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Cinemática del sólido rígido Teoría básica para el curso Cinemática del sólido rígido, ejercicios comentados A A B B P ݎ O ߙ δ A B AB ߙ Ramírez López-Para, Pilar Loizaga Garmendia, Maider López Soto, Jaime

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  • Cinemtica del slido rgido Teora bsica para el curso

    Cinemtica del slido rgido, ejercicios comentados

    A A

    B B

    P

    O

    A

    B

    AB

    Ramrez Lpez-Para, Pilar Loizaga Garmendia, Maider

    Lpez Soto, Jaime

  • OCW 2015 Cinemtica del slido rgido, ejercicios comentados TEORA, pag. 2

    NDICE DE CONTENIDOS

    1. INTRODUCCIN ...............................................................................................................................................1

    1.1. DEFINICIN DE CINEMTICA ...........................................................................................................................1 1.2. DEFINICIONES INICIALES. ................................................................................................................................2

    2. CINEMTICA DE LA PARTICULA ........................................................................................................................3

    2.1. VELOCIDAD DE LA PARTCULA ..........................................................................................................................3 2.2. ACELERACIN DE LA PARTCULA .......................................................................................................................4

    3. TIPOS DE MOVIMIENTOS DEL SLIDO RGIDO .................................................................................................6

    3.1. CLASIFICACIN ............................................................................................................................................6 3.2. MOVIMIENTO DE TRASLACIN PURA .................................................................................................................7 3.3. MOVIMIENTO DE ROTACIN PURA O ROTACIN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO ................................................................9

    3.3.1. Movimiento circular en el plano ........................................................................................................ 12 3.4. DERIVADA TEMPORAL DE UN VECTOR RESPECTO DE SISTEMAS MVILES. LEY DE BOURE ................................................ 14 3.5. MOVIMIENTO GENERAL DE UN SLIDO RGIDO EN EL ESPACIO ................................................................................ 15 3.6. CAMPO DE VELOCIDADES Y DE ACELERACIONES EN EL MOVIMIENTO GENERAL: ........................................................... 16 3.7. PROCEDIMIENTO DE CLCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES EN EL MOVIMIENTO GENERAL ..................................... 19

    4. MOVIMIENTO RELATIVO ................................................................................................................................ 20

    4.1. MOVIMIENTO RELATIVO DE UN PUNTO RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN TRASLACIN .................................... 20 4.2. MOVIMIENTO RELATIVO GENERAL DE UN PUNTO RESPECTO A UN SISTEMA EN ROTACIN. ACELERACIN DE CORIOLIS ......... 21 4.3. MOVIMIENTO RELATIVO ENTRE DOS SLIDOS .................................................................................................... 25

    4.3.1. Campo de velocidades relativas a S1 .................................................................................................. 26 4.3.2. Campo de aceleraciones relativas a S1 ............................................................................................... 26 4.3.3. Clculo de la aceleracin angular absoluta de un slido rgido ........................................................... 27

  • OCW 2015 Cinemtica del slido rgido, ejercicios comentados TEORA, pag. 1

    Ramrez Lpez-Para, P; Loizaga Garmendia, M; Lpez Soto, J UPV/EHU

    1. INTRODUCCIN

    1.1. Definicin de Cinemtica

    El principal objetivo de este apartado es situar la cinemtica dentro del mbito de la mecnica, introduciendo los conceptos bsicos relativos a la materia que se va a trabajar. La cinemtica es la parte de la mecnica que estudia el movimiento de una partcula o un slido rgido en relacin con el tiempo, sin tener en cuenta las causas que lo producen.

    Las magnitudes empleadas son: longitud (x), velocidad (v), aceleracin (a), tiempo (t).

    A su vez, la cinemtica puede clasificarse en:

    Cinemtica de la partcula

    Estudia el movimiento de un punto, en el plano o en el espacio, definiendo su trayectoria, velocidad y aceleracin.

    Se puede considerar el movimiento de un S.R. como si fuera un punto cuando sus desplazamientos son muy grandes en comparacin con sus dimensiones (movimiento de un avin) o cuando se estudia nicamente la trayectoria del centro de un cuerpo (trayectoria parablica de una piedra).

    Cinemtica del slido rgido

    Es la que se ocupa del movimiento de un slido rgido, compuesto a su vez por puntos. Un slido rgido, a diferencia de la partcula, puede rotar y cada uno de sus puntos puede tener diferentes trayectorias, velocidades o aceleraciones.

    As, la cinemtica del slido rgido nos permitir calcular tanto las velocidades y aceleraciones de puntos pertenecientes al slido como las velocidades y aceleraciones angulares del propio slido.

    Figura 1

    MECANICA

    FLUIDOS

    Mecnica de fluidos

    SLIDO RGIDO

    Movimiento Equilibrio

    Esttica

    Cintica: estudia la relacin entre fuerzas, as y movimiento x, v, a, t, m, F

    Cinemtica: estudia la geometra del movimiento sin tener en cuenta las fuerzas que lo producen x, v, a, t,

    Dinmica

    SLIDO DEFORMABLE

    Elasticidad y Resistencia de

    Materiales

  • OCW 2015 Cinemtica del slido rgido, ejercicios comentados TEORA, pag. 2

    Ramrez Lpez-Para, P; Loizaga Garmendia, M; Lpez Soto, J UPV/EHU

    1.2. Definiciones iniciales.

    Vector de posicin, es el vector que une el origen del sistema de referencia, punto O, con el punto mvil P, definiendo su posicin en el plano o en el espacio.

    = + + ( 1)

    En la Figura 2 se muestra el punto P en el instante inicial, P1, y transcurrido un intervalo de tiempo t, P2.

    La expresin del vector de posicin en funcin del tiempo define la ecuacin vectorial de la trayectoria y determina el movimiento del punto.

    ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( 2)

    La trayectoria es el lugar geomtrico definido por las sucesivas posiciones que un punto ocupa en el tiempo. En funcin de la trayectoria seguida por un punto se puede hacer la siguiente clasificacin de los movimientos:

    Movimiento curvilneo: si su trayectoria es una lnea curva cualquiera. Puede considerarse como un caso general dentro del cual pueden definirse el movimiento rectilneo y el circular.

    Movimiento rectilneo: cuando su trayectoria es una recta.

    Movimiento circular: cuando su trayectoria es una circunferencia.

    Figura 2

  • OCW 2015 Cinemtica del slido rgido, ejercicios comentados TEORA, pag. 3

    Ramrez Lpez-Para, P; Loizaga Garmendia, M; Lpez Soto, J UPV/EHU

    El vector desplazamiento es aquel que une las posiciones inicial y final de un punto correspondientes a un determinado intervalo de tiempo y representa el cambio de magnitud y de direccin del vector de posicin.

    = = + + ( 3) La distancia recorrida por un punto es el escalar que expresa el cambio de posicin del punto en un intervalo de tiempo medido sobre la trayectoria s.

    Cuando el intervalo de tiempo se reduce hasta tender a cero tambin se hace diferencial el vector desplazamiento:

    = + + ( 4) Asimismo, la distancia recorrida ser tambin un valor diferencial, ds. En este caso, la secante se confunde con la tangente y se pueden igualar el mdulo del desplazamiento y la distancia recorrida:

    | | = ( 5)

    2. CINEMTICA DE LA PARTICULA

    2.1. Velocidad de la partcula

    Dado un mvil que se mueve desde el punto P1 al punto P2 (ver Figura 2), se define como velocidad instantnea en el instante t a la derivada del vector de posicin respecto del tiempo en ese instante.

    = ( 6)

    La velocidad instantnea, , es una magnitud vectorial puede expresarse de las siguientes formas:

    En funcin de sus componentes cartesianas:

    =

    = + + ( 7)

    Mediante su mdulo y su direccin. Para ello se parte de la expresin de la velocidad instantnea y se opera de la siguiente forma:

    =

    =

    ( 8)

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    Ramrez Lpez-Para, P; Loizaga Garmendia, M; Lpez Soto, J UPV/EHU

    Y pueden definirse las siguientes caractersticas de la velocidad instantanea:

    Mdulo: = [m/s]; indica la distancia recorrida por unidad de tiempo.

    Direccin: =

    ; cuando s0, el mdulo de y s son iguales y se

    hace tangente a la trayectoria en el punto P1.Se define el vector unitario :

    = , vector unitario tangente a la trayectoria en el punto P1.

    Sentido: el del movimiento. Aplicada en el punto P1 (vector ligado)

    Asi, puede escribirse la velocidad instantanea en funcin de su modulo y un vector unitario tangente a la trayectoria que define su direccin y su sentido:

    = = ( 9)

    2.2. Aceleracin de la partcula

    La aceleracin mide la variacin de la velocidad en el tiempo. La aceleracin instantnea de un mvil en el instante t, es la derivada del vector velocidad respecto del tiempo en ese instante.

    = ( 10)

    Al igual que ocurre con la velocidad, la aceleracin instantnea, , es una magnitud vectorial que puede expresarse de diferentes maneras:

    En funcin de sus componentes cartesianas:

    =

    = + + ( 11)

    En funcin de sus componentes tangente y perpendicular a la trayectoria que son las denominadas