Cantidad de movimiento: Cantidad de movimiento: (P)(P)

La cantidad de movimiento de un objeto de La cantidad de movimiento de un objeto de masa m, que se desplaza con velocidad v, masa m, que se desplaza con velocidad v, se define como el producto de la masa por se define como el producto de la masa por

la velocidad.la velocidad.

P = m vP = m vEs una cantidad vectorial cuya dirección Es una cantidad vectorial cuya dirección

coincide con la de la velocidad. coincide con la de la velocidad. Sus unidades en el SI son Kg m/segSus unidades en el SI son Kg m/seg

Cuando Newton expresó la Cuando Newton expresó la segunda ley, la escribió no como segunda ley, la escribió no como

F = maF = masino como F = sino como F = ΔΔp/ p/ ΔΔt (1) t (1)

Esta ecuación establece que la Esta ecuación establece que la razón de cambio en el tiempo de razón de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento de un la cantidad de movimiento de un objeto es igual a la fuerza neta objeto es igual a la fuerza neta

que actúa sobre el objetoque actúa sobre el objeto..

Para ver que esta expresión es Para ver que esta expresión es equivalente a F = maequivalente a F = ma

Considérese una fuerza constante F, que actúa sobre una partícula y Considérese una fuerza constante F, que actúa sobre una partícula y produce una aceleración constante.produce una aceleración constante.

F = F = ΔΔp/ p/ ΔΔt = t = m vm v f f – m v– m v ii ΔΔtt

F = F = m(vm(v f f – v– v ii)) (2) (2) ΔΔttLa velocidad de un objeto que se desplaza con aceleración constante La velocidad de un objeto que se desplaza con aceleración constante

varía con el tiempo: vvaría con el tiempo: v f = f = vv i i + a t haciendo + a t haciendo ΔΔt = t t = t y sustituyendo vy sustituyendo v f f en (2)(2)F = F = m(vm(v f f – v– v ii)) = = m (vm (v i i + a t + a t – v– v ii)) t tt tLa ecuación (2) se reduce a La ecuación (2) se reduce a F = maF = ma

Relación Impulso (I)- Cantidad de Relación Impulso (I)- Cantidad de movimiento (p)movimiento (p)

La ecuación La ecuación (1), (1), F = F = ΔΔp/ p/ ΔΔt,t, se puede escribir:se puede escribir: F F ΔΔt = m vt = m v f f – m v– m v ii

A este resultado se lo llama teorema del impulso y la A este resultado se lo llama teorema del impulso y la cantidad de movimiento.cantidad de movimiento.

Al término F Al término F ΔΔt, se lo conoce como el impulso de la t, se lo conoce como el impulso de la fuerza F en el intervalo de tiempo fuerza F en el intervalo de tiempo ΔΔt. t.

El impulso de la fuerza que actúa sobre un objeto es El impulso de la fuerza que actúa sobre un objeto es igual al cambio de la cantidad de movimiento de igual al cambio de la cantidad de movimiento de ese objeto.ese objeto.

EjemploEjemplo

F F ΔΔt = m vt = m v f f – m v– m v ii

EjemploEjemploUn hombre empuja una cómoda provista de ruedas. Un hombre empuja una cómoda provista de ruedas.

Supondremos que las fuerzas de rozamiento sobre la Supondremos que las fuerzas de rozamiento sobre la cómoda son despreciables. Mediante la 2da. ley de cómoda son despreciables. Mediante la 2da. ley de Newton podemos hallar una relación entre las fuerzas Newton podemos hallar una relación entre las fuerzas que actúan sobre la cómoda, el cambio de la que actúan sobre la cómoda, el cambio de la velocidad y el tiempo que actúan las fuerzas.velocidad y el tiempo que actúan las fuerzas.

F = m a y a = F = m a y a = vv f f –– vv ii ΔΔttF = F = m vm v f f – v– v ii

ΔΔt o bient o bienF F ΔΔt = m vt = m v f f – m v– m v ii

La ecuación significa que el impulso es igual a la La ecuación significa que el impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento.variación de la cantidad de movimiento.

Conservación de la cantidad de Conservación de la cantidad de movimientomovimiento

El concepto de cantidad de movimiento es útil El concepto de cantidad de movimiento es útil cuando dos o más objetos interactúan entre sí. cuando dos o más objetos interactúan entre sí. Por ejemplo, cuando dos objetos chocan o Por ejemplo, cuando dos objetos chocan o colisionan. Un choque es una interacción de colisionan. Un choque es una interacción de corta duración entre dos o más cuerpos que corta duración entre dos o más cuerpos que están muy próximos entre sí.están muy próximos entre sí.

Si consideramos un sistema aislado antes y Si consideramos un sistema aislado antes y después del choque, con aislado queremos después del choque, con aislado queremos decir que no actúan fuerzas externas como ladecir que no actúan fuerzas externas como la

fuerza gravitatoria o de rozamiento.fuerza gravitatoria o de rozamiento.Durante el choque los objetos ejercen entre sí Durante el choque los objetos ejercen entre sí

fuerzas iguales y opuestas: Ffuerzas iguales y opuestas: F1212 +F +F2121 = 0 = 0

Conservación de la cantidad de Conservación de la cantidad de movimientomovimiento

Si la duración del choque es Si la duración del choque es ΔΔt, la variación de p t, la variación de p de cada objeto puede calcularse a partir de las de cada objeto puede calcularse a partir de las

fuerzas medias: fuerzas medias: FF12;12; F F2121 Para mPara m11: F: F12 12 ΔΔt = pt = p1f 1f - p- p1i1i

Para mPara m22: : FF21 21 ΔΔt = pt = p2f 2f - p- p2i 2i

Sumando las dos ecuaciones obtenemos:Sumando las dos ecuaciones obtenemos: pp1f1f- p- p1i 1i + p+ p2f2f- p- p2i 2i = 0= 0O bien pO bien p1i 1i ++ pp2i 2i = p= p1f 1f ++ pp2f 2f

Recordar que las fuerzas son un par acción reacción: Recordar que las fuerzas son un par acción reacción: FF1212 +F +F2121 = 0 = 0

La ecuación significa que p total de ambos objetos antes y La ecuación significa que p total de ambos objetos antes y después del choque es el mismo, es decir, se conserva.después del choque es el mismo, es decir, se conserva.

Aplicaciones de la conservación de Aplicaciones de la conservación de la cantidad de movimientola cantidad de movimiento

Propulsión de los calamares en el agua para Propulsión de los calamares en el agua para acelerar el calamar llena ciertas áreas de las acelerar el calamar llena ciertas áreas de las paredes de su cuerpo con agua y después lanza paredes de su cuerpo con agua y después lanza hacia atrás esa agua en forma de chorro. En hacia atrás esa agua en forma de chorro. En virtud de que el calamar aumenta la P del agua virtud de que el calamar aumenta la P del agua al ejercer una fuerza sobre ella hacia atrás, P al ejercer una fuerza sobre ella hacia atrás, P del calamar aumenta en la dirección de avance. del calamar aumenta en la dirección de avance. Con esto se conserva p del sistema calamar Con esto se conserva p del sistema calamar agua.agua.

El mismo principio se aplica en los motores de El mismo principio se aplica en los motores de cohetes de los vehículos espaciales y en los cohetes de los vehículos espaciales y en los motores a reacción de los aviones.motores a reacción de los aviones.

Aplicaciones de la conservación de Aplicaciones de la conservación de la cantidad de movimientola cantidad de movimiento

ChoquesChoques Perfectamente inelásticoPerfectamente inelástico: : los dos objetos los dos objetos

permanecen unidos después de la colisión, de tal permanecen unidos después de la colisión, de tal manera que sus velocidades finales son iguales y p manera que sus velocidades finales son iguales y p del sistema se conservadel sistema se conserva..

ChoquesChoquesElástico:Elástico: se conserva p y la energía cinética. se conserva p y la energía cinética. Las colisiones entre bolas de billar son Las colisiones entre bolas de billar son

aproximadamente elásticas porque se produce cierta aproximadamente elásticas porque se produce cierta deformación y pérdida de energía cinética. Las deformación y pérdida de energía cinética. Las colisiones entre partículas atómicas son perfectamente colisiones entre partículas atómicas son perfectamente elásticas.elásticas.

Choques elásticos idealChoques elásticos ideal Los cuerpos rebotan al chocar y se desacoplan, p y la Los cuerpos rebotan al chocar y se desacoplan, p y la

energía cinética del sistema se conserva. Es decir que la energía cinética del sistema se conserva. Es decir que la velocidad de una partícula respecto de la otra sólo velocidad de una partícula respecto de la otra sólo invierte el sentido como consecuencia del choque. invierte el sentido como consecuencia del choque.

Las ecuaciones son: Las ecuaciones son: mm11 v v1i1i + m + m22 v v2i2i = m = m1 1 vv1f 1f + m+ m22vv2f2f

1/2 m1/2 m11(v(v1i1i))22+1/2 m+1/2 m22 (v (v2i2i ) )22=1/2 m=1/2 m11(v(v1f1f))22+1/2 m+1/2 m22(v(v2f2f))22

Choque elástico idealChoque elástico ideal

Cancelando el factor ½ y trasladando los factores Cancelando el factor ½ y trasladando los factores que tienen mque tienen m11 a un lado y m a un lado y m22 al otro. Luego al otro. Luego factorizando ambos lados: factorizando ambos lados:

mm11 (v (v1i1i - v - v1f1f ) (v ) (v1i1i + v + v1f1f )= m )= m2 2 (v(v2f 2f - v- v2i2i) (v) (v2f 2f + v+ v2i2i) ) Separando los términos que contienen mSeparando los términos que contienen m 1 1 y my m2 2 en en

la ecuación de p: la ecuación de p: mm11 (v (v1i1i - v - v1f1f )= m )= m2 2 (v(v2f 2f - v- v2i2i) dividiendo ambas ) dividiendo ambas

ecuacionesecuacionesvv1i1i + v + v1f = 1f = vv2f 2f + v+ v2i2i

VV1i 1i -- vv2i =2i = - - (v(v1f 1f -- vv2f2f ) ) expresión final para choques frontales expresión final para choques frontales

ChoquesChoques

InelásticosInelásticos: se conserva p pero no la energía : se conserva p pero no la energía cinética. cinética.

El choque de una pelota de caucho con una El choque de una pelota de caucho con una superficie dura es inelástico, porque parte de la superficie dura es inelástico, porque parte de la energía cinética se pierde cuando la pelota se energía cinética se pierde cuando la pelota se deforma en contacto con la superficie. Otro deforma en contacto con la superficie. Otro ejemplo es la prueba de glaucoma, ejemplo es la prueba de glaucoma, padecimiento en el cual la presión se acumula padecimiento en el cual la presión se acumula en el interior del ojo. en el interior del ojo.

Choques: ecuacionesChoques: ecuaciones

Choques perfectamente inelásticoChoques perfectamente inelástico mm11 v v11 + m + m22 v v22 = (m = (m11+ m+ m22) V) V ff

Choques elásticos ideal: Choques elásticos ideal: VV1i 1i -- vv2i =2i = - - (v(v1f 1f -- vv2f2f ) ) expresión final para choques frontales expresión final para choques frontales

Choque elástico en dos Choque elástico en dos dimensionesdimensiones

Cualquiera que haya jugado billar, por ejemplo, Cualquiera que haya jugado billar, por ejemplo, sabe que los choques frontales son la excepción sabe que los choques frontales son la excepción más que la regla. Un tipo más común de colisión más que la regla. Un tipo más común de colisión es el choque oblicuo, en el cual las masas que es el choque oblicuo, en el cual las masas que chocan rebotan con cierto ángulo respecto a la chocan rebotan con cierto ángulo respecto a la línea de movimiento de la masa incidente, por lo línea de movimiento de la masa incidente, por lo que se deben descomponer los vectores de las que se deben descomponer los vectores de las velocidades en ejes cartesianos y plantear para velocidades en ejes cartesianos y plantear para cada eje las ecuaciones que relacionan las cada eje las ecuaciones que relacionan las velocidades antes y después del choque.velocidades antes y después del choque.

Choque elástico en dos Choque elástico en dos dimensionesdimensiones

Choque en dos dimensionesChoque en dos dimensiones

Ejemplo:Ejemplo: Ecuaciones en el eje x:Ecuaciones en el eje x:P P antesantes = m = m11 v v antesantes + m + m22 0 = m 0 = m11 v v antesantes

P P despuésdespués = m = m11 v v11 cos 45º + m cos 45º + m22 v v22 cos45º cos45ºmm11 v v antes = antes = mm11 v v11 cos 45º + m cos 45º + m22 v v22 cos45º cos45º Ecuaciones en el eje y:Ecuaciones en el eje y:P P antes = antes = 00P P después = después = -- mm11 v v11 sen 45º + m sen 45º + m22 v v22 sen45º sen45º0 = -0 = - mm11 v v11 sen 45º + m sen 45º + m22 v v22 sen45º sen45º