9 Impulso y cantidad de movimiento HemosestudiadolasegundaleydeNewton:F= mo.Peroannosquedan muchaspreguntasrelacionadasconfuerzasquenopuedencontestarseaplicando directamente esta ley. Por ejemplo: a)Siuncamindegranportechocafrontalmenteconunauto,qudetermina hacia donde se mueven los restos despus del choque? b)Cuandounojuegaalpool,cmodecideladireccinquedebedarlealabola blanca, para meter la otra bola en la tronera? c)CuandounmeteoritochocacontralaTierra,cuntodesuenergacinticase libera en el impacto? Algo que tienen en comn todas estas preguntas es queimplicanfuerzas acerca de las cuales sabemos muy poco: las fuerzas que actan entre el auto y el camin, entre dosbolasdebillaroentreunmeteoritoylaTierra.Locuriosoesqueenestaclase veremos que no necesitamos saber nada acerca de estas fuerzas para contestar preguntas de este tipo. Nuestro enfoque utiliza dos conceptos nuevos: el de impulso y el de cantidad de movimientoyunanuevaleydeconservacin:laconservacindelacantidadde movimiento. ApartirdelasegundaleydeNewton,tomadacomofrmulamadre,pueden deducirse otras expresiones de gran utilidad al momento de resolver problemas. Una de esas deducciones ya la hemos hecho y obtuvimos el teorema del trabajo y la energa, un teoremaquenoscondujoalprincipiodelaconservacindelaenergamecnica.A continuacin veremos otra importante deduccin a partir de la segunda ley de Newton. La cantidad de movimiento (p ) PartiendodelasegundaleydeNewton:F= moydadoqueo =d dt, podemos poner: F=m.d dt Si la masa es constante, la podemos introducir dentro de la derivada: F=d( m)dt Al producto m:lollamamoscantidaddemovimientodelapartculaylo indicamos con el smbolo p . As quep = m: y F=dp dt(1) As, la segunda ley de Newton puede interpretarse ahora como: La fuerza neta que acta sobre una partcula es igual a la rapidez con que cambia su cantidad de movimiento. Ntese que p es una cantidad vectorialcuya direccin y sentido coincide con el de:.Demodoqueunautoqueviajahaciaelnortea20m/syotroautoidnticoque viaja hacia el este a 20 m/s tienen el mismo | p| pero diferentes p porque sus direcciones son distintas. En el MKS la unidad de p es k.m/s Impulso (I).Suponiendo que la fuerza neta que acta sobre la partcula permanece constante, se define elimpulso (I) de dichafuerza, como el producto entre dichafuerzanetay el t durante el cual acta sobre la partcula: I=Ft I= Fnctu( t2 t1) (2) Nteseque I esunacantidadvectorialcuyadireccinysentidocoincideconel de la Fnctu. EnelMKSlaunidaddeI=N.s.SidesarrollamoslaexpresindelNewtony operamosconsusunidades,veremosqueN.s=kg.m/sconloqueelimpulsoyla cantidad de movimiento se expresan con las mismas unidades. Teorema del impulso y la cantidad de movimiento. Si la fuerza neta es constante, la ecuacin (1) puede escribirse as: Fnctu=p2- p1t2- t1 yFnctu. (t2 t1) = p2 p1 Y tomando en cuenta la ecuacin (2):I= p2 p1 (3) La (3) es conocida como Teorema del impulso y la cantidad de movimiento, que se enuncia as: El impulso de la fuerza neta sobre una partcula, es igual a la variacin de la cantidad de movimiento que experimenta la partcula. Principio de conservacin de la cantidad de movimiento. Seaunsistemadepartculascerrada,osealibredefuerzasexternas.Silas partculas del sistema interactan, las fuerzas mutuas obedecen al principio de acciny reaccin y la Finternas = 0. Porlotanto,enelsistemacerrado,laFnetaesnula,ysinohayFnetanohay impulso. La ecuacin (3) predice entonces que: p1 = p2En todo sistema cerrado, la cantidad de movimiento permanece constante. Ntese que este principio se refiere a la cantidad de movimiento del sistema, no aladecadapartcula.Lasfuerzasinternaspuedencambiarlascantidadesde movimiento individuales de cada partcula. Lo que no puede cambiar esla cantidad de movimiento total del sistema. Este principio de conservacin esvlido an en situaciones enlas quelasleyes deNewtonsoninadecuadas,talescomocuerposquesemuevenconunarapidezmuy alta (cercana a la de la luz) u objetos muy pequeos (como las partculas subatmicas). Finalmente, esquematizando: En todoSISIEHACERRA0SE CUMPLE EL PPI0. E C0NSERIACINE IA CANI. E H0IIH. Este principio, es el segundo de los grandes principios de conservacin que hasta ahora hemos estudiado. En la Fsica, los principios de conservacin son de importancia tericayprctica,yaquesonsencillosyuniversales;todosellostienenformas semejantes:enunsistemaqueestcambiando,existealgnaspectoquepermanece inalterado. Sicomparamoslosdosprincipiosdeconservacinestudiados,vemosquepara queelcumplaeldelaconservacindelaEm,esnecesarioqueserenan simultneamentedoscondiciones(queelsistemaseacerradoyquelasfuerzassean conservativas), mientras que para que se cumpla el de la conservacin de la cantidad de movimiento, se requiere de una sola condicin (que el sistema sea cerrado). Al ser este ltimo principio deconservacinmenos exigente que el primero, sus oportunidades de aplicacinenlaprcticasonmsnumerosas,porloqueloconviertedehechoenun principio ms importante que el de la conservacin de la energa mecnica. Comparacin de cant. de movim. con energa cintica. El teorema del impulso y de la cantidad de movimiento:Fnctu. (t2 t1) = p2 p1 dice que la variacin de la cantidad de movimiento de una partcula depende de la fuerza neta y del tiempo durante el cual ella acta. El teorema del trabajo y la energa: WF neta = Ec2 Ec1 dice que la variacin de laenergacinticadeunapartculadependedelafuerzanetaydeldesplazamiento necesario para acelerar la partcula. Veamos un ejemplo. Hay dos pelotas enmovimiento;la1conm1 = 0,5 kgy v1 = 4 m/s y la 2 con m2 = 0,1 kg y v2 = 20 m/s. Cul es ms fcil de atajar? Solucin-Clculo de sus cantidades de movimiento: P1 = m1v1 = 0,5 kg 4 m/s = 2 kg m/s P2 = m2v2 = 0,1 kg 20 m/s = 2 kg m/s Ambas pelotas tienen la misma cantidad de movimiento:p1 = p2 -Clculo de sus energas cinticas: Ec1 = m1v12 = 0,5 kg (4 m/s)2 = 4 J Ec2 = m2v22 = 0,1 kg (20 m/s)2 = 20 J Las Ec son diferentes; la pelota ms grande es ms lenta. -Conclusiones: Por ser p1 = p2, ambas requieren el mismo impulso para detenerlas. Pero detenerlabolamspequearequiereuntrabajo5vecesmayorquedeteneralams grande.Endefinitiva,silasatajamosconlamano,tardaremoselmismotiempoen detenercualquieradelaspelotas,peronuestramanoserempujadaunadistancia5 vecesmayorhaciaatrs,sidecidimosatajarlapelotamspequea.Asquenos conviene atajar la pelota ms grande. Ejercicios. 1-Selanzahorizontalmentecontraunaparedverticalunapelotade0,4kg;surapidez antes de chocar es de 30 m/s y rebota con una rapidez de 20 m/s. El tiempo de contacto conlaparedhasidode0,01s.Calcular:a)lascantidadesdemovimientodelapelota antes y despus del choque; b) la fuerza media ejercida por la pared contra la pelota. Solucin:Lo primero que se debe hacer es un bosquejo del problema; luego, adoptar un eje de referencia. Finalmente calcular. a) p1 = m1v1 = -12 kg m/s p2 = m2v2 =+ 8 kg m/s I = p2 p1 = + 20 Ns b) Fmedia = It = 2000 N 2-UntiradorsostieneholgadamenteunrifledemR=3kgdemaneraquepueda retrocederlibrementeenelmomentodehacereldisparo.Disparahorizontalmente contra un blanco, una bala de mB = 5 kg con vB = 300 m/s. Calcular a) la velocidad de retroceso del rifle; b) la cantidad de movimiento y la energa cintica de la bala; c) dem del rifle. Solucin:a)p = 0 = mRvR + mBvB

vR = -vB mBmR

= - 0,0053 300 = -0,5 m/s b) pB = mBvB = 0,005 x 300 = 1,5 kg m/s EcB = mBvB2 = (0,005)(300)2 = 225 J c) pR = mRvR = 3 (-0,5) = -1,5 kg m/s EcR = mRvR2 = (3)(-0,5)2 = 0,375 J 3-Unpadreysuhijoestnparadosenunapistahorizontaldehielo,sinfriccin.Sus masas valen 80 kg y 40 kg respectivamente. Se empujan mutuamente y el padre se aleja convP=0,5m/s.a)Culesprincipiosdeconservacinsecumplen?b)Concunta velocidad se mover el nio?DESPUANTES :2 :1 X ANTES DESPUS Rifle + bala vR vB Solucin:a)El padre y su hijo forman un sistema cerrado porque las nicas fuerzas externas: P y N se cancelan entre s. Como fuerzas internas tenemos las de empuje mutuo, que no son conservativas. Por lo tanto se cumple el principio de conservacin de la cantidad de movimiento, pero no el de la energa. b) p (antes) = p (despus) 0 = mPvP mHvH vH = vP mPmH = 0,5 8040 = 1 m/s Em (antes) = 0 Em (despus) = [mPvP2 + mHvH2] = 30 J ______________________________________________________________________

10 Choque Elprincipiodelaconservacindelacantidaddemovimientoencuentrasu aplicacin ms valiosa en el estudio del choque.Se llama CHOQUE al fenmenos fsico que tiene lugar cuando dos cuerpos se encuentran (e impactan) a consecuencia de su movimiento relativo. Paraestudiarestefenmeno,loprimeroquedebehacerseesdefinirelsistema quevaasermotivodeestudio;seestudiarnicamenteelcasodetenerunsistema aislado, o sea que no intercambia fuerzas con el mundo externo: por lo tanto el impulso sobreelsistemaesnuloysecumpleelprincipiodelaconservacindelacantidadde movimiento.Esteprincipioestablecequelacantidaddemovimientodelsistemaantes del choque es igual a la cantidad de movimiento del sistema despus del choque. Ntese que este principio se aplica al sistema y NO a cada cuerpo en particular. Adems,laconservacindelacantidaddemovimientoesunapremisavlida para cualquier tipo de choque. Caractersticas del proceso de choque 1- Tiene una duracin sumamente breve. 2- Se producen grandes cambios de velocidad. 3- Se producen cambios de forma. 4- Como consecuencia de 1)y2), va acompaado de aceleraciones elevadas. 5- Como consecuencia de 4), intervienen fuerzas muy grandes. Clasificacin de los choques. Hayvariasmaneras de clasificarlos choques, segnel aspecto desde el cualse los observe. Porlascaractersticas delmovimientoantes delchoque.(Condic. Geomtricas). CUOQUECENTRAL:Tienelugarcuandolarectamque uneaamboscentrosdemasa,esperpendicularalplano tangente ala superficie deloscuerpos en el punto inicial de contacto. Como un caso particular dentro del choque central est el: CHOQUE NORMAL: que ocurre si :1 y :2 estn contenidos en la recta m citada. CHOQUE EXCNTRICO: (No se estudia). Lafiguradelapginasiguienteilustraelcasodeloschoquescentralnormaly central no normal. Otraformadeclasificarloschoquessebasaenlascondicioneselsticasdelos materiales. En esta clasificacin hay tres posibilidades: CHOQUE PERFECTAMENTE ELSTICO: Cuando se recuperan totalmente tanto las formas como las dimensiones. La energa cintica se conserva. CHOQUEPERFECTAMENTEPLSTICO:Cuandonohayabsolutamenteninguna recuperacin. No hay fuerzas de restitucin, por lo que las deformaciones se conservan en su totalidad. CHOQUESEMIELSTICO:Esuncasointermedioentrelosanteriores.Sonlos verdaderos choques reales. Tambin se suele clasificar alos choques enbase alnmero de dimensiones en que tienen lugar: unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales. Velocidad relativa: Enelestudiodelchoque,loquecuentaeslavelocidadrelativa.Siloscuerpos quevanachocarsonlos1y2,quesemuevenconvelocidadesabsolutasv1yv2,la velocidad relativa v, si el choque es unidimensional, se define como: v = v1 v2(o al revs) Energa en el choque. Antesdelchoqueloscuerposposeenunadeterminadacantidaddeenerga,en forma de energa cintica. Durante el proceso de choque generalmente, el sistema pierde una parte de esa energa. Los principales destinos para esa energa que se pierde son: 1- la ejecucin de trabajos de deformacin. 2- en aumentos locales dela temperatura por lafriccin, que terminan con una entrega de calor al medio ambiente. 3- en la generacin y propagacin de ondas de ruido. De manera que: Ec despus < Ec antes Existeunaclaseextremadechoque,dondeEc despus=Ec antes.Eselchoque perfectamente elstico; es la clase de choques que tienen lugar entre las molculas de un gas. Planteo matemtico del choque. Entodochoqueesposibledistinguirsiempredosetapas.Laprimeracomienza conelprimercontactoentreamboscuerposylesiguendeformacionescrecientesen ellos; esta etapa concluye cuando tales deformaciones alcanzan su mximo. Las fuerzas que intervienen en esta etapa se llaman fuerzas de interaccin. Ellas son fuerzas internas alsistemaconstituidoporlosdoscuerposquechocan,yporlotantolacantidadde movimiento permanece constante. Antesdelchoque Despus del choque m m m m t t Choque central normalChoque central no normal v1v2 v1v2 Lasegundaetapacomienzacuandoloscuerposalcanzansumxima deformacin(velocidadrelativanula);lasfuerzasqueintervienenenestaetapase llaman fuerzas recuperadoras y tienden a eliminar o al menos reducir las deformaciones producidas en los cuerpos. El esquema que sigue ilustra estas etapas para el caso de una bola (cuerpo 1) que choca contra una pared fija (cuerpo 2); se danlas velocidades relativas entre ambos en cada momento. Se utiliza una prima para los valores despus del choque. Se calculan los impulsos de cada etapa (frenante y de restitucin respectivamente) y finalmente se llega a la expresin del coeficiente de restitucin k como cociente entre ambos impulsos. Comienza la 1 etapa Finaliza la 1 etapaFinaliza la 2 etapa Comienza la 2 etapavrel = v1 v2 = v1vrel = v1 v2 = 0vrel = v1 v2 = v1 I = Impulso frenante I = Impulso de restitucin. I = m(Vrelfinal Vrelinic)I = m(Vrelfinal Vrelinic) I = m(0 v1) = -mv1 I = m(v1 0) = +mv1 Coeficiente de restitucin k: k =II=Impulso Jc rcstitucinImpulso rcnontc= :1:1 Enestadeduccinsehaconsideradoelcasoparticulardeunchoquecontrauna paredinmvil,porunacuestindesencillez.Perosiamboscuerpossemueven,las velocidades relativas seran: ANTES:v = v1 v2 I = -m(v1 v2) DESPUS:v1 v2I = m(v1 v2) con lo que la expresin del coeficiente de restitucin k para un caso general es: k = i1- i21- 2(1) El coeficiente de restitucin expresa la razn entre la velocidad relativa despus del choque cambiada de signo y la velocidad relativa antes del choque. v1 v1 v1 = v2 = 0v2 = 0 v2 = 0 PRIMERA ETAPA SEGUNDA ETAPA 1 CONTACTOMXIMA DEFORMACIN LTIMO CONTACTO ktienevalorescomprendidosentre0y1;estosvaloresextremoscorresponden respectivamentealoscasosdechoquesperfectamenteplsticoyelstico.Losvalores del intervalo:0 < k < 1 corresponden a los choques semielsticos. Choque unidimensional, central y normal.Veremoscmoseplanteaunproblemadechoque.Lomscomnesquelos datos tengan que ver con las condiciones iniciales del choque, y las incgnitas sean las finales. Si ese fuera el caso, tendremos: DATOS:v1v2km1m2 INCGNITAS:v1v2 SOLUCIN:Habitualmente lasincgnitas son 2. Para poder resolverlo ser necesario planteasunsistemade2ecuacionescon2incgnitas.Unadeellasserlaque corresponde al principio de la conservacin de la cantidad de movimiento entre antes y despus del choque. sta ser una ecuacin vlida siempre, en cualquier choque: m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2 (2) La otra ecuacin a plantear es la (1) k = i1- i21- 2(1) Ejercicio 1. Sedejacaeralpisounaesferadesde2mdealtura.Sik=0,8,determinarla altura alcanzada despus del choque. Solucin: Como el piso no se mueve, estamos en el caso particular en que k = - i

Deberemoscalcularpreviamentelasexpresionesdevydev.Laprimeraesla velocidadfinaldeunacadalibredesde2mdealturayquecomenzconvelocidad inicial nula. Por la cinemtica es:v = 2 g Lasegunda(v)eslavelocidadinicialdeuntiroverticalqueseelevarhasta una altura final h:v = 2 g Finalmente:k = - i = - 2ghi2gh= _hih

Elevando al cuadrado:k2 = hihh = hk2 = 2 m(0,8)2 = 1,28 m Choque en dos dimensiones. Si el choque tienelugar en dos dimensiones,la solucin esmuyfcil. Tan solo hayqueproyectarloenlasdosdireccionescartesianasytratarlocomodoschoques unidimensionales. Veamos un par de ejemplos: Ejercicio 2. Dos patinadores sobre hielo se acercan uno al otro en ngulo recto. El patinador Atieneunamasade50kgyviajaendireccinysentido+xa2m/s.ElBtieneuna masa de 70 kg y se mueve segn +y a 1,5 m/s. Chocan y quedan unidos. Calcular a) la velocidad final de ambos; b) la prdida de energa cintica habida en el choque. Solucin: a)En x]mAvA = (mA + mB)vx En y]mBvB = (mA + mB)vy vx = mAAmA+ mB=502120 =0,830 m/s vx = mBBmA+ mB=701,5120 = 0,875 m/s vf = :x2+ :2= 0,7656 + 0,694 = 1,21 m/s b) Ecf = mvf2 = 1/2120(1,21)2 = 87,60 J Ec0 = [mAvA2 + mBvB2] = [504 + 702,25] = 178,75 J Ec = Ecf Ec0 = (87,60 178,75) J = -91,15 J Ejercicio 3. Unaboladebillarsemueveconv=0,36m/sychocaconotraigualquese encuentra en reposo. Despus del choque, la primera rebota con velocidad de 0,15 m/s, formandounngulode37conladireccinquetraaantesdelchoque.Determinarla velocidad con que sale la otra bola. Hubo prdida de energa cintica en el choque? vA = 2 m/s A mA = 50 kg vB =1,5 m/s B mB = 70 kg ANTESDESPUS 1 v1 = 0,36 m/s 2 v2 = 0 1 2 v1 = 0,15 m/s v2 37| Solucin:a)v1x = v1cos 37 = 0,12 m/s v1y = v1sen 37 = 0,09 m/s En x]m1v1 = m1v1x + m2v2xv2x =0,24 m/s En y]0 = m1v1y + m2v2y v2y = - 0,09 m/s Finalmente: v2 = _:2x2+ :22= 0,256 ms 02f = arc tg -0,090,24= 20 = 340 b) Ecf = m [v12 + v22] = 0,044m J Ec0 = mv12 = 0,65m J Ec = - 0,6m J El pndulo balstico. Eltemadelchoqueencuentrasuprincipalaplicacinprcticaenelpndulo balstico, que se utiliza para medir la velocidad de una bala; consta de un gran bloque de maderademasaMquecuelgasostenidoporunpardecuerdas.Seeligeeltipode maderademodoquelabala,quese muevehorizontalmente,quede incrustada en l. Seprocuraqueelperodode oscilacindelpnduloresultemuy grandeconrespectoaltiempoque tarda la bala en quedar incrustada. De estamaneraelpnduloempiezaamoverseinmediatamentedespusquelabalaqueda ahogadaenlamaderaypuedeconsiderarsequeseconservalacomponentehorizontal de la cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento antes del choque es la cantidad de movimiento de la bala:mv.La cantidad demovimiento del sistemainmediatamente despus del choque es: (M + m)v. Comosetratadevectoresdeigualdireccin,podemosescribirlaecuacinen forma escalar: mv = (M + m)v Despus del impacto, el pndulo entra en oscilacin y deben medirse, con buena aproximacin, la altura mxima alcanzada en la primera oscilacin. La energa cintica M m v h del bloque, con la bala incrustada, se habr transformado en energa potencial, y por el principio de la conservacin de la energa mecnica, podr ponerse: 12 ( H+ m) :2= ( H+ m) g de donde v = 2 g Finalmente es: v = jM+mm [ 2 g (3) Ejemplo: Unabala de 10 g choca,movindosehorizontalmente, con un pndulobalstico de M = 2 kg. En la primera oscilacin el pndulo se eleva verticalmente 16 cm. Calcular la velocidad de la bala sabiendo que qued ahogada en el pndulo. Solucin: Reemplazando en la frmula (3): v = j( 2+0,01)0,01[ 2 9,8 0,16 = 356 ms 11 Sistemas de partculas Existen en la naturaleza slo dos formas posibles de movimiento: la traslacin y larotacin.Laprimeraocurrecuandolapartculasigueunatrayectoriarectilnea, mientrasqueenlasegundadescribetrayectoriascircunferencialesalrededordeun punto. Nosotros,queyahemosestudiadoladinmicadelatraslacin,sabemosquela causadetalesmovimientos,sonlasfuerzas.Pero,culessonlascausasdel movimientoderotacin?Evidentementenosernlasfuerzas,yaquenopodemos atribuirleaunamismacausadosefectosdiferentes.Asquenosocuparemosde descubrir cul es la causa que provoca un movimiento de rotacin. Supongamostenerunavarillahomogneaque puede girar alrededor de un eje que pasa por el punto O. Sileaplicamosunafuerzaalavarilla,podrnsuceder trescosasdiferentes,segndndeseapliquedicha fuerza: 1- Sila recta de accin delafuerza pasa por O, la varilla permanecer inmvil. 2- Si aplicamos la fuerza a la derecha de O, la varilla girar en un cierto sentido. 3- Si la aplicamos a la izquierda, la varilla girar en sentido contrario. FF F O (3)(1) (2)Elefectoderotacinproducidosellamamomentodeunafuerzaotorca,ysu valor depende de la combinacin de dos factores: el vector fuerza F y el vector posicin r. Elvector r tienesu origenenelorigendenuestrosistemadereferencia, origenque ubicaremosenO,dondeestelejederotacin,ysuextremoestencontactoconla fuerza. Como se ve, para producir un momento (o torca), la fuerza es necesaria, pero no es suficiente. Indicaremosalvectortorcaconlaletragammamaysculadelalfabetogriego ()y matemticamente est expresado por el producto vectorial: = r F Recordarqueenunproductovectorial,elordendelosfactoresesimportante; aqu, r siempreva adelantey F atrs. Debe ser as para que cuando se apliquela regla prctica de los sentidos de los vectores, el sentido de concuerde con la realidad fsica. El desarrollo escalar de este producto vectorial es: | | = | r| | F| scn 0 Enelejemplodelafigura,ladireccindel vector es perpendicular al plano que contiene ar y a F y su sentido es entrante. Teorema de Varignon. SeaunsistemadeifuerzasFidelascualesRessuresultante.Esteteorema expresa que: La torca resultante de un sistema de fuerzas, es igual a la suma vectorial de las torcas producidas por cada una de las fuerzas componentes, consideradas todas con respecto a un mismo punto. Es decir que siR= Fi, entonces, R( 0) = i( 0) Nosotros nicamente estudiaremos el caso de sistemas de fuerzas coplanares, es decir que estn contenidas todas en un mismo plano. Para este caso particular, resultar que todos los vectoresi( 0) tendrn la misma direccin: la de la perpendicular al plano que contiene a las fuerzas. Siendo as, la i( 0) podra efectuarse escalarmente. Eso s: al desarrollar la sumatoria, habr que asignarle a cada trmino un signo (+ -) segn sea elsentido dela rotacincorrespondiente. Paralaasignacin de signos se adoptar una convencin arbitraria. Sistemas de partculas. 0 F r partcula origen Recordarquellamamospartculaauncuerpoidealquesibientienelas dimensiones de un punto geomtrico (es decir que carece de dimensiones),no por ello carece de masa. Hemos comenzado este curso estudiando el caso de tener una partcula nica; en realidad no hubo mucho para decir sobre ella, porque lo verdaderamente valioso aparece cuando esa partculainteracta con otra. Conceptos tales comolos defuerzas, energa, cinemtica,dinmica,choque,etcrequierencomomnimodeunsistemadedos partculas.Asfuecmoincorporamosunasegundapartcula.Dentrodepocasclases comenzaremosaestudiaralslido,quenoesotracosaquelareunincompactade muchsimaspartculas.Comounatransicinenestecamino,estudiaremosahoralos llamados sistemas de partculas. Un sistema de partculas es un conjunto finito de partculas, separadas entre s y distribuidas en el espacio. Seestudiarnalgunaspropiedadesdeestossistemasyseintroducirnalgunos conceptos nuevos que ms adelante, al estudiar al slido, resultarn de gran utilidad. Centro de masa. El primer concepto importante a presentar es el de centro de masa. Suponga que tenemosunavarillahomogneacomoladelafigura;lavarilla est suelta. Si le aplicamos una fuerza vertical hacia arriba en A, elcuerposubirrealizandounatraslacincombinadaconuna rotacinenelsentidodelasagujasdelreloj.SiaplicamoslafuerzaenC,subir combinandounatraslacinconunarotacinque,adiferenciadelcasoanterior, tendr sentido antihorario. Esto nos lleva a pensar que entre AyC deber existir algn punto dondealaplicarlafuerza,elcuerposubasinrotar,oseacontraslacinpura.Cuando encontremos ese lugar, habremos encontrado el centro de masa. Y sta es una propiedad importante del centro de masa: Si se aplica una fuerza en el centro de masa de un cuerpo o un sistema de partculas, ste adquirir un movimiento de traslacin pura. Definicin: Centro de masa es una posicin media, ponderada por la masa de las partculas. Sielcuerpoeshomogneo,elcentrodemasaseencuentraensucentro geomtrico.Cuandoelcuerpotieneunejedesimetra,comounapolea,elcentrode masaestsobredichoeje.Nonecesariamenteelcentrodemasadebeestardentrodel cuerpo.Elcentrodemasadeunaarandelaesunpuntodesuejedesimetra,perono est dentro de la masa de la arandela misma. A BC Determinacin de las coordenadas del centro de masa. Seaunsistemadetrespartculas,comosemuestraenlafiguradeabajoala izquierda,ysedeseadeterminarlascoordenadasdelcentrodemasa(c.m.).Seadopta unsistemacartesianodereferencia.Losdatossonlosvaloresdelasmasasdelastres partculasy sus respectivas coordenadas x;y. Cada partcula tiene un peso: P =mg. En la figura de la derecha se representan las fuerzas peso de cada partcula. AplicandoelteoremadeVarignon,ytomandocomocentrodemomentosal origen del sistema cartesiano, podemos poner en general: m1gx1 + m2gx2 + .. + migxi = Mgxcm donde la M representa a la masa total del sistema de partculas: M = mi. g se simplifica y xcm se despeja: Mx mMx m x m x mxi i i icm ... 2 2 1 1=+ + +=Parahallarycmsepuedeimaginarquegiramos90lasfigurasconloquelos pesos toman la direccin del eje x, y razonando de manera similar se obtiene: My mMy m y m y myi i i icm ... 2 2 1 1=+ + += Lasexpresionesmi xi,mi yi,etcseconocenconelnombredemomentos estticos o de primer orden del sistema de masas. Silasmasasestndistribuidasenelespacio,habrunaterceraexpresinpara hallar zcm, similar a las anteriores. y x 1 2 3 0 y x 1 2 3 0 y2 y3 y1 x1x2x3 m1gm2g m3g Ejercicios. 1- Se tiene un sistema de partculas constituido por tres masas ubicadas en las siguientes coordenadas: m1(2;3) m2(0;0)m3(4;1) en metros. Sabiendo que m2 = 3 m1 y m3 = 2 m1, hallar las coordenadas del centro de masa. Solucin: mmx m x m x mxcm... 666 , 1 6 2 3 13 1 2 1 1 1=+ +=mmy y m y mycm... 8333 , 0 6 2 3 13 2 1 1 1=+ +=Luego: c.m. (1,66m; 0,83m) 2-La figura muestra una molcula de agua, donde la distancia d de losenlacesO-Hvale10-10m.Sabiendoquelarelacinentrelas masas delos tomos de oxgeno ehidrgeno es de 16 a 1,dnde est el centro de masa de la molcula? Solucin: La enseanza que deja este problema es que cuando hay un eje de simetra, no slo geomtrica, sino tambin de masas, el centro de masa pertenece adichoejedesimetra.Porello,enestoscasosconvieneadoptarunsistemade referencia tal que uno de sus ejes coincida con el eje de simetra, con lo cual slo har faltacalcularunasolacoordenadaporquelaotravaldrcero.Porotraparte, convendrubicarelorigendelsistemaeneltomodeoxgeno,loqueahorrarel clculo de un trmino, en la frmula de xcm. La abscisa de los tomos de hidrgeno es: xH = 10-10 m cos 53 = 6x10-11 m. | | | |m xm xm mx mxO HH Hcm121110 6 , 61810 6 1 2 2 2= =+= Propiedades del centro de masa. Laspropiedadesquedaremosacontinuacin,nosenseanqueparaestudiarel movimientodeunsistemadepartculasnoesnecesarioconsiderarlosmovimientos O H H d 53 53 individualesdecadapartcula,quesongeneralmentecomplicados,osecarecedela informacinnecesariaparapoderhacerlo.Simplementebastaconestudiarel movimientoquesigueelcentrodemasadelsistema,comosienlsereunieraenuna sola partcula puntual, la totalidad de la masa del sistema. Por sencillez, en lo que sigue plantearemos el caso de un sistema constituido tan solopordospartculas,paraqueenlasecuacionesdeclculodelascoordenadasdel centrodemasasetengaelmenornmerodetrminosposible.Porotraparte,altener slo2partculas,secuentaconotraventajaadicional:elsistemaesunidimensionaly bastar con plantear la ecuacin de una nica coordenada. Haremos: 2 2 1 1 x m x m x Mcm+ = (1) 1- VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA Si se deriva la (1):|.|

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\|dtdxmdtdxmdtdxMcm 2211 M vcm = m1 v1 + m2 v2(2) i cmp v M = La masa total multiplicada por la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento del sistema de partculas. Estaprimerapropiedadnosenseaqueparahallarlacantidaddemovimiento total del sistema, no es necesario hallar las cantidades de movimiento de cada una de sus partculas. 2- ACELERACIN DEL CENTRO DE MASA. Si se deriva la (2):|.|

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\|dtdvmdtdvmdtdvMcm 2211 M acm = m1 a1 + m2 a2 Fx = m1 a1 + m2 a2 Igualando los primeros miembros de las dos ltimas igualdades: Fx = M acm (3) Enla(3)elprimermiembrorepresentalafuerzaresultantequeactasobreel sistema, que no es otra cosa que la fuerza externa total. Por lo tanto, esta propiedad nos dice que: Bajo la accin de la fuerza externa resultante sobre el sistema, el centro de masa se acelera como si se tratara de una nica partcula de masa M. Esta segunda propiedad nos ensea que el movimiento del centro de masa de un sistemaslopuedesermodificadoporlasfuerzasexternas;lasfuerzasinternasno ejercen ningn efecto sobre el movimiento del centro de masa. Ejemplo. Un proyectil explota en dos trozos iguales, cada uno de ellos de masa m, cuando est enla parte superior dela trayectoria. Uno de los trozos cae verticalmente hacia el sueloimpactandoa2000mdellugardelanzamiento,mientrasqueelotrosemueve horizontalmentedemodoqueambostocanelsuelosimultneamente.Dndecaerel segundo trozo? Solucin: El 1 paso consiste en definir el sistema; l estar constituido por el proyectil ( al principio ser una partcula nica; despus contendr dos partculas). Laexplosindelproyectilesdebidaafuerzasinternas;segnla2propiedad, estasfuerzasnopuedenperturbarelmovimientodelcentrodemasa,porloquel continuar describiendo la trayectoria de la parbola original. Como en este caso, el cm deberequidistardeambostrozosdeproyectil,portenerstosmasasiguales,resulta fcil inferir dnde caer el 2 trozo: Caer a 6000m del lugar de lanzamiento. Sisedeseaunplanteo matemtico, puede ponerse: M xcm = M x1 + M x2 xcm = (x1+ x2) x2 = 2 xcm x1 x2 = 2 4000 2000 = 6000 m y x (m) 0 2000 40006000 12 Momento angular En esta clase continuaremos presentandomagnitudes que ataenalmovimiento de rotacin. Elconceptodemomentoangularestambinconocidoconunadiversidadde nombres,talescomomomentodelacantidaddemovimiento,cantidaddemovimiento angular,impulsoangular,momentum,etc.Esalmovimientoderotacin,loquela cantidad de movimiento lineal es al movimiento de traslacin. Lapresentacindeestenuevoconcepto,seguirpasossimilaresalosdela introduccin del concepto de momento de una fuerza () a partir del de fuerza (F). As comoelvectortorcaomomentodeunafuerzaseobtenapremultiplicandoalvector fuerza por el vector posicin:= r F demanerasimilarelvectormomentoangularseobtendrpremultiplicandoalvector cantidaddemovimientolinealpconelvectorposicin.UtilizaremoslaletraLpara representar al momento angular: I= r p Lafiguramuestraunapartculademasam,dotadadeunacantidadde movimientolinealpquerotaalrededordelorigende unaternacartesiana,enelplanohorizontalx;y.La partcula es ubicada por el vector posicin r, con origen en el origen de la terna y su extremo sobre la partcula. Escalarmente, L = rpsen 0 O bi en:L =r mvsen 0. Obsr vese que si0 =0, r esul t a L =0. Rel aci nent r el at or ca( I) yl avar i aci ndel moment o angul ar[dLdt Sabemosquelafuerzanetaqueactasobreunapartcula,(deacuerdoconla segunda ley de Newton) provoca su aceleracin, es decir que su velocidad cambie y con ella, que su cantidad de movimiento lineal p, tambin cambie. Ahora vemos (a travs de I= r p) que tambin cambia a I. Demostraremos a continuacin que justamente la rapidez de cambio del momento angular es igual a la torca producida por la fuerza neta. Para ello derivaremos la ecuacin: I= r p = r m : respecto del tiempo, utilizando la regla de la derivada de un producto: JIJt= _JrJt m:_ + _r m J:Jt_ = ( : m:) + ( r m o)Elprimertrminodelsegundomiembroesnulo,porrepresentaralproducto vectorial de un vector consigo mismo. Por lo tanto, finalmente nos queda: dLdt= r Fnctu dLdt= nctu La rapidez de cambio del momento angular de una partcula es igual a la torca de la fuerza neta que acta sobre ella. Momento de inercia (J). Cuandounapartculaosistemadepartculasseencuentranenmovimientode rotacin, resulta convenienteintroducir unanueva cantidadfsicallamadamomento de inercia;elladependedelamasaydeladistanciaalejederotacin;esunacantidad escalar. Ser simbolizada con una J. 1- MOMENTO DE INERCIA DE UNA PARTCULA NICA. Sea una partcula de masa m que rota describiendo una circunferencia de radio r respecto del eje de rotacin. Su momento de inercia est dado por la expresin: J = mr2 r m : p Zeje de rotacin YXI En el S.I. su unidad es kgm2 2- MOMENTO DE INERCIA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS. Seaunsistemadenpartculasenrotacinalrededordeuneje.Seconocenla masa y la distancia al eje de cada una de ellas; entonces, su J estar expresado por: J = miri2 Relacin entre L, ] y m. Siendo: I= r p = r m : sisetratadeunapartculaquesemueve describiendounacircunferenciaalrededordel ejederotacin,comolomuestralafigura,el mdulo deI es: L = rmvsen 90 = rmv. Ladireccinyelsentidode Ise muestranenlafigura.Comov=r, reemplazando: L = mr2 Finalmente: L = J La conservacin del momento cintico. La ecuacindLdt= nctu , que fue escrita para una partcula, puede ser aplicada aunsistemadepartculas,interpretandoquenosdicequelarapidezconquevarael momento angular de un sistema con respecto a un punto dado, es igual a la sumatoria de las torcas externas que actan sobre l: JIJt= cxt Si el sistema se encuentra aislado, tal cxtvaldr cero y entonces tendremos:

dLdt = 0 o sea queI= constante Si la torca externa neta sobre el sistema es nula, el momento angular del mismo permanece constante. m r m1 m2 m3 r1 r2 r3 z I x r : py m 90 O ste es el enunciado del principio de la conservacin del momento angular. Es el tercerprincipiodeconservacinaplicablealossistemasmecnicosaisladosque estudiamos. Se agrega a los ya vistos: principio de conservacin de la energa mecnica y dela cantidad demovimiento lineal. Como aqullos, ste tambin constituye unaley fundamental de la naturaleza. Si se tiene un sistema de partculas aislado, los momentos angulares individuales decadapartculapuedenvariar,peroelvalordelmomentoangulartotaldelsistema debe permanecer constante. Cuandouncuerpoestgirandoalrededordeunejefijo,si cxt=0, entoncesI permanece constante. Pero comoL = Jpodr suceder por ejemplo, que aumente si al mismo tiempo J disminuye. Podemos expresar entonces al principio de la conservacin del momento angular como: J11 = J22 = constante Enlaprctica,uncuerpopuedecambiarsuJ,consloreacomodarsumasa respectodelejederotacin.Losacrbatas,losclavadistas,lasbailarinasdeballet,los patinadores sobrehielo, etc, hacen uso de este principiofrecuentemente. Si se tiene en cuentaqueJesfuncindelcuadradodeladistanciadelaspartesdelcuerpoalejede rotacin, resulta fcil comprender que una persona puede lograr notables variaciones en elvalordesuJ,contansoloextenderorecogersusextremidades.Esascomoel patinador y la bailarina de ballet puede aumentar o disminuir la velocidad angular de sumovimientoderotacin.Tambinlosgatossevalendeesteprincipioparacaer siempre parados, cuando se arrojan desde una cornisa. Para ellos, la cola es un apndice adicionalquereneunapartesignificativadelamasatotaldelcuerpoque,consolo extenderla o replegarla, les permite modificar el valor del J de su cuerpo. Ejercicio. Seataalextremodeunacuerdaligeraun objeto de masa m; la cuerda pasa por el interior de un tubohuecoysaleporelotroextremodeltubo.Se sostiene el tubo con una mano y la cuerda con la otra; sehacegiraralobjetoenunacircunferenciaderadio r1=0,40mconunavelocidadtangencialv1=1m/s. Despus se tira dela cuerdahacia abajo, acortando el radiodelatrayectoriahastar2=0,20m.calcularla nuevavelocidadtangencialv2ascomolas velocidades angulares inicial y final. Solucin: a) Cuando uno tira de la cuerda hacia abajo, le imprime una fuerza que le llega al objeto como una fuerza radial o centrpeta; esta fuerza no ejerce ninguna torca sobre el objeto; por lo tanto el momento angular se conserva y podemos poner: L1 = L2 = constante Desarrollando: mv1r1 = mv2r2v2 = v1[12 (1) v2 = 1[0,400,20 = 2 ms1=11 = 10,40= 2,5 1s 1 m r1 r2 F b)Reemplazando en la (1) las v por r, obtenemos 2 = 1 [122 2=2,5 [0,400,202= 10 1S Mientras la v se duplic, la se cuadruplic.