Movimento Circular Uniforme

Tf 1

tsv

s para uma circunferência pode ser escrito como

rsC ..2

trv

..2

No entanto, se período é o tempo de uma volta temos

Trv ..2

Tf 1

frv ...2

tsv

Dividir por T é igual a multiplicar por f

t

Para uma volta

= 2

t = T (período)

Trv ..2

T 2

Ou, como f = 1/T

f.2

rT

v ..2

rT

v ..2

rv .

Três tipos básicos de acoplamentos

• Por correias ou correntes.va = vb

ωaRa = ωbRb

faRa = fbRb

Fa< fb

Ta> Tb

Três tipos básicos de acoplamentos

• Por catracas• Sentidos opostos va = - vb

ωaRa = ωbRb

faRa = fbRb

Fa< fb

Ta> Tb

Três tipos básicos de acoplamentos

• Por Eixos• Mesmo Sentido va < vb

fa fb

Ra Rb

ωa = ωb

fa = fb

Ta = Tb

Transmissão de MCU

Correm juntasMesmo sentido de

giroMesma

velocidade linearVA = VB

BBAA fRfR ...2...2

Correm juntasSentido oposto

de giroMesma

velocidade linearVA = VB

BBAA fRfR ...2...2

Giram JuntasMesmo Sentido

de GiroMesma

velocidade angularA = B

BBAA fRfR .. BBAA fRfR ..

Polia Engrenagens Eixo

B

B

A

A

RV

RV

02) Na temporada automobilística de Fórmula 1 do ano passado, os motores dos carros de corrida atingiram uma velocidade angular de 18.000 rotações por minuto. Em rad/s, qual é o valor dessa velocidade?(A) 300 π. (B) 600 π. (C) 9.000 π. (D)18.000 π. (E) 36.000 π.

04) (Unicamp – modificada) Em 2009 foramcomemorados os 40 anos da primeira missão tripulada à Lua, a Missão Apollo 11, comandada pelo astronauta norte-americano Neil Armstrong. Além de ser considerado um dos feitos mais importantes da história recente, esta viagem trouxe grande desenvolvimento tecnológico.a) A Lua tem uma face oculta, erroneamente chamada de lado escuro, que nunca é vista da Terra. O período de rotação da Lua em torno de seu eixo é de cerca de 27 dias. Considere que a órbita da Lua em torno da Terra é circular, com raio igual a r = × 3, 8 108 m. Lembrando que a Lua sempre apresenta a mesma face para um observador na Terra, calcule a sua velocidade orbital em torno da Terra.

05) (Pucmg 2010) “Nada como um dia após o outro”. Certamente esse dito popular está relacionado de alguma forma com a rotação da Terra em torno de seu próprio eixo, realizando uma rotação completa a cada 24 horas. Pode-se, então, dizer que cada hora corresponde a uma rotação de: a) 180º b) 360º c) 15º d) 90º

Operação com vetores

Determinando as características

• Direção: horizontal• Sentido: direita• Módulo: 4 m

{ 1 m

d

Determinando as características

• Direção: vertical• Sentido: cima• Módulo: 10 m

{ 2 m

d

Determinando as características

• Módulo: ?

• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 32 + 42 • Hip2 = 25• Hip = • Hip = 5

{ 1 N

F

25

Determinando as características

• Módulo: ?

• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 12 + 42 • Hip2 = 17• Hip =

{ 1 N

F

17

Determinando as características

• Módulo: ?

• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 22 + 42 • Hip2 = 20• Hip = • Hip = N

{ 1 N

F

5.25.4 2

5.2

Determinando as características

• Módulo: ?

• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 12 + 42 • Hip2 = 20• Hip = • Hip = N

{ 1 N

F

5.25.4 2

5.2

Método dos Polígonos

• Direção: vertical• Sentido: cima• Módulo: • FR = F1 + F2• FR = 3 + 2• FR = 5 N

{ 1 N

1F2F

RF

Método dos Polígonos

• Direção: vertical• Sentido: cima• Módulo: • FR = F1 + F2• FR = 3 - 2• FR = 1 N

{ 1 N

1F

2FRF

Método dos polígonos

E o módulo?

• Hip2 = cat12 + cat22

• Hip2 = 22 + 72 • Hip2 = 4 + 49• Hip2 = 54• Hip =

•

53

Método dos polígonos

E o módulo?

• Hip2 = cat12 + cat22

• Hip2 = 22 + 62 • Hip2 = 4 + 36• Hip2 = 40• Hip =

•

525.2.2

Método dos polígonos

Exemplo: Um corpo recebe a ação de apenas duas forças: F1 = 10 N e F2 = 10 N. Essas forças são iguais? Justifique.

• Possibilidades:

Exemplo: Uma pessoa anda 120 m para o leste, 80 m para o sul e, em seguida, 60 m para o oeste. Calcule a intensidade do vetor deslocamento sofrido nesse percurso.

Método do Paralelogramo

Quando o ângulo entre os vetores são indispensáveis.

Método do Paralelogramo1 - Gráfico

Método do Paralelogramo2 - Equação

cos222 BABAVR

Exemplo 01) Duas forças, F1 e F2 têm intensidade iguais a 10N cada uma. Calcule a intensidade da

resultante entre F1 e F2 quando o ângulo entre elas for:

a) 60° b) 90° c) 120° 60 s2.F1.F2.co ² F2 F1² F a) R

52.10.10.0, 100 100 FR

100 100 100 FR N310 F300 F RR

60

90 s2.F1.F2.co ² F2 F1² F b) R

2.10.10.0 100 100 FR

100 100 FR N210 F200 F RR

90

120 s2.F1.F2.co ² F2 F1² F c) R

0,5)2.10.10.(- 100 100 FR

100 - 100 100 FR N10 F100 F RR

120

02) Dois vetores deslocamentos possuem intensidades 12 m e 16 m. Quais são as possibilidades de intensidades do vetor soma desses deslocamentos..

Possibilidades:

“Melhor” e “pior” possibilidade

S = 16 + 12S = 28 m

S = 16 – 12S = 4 m

Relembrando a soma vetorial• Transformar dois vetores (ou mais) em um

(resultante).

• Métodos:– 1 – Polígono (emenda)– 2 – Paralelogramo (ângulo)

Casos importantes

120

Decomposição Vetorial

Transformar um vetor em dois

Componentes de um Vetor

• Se juntarmos as componetenes, chegamos ao vetor

• Se separarmos o vetor em 2 partes, encontramos uma parte no eixo x e uma parte no eixo y

1 N

F

{

FyF

xF

1 N

F

{

yF

xF

Como encontrar os valores das componentes?

hipCOsen hipsenCO .

1 N

F

{

yF

xF

Como encontrar os valores das componentes?

hipCA

cos CAhip .cos

Exemplo

• Dados:• F = 100 N• sen = 0,5

• Fy = 50 N

FyF

xFsenFFy .

5,0.100yFsenhipCO .

Exemplo

• Dados:• F = 80 N• cos = 0,4

• Fy = 32 N

FyF

xFcos.FFy

4,0.80yFcos.hipCO

• F x = F . cos • Fx = 10 . 2• 2• Fx = 5 2 N

• F y = F . sen • Fy = 10 . 2• 2• Fy = 5 2 N

• F x = F . cos • Fx = 30 . 1• 2• Fx = 15 N

• F y = F . sen • Fy = 30 . 3• 2• Fy = 15 3 N

Geralmente, quando surge?

Polígono• Situações comuns:

– Vários vetores– Em quadriculado– Formando 90°– Fácil desenho– Alinhados

Paralelogramo• Situações comuns:• - Quando é

conhecido o ângulo entre DOIS vetores.

Outras Operações com vetores

Multiplicação por escalar e vetor oposto

Multiplicação por escalar

vm

vs

tw

vu

.2

.3

.2

Diferença vetorial

wva

tvg .2at.2g

1d

3d

2d

3 13d d

2 12d d

Multiplicação por Escalar

mtvu .2

01) (UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta.

a) CB + CD + DE = BA + EAb) BA + EA + CB = DE + CDc) EA - DE + CB = BA + CDd) EA - CB + DE = BA – CD e) BA - DE - CB = EA + CD

Extra (CFT-CE) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é:

a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 2Deslocamento escalar = 6 LDeslocamento vetorial = 4 L Vme/Vmv=(6L/t)/(4L/t) Vme/Vmv=3/2

VETOR VELOCIDADE

VV

V

É o vetor que representa a direção e o sentido do movimento em todos os pontos da trajetória

-Módulo:tSV

Direção:tangente a trajetória

Sentido: o mesmo do movimento

ACELERAÇÃO VETORIAL

ACELERAÇÃO TANGENCIAL:Responsável pela variação do módulo do vetor velocidade.

Módulo: tVaT

Direção: Tangente a trajetória

Sentido

V

V

VTa

TaTa

Acelerado

V

V

V

Ta

Ta

Retardado

ACELERAÇÃO CENTRÍPETAÉ a aceleração que modifica a direção do

vetor velocidade(movimento).

Módulo:

RVaC

2

Direção: Radial

Sentido: Para o centro

Ca

Ca

CaR

Dinâmica numa trajetória curva

V

a

ca ta

a.mFR

RFcRF

tRF

tR a.mF

t

cR a.mFc

A força resultante tangencial é responsável pela mudança do módulo do vetor velocidade.(1)

A força resultante centrípeta é responsável pela mudança da direção e sentido do vetor velocidade.

Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.

(06) (Vunesp) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um ângulo (alfa) e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista. Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carroA)não possui aceleração vetorial.B) possui aceleração com módulo variável, B)direção radial e no sentido para o ponto C.C) possui aceleração com módulo variável e C)tangente à trajetória circular.D) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C.E) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.

07) (Unifesp 2007) A trajetória de uma partícula, representada na figura, é um arco de circunferência de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade de módulo constante, v = 3,0 m/s.O módulo da aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em m/s2, é

a) zero.b) 1,5.c) 3,0.d) 4,5.e) impossível de ser calculado.

Extra) (PUC–SP - modificado) Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória circular de raio 100m, em movimento acelerado uniformemente, de aceleração escalar igual 1m/s2. Calcule, após 10s, as componentes tangencial e centrípeta da aceleração e a resultante da aceleração.at = aceleração escalar = constante sempre at = 1 m/s2

ac = v2

Rac = ?R = 100 mv = ?v depende da aceleração tangencialv = v0 + a.t

v0 = 0

v = ?

a = 1 m/s2

v = 0 + 1.10

v = 10 m/s

ac = v2

R

ac = 102

100

ac = 100

100

ac = 1m/s2

at = 1 m/s2

ac = 1m/s2 Diagonal de um retânguloTriângulo retânguloaR

2 = ac2 + at2

aR2 = 12 + 12

aR2 = 2

aR2 = 2

aR = 2m/s2

Extra) Um móvel percorre uma trajetória circular de raio 100m, Determine o deslocamento escalar e o módulo do deslocamento vetorial quando este percorre 1/4 da circunferência da trajetória descrita.Deslocamento escalar = depende da trajetóriaUm ciclo = 2.r = 2.3,14.100 = 628 m¼ de ciclo = 628/4 = 157 m

Deslocamento Vetorial = Hip2 = c12 + c22

Hip2 = 1002+1002

Hip2 = 20000hip = 1002

B

A

∆r

d

o

100 m

100 m

Extra) (UNIFESP-SP) Um móvel executa um movimento com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória plana composta de trechos retilíneos e trechos em arcos de circunferências, conforme a figura abaixo.Os raios de curvatura dos pontos A, B, C, D e E estão indicados

na figura.Pode-se afirmar, corretamente, que o módulo máximo da

aceleração ocorreu quando o móvel passava nas proximidades do ponto:

a) A b) B c) C d) D e) Eac = v2

R

Extra) (UFCE) Uma partícula descreve trajetória circular, de raio r=1,0m, com velocidade variável. A figura mostra a partícula em um dado instante de tempo em que sua aceleração tem módulo a=32m/s2 e aponta na direção e sentido indicados.Nesse instante, o módulo da velocidade dapartícula é:a)2,0m/s b) 4,0m/s c) 6,0m/sd) 8,0m/s e) 10,0m/scos 60 ° = cahip0,5 = ac ac = 0,5.32 ac = 16 m/s2

32ac = v2 16 = v2

R 1V2 = 16 v = 4 m/s

08) (UNESP – 07) Uma técnica secular utilizada para aproveitamento da água como fonte de energia consiste em fazer uma roda, conhecida como roda d’água, girar sob ação da água em uma cascata ou em correntezas de pequenos riachos. O trabalho realizado para girar a roda é aproveitado em outras formas de energia. A figura mostra um projeto com o qual uma pessoa poderia, nos dias atuais, aproveitar-se do recurso hídrico de um riacho, utilizando um pequeno gerador e uma roda d’água, para obter energia elétrica destinada à realização de pequenas tarefas em seu sítio. Duas roldanas, uma fixada ao eixo da roda e a outra ao eixo do gerador, são ligadas por uma correia. O raio da roldana do gerador é 2,5 cm e o da roldana da roda d’água é R. Para que o gerador trabalhe com eficiência aceitável, a velocidade angular de sua roldana deve ser 5 rotações por segundo, conforme instruções no manual do usuário. Considerando que a velocidade angular da roda é 1 rotação por segundo, e que não varia ao acionar o gerador, o valor do raio R da roldana da roda d’água deve ser (A) 0,5 cm. (B) 2,0 cm. (C) 2,5 cm. (D) 5,0 cm. (E) 12,5 cm

Extra: Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A engrenagem A gira no sentido horário com velocidade angular 30 rad/s. As polias C, B e A possuem raios R, 2R e 3R, respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e C e seus sentidos de rotação.

vA = vB ωA.3R = ωB.2R

30.3 = ωB.2 ωB = 45 rad/s (sentido anti-horário)

vB = vC ωA.3R = ωC.R

30.3 = ωC

ωC = 90 rad/s (sentido horário)

ExemplosEnem Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2..R, onde = 3?

raio da roda traseira = 40cmraio da coroa traseira = 5cmraio da coroa dianteira = 15cm

Enquanto a coroa dianteira dá uma volta, a coroa traseira dá três voltas, pois esta é três vezes menor. Em consequência do acoplamentoexistente entre a roda e a coroa traseiras, ambas darão o mesmo número de voltas. Sendo assim,temos:para uma volta da coroa dianteira a roda traseira dará três voltas, assim:

C = 2..R.3, onde R é o raio da roda traseira

C = 2.3.40.3 = 720cm = 7,2m

Exemplo 03       (FUVEST) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de raios RA=10cm e RB=50cm. Supondo que o cilindro maior tenha uma frequência de rotação fB igual a 60rpm: a) Qual a frequência de rotação fA do cilindro menor? b) Qual a velocidade linear da cinta ?