Energía de Un Oscilador Armónico Simple and Movimiento Oscilatorio Amortiguado

Energía de un oscilador armónico simple

Energía de un oscilador

Recordamos las ecuaciones del Movimiento Armónico Simple (primera clase)

X(t) = A Sen (ωo t + α )Posición del objeto

Ley de Hooke F = k x

F´ = – k x

deformadora

restauradora

Segunda ley de Newton

Solución !

V = = ωo A Cos (ωo t + α) d X

d t

(5)Velocidad del objeto

(1)

(2)

(3)

(4)

Alan Guzmán


Periodo de oscilación (7)T = 2 Πmk

Velocidad del objeto v = ωo A2 – x2 (6)

Alan Guzmán


Oscilador armónico simple Sistema conservativo Energía total (E) del sistema es constante.

𝑬 ¿ 𝑬𝑲 +¿ 𝑬𝑷

Energía total Energía cinética Energía potencial elástica

(8)

Alan Guzmán

ENERGÍA CINÉTICA


Ek = ½ m v2 (reemplazamos (6) en v)

= ½ m (ωo)2 A2 cos2 (ωot + α ) ó

Ek = ½ m (ωo)2 (A2 – x2) (reemplazamos (6) y (7)) = ½ k (A2 – x2)

( Ek = ½ m v2 )

(9)

(10)

(11)

Alan Guzmán


ENERGÍA POTENCIAL ( Ek = ½ k x2 )

EK = ½ k x2 = ½ m (ωo)2 A2 sen2 (ωot + α ) (12)

(13)Ep = ½ m (ωo)2 x2 = ½ k x2

ó

Alan Guzmán


ENERGÍA MECÁNICA TOTAL

𝑬 ¿ 𝑬𝑲 +¿ 𝑬𝑷

Energía cinética Energía potencial elástica

𝑬¿ ½ k (A2 – x2) +¿ ½ k x2

𝑬 ¿ ½ k A2 = ½ m (ωo)2 A2 = constante!!!

(14)Alan Guzmán

Esto significa que durante una oscilación la partícula intercambia continuamente energía cinética y energía potencial, de forma tal que la suma de ambas siempre es la misma en cualquier instante. !!!

𝑬 ¿ ½ k A2 = ½ m (ωo)2 A2 = constant!!! (14)


Alan Guzmán

Energía de un oscilador Ejemplo 1. Un bloque de 200 g esta unido a un resorte horizontal y ejecuta movimiento armónico simple con un periodo de 0.250 s. si la energía total del sistema es 2 J, encuentre (a) la constante de fuerza del resorte y (b) la amplitud del movimiento.

Energía de un oscilador Ejemplo 2 Un automóvil que tiene una masa de 1000 kg se estrella en un muro de ladrillo en una prueba de seguridad. La defensa se comporta como un resorte de constante de fuerza 5x106 N/m y se comprime 3.16cm cuando el auto llega al reposo. ¿Cuál era la rapidez del auto antes del impacto, suponiendo que no se pierde energía mecánica durante el impacto con el muro?

Energía de un oscilador Intercambio de energía cinética y energía potencial𝑬𝑲 𝑬𝑷

𝑬 ½ m v2 ½ k x2 ¿ +¿𝑬𝑲

𝑬𝑷

Alan Guzmán

Movimiento oscilatorio amortiguado


MAS: A = constante.

MOA: A = NO! constante.

Alan Guzmán

MAA.

Líquido

m

k

Fa

v

x

F´

XFa

F´

Fa= – λ V (15) ;

= – K X

λ = factor de amortiguamiento [N.s/m]

F = ma2da ley de Newton

d2X dt2

F´ + Fa = ma

(Resorte)

. (Líquido)

– K X + – λ V = m

Alan Guzmán


+ + x = 0d2x dt2

dx dt

m

k m

que puede escribirse en la forma

donde definimos las constantes = 2 mk m

= (o)2y

d2x dt2

dx dt

+ 2 + (o)2 x = 0 ; = Frecuencia de amortiguamiento [rad/s]

Entonces

Ecuación dinámica del MAA = Frecuencia angular del MAS [rad/s] ωo

(17)

(16)

Alan Guzmán


Esta es la ecuación diferencial rige el MOA y difiere de la ecuación del MAS en el término ( dx/dt ) y la solución es una función que se calcula por métodos matemáticos avanzados.

Para el caso de pequeño amortiguamiento ( o ), la función solución de la ecuación diferencial puede deducirse empíricamente a partir del gráfico que deja un oscilador armónico amortiguado sobre una hoja de papel que se desliza a velocidad constante frente a la masa que lleva un marcador, como se muestra en la figura siguiente.

o

X

t

Papel móvil

+Ao

-Ao Curva envolvente A(t)

m

kAmplitud del MAA

A(t) = Ao e- t

Donde:A(0) = Ao

(18)

(19)

Alan Guzmán


La curva oscilante debe ser del tipo seno o coseno. Elegimos la función tipo: Sen(t +), donde es la frecuencia angular del MOA y es la fase inicial.

Entonces la posición de la masa en cualquier instante de tiempo es:

(19)X = Ao e- t Sen ( t + )

Y al reemplazar en (20) en (17), obtenemos:

La frecuencia angular del MOA es

= (o) 2 – 2 (20)

Alan Guzmán


y usando la Ec.(16) esta expresión toma la forma

= –k m

2 4 m2

(21)

Periodo del MOA

(22)T = =(o)2 – 2

2 2

k m

2 4 m2

–

Alan Guzmán


(23)

= Ln [ ] = Ln e T Ao e- t

Ao e - (t + T)

= T

El logaritmo de la relación entre dos amplitudes sucesivas del MOA se denomina decremento logarítmico de la amplitud y esta expresado como

En las oscilaciones amortiguadas, la energía que pierde la masa oscilante es absorbida por el medio amortiguador que lo rodea. Si el amortiguamiento es pequeño, ( o ), el sistema oscila durante un cierto tiempo antes de detenerse.

Alan Guzmán


En las oscilaciones amortiguadas, la energía que pierde la masa oscilante es absorbida por el medio amortiguador que lo rodea. Si el amortiguamiento es pequeño, ( o ), el sistema oscila durante un cierto tiempo antes de detenerse. Pero si el amortiguamiento es grande, la oscilación es rápidamente eliminada con apenas media oscilación, como sucede con el movimiento oscilatorio críticamente amortiguado (Fig.1), o no logra completar una oscilación como sucede en el movimiento oscilatorio sobre amortiguado (Fig.2).

X

t0

o

Figura 1. Oscilaciones críticamente amortiguadas

Figura 2. Oscilaciones sobre amortiguadas

X

t0

o

Alan Guzmán


Ejemplo 3. Una masa de 0.200 [kg] se mueve en el extremo de un resorte con k = 400 [N/m]. Su desplazamiento inicial es de 0.300 [m]. Una fuerza amortiguadora F = – v, donde F está en [N] y v en [m/s], actúa sobre la masa y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 [m] en 5.00 [s]. Calcule la constante de amortiguamiento .

Alan Guzmán


Ejemplo 4. Una masa de 2.20 kg oscila sobre un resorte cuya constante de fuerza y periodo son de 250.0 N/m y 0.615 s, respectivamente. a) ¿Se trata de un sistema amortiguado o no? ¿Cómo lo sabe? Si es amortiguado, calcule la constante de amortiguamiento λ. b) ¿El sistema es no amortiguado, subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado? ¿Cómo lo sabe?


Alan Guzmán

Energía de Un Oscilador Armónico Simple and Movimiento Oscilatorio Amortiguado

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