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Contraintes et deformations en polaire

1) Considerons le probleme plan en coordonnees polaires r, . Au point A le deplacement vaut u A.A lextremite des deux segments perpendiculaires AB et AC les deplacements valent respectivementu B et u C . Les longueurs des segments AB et BC sont respectivement :

AB = dr AC = rd

Fig. 1 A gauche deplacement radial et a droite deplacement circonferentiel

Pour un deplacement radial seul :Les composantes des deplacements selon r et aux points A,B,C valent dans le repere initial r, dupoint A :

Composantes selon r uAr = ur uBr = ur +urr dr uCr = (ur +

ur d) cos d

Composantes selon uA = 0 uB = 0 uC = (ur +ur d) sin d

De la definition du gradient de deplacement il en resulte : urdr urrdudr

urd

= rr urrdu

dr

=uBruAr

ABuCruAr

ACuBuA

AB

uCuAAC

= urr 1rd [(ur + ur d) cos d ur]0 1rd (ur + ur d) sin d

urr 1r ur0 urr

dans la limite des petites deformations pour lesquelles on ne conserve que les termes du premier ordreen dr et d avec cos d 1 et sin d d.

Pour un deplacement circonferentiel seul :Les composantes des deplacements selon r et aux points A,B,C valent dans le repere initial r, dupoint A :

Composantes selon r uAr = 0 uBr = 0 uCr = (u + u d) sin dComposantes selon uA = u uB = u +

ur dr uC = (u +

u d) cos d

De la definition du gradient de deplacement il en resulte : urdr urrdudr

urd

=uBruAr

ABuCruAr

ACuBuA

AB

uCuAAC

= 0 1rd (u + u d) sin d1dr [(u +

ur dr) u]

1rd [(u +

u d) cos d u]

0 uru

r1rud

dans la limite des petites deformations pour lesquelles on ne conserve que les termes du premier ordreen dr et d avec cos d 1 et sin d d.

Le tenseur des deformations etant la partie symetrique du gradient de deplacement, en additionnantcomposante par composante les deux resultats ci-dessus on obtient finalement :

(r, ) =

rr rr =

urr 12{1r ur + ur ur }12{

1rur +

ur

ur }

1ru +

urr

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Lors dun deplacement radial seul, le terme = urr correspond a leffet geometrique propre a toutsysteme a symetrie de revolution qui impose une variation de perimetre associee a toute variation derayon. Lors dun accroissement ur du rayon r, le perimetre P = 2r saccrot de dP = 2ur et induitune deformation circonferentielle = dPP =

urr .

Lors dun deplacement circonferentiel seul, si le point A subit un deplacement tangentiel AA,la droite OAB devient en labsence de toute deformation la droite OAB et le glissement vrai dusegment AB doit se mesurer non pas a partir de AB mais a partir de AB deduit de AB par unerotation de corps rigide damplitude AA

OA =uAr . Le deplacement relatif du point B par rapport au

point A responsable du glissement du segment AB doit se mesurer a partir du point dintersection B

du vecteur uB avec la droite (en pointille) issue de lorigine et passant par lextremite A du vecteuruA. En effet, BB se decompose en BB = AA

OAOB = ur+drr rotation de corps rigide ninduisant pas

de deformation et du terme de glissement BB.

2) Equation de lequilibre.

Facette Force normale Force tangentielleFacette AD [rr]2rd [r]2rdFacette DC [ + d]dr [r +

r d]dr

Facette CB [rr + rrr dr]2(r + dr)d [r +rr dr]2(r + dr)d

Facette BA [ d]dr [r r d]dr

Projetons sur les axes r et en statique et en labsence de forces de volume :

Projection sur r [Fn(AD) + Fn(CB)] + [Ft(DC) + Ft(BA)] cos(d) + [Fn(DC) + Fn(BA)] sin(d) = 0Projection sur [Ft(AD) + Ft(CB)] + [Ft(DC) Ft(BA)] sin(d) + [Fn(DC) + Fn(BA)] cos(d) = 0

Comme, en se limitant aux termes du premier ordre en dr et d avec cos(d) 1 et sin(d) d :

Fn(CB) + Fn(AD) = [rr + rrr dr]2(r + dr)d [rr]2rd [rr + rrrr ]2drd

(Ft(DC) + Ft(BA)) cos(d) = {[r + r d]dr [r r d]dr} cos(d)

r 2drd

(Fn(DC) + Fn(BA)) sin(d) = {[ + d]dr [ d]dr} sin(d) 2drd

Ft(CB) + Ft(AD) = [r + rr dr]2(r + dr)d [r]2rd [r + rrr ]2drd

(Ft(DC) Ft(BA)) sin(d) = {[r + r d]dr + [r r d]dr} sin(d) r2drd

(Fn(DC) + Fn(BA)) cos(d) = {[ + d]dr [ d]dr} cos(d)

2drd

Il en resulte :Projection sur r rrr +

1rr +

rrr = 0

Projection sur rr +1r + 2

rr = 0

3) Lorsque la geometrie et le chargement presentent une symetrie cylindrique linvariance parrotation implique que les grandeurs physiques ne peuvent pas dependre de la variable . La seulecomposante de deplacement est la composante radiale ur. Pour la meme raison, il ne peut y avoir

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de composante de deformation r mais la symetrie ninterdit pas lexistence dune composante non nulle ne dependant que de la variable r. Il en sera de meme pour les composantes du tenseurdes contraintes. Lapplication de ces regles de symetrie conduit, dans le cas dun materiau elastiquelineaire isotrope ij = kkij + 2ij aux simplifications suivantes :

=

rr rr =

urr 00 urr =

rr 00 =

(urr + urr ) + 2urr 00 (urr + urr ) + 2urr

Lequation de lequilibre est automatiquement satisfaite en projection sur laxe et sa projection surlaxe r se reduit a :

rrr

+rr

r= 0

rrr

= (+ 2)2urr2

+ 1r

(urr ur

r)

rr r

= 21r

(urr ur

r)

conduisant a lequation differentielle ordinaire :

d2u

dr2+

1r

du

dr ur2

= 0

dans laquelle u designe pour des raisons de simplification decriture, la composante radiale ur seulecomposante du champ de deplacement.Du fait de la symetrie radiale de la geometrie et du chargement on sattend a ce que le deplacement usoit proportionnel a r, le coefficient de proportionnalite pouvant lui meme etre une fonction de r doule changement de variable u = fr qui conduit a :

du

dr= f+r

df

dr

d2u

dr2= r

d2f

dr2+3

df

dr

f

f = 3

rLn(

f

C) = 3Lnr f = C

r3f =

D

r2+F u =

D

r+Fr

Il en resulte immediatement :

=

F Dr2 00 F + Dr2

= 2(+ )F 2Dr2 00 2(+ )F + 2D

r2

= B Ar2 00 B + A

r2

avec

{B = 2(+ )FA = 2D