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Spé PC*/PC

Ondes EM dans les métaux

1) Vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique :

Le demi-espace z < 0 étant conducteur parfait, on envisage une onde électromagnétique dans le demi-

espace z > 0 vide de la forme :

r E = E0 sin αz( )cos ωt − kx( )

r u y;

r B =

αE0

ωcos αz( )sin ωt − kx( )

r u x +

kE0

ωsin αz( )cos ωt − kx( )

r u z

1- On suppose ω > c

α. Exprimer la relation de dispersion liant k et ω, puis la vitesse de phase vϕ = ω/k. Commenter.

2. Exprimer la moyenne spatio-temporelle du vecteur de Poynting et la moyenne spatio-temporelle de

la densité volumique d'énergie électromagnétique.

3. En déduire la vitesse moyenne de propagation de l'énergie ve et commenter.

4 - Déterminer la densité de charge ainsi que les courants à la surface du conducteur.

Solution :

a) A la surface, le champ électrique est nulle : par conséquent, σ = 0. Le champ magnétique vaut,

toujours à la surface : xukxtE

Bvr

)sin(0 −= ωω

α.

La relation de passage, zsx ujukxtE

Brvvr

∧=−= 00 )sin( µω

ω

α, conduit à ys ukxt

Ej

vr)sin(

0

0 −= ωωµ

α

1) Le champ électrique vérifie l’équation de d’Alembert, d’où on déduit la relation de dispersion :

2

2

22 α

ω−=

ck

La vitesse de phase est 1>=k

vω

ϕ et la vitesse de groupe, dk

dvg

ω= , que l’on obtient en différentiant

la relation de dispersion : 1,2

22

2<==

ϕ

ωω

v

cvsoit

c

dkdk g . Finalement :

2

22

2

221

1ω

α

ω

αϕ

ccvet

c

cv g −=

−

=

2) Après calculs :

2

00

2

0

2

0

222

00

0

2

0

48

)(

84E

EkEuetu

kEemx

ε

ωµ

αε

ωµ=

++==Π

rr

3) Un bilan énergétique donne : g

em

EEem vu

vsoitdtdtvu =Π

=Π=

2

4) A la surface, le champ électrique est nulle : par conséquent, σ = 0.

Le champ magnétique vaut, toujours à la surface : xukxtE

Bvr

)sin(0 −= ωω

α.

La relation de passage, zsx ujukxtE

Brvvr

∧=−= 00 )sin( µω

ω

α, conduit à ys ukxt

Ej

vr)sin(

0

0 −= ωωµ

α

2) Réflexion d'une onde sur un métal "parfait", pression de radiation :

Une OPPM, à polarisation rectiligne, se propage dans le vide dans la direction (Ox), dans le sens des x croissants :

y

kxtj

i eeEErr

)(

0

−= ω (on supposera E0 réel positif)

En x = 0, elle arrive sur la surface plane d'un miroir métallique parfaitement conducteur, dans lequel

les champs E et B sont nuls, et donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le sens des x

décroissants :

y

kxtj

rr eeEErr

)(

0

+= ω

Onde incidente

Onde réfléchie

O

z x

y

a) En écrivant les conditions aux limites que doivent vérifier les champs E et B en x = 0, déterminer :

* L'amplitude E0r du champ réfléchi en fonction de E0.

* La charge surfacique σ et le courant surfacique js qui peuvent se trouver sur la surface métallique en

x = 0.

b) Déterminer le champ électromagnétique résultant de l'onde incidente et de l'onde réfléchie dans le

demi-espace x < 0. Caractériser brièvement l'onde résultante. Calculer la valeur moyenne de son

vecteur de Poynting.

c) Le champ électromagnétique exerce sur une surface dS du miroir une force dF dont l'expression est,

en notation réelle :

( )dSBjEFd s

rrrr∧+= σ

2

1

* Proposer une explication de la présence du facteur ½.

* En déduire que l'onde exerce une pression P sur le miroir dont on calculera la valeur moyenne <P>

en fonction de la densité volumique moyenne d'énergie <ei> de l'onde incidente, puis en fonction de la

densité volumique d'énergie totale <etotale> au voisinage immédiat du plan ; P est appelée pression de

radiation.

* Calculer <P> pour une onde incidente fournie par un laser de puissance moyenne <Wi>=3 mW, dont

la section droite est s=0,4 mm2.

3

Solution :

a) La composante tangentielle du champ électrique doit être continue, par conséquent 0 0rE E= − .

La condition de passage pour le champ électrique, 0

métal vide vide xE E E u

σ

ε− = − =

r r r r montre que σ = 0.

La condition de passage pour le champ magnétique donne : 0métal vide vide s xB B B j uµ− = − = ∧r r r r

Le champ magnétique incident est : ( ) ( )0

0

j t kx j t kxx xi i y z

e e EB E E e e e e

c c c

ω ω− −= ∧ = ∧ =

r rr r r r

Le champ magnétique réfléchi est : ( ) ( )0

0

j t kx j t kxx xr r y z

e e EB E E e e e e

c c c

ω ω+ += − ∧ = ∧ =

r rr r r r

Le champ résultant sur le métal vaut : 0( ) 2 j t

i rmétal métal z

EB B B e e

c

ω= + =r r r r

On en déduit : 0 00 0 0

0

2 2 2j t j t j t

métal z s x s y y

E EB e e j u soit j e e cE e e

c c

ω ω ωµ εµ

= = − ∧ = =r r rr r r r

En notation réelle : 0 02 cos( )s yj cE t eε=r r

.

b) Le champ électrique résultant est :

( ) ( )

0 0 02 sin( )j t kx j t kx j t

y y yE E e e E e e jE kx e eω ω ω− += − = −

r r r r

Soit, en notation réelle : 02 sin( )sin( ) yE E kx t eω=r r

De même, pour le champ magnétique :

( ) ( )0 0 02 cos( )j t kx j t kx j t

i r z z z

E E EB B B e e e e kx e e

c c c

ω ω ω− += + = + =r r r r r r

Soit, en notation réelle : 02 cos( )sin( )z

EB kx t e

cω=

r r

Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire, est très différent d’une onde plane progressive :

les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément.

c) Le champ électromagnétique exerce sur une surface dS du miroir une force dF dont l'expression est,

en notation réelle :

( )dSBjEFd s

rrrr∧+= σ

2

1

En effet, la surface dS est soumise à l’action du champ électrique et magnétique qui lui est extérieur ;

il ne faut donc pas prendre en compte le champ électrique et le champ magnétique créé par cette

surface dS chargée et parcourue par des courants volumiques. Le facteur 1 / 2 prend en compte cette

remarque.

Comme σ = 0, la ¨valeur moyenne de la force devient :

* 200 0 0 0

1 1 1Re (2 ) (2 )

2 2 4

j t j t

s y z z

EdF j B dS cE e e e e dS E e dS

c

ω ωε ε− = ∧ = ∧ =

r rr r r r

La pression de radiation moyenne est alors : 2

0 0P Eε=

4

La densité d’énergie volumique est :

22

0

0

1 1

2 2v

Be Eε

µ= +

Dont la valeur moyenne est : 2

0 0ve Eε= . On en déduit : 2

0 0 vP E eε= =

3) Réflexion/Transmission sur un conducteur réel (Centrale) :

Solution :

5

6

4) Réflexion sur un métal :

Une OPPM est envoyée normalement à un plan parfaitement conducteur. La polarisation de cette onde

est circulaire et le champ électrique associé peut s'écrire en notation réelle :

Exi = E0cos(ωt - kiz + π/2) ; Eyi = E0cos(ωt - kiz)

Déterminer la structure de l'onde résultante.

Solution :

Le champ électrique total doit être nul à la surface, par conséquent :

)cos(;)2

cos( 0,0, zktEEzktEE iryirx +−=++−= ωπ

ω

La structure du champ électrique total au-dessus de métal est :

[ ] zktEzktzktEEEE

zktEzktzktEEEE

iiiryiyy

iiirxixx

sinsin2)cos()cos(

sincos2)2

cos()2

cos(

00,,

00,,

ωωω

ωπ

ωπ

ω

=+−−=+=

=

++−+−=+=

On obtient une onde stationnaire. Le champ magnétique s’obtient avec l’équation de Maxwell-

Faraday, t

BErot

∂

∂−=

rr

:

t

BzktkE

zktkE

zktE

zktE

z

Erot ii

ii

i

i

∂

∂−=−

−

=∧

∂∂

=

rr

0

coscos2

cossin2

0

sinsin2

sincos2

/

0

0

0

0

0

0

ω

ω

ω

ω

D’où :

0

cossin2cossin2

coscos2coscos2

00

00

zktc

Ezkt

kE

zktc

Ezkt

kE

B iii

iii

ωωω

ωωω

=

−=−

=r

On peut calculer le vecteur de Poynting et vérifier que sa valeur moyenne est nulle : une onde

stationnaire ne transporte pas d’énergie.

7

5) Guide d'ondes :

On montre que la relation de dispersion du mode TEn,m est de la forme :

+−=

2

2

2

22

2

22

b

m

a

n

ck π

ω

Toutes ces expressions constituent mathématiquement une base de solutions qui permettent ensuite de connaître l’expression de l’onde EM se propageant effectivement dans le guide d’ondes.

8

9

On peut vérifier que la composante normale du champ magnétique est bien nulle sur les parois :

10

* Densité volumique d’énergie EM :

0

22

022

1

µε

τ

BE

d

dWu EM

EM +==

Comme en électricité, on calcule l’énergie moyenne transportée par l’onde sur une période T :

Cette énergie représente donc l’énergie électromagnétique par unité de longueur transverse (selon (Oz)) dans le guide d’ondes.

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