Movimiento en un plano (dos dimensiones)

¿Como describimos la posición de la partícula?

r(t) posición de la partícula a un tiempo t en el lugar P

r(t+Δt) posición de la partícula un tiempo después en el lugar Q

Δr el vector desplazamiento que describe el cambio de posición

y

x

r(t)

r(t+Δt)

ΔrP

Q

Por lo que: )t(r)tt(rr −∆+=∆El vector desplazamiento Δr es la diferencia entre su vector de posición final y su vector de posición inicial. Δr = rf -ri, al igual

que para una dimensión la velocidad media resulta ser:

t

rv

∆∆=

La velocidad instantánea o sea la variación del desplazamiento con respecto al tiempo resulta ser el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño:

dt

dr

t

rv lim

ot=

∆∆=

→∆

Hay que tener en cuenta que una partícula que se mueve en un plano tiene dos velocidades: una horizontal vx y otra vertical vy, estas dos velocidades son perpendiculares e independientes.

y

x

v

vx

vy

θ

y

x

La magnitud del vector v se puede escribir en términos de las de sus vectores componentes:

22yx vvv +=

De acuerdo con las relaciones trigonométricas, podemos definir a los componentes de la velocidad como:

θ= cosvv xθ= senvv y

Y además

x

y

v

v=θtan

Aceleración media e instantánea

La aceleración media se define como el cambio de velocidad con respecto a un intervalo de tiempo

t

va

∆∆=

La aceleración instantánea es la aceleración media durante un intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño; esto es:

dt

dv

t

va lim

ot=

∆∆=

→∆

Y al igual que en la velocidad instantánea podemos calcular la magnitud de la aceleración con la siguiente expresión:

2y

2x aaa +=

Un caso de movimiento en el plano con aceleración constante

lo constituye el llamado movimiento de un proyectil, que

corresponde a un objeto lanzado al aire según un ángulo

diferente de cero y de 90° con la horizontal. Si se desprecian

los efectos de la fricción con el aire y las pequeñas

variaciones debido a la altura, la latitud y la rotación de la

Tierra, este movimiento se realiza con una aceleración

constante, dirigida directamente hacia el centro de la Tierra,

que es la aceleración de la gravedad.

v 0 =

sen

θ 0

v0 = cosθ0

La componente x es cte.La componente y cambia

ax = 0, ay = -g, xi=yi=0

video

Sabemos que: θ= cosvv iix

θ= senvv iiy

Al sustituir vix en

221 tatvxx xixif ++=

Obtenemos: )1()cos( tvtvxiixif

θ==Haciendo lo mismo para el componente y:

)2()( 2212

21 gttsenvtatvy

iiyiyf−=+= θ

Despejando t de (1) )cosv/(xt iif θ=La expresión (2) queda:

2222

xcosv

gx)(tany

iii

θ

−θ=

Trayectoria: La trayectoria de un proyectil se determina graficando su altura y en función de su posición en el eje x, de la siguiente manera:

2

022

00 cos2)(tan x

v

gxy

−=

θθ 2

21 xCxCy −=Así entonces:

La trayectoria de todos los proyectiles bajo condiciones de aceleración constante ysin resistencia de aire, es parabólica

Alcance: El alcance de un proyectil R, es la distancia horizontal que viaja, medidasobre terreno horizontal:

g

senvR

)2( 020 θ

=

Tiempo de vuelo: La altura máxima se alcanza a la mitad del movimiento, esto sucede cuando t = T/2

002 θseng

vT =

Altura máxima: La altura máxima ymax = h se alcanza cuando el tiempo es T/2

g

senvh

20

220 θ

=

g

senvtm

00 θ=

( )g

senvhm 2

200 θ

=

00=it

g

senvR 0

20 2θ

=

mf tt 2=

y

x

Trayectoria de un proyectil que muestra la altura máxima y el alcance horizontal

Movimiento Circular Uniforme (MCU):

Δθri

rf

Δr

vi

vf

Para indicar la posición de la partícula se usa un vector de desplazamiento r, el cambio de posición se denota como Δr que puede ocurrir en un intervalo de tiempo Δt muy pequeño

Al movimiento en giro continuo, se le llama movimiento circular uniformeSupongamos que una partícula se mueve en un circulo

En el instante t la partícula se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ, que hace a “CO” el origen de ángulos, en la circunferencia

c

2

ar

va ==

Un radian, es la medida del ángulo central contenido por un arco cuya longitud es igual a la del radio de la circunferencia

2π radianes = 360º

1 radian = 180°/π

1 grado = (π/180) radianes

t∆∆= θω

Velocidad angular

Período y frecuencia

Un giro completo mide 2πrad. Este intervalo de tiempo recibe

el nombre de período y se representa con la letra T.

La frecuencia ( f ), es la cantidad de vueltas que da un objeto por cada segundo, ó por cada unidad de tiempo.

La frecuencia y el período son inversamente proporcionales : T = 1/f

Si el período está medido en segundos, la unidad de medida de la frecuencia será el Hertz (Hz) que es lo mismo que seg-1 . Si el período está medido en minutos, la unidad de medida de la frecuencia será r. p.m. (revoluciones por minuto).

Si medimos los ángulos en sistema circular (radianes) el ángulo que se forma al dar una vuelta (un giro) es 2π , así pues:

Donde T es el período, tiempo que tarda en dar una vuelta.

Tradπω 2=

Fuerza centrípetaEs la fuerza que tira de un objeto hacia el centro de un camino

circular, mientras que el objeto sigue dicha trayectoria a una rapidez constante, siendo la rapidez la magnitud de la velocidad.

Así entonces: Fc = mac ó Fc/m = ac

Fc = mv2/r =m(rω)2=mω2r

Conociendo que:

ac = g tan θv2/r = g tan θ

θP

NNy

Nx

θ

y

x

NPmaF +==

0cos:

:

=+−=

θθNPyenscomponente

asenNxenscomponente x

θ= tanga xθ= tangr

v2

Si en lugar de que el giro sea horizontal presenta una inclinación, formando un ángulo θ con la horizontal, el análisis es diferente. Un ejemplo claro lo observamos en el peralte de las curvas de carretera.

Utilizando la segunda ley de Newton como

Sus componentes serían:

Agrupando estas dos ecuaciones y recordando que P = mg y que (sen θ/cos θ) = tan θ, llegamos a

En un movimiento circular uniforme la aceleración angular (α) es cero, pero la aceleración lineal NO es cero. La aceleración lineal es el vector equivalente a Fc

dt

dωα =

Es la relación con la cual cambia su velocidad angular con respecto al tiempo.

No hay que confundir con la aceleración “tangencial”, que es tangente a la circunferencia

αraT =