IMPULSO MECÁNICO. CANTIDAD DE MOVIMIENTO. LOS ......La cantidad de movimiento en los instantes t=2...

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IMPULSO MECÁNICO. CANTIDAD DE MOVIMIENTO. LOS CHOQUES.

Formulario. I: Impulso mecánico. I = F! ·t; (N·s)

P: Cantidad de movimiento. P!! = m·v! I = F·t = Δm·v

Ejercicios resueltos.

1. Hallar la cantidad de movimiento que tiene una masa de 3 Kg. 2 s. después de dejarse caer desde 200 m. de altura.

$y = y% − 12 · a · t'v = −9,8 · t → t = −9,8 · 2 = −19,6 ms . → p = m · v = 3 · 19,6 = 58,8 Kg. ms

2. Un pez de 2 Kg. persigue a otro de 250 g. hasta alcanzarlo y comérselo. Si el pez grande nada a 5 m/s. y el pequeño a 2 m /s. ¿qué velocidad llevarán después de que el grande se coma al pequeño? Repetir el problema suponiendo que el pez pequeño nada hacia el pez grande

v) · m) + v' · m' = (m) + m') · v → 5 · 2 + 2 · 0,25 = 2,25 · v → v = 4,67 ms . v) · m) + v' · m' = (m) + m') · v → 5 · 2 − 2 · 0,25 = 2,25 · v → v = 4,22 ms .

3. Un tenista golpea una pelota de 50 g. que viene hacia él a 60 m/s y la devuelve a la misma velocidad. Si la pelota está en contacto con la raqueta 0,2 s. ¿con qué fuerza golpea la pelota?

ANTONIO ANGULO PARRA

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2 F · t = ∆m · v; F · t = m · (v: − v%); F = m · (v: − v%)t = 0,05 · (−60 − 60)0,2 = −30 N.

4. Un proyectil viaja horizontalmente a 30 m/s. Explota y uno de los fragmentos cae verticalmente hacia abajo a 20 m/s. Calcular la velocidad del otro fragmento sabiendo que ambos fragmentos son iguales.

m · v! = m) · v)!!! + m' · v'!!! → m · 30 · ı = m2 · (−20) · ȷ + m2 · v! →

30 · ı = 12 · (−20) · ȷ + 12 · v! → v! = 60 · ı + 20 · ȷ ms . ; ?v = @60' + 20' = 63,25 ms .tgα = 2060 ; α = 18,43°

5. Un proyectil viaja hacia arriba a 25 m/s. Explota y uno de los fragmentos sale a 20 m/s. formando un ángulo de 30° con la horizontal. Calcular la velocidad del otro fragmento sabiendo que tiene doble masa que el primero.

m · v! = m) · v)!!! + m' · v'!!! → m · 25 · ȷ = m3 · (20 · cos30 · ı + 20 · sen30 · ȷ) + 2m3 · v!

25 · ȷ = 13 · (20 · cos30 · ı + 20 · sen30 · ȷ) + 23 · v! 75 · ȷ = (20 · cos30 · ı + 20 · sen30 · ȷ) + v! → v! = 10 · √3 · ı + 65 · ȷ ms . v = CD10√3E' + 65' = 67,27 ms . tgα = 6510√3 → α = 75,1°

6. Un fusil de 2 Kg. dispara una bala de 20 g. a 240 m/s. Calcular la velocidad de retroceso del fusil.

m) · G) + m' · G' = m) · G)H + m' · G'H → 0 = 2 · G)H + 0,02 · 240 → G)H = −2,4 ms .

7. Un pez de 400 g. de masa que nada a 1’5 m/s, persigue a otro de 180g. que nada a 1 m/s. Calcular la velocidad de ambos después de que el grande se coma al pequeño. Repite el problema suponiendo que el pequeño se mueve en la dirección del grande.

a. Se conserva la cantidad de movimiento. p%!!!! = 0'4.1'5.ı+0'18.1.ı=0'78ı p! = (0H4 + 0H18). v! = 0H58.v! , igualando: 0H78. ı = 0H58. v! → v! = 1H34. ı ! m/s

b. p%!!!! = 0'4.1'5.ı – 0'18.1.ı=0'42ı p! = (0H4 + 0H18). v! = 0H58.v! , igualando:





3 0H42. ı = 0H58. v! → v! = 0′72. ı ! m/s

8. Un cohete de 3 Kg. de masa, que asciende verticalmente con una velocidad de 100 m/s., explota, fragmentándose en dos trozos. Si el primero, de dos Kg., sale horizontalmente a la derecha con velocidad de 150 m/s. Calcula la velocidad del otro fragmento.

En la explosión se conserva la cantidad de movimiento. p%!!!! = 3.100. ȷ p! = 2.150. ı + 1. (v. cosα. ı + v. senα. ȷ) Igualando → 3.100. ȷ = 2.150. ı + 1. (v. cosα. ı + v. senα. ȷ) M0 = 300 + v. cosα300 = v. senα

Resolviendo: v = 424’26 m/s formando un ángulo de 45º con la vertical.

9. Calcular la velocidad de retroceso de un fusil de 4 Kg. de masa si dispara una bala de 25 g. a 280 m/s. p%!!!! = 0 p! = 0′025.280ı + 4. v! Igualando y resolviendo tenemos v! = −1H75. ı

10. Golpeamos una pelota de 80 g. que viene hacia nosotros a 60 m/s. Ésta sale despedida en sentido contrario con la misma celeridad. Si la bola está en contacto con la raqueta 0’02 s. calcular la fuerza con que golpeamos la pelota.

Impulso mecánico = conservación de la cantidad de movimiento F. t = ∆m. v → F. 0H02 = 0H08. D60 − (−60)E = 480 N.

11. Una canica de 10 g. de masa rueda a 10 m/s hacia una bola de billar de 250 g de masa, inicialmente en reposo. Tras el choque la canica rebota con una velocidad de 5 m/s. Determina la velocidad que adquiere la bola de billar. m) · v) + m' · v' = m) · v)H + m' · v'H → 0,01 · 10 + 0 = 0,01 · (−5) + 0,25 · G'H → G'H = 0,6 ms .

12. Un cañón, de masa 100 kg, dispara proyectiles de 500 g con una velocidad de salida de 200 m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el cañón? m) · v) + m' · v' = m) · v)H + m' · v'H → 0 + 0 = 100 · G)H + 0,5 · 200 → G)H = −1 OQ .

13. Un proyectil de 20 kg sale disparado con una velocidad de 200 m/s. a) ¿Qué fuerza actuó sobre la base del proyectil en el interior del cañón, si tardó 0,01 s en salir del arma? b) El momento lineal del proyectil al salir del arma. c) La velocidad de retroceso del cañón si su masa es de 2 Tm.





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a. F·t = Δm·v; F·0,01 = 20·(200-0); F = 4·105 N.

b. p = m·v = 20·200 = 4000 Kg·m/s

c. m) · v) + m' · v' = m) · v)H + m' · v'H →

0 = 2000·v)H + 20·200; v)H = – 2 m/s

14. Un objeto cuya masa es 2 kg se mueve de acuerdo con la ecuación: R!! = ST · U + TV · W + V · X!! Determina: a. La cantidad de movimiento en los instantes t=2 y t=4s. b. La fuerza media que actuó sobre el objeto. c. La fuerza en cualquier instante.

a. p! = m · v! = 2 · (3 ı + 2t ȷ! ) = 6 ı + 4t ȷ b y c. F! = m · a! = 2 · 2 ȷ = 4 ȷ m/s'

15. Una masa de 1 Kg que se mueve a 20 m/s, choca con otra de 1 Kg. que viaja hacia la primera a 15 m/s. Si el choque es elástico, calcula las velocidades de ambas masas después del choque.

m) · v) + m' · v' = m) · v)H + m' · v'H 12 · m) · v)' + 12 · m' · v'' = 12 · m) · v)H ' + 12 · m' · v'H 'Y ?v)H = 15 ms .v'H = 20 ms .





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DINÁMICA. TRASLACIÓN.

Tabla de esquemas de dinámica.

∑Fy = 0 → !N– P = 0 → N– m. g = 0 → N = m. gFr = µ. N → Fr = µ. m. g

∑Fx = m.a → – Fr = ma.→ – µ.m.g = m.a → a = -µ.g

∑Fy = 0 → !N– P = 0 → N– m. g = 0 → N = m. gFr = µ. N → Fr = µ. m. g

∑Fx = m.a → F – Fr = m.a.→ F – µ.m.g = m.a

∑Fy = 0 → !N + Fy– P = 0 → N + Fy– m. g = 0 → N = m. g– FyFr = µ(m. g – F. senα)

∑Fx = m.a → Fx – Fr = m.a.→ F.cosα – µ(m.g – F.senα) = m.a

∑Fy = 0 → !N − Fy– P = 0 → N − Fy– m. g = 0 → N = m. g + FyFr = µ. N → Fr = µ(m. g + F. senα)

∑Fx = m.a → Fx – Fr = m.a.→ F.cosα – µ(m.g + F.senα) = m.a

Fy F

N

P

Fr Fx

F

N

P

Fr Fx

Fy

a

F

N

P

Fr

N

P

Fr





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!∑Fy = 0 → N– Py = 0 → N – m. g. cosα = 0 → N = m. g. cosα Fr = µ. N → Fr = µ. m. g. cosα

∑Fx=m.a;Fx–Fr=m.a.→! Si baja: &. '. *,-/– µ. &. '. 12*/ − 3 = &. 4 Si sube: 3 − &. '. *,-/– µ. &. '. 12*/ = &. 4

!∑Fy = 0; N– Py– Fy = 0; N − m. g. cosα– F. senα = 0; N = m. g. cosα + F. senαFr = µ. N → Fr = µ. (m. g. cosα + F. senα)

∑Fx = m.a → Fx – Fr = m.a.→ ! Si baja: &. '. *,-/ – µ. (&. '. 12*/ + 3. *,-/) − 3. 12*/ = &. 4 Si sube: 3. 12*/ − &. '. *,-/ – µ. (&. '. 12*/ + 3. *,-/) = &. 4

Sube con a ≠ 0: N – M.g = M.a → N = M.a + M.g

Sube con a = 0: N = M.g

Baja con a ≠ 0: M.g – N = M.a → N = M.g – M.a

Baja con a = 0: N = M.g

5 36472849<,* − 5 312->848?4* = &. 4

Ejercicios resueltos.

1. Por un tramo recto y horizontal de una autovía circula un camión cuya tara es de 6 t, siendo su carga de 25 t. Cuando el velocímetro señala 72 km/h, el camión acelera y, en un minuto, alcanza una velocidad de 90 km/h. Despreciando la acción de las fuerzas de rozamiento, ¿qué fuerza ha hecho el motor en esa variación de velocidad? Expresa el resultado en unidades S.I.

DATOS FÓRMULAS OPERACIONES

m = 31 T = 31000 Kg. v0 = 72 Km/h = 20 m/s. v = 90 Km/h. = 25 m/s.

t = 1 min. = 60 s. F ¿?

v = v0 + a.t F = m.a

25 = 20 + a.60 → a = 0’0833 m/s2 F = 31000.0’0833 = 2583 N

2. a. Un hombre que pesa 80 Kg cuelga de una cuerda atada a un helicóptero que asciende verticalmente con una aceleración de 5 m/s2. ¿Qué tensión soporta la cuerda?

@

M.g

N

Si sube con

aceleración@

Si baja con

aceleración @

Fy = F.senα

Fx =

F

Px = m.g.senα

Py = m.g.cosα

N

P = m.g

F

Px = m.g.senα

Py = m.g.cosα

N

P = m.g





3 b) Estamos pesando una jaula cuyo peso verdadero es de 1 kg y en cuyo interior hay un pajarito que pesa 100 g si en el momento de la pesada el pajarito está volando. ¿ Qué peso nos indicará la balanza?

DATOS FÓRMULAS OPERACIONES m = 80 Kg. a = 5 m/s2

T ¿? T – P = m.a T – 80.9’8 = 80.5 → T = 1184 N.

b) Solo el de la jaula.

3. Lanzamos un cuerpo de 2 kg de masa sobre una superficie horizontal con una velocidad inicial de 10 m/s. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es 0,2. Determina el tiempo que tardará en detenerse y la distancia que recorre.

DATOS FÓRMULAS OPERACIONES m = 2 Kg.

v0 = 10 m/s. v = 0 m/s (se detiene)

μ = 0’2 t y s ¿?

a = – μ.m.g (del esquema) v = v0 + a.t

s = v0t + ½ at2

a = – 1’96 m/s2 0 = 10 – 1’96.t → t = 5’1 s.

s = 10.5’1 – ½ 1’96.5’12 = 25’51 m.

4. Un cuerpo de 5 kg comienza a deslizar sobre un plano horizontal al aplicarle una fuerza de 500 N, paralela al plano. El coeficiente de rozamiento del cuerpo con el plano es 0,4. Calcula la velocidad del cuerpo después de recorrer 10 m. y el tiempo que tarda este en recorrer 6 m.

DATOS FÓRMULAS OPERACIONES m = 5 Kg.

v0 = 0 m/s. F = 500 N. x = 10 m.

t = 4 s. μ = 0,4

F - µ.m.g = m.a (del esquema.) v2 = v02 + 2·a·s x = v0t + ½ at2

500 – 0,4·5·10 = 5·a → a = 96 m/s2

v2 = 2·96·10 = 1920 → v = 43,82 m/s. 6 = ½·96·t2 → t = 0,35 s.

5. Un móvil de 1000kg de masa viaja a 36km/h y acelera hasta alcanzar la velocidad de 108km/h en un tiempo de 20s. Si las fuerzas de rozamiento equivalen a la sexta parte del peso. Calcular: a) Fuerza ejercida por el motor del coche. b) Si una vez alcanzados los 108km/h paramos el motor ¿Qué distancia recorrerá el móvil hasta detenerse?





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⎩⎪⎨⎪⎧m = 1000 Kg. vH = 36 LMO . = 10 MQ . v = 108 LM.O. = 30 MQ .t = 20 s.

a) v = v0 + a.t → a = 1 m/s2. F – Fr = m.a → F - 1

6 m.g = m.a de donde F = 2633’3 N

b) Según la fórmula: – Fr = m.a → - 1

6 m.g = m.a → a = 1’63 m/s2.

Si v2 = v02 + 2.a.s → s = 276 m.

6. Tiramos de un cuerpo de 40 Kg., apoyado en una superficie horizontal, con una cuerda que forma 30º con la horizontal. Calcula: a) Valor de la fuerza de rozamiento si la tensión de la cuerda es de 100N y el cuerpo permanece en reposo. b) El coeficiente estático de rozamiento si la tensión de la cuerda en el instante en que empieza a moverse es de 148N.

F.cosα – Fr = m.a → 100.cos 30º - Fr = 0 → Fr = 86’6 N. F.cosα - µ(m.g – F.senα) = m.a → 148.cos30º - µ(40.9’8 – 148.sen 30º) = 0 µ = 0’4.

7. A un cuerpo de 20 kg que inicialmente está en reposo sobre una superficie horizontal con un coeficiente de rozamiento de 0,2, le aplicamos una fuerza de 100 N formando un ángulo de 37° por debajo de la horizontal. Calcula la distancia que puede recorrer en 10 s.

F.cosα - µ(m.g + F.senα) = m.a → 100.cos 37º - 0’2.(20.9’8 + 100.sen 37º) = 20.a

despejando, a = 1’43 m/s2. s = 12 . a. tU = 71’57 m.

8. Sobre una masa de 5 Kg. efectuamos una fuerza de 70 N. Dicha masa empuja a otra masa de 4 Kg. Si el coeficiente de rozamiento es 0,13, calcular: a. Aceleración del sistema b. Fuerza que el primer cuerpo ejerce sobre el 2º.





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Sabiendo que FA→B = FB→A y aplicando, a cada cuerpo, la fórmula F – Fr = m.a Cuerpo B: FA→B – µ.mB.g = mB.a → FA→B – 0’13.4.9’8 = 4.a Cuerpo A: F – µ.mA.g – FB→A = mA.a → 70 – 0’13.5.9’8 – FB→A = 5.a Resolviendo el sistema: a = 2’33 m/s2. FA→B = 17’04 N. a = 6,5 m/s2 y FA→B = 31,11 N.

Plano inclinado.

9. Desde la base de un plano inclinado de 30º con la horizontal lanzamos un objeto de 10kg. de masa y velocidad inicial de 10m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el objeto y el plano toma el valor de 0,2. Calcular: a. Aceleración de frenado mientras asciende. b. El tiempo que está ascendiendo el objeto. c. Altura a la que asciende el cuerpo.

d. Velocidad al volver al suelo.

a. − m. g. senα – µ. m. g. cosα = m. a → − g. senα – µ. g. cosα = a → − 9’8.sen 30º − 0’2.9’8.cos 30º = a, a = − 6’6 m/s2 b) v = v0 + a.t → t = 1’52 s. c) S = v0.t + 0’5.a.t2 = 10.1’52 – 0’5.6’6.1’522= 7’58 m. senα = hs → h = s. senα = 7X58. sen30° = 3X79m.

d) m. g. senα – µ. m. g. cosα = m. a → g. senα – µ. g. cosα = a → a = 3X2m/sU v2= v02+ 2as = 0 + 2.3’2.7’58 = 48’51 →v = 6’97 m/s.

10. Queremos subir un cuerpo de 25 Kg por un plano inclinado de 30 º con la horizontal a la velocidad constante de 6 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo toma el valor 0’2. Determinar:

a) Valor de la fuerza paralela al plano necesaria para poder ascender hasta una altura de 5 m.

F

FB→A FA→B

B

A

Fr

N

N

mA.g mB.g





6 b) El tiempo necesario para ascender los 5 m de altura.

Tomando la fórmula del esquema. m. g. senα – µ. (m. g. cosα + F. senα) − F. cosα = m. a 25.9,8. sen30° – 0,2. (25.9,8. cos30° + F. sen30°) − F. cos30° = 0, F = 82,88 N. Sen α = hs → sen 30° = 5s → s = 5sen 30° = 10 m. → s = v · t → t = sv = 106 s.

11. Queremos subir un cuerpo de 1000 kg. por un plano inclinado de 30° con la horizontal a la velocidad constante de 10 m/s. El coeficiente dinámico de rozamiento toma el valor 0,2 la fuerza aplicada es horizontal. Calcular el valor de dicha fuerza.

Si v es cte. la a es 0. F. cosα − m. g. senα – µ. (m. g. cosα + F. senα) = m. a F.cos 30º - 1000.9’8.sen 30º - 0’2.(1000.9’8.cos30º + F.sen 30º) = 0 → F = 8612’5 N.

12. Un cuerpo de 100 kg. de masa desliza por un plano inclinado de 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el cuerpo vale 0,2. Calcular: a.- Distancia recorrida por el cuerpo después de 10 s. de iniciado el movimiento. b.- La fuerza horizontal para poder bajar con velocidad constante.

Tomando la fórmula del esquema. Si baja: m. g. senα – µ. m. g. cosα = m. a 9,8. sen30° – 0,2.9,8. cos30° = a = 3,2 m\U. s = vH · t + 12 · a · tU = 12 · 3,2 · 10U = 160 m. Tomando la fórmula del esquema. F. cosα − m. g. senα – µ. (m. g. cosα + F. senα) = m. a F. cos30 − 100.9,8. sen30 – 0,2. (100.9,8. cos30 + F. sen30) = 0

F = 861,25 N.





7 Cuerpos enlazados.

ESQUEMA DE FUERZAS ECUACIÓN

]– 38 = & · 4 ] − ^ · _ · ' = & · 4

Si sube: T – M·g = M·a

Si baja: M·g – T = M·a

Sube. T – M·g·sen α – Fr = M·a

T – M·g·sen α - µ·M·g·cos α = M·a

N

T

M·g·sen α

M·g

M·g·cos α

Fr

T

M·g

T

N

M·g

Fr





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Baja. T + M·g·sen α – Fr = M·a

T + M·g·sen α - µ·M·g·cos α = M·a

13. Dos masas de 5 y 4 Kg. respectivamente, se encuentran sobre un plano horizontal y enlazadas mediante una cuerda inextensible y sin masa. Aplicamos una fuerza de 70 N sobre la masa de 4 Kg. y ésta tira de la otra masa. Si µ = 0,13, calcular: a. Aceleración del sistema. b. Tensión de la cuerda.

!Cuerpo 1: T − μ · Ml · g = Ml · a Cuerpo 2: F − T − μ · MU · g = MU · a → F − μ · g · (Ml + MU) = (Ml + MU) · a

70 − 0,13 · 9,8 · (5 + 4) = (5 + 4) · a → a = 6,5 m/\U T − μ · Ml · g = Ml · a → T − 0,13 · 5 · 9,8 = 5 · 6,5 → T = 38,87 N.

14. Por una polea pasa una cuerda inextensible y sin masa de la que cuelgan dos masas, una en cada extremo, de 4 y 6 Kg. respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que las masas se desnivelen dos metros.

!Cuerpo 1: Ml · g − T = Ml · aCuerpo 2: T − MU · g = MU · a → g · (Ml − MU) = (Ml + MU) · a

9,8 · (6 − 4) = (6 + 4) · a → a = 1,96 m/\U

ws = 1 m. Si el desnivel es 2 m. cada cuerpo recorre 1 m.vH = 0 a = 1,96 msU → s = vH · t + 12 · a · tU 1 = 12 · 1,96 · tU → t = 1,01 s.

15. Dos masas de 6 y 2 Kg. respectivamente, están enlazadas mediante una cuerda inextensible y sin masa. La masa de 6 Kg. se encuentra sobre un plano horizontal con coeficiente de rozamiento 0,12 y la

N

T

M·g·sen α

M·g

M·g·cos α

Fr





9 masa de 2 Kg. cuelga libremente del otro extremo de la cuerda a 8 metros de altura. Calcula el tiempo que tardará la masa de dos kilos en llegar al suelo, si dejamos el sistema en libertad.

!Cuerpo 1: T − μ · Ml · g = Ml · aCuerpo 2: MU · g − T = MU · a → g · (MU − μ · Ml) = (Ml + MU) · a 9,8 · (2 − 0,12 · 6) = (6 + 2) · a → 1,568 m/sU s = vH · t + 12 · a · tU → 8 = 12 · 1,568 · tU → t = 3,19 s.

16. Dos masas de 9 y 5 Kg. respectivamente están enlazadas mediante una cuerda inextensible y sin masa. La masa de 9 Kg. se encuentra sobre un plano inclinado 30° la cuerda pasa por una polea situada en la parte alta del plano de forma que la otra masa cuelga libremente del otro extremo. Calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,14.

Sentido del movimiento. M1 ·senα comparado con M2: 9·sen 30 = 4,5 < 5 La masa que cuelga descenderá. Mirando los esquemas tendremos: !Cuerpo 1: Ml · g − T = Ml · a Cuerpo 2: T– MU · g · sen α − µ · MU · g · cos α = MU · a Ml · g– MU · g · sen α − µ · MU · g · cos α = (Ml+MU) · @

5·9,8 – 9·9,8·sen30 – 0,14·9·9,8·cos30 = (5 + 9)·a → a = - 0,41 m/s2 → El móvil no se mueve y su aceleración es cero. Ml · g − T = Ml · a → T = Ml · g = 5 · 9.8 = 49 N

17. Dos masas de 9 y 5 Kg. respectivamente están enlazadas mediante una cuerda inextensible y sin masa. La masa de 9 Kg. se encuentra sobre un plano inclinado 30° la cuerda pasa por una polea situada en la parte baja del plano de forma que la otra masa cuelga libremente del otro extremo. Calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,14.

Mirando los esquemas tendremos: !Cuerpo 1: Ml · g − T = Ml · a Cuerpo 2: T + MU · g · sen α − µ · MU · g · cos α = MU · a Ml · g + MU · g · sen α − µ · MU · g · cos α = (Ml+MU) · a

5·9,8 + 9·9,8·sen30 – 0,14·9·9,8·cos30 = (5 + 9)·a → a = 5,89 m/s2 Ml · g − T = Ml · a → T = Ml · g − Ml · a = 5 · 9.8 − 5 · 5,89 = 41 ,55N

18. Calcular la tensión que soporta el cable de un ascensor de 300 Kg. de masa en los siguientes supuestos: a. El ascensor asciende con una aceleración de 1 m/s2 b. El ascensor asciende a velocidad de 5 m/s. c. El ascensor desciende con una aceleración de 1 m/s2 d. El ascensor desciende con una velocidad de 4 m/s.





10 a. T – m·g = m·a; T = m·g + m·a = 3240 N. b. T – m·g = 0; T = m·g = 2940 N. c. m·g – T = m·a; T = m·g –m·a = 2640 N. d. m·g – T = 0; T = m·g = 2940 N.

19.- En la caja de un camión de 3 toneladas de masa está depositado un bulto de 100kg. El coeficiente de rozamiento entre el paquete y el camión es 0,1. Calcula la aceleración que adquirirá el paquete cuando el camión se mueva con una aceleración de 2m/s2. ¿Qué le ocurrirá al paquete?

Mpaq..acam.- Fr = Mpaq.apaq. → Mpaq..acam.- µ.Mpaq.g = Mpaq.apaq.→ acam.- µ.g = apaq

apaq = 2 – 0’1.9’8 = 1’02 m/s2. El paquete desliza.





1

DINÁMICA DE ROTACIÓN.

Peralte.

∑Fy = 0 → N – Py – FICy = 0 → N – m.g.cosα – FIC.senα = 0 →

N = m.g.cosα + FIC.senα → Fr = µ.N → Fr = µ.(m.g.cosα + FIC.senα)

∑Fx = m.a → FICX – Px – Fr = 0 →

m v R . cosα − m. g. senα − μ #m. g. cosα + m. v R . senα$ = 0

v R . cosα − g. senα − μ #g. cosα + v R senα$ = 0

Si no hay peralte (α = 0)ni rozamiento ( µ = 0) → v R = 0

Si no hay peralte (α = 0)y hay rozamiento ( µ ≠ 0) → v R − μ. g = 0

Si hay peralte (α ≠ 0)y no hay rozamiento ( µ = 0) → v R . cosα − g. senα = 0

FICY = FIC.senα

FICX = FIC.cosα

FIC

Px = m.g.senα

Py = m.g.cosα

N

P = m.g α





2

1. ¿Calcular la velocidad máxima con que un móvil de 1200 Kg. puede tomar una curva de radio 120 m. a. Sin peralte y con µ = 0’23 b. Con peralte de 15º y µ = 0,12

a.- sin peraltar si µ=0’23 v R − μ. g = 0 → v = 'μ. g. R = 16’45 m/s.

b.- con peralte de 15º y µ=0’12. v R . cosα − g. senα − μ #g. cosα + v R senα$ = 0

v 120 . cos15 − 9′8. sen15 − 0′12 #9′8. cos15 + v 120 sen15$ = 0 → v = 21′71m/s

2. Un móvil toma una curva de radio 250 m. a 25 m/s. Si no hay rozamiento ¿Cuál es el ángulo mínimo de peralte?

Si hay peralte (α ≠ 0)y no hay rozamiento ( µ = 0) → v R . cosα − g. senα = 0

25 250 . cosα − 9,8. senα = 0; 25 250 . cosα = 9,8. senα; tanα = 25 250 · 9,8 → α = 14,31°

3. Un móvil toma una curva de radio 250 m. a 25 m/s. Si no hay peralte. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento mínimo de peralte?

v R − μ. g = 0; 25 250 − μ. 9,8 = 0; μ = 25 250 · 9,8 = 0,26





3

Péndulo cónico

-T. senα = m. v RT. cosα = m. g → tagα = v R. g , siendo R = L. senα

4. Calcular el periodo de rotación de un péndulo cónico de 1 m. que gira formando con la vertical un ángulo de 15°.

v = 'R. g. tagα = 'L. senα. g. tagα = 0′82m/s v = ω. R → ω = vR = 3′19rad./s

T = 2. π

ω= 1.97 s.

5. Calcula la tensión de un péndulo cónico de 2 m. y masa 30g. sabiendo que da 60 vueltas en 35 s.

1 vuelta · 35 s.60 vueltas = 0,5833 :. T · sen α = m · ω · R = m · >2 · πT @ · L · sen α → T = m · >2 · πT @ · L = 6,97 N.

6. De un hilo de 2 m. cuelga una masa que describe circunferencias horizontales con una frecuencia de 3 Hz. Calcular el ángulo que forma con la vertical el hilo mientras la masa gira.

tag α = v R. g → tag α = ω · Rg ; sen αcos α (2 · π · f) · L · sen αg → 1cos α (2 · π · f) · Lg

cos α = g(2 · π · f) · L → α = 89,2°

α

T

Tx=T.sen

Ty=T.co

m.

Fic= A. BCD

L





4

Honda.

Punto A: m v R = T + mg; T = m. G · R − m · g

Punto B: m v R = T; T = m. G · R Punto C: T = m v R + mg; T = m. G · R + m · g

7. Del extremo de una cuerda de 1’5 m. colgamos una masa de 300 g. La hacemos girar verticalmente describiendo un círculo cada medio segundo. Calcular la tensión de la cuerda cuando el móvil se encuentra en el punto más alto, más bajo y cuando la cuerda esté horizontal.

T(Periodo) = 0,5 s. → ω = 2. πT = πrads → v = ω. R = 4′71ms

Punto mas alto: T = m. G · R − m · g → T = m. 4 · π · JT − m. g → T = 68,12 N. Punto mas bajo: T = m. G · R → T = m. 4 · π · JT → T = 71,06 N. Pendulo horizontal: T = m. G · R + m · g → T = m. 4 · π · JT + m. g → T = 74 N.

8. Se hace girar en un plano vertical una piedra de masa 50g mediante una cuerda de 50cm de longitud, con una velocidad constante de 120 vueltas en un minuto. ¿Cuál es la tensión que soporta la cuerda cuando la piedra se encuentra en los puntos más alto y más bajo?

Fic = m. v R

Fic = m. v R

Fic = m. v R

m.g

m.g

m.g

T

T

T

A

B

C





5

ω = 120 rev.min. 2. π rad.1 rev. 1 min.60 s. = 12′57rad/s. v = ω. R = 12′57.0′5 = 6′28m/s. Punto mas alto: T = m. v R − m. g → T = 3′54 N. Punto mas bajo: T = m. v R + m. g → T = 4′43 N.

9. Calcular la frecuencia máxima, con la que una honda puede describir circunferencias verticales, si la tensión máxima que puede soportar es de 50 N. Su masa es de 250 g. y su longitud de 1 m.

El punto más conflictivo, donde corre más riesgo de romperse la cuerda es el más

bajo. Pto más bajo: T = mg + mω R → 50 = 0,25 · 9,8 + 0,25 · ω · 1 → ω = 13,79 rads . → f = 2,19 Hz.

10. En los puntos A y B se encuentran masas de 3 Kg. con velocidad de 2’5 m/s. Calcular la reacción del suelo sobre cada masa. Los radios son de 1’5 m.

Punto A: N = m. g + m v R = 41′9N.. Punto B: N + m v R = m. g → N = m. g − m v R = 16′9O.

11. Un Motorista de masa (con moto) 130 Kg da vueltas horizontales en el interior de un cilindro de radio 10 m. El coeficiente de rozamiento entre las ruedas de la moto y las paredes del cilindro es 0,3. Calcular a. Velocidad mínima para que el motorista no se caiga por acción de la gravedad. b. Después de un accidente, el motorista engorda 10 Kg. Calcula la nueva velocidad del motorista cuando vuelva con esos 10 Kg. de más.

A

B N

N

m.

m.g

A Q J

A Q J





6

-Eje Y: Fr − m · g = 0 → Fr = m · gEje X: N = m · aV → N = m · v R → - Fr = m · g

Fr = μ · N = μ · m · v R → g = μ · v R

v = Zg · Rμ = 18,1 ms . b. Observamos que V no depende de la masa, por tanto, aunque engorde la

velocidad mínima necesaria sería la del apartado a, 18,1 m/s.

mg

Fr N

aN









IMPULSO MECÁNICO. CANTIDAD DE MOVIMIENTO. LOS ......La cantidad de movimiento en los instantes t=2...

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