Correction - TD n˚12 - Ondes électromagnétiques dans...

Physique Correction TD no12 : Ondes électromagnétiques dans le vide

Correction - TD n 12 - Ondesélectromagnétiques dans le vide

1 Equation de propagation du potentiel électromagnétique dans levide1. La condition de jauge de Lorentz s’écrit :

div−→A + µ0ϵ0

∂V

∂t= 0

2. Cherchons tout d’abord à déterminer l’équation différentielle vérifiée par le potentiel sca-laire V dans le vide :

0 =︸︷︷︸MG

div−→E =︸︷︷︸

def V

div

−−−→gradV −

∂−→A

∂t

=︸︷︷︸div

−−→grad=∆

− ∆V −∂div

−→A

∂t=︸︷︷︸

jauge Lorentz

− ∆V + µ0ϵ0∂2V

∂t2

On obtient donc une équation de D’Alembert avec la célérité :

c =1

√µ0ϵ0

∆V − µ0ϵ0∂2V

∂t2 = 0

3. Cherchons maintenant un équation différentielle vérifiée par le potentiel vecteur −→A dans

le vide :

−→rot

(−→rot

−→A)

=︸︷︷︸def

−→A

−→rot

−→B =︸︷︷︸

MA

µ0ϵ0∂

−→E

∂t

En utilisant la formule d’analyse vectorielle : −→rot

−→rot =

−−→graddiv −

−→∆ et la définition de V :

−−→grad

(div

−→A)

−−→∆−→

A = µ0−→j − µ0ϵ0

−−→grad

(∂V

∂t

)+

∂2−→A

∂t2

Et en utilisant la jauge de Lorentz, on obtient encore la même équation de D’Alembert,vectorielle cette fois-ci :

−→∆

−→A − µ0ϵ0

∂2−→A

∂t2 = −→0

PSI - Année 2009/2010 1 Lycée Paul Eluard


2 Ondes sphériquesOn considère une région de l’espace vide de charges et de courants située autour d’une source

de champ électromagnétique à symétrie sphérique. On cherche à déterminer l’expression généraledes ondes émises par la source dans la zone vide.

1. L’équation vérifiée par les composantes du champ électromagnétique est l’équation deD’Alembert, où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Par exemple pour la composanteradiale du champ électrique :

∆Er −1c2

∂2Er

∂t2 = 0

2. La source étant à géométrie sphérique, le champ créé est également à symétrie sphériqueautour d’un point O et est donc invariant par rotation de θ ou φ autour du point O. Onrecherche donc Er sous la forme Er(r, t).

3. En utilisant le formulaire d’analyse vectorielle, l’équation de D’Alembert devient :

1r2

∂

∂r

(r2 ∂Er

∂r

)−

1c2

(∂2Er

∂t2

)= 0

4. Recherchons une solution de cette équation sous la forme Er(r, t) =h(r, t)

r. L’équation

précédente devient :∂2h

∂r2 −1c2

∂2h

∂t2 = 0

, donc h est solution de l’équation de D’Alembert undimensionnelle résolue dans le premierchapitre sur les ondes, de sorte qu’on peut écrire directement que h est une superpositiondes deux ondes suivantes :

h(r, t) = f(r − ct) + g(r + ct)

Finalement, on en déduit donc que :

Er(r, t) =f(r − ct)

r+

g(r + ct)r

Remarque : On peut également injecter la solution proposée directement dans l’équationet vérifier qu’elle convient.

5. A t = t0 fixé, le champ électrique radial est constant sur la surface définie par r = cste,de sorte que les surfaces d’onde sont sphériques, et l’onde est dite sphérique. Le premierterme est progressif dans le sens de −→u r, alors que le second dans le sens de −−→u r, d’où ladénomination d’ondes sphériques progressives.

3 Relations de dispersion dans le vide et dans un milieu conducteur1. a) L’équation de D’Alembert, en utilisant la notation complexe, permet de montrer que :

(−i−→k ) · (−i

−→k )

−→E −

1c2(iω)2−→

E = −→0

−k2 +ω2

c2 = 0 donc k = ±ω

c



b) En utilisant les relations obtenues à partir des équations de Maxwell-Ampère etMaxwell-Faraday avec la notation complexe, on obtient, avec

−→k = k−→u :

k−→u ∧(

k

ω−→u ∧ −→

E

)= −

ω

c2−→E

et en utilisant le produit mixte :

k2

ω

[−→u · (−→u · −→E ) − −→

E · (−→u · −→u )]

= −ω

c2−→E

et en utilisant la relation donnée par l’équation de Maxwell-Gauss :

−k2

ω= −

ω

c2 donc k = ±ω

c

2. a) Sachant que le milieu est conducteur et que la loi d’Ohm locale s’écrit : −→j = γ

−→E , on

en déduit les équation de Maxwell suivantes :

(MT ) − i−→k ′ · −→

B = 0

(MF ) − i−→k ′ · −→

E = 0

(MF ) − i−→k ′ ∧ −→

E = −iω−→B

(MA) − i−→k ′ ∧ −→

B = µ0γ−→E − iωµ0ϵ0

−→E

b) Les deux premières équations permettent de montrer que−→E et

−→B sont transverses.

c) Les deux dernières équations et la formule du produit mixte permettent de montrerque la relation de dispersion dans le milieu conducteur est donnée par :

k′2 = −iµ0γω +ω2

c2



4 Ondes électromagnétiques planes progressives



5 Décomposition d’une onde polarisée rectilignement en deux ondespolarisées circulairement1. Le champ électrique peut s’écrire sous la forme :

−→E = E0 cos α cos(kx − ωt)−→u y + E0 sin α cos(kx − ωt)−→u z = E0 cos(kx − ωt)−→u

en posant :−→u = cosα−→u y + sinα−→u z

L’onde est donc polarisée rectilignement. L’onde est représentée sur la figure ci-dessous.2. −→

E peut se décomposer en deux ondes polarisées circulairement en sens opposés. En effet,dans la base (−→u x, −→u , −→v ), où −→v est le vecteur unitaire perpendiculaire à −→u x et −→u , de tellesorte que la base précédente soit directe, le champ électrique peut s’écrire :

−→E =

∣∣∣∣∣∣∣0

E0 cos(kx − ωt)0

=

∣∣∣∣∣∣∣0

E02 cos(kx − ωt)

E02 sin(kx − ωt)

+

∣∣∣∣∣∣∣0

E02 cos(kx − ωt)

−E02 sin(kx − ωt)



x

y

zu

α

6 Ondes polarisées circulairement1. L’onde tourne dans le sens horaire, car en x = 0 par exemple, la première fois que le champ

Ey s’annule, pour ωt =π

2, Ez < 0.

2. Avec−→E =

−→E 0ei(kx−ωt), on en déduit que :

Re[−→E]

= Re[−→E 0

]cos(kx − ωt) − Im

[−→E 0

]sin(kx − ωt)

Cette expression s’identifie donc au champ électrique si et seulement si :−→E 0 = E0

−→u y − iE0−→u z

3. Pour une onde polarisée circulairement en sens inverse ayant la même amplitude, le champélectrique est défini par :

E′x = 0; E′

y = E0 cos(kx − ωt); E′z = −E0 sin(kx − ωt) .

L’expression de son amplitude complexe est alors donnée par :−→E

′0 = E0

−→u y + iE0−→u z

7 Ondes polarisées1. L’onde se propage suivant l’axe Ox, et on en déduit que Ex = 0, donc :

Ex = 0Ey = E0ycos(ωt − kx)Ez = E0zcos(ωt − kx)

avec :E0z

E0y= tan

(π

3

)=

√3.

2. L’onde se propage selon Oy, on en déduit que Ey = 0.Ex = E0xcos(ωt − ky)Ey = 0

Ez = E0zcos

(ωt − ky ±

π

2

)Le grand axe est selon Oz, on en déduit que E0z = 3E0x.



3. L’onde est polarisée linéairement selon Oy donc Ex = 0 et Ez = 0. La direction depropagation est dans le plan zOx à π/4.

Ex = 0

Ey = E0ycos

(ωt −

kx + kz√

2

)Ez = 0

8 Propagation entre deux plans métalliques infinis1. D’après les données, le champ électrique est défini par :

−→E = E0(y)cos(ωt − kx)−→u z

Et sachant que pour une onde plane progressive dans le vide, −→E = c

−→B ∧ −→u , on en déduit

que le champ magnétique est défini par :

−→B = −

E0(y)c

cos(ωt − kx)−→u y

2. Le champ électrique vérifie une équation de D’Alembert dans le vide, donc on peut endéduire :

∆Ez −1c2

∂2Ez

∂t2 = 0

Et en remplaçant avec l’expression précédente, on obtient :

d2E0(y)dy2 +

[ω2

c2 − k2]

E0(y) = 0

La solution de cette équation différentielle du second ordre dépend du signe de[

ω2

c2 − k2].

Les solutions exponentielles étant non acceptables car ne pouvant pas satisfaire ensuite auxconditions aux limites, ce terme est nécessairement positif, et la solution est harmonique

avec la pulsation Ω =

√ω2

c2 − k2 :

E0(y) = Acos(Ωy) + Bsin(Ωy)

Or nous savons que le champ électrique est nul dans les conducteurs, ce qui impose, parcontinuité de la composante tangentielle 1 du champ électrique au niveau de l’interfacevide/conducteur, sachant que la condition doit être vraie pour tout t et pour tout x, que :

E0(0) = 0E0(a) = 0

donc

A = 0Ωa = nπ avec n ∈ Z

Finalement, l’amplitude du champ électrique est donnée par, en remplaçant B par E0 :

E0(y) = E0sin(Ωy)

1. On notera qu’il y a toujours continuité de la composante tangentielle, et qu’il n’est pas nécessaire de connaîtrel’existence ou non de courant surfacique à l’interface vide-métal.



3. De plus, on déduit de la continuité du champ en y = a la relation de dispersion suivante :

ω2

c2 = k2 +n2π2

a2 avec n ∈ Z

Il y a donc existence de modes propres entre les deux plaques conductrices.4. La vitesse de phase est déterminée par :

vφ =ω

k=

c√1 −

n2π2c2

a2ω2

=c√

1 −n2λ2

4a2

où nous avons utilisé que ω =2πc

λ. La vitesse de phase dépend de la longueur d’onde, et

le milieu est donc dispersif.

Remarque : Attention, on veillera bien à ne pas utiliser dans ce cas l’expression k =2π

λqui n’est valable que dans le cas d’un milieu non dispersif.

9 Guide d’onde rectangulaire1. Le champ étant nul à l’intérieur d’un conducteur, cela impose, par continuité de la compo-

sante tangentielle 2 du champ électrique que, le champ est également nul juste à l’extérieurdes plaques conductrices, donc :

f(0) = 0f(b) = 0

2. De la même façon que dans l’exercice précédent, en utilisant l’équation de D’Alembertdans le vide, on en déduit que :

f(y) = E0sin(Ωy) avec Ω =

√ω2

c2 − k2z et Ωb = nπ avec n ∈ Z

Seuls certains modes propres du champ électromagnétique vont donc se propager dans leguide d’onde, qui sont tels que :

−→E n = E0sin

√ω2n

c2 − k2zy

cos (ωnt − kzz) −→u z avec ωn = kzc

√1 +

n2π2

b2k2z

3. Les seules fréquences qui peuvent se propager dans le guide d’onde sont définies par 3 :

νn =ωn

2π=

kzc

2π

√1 +

n2π2

b2k2z

avec n ∈ Z

Le guide d’onde laissera donc principalement passer des hautes fréquences, et coupe lesfréquences en dessous de v1. Celui-ci agit comme un filtre fréquentiel discontinu des ondesélectromagnétiques.

2. On notera qu’on ne peut pas déduire que la composante du champ s’annule en x = 0 et x = a de la mêmefaçon car le champ est ici normal aux surfaces x = cste, et rien ne prouve qu’il n’existe pas de courants surfaciques.

3. On notera qu’on a toujours k =2π

λ, mais on n’a plus λ =

c

νpuisque la célérité c n’a plus de sens ici.



10 Propagation d’ondes électromagnétiques - extrait de CCP TSI 98

10.1 Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide

1. Calculons le double rotationnel de −→E .

D’après l’équation de Maxwell-Faraday

−→rot[−→rot (−→E )

]= −→rot

−∂

−→B

∂t

= −∂

∂t

−→rot (−→B )

On utilise alors l’équation de Maxwell-Ampère en l’absence de courant de conduction(−→ȷ = −→0 ) :

−→rot[−→rot (−→E )

]= −

∂

∂t

−→rot (−→B ) = −µ0ϵ0∂2−→

E

∂t2

Par ailleurs, le double rotationnel s’écrit−→rot

[−→rot (−→E )]

=−−→grad

[div (−→E )

]− ∆−→

E

En l’absence de charge ρ = 0, l’équation de Maxwell-Gauss prend la forme div −→E = 0. On

en déduit l’équation de propagation pour le champ électrique, en l’absence de charge et decourant

∆−→E − µ0ϵ0

∂2−→E

∂t2 = −→0

Calculons le double rotationnel de −→B .

D’après l’équation de Maxwell-Ampère, en l’absence de courant (−→ȷ = −→0 )

−→rot[−→rot (−→B )

]= −→rot

µ0ϵ0∂

−→E

∂t

= µ0ϵ0∂

∂t

−→rot (−→E )

On utilise alors l’équation de Maxwell-Faraday :

−→rot[−→rot (

−→B )]

= µ0ϵ0∂

∂t

−→rot (−→E ) = −µ0ϵ0

∂2−→B

∂t2

Par ailleurs, le double rotationnel s’écrit−→rot

[−→rot (−→B )]

=−−→grad

[div (−→B )

]− ∆−→

B

Mais l’équation de Maxwell-flux donne div −→B = 0. On en déduit l’équation de propagation

pour le champ magnétique, en l’absence de charge et de courant

∆−→B − µ0ϵ0

∂2−→B

∂t2 = −→0

2. On considère la fonction f1(u), avec u = t −z

c. Alors

∂f1

∂z=

df1

du

∂u

∂z= f ′

1(u) ×(

−1c

)et

∂2f1

∂z2 =1c2 f ′′

1 (u)



D’autre part∂f1

∂t=

df1

du

∂u

∂t= f ′

1(u) × 1 et∂2f1

∂t2 = f ′′1 (u)

On a donc∂2f1

∂z2 − µ0ϵ0∂2f1

∂t2 =(

1c2 − µ0ϵ0

)f ′′

1 (u) = 0 si µ0ϵ0c2 = 1

f1

(t −

z

c

)est bien solution de l’équation de d’Alembert f1 = 0.

On montre de même que f2

(t +

z

c

)est solution de l’équation de d’Alembert f2 = 0

(il suffit de changer c en −c).

Finalement f(z, t) = f1

(t −

z

c

)+ f2

(t +

z

c

)est une combinaison linéaire de so-

lution de l’équation de d’Alembert : c’est donc également une solution del’équation de d’Alembert

f = 0

3. a) La phase vaut φ = ω

(t −

z

c

). À t fixé, la phase est une constante si z = cste. Les

surfaces équiphases sont les surfaces planes z = cste.

b)−→E = Ex

−→u x = E0 cos[ω

(t −

z

c

)]−→u x. L’équation de d’Alembert projetée sur la

base orthonormée (−→u x, −→u y, −→u z) fournit

−→E = ∆−→

E −1c2

∂2−→E

∂t2 = −→0 =⇒

Ex = 0Ey = 0Ez = 0

Mais Ey = Ez = 0 et Ex est une fonction de t − z/c uniquement. D’après la question

précédente, Ex vérifie l’équation Ex = 0. On a donc bien −→E = −→0 .

4. Utilisons l’équation de Maxwell-Faraday −→rot (−→E ) = −∂

−→B

∂t.

−∂

−→B

∂t= −→rot (

−→E ) =

∂

∂x∂

∂y∂

∂z

∧

E0 cos

[ω

(t −

z

c

)]00

=

0

ω

cE0 sin

[ω

(t −

z

c

)]0

En intégrant par rapport au temps et en ne tenant pas compte des constantes d’intégration

−→B =

0

E0

ccos

[ω

(t −

z

c

)]0



5. a) Cette onde est une onde plane, progressive monochromatique se propageant dans lesens des z croissants et polarisée rectilignement selon (Ox).

b)−→K =

ω

c−→u z est le vecteur d’onde de cette onde de sorte que

−→E =

−→E 0 cos(ωt−−→

K ·−→r )

et −→B = −→

B 0 cos(ωt − −→K · −→r ).

(−→E ,

−→B ,

−→K) forme un trièdre direct.

c)E

B= c .

10.2 Réflexion d’une onde électromagnétique par un plan métallique

1. a) Les relations de discontinuité des champs −→E et −→

B à la traversée d’une surface, dedensité surfacique de charge σ et de densité surfacique de courant −→ȷs , s’écrivent

−→E 2 − −→

E 1 =σ

ϵ0

−→n 12

−→B 2 − −→

B 1 = µ0−→ȷs ∧ −→n 12

où −→n 12 est la normale orientée du milieu 1 vers le milieu 2. Appelons milieu 1 le demi-espace z < 0 et milieu 2 le demi-espace z > 0 (intérieur du conducteur) : −→n 12 = −→u z.À l’intérieur du conducteur, les champs

−→E 2 et

−→B 2 sont nuls. On en déduit les champs

électrique et magnétique dans le vide au voisinage du conducteur

−→E (0−, t) = −

σ

ϵ0

−→u z

−→B (0−, t) = −µ0

−→ȷs ∧ −→u z

En décomposant les vecteurs en une composante tangentielle (noté ∥) et une compo-sante normale (notée ⊥), de sorte que

−→E =

−→E ∥ + E⊥

−→u z et−→B =

−→B ∥ + B⊥

−→u z, onobtient

−→E ∥ = −→0

E⊥ = −σ

ϵ0

et −→

B ∥ = −µ0−→ȷs ∧ −→u z

B⊥ = 0

b) De la question précédente, on déduit, avec −→ȷs = jsx−→u x + jsy

−→u yEx = 0Ey = 0

Ez = −σ

ϵ0

et

Bx = −µ0jsy

By = µ0jsx

Bz = 0

2. a) Le champ électrique −→E i de l’onde incidente ne vérifie pas les conditions aux limites

précédentes car sa composante Ex suivant −→u x n’est pas nulle. Il doit donc existerun champ réfléchi

−→E r de sorte que le champ résultant

−→E =

−→E i +

−→E r satisfasse les

conditions aux limites.



b) La composante tangentielle du champ résultant doit être nulle en z = 0−. On endéduit

E0i cos(ωt) + E0r cos(ω′t) = 0 ∀ t

On en déduitω = ω′ et E0r = −E0i

Par ailleurs, la phase de l’onde réfléchie est en ω(t + z/c) car c’est une onde planeprogressive monochromatique se propageant dans le sens des z décroissants, i.e. ensens opposé à l’onde incidente.

c) En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday −→rot (−→E ) = −∂

−→B

∂tpour l’onde réfléchie, on

trouve

−∂

−→B r

∂t= −→rot (

−→E r) =

∂

∂x∂

∂y∂

∂z

∧

E0r cos

[ω

(t +

z

c

)]00

=

0

−ω

cE0r sin

[ω

(t +

z

c

)]0

d’où−→B r = −

E0r

ccos

[ω

(t +

z

c

)]−→u y

Les vecteurs −→E r et −→

B r sont en phase et (−→E r,−→B r,

−→K r) forme bien un trièdre direct,

avec−→K r = −

ω

c−→u z vecteur d’onde de l’onde réfléchie. L’onde réfléchie possède la

structure d’une onde plane.3. a) Le champ électrique total est de la forme

−→E (z, t) = −→

E i(z, t) + −→E r(z, t) = E0i

cos

[ω

(t −

z

c

)]− cos

[ω

(t +

z

c

)]−→u x

En utilisant la relation trigonométrique cos a − cos b = −2 sin(

a + b

2

)sin(

a − b

2

),

on obtient−→E (z, t) = 2 E0i sin(ωt) sin

(ωz

c

)−→u x

Ce champ s’écrit comme un produit d’une fonction de z uniquement par une fonction

du temps. On voit en particulier que les plans z = pcπ

ω, p ∈ Z, sont des plans fixes

pour lesquels le champ −→E est toujours nul. Ces plans correspondent à des nœuds pour

le champ électrique.

On observe un phénomène d’onde stationnaire : le champ électrique totalne se propage pas.



b) Le champ magnétique total vaut

−→B (z, t) =

−→B i(z, t) +

−→B r(z, t) =

E0i

ccos

[ω

(t −

z

c

)]−

E0r

ccos

[ω

(t +

z

c

)]−→u x

soit−→B (z, t) =

E0i

c

cos

[ω

(t −

z

c

)]+ cos

[ω

(t +

z

c

)]−→u x

En utilisant la formule de trigonométrie cos a + cos b = 2 cos(

a + b

2

)cos

(a − b

2

), on

trouve−→B (z, t) = 2

E0i

ccos(ωt) cos

(ωz

c

)−→u x

L’onde résultante est stationnaire : le champ magnétique ne se propage paset oscille en quadrature (temporellement et spatialement) avec le champélectrique.

c)−→E = −→0 ⇐⇒ z = p

ωπ

cavec p ∈ Z et

−→B = −→0 ⇐⇒ z = (2p + 1)

ωπ

2cavec p ∈ Z

d) Voir les figures ci-dessous obtenues pour ωt = π/4.

4. a) Au niveau de la surface du conducteur, le champ magnétique est discontinu : bienque nul à l’intérieur du conducteur, il prend la valeur

−→B (0−, t) = 2

E0i

ccos(ωt) −→u y



dans le vide, au niveau de l’interface.Le relation de discontinuité du champ magnétique s’écrit

−→B (z = 0−, t) − −→

B (z = 0+, t) = −µ0−→ȷs ∧ −→u z =⇒ 2

E0i

ccos(ωt) −→u y = −µ0

−→ȷs ∧ −→u z

On en déduit−→ȷs = 2

E0i

µ0ccos(ωt) −→u x = 2

1µ0c

−→E 0i(z = 0−, t)

Les courants surfaciques sont suivant le vecteur −→u x, c’est-à-dire dans la direction duchamp électrique.

b) Les courants de la grille se développent de la même manière que dans un plan mé-tallique : le champ transmis est nul et la réflexion de l’onde est totale. L’onde esttotalement réfléchie par la grille.

c) Si les fils sont orientés suivant (Oy), les courants surfaciques ne peuvent pas se déve-lopper : tout se passe comme s’il n’y avait pas de conducteur. L’onde est totalementtransmise par la grille.

d) C’est le principe de l’atténuation d’une onde par sélection de la polarisation.



11 Réflexion sur un métal réel


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