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ASINSA 1re anne

TD de physique ASINSA 1re anne

Edition 2000-2001

B

x x

y

y

z

z

'F

FA

C

D

J

J

I

I ir

kr

ir

'F

F

x x

y

y

jr

J

J

Textes slectionns par P. MASSON, N. GODIN, A. DELMAS

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

ASINSA 1re anne

ASINSA 1re anne TD de Physique

2


3

Rfrences bibliographiques

Electricit partie I : Electrostatique polycopi de cours du dpartement du premier cycle, 1re anne. M Lambinet Electromagntisme, collection H prpa, dition Hachette, ISBN 2.01.14.5078.0, J.M. Brbec, P. Denev Electromagntisme I, Collection jintgre, dition Dunod, ISBN 2.10.003101.5, J.P. Faroux, J. Renault Electromagntisme, fondement et applications, dition Masson, ISBN 2.225.83037.1, J.P. Prez, R. carles, R. Fleckinger


4


5

Sommaire

Calculs vectoriels N1.................................................................................................................. 14

Calculs vectoriels N2.................................................................................................................. 16

Units Equations aux dimensions N1 .................................................................................... 17

Units Equations aux dimensions N2 .................................................................................... 19

Units Petites variations, Incertitudes N1............................................................................. 20



Gomtrie des masses (intgrales simples) N1......................................................................... 24

Gomtrie des masses (Moments et centre dinertie) N2.......................................................... 25

Statique des fluides N1.............................................................................................................. 27

Statique des fluides N2.............................................................................................................. 29

Statique du solide N1................................................................................................................. 31

Statique du solide N2................................................................................................................. 33

Energie et travail N1 ................................................................................................................. 34

Energie et travail N2 ................................................................................................................. 36

Optique gomtrique N1............................................................................................................ 37





Systme centr N1 ..................................................................................................................... 44

Systme centr N2 ..................................................................................................................... 46

Lentilles minces N1 ................................................................................................................... 48

Lentilles minces N2 ................................................................................................................... 50

Doublets N1................................................................................................................................ 51

Doublets N2................................................................................................................................ 53

Doublets N3................................................................................................................................ 54

Electrostatique N1 ..................................................................................................................... 55










6

Electrostatique N10 ................................................................................................................... 69

Electrostatique N11 ................................................................................................................... 70

Electrocintique N2.................................................................................................................... 72



MODULE GRANDEUR PHYSIQUES..................................................................................... 77

Interrogation n1 ......................................................................................................................... 77


Interrogation n2 ......................................................................................................................... 79


Interrogation n3 ......................................................................................................................... 81

MODULE ELECTROMAGNETISME ..................................................................................... 83

Interrogation n1 ......................................................................................................................... 83


Devoir de synthse n1................................................................................................................ 85


7

Units de mesures

UNITES SI MULTIPLES SI ou autres units usuelles

Grandeur Nom Sym-bole

Valeur en unit de base Nom Symbole Valeur en SI

Units nergtiques

degr Celsius C 1 = 1 K (yK = 273,15 + xC)

Temprature

degr Fahrenheit

F (zK = 273,15 + 5/9 [xF 32])

erg erg 10 7 J calorie (thermo-chimique)

cal 4,1840 J

calorie IT cal 4,1868 J kilocalorie kcal 4184 J wattheure Wh 3600 J kilowattheure kWh 3,6 106 J thermie th 4,18 106 J chevalheure cvh 2,648 106 J British Thermal Unit

BTU 1,055 103 J

lectronvolt ev 1,602 1019 J

Energie (travail ou chaleur)

joule J m2.kg.s 2 (newton mtre)

frigorie 4180 J (enlevs)

Quantit de rayonnement ionisant absorb par unit de masse

rad 102 J.kg1

cheval-vapeur cv 735,5 W Puissance watt W m2.kg.s3 (joule par seconde) frigorie par

heure 1,161 W

(enlevs) Entropie m2.kg.s2.K1

(joule par kelvin) clausius Cl 4,18 J.K1

Capacit calorifique

m2.kg.s2.K1 (joule par kelvin)

Units optiques

Luminance m2.cd (candela par mtre carr)

stilb sb 104 cd.m2

Flux lumineux

lumen lm cd.sr

Eclairement lux lx m2.cd.sr phot ph 104 lx Vergence des systmes optiques

dioptrie m1 (vergence dun systme de distance focale de 1 m dans un milieu dindice de rfraction gale 1)


8

UNITES SI MULTIPLES SI ou autres units usuelles Grandeur Nom Sym-

bole Valeur en unit

de base Nom Symbole Valeur en SI

Units gomtriques

angstrm (ou A) 10 10 m micron (ou m) 10 6 m inch = pouce in 0,0254 m foot = pied ft 0,3048 m yard yd 0,9144 mille marin 1852 m anne lumire al 9,461 10 15 m

Longueur

unit astronomique UA 1,496 10 11 m barn b 10 28 m2 are a 100 m2

Surface mtre carr

m2 Surface dun carr de 1 m de ct

hectare ha 10000 m2 litre l 10 3 m3 tonneau de mer 1,44 m3 tonneau de jauge 2,832m3 gallon US gal 3,785 10 3 m3

Volume mtre cube

m3 Volume dun cube de 1 m darte

barril US bbl 0,159 m3 degr d ou 0,01745 rad

minute sexagsimale

2,91 10 4 rad (360 2 rad)

seconde sexagsimal

4,85 10 6 rad (60 1)

Angle plan radian Rad Angle au centre interceptant un arc de cercle gal la longueur du rayon

grade gr 0,0157 rad (60 1)

Angle solide stradian sr Angle solide interceptant un arc de cercle gale la longueur du rayon

Units mcaniques

Frquence hertz Hz curie Ci 3,7 1010 s1 (dsintgration dun nuclide par seconde)

carat 2 10 4 Masse

unit de masse atomique

u 1,66053 10 27 kg (1/12 de la masse du carbone 12)

Acclration gal Gal 10 2 ms2 kilogramme-force

kgf 9,80665 N Force newton N

dyne dyn 10 5 N

bar bar 105 Pa kilogramme-force par centimtre carr

kgf.cm2 0,980665 105 Pa

atmosphre normale

atm. 1,01325 105 Pa

Contrainte et pression

pascal Pa

torr Torr 133,3 Pa (mm Hg) (760 Torr = 1 atm)


9

UNITES SI MULTIPLES SI ou autres units usuelles Grandeur Nom Sym-

bole Valeur en unit

de base Nom Symbole Valeur en SI

Units mcaniques (suite)

Tension superficielle

kg.s 2 (newton par mtre, ou joule par m2)

dyne par cm 10 3 kg.s 2

Viscosit dynamique

m 1.kg.s 1 (pascal par seconde)

poise Po 10 1 Pl

Viscosit cinmatique

poiseuille Pl

m2.s 1 stokes St 10 4 m2.s 1

Units lectriques

Quantit dlectricit

coulomb C s.A

Tension ou diffrence de potentiel

volt V m2.kg.s3.A1 (watt par ampre ou joule par coulomb)

Capacit lectrique

farad F m2.kg1.s4.A2 (coulomb par volt)

Rsistance lectrique

ohm m2.kg.s3.A2 (volt par ampre)

Conductance siemens S m2.kg1.s3.A2 (ampre par volt ou 1)

mho 1S

Champ lectrique

m.kg.s3.A1 (volt par mtre)

Dplacement lectrique

m2.s.A (coulomb par m2)

Permittivit

m3.kg1.s4.A2

Champ magntique

m1.A (ampre par mtre)

Induction magntique

Tesla T kg.s2.A1 (wber par m2)

Flux dinduction magntique

wber Wb m2.kg.s2.A1 (voltseconde)

maxwell Mx 108 Wb

Inductance henry H m2.kg.s2.A2 (wber par ampre)

Permabilit magntique

m.kg.s2.A2 (henry par mtre)


10

Coordonnes

Coordonnes cartsiennes de M : x, y, z

xy

z

M

ir

kr

jrO

ur

K

x

z

y

Oxyz est un tridre orthonorm direct : la plus petite rotation qui amne Ox sur Oy se fait dans le sens trigonomtrique direct autour de Oz :

kzjyixOMrrr

++=

si OM fait avec les axes, les angles x, y, z, les cosinus directeurs de OM sont ( )xcos = , ( )ycos = , ( )zcos = . Ce sont les composantes du vecteur unitaire u

r.

1222 =++

Coordonnes cylindriques de M : , , z

x

y

z

M

krO

K

r

H n

r

mr

0 , 20 , +


11

Primitives particulire de quelques fonctions courantes

Fonctions Primitives Fonctions Primitives

1m,x m 1m

x1m

+

+

x

1 xln

xcos xsin xsin xcos

xe xe 0a,a x >

aln

a x

chx shx shx chx

xcos

1

2

xtan

xsin

1

2

anxcot

xch

1

2

thx

xsh

1

2

xcoth

xsin

1

2

xtanln

xcos

1 )

42

xtan(ln

+

2x1

1

x1

x1ln

2

1

+

2x1

1

+

xarctan

2x1

1

xarcsin 2x1

1

+

shxarg

1x

1

2

xcharg)x(signe

M est un paramtre rel


12

Fonctions trigonomtriques

Valeurs particulires

x 0 6

4

3

2

sin x 0 2

1

2

2

2

3

1

cos x 1

2

3

2

2

2

1 0

tan x 0

3

3

1 3

1

1

sin(

x)

cos(x)

x tan

(x)

0

Relations

xcos

xsinxtan = 1xsinxcos

22 =+

xtan1xcos

1 22

+= xtan

11

xsin

1

22+=

-x x

x2

2x

+

+ nx

sin -sin(x) sin(x) cos(x) cos(x) (-1)n sin(x) cos cos(x) -cos(x) sin(x) -sin(x) (-1)n cos(x)

Formules dadditions

btanatan1

btanatan)batan(

bsinasinbcosacos)bacos(

acosbsinbcosasin)basin(

btanatan1

btanatan)batan(

bsinasinbcosacos)bacos(

acosbsinbcosasin)basin(

+

=

+=

=

+=+

=+

+=+


13

Relations avec larc double

atan1

atan2a tan2

atan1

atan1cos2a

atan1

atan2a2sin

)a2cos1(2

1acos

)a2cos1(2

1asin

asin211acos2asinacosa2cos

acosasin2a2sin

22

2

2

2

2

2222

=

+

=

+=

+=

=

===

=

Transformation de produits en sommes

2

qpsin

2

qpsin2qcospcos

2

qpcos

2

qpsin2qsinpsin

2

qpcos

2

qpcos2qcospcos

2

qpcos

2

qpsin2qsinpsin

+=

+=

+=+

+=+


14

Calculs vectoriels N1

Exercice I : Oprations lmentaires

On considre dans le repre )k,j,i,O(rrr

les vecteurs :

++++====

++++====

++++====

k3j3i4V

k2j2i3V

kj3i2V

3

2

1

rrr

rrr

rrr

(I.1)

I.1. Calculer la norme des vecteurs 1V , 2V et 3V .

I.2. Calculer les composantes et les normes des vecteurs A et B dfinis par :

++++====

++++++++====

321

321

VVVB

VVVA (I.2)

I.3. Dterminer lunitaire ur

du vecteur C dfini par :

21 V3VC ++++==== (I.3)

I.4. Calculer le produit 21 V.V

I.5. Dterminer les composantes du produit 21 VV Exercice II : Angle de deux vecteurs

Soient les points A1 (1, 1, 1), A2 (2, 2, 1) et A3 (2, 1, 0). Calculer langle )AA,AA( 3121 compris entre 0 et . Exercice III : Produit scalaire

III.1. Dmontrer que dans un triangle quelconque ABC on a la relation suivante :

)Bcos(BC.AB.2BCABAC 222 ++++==== (III.1)

III.2. Dmontrer la relation suivante :

)sin().sin()cos().cos()cos( ++++==== (III.2)

III.3. Dmonter que deux vecteurs de norme V faisant un angle vrifient ces deux relations :

====

====++++

)2/sin(V2VV

)2/cos(V2VV

21

21

(III.3)


15

Exercice IV :

Lespace est rapport au repre orthonorm )k,j,i,O(rrr

et on donne les vecteurs :

====

++++====

kjv

k2jiurrr

rrrr

(III.4)

On recherche les vecteurs 1e , 2e , 3e (unitaires de norme gale 1) de la base )e,e,e( 321 orthonorme directe.

IV.1. On pose ue1r

==== ( est un rel positif). Comparer les directions et sens de 1e et ur

.

Calculer et en dduire 1e dans la base )k,j,i(rrr

.

IV.2. On pose vbuae2rr

++++==== (a et b sont des rels). 2e est orthogonal ur

et v.e2r

>0. Que peut-

on dire des vecteurs 2e , ur

, vr

? Calculer a et b. En dduire 2e dans la base )k,j,i(rrr

.

IV.3. Exprimer 3e dans la base )k,j,i(rrr

.


16

Calculs vectoriels N2

Exercice I :

Z

X

Y

M

M0

Oir

jrk

r

Figure I.1.

Lespace est rapport au repre orthonorm )k,j,i,O(rrr

.

I.1. Un point M situ sur la sphre (S) de centre O et de rayon R est repr par les angles et . Soit M0 la projection orthogonale de M sur le plan (xOy). On note :

====

====

)OM,OM(

)OM,Ox(

0

0

Exprimer, en vous aidant de la figure (I.1.), OM dans la base )k,j,i(

rrr.

I.2. On considre deux points M1(1, 1) et M2(2, 2) situs sur la sphre (S). Montre que :

)sin().sin()cos().cos().cos()OM,OMcos( 21212121 ++++==== Exercice II : Produit mixte

Dans une base orthonorme )e,e,e( 321 , on considre les trois vecteurs :

====

++++====

++++====

321

321

321

ee2ew

eee2v

eeeu

Calculer le produit mixte )w,v,u( . Quelle est sa signification gomtrique ? Exercice III : Moment dun vecteur

Dans un repre orthonorm )k,j,i,O(rvr

, on considre les trois vecteurs lis )u,A(r

, )v,B(r

, )w,C(r

avec A(2, 1, 0), B(-1, 1, 2), C(3, 0, 2) et u

r(1, 1, 1), v

r(1, -1, 0), w

r(-2, -3, 1).

III.1. Calculer les moments des trois vecteurs lis par rapport O.

III.2. Calculer la rsultante gnrale des trois vecteurs et le moment rsultant en O

III.3. Soit un axe passant par les deux points P(2, 1, 2) et Q(5, -3, 2) et dirig par le vecteur PQ . Calculer les moments par rapport des trois vecteurs lis.

Rappel 1 : Moment par rapport un point

Soit un vecteur li )U,A( et P un point quelconque. On appelle moment du vecteur li par rapport au point P, le vecteur suivant : UPAM P/ ====

Rappel 2 : Moment par rapport un axe

Soit un axe passant par un point P et dirig par le vecteur unitaire er

, on appelle moment du vecteur )U,A( par rapport laxe , le scalaire suivant :

)e,U,PA(e.MM P//rr

========


17

Units Equations aux dimensions N1

Exercice I : Units

I.1. Dans le systme SI, les grandeurs fondamentales sont : L, M, T, I et (longueur, masse, temps, intensit de courant, temprature thermodynamique).

Systme SI Systme CGS

Unit de longueur : m Unit de masse : kg Unit de temps : s

Unit de longueur : cm Unit de masse : g Unit de temps : s

I.1.1. Quel est le rapport des units de forces du systme CGS et SI ?

I.1.2. Mme question pour la pression.

I.2. Dans le systme MKpS, les grandeurs fondamentales sont : L, F, T) soit (longueur, force, temps).

I.2.1. Lunit de force est le kgf dans le systme MKpS. Le kgf correspond une force agissant sur une masse de 1 kg place dans le champ de l pesanteur. Combien vaut-il de newton (N) et de dyne (dyn) ? Un dyne correspond 10-5 N.

I.2.2. Lunit de masse du systme MKpS est une unit drive. Quelles sont dans ce systme les dimensions de la masse ?

I.2.3. Lunit de travail est le kgm. Quelles sont, dans ce systme, les dimensions de travail ?

I.2.4. Etablir la correspondance entre le kgm, le joule (N.m) et lerg (dyn.cm). Exercice II : Analyse dimensionnelle

On considre des systmes cohrents dunits lectriques admettant la base L, M, T, I (longueur, masse, temps, intensit de courant) pour lcriture des quations aux dimensions.

II.1. En utilisant des dfinitions ou des relations vues dans les annes antrieures, former les quations aux dimensions des grandeurs lectriques suivantes :

Quantit dlectricit (ou charge lectrique), Q Diffrence de potentiel (ou tension ou force lectromotrice), U Rsistance, R Capacit dun condensateur, C Inductance propre, L

II.2. Former les quations aux dimensions :

Du produit [[[[ ]]]]RC

Du rapport

RL

II.3. Dterminer lquation aux dimensions de la grandeur 0 (permittivit du vide). 0 est introduit en lectrostatique dans la loi de coulomb :

20 r

'qq4

1f

==== (II.1)


18

Chercher la dimension du rapport

0

C

. Est ce que ce rsultat tait prvisible dune autre

manire ?

II.4. Un condensateur de capacit C, pralablement charg, est runi une bobine dinductance propre L et rsistance ngligeable. Il apparat alors, au niveau du circuit, des oscillations lectriques de priode T0. On admet une relation de la forme :

CkLT0 ==== (II.2) o k, et sont des constantes (sans dimensions). Dterminer la valeur des exposants rationnels et . Exercice III : Analyse dimensionnelle

Soit lexpression :

2.

A2

gV ++++==== (III.1)

o V est la vitesse, une longueur donde, g lacclration de la pesanteur, la masse volumique et A une tension superficielle. Donner lquation aux dimensions fondamentales (L, M, T) de la tension superficielle.


19

Units Equations aux dimensions N2

Exercice I : Dfinition dunits nouvelles

On considre un systme cohrent dunits mcaniques (S) dans lequel les units de base sont : lunit de temps gale la seconde, lunit de masse gale au gramme, lunit dacclration mesure en units SI par le nombre 9,81 (g)

I.1. Dfinir lunit de force de ce systme (S) et donner sa valeur en newtons.

I.2. Dfinir lunit de longueur de (S) et donner sa valeur en mtres.

I.3. Dterminer la valeur de latmosphre (pression atmosphrique normale) en unit (S) avec trois chiffres significatifs. Exercice II : Quelques autres units

II.1. La trajectoire de la terre autour du soleil a un rayon a = 1,49.1011 m = 1 Unit Astronomique (UA). Pour reprer la distance r = SE (figure (II.1)) dune toile au soleil, on

mesure langle

21ETT = 2. En fait on mesure les angles et puis on calcul 2)( ==== .

Langle est la parallaxe stellaire et lon a = a/r ( en radians). On dfinit le parsec (contraction de parallaxe-seconde) comme la distance r0 correspondant 0 = 1.

T1 T2S

2

E

Figure II.1.

II.1.1. Calculer la valeur de 1 parsec en mtres, annes lumire et en units astronomique.

II.1.2. Ltoile la plus proche de nous (Proxima Centauris) a pour parallaxe = 0,82. Calculer sa distance au soleil.

II.1.3. Quelle forme prend la relation liant et r lorsque est exprim en secondes dangle et r en parsec ?

II.2. Lunit de masse atomique (uma) est dfinie de la faon suivante : lisotope du carbone C126 est un atome dont la masse est gale 12 uma. Calculer en kg la valeur de 1 uma. On

rappelle la valeur du nombre dAvogadro : N = 6,022.1023.


20

Units Petites variations, Incertitudes N1

Exercice I : Effet de couche mince sphrique, cylindrique ou conique

On rappelle les expressions des volumes suivants :

La sphre : 3R34

V ==== (R est le rayon)

Le cylindre : LRV 2==== (R est le rayon et L la longueur)

Le cne : (((( )))) hR31

hR212

V 22

======== (R est le rayon et h la hauteur)

I.1. En appliquant dabord la notion daccroissement fini, dterminer le volume dune couche sphrique de rayon R et dpaisseur R. Retrouver ce rsultat en appliquant la notion de diffrentielle.

I.2. Un solide a la forme dun cylindre dune longueur L et de rayon R.

I.2.1. Dterminer le volume dune couche cylindrique de rayon R et dpaisseur R, constituant un manchon cylindrique de rayons R et R + R (avec R >> R).

I.2.2. Sachant que le coefficient de dilatation linaire du matriau est , exprimer la variation relative du volume de ce solide lorsque la temprature augmente de .

I.3. Un cne a pour rayon du cercle de base R, pour hauteur h. Dterminer la variation relative de son volume lorsque R varie de R et h de h. Exercice II : Variation de la capacit dun condensateur cylindrique avec la

temprature

La capacit dun condensateur cylindrique est donne par la formule suivante :

====

1

2

0

RR

log

h2C

>0 (II.1)

o h est la longueur de ce condensateur. R1 et R2 sont respectivement les rayons des cylindres coaxiaux constituant les armatures internes R1 et externe R2. Ces armatures sont ralises en matriaux conducteurs de mme nature (mme coefficient de dilatation linaire).

II.1. Montrer que si R2 = R1 + e avec e


21


Exercice I : Indice de rfraction

Lindice de rfraction n dune substance, dtermine laide du rfractomtre de Pulfrich (figure (I.1.)), est donn par la relation :

22 )sin(Nn ==== (I.1)

N est lindice de rfraction du prisme rectangulaire du rfractomtre. est langle dmergence Calculer lincertitude relative et absolue sachant que : N = 1,626 0,001 et = 6000 1

N

n

Figure I.1. Rfractomtre de Pulfrich

Exercice II : Indice de rfraction de lair

Une dtermination de lindice de rfraction n de lair utilise la relation suivante :

(((( ))))

l1np ==== (II.1)

p est le nombre dinterfranges, l est une certaine longueur et dsigne la longueur donde de la lumire utilise. Soit une exprience donnant les rsultats suivants :

= 0,6104 m (connue sans erreur apprciable) p = 96 1 l = 200 1 mm

Calculer lindice n, la prcision avec laquelle il est dtermin ainsi que les limites entres lesquelles il est compris. Exercice III : La tour Eiffel

La tour Eiffel (figure (III.1.)), de hauteur h, supporte un mt vertical de hauteur l qui se projette en H sur le plan horizontal du pied de la tour. Dun point A de ce plan, situ la distance a de H, on voit le mt sous langle .

l

h

HA

Figure III.1. Schma de la Tour Eiffel.


22

III.1. Exprimer l en fonction de a, h et . Il sera utile dintroduire puis dliminer langle indiqu sur la figure (III.1.).

III.2. On connat a et h sans erreur apprciable et plus gnralement on nglige toute erreur autre que celle commise sur que lon value avec lincertitude relative / . Calculer lincertitude relative et absolue commise dans le mesurage indirect de l.

III.3. Vrifier que lon peut crire :

( )

++=

alh

al2

(III.1)

On fixe . Exprimer en fonction de h et de l la valeur quil faut prendre pour a, afin que le mesurage indirect de l dcrit prcdemment soit le moins imprcis possible.

III.4. On donne h = 20 m et = 0,5 degr. On ralise trois mesurages pour a = 10 m, a = 32 m et a = 75 m. Lexprience donne respectivement =9, = 13 et = 8.

III.4.1. Dans chacun de ces trois cas, dterminer le domaine dincertitude. Quelle est la compatibilit des 3 domaines obtenus ?

III.4.2. Les rsultats sont-ils conformes la rponse finale de la question III.2. ?


23


Exercice I : Indice de rfraction

Sur une sphre de diamtre D, on a trac un cercle de diamtre C (C


24

Gomtrie des masses (intgrales simples) N1

Remarque :

Si, lorsquon coupe un solide par un plan z = constante, on sait calculer la surface S(z) de cette intersection, le volume du solide est donn par :

====max

min

Z

Zdz)z(SV (R.1)

Cette formule permet, pour tous les solides de rvolution (o S(z) = r2(z)), de ramener les calculs de volume des intgrales simples. Exercice I : Volume dun cne

Retrouver lexpression du volume V dun cne de rvolution plein et homogne de hauteur h, le rayon de la base tant R. Lexpression de ce volume est :

3

hRV

2==== (I.1)

On cherchera calculer ce volume partir de deux mthodes diffrentes, cest--dire deux volumes lmentaires diffrents. Exercice II : Volume dune sphre

Calculer le volume dune sphre de rayon R. On donnera les diffrents volumes lmentaires dintgration. Exercice III : Application de lexercice II au calcul de la masse de la terre

La terre est considre comme une sphre (S) de circonfrence 40 000 km. Sa masse volumique dpend de la distance r au centre par la relation :

====

2

2

0R

r1 (III.1)

avec = 0,723 et 0 = 9,75 gcm-3. Exercice IV : Calculs sur une sphre

Calculer la surface dune sphre de rayon R. Calculer laire dune zone sphrique comprise entre = 1 et = 2.


25

Gomtrie des masses (Moments et centre dinertie) N2

Exercice I :

I.1. Calculer le moment dinertie dun cylindre plein et homogne par rapport son axe

I.2. On considre un cylindre de hauteur h et de rayon R dont la masse volumique est une fonction de la distance au plan de base z = 0 par la relation :

====

2

2

0h

zk1 (I.1)

o k est une constante.

I.2.1. Calculer la masse M du cylindre

I.2.2. Calculer son moment dinertie J par rapport son axe(zoz)

I.2.3. Calculer la position du centre dinertie G par rapport z = 0 Exercice II :

On considre un cne plein homogne de masse volumique , de hauteur h et de rayon de base R. Montrer que le moment dinertie de ce cne par rapport son axe de rvolution est :

4hR101

J ==== (II.1)

Exercice III :

Soit une sphre pleine homogne de rayon R et de masse M.

III.1. Montrer que le moment dinertie J de la sphre par rapport un des axes de rvolution est :

2MR52

J ==== (III.1)

III.2. Montrer que le moment dinertie J de la sphre par rapport un des plans mdians est :

J21

5MR

J2

P ======== (III.2)

Exercice IV :

Une plaque homogne, dpaisseur constante a, a la forme dun demi disque de centre O de rayon R. Dterminer la position de son centre dinertie G et en dduire la position de celui des centres dinertie G1 et G2 des deux de disque. Exercice V :

Un arc

AB , pris sur un cercle de centre O et de rayon R, a pour angle au centre

AOB = 2 (figure (V.1)). On appelle Oy la bissectrice (intrieur) de ( OA ,OB ). On considre les quatres solides suivants :


26

(S1) est un fil homogne trs fin dont la section est constante et qui pouse la forme

de larc

AB . La masse du fil est M1.

(S2) est une plaque homogne plane dpaisseur constante est trs faible dlimite

par larc

AB et les rayon OA et OB. Sa masse est M2.

(S3) est une plaque homogne plane dpaisseur constante est trs faible et qui a la

forme de la calotte sphrique engendre par la rotation de larc

AB autour de Oy. Sa masse est M3.

(S4) est un segment sphrique homogne ayant une base limit par la calotte sphrique prcdente. Sa masse est M4.

Les donnes tant , R et les masses (M1, M2, M3 et M4), dterminer pour chacun des solides :

IV.1. La position du centre dinertie (G1, G2, G3 et G4).

IV.2. Le moment dinertie par rapport Oy (J1, J2, J3 et J4).


27

Statique des fluides N1

Exercice I : Forces de pression sexerant sur la porte dune cluse

Une porte dune cluse de largeur l retient de leau, suppose incompressible, de masse volumique . On appelle g lacclration de la pesanteur en ce lieu. La hauteur de leau en amont est gale H et celle en aval h (Figure (I.1.a et b)).

I.1. Calculer lquilibre la rsultante des forces de pression sexerant sur cette porte.

I.2. Dterminer la position du centre de pousse.

A.N. : H = 6 m, h = 2 m, g = 9.81 ms-2, = 103 kg m-3

I.3. Calculer F et OP.

Hh

z

0

()()

a

x

g

y

AB

C

D

amont aval b

z

l/2 l/2H

0

ze

xe

ye

A B

CD

cluse

Figure I.1.a Figure I.1.b

Exercice II : Rsultante des forces de pression sur une sphre compltement

immerge

Une sphre solide, de rayon R, est totalement immerge dans un liquide de masse volumique (Figure (II.1)). Exprimer la rsultante des forces de pression qui sexercent sur la surface de ce solide.

Ho()

0

ze

xeye

R

x

z

y

g

Figure II.1

Exercice III : Rsultante des forces de pression sur une demi-sphre

Un rcipient demi-sphrique daxe vertical et de rayon R (Figure (III.1)) est rempli dun liquide incompressible de masse volumique . Calculer la rsultante des forces sexerant sur le rcipient.


28

R

z

() g

Figure III.1

Exercice IV : Rsultante des forces de pression sur un rcipient

tronconique de rvolution

Un rcipient mince, tronconique de rvolution, a pour fond un disque horizontal de rayon R, louverture est circulaire et de rayon R0, la hauteur du rcipient est h. Il est rempli compltement dun liquide de masse volumique . Le rcipient est suspendu de telle sorte que lair baigne toute la surface extrieure et la surface du liquide. On appelle g lacclration de la pesanteur due la pesanteur et on nglige les variations de la pression atmosphrique avec laltitude.

IV.1. Dterminer le support, le sens et le module F de la force pressante F subie par le fond horizontal du rcipient.

IV.2. Dterminer le support, le sens et le module M de la rsultante M des forces pressantes sur lensemble des parois du rcipient.

IV.3. Dterminer le support, le sens et le module F de la rsultantes 'F des forces pressantes subies par la paroi latrale tronconique du rcipient

IV.3.1. En utilisant les rsultats des questions prcdentes.

IV.3.2. Par intgration directe des forces lmentaires.

A.N. : calculer F, R, F pour B = 10 cm, b = 5 cm, h = 20 cm, = 1 gcm-3 et g = 9.8 ms-2


29

Statique des fluides N2

Exercice I : Transmission des pressions

Une presse hydraulique est un amplificateur hydraulique de force base sur lapplication du thorme de Pascal. Son principe de fonctionnement est illustr par la figure (I.1).

I.1. Dterminer la rapport des forces f et F en prsence.

I.2. Calculer le travail effectu par la force f lors dun dplacement l.

I.3. En dduire le dplacement L du piston.

S

Piston decommande

Piston

F

Pistonpilot

f

s

Figure I.1.

Exercice II : Equilibre dun sous-marin

Un sous marin (figure II.2) est essentiellement une coque en acier creuse. Aux profondeurs o il opre (de 0 environ 300 mtres), un sous-marin ne peut pas tre considr comme totalement incompressible (dformation de la coque). La compressibilit de la coque est dfinie par :

)pression(

)coque la de volume(

= (II.1)

Profondeur : h

Figure II.2.

II.1. Dterminer la relation entre la pousse dArchimde sexerant sur le sous-marin et la profondeur laquelle il se trouve.

II.2. Tracer sur un mme graphique le poids du sous-marin et la pousse dArchimde en fonction de la profondeur atteinte.

II.3. Dterminer la profondeur dquilibre. Cet quilibre est-il stable ?


30

Exercice III : Oscillations dun corps flottant

Un cylindre en bois (figure III.1) de masse volumique , de rayon R et de hauteur h est partiellement immerg dans une bassine deau de masse volumique .

III.1. Dterminer sa position dquilibre

III.2. On enfonce le cylindre dans leau jusqu une profondeur x (x < h) puis en le relche. Calculer la frquence des premires oscillations du cylindre en supposant quil reste vertical pendant son mouvement.

A.N. : = 0,5 g cm-3, h = 10 cm, R = 5 cm, = 1 g cm-3.

R

hx

Figure III.1.


31

Statique du solide N1

Exercice I : Rduction dun systme de forces coplanaires

Lespace est rapport au repre cartsien orthonorm direct )k,j,i,O(rrr

. Des forces 1F , 2F , 3F ,

nF , formant un systme ( ), sont appliques un solide, les supports de ces forces tant

contenus dans un mme plan (P) dfini par )j,i,O(rr

. Le systme ( ) a pour somme

gomtrique S , et pour moment rsultant par rapport au point O, 0 tels que :

++=

++=

kNjMiL

kZjYiXS

0rrr

rrr

(I.1)

I.1. Parmi les six coordonnes cartsiennes X, Y, Z ; L, M, N, lesquelles sont certainement nulles ?

I.2. S et N sont connus. Rduire le systme ( ) dans chacun des cas suivants :

I.2.1. 0S = et N = 0

I.2.2. 0S = et N 0

I.2.3. 0S

Dans le cas prcdant (question I.2.3), montrer quil existe une infinit de points O(x,y) du plan (P), par rapport auxquels le moment rsultant 0 du systme ( ) est nul et donner

lquation cartsienne de lensemble (E) de ces points O ; on montrera alors que ( ) se rduit une force unique que lon prcisera. Exercice II :

Les axes horizontaux Ox et Oy et laxe vertical ascendant

Oz forment un tridre trirectangle. Une fine tige rectiligne OA peut tourner sans frottement autour de laxe Oy auquel elle est perpendiculaire, son centre de masse G est au milieu de OA et lintensit de son poids est P.

Un fil AB souple inextensible et de masse ngligeable, dont la longueur AB est gale OA, relie lextrmit A de la tige au point B de laxe Oz , au dessus de O, comme lindique la figure (II.1). A lquilibre, langle zOA a pour valeur .

Bz

xO

A

Figure II.1.

Les donnes tant P et , exprimer :

II.1. La tension T du fil AB.

II.2. Les mesures algbriques Rx, Ry, Rz des composantes cartsiennes de la raction daxe R subie en O par la tige OA.


32

Exercice III :

Une tige homogne AB a pour longueur 2r et pour poids P. Elle repose par son extrmit A sur la surface infrieure dune coupe hmisphrique daxe vertical et de diamtre 2r. La tige situe dans un plan vertical repose dautre part en C sur le bord de la coupe. Les deux contacts sont sans frottements, cest--dire que les ractions des surfaces de contact sont perpendiculaires ces surfaces.

Calculer langle de la tige avec lhorizontale lquilibre et les intensits N et R des ractions de la coupe sur la tige en A et C respectivement.

A

B

C

Or r

Figure III


33

Statique du solide N2

Exercice I : Equilibre sur un cble

On considre un cble inextensible mais trs souple accroch en deux points situs au mme niveau une distance d lun de lautre. La longueur de ce cble est L > d. On place une poulie sur ce cble et on y suspend un objet pesant (comme une cabine de tlphrique par exemple).

I.1. Dterminer le seul point dquilibre possible pour la poulie abandonne elle mme avec son fardeau.

I.2. Si P est le point o se situe la poulie, dterminer le lieu du point P lorsque la poulie est dplace tout au long du cble. Exercice II : Equilibre dune poutre

Une poutre AB de poids P repose contre un mur BC, et un fil inextensible AC empche la poutre de glisser (figure II.1.). En supposant tous les contacts sans frottement, dterminer le module de toutes les forces de liaison.

A

B

C

Figure II.1.

Exercice III : Equilibre dune chelle double

Une chelle double comporte deux parties rectilignes OA et OA articules sans frottement en O et relies par une corde en B et B (figure III.1.). Chaque lment a un poids P appliqu au milieu des demi-chelles, la corde a une masse ngligeable. Lchelle repose sur un plan horizontal et lon a : OB = OB = 2/3 OA ; AA = a

A A

B B

O

h

Figure III.1.

III.1. Calculer lintensit des forces suivantes : N0 = raction du sol sur chacun des pieds, T0 = tension de la corde, R0 = interaction en O des deux parties de lchelle.

III.2. Un homme de poids Q est suppos juch en C tel que OC = OA/3. Calculer les intensits des mmes forces qu la question III.1.


34

Energie et travail N1

Exercice I :

Un ressort (R), spires non jointives, a pour raideur k et pour longueur vide l0. On fixe en A une de ses extrmits et on accroche lautre en B sur un solide (S) de masse m (devant laquelle la masse du ressort est ngligeable). (S) peut glisser sans frottements apprciables le long dune tige horizontale daxe xOx (c.f. figure (I)). A lquilibre labscisse du solide est zro, B et au-dessous de A sur une mme verticale et la longueur AB est l.

A

B

l(R), k

O x

S(m)

xx

Figure I.

I.1. A quelle condition lquilibre prcdent est-il stable ? Cette condition est suppose ralise dans ce qui suit.

I.2. On place le solide labscisse x. Les forces qui lui sont appliques admettent la rsultante X dont la mesure algbrique suivant x'x est X.

I.2.1. Exprimer X en fonction de k, l, l0 et x

I.2.2. Exprimer galement la mesure algbrique Y, suivant la verticale ascendante, de la raction de la tige sur (S), en fonction de k, l, l0, x, m et de lintensit g du champ de pesanteur

I.2.3. Monter que, pour le systme (solide, tige, ressort support A, Terre), la force X permet de dfinir une nergie potentielle Ep. Exprimer Ep en fonction de k, l0, l et x en postulant Ep = 0 pour x = 0.

I.2.4. Que deviennent les expressions de X et de Ep lorsque |x|


35

II.3. A.N. : calculer T, R et linclinaison de R sur lhorizontale.

II.4. On coupe le fil. Calculer lnergie cintique Ek et la vitesse angulaire du systme constitu par la tige AB et le couteau lorsquils passent par la verticale en fonction de M, m, g et l. Application numrique.

II.5. Lappareil est utilis comme mouton-pendule pour tudier la rsistance la rupture par choc dune prouvette dacier.

Le couteau brise lprouvette lors du passage de AB la verticale et on mesure langle dont AB dpasse cette verticale. S tant la section de lprouvette et W le travail ncessaire pour casser lprouvette, exprimer la rsilience Q (= W/S) de lacier en fonction de M, m, l, S et .

A.N. : lprouvette a une section rectangulaire de cots 16 mm et 5 mm, = 28, calculer Q.

A

BO

Eprouvette

Figure II


36

Energie et travail N2

Exercice I :

Un cadre rigide (ABCD) est constitu de quatre tiges mtalliques homognes, de mme longueur et de mme masse m. Elles sont soudes et forment un cadre rigide ayant la forme dun carr de cot a. Ce cadre est maintenu par deux fils de torsion identiques (OI), (OI) dont les constantes de torsion sont CT. Le premier fil est fix en un point O et en I milieu du cot (AB), le second en un point O et en I milieu de (CD). Les fils sont tendus. Un champ de forces exerce sur le cadre deux forces F et 'F constituant un couple intrieur au systme (terre, cadre, fils, source de champ). F sapplique en J milieu de (BC) et 'F en J milieu de (AD). Ces forces gardent constamment la mme direction (yy). Le seul mouvement possible du cadre est une rotation sans frottement autour de (zz).

B

x x

y

y

z

z

'F

FA

C

D

J

J

I

I ir

kr

ir

'F

F

x x

y

y

Vue de dessus

jr

J

J

Figure I.1.

I.1. On constate que le cadre est en quilibre lorsque ( x'x ) et ( DC ) forment un angle . Exprimer la norme F de la force F en fonction de CT, et a.

I.2. Le cadre (ABCD) tourne autour de laxe (zz) de sorte que langle ( DC,x'x ) varie alors de + d.

I.2.1. Exprimer le travail lmentaire des forces intrieures au systme en fonction de F, a, CT, et d.

I.2.2. Montrer quil est possible de dfinir une nergie potentielle Ep. Exprimer Ep en fonction de F, a, CT et . On prendra Ep = 0 pour = 0.

I.3. Energie mcanique.

I.3.1. Les quatre cots du cadre ont la mme masse m et la mme longueur a. Calculer J, moment dinertie du cadre par rapport laxe de rotation (zz) en fonction de m et a.

I.3.2. Le cadre est en rotation autour de laxe (zz). Exprimer lnergie mcanique Em du systme la date t en fonction de J, F, a, CT, , d/dt.

I.3.3. Ecrire la variation de lnergie mcanique du systme entre les dates t et t + dt. En dduire lacclration angulaire du mouvement du cadre d2/dt2 en fonction de .


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Optique gomtrique N1

Exercice I : Thermomtre mercure

Un tube de verre cylindrique dindice n = 3/2 par rapport lair, de diamtre extrieur 2R, contient du mercure remplissant un cylindre coaxial au tube. Un observateur plac trs loin du tube vise suivant une perpendiculaire laxe de celui-ci

I.1. Quel doit tre le rayon minimal du cylindre contenant le mercure pour que lobservateur ait limpression que le mercure remplit tout le tube.

I.2. Quel est le rayon apparent de cette colonne de mercure si son rayon rel est h = R/2. Exercice II : Larc en ciel

Une goutte deau, suppose parfaitement sphrique, dindice n = 4/3 par rapport lair est claire par un faisceau parallle de lumire monochromatique. On sintresse aux rayons qui subissent une rflexion lintrieur de la goutte avant de ressortir.

II.1. Calculer la dviation D du rayon mergent en fonction de langle dincidence i. Montrer que cette dviation D passe par un extremum quand i varie.

II.2. On suppose maintenant que le faisceau incident est form de plusieurs radiations. Sachant que les variations de lindice de leau pour ces diffrentes radiations sont petites devant la valeur moyenne n de lindice, calculer la variation dD de la dviation D correspondant une variation dn de lindice n.

A.N. : Calculer lcart angulaire lmergence entre les radiations rouge et violette pour D minimum, sachant que nv nr = 0.014. Exercice III : Fibre optique saut dindice

Une fibre optique cylindrique (figure III.1) place dans lair (indice n0) est constitue dun cur cylindrique transparent daxe Ox, de rayon R1 et dindice constant n1, entour dune gaine transparente dindice constant n2 (n2 < n1). Un rayon lumineux (R) monochromatique dans lair atteint la face dentre de la fibre optique en O, sous langle dincidence .

xi

x

R1R2

r

O

I1

I2

I3

A1 A2

i

gaine n2

cur n1air n0

(R)

O

Figure III.1.

On donne : n0 = 1, n1 = 1,515, n2 = 1,49, R1 = 40 m et la clrit de la lumire dans le vide C0 = 3.108 ms-1.

III.1. Montrer que le rayon (R) ne peut pas se propager lintrieur de la fibre (guidage du rayon dans le cur) que si langle dincidence est infrieur une valeur limite 0 quon exprimera en fonction des indices n0, n1, n2. Calculer cet angle 0 appel angle dacceptance de la fibre.


38

III.2. Exprimer les chemins optiques [L1] et [L] suivis par R, en fonction de , n0, n1, R1, l, respectivement :

Entre le point O et le premier point A1 o (R) coupe laxe Ox.

Entre le point O et la sortie de la fibre de longueur l >> OA.

III.3. Un dtecteur plac dans le cur de la fibre, dans le plan dquation x = constante, peroit linstant le signal lumineux mis en O (x = 0) linstant t = 0. Exprimer en fonction de n0, n1, , x et C0.

III.4. Langle dincidence pouvant prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et 0, la dure t est comprise entre 0 et 0 + . Calculer 0 et si le dtecteur est situ x = 2 km de lentre O.


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Exercice I : Lames faces parallles

Sur le trajet dun pinceau de rayons parallles, dans un milieu homogne dindice n1, on interpose une lame faces parallles dindices n2 (n2 > n1) et dpaisseur e. On dsignera par i1 et i2 respectivement les angles dincidence et de rfraction sur la face plane dentre de la lame (c.f. figure I.1).

T

I

Incident

i1

e

n1 n1n2

Transmisi2 J

Figure I.1.

I.1. Justifier le paralllisme entre rayons incidents et transmis. Calculer la translation T subie par un rayon au cours de la traverse de la lame, en fonction de e, i1, i2 puis en fonction de e, i1, n = n1/n2.

I.2. Montrer que la traverse de la lame augmente le chemin optique du trajet lumineux dune quantit L quon exprimera en fonction de e, n1 cos(i1) et n2 cos(i2).

I.3. Monter quune petite variation di1 de langle dincidence du rayon provoque une variation du trajet optique supplmentaire dL = n1 T di1. Exercice II : Le mirage

On considre un empilement de dioptres plans parallles sparant des milieux homognes n0, n1, n2 On note ij langle dincidence du rayon correspondant au jime dioptre.

II.1. Quelle relation entre les angles dincidence et les indices peut-on en dduire ?

II.2. On suppose quun milieux non homogne a un indice optique qui varie continment suivant laltitude z. Que peut-on dire de n(z) sin(i(z)) o i(z) est langle entre laxe des z et la tangente au rayon laltitude z ?

II.3. Reprsenter un rayon lumineux dans le milieux prcdent si lindice croit ou dcroit avec laltitude. On peut observer sur les routes goudronnes chauffes par le soleil un reflet du ciel qui peut faire penser une flaque deau. Dans la suite on suppose la route horizontale.

II.4. Comment peut-on expliquer ce phnomne ?

II.5. Lindice de lair est reli sa masse volumique par la loi de Gladstone :

+= k1n avec k 0 (II.1)

Si on assimile lair un gaz parfait, la relation liant la pression P, la temprature T et la masse volumique est lquation des gaz parfait :


40

TMR

P = (II.2)

o R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire de lair. On suppose que la pression ne dpend pas de laltitude au voisinage du sol P = P0 = constante. La temprature doit-elle crotre ou dcrotre avec laltitude pour permettre lobservation dun tel mirage ?

II.6. Lindice de lair au niveau du sol (z = 0) est n0 = 1,00030 et la temprature est T(0) = 300 K. La temprature varie continment jusqu une altitude z1 o elle est gale 290 K. On suppose que pour z > z1 et jusqu une altitude de plusieurs mtres la temprature est constante : T(z) = 290 K pour z > z1. Lil de lobservateur est situ une hauteur h du sol (h > z1).

II.6.1. Reprsenter le rayon lumineux arrivant lil de lobservateur et dont le point de passage le plus bas est laltitude zmin (zmin < z1).

II.6.2. On note linclinaison de ce rayon par rapport lhorizon passant .par lil de lobservateur. Dterminer . Comment varie avec zmin.

II.6.3. Reprsenter le rayon lumineux correspondant au bord du reflet le plus proche de lobservateur. Quelle est la valeur de correspondante ?

II.6.4 Dterminer la distance D entre lobservateur et le bord du reflet.

On donne les dveloppements limits suivant lordre 2 en , pour


41


En gnral lorsque les conditions de Gauss ne sont pas remplies, un point objet ne correspond

pas un point image, sauf dans les cas trs particuliers o le stigmatisme rigoureux est ralis.

Exercice I : Miroirs stigmatiques

Un miroir de surface (S) donne du point A (nappartenant pas (S)) limage rigoureuse A. Etudier la forme de (S), ensemble des points dincidence I, dans chacun des cas suivants :

A et A sont tous les deux rels ou tous deux virtuels.

Lun des deux points A, A est rel et lautre est virtuel.

Un seul des deux points A, A est rejet linfini. Exercice II : Le miroir parabolique

Proprits gomtriques de la parabole : la normale en lun de ses points I est la bissectrice de langle form par la droite passant pas I parallle laxe et la droite passant par I et le foyer F da la parabole.

Montrer qu un point A situ linfini dans la direction de laxe, un miroir parabolique fait correspondre un point image. Indiquer la position de ce point image.

Application : Le tlescope de Grgory.

Ce tlescope constitue un systme optique centr form par un vaste miroir parabolique (M1) qui collecte la lumire incidente et la renvoie sur un petit miroir (M2) secondaire ellipsodal. Les rayons rflchis par (M2) convergent rigoureusement en un point si les sommets des faisceaux incidents et rflchis par (M2) sont les foyers de lellipsode. Tracer le trajet dun rayon incident parallle laxe du tlescope.


42


Exercice I : Le dioptre sphrique

Un dioptre sphrique comprend deux milieux transparents isotropes et homognes spars par une calotte sphrique (S) de sommet S et dont le centre de courbure est C. Pour la lumire monochromatique utilise, lindice du milieu o chemine la lumire incidente est n, lindice de lautre milieu tant n.

I.1. Vrifier le stigmatisme rigoureux du dioptre sphrique pour les points de (S) et pour C.

I.2. Soit un objet AB tel que mm 15AB = , mm 80SA = . Limage A de A travers le dioptre est telle que mm 60'SA += et mm 30CS += . Par construction gomtrique, dterminer :

Limage B de B.

Le foyer principal image F.

Le foyer principal objet F.

De n et n, quelle est lindice le plus lev et quelle est la nature de ce dioptre ?

I.3. On considre maintenant un objet AB de mme dimension que le prcdent mais tel que mm 80SA += . Limage de A de A travers le dioptre est telle que mm 60'SA = et mm 30CS = . Reprendre les questions du (I.2) avec ces nouvelles donnes.

Exercice II : La boule en verre

Soit une boule en verre de rayon r = 10 cm, dindice n = 1,5. Un objet AB est plac gauche de la sphre une distance de 120 cm de la face dentre. Dterminer la position de limage de lobjet laide de lquation des dioptres sphriques.


43


Exercice I :

Un dioptre sphrique de rayon de courbure r spare deux milieux dindices n = 3/2 et n = 4/3.

I.1. Exprimer les distances focales f et f ainsi que la vergence en fonction de r.

I.2. On donne r = - 10 cm. Calculer numriquement f, f et . Le dioptre est-il divergent ?

I.3. On place un objet AB 50 cm en avant du dioptre. Calculer la position p de limage ainsi que son grandissement transversal .

I.4. Sur une figure, placer les foyers F et F et lobjet A. Construire son image A. Quelle est la nature de A ? Exercice II :

La face avant dun bloc de matire plastique dindice n = 3/2 est une calotte sphrique de sommet S et de centre C (figure II.1).

A S C

nB

Figure II.1.

II.1. Sachant que lair a un indice n = 1, placer les deux foyers du dioptre sur la figure.

II.2. Un objet AB est plac en avant du dioptre une distance p = 4r. Dterminer par le calcul la position de son image AB ainsi que son grandissement transversal . Construire limage AB en utilisant deux rayons incidents particuliers et commenter. Exercice III :

Un dioptre sphrique de 10 cm de rayon de courbure spare deux milieux dindices n = 1 et n = 3/2 (figure III.1).

n = 3/2n = 1

S C

Figure III.1.

Dterminer la position des foyers. Calculer et dessiner la position de limage dun objet AB placs :

60 cm du sommet.

10 cm du sommet.

5 cm derrire le dioptre (objet virtuel).

Mmes questions si lon inverse les indices.


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Systme centr N1

Exercice I :

Un systme centr () est form par lassociation de deux dioptres sphriques D1(S1, C1, F1, F1) et D2(S2, C2, F2, F2). Les indices des diffrents milieux traverss sont : 1, n, 1. Les lments cardinaux de () sont :, , H, H. On donne S1, S2, F1, AB et 'B'A tels que :

AB 'B'A() .

Dterminer par construction : , , H, H, C1, C2, F1, F2, F2. Justifier succinctement la construction de chaque point. Prciser la courbure des dioptres. Simplifier les explications en utilisant une notation du type I1, I2, J1, J2, K1, K2, L1, L2 pour les rayons intermdiaires.

Code couleur pour les constructions : rouge et H, vert pour H, bleu pour . Peut-on vrifier les positions de C1, C2, F1, F2, F2 ?


45

B A

B

A

D1

D2

S1

S2

11

n

F1


46

Systme centr N2

Exercice I :

Un systme dioptrique centr () comprend un dioptre plan (P), un dioptre sphrique (S) et un dioptre plan (P), traverss, dans cet ordre, par la lumire, dans les conditions de Gauss. Laxe de (), orient dans le sens de propagation, rencontre (P), (S) et (P) respectivement en P, S et P. Les milieux extrmes sont de lair, les milieux antrieur et postrieur de (S) ont pour indices respectifs n et n par rapport lair. On pose ePS = , 'e'SP = ; enfin le centre de courbure C de (S) est tel que RCS = .

I.1 Dans cette question et dans les suivantes, la lumire utilise est monochromatique, n est diffrent de n, R est fini et positif.

I.1.1. Le systme () peut-il tre afocal ? I.1.2. Montrer que les correspondances ci-aprs dfinissent les points principaux H et H de ().

(P)

H S et (P)

S H

Les donnes tant prises parmi e, n, e, n, exprimer les abscisses PH et 'H'P .

I.1.3. En prenant les donnes parmi R, e, e, n et n, exprimer les abscisses PF et 'F'P des foyers principaux de ().

I.1.4. Discuter le caractre convergent ou divergent de (). I.2 Dans cette question : R = 5 cm, e = 4 cm, e = 7 cm, n = 4/3 et n = 7/4.

I.2.1. Sur une pure ( chelle axiale 1 et une chelle transversale beaucoup plus grande), faire figurer les traces des surfaces dioptriques et des plans principaux de (), ainsi que les foyers principaux de F et F.

I.2.2. Un objet AB est perpendiculaire laxe en A tel que PA = - 3 cm. Sur lpure prcdente, o lon reprsentera AB par un segment de 3 cm, construire gomtriquement limage 'B'A que () donne de AB .

I.2.3. Pour le mme objet quau I.2.2, trouver par le calcul la position de limage et le grandissement transversal.

I.2.4. Rechercher, sils existent, les points de Bravais de (), cest--dire les points (invariants) de laxe, tels que :

() .


47

P

n

P

S

n

air

air

ee


48

Lentilles minces N1

Exercice I : Chasseur dimages

Un chasseur photographique dsire photographier un lion de 2 m de hauteur situ une distance de 300 m. Il veut en obtenir sur son film une image dune hauteur de 1 cm. Cette image est renverse.

I.1. En considrant lobjectif de son appareil photographique comme une lentille mince, dterminer :

, le grandissement souhait.

p, la distance lentille-film.

f, la longueur focale de lobjectif.

I.2. Quelle est la nature de limage ? Exercice II :

Une lentille mince dont lune des faces est plane donne dun objet rel situ 1 m de son sommet une image droite deux fois plus petite que lobjet. Lindice de la lentille vaut n = 3/2.

II.1. Calculer la vergence de la lentille.

II.2. Quelle est la nature de la lentille ?

II.3. Calculer le rayon de courbure de la seconde face. Exercice III :

On projette une diapositive de 1 cm de ct pour obtenir une image nette de 2 m sur un cran plac 10 m de la lentille du projecteur. En examinant les deux valeurs possibles du grandissement , quel modle de lentille faut-il utiliser ? Calculer ses distances focales. Exercice IV : Lil humain

Lil humain est un systme optique particulier quivalent une lentille mince de distance focale variable, dans lequel la distance sparant la lentille de limage est constante et gale 20 mm dans lil normal.

IV.1. Quelle est la distance focale et la vergence de lil pour une mise au point sur un objet plac linfini ?

IV.2. Rpondre la mme question si lobjet est 25 cm de lil.

Exercice V :

On place un objet une distance p0 dune lentille de distance focale f. Limage se forme la distance p1.


49

V.1. Si lon place un objet la distance p1 de la lentille, o est limage ? On appelle p2 sa position.

V.2. A nouveau, on forme limage dun objet plac en p2. O est la nouvelle image ? On continue ainsi former les images successives. Donner lexpression de pn, la position de la nime image. O vont se former les images si n .


50

Lentilles minces N2

Exercice I :

Lobjectif dun appareil photographique est assimil une lentille mince convergente de distance focale f = 12 cm et de 5 cm de diamtre. Pour effectuer la mise au point, on fait varier la distance de la lentille au plan du film de telle faon quune image nette se forme sur la pellicule.

I.1. On photographie un objet A situ trs grande distance. O doit tre place la pellicule ?

I.2. Sur le mme clich apparat limage dun motif B plac sur laxe de la lentille une distance de 3 m. Son image nette est-elle sur le clich ?

I.3. Les rayons qui proviennent de B et qui rentrent dans lappareil forment sur la pellicule une tache de rayon x. Dterminer la taille de cette tache en examinant les rayons passant par le bord de lobjectif. La photo est acceptable si x < 0,2 mm. La photo sera-t-elle nette ? Que peut-on faire pour amliorer la qualit de la photo ?

I.4. On dplace la pellicule de manire ce que limage de B soit nette sur cette pellicule. Dterminer les distances maximales et minimales correspondantes de p1 et p2. Dterminer la profondeur de champ p1 p2. Exercice II :

On appelle d = 'AA la distance objet-image o limage est donne par une lentille mince de distance focale f.

II.1. Etudier le comportement de la distance d en fonction de p.

II.2. On forme limage AB avec une lentille et on cherche la placer sur un cran pour lequel d est constant. Limage est nette sur lcran pour deux positions de lobjet dcales dune distance p. En dduire la distance focale de la lentille en fonction de L et de p. Calculer cette distance focale pour L = 1,8 m et p = 1,2 m. Dterminer les positions de limage et de lobjet.

II.3. On considre maintenant une lentille convergente de distance focale 10 cm. Montrer quil y a deux configurations possibles. Dans chaque cas, dterminer les positions de lobjet et de limage avec d = 1 m. Les deux situations sont-elles ralisables ?


51

Doublets N1

Exercice I : Doublets de lentilles minces et aberrations chromatiques

L1 et L2 dsignent deux lentilles minces de mme axe, baignant dans lair, traverses, dans les conditions de lapproximation de Gauss, par une lumire monochromatique dans lordre L1, L2 et formant un systme centr () non afocal. Les notations seront les suivantes :

Plans principaux Foyers principaux Distances focales

Systme Objet Image Objet Image Objet Image

Lentille mince L1 O1 O1 F1 F1 f1 f1 Lentille mince L2 O2 O2 F2 F2 f2 f2

Doublet () H H F F f f

On pose enfin eOO 21 = .

I.1. Dterminer FO1 en fonction de f1, f2 et e et 'FO2 en fonction de f1, f2 et e.

I.2. Soit A le point objet linfini dans la direction de laxe et soit B un autre objet linfini dans la direction incline sur laxe de . Dterminer les dimensions (algbriques) des images successives de lobjet tendu AB. En dduire la relation suivante :

eff

fff

21

21++

= (I.1)

Ecrire une expression analogue pour f.

I.3. Exprimer HO1 en fonction de f1, f2 et e et 'HO2 en fonction de f1, f2 et e. On particularise le systme dcrit dans la partie I en prenant deux lentilles de mme verre, L1 tant plan-convexe, L2 tant plan-concave, les rayons de courbure des faces sphriques ayant mme valeur absolue R. Le sens positif sur laxe du doublet () sera le sens 21OO .

I.4. On utilise dabord une lumire monochromatique pour laquelle lindice par rapport lair du verre des deux lentilles est n.

I.4.1. Utiliser les rsultats de la partie I. pour exprimer FO1 , 'FO2 , f et f en fonction de n, R, e. Le doublet est-il convergent, divergent ou afocal ?

I.4.2. Dterminer les points principaux H et H de () par deux mthodes :

En utilisant les rsultats de la partie I.3.

En tudiant la marche dun rayon particulier.

I.5. On utilise maintenant une lumire complexe, lindice n variant un peu autour de la valeur moyenne n0.

I.5.1. n0 et R tant donns, montrer quen choisissant convenablement e on pourra rendre F sensiblement indpendant de la radiation (dans ltendue du spectre utilis). Pour cette valeur de e, exprimer 'FO1 en fonction de R et de n0.


52

I.5.2. La condition du II.2.1. tant satisfaite, calculer les dplacements HH0 , 'H'H 0 et

FF0 subis par les points principaux et le foyer principal objet de () lorsque lindice du verre par rapport lair passe de n0 n = n0 + n. I.5.3. Application numrique : R = 90 mm, le verre de L1 et L2 a pour indice moyen n0 = 1,75 et pour constringence = 30. La condition du II.2.1. est satisfaite

Calculer e, puis sur une pure ( une chelle convenable) dessiner les lentilles et, pour lindice n0 = 1,75, placer les foyers principaux L1, L2 et (), ainsi que les plans principaux du doublet. Construire limage dfinitive A0B0 que le doublet donne dun objet AB rejet linfini (A dans la direction de laxe). Tracer la marche ultrieur complte dun pinceau de rayons incidents dfinissant B.

Lorsque lon passe de la radiation (C) la radiation (F) de lhydrogne, les points cardinaux H, H et F subissent des dplacements FCHH , FC 'H'H , et FCFF . Calculer les mesures algbriques de ces dplacements.

Comparer les dimensions ACBC et AFBF des images que () donne de lobjet AB lorsquon utilise les radiations (C) et (F).


53

Doublets N2

Exercice I :

Les systmes considrs sont utiliss en lumire monochromatique et dans les conditions de Gauss. Le sens positif de leur axe est le sens de propagation de la lumire.

I.1. Soit (L1) une lentille paisse plan-convexe. La face dentre sphrique a pour sommet S1 et pour centre C1 tels que RCS 11 = , la face de sortie plane passe par C1. Les milieux extrieurs sont lair et lindice du matriaux constituant la lentille est n par rapport lair. Exprimer en fonction de n et R les abscisses :

11FS du foyer principal objet.

11HS du plan principal objet.

11 'HC du plan principal image.

11 'FC du foyer principal image.

I.2. Soit (L2) une lentille mince plan-concave de centre O2 et dindice n. La face de sortie sphrique a pour centre C2 tel que ( )1122 CSRCO == . Dterminer en fonction de n et de R le foyer principal objet F2 et le foyer principal image F2 de (L2).

I.3. On associe (L1) et (L2) pour former un systme (S). Ce systme est travers par la lumire dans lordre (L1, L2), et il est de telle sorte que O2 soit confondu avec le foyer image F du systme.

I.3.1. Exprimer 21OC en fonction de R et n pour que le foyer principal image F du systme (S) soit confondu avec O2. Cette condition F O2 sera ralise par la suite.

I.3.2. A.N. : pour n = 1,6 et R = 24 mm tracer lpure du systme en plaant tous les lments de (L1), (L2) et F.

I.3.3. A laide du trac complet dun rayon incident passant par F1, dterminer pour le systme (S) les points principaux (objet H et image H). En dduire la position du foyer principal objet F.

I.4. Construire limage AB que donne (S) dun objet AB coll contre la face dentre (L1), A tant en S1. On reprsentera AB par un segment de 20 mm. Dterminer le grandissement transversal correspondant.

I.5. Tracer ensuite la marche ultrieure complte dun rayon incident de support BO2, justifier le trac.


54

Doublets N3

Exercice I : Le tlobjectif

Un objectif photographique travaillant dans les conditions de Gauss, est constitu de deux lentilles minces (L1) et (L2) en verre de mme indice n = 1,5 par rapport lair. La lentille (L1), de centre optique O1, est plan-convexe, sa face sphrique a pour rayon R1 = 4 cm. La lentille (L2), a pour centre optique O2. (L1) et (L2) constituent un doublet de symbole [2, 1, -2].

I.1. Lentille (L1).

I.1.1. Exprimer sa distance focale image f 1 en fonction de n et R1.

I.1.2. Calculer numriquement f 1.

I.2. Lentille (L2).

I.2.1. Quelle est la nature de la deuxime lentille ?

I.2.2. Donner la valeur de sa distance focale image f 2.

I.2.3. Quelle est la distance 21OOe = sparant les deux lentilles ?

I.3. Doublet constitu par les lentilles (L1) et (L2).

I.3.1. Calculer 'F'F 2 et FF1 (o F et F dsignent respectivement les foyers image et objet du doublet).

I.3.2. Dterminer graphiquement la position du point principal image H du doublet.

I.3.3. En dduire la position du point principal objet H.

I.3.4. Le systme est-il convergent ou divergent ? Donner la valeur numrique de sa distance focale image f .

I.3.5. Construire lchelle 1/2, limage 'B'A dun objet AB trs loign. Un rayon issu de B sera reprsent sur la figure par une droite faisant un angle de lordre de 20 avec laxe optique.

I.3.6. Calculer la dimension de 'B'A si le diamtre apparent de AB est = 1

I.3.7. On utilise le doublet prcdent comme tlobjectif pour photographier des objets loigns. On appelle encombrement la distance entre la face dentre de lobjectif et la plaque photographique. Quel est alors lencombrement de lappareil ? Quel aurait t celui dun appareil donnant la mme grandeur de limage, mais dont lobjectif aurait t une simple lentille mince ?


55

Electrostatique N1

Exercice I : Distribution isotrope de charge

La densit volumique de charge lectrique dans une sphre de rayon R a pour expression :

>=

0)

Dterminer le potentiel V(x) et le champ lectrique E(x) aux divers points de laxe XOX.

I.2. Quelle est la force lectrostatique qui sexerce sur une charge positive unit place au centre O dun carr de ct b qui porte les charges q, 2q, -4q et 2q places dans cet ordre sur ses quatre coins.

I.3. Soient trois charges q positives et gales formant un triangle quilatral de ct a. On place une charge q ngative au centre C de ce triangle.

I.3.1. Calculer la force F laquelle est soumise q si r est la distance qui la spare de chaque charge q.

I.3.2. Quel est le potentiel V cr en C par les charges q ?

I.3.3. Quelle est lnergie potentielle ou lnergie lectrostatique de lensemble des quatre charges ?


57

Electrostatique N3

Exercice I : Champ et potentiel d'un segment lectris

Un fil rectiligne FF' = 2c, de milieu O, plac dans le vide, porte la charge lectrique Q uniformment rpartie avec une charge linique. On appelle O le milieu de FF'. I.1. Montrer qu'un lment NN' du fil produit en un point M donn (n'appartenant pas la droite F'F) un champ dont le module est proportionnel l'angle d sous lequel on voit NN' de M.

I.2. Montrer que le champ lectrique E en un point M est dirig suivant la bissectrice de l'angle F'MF.

I.3. Calculer la norme E du vecteur champ en M en fonction de o, de o =FMF'/2 et de la distance h de M la droite F'F. Dterminer directement le champ E sur les demi droites Fx et F'x ne contenant pas le segment lectris. Exercice II : Disque

Dterminer le champ lectrique en un point M sur l'axe d'un disque circulaire uniformment charg (densit surfacique ). Exercice III : Potentiels de sphres creuses et de sphres pleines

III.1. Sphre creuse

Soit une sphre creuse de rayon R, portant une charge rpartie uniformment avec une densit superficielle . III.1.1. Calculer directement le potentiel cre par cette sphre en un point M la distance r du centre de la sphre (r>R) et en dduire le champ lectrique en M. Conclusion ?

III.1.2. Retrouver ces rsultats par application du thorme de Gauss. Que devient le champ lectrique lorsque rR ; III.3.2. l'aide du thorme de Gauss dans les deux cas (r>R et rO.


58

Exercice IV : Conducteur filiforme et ruban infini

IV.1. Un conducteur filiforme rectiligne infini porte des charges lectriques uniformment rparties avec une densit linaire . En appliquent le thorme de Gauss donner l'expression du champ lectrique en un point M la distance r du conducteur. Retrouver cette expression par le calcul direct.

IV.2. Calculer le champ lectrique rsultant en un point M la distance z d'un ruban infini uniformment charg avec une densit superficielle .


59

Electrostatique N4

Exercice I : Champ dun demi-cercle et dun demi-disque chargs

I.1. Un arc de cercle

'CC , de centre O et de rayon R, dangle au sommet 2, situ dans le plan xOy, porte une charge par unit de longueur, rpartie uniformment. Soit Ox la bissectrice

de

'COC , et Oz laxe perpendiculaire au plan COC. Calculer les composantes du champ lectrique E : I.1.1. En un point M de laxe Oz, de cote z = OM.

I.1.2. Au centre O. En dduire les composantes de E en M en fonction de , du module E0 du champ en O et du rapport u = z/R.

I.2. Dduire des rsultats prcdents le module du champ E(z) et le potentiel lectrique V(z) au point M de cote z, dans le cas dun demi-cercle.

I.3. En dduire : I.3.1. Les composantes du champ cr par un demi-disque de centre O, de rayon R charg uniformment avec une densit superficielle , en un point M (OM = z) sur la normale au plan du disque.

I.3.2. Le potentiel en M cr par cette rpartition de charges.

Remarque : on donne : tetanconsxaxlnxa

dx 2222

+

++=+

Exercice II : Fils rectilignes parallles

On considre deux fils rectilignes parallles AA et BB infiniment longs, distants de 2a et portant une charge linique - sur AA et + sur BB (figure II.1). II.1. A laide du thorme de Gauss, dterminer en tout point M de lespace distinct de AA et BB le champ aE cr par AA et le champ bE cr par BB. Prciser les directions, sens et intensits de ces champs en fonction de 0, , ra et respectivement rb. II.2. Exprimer le potentiel V cr en M par ces deux distributions en fonction de ra et rb puis en fonction de , 0, a, r et tels que r = OM et ( )OM,OO 21= et sachant que le potentiel en O est V0. Remarque : on utilisera la relation existant entre les cots dun triangle quelconque.


60

P

A B

A B

O1 O2

M(r,)

O

ra rbr

z

x

H

M

rO

zu

ru

u

Figure II.1 Figure II.2

II.3. En dduire les composantes Er et E du champ rsultant E

r en M en fonction de , 0, a, r

et . II.4. Exprimer V, Er et E lorsque r >> a. Pour = 0, /2, , 3/2 et un mme r, reprsenter les champs sur un schma. II.5. Montrer que pour toute rgion de lespace ne contenant pas dlments de AA et /ou BB, le champ lectrostatique E

r est un champ flux conservatif.

Remarque : zOz et Ox tant deux axes fixes perpendiculaires, la dfinition des coordonnes cylindriques r, , z dun point M de lespace est rappele sur la figure (II.2). On rappelle aussi les relations suivantes :

( ) zr u.dzu.d.ru.drOMd ++=

( ) zr u.zm

u.m

r1

u.rm

mgrad

+

+

=

( )z

aar1

ra

r1

adiv zr

+

+

=

r

( ) zrzr

rz u.

ar

au.

ra

za

u.z

aar1

arot

+

+

=

r

( )( )mgraddivm =

( )( ) ( )( )arotrotadivgrada rrr =


61

Electrostatique N5

Exercice I : Champ cr par un segment charg

I.1. Calculer en un point M (c.f. figure (I.1))de coordonnes cylindriques (r, , z) le champ cr par un segment de laxe (Oz), de charge linique uniforme , compris entre les points P1 et P2 dabscisses z1 et z2, reprs par les angles 1 et 2. I.2. Discuter le cas du fil rectiligne infini uniformment charg. Exercice II : Potentiel dun fil rectiligne infini

Dterminer le potentiel associ un fil rectiligne infini portant la charge linique uniforme en utilisant les rsultats de lexercice I. Exercice III : Equation dune ligne de champ pour un ensemble de charges

N charges q1, , qN sont rparties sur laxe (Oz). Montrer que lquation dune ligne de champ est de la forme :

( )=

=

N

1i

ii tetanconscosq (1)

o les angles i sont dfinis la figure (III.1).

q1

r

qi qN

M

i

Ligne de champ

z

P1

P2

dz

1

2

P

d

r

M rEd

zEd

Ed

ze

re

Figure I.1. Figure III.1.


62

Electrostatique N6

Exercice I : Loi de Gauss Potentiel Electrostatique

On considre une rpartition dlectricit entre deux sphres de centre O et rayon a et b (b > a), la charge volumique tant proportionnelle la distance r au centre O et la charge totale tant Q. La permittivit est partout gale celle du vide 0. I.1. Exprimer en fonction de Q, b, a, r pour a < r < b. I.2. M tant un point de lespace situ la distance r de O (r 0), On pose nrOM

r= .

Dterminer le vecteur champ lectrostatique E en M, les donnes tant prises parmi Q, 0, a,

b, r et nr

. On distinguera les trois rgions r > b ( +E ), a < r < b ( iE ) et 0 < r < a (E ) et on

traitera part le cas r = 0. Y-a_t_il des discontinuits de E la traverse des sphre r = a et r = b ? I.3. Le champ E drive dun potentiel scalaire V que lon dterminera dans les trois rgions prcdentes (notation V+, Vi et V) en postulant que V 0 si r et en admettant la continuit du potentiel la traverse des sphres r = a et r = b. Contrler lexpression de V en calculant directement le potentiel absolu au centre O. I.4. Application numrique : Q = 6,15 nC, a = 4 cm, b = 5 cm, 0 = 10-9/36 Fm-1. On appelle E la mesure algbrique de E suivant n

r.

I.4.1. Reprsenter graphiquement les fonctions x , x E, x V.

I.4.2. Que deviendraient les courbes reprsentant E et V en fonction de x si on faisait tendre a vers b = 5 cm, la charge Q = 6,15 nC tant alors uniformment repartie sur une couche sphrique infiniment mince de rayon 5 cm ?. Quelles seraient alors la charge surfacique et la discontinuit du champ la traverse de la couche lectrise ?


63

0 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

(

Cm

-3 )

x (cm)

0 2 4 6 8 10

5

10

15

20

ba

Emax = 22,14 kVm-1

E (k

Vm

-1 )

x (cm)

0 2 4 6 8 10

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25Vb =1107 V

V0 =1220 V

a b

V (k

V)

x (cm)


64

Electrostatique N7

Exercice I : Champ dun diple lectrique

I.1. Soient deux charges ponctuelles (-q) et (+q) places dans le vide aux points A1 (x = -a, y = 0) et A2 (x = a, y = 0) du plan Oy. Un point M loign des charges est repr par ses coordonnes polaires r = OM et (Ox, OM). On dsignera par n

r le vecteur unitaire dans la

direction r = OM. I.1.1. Exprimer le potentiel au point M. On posera T = qA1A2 (moment dipolaire). I.1.2. En dduire le module et lorientation du champ lectrique E en M(r, ). On appellera E0, le champ dans la direction = 0. I.1.3. Indiquer lorientation et le module de E et le potentiel pour les quatre positions de Gauss = 0, /2, , 3/2. I.2. Equation et allure des surfaces quipotentielles (V1) et des lignes de champ du diple. I.3. Le diple est plac dans un champ lectrique E0 uniforme faisant langle avec T. I.3.1. Montrer que laction subie par ce diple se rduit un couple quon exprimera en fonction des donnes. Prciser les positions dquilibre stable.

I.3.2. Quel travail faut-il fournir au diple pour le retourner de 180 partir de la position dquilibre stable ?


65

Electrostatique N8

Exercice I : Pression lectrostatique

Une sphre mtallique (S) de rayon R est place dans le vide loin de tout autre conducteur. Les potentiels sont des potentiels absolus. I.1. On porte (S) au potentiel V0 : I.1.1. Calculer la charge totale Q de (S) en fonction de 0, V0 et R. A.N. : R = 10 cm et V0 = 100 kV. I.1.2. Exprimer le potentiel V en un point situ la distance x du centre O de la sphre, on distingue 2 cas : x < R et x > R. I.1.3. Calculer la charge surfacique . I.2. La sphre (S) ayant t dcharge, on pose sur celle-ci un petit disque mtallique circulaire (D) trs mince de rayon r (r Vm. Exprimer en fonction de 0, V0, R, r, m et g la distance Z dont le disque sera loign du centre O lorsque sa vitesse sannulera aprs avoir t chass suivant la verticale Oz. A.N. : V0 = 100 kV. I.2.3. Exprimer en fonction de 0, V0, R, r, m et g lacclration du disque aprs sa sparation de la sphre mais alors que sa distance O est peine suprieur R. A.N. : avec les donnes prcdentes.

I.3. Le disque au bout dun certain temps atteint une position dquilibre, trouver la distance X O du disque dans cette position. N.B. : On admettra au I.2. et I.3. que la charge totale et la rpartition des charges sur (S) restent les mmes quau I. Exercice II : Electrostatique

Deux conducteurs sphriques identiques (A1) et (A2), de centres respectifs O1 et O2, de rayon R, sont placs dans le vide une distance tellement grande que lon peut ngliger linfluence de lun sur lautre (c.f. figure (II)). Ils sont relis par un fil fin trs long et conducteur dont on nglige la charge.


66

Lensemble ((A1) (A2) fil) est isol, sa charge totale est Q.

R

Fil long

M

r

O1 O1

(A1) (A2)

R

Figure II.

II.1. Dterminer en fonction de Q et R :

Le potentiel absolu de chaque conducteur. La charge totale de chaque conducteur. La charge surfacique (densit superficielle de charge) porte par chaque conducteur

II.2. Calculer lnergie lectrostatique W0 du systme des deux conducteurs. II.3. On sintresse la rgion entourant le conducteur (A1) et trs loigne de (A2). Dterminer le champ E et le potentiel V en un point M situ la distance r du centre O1 du conducteur(A1), telle que R < r


67

Electrostatique N9

Exercice I : Influence totale

A

M

aO

(C)

Figure I.

(C) est un conducteur limit par un plan P infini. Dans un tat initial, (C) est reli au sol (V = 0). En un point A situ la distance a du plan P, on place une charge lectrique ponctuelle q. Le conducteur (C) se charge alors par influence. On admettra que la densit surfacique de charges (dveloppes par influence) est :

( ) 2/322 ay

12aq

+

=

avec y = OM (c.f. figure (I)).

I.1. Calculer la charge totale Q porte par P. I.2. Montrer que les forces lectrostatiques qui agissent sur P se rduisent une force unique dont on prcisera la direction, le sens et le module. Exercice II : Conducteurs en quilibre lectrostatique dans le vide

Un conducteur creux (S), en forme de couche sphrique extrmement mince, a pour rayon R et comprend deux hmisphres (H1) et (H2). Un second conducteur sphrique (S), concentrique (S) a pour rayon R ( R < R). Le vide rgne hors des conducteurs, lesquels sont loigns du sol et des autres corps ventuels. Les potentiels lectrostatiques considrs sont absolus. II.1. (S) est port au potentiel V et (S) au potentiel V, les deux hmisphres tant en contact. II.1.1. Donner les expressions, au moyen des donnes 0, R, R, V et V, des charges totales Qc, Qi et Q portes respectivement par la face extrieure de (S), par la face intrieure de (S) et par la surface de (S). A.N. : Calculer les trois charges pour V = 90 kV, V = 150 kV, R = 25 cm, R = 30 cm II.1.2. Montrer que les forces lectrostatiques subies par lhmisphre (H1) se rduisent une force unique F dont on donnera le support. Lunitaire u

r de ce dernier tant dirig de

(H2) vers (H1), exprimer F en fonction de 0, R, R, V, V et ur

.

A.N. : Calculer uF

F r= avec les donnes du II.1.1.

II.1.3. Le potentiel de la sphre (S) tant maintenu gal V, exprimer en fonction de V, R, R, les valeurs V du potentiel de (S) pour lesquelles la force F est nulle. A.N. : Calculer les valeurs de V pour lesquelles 0F = sachant que V = 90 kV, R = 30 cm et R = 25 cm.

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