Movimento Circular Uniforme
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Movimento Circular Uniforme
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Tf 1
tsv
s para uma circunferência pode ser escrito como
rsC ..2
trv
..2
No entanto, se período é o tempo de uma volta temos
Trv ..2
Tf 1
frv ...2
tsv
Dividir por T é igual a multiplicar por f
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t
Para uma volta
= 2
t = T (período)
Trv ..2
T 2
Ou, como f = 1/T
f.2
rT
v ..2
rT
v ..2
rv .
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Três tipos básicos de acoplamentos
• Por correias ou correntes.va = vb
ωaRa = ωbRb
faRa = fbRb
Fa< fb
Ta> Tb
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Três tipos básicos de acoplamentos
• Por catracas• Sentidos opostos va = - vb
ωaRa = ωbRb
faRa = fbRb
Fa< fb
Ta> Tb
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Três tipos básicos de acoplamentos
• Por Eixos• Mesmo Sentido va < vb
fa fb
Ra Rb
ωa = ωb
fa = fb
Ta = Tb
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Transmissão de MCU
Correm juntasMesmo sentido de
giroMesma
velocidade linearVA = VB
BBAA fRfR ...2...2
Correm juntasSentido oposto
de giroMesma
velocidade linearVA = VB
BBAA fRfR ...2...2
Giram JuntasMesmo Sentido
de GiroMesma
velocidade angularA = B
BBAA fRfR .. BBAA fRfR ..
Polia Engrenagens Eixo
B
B
A
A
RV
RV
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02) Na temporada automobilística de Fórmula 1 do ano passado, os motores dos carros de corrida atingiram uma velocidade angular de 18.000 rotações por minuto. Em rad/s, qual é o valor dessa velocidade?(A) 300 π. (B) 600 π. (C) 9.000 π. (D)18.000 π. (E) 36.000 π.
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04) (Unicamp – modificada) Em 2009 foramcomemorados os 40 anos da primeira missão tripulada à Lua, a Missão Apollo 11, comandada pelo astronauta norte-americano Neil Armstrong. Além de ser considerado um dos feitos mais importantes da história recente, esta viagem trouxe grande desenvolvimento tecnológico.a) A Lua tem uma face oculta, erroneamente chamada de lado escuro, que nunca é vista da Terra. O período de rotação da Lua em torno de seu eixo é de cerca de 27 dias. Considere que a órbita da Lua em torno da Terra é circular, com raio igual a r = × 3, 8 108 m. Lembrando que a Lua sempre apresenta a mesma face para um observador na Terra, calcule a sua velocidade orbital em torno da Terra.
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05) (Pucmg 2010) “Nada como um dia após o outro”. Certamente esse dito popular está relacionado de alguma forma com a rotação da Terra em torno de seu próprio eixo, realizando uma rotação completa a cada 24 horas. Pode-se, então, dizer que cada hora corresponde a uma rotação de: a) 180º b) 360º c) 15º d) 90º
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Operação com vetores
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Determinando as características
• Direção: horizontal• Sentido: direita• Módulo: 4 m
{ 1 m
d
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Determinando as características
• Direção: vertical• Sentido: cima• Módulo: 10 m
{ 2 m
d
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Determinando as características
• Módulo: ?
• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 32 + 42 • Hip2 = 25• Hip = • Hip = 5
{ 1 N
F
25
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Determinando as características
• Módulo: ?
• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 12 + 42 • Hip2 = 17• Hip =
{ 1 N
F
17
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Determinando as características
• Módulo: ?
• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 22 + 42 • Hip2 = 20• Hip = • Hip = N
{ 1 N
F
5.25.4 2
5.2
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Determinando as características
• Módulo: ?
• Hip2 = cat12 + cat22 • Hip2 = 12 + 42 • Hip2 = 20• Hip = • Hip = N
{ 1 N
F
5.25.4 2
5.2
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Método dos Polígonos
• Direção: vertical• Sentido: cima• Módulo: • FR = F1 + F2• FR = 3 + 2• FR = 5 N
{ 1 N
1F2F
RF
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Método dos Polígonos
• Direção: vertical• Sentido: cima• Módulo: • FR = F1 + F2• FR = 3 - 2• FR = 1 N
{ 1 N
1F
2FRF
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Método dos polígonos
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E o módulo?
• Hip2 = cat12 + cat22
• Hip2 = 22 + 72 • Hip2 = 4 + 49• Hip2 = 54• Hip =
•
53
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Método dos polígonos
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E o módulo?
• Hip2 = cat12 + cat22
• Hip2 = 22 + 62 • Hip2 = 4 + 36• Hip2 = 40• Hip =
•
525.2.2
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Método dos polígonos
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Exemplo: Um corpo recebe a ação de apenas duas forças: F1 = 10 N e F2 = 10 N. Essas forças são iguais? Justifique.
• Possibilidades:
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Exemplo: Uma pessoa anda 120 m para o leste, 80 m para o sul e, em seguida, 60 m para o oeste. Calcule a intensidade do vetor deslocamento sofrido nesse percurso.
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Método do Paralelogramo
Quando o ângulo entre os vetores são indispensáveis.
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Método do Paralelogramo1 - Gráfico
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Método do Paralelogramo2 - Equação
cos222 BABAVR
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Exemplo 01) Duas forças, F1 e F2 têm intensidade iguais a 10N cada uma. Calcule a intensidade da
resultante entre F1 e F2 quando o ângulo entre elas for:
a) 60° b) 90° c) 120° 60 s2.F1.F2.co ² F2 F1² F a) R
52.10.10.0, 100 100 FR
100 100 100 FR N310 F300 F RR
60
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90 s2.F1.F2.co ² F2 F1² F b) R
2.10.10.0 100 100 FR
100 100 FR N210 F200 F RR
90
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120 s2.F1.F2.co ² F2 F1² F c) R
0,5)2.10.10.(- 100 100 FR
100 - 100 100 FR N10 F100 F RR
120
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02) Dois vetores deslocamentos possuem intensidades 12 m e 16 m. Quais são as possibilidades de intensidades do vetor soma desses deslocamentos..
Possibilidades:
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“Melhor” e “pior” possibilidade
S = 16 + 12S = 28 m
S = 16 – 12S = 4 m
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Relembrando a soma vetorial• Transformar dois vetores (ou mais) em um
(resultante).
• Métodos:– 1 – Polígono (emenda)– 2 – Paralelogramo (ângulo)
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Casos importantes
120
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Decomposição Vetorial
Transformar um vetor em dois
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Componentes de um Vetor
• Se juntarmos as componetenes, chegamos ao vetor
• Se separarmos o vetor em 2 partes, encontramos uma parte no eixo x e uma parte no eixo y
1 N
F
{
FyF
xF
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1 N
F
{
yF
xF
Como encontrar os valores das componentes?
hipCOsen hipsenCO .
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1 N
F
{
yF
xF
Como encontrar os valores das componentes?
hipCA
cos CAhip .cos
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Exemplo
• Dados:• F = 100 N• sen = 0,5
• Fy = 50 N
FyF
xFsenFFy .
5,0.100yFsenhipCO .
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Exemplo
• Dados:• F = 80 N• cos = 0,4
• Fy = 32 N
FyF
xFcos.FFy
4,0.80yFcos.hipCO
![Page 44: Movimento Circular Uniforme](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022042718/56815be1550346895dc9d1aa/html5/thumbnails/44.jpg)
• F x = F . cos • Fx = 10 . 2• 2• Fx = 5 2 N
• F y = F . sen • Fy = 10 . 2• 2• Fy = 5 2 N
![Page 45: Movimento Circular Uniforme](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022042718/56815be1550346895dc9d1aa/html5/thumbnails/45.jpg)
• F x = F . cos • Fx = 30 . 1• 2• Fx = 15 N
• F y = F . sen • Fy = 30 . 3• 2• Fy = 15 3 N
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Geralmente, quando surge?
Polígono• Situações comuns:
– Vários vetores– Em quadriculado– Formando 90°– Fácil desenho– Alinhados
Paralelogramo• Situações comuns:• - Quando é
conhecido o ângulo entre DOIS vetores.
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Outras Operações com vetores
Multiplicação por escalar e vetor oposto
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Multiplicação por escalar
vm
vs
tw
vu
.2
.3
.2
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Diferença vetorial
wva
tvg .2at.2g
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1d
3d
2d
3 13d d
2 12d d
Multiplicação por Escalar
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mtvu .2
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01) (UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta.
a) CB + CD + DE = BA + EAb) BA + EA + CB = DE + CDc) EA - DE + CB = BA + CDd) EA - CB + DE = BA – CD e) BA - DE - CB = EA + CD
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Extra (CFT-CE) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média é:
a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 2Deslocamento escalar = 6 LDeslocamento vetorial = 4 L Vme/Vmv=(6L/t)/(4L/t) Vme/Vmv=3/2
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VETOR VELOCIDADE
VV
V
É o vetor que representa a direção e o sentido do movimento em todos os pontos da trajetória
-Módulo:tSV
Direção:tangente a trajetória
Sentido: o mesmo do movimento
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ACELERAÇÃO VETORIAL
ACELERAÇÃO TANGENCIAL:Responsável pela variação do módulo do vetor velocidade.
Módulo: tVaT
Direção: Tangente a trajetória
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Sentido
V
V
VTa
TaTa
Acelerado
V
V
V
Ta
Ta
Retardado
![Page 58: Movimento Circular Uniforme](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022042718/56815be1550346895dc9d1aa/html5/thumbnails/58.jpg)
ACELERAÇÃO CENTRÍPETAÉ a aceleração que modifica a direção do
vetor velocidade(movimento).
Módulo:
RVaC
2
Direção: Radial
Sentido: Para o centro
Ca
Ca
CaR
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Dinâmica numa trajetória curva
V
a
ca ta
a.mFR
RFcRF
tRF
tR a.mF
t
cR a.mFc
A força resultante tangencial é responsável pela mudança do módulo do vetor velocidade.(1)
A força resultante centrípeta é responsável pela mudança da direção e sentido do vetor velocidade.
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Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de ilustração de Autor Desconhecido.
![Page 61: Movimento Circular Uniforme](https://reader034.fdocument.org/reader034/viewer/2022042718/56815be1550346895dc9d1aa/html5/thumbnails/61.jpg)
(06) (Vunesp) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR (National Association for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um ângulo (alfa) e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista. Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carroA)não possui aceleração vetorial.B) possui aceleração com módulo variável, B)direção radial e no sentido para o ponto C.C) possui aceleração com módulo variável e C)tangente à trajetória circular.D) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C.E) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.
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07) (Unifesp 2007) A trajetória de uma partícula, representada na figura, é um arco de circunferência de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade de módulo constante, v = 3,0 m/s.O módulo da aceleração vetorial dessa partícula nesse trecho, em m/s2, é
a) zero.b) 1,5.c) 3,0.d) 4,5.e) impossível de ser calculado.
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Extra) (PUC–SP - modificado) Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória circular de raio 100m, em movimento acelerado uniformemente, de aceleração escalar igual 1m/s2. Calcule, após 10s, as componentes tangencial e centrípeta da aceleração e a resultante da aceleração.at = aceleração escalar = constante sempre at = 1 m/s2
ac = v2
Rac = ?R = 100 mv = ?v depende da aceleração tangencialv = v0 + a.t
v0 = 0
v = ?
a = 1 m/s2
v = 0 + 1.10
v = 10 m/s
ac = v2
R
ac = 102
100
ac = 100
100
ac = 1m/s2
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at = 1 m/s2
ac = 1m/s2 Diagonal de um retânguloTriângulo retânguloaR
2 = ac2 + at2
aR2 = 12 + 12
aR2 = 2
aR2 = 2
aR = 2m/s2
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Extra) Um móvel percorre uma trajetória circular de raio 100m, Determine o deslocamento escalar e o módulo do deslocamento vetorial quando este percorre 1/4 da circunferência da trajetória descrita.Deslocamento escalar = depende da trajetóriaUm ciclo = 2.r = 2.3,14.100 = 628 m¼ de ciclo = 628/4 = 157 m
Deslocamento Vetorial = Hip2 = c12 + c22
Hip2 = 1002+1002
Hip2 = 20000hip = 1002
B
A
∆r
d
o
100 m
100 m
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Extra) (UNIFESP-SP) Um móvel executa um movimento com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória plana composta de trechos retilíneos e trechos em arcos de circunferências, conforme a figura abaixo.Os raios de curvatura dos pontos A, B, C, D e E estão indicados
na figura.Pode-se afirmar, corretamente, que o módulo máximo da
aceleração ocorreu quando o móvel passava nas proximidades do ponto:
a) A b) B c) C d) D e) Eac = v2
R
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Extra) (UFCE) Uma partícula descreve trajetória circular, de raio r=1,0m, com velocidade variável. A figura mostra a partícula em um dado instante de tempo em que sua aceleração tem módulo a=32m/s2 e aponta na direção e sentido indicados.Nesse instante, o módulo da velocidade dapartícula é:a)2,0m/s b) 4,0m/s c) 6,0m/sd) 8,0m/s e) 10,0m/scos 60 ° = cahip0,5 = ac ac = 0,5.32 ac = 16 m/s2
32ac = v2 16 = v2
R 1V2 = 16 v = 4 m/s
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08) (UNESP – 07) Uma técnica secular utilizada para aproveitamento da água como fonte de energia consiste em fazer uma roda, conhecida como roda d’água, girar sob ação da água em uma cascata ou em correntezas de pequenos riachos. O trabalho realizado para girar a roda é aproveitado em outras formas de energia. A figura mostra um projeto com o qual uma pessoa poderia, nos dias atuais, aproveitar-se do recurso hídrico de um riacho, utilizando um pequeno gerador e uma roda d’água, para obter energia elétrica destinada à realização de pequenas tarefas em seu sítio. Duas roldanas, uma fixada ao eixo da roda e a outra ao eixo do gerador, são ligadas por uma correia. O raio da roldana do gerador é 2,5 cm e o da roldana da roda d’água é R. Para que o gerador trabalhe com eficiência aceitável, a velocidade angular de sua roldana deve ser 5 rotações por segundo, conforme instruções no manual do usuário. Considerando que a velocidade angular da roda é 1 rotação por segundo, e que não varia ao acionar o gerador, o valor do raio R da roldana da roda d’água deve ser (A) 0,5 cm. (B) 2,0 cm. (C) 2,5 cm. (D) 5,0 cm. (E) 12,5 cm
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Extra: Três engrenagens giram vinculadas conforme a figura. A engrenagem A gira no sentido horário com velocidade angular 30 rad/s. As polias C, B e A possuem raios R, 2R e 3R, respectivamente. Determine as velocidades angulares de B e C e seus sentidos de rotação.
vA = vB ωA.3R = ωB.2R
30.3 = ωB.2 ωB = 45 rad/s (sentido anti-horário)
vB = vC ωA.3R = ωC.R
30.3 = ωC
ωC = 90 rad/s (sentido horário)
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ExemplosEnem Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2..R, onde = 3?
raio da roda traseira = 40cmraio da coroa traseira = 5cmraio da coroa dianteira = 15cm
Enquanto a coroa dianteira dá uma volta, a coroa traseira dá três voltas, pois esta é três vezes menor. Em consequência do acoplamentoexistente entre a roda e a coroa traseiras, ambas darão o mesmo número de voltas. Sendo assim,temos:para uma volta da coroa dianteira a roda traseira dará três voltas, assim:
C = 2..R.3, onde R é o raio da roda traseira
C = 2.3.40.3 = 720cm = 7,2m
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Exemplo 03 (FUVEST) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros de raios RA=10cm e RB=50cm. Supondo que o cilindro maior tenha uma frequência de rotação fB igual a 60rpm: a) Qual a frequência de rotação fA do cilindro menor? b) Qual a velocidade linear da cinta ?
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