Tema 1. Movimiento Ondulatorio

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

1. La ecuacion de una cierta onda es

y(x, t) = 10 sin [2π (2x − 100t)] ,

donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular

la amplitud,

la longitud de onda,

la frecuencia,

la velocidad de propagacion de la onda,

dibujar la onda en un instante de tiempo dado mostrando la longitud de onda.

2. La evolucion temporal de una onda escalar armonica E(x0, t) se representa en la figura adjunta,donde x0 = 0 (metros). La onda se propaga con una velocidad vf = 420 m/s a lo largo del eje X .

t (x10 seg)

-14

E (V

/m

)

0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5

-2

-1

0

1

2

(a) Determine la amplitud de la onda.

(b) Determine la fase inicial de la onda.

(c) Determine el periodo temporal y la frecuencia angular de la onda.

(d) Escriba la expresion completa de la onda indicando claramente los valores numericos de lasdiferentes magnitudes y sus unidades

3. Dos ondas polarizadas linealmente en planos perpendiculares viajan en la direccion OX a la mismavelocidad, c. Explicitar las expresiones de ambas ondas. Hallar el movimiento ondulatorio resultanteen el caso general. Analizar los siguientes casos particulares

1

2 Problemas Optica Fısica

A1 = 2A2 y de fases iguales,

A1 = 2A2 y defasadas π/2,

A1 = A2 y defasadas π/2.

4. Una fuente puntual emite ondas esfericas de λ = 500 nm. Estimar a que distancia hay que colocarsede la fuente para que sobre un area circular de un centımetro cuadrado las ondas esfericas difierande una onda plana en λ/10.

5. Determinar el promedio temporal de la siguiente onda

E = E0 cos (ωt − kr) .

Determinar asimismo el promedio temporal de |E|2.

6. Supongamos que en un punto del espacio la variacion temporal de una perturbacion ondulatoriaviene dada por

E(t) = E0e−(γ/2)t cos(ω0t), (1)

para t > 0 y nula para t < 0. Suponer que γ ≥ 0.

Dibujar la variacion temporal de la perturbacion.

Calcular el espectro en frecuencias de esta perturbacion.

Calcular espectro de potencia, |E(ω)|2, y encontrar la relacion entre γ y la anchura de |E(ω)|2a mitad de altura.

Tema 2. Teorıa electromagnetica dela luz

1. Una onda electromagnetica plana en el vacıo esta dada por

Ex = 102 sin π(3 × 106z − 9 × 1014t

)

Ey = 0,

Ez = 0.

Determinar la longitud de onda, frecuencia, velocidad de fase.Determinar el campo magnetico.Determinar el vector de Poynting.Determinar el promedio temporal del modulo del vector de Poynting.

2. Un haz de luz se propaga a traves de un medio de ındice de refraccion (n = 1,5). Si la amplitud delcampo electrico del haz de luz es de 100 V/m ¿cual es la amplitud del campo magnetico? Determinarla irradiancia de la onda. ¿Se podrıa ionizar un atomo de H con esta onda?

3. El campo de una onda electromagnetica en el vacıo esta dado, en unidades MKSC por

Ex = 0,

Ey = 0,5 cos[2π × 1015t − 2π

3× 107x

], V/m

Ez = 0.

(a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda, el estado de polarizacion y la irradiancia, indi-cando las unidades.

(b) Calcular el campo magnetico asociado dando sus componentes, indicando sus unidades.

4. Determinar el estado de polarizacion de las siguientes ondas electromagneticas

~E = ıE0 cos(kz − ωt) − E0 cos(kz − ωt).~E = ıE0 sin(−kz + ωt) + E0 sin(−kz + ωt − π/4).~E = ıE0

2 cos(kz − ωt) + E0 cos(kz − ωt + π/2).

5. La irradiancia producida por el Sol en la superficie de la Tierra es I = 1,34× 103 W/m2. Calcularel campo electrico y el campo magnetico en la superficie de la Tierra, asumiendo que el promediodel vector de Poynting es igual a esa irradiancia.

3


6. Escribir la expresion, en unidades del sistema M.K.S., de una onda electromagnetica plana que tieneuna longitud de onda de 500 nm y una irradiancia de 53,2 W/m2, que se propaga a lo largo del ejeZ. Considerese que la onda esta linealmente polarizada a 450 del eje X .

7. Un pulso de radiacion ultravioleta de 2 ns de duracion es emitido por una fuente laser y tiene undiametro de 2,5 mm y una energıa de 6 J. Determinar la longitud espacial del pulso. Calcular lairradiancia de la onda y la amplitud de campo electrico.

8. Escribir la expresion de una onda plana linealmente polarizada que se propaga a lo largo del eje Xy vibra a 300 del eje Z y cuya longitud de onda es λ = 0,52 µm.

Indicar a que region del espectro electromagnetico corresponde este campo.

Si la amplitud del campo es de 3 V/m hallar la irradiancia de la onda.

Determinar el flujo del vector de Poynting a traves de la superficie de un cuadrado de lado 1cm perpendicular al eje X .

Esta onda incide sobre el ojo de un observador cuya pupila es de φP = 4 mm. Sabemos quepodemos asimilar el ojo del observador a un dioptrio equivalente de 5,2 mm de radio y unındice de no = 4/3. Determinar el flujo del vector de Poynting a traves de la superficie de lapupila perpendicular al eje X . Si tras refractarse en el dioptrio, la radiacion se concentra enun area de radio Rr = 1,22λf ′

φP, donde f ′ es la focal del dioptrio, estimar la irradiancia de la

onda en la retina.

Figura 1: Esquema de la direccion de propagacion de la onda y detector de radiacion.

9. Una onda electromagnetica plana de amplitud E0 = 10 V/m y de longitud de onda λ0 = 500 nmse propaga en el vacıo en la direccion del vector ~k (ver Figura 1).

a) Escribir las expresiones completas del campo electrico y magnetico en coordenadas cartesianassi la onda esta linealmente polarizada perpendicular al plano ZY .

b) Calcular la irradiancia de la onda y la potencia que incide sobre la superficie cuadrada de 5mm de lado de un detector situado perpendicularmente a la direccion de propagacion y situadoa una distancia de 1 m del origen de coordenadas (ε0 = 8,85 × 10−12 F/m).

c) Calcular la irradiancia de la onda si la distancia del detector al origen de coordenadas es de 6m.

Problemas Optica Fısica 5

d) Se gira el detector hasta que se coloca perpendicular al eje Y . Calcular el flujo de energıa queincide sobre el detector en esta nueva situacion.

10. Las normas de proteccion ocular laser establecen que el lımite maximo de exposicion (Energıa /unidad de area) que puede recibir un ojo depende del tiempo de exposicion, t, a la radiacion lasersegun la ecuacion

Exp = 1,8 × t0,75 × 10−3 Julios/cm2 (2)

donde t se expresa en segundos. Supongamos que la pupila del ojo tiene un diametro de 6 mm, queel diametro del haz laser es identico y que el tiempo de exposicion es de 2 segundos.

(a) Calcular la potencia maxima permitida que puede llegar a la cornea.

(b) Calcular la irradiancia corneal maxima permitida.

11. Calcular la irradiancia de un haz laser de 100 W de potencia cuya seccion transversal tiene undiametro de 10 mm a una distancia de 1 metro. Compararla con la irradiancia producida por unabombilla a la misma distancia, suponiendo que emite de manera isotropa y cuya potencia es tambiende 100 W.

12. El campo de una onda electromagnetica en el vacıo esta dado, en unidades MKSC por

Ex = 0,25 cos[2π × 1015t −

2π

3× 107z

], V/m,

Ey = 0,5 cos[2π × 1015t − 2π

3× 107z

], V/m

Ez = 0.

(a) Determinar la frecuencia, la longitud de onda, el estado de polarizacion y la irradiancia in-stantanea y la irradiancia promedio, indicando las unidades.

λ =ω =I =Estado de polarizacion:

(b) Calcular el campo de induccion magnetica asociado dando sus componentes e indicar susunidades.

Bx =By =Bz =

Tema 3. Interaccion de la radiacioncon la materia.

1. En la interaccion de una onda electromagnetica con la materia se suele despreciar la fuerza ejercidapor el campo magnetico. Razonar los motivos por los que esta aproximacion puede ser adecuada.Considere un atomo en el que el momento dipolar es p = 10−30 C/m, sobre el que incide una ondaplana de frecuencia ν = 3 × 1014 Hz.

2. Un medio material denso y homogeneo esta constituido por osciladores atomicos cuya frecuenciade resonancia es ω0. Una onda electromagnetica armonica de frecuencia ω ω0 incide perpendic-ularmente sobre este medio material. Indique cual de las siguientes afirmaciones es verdadera:

El medio es transparente para la radiacion incidente y la onda esparcida por el medio materialen la direccion de incidencia oscila en fase con la onda incidente.

El medio es opaco para la radiacion incidente y la onda esparcida por el medio material en ladireccion de incidencia oscila en fase con la onda incidente.

El medio es transparente para la radiacion incidente y la onda esparcida por el medio materialen la direccion de incidencia no oscila en fase con la onda incidente.

El medio es opaco para la radiacion incidente y la onda esparcida por el medio material en ladireccion de incidencia oscila en oposicion de fase con la onda incidente.

El medio es transparente para la radiacion incidente y la onda esparcida por el medio materialen la direccion de incidencia oscila en oposicion de fase con la onda incidente.

3. Un gas constituido por atomos distribuidos de forma desordenada y con una densidad tal que ladistancia media entre atomos es de ed1 ≈ 0,1 mm se ilumina con una onda plana monocromaticalinealmente polarizada. La longitud de onda de la radiacion es λ = 500 nm, se propaga en ladireccion positiva del eje X y su direccion de polarizacion es paralela al eje Y (ver Figura 2). Laradiacion que emerge del gas se observa en los puntos A, B, C y D situados en los planos focalesde dos lentes de focales f ′

1 y f ′2 cuyos ejes opticos estan situados paralela y perpendicularmente

a la direccion del haz incidente. Determine a cuales de estos puntos llega luz procedente del gas.Responda a la misma pregunta si la distancia media entre atomos es de ed2 ≈ 0,01 µm.

4. La frecuencia de resonancia de un vidrio comun de tipo crown se encuentra en el ultravioleta y muylejos del espectro visible. Para la fabricacion de vidrios de alto ındice (tipo flint) se introduce enla mezcla oxido de plomo (ver Figura 3). La adicion de estos oxidos introduce una frecuencia deresonancia que esta en el ultravioleta pero muy cerca del visible. Teniendo en cuenta este hecho,justifique:

7


Figura 2: Esquema de la situacion experimental descrita.

(a) ¿Por que un vidrio flint tienen un ındice de refraccion superior al de un vidrio crown en elvisible?

(b) ¿Cual de los dos vıdrios suministra mayor proteccion al ultravioleta? Justifique la respuesta.

(c) Si se construyen dos prismas con estos vidrios ¿cual de ellos dispersara mas un haz de luzblanca? Justifique la respuesta.

Figura 3: Esquema de la dependencia de los ındices de refraccion con la frecuencia.

5. En un prisma delgado fabricado de vidrio Crown (cuya frecuencia de resonancia esta en la regionUV del espectro), indicar que color sufrira mayor desviacion cuando se ilumina el prisma con un hazcolimado de luz blanca. Suponer que la expresion del ındice en funcion de la frecuencia esta dadapor

n(ω) = 1 +Nq2

e

2meε0

1ω2

0 − ω2 + iγω. (3)


6. Sobre dos medios dielectricos isotropos incide una onda electromagnetica armonica de frecuencia ω.En la figura adjunta se muestra la evolucion en el tiempo del campo incidente Ei y el campo esparci-do por el medio Ee (campo radiado por todos los atomos del medio) en un punto dentro del material.

(a) Dibuje sobre las graficas el campo transmitido a traves del medio en cada caso. En funcion dela onda resultante obtenida determinar razonadamente en cual de los dos medios se produceabsorcion.Las expresiones de los campos incidente y esparcido por el medio son:

Ei ∝ E0cos(ωt − ky) (4)

Ee ∝ E0√(ω2

0 − ω2)2 + (γω)2cos

(ωt − ky − φ − π

2

)(5)

en donde la fase φ viene dada portgφ =

γω

ω20 − ω2

(6)

y ω0 es la frecuencia de resonancia del material

(b) A partir de las expresiones anteriores exprese la diferencia de fase entre la onda esparcida yla onda incidente.

(c) A partir del resultado del apartado anterior determine cual debe de ser el valor de φ para queel medio sea fuertemente absorbente.

(d) A partir del valor de φ calculado en el apartado anterior determine la relacion entre la frecuenciade la onda incidente (ω) y la frecuencia natural del medio (ω0).


7. Una onda electromagnetica plana y monocromatica de frecuencia ν = 4,5 × 1015 Hz se propaga enel vacıo en la direccion del eje X. El modulo de la amplitud del campo electrico es E0 = 92 V/cmy la onda vibra en el plano XZ.

Escribir la expresion del campo electrico.

Hallar la longitud de onda.

Esta onda incide sobre una interfase plana paralela al plano Y Z. El ındice de refraccion delmedio para esa longitud de onda es n = 1,62. Determinar la expresion del campo electricodentro del medio material.

Escribir la expresion del campo electrico reflejado.

8. Un haz de luz natural incide sobre una superficie de agua tranquila (na = 4/3) bajo un angulotal que la luz reflejada en la direccion del rayo 1 esta completamente polarizada en un plano. Unbloque de vidrio de ındice nv = 3/2 esta sumergido en el agua como se indica en la figura adjunta.La luz reflejada que emerge en la direccion del rayo 2 esta totalmente polarizada en un plano (verFigura 4).

Determinar el angulo que forma el bloque con la superficie de agua (α).

Determinar la irradiancia del haz reflejado en la direccion del rayo 1.

Figura 4: Esquema de la lamina sumergida en agua y rayos considerados.

9. Consideremos una fuente puntual de radiacion visible despolarizada que emite en λ = 500 nm.Esta fuente se coloca en el foco objeto de una lente de f = 100 mm. Tras la lente colocamos unpolarizador lineal ideal cuyo eje de trasmision lo podemos girar a voluntad en el plano perpendicularal eje optico de la lente. Asimismo se dispone de una lamina de un material isotropo en el que laradiacion considerada experimenta un ındice de n = 1,333 (ver Fig. 5).

Indicar razonadamente como hay que colocar el polarizador y la lamina para no observarradiacion reflejada procedente de ella. Hacer un esquema grafico para demostrarlo.

En la situacion anterior, se desplaza la fuente 2 mm hacia abajo con respecto al eje optico.Describir razonadamente si se observara radiacion reflejada, y en ese caso estimar la irradianciade la onda reflejada sabiendo que tras el polarizador la irradiancia es de 2 mW/cm2.


Figura 5: Esquema de la situacion descrita: S fuente puntual, Le lente, P polarizador, La lamina.

10. Un haz de luz no polarizada de irradiancia Ii pasa a travas de una secuencia de dos polarizadores lin-eales perfectos.¿ Cual debe ser su orientacion relativa si el haz emergente debe tener una irradianciade (a) Ii/2, (b)Ii/4 .

11. Las imagenes reflejadas por las superficies anterior y posterior de la cornea y del cristalino dedenominan imagenes de Purkinje. Si el ındice de la conea vale nc = 1,336 y el del humor acuosoes na = 1,376, calcular la irradiancia de las dos primeras imagenes de Purkinje y la relacion entreellas. Considerar que la luz incidente esta despolarizada.

12. Se tiene un ojo reducido cuyo radio es rc = 5,7 mm y nc = 1,334. Sobre el incide un haz colimadoparalelo al eje optico de luz linealmente polarizada en el plano de incidencia.

(a) Calcular la irradiancia transmitida por el dioptrio.

(b) Se acopla a este ojo una lente de contacto de ındice nl = 1,67. Calcular la transmitanciaal acoplar la lente de contacto al ojo reducido.

Comparar los dos resultados.

13. Un polarizador gira con velocidad angular Ω. Sobre el polarizador incide un haz de luz despolarizadode irradiancia Io. La luz que pasa a traves del primer polarizador se hace incidir sobre otro polar-izador que esta fijo. La irradiancia en funcion del tiempo transmitida por este ultimo polarizadorse muestra en la Figura 6. Calcular la frecuencia angular con la que gira el polarizador.

14. Un haz de luz monocromatica de longitud de onda λ linealmente polarizada en la direccion Yincide sobre una lamina retardadora. La lamina se gira de tal manera que su eje rapido de ındicene forma un angulo de 300 con el eje Y . El espesor de la lamina es e y el ındice lento n0 ¿Cualesson las amplitudes de las componentes del campo emergente en terminos de la amplitud E0 delcampo incidente? Estudiar el estado de polarizacion del haz emergente y la irradiancia transmitidaen funcion del retardo.

15. El celo es un material birrefringente con dos lıneas neutras perpendiculares entre sı. Los ındices derefraccion a lo largo de las mismas son: no = 1.544 y ne = 1.553. La lamina de celo tiene un espesorde 1 mm. Se situa esta lamina entre dos polarizadores que tiene sus ejes perpendiculares entre sı y


Figura 6: Irradiancia tras el segundo polarizador en funcion del tiempo.

que forman 45o con los ejes de la lamina (ver Figura 7). Tras el segundo polarizador se colocauna red de difraccion de modo que la luz que emerge del polarizador incide perpendicularmentesobre ella. En una pantalla situada a continuacion aparecen unas lıneas oscuras en el espectro detransmision. Calcular las longitudes de onda desaparecidas entre 500 y 700 nm. Tengase en cuentaque una red de difraccion dispersa la radiacion que incide sobre ella de acuerdo con la ecuacion:d sin θ = mλ.

Indicar que ocurrira si se gira el segundo polarizador de modo que se coloca su eje de transmisionparalelo al del primer polarizador.

Figura 7: Esquema de la situacion descrita.

16. Entre dos polarizadores cruzados se colocan varias capas de celo orientadas paralelamente entre


sı y con sus ejes opticos a 45o de los ejes de transmision de los polarizadores. Un haz de luz blancaincide sobre el primer polarizador. Se ha medido la irradiancia de la luz emergente del segundopolarizador en funcion de la longitud de onda y se ha representado en la figura adjunta.

lámina birrefringente

campo elípticamente

polarizado

eje de

transmisión

eje de

transmisión

Y

Z

Y

Y

X

X

X

n

e

n

o

θ

P

2

P

1

d

400

0

0.5

1.0

tra

nsm

it

an

cia

450 500 550 600 650 700

λ (nm)

(a) Interpretar la presencia de los maximos de irradiancia del espectro medido y representado enla figura (b).

(b) Interpretar la presencia de los mınimos de irradiancia del espectro medido y representado enla figura (b).

(c) Si la birrefrigencia es no − ne = 0,02, determine el espesor de la lamina de celo a partir de lagrafica que se adjunta. Indique el procedimiento seguido con detalle.

17. Explicar porque el cristalino es transparente a las radiaciones del visible. Se dice que en el procesoincipiente de formacion de una catarata se reduce la agudeza visual. Explicar este hecho suponiendoque el tamano de las regiones de opacificacion ası como la distancia entre ellas es mayor que laslongitudes de onda del visible (vease Figura 8).

18. Una onda plana linealmente polarizada de longitud de onda λ = 633 nm y cuya irradiancia es de1 mW/cm2 incide normalmente sobre una lamina cuyo espesor es de 1 cm. La lamina es de unmaterial isotropo absorbente tal que la onda experimenta un ındice de refraccion de n = 1,6 −ı0,000025. Determinar la irradiancia de la onda a la salida.

19. El movimiento de un electron ligado a un nucleo atomico que esta sometido al campo de una ondaexterna de frecuencia ω, viene dado por la expresion

~z(t) = A cos(ωt)k,

donde A es la amplitud de movimiento y se mide en el SI de unidades. El campo radiado por elelectron acelerado viene dado por la expresion

~E(~R, t) =e

4πε0c2|~R|s ∧

(s ∧ d2 ~z(t′)

dt′2

)]

t′=t−|~R|/c

.

DATOS: e = 1,16 × 10−19 C, ε0 = 8,85× 10−12 F/m.


Figura 8: En la parte izquierda se muestra una micrografıa electronica de un cristalino y en la parteizquierda se muestra una catarata incipiente.

(a) Determine explıcitamente la expresion del campo radiado en los puntos Q1 = (0, 20, 0) m yQ2 = (0, 0, 20) m.

(b) ¿Esta polarizado el campo electrico en los puntos Q1 y Q2?

(c) Determine la irradiancia en los puntos Q1 y Q2 si A = 10−14 metros para ω = 4 × 1015 rads−1 .

(d) Si en un instante t = t1 > 0, el campo externo cesa

(1.-) ¿seguira moviendose indefinidamente el electron? Razone la respuesta.(2.-) ¿sera monocromatica la radiacion emitida despues del instante t1?

Tema 4. Fenomenos interferenciales.

1. Un haz de radiacion monocromatica de longitud de onda desconocida ilumina una doble rendijade Young dando origen a un diagrama de interferencia que se observa en una pantalla colocadaa 0,5 m. Se ha determinado la interfranja resultando ser 2,5 mm. Sabiendo que las rendijas estanseparadas entre sı 0,1 mm, indicar cual es la longitud de onda λ empleada.

2. En la Figura 9 se muestran dos ondas planas de igual amplitud linealmente polarizadas que vibranen el plano Y Z y que se propagan en las direcciones ~k1 y ~k2. La frecuencia angular de ambas ondases de ω = 3,5 × 1015 rad/s.

Escribir la expresion de los campos electricos asociados a cada onda.

Determinar la irradiancia en el plano y = 0.

Hallar el contraste del diagrama interferencial ası como la interfranja.

Determinar cual ha de ser el grano mınimo de la pelıcula que se coloca en el plano y = 0 paraque se registre correctamente el diagrama interferencial.

Determinar el promedio espacial de la distribucion de irradiancia.

3. Un haz de luz monocromatico de longitud de onda λ0 ilumina una doble rendija de Young dandoorigen a un diagrama interferencial con una separacion de 5,6 mm entre bandas oscuras consecutivas.Si la separacion entre el plano de pantalla y el que contiene las franjas es de D = 10 m y las fuentessecundarias estan separadas a = 1 mm,

Calcular la longitud de onda de la radiacion incidente.

Dibujar la irradiancia frente a la posicion en la pantalla.

Si frente a uno de los orificios se coloca un filtro de densidad que reduce la irradiancia trans-mitida en un 10 por ciento, dibujar de nuevo la irradiacia en la pantalla en funcion de laposicion.

4. Una doble rendija de Young separadas una distancia a se ilumina en incidencia normal con un hazcolimado de radiacion casi-monocromatica λ0 = 500 nm. El diagrama de interferencia se observasobre una pantalla colocada a una distancia de 1 m del plano que contiene a la doble rendija. En lafigura adjunta se muestra el esquema del dispositivo y la distribucion de irradiancia a lo largo deleje Z (utilizar la escala indicada en la propia Figura 10). Determine la separacion entre rendijas yla longitud de coherencia.

5. Se dispone de una fuente puntual monocromatica que ilumina un biprisma de Fresnel. La distribu-cion de irradiancia se observa en una pantalla.

15


Figura 9: Dos haces de radiacion polarizados en el plano Y Z en las direcciones u1 y u2 y propagandose en lasdirecciones ~k1 y ~k2.

Figura 10: Distribucion de irradiancia a lo largo de una lınea del diagrama interferencial.

Por medio de un trazado de rayos determinar las imagenes que produce el biprisma. Dibujarla forma de la distribucion de irradiancia en la pantalla.

Entre el biprisma y la pantalla se coloca una lente convergente de focal 237 mm. La distanciaentre la lente y la pantalla es de 2740 mm. La distancia entre las imagenes reales en la pantalla


es 2 mm. El diagrama interferencial obtenido se ha reproducido en la Figura 11. Determinarla longitud de onda de la radiacion empleada.

Figura 11: Diagrama interferencial recogido en la pantalla de observacion.

6. Dos rendijas de Young situadas en un plano opaco P y separadas una distancia a estan iluminadaspor la luz que proviene de una fuente puntual de radiacion monocromatica (λ = 0,5 µm) situadaen el plano focal de una lente convergente L (ver Figura 12). Se considera que la anchura de lasrendijas, b es tal que b a.

Figura 12: Trazado de rayos correspondiente a la situacion considerada.

Describir el diagrama interferencial producido en una pantalla situada a una distancia D a.Calcular el orden interferencial en el centro de la pantalla coincidente con el eje optico.

Si la fuente puntual se desplaza verticalmente del eje optico de la lente una distancia b ¿Cambiael orden interferencial en el centro? Si es ası calcular su valor. ¿Y el valor de la interfranja?

Suponga que se abre una tercera rendija de Young situada en el centro del plano opaco P .Calcular la distribucion de irradiancia a la que da lugar esta configuracion.

7. Sobre una cuna de vidrio de angulo α desconocido y longitud D = 30 mm incide perpendicularmenteun haz de luz colimado no monocromatico cuya longitud de onda central es λ0 = 500 nm (ver figuraa). El diagrama de franjas de interferencia de las ondas reflejadas en las superficies de la cuna tieneuna extension d = 10 mm (ver figura b). Suponga que n(λ0) = 1,46.


(a) Estime el angulo de la cuna a partir del diagrama interferencial que se ha reproducido conaumento unidad en la figura adjunta.

(b) Explique la razon por la que aunque la cuna se ilumina en toda su extension solo se observanfranjas en una region menor de la misma (d < D).

(c) Determine la anchura espectral (∆λ) de la fuente y la longitud de coherencia (lc) de la radiacioncon que se ilumina la cuna.

(a)

(b)

D

d

α

8. Calcular el mınimo espesor que debe tener una pelıcula transparente de ındice de refraccion 1,455,si se debe producir un mınimo al reflejar la luz de 500 nm bajo iluminacion normal, rodeada de aire¿Que longitud de onda se reflejarıa con un mınimo a 300? Suponga que el ındice de refraccion nocambia apreciablemente con la longitud de onda (lo cual es una aproximacion).

9. Sobre una lente de ındice n3 = 1,5 se depositan dos capas delgadas de material dielectrico de ındicesn1 = 1,7 y n2 = 1,6. Los espesores de las capas son λ0/4n1 y λ0/2n2 respectivamente. El orden delas capas es el indicado en la Figura 13. Razonar si esta bicapa es antirreflectante para la radiacion

Figura 13: Esquema de la bicapa depositada sobre el substrato.

λ0 en condiciones de incidencia normal. ¿Que ocurre para incidencia a 45o?

Tema 5. Aplicaciones de lasinterferencias.

1. Medida de radios de curvatura.

Una lente plano-convexa L esta en contacto por su cara esferica, de radio de curvatura R descono-cido, con una lamina plana de vidrio G. El radio de apertura de la cara plana es y = 1 cm (Fig.14). El sistema esta iluminado por una fuente monocromatica colimada bajo incidencia proxima ala normal. Por reflexion se observa el fenomeno interferencial producido por la lamina de aire deespesor variable que hay entre la lente y la lamina plana.

Si la longitud de onda utilizada es λ0 = 0,5890 µm en el vacıo, calcular el radio del primer anillooscuro y el numero maximo de anillos observables. Para ello emplear la grafica 14b donde seha representado el cuadrado del radio de los anillos frente al orden interferencial obteniendoseel ajuste lineal de la figura.

En realidad, la fuente de luz es una lampara de sodio que emite en dos longitudes de onda quese supondra de la misma irradiancia y que en el vacıo valen λ1 = 0,5890 µm y λ2 = 0,5896µm. ¿se modifica el fenomeno observado?. El radio de los anillos oscuros se mide mediante unvisor micrometrico de 5 µm de precision. Determinar si podran medirse experimentalmente losradios de los anillos de cada diagrama interferencial.

Se separa la lente una distancia z ¿Como se modifica el sistema de anillos producido por laradiacion de λ0 = 0,5890 µm?

2. Diseno de una lamina antirreflejante.

Sobre un medio de ındice N se deposita una lamina delgada de caras planoparalelas, ındice n yespesor e.

Calcular los coeficientes de reflexion en las superficies de separacion ası como las reflectanciasrespectivas.

Se ilumina el dispositivo en incidencia normal por una radiacion monocromatica de longitudde onda λ. Calcular la irradiancia transmitida IT en el medio de ındice N .

Establecer las condiciones de reflectancia mınima Rm. Calcular los valores correspondientes deIT y la reflectancia Rm del dispositivo. Compararlo con la reflectancia R0 que se tendrıa si noestuviera la capa de ındice n. Calcular el valor de n para que Rm sea cero.

Determinar el valor de n y de e que anulan Rm para los valores N = 1,50 y λ = 0,5890 µm.

19


Figura 14: (a) Esquema del dispositivo empleado y (b) puntos experimentales obtenidos.

3. En el siguiente pictograma (Figura 15) se han representado parcialmente los desfases de las ondasreflejadas en una multicapa dielectrica. Completelo anadiendo los desfases que falten y determinesi se trata de una estructura reflejante o antirreflejante.

Figura 15: Esquema de la estructura multicapa.

4. Medida de espesores

Sobre un substraro de ındice nS , se coloca una lamina delgada de vidrio de caras paralelas, deespesor e e ındice n se ilumina con un haz colimado que incide con un angulo θi. Una pantalla


situada a una distancia D de ella, esta iluminada por la luz reflejada de la cara anterior y posteriorde la lamina. La fuente emite una radiacion monocromatica de longitud de onda λ0.

Si D = ∞, expresar la diferencia de camino en funcion de e, n y β (angulo de refraccion en lalamina, asociado al angulo de incidencia).

Si 2ne es un multiplo de λ0, ¿cual es la irradiancia en el centro de la pantalla?

Si e = 3 mm y n = 1,5 ¿que se observa al iluminar con luz blanca?

Se quiere medir el espesor de la capa de lagrima en un observador que lleva una lente decontacto de ındice nl = 1,42 . Para ello se ilumina el ojo tal y como se muestra en la Figura16a con una fuente de luz blanca (considerar incidencia proxima a la normal). La luz reflejadase recoge y se dirige a un espectrofotometro que permite determinar la cantidad de luz reflejadapara cada longitud de onda: el resultado se muestra en la Figura 16b. Estimar el espesor de lalagrima.

Figura 16: (a) Dispositivo experimental empleado. (b) Reflectancia frente al numero de ondas.

5. Interferencias en la retina.

Una onda plana monocromatica incide sobre la cara plana de un biprisma de Fresnel tal comose indica en la Figura 17. El angulo del biprisma es de 40 y su ındice de refraccion es n = 1,5.Considerar que la longitud de onda de la radiacion incidente es de λ = 500 nm.

Escribir la expresion de las ondas refractadas por cada parte del biprisma.

Se situa una pantalla a una distancia D = 30 cm del biprisma. Calcular la distribucion deirradiancia en la pantalla y el valor de la interfranja. Indicar el numero total de franjas brillantesque se observaran en la pantalla.

Se sustituye la fuente de radiacion colimada por una fuente puntual que emite radiacion cuyalongitud de onda es λ = 520 nm que dista d0 = 60 mm del biprisma. Describir que se obser-vara en la pantalla situada a 90 cm del biprisma. En el caso de que se observen interferenciasdeterminar la interfranja.

Se coloca una lente cuya focal imagen es de f ′ = 135 mm a 900 mm del biprisma. Determinarla posicion de las imagenes reales que proporciona esta lente de la fuente de radiacion.


Figura 17: Diagrama del experimento propuesto. Se ha sombreado la region en la que solapan ambos haces deradiacion.

En la situacion anterior se coloca un ojo de un observador en el plano focal de la lente. Describirque se observara en la retina del sujeto. Si asimilamos el ojo del observador como un dioptriode radio rs = 5,7 mm y que el ındice de refraccion para esa longitud de onda es de 4/3.Determinar la interfranja que se produce en la retina del observador que esta situada en elplano focal del dioptrio.

¿Podrıa estimarse con este dispositivo la agudeza visual? Indicar razonadamente como lo harıa.

Tema 6. Difraccion

1. Se ilumina una lente con un haz colimado procedente de una fuente monocromatica emitiendo enλ = 500 nm. La focal de la lente es f ′ = 126 cm. La distribucion de irradiancia en el plano focal esfotografiada y reproducida en la Figura 18 con un aumento lateral de β′ = 76. Estimar la forma yel tamano de la lente.

Figura 18: Distribucion de irradiancia en el plano focal de la lente considerada iluminada con un haz plano. A laderecha se muestra la funcion de Airy cuyo primer mınimo se encuentra en z = 3,83.

2. Un modelo de ojo teorico reducido esta formado de la siguiente manera: el radio de la cornea es 5,6mm y el ındice de humor acuoso es n = 1,33. La pupila del ojo esta situada a 5,6 mm del verticede la cornea y tiene un diametro de 4 mm.

Calcular el tamano de la mancha de Airy en la retina y compararla con el tamano medio deun fotorreceptor (2 µm).Calcular la separacion angular mınima que pueden tener dos estrellas para que sean resueltaspor el ojo anterior.Si dos puntos luminosos estan separados 1 mm, calcular la maxima distancia a que se podranalejar del ojo para que sigan viendose separados.

3. Comparar el poder de resolucion teorico, en segundos de arco, del ojo anterior, el anteojo construidopor Galileo (25 mm de apertura) y el telescopio de Monte-Palomar (5000 mm de apertura).

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4. Estimar la anchura de una rendija que produce el diagrama de difraccion reproducido en la Figura19 con aumento lateral unidad y que ha sido obtenido a una distancia D = 1,80 m de la rendija.La luz procede de un laser de He-Ne emitiendo a una longitud de onda de λ = 633 nm.

Figura 19: Distribucion de irradiancia en la pantalla de observacion producida por una rendija iluminada.

5. Sobre un dispositivo de doble rendija de Young cuya anchura es despreciable incide una radiacionmonocromatica de 500 nm. La distancia entre las rendijas es de 0,9 mm. El diagrama interferencialse recoge en una pantalla traslucida (P ) situada a 0,5 m del plano de la doble rendija. Por detras dela pantalla una persona situada a 2 m de la pantalla observa la imagen del diagrama interferencial(ver Figura 20).

Figura 20: Esquema del dispositivo de doble rendija, pantalla traslucida y observador.

¿Vera el observador el sistema de franjas resuelto?

¿Que consecuencias tendrıa sobre la percepcion del diagrama interferencial si se reduce laseparacion entre rendijas a 0,65 mm? Justificar la respuesta.

¿Que consecuencias tendrıa sobre la percepcion del diagrama interferencial si se cambia lalongitud de onda de la fuente que ilumina la doble rendija?

6. La luz procedente de dos estrellas (λ = 550 nm) pasa a traves de una lente de focal f ′ = 100 mmy de diametro D desconocido. En el plano focal de la lente se fotografıa la imagen obtenıendose


sendas manchas de Airy que son tangentes tal y como se muestra en la Figura 21. El aumentolateral utilizado de la foto que se muestra en la imagen es de 350. Estimar el diametro de la lentey la separacion angular θE de las estrellas.

Figura 21: Fotografıa de la distribucion de irradiancia que se produce en el plano focal.

7. En la Figura 22 se muestra un monocromador de red. La red posee las caracterısticas siguientes:numero de trazos por milımetro 600 y tiene un total de 10000 trazos. La lente convergente L1

permite iluminar la red con la luz blanca procedente de la fuente S. La lente L0 cuya distancia focalimagen es de un metro tiene su eje optico normal a la red. Su foco se encuentra en el centro O dela rendija F0. Este punto sirve de origen en la direccion Y en el plano de F0.

Figura 22: Esquema grafico de la situacion experimental descrita.

¿Que valor debe tener el angulo de incidencia sobre la red para obtener en O el maximoprincipal de orden 2 para una longitud de onda de λ0 = 0,6 µm?En las condiciones anteriores ¿donde se encuentra el punto donde se forma el maximo de orden2 para otra longitud de onda λ ligeramente diferente de λ0?La rendija F0 de anchura l = 0,1 mm deja pasar las radiaciones de longitudes de onda com-prendidas entre λ0 − ∆λ/2 y λ0 + ∆λ/2. Calcular la anchura espectral ∆λ que pasa por larendija. Calcular el poder de resolucion de todo el instrumento en orden 2 y compararlo conel poder resolutivo de la red de difraccion.


8. Dos laminas plano-paralelas estan muy cerca una de otra dejando entre ambas una capa de airemuy delgada. Se iluminan las laminas con una radiacion policromatica en incidencia normal. Laluz reflejada en la segunda cara de la primera lamina y en la primera cara de la segunda laminaincide sobre una red de difraccion de 500 lıneas/mm. En el espectro de primer orden y a 11,5o dela normal a la red se observa la desaparicion de un color correspondiente a una longitud de ondadesconocida (ver Figura 23).

a) Calcular cual es la longitud de onda de la radiacion desaparecida.

b) Calcular el espesor mınimo de la capa de aire entre las laminas.

Figura 23: Esquema grafico de la situacion experimental descrita.

9. Una red de difraccion cuadrada de lado L = 10 mm y periodo d = 5 µm es iluminada en su centropor un haz colimado de diametro φ = 2 mm. Determinar su poder de resolucion en orden 2 para elhaz incidente y determinar si resuelve o no dos lıneas espectrales separadas un intervalo ∆λ = 0,5nm y centradas en λ = 600 nm.

10. Para resolver las dos emisiones amarillas del sodio, de longitudes de onda λ1 = 0,5890 µm yλ2 = 0,5896 µm se ilumina una red de difracccion con un haz colimado procedente de una lamparade sodio. El orden 2 difractado se recoge con una lente de focal f ′ = 50cm montada sobre el brazomovil de un goniometro. La longitud total iluminada de la red es de 2 cm.

¿Cual debe ser el numero mınimo de lıneas/mm de la red para resolver ambas radiaciones?

Calcular, en el plano de observacion, la distancia que separa las dos rayas.

Calcular el angulo que forma el brazo del goniometro con la direccion original del haz.

11. Un haz plano monocromatico incide perpendicularmente en una red de difraccion de 100 lıneas/mm(ver Figura 24). A la salida de la red se bloquea el orden cero de tal manera que sobre una lente defocal f ′ = 10 cm situada a 15 cm de la red solo inciden los ordenes +1 y −1. La longitud de ondade la radiacion empleada es λ = 0,5 µm.

Describir con detalle lo que se observarıa sobre una pantalla situada en el plano focal de lalente. ¿Serıa esta la imagen de la red?

Se desplaza ahora la pantalla hasta la situacion donde la lente formarıa la imagen de la red.Se forman franjas: calcular su espaciado. ¿Se corresponderıa con la imagen de la red? (tengaseen cuenta la relacion de aumentos para discutir esta cuestion).


Figura 24: Esquema del dispositivo considerado.

¿Serıan observables estas franjas por un ojo humano situado detras de la pantalla a 20 cm dedistancia?

Responder a las preguntas anteriores si se desbloquea el orden cero y se bloquea el orden +1.

12. Una red de difraccion se ilumina en incidencia normal con un haz de tamano d = 1 mm y longitudde onda desconocida. Se sabe que el primer orden de difraccion emerge formando un angulo de 10o

con la normal a la red. Se coloca una lente situada a 1 metro de distancia de la red. La focal de lalente es de 400 mm.

a- Determinar cual debe de ser el diametro mınimo Φm de la lente para que en el plano imagen seobtenga una imagen resuelta del objeto.

b- En el plano focal se coloca una pantalla que obstruye el orden −1. Calcular la interfranja quese obtiene en el plano imagen sabiendo que la longitud de onda de la radiacion es λ = 632,8nm.

c- Calcular el periodo de la red objeto.

Figura 25: Esquema de la situacion considerada.


13. Una red de difraccion de 100 lıneas/mm es iluminada por una haz colimado de radiacion monocromaticade longitud de onda λ = 0,6 µm. Tras la red se coloca una lente de diametro φ = 50 mm. La redtiene el mismo tamano que la apertura de la lente y el haz incide normalmente sobre la red (verfigura A1). La figura (A2) muestra la distribucion de radiacion sobre una pantalla situada en elplano focal imagen de la lente, en la que se observan solo 7 “puntos” de luz siendo el central el masintenso.

(A1) (A2)

s

L

Red

F’

(a) Determine la distancia L entre la red y la lente, teniendo en cuenta que si se disminuye Lligeramente se observa la aparicion de dos nuevos puntos de luz en la pantalla situada en elplano focal.En la figura 2 se muestran diferentes tipos de mascaras o filtros cuadrados que se pueden situarsobre el plano focal imagen de la lente, de modo que su centro coincida con el punto de luzmas brillante de la figura A2.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(b) Determine los filtros para los que se tendrıa una distribucion uniforme de luz en el planoimagen de la lente. Razone la respuesta.

(c) Determine los filtros con los que la imagen reproduce correctamente la periodicidad del objeto.Razone la respuesta.

(d)¿Con que filtro tendrıa la imagen mas definicion, es decir, reproducirıa el objeto con masdetalles? En este caso, ¿la imagen serıa la misma que sin poner dicho filtro espacial? Razonelas respuestas.

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

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