Movimiento CircularAntes de analizar el movimiento circular, debemos estudiar una serie de conceptos básicos para poder entender.

La circunferencia (ver figura 1.0) es un conjunto de puntos equidistantes al centro de la misma; cuando el centro de una circunferencia sirve de vértice, se dibuja el ángulo central de la

circunferencia (denotado como θ en la figura 1.0); el radio de una circunferencia es la distancia lineal que hay entre el centro de la misma y de un punto cualquiera de la misma; la abertura en la circunferencia que indica el ángulo se conoce como arco y tendrá una longitud variable, dependiendo del ángulo central y del radio.

El ángulo central de una circunferencia se mide en grados. Sin embargo, hay varios sistemas de unidades: el radián (figura 2.1), que tendrá valor de uno cuando la longitud de arco y el radio de la circunferencia tengan la misma longitud; los grados sexagesimales, que resultan de dividir la circunferencia en 360 partes iguales y; los grados centesimales o gradianes, que resultan de dividir el ángulo recto de una circunferencia en cien partes iguales. No obstante también existen otras formas de medir el ángulo central sin utilizar un sistema de grados; entre ellas, la revolución (figura 2.2), que tendrá valor de uno cuando tras dibujarse una circunferencia en la trayectoria de un giro o movimiento, se alcanza el lugar de origen por lo que

puede decirse que el ángulo dibujado es igual al ángulo central de una circunferencia.

Sin embargo, en la práctica, solo son utilizados tres de estos cuatro sistemas: los grados sexagesimales, los radianes y la revolución.

Conversión de unidadesComo ya hemos dicho, se utilizan varios sistemas para medir el ángulo central de la circunferencia, y en general, el ángulo que se forma entre dos segmentos cualesquiera. Estos sistemas guardan una serie de equivalencias entre sí:

Figura 1.0

θ

Figura 2.1

L = 5 cm

r = 5cm

θ = 1 rad 1 Revolución

Figura 2.2

Giro o MovimientoOrigen

Como la circunferencia se encuentra dividida en 360 partes iguales en el sistema sexagesimal y una revolución implica girar o moverse con una trayectoria circular hasta toparse con el inicio; podemos decir que:

1 rev=360 °

A diferencia de los grados sexagesimales, los radianes dependen de la circunferencia en la que se encuentran inscritos es decir, el ángulo central de la circunferencia va a tener un valor en radianes dependiendo del radio de la misma. Sin embargo como sabemos que la fórmula de la longitud de una circunferencia es: L=2 π∗r podemos decir que el ángulo central de una circunferencia con un arco igual a su longitud tendrá un valor igual a2 π rad. A partir de esto se plantea que:

360 °=2 π r ad

Y, Como se dijo que una revolución equivale a 360 grados sexagesimales se puede decir que:

1 rev=2 π rad

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HISTORIA DE LA FÍSICA

Científicos que han estudiado el movimiento Circular (I Parte)

ARISTÓTELES (384 - 322 aC)

Filósofo griego, originario de Stágira, y considerado hasta la fecha uno de los más importantes padres de la Filosofía: sus trabajos abarcaron estudios de gran cantidad de cosas, incluídas poesía, retórica, ética, política, metafísca, artes, biología y física.

En la época de Aristóteles pugnaban dos versiones del cosmos: por una parte estaba el geocentrismo (que ubicaba a la Tierra como centro del Universo) y por el otro el heliocentrismo (que ponía al Sol como centro del Universo)... Siendo Aristóteles un sabio tan respetado en la antigüedad, naturalmente su opinión a éste respecto fue tremendamente importante a pesar de que él no era astrónomo:

Siendo así, es a Aristóteles que el mundo antiguo debe la "perpetuación" del modelo cosmológico geocéntrico, dado que en sus diserciones a éste respecto llegó a la conclusión de que los objetos más pesados (como la Tierra) tendían a "bajar" en tanto los más ligeros (como el fuego) a "subir". Siendo así, su lógica lo llevó a la conclusión de que cosas como la Luna, el Sol, y las estrellas, hechas de fuego y aire, rotaban en torno a la Tierra.

PTOLOMEO (83 - 126 dC)

Pensador, matemático y astrónomo antigüo de la ciudad de Alejandría, en Egipto. De orígen griego, Ptolomeo dedicó gran parte de sus estudios a describir los movimentos de los astros en busca de razones matemáticas que sustentaran el modelo geocéntrico de Aristóteles.

Esencialmente, Ptolomeo así aseguró la "correcta apreciación de Aristótles" al respecto de que la Tierra existía estacionaria en el centro del Universo, en tanto los astros eran "gases luminosos" que giraban en torno a ella, cosas ligeras que flotaban en el cielo entre la Tierra y la bóveda celeste (la capa más exterior del universo a la cual estaban "adosadas" las estrellas)... Visión que sería imperante durante toda la antigüedad y la Edad Media.

El movimiento Circular En una página aparteEl movimiento circular es aquel que tiene por trayectoria una circunferencia. Si el vector velocidad mantiene constante su módulo a lo largo del tiempo, hablamos del Movimiento Circular Uniforme; en cambio si el vector velocidad varía constantemente, hablamos del Movimiento Circular Uniformemente Variado. En ambos casos, se dice que este vector cambia constantemente de dirección.

El Movimiento Circular UniformeEl movimiento circular uniforme es aquel que tiene una trayectoria de circunferencia y que describe arcos iguales (desplazamiento) en intervalos de tiempo iguales. El vector velocidad no varía en su módulo, de allí el nombre de uniforme.

Las unidades de rapidez angularLa rapidez angular, al igual que el módulo de la velocidad angular, son magnitudes derivadas que resultan de dividir el ángulo barrido por un movimiento circular, entre un instante de tiempo

determinado. Su unidad, dependiendo del sistema usado, puede ser: rad

s en el Sistema

Internacional de Unidades, y aunque no está normalizado, tradicional y prácticamente se utiliza también las rpm (revoluciones por minuto)

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HISTORIA DE LA FÍSICA

Breve Historia de los Movimientos e Interacciones

Desde la antigüedad las personas han tratado de comprender la naturaleza y los fenómenos que en ella se observan. Las primeras explicaciones se basaron en consideraciones filosóficas y sin realizar verificaciones experimentales, concepto este inexistente en aquel entonces. Por tal motivo algunas interpretaciones "falsas".En el Siglo XVI Galileo fue pionero en el uso de experimentos para validar las teorías de la física. Se interesó en el movimiento de los astros y de los cuerpos.Sir Isaac Newton considerado uno de los científicos más grandes de la historia. En el Siglo XVII Newton (1687) formuló las leyes clásicas de la dinámica (Leyes de Newton) y la Ley de la gravitación universal. A partir del Siglo XVIII se produce el desarrollo de otras disciplinas tales como la termodinámica, la mecánica estadística y la mecánica de fluidos. En el Siglo XIX se producen avances fundamentales en electricidad y magnetismo. En 1855 Maxwell unificó ambos fenómenos y las respectivas teorías vigentes hasta entonces en la Teoría del electromagnetismo, descrita a través de las Ecuaciones de Maxwell.Durante el Siglo XX la Física se desarrolló plenamente. En 1904 se propuso el primer modelo del átomo. En 1905 Einstein formuló la Teoría de la Relatividad especial, la cual coincide con las Leyes de Newton cuando los fenómenos se desarrollan a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.En 1915 extendió la Teoría de la Relatividad especial formulando la Teoría de la Relatividad general, la cual sustituye a la Ley de gravitación de Newton y la comprende en los casos de masas pequeñas.En 1925 Heisenberg y en 1926 Schrödinger y Dirac formularon la Mecánica cuántica, la cual comprende las teorías cuánticas precedentes y suministra las herramientas teóricas para la Física de la materia condensada.Este modelo se completó en los años 1970 y con él fue posible predecir las propiedades de partículas no observadas previamente pero que fueron descubiertas sucesivamente siendo la última de ellas el quark top. En la actualidad el modelo estándar describe todas las partículas elementales observadas así como la naturaleza de su interacción.

Deducción de fórmulas En una página apartePara poder deducir las fórmulas del movimiento circular uniforme, partiremos de la deducción de las fórmulas del movimiento rectilíneo pero se debe tener en cuenta que, como la trayectoria recorrida por el móvil no es lineal sino una circunferencia, la magnitud de distancia cambiará por la del ángulo central (θ) de la misma.

Sin embargo, en un principio deduciremos las fórmulas del movimiento rectilíneo y luego cambiaremos esta magnitud en las fórmulas.

FÓRMULA GENERAL DEL MOVIMIENTO UNIFORME:

Si una partícula se encuentra en movimiento uniforme, recorrerá una distancia ab en el mismo tiempo que una distancia cd siempre y cuando la distancia ab sea igual a la distancia cd . El vector que forma al realizar este recorrido se denomina velocidad y tendrá módulo, dirección y sentido.

Observemos e interpretemos la siguiente tabla que representa la distancia y el tiempo recorrido por un móvil en movimiento uniforme:

Distancia (cm) 0 10 20 30Tiempo (s) 0 5 10 15

Si interpretamos los valores podemos decir que:

A los 0 segundos, el móvil no había recorrido ninguna distancia. A los 5 segundos, el móvil recorrió una distancia de 10 centímetros A los 10 segundos, recorrió una distancia de 20 centímetros. A los 30 segundos, recorrió una de 30 centímetros.

Si dividimos el valor de la distancia recorrida por el móvil entre el tiempo en el cual llegó a recorrerla, obtendremos el valor de la rapidez o el valor absoluto del módulo de la velocidad.

Distancia (cm) 0 10 20 30Tiempo (s) 0 5 10 15Rapidez (cm/s) -- 2 2 2

Entonces observamos que la rapidez o valor absoluto del módulo de la velocidad se mantiene constante a lo largo del movimiento. Como esto sucede en todos los movimientos uniformes, podemos decir que:

V= Xt

Dónde

t = Es el instante de tiempo en el que el móvil alcanzó una distancia XX = Es la distancia recorrida por el móvil en un instante de tiempo tV = Es la rapidez o el valor absoluto del módulo de la velocidad para un desplazamiento X en un instante de tiempo t.

Si trasladamos esta fórmula al movimiento circular uniforme, debemos cambiar dos magnitudes:

1) La trayectoria del móvil no es lineal, sino circular y por lo tanto, dibujará un ángulo (θ) con respecto al centro de la circunferencia. (figura 3.0)

2) Al cambiar la magnitud de distancia por la del ángulo central cambiará la magnitud derivada rapidez por rapidez angular por el motivo expuesto en el punto 1.

Entonces la fórmula general del movimiento uniforme para el movimiento circular será:

ω=θt

Dónde

t = Es el instante de tiempo en el que el móvil alcanzó un ángulo θθ = Es el ángulo barrido por el móvil tras moverse en forma circular en un instante de tiempo tω = Es la rapidez angular para un ángulo θ en un instante de tiempo t

Si el móvil no iniciase su movimiento en el ángulo 0, la fórmula variará por:

ω=θ−θ0

t

Dónde

t = Es el instante de tiempo en el que el móvil alcanzó un ángulo θθ = Es el ángulo barrido por el móvil tras moverse en forma circular en un instante de tiempo tθ0 = Es el ángulo donde inicia el móvil su movimiento.ω = Es la rapidez angular para un ángulo θ en un instante de tiempo t

Figura 3.0

θ

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CuriosidadesEl movimiento circular es un tema que trasciende las fronteras de la ciencia y llega a las artes. Sor Juana Inés de la Cruz, representante de la lírica barroco, escribió un poema donde describe como deduce (de una manera muy empirista) el tipo de movimiento dado por un trompo y el cual ella lo había confundido como circular. Léalo a continuación:

“ Estaban en mi presencia dos niñas jugando con un trompo,y apenas yo vi el movimiento y la figura cuando empecé, con esta mi locura,

a considerar el facíl moto de la forma esférica, y como duraba el impulso ya impreso e

independiente de su causa, pues distante la mano de la niña,que era la causa motiva, bailaba el trompillo;

y  no contenta con esto, hice traer harina y cernerla para que, bailando el trompo encima, se conociese

si eran circulos perfectos o no los que describia con su movimiento; y halle que no era sino unas líneas espirales que iban perdiendo 

lo circular cuando se iba remitiendo el impulso”

Ejemplos cotidianos

El movimiento circular está presente en la vida cotidiana en múltiples elementos que giran, estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto durante su reproducción en el equipo de música, las manecillas de un reloj o las ruedas de una motocicleta que giran como motores, engranajes, looping de las montañas rusas son algunos ejemplos que lo demuestran, es decir, de cuerpos que se mueven describiendo una circunferencia. A veces el movimiento circular no es completo: cuando un coche o cualquier otro vehículo toma una curva realiza un movimiento circular, aunque nunca gira los 360 º de la circunferencia. Las aspas y engranajes de un ventilador, licuadora, batidora, son también claros ejemplos del movimiento circular.

Pensamientos “El agua no se derrama de un recipiente que gira, incluso cuando dicho recipiente se encuentra boca abajo, porque se lo impide la rotación”

Aristóteles.

“Todo cuerpo giratorio opone una resistencia al cambio de dirección de su eje de rotación en la que se puede confiar siempre.”

Físico y profesor inglés John Perry “El trompo Giratoria”

El Movimiento Circular Uniformemente Variado En una página aparteEl movimiento circular uniformemente variado es aquel que tiene una trayectoria de circunferencia y que tiene un vector velocidad que varía constantemente en módulo y dirección. Hay presencia de aceleración, llamada aceleración angular, que se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento ya que el módulo de la velocidad tiende a variar de una forma constante a lo largo del tiempo.

Dependiendo de cómo cambie en su módulo el vector velocidad, el movimiento puede ser:

M.C.U.A.: Movimiento Circular Uniformemente Acelerado, cuando el módulo del vector velocidad angular aumenta constantemente.

M.C.U.R.: Movimiento Circular Uniformemente Retardado, cuando el módulo del vector velocidad angular disminuye constantemente.

ANÁLISIS DEL CONCEPTO DE ACELERACIÓN Y SU FÓRMULA EN EL MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO:

Al igual que en el caso anterior, con la formula general del movimiento uniforme, deduciremos la fórmula y concepto de aceleración a partir de su homólogo en el movimiento rectilíneo y luego cambiaremos las magnitudes correspondientes.

Supóngase que un móvil esférico se encuentra en reposo en la punta de una colina y, de repente, es golpeado fuertemente, adquiere movimiento y, de inmediato, va aumentando su velocidad hasta chocar con una pared. El móvil registra los siguientes datos en su movimiento.

Tiempo (s) 1 2 3 5Rapidez (m/s) 3 6 9 15

Se nota que a los dos segundos de haber iniciado su movimiento, el móvil continúa moviéndose y que al instante siguiente de haber sido golpeado, el móvil tenía una rapidez menor es decir, el móvil acelera y por tanto, en el movimiento hay aceleración.

El caso anterior constituye un ejemplo de Movimiento Uniformemente Acelerado puesto que el movimiento va aumentando el módulo del vector velocidad a lo largo del tiempo y de manera constante. La comprobación de aumento constante de velocidad la podemos apreciar si dividimos el valor de la rapidez entre el tiempo, obteniéndose un valor constante en todo el movimiento.

Tiempo (s) 1 2 3 5Rapidez (m/s) 3 6 9 15Aceleración 3 3 3 3

El móvil presenta también una variación en su rapidez puesto que la rapidez del instante 3 no es la misma a la del instante 2. Siendo Vf la rapidez final y V0 la inicial, matemáticamente, la variación de la rapidez se puede escribir así:

∆ V =V f −V 0

En el movimiento hay también un incremento de tiempo puesto que este transcurre a medida que transcurre el movimiento. Siendo t0 el momento en el que es golpeada la esfera y tf el momento en que esta para, se puede decir que matemáticamente, la expresión de incremento de tiempo puede ser:

∆ t=t f −t 0

Como la aceleración la calculamos en la tabla como la división de la rapidez entre el tiempo, decimos que para todo el movimiento:

a=∆ V∆ t

Si sustituimos nos queda que:

a=V f −V 0

t f −t 0

Y como t0 = 0

a=V f −V 0

t

Dónde:

a = Es el módulo de la aceleración del movimiento.V f = Es la rapidez alcanzada por el móvil en el instante tV 0= Es la rapidez del móvil al iniciar el movimiento.t= Es el instante de tiempo a considerar para realizar los cálculos.

Ahora, para poder trasladar las fórmulas al movimiento circular debemos cambiar ciertas magnitudes:

Por los mismos motivos explicados en el caso de la deducción de la fórmula general del movimiento circular uniforme, la magnitud representada en el vector velocidad cambiará por el vector de velocidad angular y, como en estos casos solo necesitamos saber su módulo, la velocidad angular cambia por rapidez angular.

Al cambiar la magnitud velocidad, cambiará su magnitud derivada, la aceleración que ahora será angular.

Entonces la fórmula de la aceleración angular será:

α=ωf−ω0

t

Dónde:

α= Es el módulo de la aceleración angular.ωf = Es la rapidez angular que tiene el móvil en un instante de tiempo t.ω0= Es la rapidez angular con la que el móvil inicia el movimiento.t= Es el instante de tiempo a considerar para realizar los cálculos.

Despejes de esta fórmula:

ωf =αt+ω0

ω0=−αt+ωf

t=ωf−ω0

α

En muchas ocasiones, el móvil partirá del reposo. En estos casos, la fórmula de la aceleración angular se simplificaría, quedando que:

α=ωf

t

La naturaleza vectorial de la aceleración angularLa aceleración, una magnitud vectorial (al ser el cociente entre la velocidad y el tiempo) cambiará por la magnitud aceleración angular, un vector que cambia constantemente en dirección y sentido pero que, sin embargo, en los casos a estudiar, tiene un módulo constante a lo largo del

movimiento. La dirección de la aceleración angular coincide con la de la velocidad angular, y su sentido depende de la velocidad angular ya que esta puede estar creciendo o decreciendo. Si la velocidad angular está creciendo, el sentido de ambas magnitudes coincide, y si la velocidad angular está disminuyendo, sus sentidos son opuestos.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE LA DISTANCIA RECORRIDA:

Para deducir esta fórmula, partiremos de una gráfica (v,t) ya que el área que se encuentra debajo de la curva que se dibuje representa la distancia.

Utilizaremos la siguiente tabla para hacer la curva, que representa el tiempo y la distancia de un movimiento uniformemente acelerado

Tiempo (s) 0 1 2 3 4Rapidez (m/s) 3 6 9 12 15

0 1 2 3 40

3

6

9

12

15

18

Gráfica (V,t)

tiempo (s)

Rapi

dez (

m/s

)

Si observamos la figura formada debajo de la curva, veremos que se trata de un polígono irregular y en consecuencia, para poder calcular el área del mismo, debemos dividirlo en formas regulares:

0 1 2 3 40

3

6

9

12

15

18

Gráfica (V,t)

tiempo (s)

Rapi

dez (

m/s

)

Entonces tenemos que las figuras obtenidas son un triángulo y un rectángulo. Como se dice que la distancia recorrida por el móvil es el área debajo de la curva, la distancia recorrida en este caso será la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo. Entonces:

X=h∗b+ b∗h2

Lo siguiente es determinar las variables para deducir la fórmula.

Sabemos que la abscisa representa la duración del movimiento (tiempo) y la ordenada la rapidez. La velocidad con la que el móvil inicia el movimimiento (V0) es de 3 m/s, la final (Vf) es de 15 m/s. Sustituyendo esto en la gráfica tenemos que:

0 1 2 3 40

3

6

9

12

15

18

tiempo (s)

Rapi

dez (

m/s

)

t

V0

Vf

∆ V

V0

Dónde:

∆V= Es la altura del triángulo

V0 = Es la altura del rectángulo

t= Es la base del rectángulo y del triángulo

Sustituyendo en la deducción del área debajo de la curva nos queda que:

X=V o∗t+ ∆ V∗t2

Sabemos que ∆ V =V f −V 0

X=V o∗t+(V f−V 0)∗t

2

Si despejamos de la fórmula de la aceleración la variación de la velocidad nos queda que: a∗t=V f−V 0

Sustituyendo:

X=V o∗t+a∗t∗t2

Y como t∗t=t 2

X=V o∗t+a∗t2

2

Dónde:

X = Es la distancia recorrida por el móvil en un instante de tiempo tV0 = Es La velocidad con que el móvil inicia el movimientoa = Es el módulo de la aceleración del movimiento.t = Es el instante de tiempo a considerar para realizar los cálculos.

Trasladaremos entonces esta fórmula al movimiento circular. Ya han sido considerados los cambios de aceleración por aceleración angular y de velocidad por velocidad angular. Quedaría por analizar la distancia.

Cuando una partícula realiza un movimiento circular, barre un ángulo respecto al centro de la circunferencia. Y es este ángulo barrido el que se considera homólogo a la distancia recorrida. Entonces, la fórmula resultante es:

θ=ωo∗t+α∗t 2

2

Dónde:

ωo = Es la rapidez angular con la que el móvil inicia el movimiento.α = Es el módulo de la aceleración angular.θ= Es el ángulo barrido por el móvil en un instante de tiempo t.t = Es el instante de tiempo a considerar para realizar los cálculos.

Si el móvil partiera del reposo, la rapidez angular al comienzo del movimiento ωo tendría un valor de 0 por lo que la fórmula se simplificaría por:

θ=α∗t 2

2

Si el móvil tuviera una aceleración negativa la fórmula sería:

θ=ωo∗t−α∗t2

2

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DE LA DISTANCIA:

Sabemos que en el movimiento uniforme, la distancia la calculamos al despejar esta magnitud de su fórmula general y nos queda que

X=V∗t

Ahora como en el movimiento uniformemente variado, la rapidez o valor absoluto del módulo de la velocidad, experimenta cambios; en la fórmula dicha, la rapidez cambiará por rapidez media o rapidez promedio:

X=V m∗t

La fórmula de la rapidez promedio es:

V m=V f +V 0

2

Si sustituimos la fórmula de la rapidez promedio en la fórmula de la distancia nos queda que:

X=V f +V 0

2∗t

Ahora, como nos interesa saber la velocidad en función de la distancia y no en función del tiempo; este último deberá desaparecer de la fórmula. Por ello lo despejamos de la fórmula de la aceleración:

t=V f −V 0

a

Y sustituimos en la fórmula de la distancia:

X=

V f +V 0

2∗V f −V 0

a

Lo anterior se puede escribir así:

X=( V f +V 0 )∗(V f −V 0)

2a

Si resolvemos la doble distributiva nos queda que:

X=V f

2−V f∗V 0+V f∗V 0−V 02

2 a

Simplificando nos queda que:

X=V f

2−V 02

2 a

Despejando Vf2:

V f2=V 0

2+2a X

Dónde:

V f = Es la rapidez que tiene el móvil en un instante de tiempo determinado.V 0 = Es la rapidez con la que el móvil inicia el movimiento.a = Es el módulo de la aceleración.X = Es la distancia recorrida por el móvil en un instante de tiempo determinado.

Al trasladar esta fórmula al movimiento circular, por los múltiples motivos ya antes expuestos, nos queda que:

ωf2=ω0

2+2αθ

Dónde:

ωf = Es la rapidez angular que tiene el móvil en un instante de tiempo determinado.ω0 = Es la rapidez angular con la que el móvil inicia el movimiento.a = Es el módulo de la aceleración angular.θ = Es el ángulo barrido por el móvil en un instante de tiempo determinado.

Si el movimiento adquirido por el móvil tuviese una aceleración angular negativa, la fórmula sería:

ωf2=ω0

2−2αθ

Despejes de esta fórmula:

ω02=ωf

2−2αθ

α=ωf

2−ω02

2θ

θ=ωf

2−ω02

2 α

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HISTORIA DE LA FÍSICA

Científicos que han estudiado el movimiento Circular (II Parte)

NICOLÁS COPÉRNICO (1473 - 1543 dC)

Astrónomo prusiano (actual Polonia), Copérnico es considerado por muchos como uno de los primeros "hombres de renacimiento": estudioso, curioso y erudito, desarrolló na metodología para la astronomía que se basaba al 100% en las observaciones en vez de seguir las "indicaciones" de las cartas astronómicas de otras personas.

Las observaciones, experimentos y metodología escrupulosa de Copérnico lo llevó en en el año de 1514 a arriesgarse a proponer una idea revolucionaria: que el centro del Universo no era la Tierra, sino el Sol; cosa que naturalmente lo puso en grave peligro de enemistarse con la Iglesia Católica por ser una idea considerada "herética".

Si bien Copérnico se salvó de ser enjuiciado (y probablemente ejecutado) por afirmar esto, ello se debió en gran parte a que en vida no publicó el libro "De revolutionibus orbium coelestium", donde explicaba matemáticamente sus observaciones y conclusiones al respecto. El libro sólo se publicó una vez que él murió, y durante algún tiempo la Iglesia de hecho consideró el libro como "lectura prohibida".

GALILEO GALILEI (1564 - 1452 dC)

Astrónomo y físico tocano (actualmente Italia), es considerado por muchos como el padre de la ciencia moderna, siendo que fue el primer científico en seguir un riguroso método para sus investigaciones, desarrollándo los cinco pasos cruciales del método científico: hipótesis, observación, experimentación, comprobación y registro de conclusiones.

Galieo ha pasado a la historia por dos cosas importantes: fue el primer europeo en usar un telescopio para observar los astros (con lo cual, entre otras cosas, descubrió los cráteres en la Luna, las 4 lunas principales de Júpiter, los anillos de Saturno y las manchas Solares) y también apoyó públicamente a Copérnico, en su libro "Diálogo Concerniente a los Dos Sistemas de Concepción del Mundo" (irónicamente encargado por la Inquisición para "desmentir" las ideas de Copernico).

Galileo fue enjuiciado por la Inquisición por afirmar que la Tierra giraba en torno al Sol y fue obligado a retractarse, momento en el que la leyenda asegura que dijo la célebre "Y sin embargo se mueve" (refiriéndose, por supuesto, a la Tierra). Murió en cautiverio dentro de su propia casa, si bien su obra ayudó a crear la revolución más importante en toda la historia de la Astronomía,

convirtiéndola en una ciencia exácta.

Deducción de fórmulas de uso único para el movimiento uniformemente retardado En una página aparte

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TIEMPO MÁXIMO:

Supongamos que un móvil se desplaza desde un punto A hasta un punto B, con un movimiento uniforme. En el punto B, ocurre una interacción y el móvil inicia un movimiento uniformemente retardado y termina alcanzando el reposo en un punto C. El intervalo de tiempo transcurrido desde B hasta C se conoce como tiempo máximo.

Ahora partiremos del despeje de V f en la fórmula de la aceleración, ya que esta nos indica el valor de la rapidez en función del tiempo:

V f =V 0+a∗t

El tiempo es máximo cuando el móvil pasa de tener un movimiento a alcanzar el reposo, por lo que V f =0. Sustituyendo nos queda que:

0=V 0+a∗tmax

Si despejamos tmax nos queda que:

tmax=−V 0

a

Dónde:

tmax = es el intervalo de tiempo en el que un móvil con un movimiento uniformemente retardado y con aceleración a se detiene.V 0 = Es la rapidez del móvil antes de iniciar el movimiento uniformemente retardado.a = Es el módulo de la aceleración.

Al trasladar esta fórmula al movimiento circular nos queda que:

tmax=−ω0

α

Dónde:

tmax = es el intervalo de tiempo en el que un móvil con un movimiento uniformemente retardado y con aceleración α se detiene.

ω0 = Es la rapidez angular del móvil antes de iniciar el movimiento uniformemente retardado.α = Es el módulo de la aceleración angular.

Despejes:

α=−ω0

tmax

ω0=−α∗tmax

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL DESPLAZAMIENTO MÁXIMO:

Se conoce como desplazamiento máximo, al desplazamiento alcanzado por una partícula desde que inicia un movimiento uniformemente retardado hasta que se detiene.

Partiremos de la fórmula de la rapidez final en función de la distancia:

V f2=V 0

2+2a X

Como al finalizar el movimiento el móvil adquiere una situación de reposo V f =0 y, el desplazamiento es máximo nos queda que:

0=V 02+2 a X max

Si despejamos Xmax nos queda que:

X max=−V 0

2

2 a

Dónde:

X max = es el desplazamiento alcanzado por el móvil en movimiento uniformemente retardado.V 0 = Es la rapidez del móvil antes de iniciar el movimiento uniformemente retardado.a = Es el módulo de la aceleración.

Al trasladar esta expresión al movimiento circular nos queda que:

θmax=−ω0

2

2α

Dónde:

θmax = es el ángulo barrido por el móvil en movimiento uniformemente retardado.ω0 = Es la rapidez angular del móvil antes de iniciar el movimiento uniformemente retardado.α = Es el módulo de la aceleración angular.

Despejes

ω0=√−2α∗θmax

α=−ω0

2

2∗θmax

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HISTORIA DE LA FÍSICA

Científicos que han estudiado el movimiento Circular (III Parte)

JOANNES KEPLER (1571 - 1630 dC)

Matemático y astrónomo alemán, era uno de los más grandes matemáticos de su época, razón por la cual fue contratado en 1600 por el astrónomo austriaco Tycho Brahe para que, ayudado por las meticulosas observaciones de los movimientos planetarios de éste, Kepler calculara el diámetro exácto de las esferas celestes (las esferas donde se asumía se movían la Luna, el Sol y los Planetas).

Irónicamente Kepler nunca podría hacer lo que Brahe le pidió, pero en vez de ello descubrió algo más importante y sorprendente aún: EFECTIVAMENTE la Tierra era un planeta, EFECTIVAMENTE los planetas giraban en torno al Sol y EFECTIVAMENTE no existían estas "esferas celestes", sino que los planetas seguían órbitas elípticas de una precisión matemática absoluta.

Kepler publicó así en "Harmonices Mundi" las 3 leyes físicas que llevan su nombre y que describen los movimientos de los planetas.

ISAAC NEWTON (1643 -1727 dC)

Considerado uno de los físicos y matemáticos más importantes de la historia, Newton nació en Lincolnshire, Inglaterra.

Genio centífico indiscutible, dedicó la mayor parte de su vida adulta a lla investigación en el campo de las matemáticas y la física.

Entre sus trabajos destacan la invención del Cálculo Diferencial (una forma completamente diferente de matemáticas al álgebra), su estudió y eventual postulación de las leyes de la mecánica del movimiento, (conocidas hasta la fecha precísamente como "Leyes de Newton") y la su estudio de la mecánica de los movimientos de los astros... estos últimos publicados en el famoso libro "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", donde publicó la famosa "Ley de la Gravitación Universal".

El trabajo de Newton fue tan importante para la ciencia que señaló un parteaguas, delimitando así para siempre lo que el método científico es y cómo se ha de postular una teoría. Ningún nombre ha sido tan importante en la historia de la cosmología como él hasta que ya en el siglo XX, Albert Einstein postulara la "Teoría Especial de la Relatividad"... 300 años después de Newton.