A et B un triangle (presque) rectangle. Il en résulte que A etC appartiennent à la même surface d'onde, vibrent en phase, et que le temps de propagation de l'onde depuisla source est identique pour A et C.

7) Exprimer la distance CB en fonction des coordonnées xA et xB des points A et B et de sin i0. Sachantque dans cette zone proche de la surface du sol, la vitesse reste quasi égale à V0 = V (z = 0), exprimer ladi�érence entre le temps de propagation τ(A) le long du rai OA et τ(B) le long du rai OB.

8) Montrer que la vitesse apparente des ondes en surface, dé�nie comme Va = xB−xA

τ(B)−τ(A) pour deux raissismiques émergeant en deux points A et B proches, est égale à la vitesse de l'onde au point A′ de profondeurmaximale z = h.

9) Cette question peut être traitée indépendemment des questions précédentes. Le résultat de la questionprécédente suggère qu'il doit être possible de déduire la vitesse de propagation des ondes en profondeur V (h),à partir de mesures faites en surface. Malheureusement, la profondeur h du rai reste inconnue. Le principe dela détermination de la vitesse V (z), fonction de la profondeur z, repose sur la formule d'inversion de Herglotz-Wiechert :

h(∆) =1

G

∫ ∆

0

ArgCh

(Va(∆)

Va(u)

)du

où ArgCh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique, ∆ la distance à la source, Va(∆) la vitesseapparente des ondes en surface, fonction de la distance ∆, u une variable muette d'intégration, et G uneconstante qui reste à déterminer.

D'autre part, le résultat d'une question précédente permet d'établir facilement la relation entre h et ∆. Ontrouve que :

h(∆) =κ

8V0∆2

En substituant à Va(∆), l'expression Va(∆) = V (h(∆)) = V0 + κh = V0 + κ2 ∆2

8V0, puis Va(u) = V (h(u)) =

V0 + κu = V0 + κ2 u2

8V0dans la formule de Herglotz-Wiechert, et en ne retenant que les termes d'ordre les plus

bas en κ2 ∆2

V0et κ2 u2

V0, calculer la valeur numérique de la constante G.

Données : ArgCh(x) ≈√

2 (x− 1) au voisinage de x ≈ 1.

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