Capítulo 13

Ondas

1

Movimiento oscilatorio

El movimiento armónico simple ocurre cuando la fuerza recupera-dora es proporcional al desplazamiento con respecto del equilibriox:

F = −kx

k se denomina constante de fuerza. En el caso de un péndulo, es igual amg/l.

El desplazamiento en el movimiento armónico simple viene dado por:

x(t) = A sen(ωt+ ϕ)

ω es la frecuencia angular de la oscilación

ω =

√√√√ k

m

ω se mide en rad/s. El radián (rad) es adimensional.

Parámetros del m.a.s.

A es laamplitud y ϕ la fase inicialdel movimiento. Se obtienen a partirde la posición y la velocidad de la partícula en el instante inicial.

En vez de la frecuencia angular, también se utiliza la frecuenciaν:

ν =ω

2π

El período es inversamente proporcional a la frecuencia:

T =2π

ω=

1

ν

ν se mide en ciclos/segundo o hercios (Hz), y el período en segundos.

Energía del m.a.s.

En el m.a.s. se produce un continuo intercambio de energía potencial acinética, y viceversa, con la energía total permaneciendo constante, iguala:

E = 12 kA

2 = 12 mA

2 ω2 = 12 mv

2max

En el punto de equilibrio, toda la energía es cinética y la velocidad esmáxima,vmax.

Características de las ondas

La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda, sujeta a unatensiónTc y con una densidad linealρl, está dada por:

v =

√√√√Tc

ρl

La longitud de ondaλ es igual al períodoT multiplicado por la velo-cidad de propagación de la onda en el medio de transmisión:

λ = Tv

La ecuación de una onda armónica que se desplaza en la direccióny y sepropaga en lax es:

y(x, t) = A sen

(ωt− 2πx

λ

)

El signo menos indica que se desplaza en el sentido positivo del ejeX.

Si una onda atraviesa distintos medios, la frecuencia angular permanececonstante.

Energía de una onda

La energía de una onda en una cuerda vale:

E = 12 A

2ω2lρl

La potenciaque transmite la onda es:

P =E

t= 1

2 A2ω2vρl

La potencia transmitida coincide con la generada por la fuente.

La magnitudvρl se denominaimpedanciaZ de la cuerda.

Ondas estacionarias

Una onda en una cuerda con sus dos extremos fijos viene descrita por laecuación:

y(x, t) = −2A cos(wt) sen

(2πx

λ

)

SiL es la longitud de la cuerda, las posibles longitudes de onda son:

λ = 2L

nparan = 1, 2, 3, . . .

Las frecuencias correspondientes a las anterioresλ son las frecuenciaspropias de una cuerda con sus dos extremos fijos, y vienen dadas por:

ω =πvn

L

El modo fundamental corresponde a la frecuencia más baja y a la longitudde onda más larga.

Los nodos son puntos con interferencia destructiva que no vibran en ab-soluto.n es igual al número de nodos internos más uno.

Problema 13.1

Un péndulo de 90 cm de longitud se desplaza 2 cm de suposición de equilibrio y se deja oscilar libremente a partirde t = 0. Encuentra la ecuación de la trayectoria. Repite elcálculo para el caso en que al péndulo se le imprima unavelocidad inicial de 0.05 m/s en vez de desplazársele.

Problema 13.2

Tenemos un muelle que se estira 5 cm cuando se le cuelgaun peso de 0.25 kg. Calcula:(a) la constante de fuerza del mismo,(b) la frecuencia que tendría cuando oscilara con la ma-

sa anterior,(c) el período.

Problema 13.3

Una partícula de 0.1 kg de masa oscila con una frecuenciade 100 Hz y una amplitud de 1 mm. Halla la velocidadmáxima y la energía del movimiento.

Problema 13.4

La posición de una partícula de 0.2 kg de masa viene dadapor:

x(t) = 5 cos(4t− π) m.

Determina:(a) la posición de la partícula en t = 1 s,(b) la velocidad en t = 0,(c) la aceleración en t = 0,(d) la fuerza recuperadora,(e) la amplitud de la oscilación,(f) el período,

(g) la energía del movimiento.

Problema 13.5

Una partícula de 0.4 kg efectúa un movimiento armónicosimple con una frecuencia de 10 Hz y una energía de 80J. Calcula:(a) la amplitud de la oscilación,(b) la velocidad máxima,(c) la constante de fuerza recuperadora.

Problema 13.6

La posición de una partícula de 0.1 kg de masa viene dadapor x = A sen(10t) m. En el instante t = 1 s, la velocidadde la partícula es de −12 m/s. ¿Cuál es la amplitud de laoscilación? ¿Y su energía?

Problema 13.7

Un pájaro de 30 gr de masa se apoya en el extremo de unarama de 20 cm de longitud y 3 mm de radio. El módulo deYoung de la madera de la rama es de 8 · 109 N/m2. ¿Cuáles la frecuencia de resonancia del pájaro en la rama?

Problema 13.8

Calcula la velocidad de propagación de las ondas en unacuerda de guitarra de 20 g/m sometida a una tensión de50 N.

Problema 13.9

Si la cuerda de guitarra del ejercio anterior vibra con unafrecuencia de 100 Hz, ¿cuál es su longitud de onda?

Problema 13.10

Una onda viene dada por la ecuación:

y(x, t) = 0.6 sen 2π(0.2t− 10x) m.

Encuentra:(a) su amplitud y frecuncia angular,(b) su longitud de onda,(c) su velocidad de propagación,(d) la velocidad de un punto cualquiera del medio por el

que se transmite la onda.

Problema 13.11

Escribe la ecuación de una onda de 2 m de amplitud, 20 mde longitud de onda que se propaga en el sentido negativodel eje X en un medio con una velocidad de propagaciónde 100 m/s. Supón que en t = 0 el desplazamiento delorigen es nulo.

Problema 13.12

Una onda transversal se propaga en el sentido positivo deleje Y y la oscilación es en la dirección Z. Su amplitud esde 0.4 m, su frecuencia de 40 Hz y su longitud de ondade 25 m. Encuentra la velocidad de un punto cualquieraen función del tiempo, sabiendo que es nula para y = 0 ent = 0.

Problema 13.13

Una cuerda de 80 cm de longitud y 40 gr/m oscila con unperíodo de 0.001 s en un modo con un único nodo interno.Encuentra la velocidad de las ondas en ella, así como sutensión. Si los puntos medios entre nodos vibran con unaamplitud de 1 cm, halla su velocidad máxima.

Problema 13.14

La ecuación de una onda en una cuerda es:

y(x, t) = 0.4 sen(50t− x) m.

Obtén:(a) su período y su longitud de onda,(b) la velocidad de propagación,(c) la velocidad máxima de oscilación de los puntos de

la cuerda,(d) la diferencia de fase, en un mismo instante de tiempo,

entre dos puntos separados 3.5 m.

Problema 13.15

Escribe la ecuación de una onda en una cuerda que sepropaga en el sentido negativo del eje Y y oscila en ladirección Z con una amplitud de 0.2 m y un período de 0.8s, sabiendo que la velocidad de propagación de las ondasen la cuerda es de 160 m/s.

Problema 13.16

Escribe la ecuación del modo fundamental de una cuerdaentre x = −2 m y x = 0, sabiendo que la velocidad depropagación de las ondas en la cuerda es de 150 m/s, queen t = 0 la cuerda ocupa el eje X y que la amplitud deoscilación del punto x = −1 m es de 0.1 m.

Problema 13.17

Una onda con una amplitud de 0.05 m y una frecuencia de70 Hz se propaga a 35 m/s por una cuerda de 0.1 kg/m.Calcula la longitud de onda y la potencia transmitida por laonda.

Problema 13.18

Una fuente oscila con una amplitud de 0.3 m y una fre-cuencia de 10 Hz unida al extremo de una cuerda de 0.08kg/m. Si la longitud de onda de las ondas que genera es de1 m, ¿cuánto tiempo ha de estar funcionando para trans-mitir una energía de 100000 J?

Problema 13.19

Una cuerda de 1.5 m de longitud posee una densidad li-neal de 0.03 kg/m y está sometida a una tensión de 500N. Si oscila en su modo fundamental con una amplitud má-xima de 6 cm, ¿cuál es su energía?

13.1 Un péndulo de 90 cm de longitud se desplaza 2 cm de su posición deequilibrio y se deja oscilar libremente a partir de t = 0. Encuentra la ecuaciónde la trayectoria. Repite el cálculo para el caso en que al péndulo se le imprimauna velocidad inicial de 0.05 m/s en vez de desplazársele.

La frecuencia angular del péndulo vale:

ω =

√g

l=

√√√√9.8

0.9= 3.3 rad/s.

La amplitud del movimiento es 0.02 y empieza conx = A. Por tanto:

x = A cosωt = 0.02 cos(3.3t) = 0.02 sen

(3.3t+

π

2

)m.

Cuando imprimimos una velocidad inicial tenemos:

x =v

ωsenωt =

0.05

3.3sen(3.3t) = 0.015 sen(3.3t) m.

13.2 Tenemos un muelle que se estira 5 cm cuando se le cuelga un peso de0.25 kg. Calcula:

(a) la constante de fuerza del mismo,

(b) la frecuencia que tendría cuando oscilara con la masa anterior,

(c) el período.

(a) La constante de fuerza del muelle viene dada por:

k =|F ||x|

=mg

∆x=

0.25 · 9.80.05

= 49 N m.

(b) La frecuencia de oscilación sería:

ν =ω

2π=

1

2π

√√√√ k

m=

1

2π

√√√√ 49

0.25= 2.23 Hz.

(c) El período es la inversa de la frecuencia:

T =1

ν=

1

2.23= 0.45 s.

13.3 Una partícula de 0.1 kg de masa oscila con una frecuencia de 100 Hz yuna amplitud de 1 mm. Halla la velocidad máxima y la energía del movimiento.

La velocidad máxima de la partícula es igual a:

vmax = Aω = 2πAν = 2π 0.001 · 100 = 0.63 m/s.

La energía del movimiento vale:

E = 12 mv

2max = 1

2 0.1 · 0.632 = 0.020 J.

13.4 La posición de una partícula de 0.2 kg de masa viene dada por:

x(t) = 5 cos(4t− π) m.

Determina:

(a) la posición de la partícula en t = 1 s,

(b) la velocidad en t = 0,

(c) la aceleración en t = 0,

(d) la fuerza recuperadora,

(e) la amplitud de la oscilación,

(f) el período,

(g) la energía del movimiento.

(a) En t = 1 la partícula está en:

x = 5 cos(4− π) = 3.27 m.

(b) La velocidad ent = 0 vale:

v =dx

dt= −5 · 4 sen(4 · 0− π) = 0.

(c) La aceleración en dicho instante es:

a =dv

dt= −5 · 42 cos(4 · 0− π) = 80 m/s2.

(d) La fuerza recuperadora es igual a la aceleración por la masa:

F = ma = −0.2 · 5 · 42 cos(4t− π) = −16 cos(4t− π) N.

(e) La amplitud de la oscilación esA = 5 m.

(f) El período es inversamente proporcional a la velocidad angular:

T =2π

ω=

2π

4= 1.57 s.

(g) El movimiento posee una energía igual a:

E = 12 mv

2max = 1

2 0.2 · (5 · 4)2 = 40 J.

13.5 Una partícula de 0.4 kg efectúa un movimiento armónico simple con unafrecuencia de 10 Hz y una energía de 80 J. Calcula:

(a) la amplitud de la oscilación,

(b) la velocidad máxima,

(c) la constante de fuerza recuperadora.

(a) La amplitud con la que oscila la partícula la obtenemos a partir dela energía:

E = 12 mA

2ω2

despejando llegamos a

A =

√√√√ 2E

mω2 =

√√√√ 2 · 80

0.4 · 4π2 100=

1

π= 0.32 m.

(b) La velocidad máxima viene dada por:

vmax = Aω = 0.32 · 2π 10 = 20 m/s.

(c) La constante de fuerza la obtenemos a partir de la frecuencia angu-lar:

ω =

√√√√ k

m=⇒ k = mω2 = 0.4 · 4π2 100 = 1579 N/m.

13.6 La posición de una partícula de 0.1 kg de masa viene dada por x =A sen(10t) m. En el instante t = 1 s, la velocidad de la partícula es de −12m/s. ¿Cuál es la amplitud de la oscilación? ¿Y su energía?

Primero obtenemos la amplitud de la oscilación a partir de la velocidadinicial:

v = A 10 cos(10t) = 10A cos 10 = −12.

Despejando tenemos:

A =−12

10 cos 10= 1.43 m.

La energía de la oscilación es igual a:

E = 12 mv

2max = 1

2 0.1 · 1.432 100 = 10.2 J.

13.7 Un pájaro de 30 gr de masa se apoya en el extremo de una rama de 20cm de longitud y 3 mm de radio. El módulo de Young de la madera de la ramaes de 8 · 109 N/m2. ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del pájaro en la rama?

Primero hemos de determinar el desplazamiento vertical de la ramax enfunción de su radio de curvaturaR:

x = R−R cos θ ≈ R(1− 1 + 1

2 θ2)

= 12 R

l2

R2 =l2

2R.

Hemos usado la relación entre el ángulo y el arcoRθ = l. En elasticidadse vio la relación entre el momento de la fuerzaM = Fl y el radio decurvatura:

M = Fl =EI

R=

2EI

l2x =⇒ F =

2EI

l2x.

De aquí deducimos la constante de fuerza.I es el momento de inerciaque para un cilindro valeI = πr4/4. La frecuencia de resonancia es:

ν =1

2π

√√√√ k

m=

1

2π

√√√√2Eπr4

ml34=

√√√√8 · 109 34 10−12

8 · 0.03 · 0.23 π= 10.4 Hz.

13.8 Calcula la velocidad de propagación de las ondas en una cuerda de gui-tarra de 20 g/m sometida a una tensión de 50 N.

La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda es:

v =

√√√√Tc

ρl=

√√√√ 50

0.02= 50 m/s.

13.9 Si la cuerda de guitarra del ejercio anterior vibra con una frecuencia de100 Hz, ¿cuál es su longitud de onda?

La longitud de onda de las vibraciones de la cuerda de la guitarra es:

λ =v

ν=

50

100= 0.5 m.

13.10 Una onda viene dada por la ecuación:

y(x, t) = 0.6 sen 2π(0.2t− 10x) m.

Encuentra:

(a) su amplitud y frecuncia angular,

(b) su longitud de onda,

(c) su velocidad de propagación,

(d) la velocidad de un punto cualquiera del medio por el que se transmite laonda.

(a) La amplitud esA = 0.6 m y la frecuencia angularω = 0.4π rad/s.

(b) La longitud de onda vale:

λ =1

10= 0.1 m.

(c) La velocidad de propagación de la onda vale:

v = λν = 0.1 · 0.2 = 0.02 m/s.

(d) La velocidad de un punto de coordenadax es:

vy =dy

dt= 0.24 π cos 2π(0.2t− 10x) m/s.

13.11 Escribe la ecuación de una onda de 2 m de amplitud, 20 m de longitudde onda que se propaga en el sentido negativo del eje X en un medio con unavelocidad de propagación de 100 m/s. Supón que en t = 0 el desplazamientodel origen es nulo.

La velocidad angular de la onda es:

ω = 2πv

λ= 2π

100

20= 31.4 rad/s.

La ecuación de la onda es:

y(x, t) = A sen

(ωt+

2πx

λ+ ϕ

)= 2 sen

(ωt+

2πx

λ+ ϕ

)m.

Comoy = 0 parat = x = 0 deducimos queϕ = 0. El signo+ delantedel término conx se debe a que la onda se propaga en el sentido negativodel ejeX.

13.12 Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje Y y laoscilación es en la dirección Z. Su amplitud es de 0.4 m, su frecuencia de40 Hz y su longitud de onda de 25 m. Encuentra la velocidad de un puntocualquiera en función del tiempo, sabiendo que es nula para y = 0 en t = 0.

La ecuación de la onda es:

z(y, t) = A sen

(ωt− 2πy

λ+ ϕ

).

La velocidad correspondientes es:

vz =dz

dt= Aω cos

(ωt− 2πy

λ+ ϕ

)

= 0.4 · 2π 40 cos

(80πt− 2π

25y + ϕ

)m/s.

Comovx = 0 parat = y = 0, tenemosϕ = π/2:

vz = 32π cos

(80πt− 2π

25y +

π

2

)m/s.

13.13 Una cuerda de 80 cm de longitud y 40 gr/m oscila con un período de0.001 s en un modo con un único nodo interno. Encuentra la velocidad de lasondas en ella, así como su tensión. Si los puntos medios entre nodos vibrancon una amplitud de 1 cm, halla su velocidad máxima.

La longitud de onda es igual a la longitud de la cuerda,λ = 0.8 m, portener un nodo interno. La velocidad de propagación de las ondas es:

v =λ

T=

0.8

0.001= 800 m/s.

La tensión de la cuerda viene dada por:

v =

√√√√Tc

ρl=⇒ Tc = ρlv

2 = 0.04 · 8002 = 25600 N.

La velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia angular:

vmax = Aω = 0.01 · 2π 1

0.001= 20π = 62.8 m/s.

13.14 La ecuación de una onda en una cuerda es:

y(x, t) = 0.4 sen(50t− x) m.

Obtén:

(a) su período y su longitud de onda,

(b) la velocidad de propagación,

(c) la velocidad máxima de oscilación de los puntos de la cuerda,

(d) la diferencia de fase, en un mismo instante de tiempo, entre dos puntosseparados 3.5 m.

(a) La longitud de onda esλ = 2π = 6.28 m, y el período:

ω = 50 =2π

T=⇒ T =

2π

50= 0.126 s.

(b) La velocidad de propagación de las ondas vale:

v =λ

T=

2π

2π50 = 50 m/s.

(c) La velocidad máxima de un punto es la amplitud por la frecuenciaangular:

vmax = Aω = 0.4 · 50 = 20 m/s.

(d) La diferencia de fase entre dos puntos separados 3.5 m vale:

ϕ =2π

λ(x2 − x1) = x2 − x1 = 3.5 rad.

13.15 Escribe la ecuación de una onda en una cuerda que se propaga en elsentido negativo del eje Y y oscila en la dirección Z con una amplitud de 0.2 my un período de 0.8 s, sabiendo que la velocidad de propagación de las ondasen la cuerda es de 160 m/s.

La longitud de onda valdrá:

λ = vT = 160 · 0.8 = 128 m.

La ecuación de la onda es:

z(y, t) = A sen

(ωt+

2πy

λ

)= 0.2 sen

(2π

0.8t+

πy

64

)m.

No hemos considerado una fase inicial debido a que no hay datos paracalcularla.

13.16 Escribe la ecuación del modo fundamental de una cuerda entre x = −2m y x = 0, sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas en la cuerdaes de 150 m/s, que en t = 0 la cuerda ocupa el eje X y que la amplitud deoscilación del punto x = −1 m es de 0.1 m.

En el modo fundamental la longitud de onda es el doble de la longitud dela cuerdaλ = 4 m. La frecuencia angular vale:

ω =2πv

λ=

2π 150

4= 75π rad/s.

La ecuación de onda buscada es:

y(x, t) = 0.1 cos

(ωt+

π

2

)sen

(2πx

λ

)

= 0.1 cos

(75πt+

π

2

)sen

(πx

2

)m.

La fase deπ/2 en el coseno es para que la cuerda coincida con el ejeXent = 0.

13.17 Una onda con una amplitud de 0.05 m y una frecuencia de 70 Hz sepropaga a 35 m/s por una cuerda de 0.1 kg/m. Calcula la longitud de onda y lapotencia transmitida por la onda.

La longitud de onda vale:

λ =v

ν=

35

70= 0.5 m.

La potencia transmitida por la onda es:

P = 12 ρlvA

2ω2 = 12 0.1 · 35 · 0.052 4π2 702 = 846 W.

13.18 Una fuente oscila con una amplitud de 0.3 m y una frecuencia de 10 Hzunida al extremo de una cuerda de 0.08 kg/m. Si la longitud de onda de lasondas que genera es de 1 m, ¿cuánto tiempo ha de estar funcionando paratransmitir una energía de 100000 J?

La velocidad de propagación de las ondas es:

v = λν = 1 · 10 = 10 m/s.

La potencia que transmite la cuerda es:

P = 12 ρlvA

2ω2 = 12 0.08 · 10 · 0.32 4π2 100 = 142 W.

El tiempo de funcionamiento necesario para transmitir la energía men-cionada es:

t =E

P=

100000

142= 704 s.

13.19 Una cuerda de 1.5 m de longitud posee una densidad lineal de 0.03 kg/my está sometida a una tensión de 500 N. Si oscila en su modo fundamental conuna amplitud máxima de 6 cm, ¿cuál es su energía?

La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda es:

v =

√√√√Tc

ρl=

√√√√ 500

0.03= 129 m/s.

La energía la obtenemos integrando la expresión de la energía de un os-cilador armónico (la energía de cada punto depende del cuadrado de suamplitud):

E =∑i

12 miA

2iω

2 = 12 ω

2∫ L

0ρlA

2 sen2(

2πx

λ

)dx

= 12 ω

2ρlA2∫ L

0sen2

(4πx

L

)dx = 1

2 ω2ρlA

2L

π

∫ π0

sen2 (u) du

= 12 ω

2ρlA2L

π

π

2=

1

4

(2π 129

3

)20.08 · 0.062 1.5 = 7.9 J.