1. Cuaderno de Actividades: Fsica I3) Trabajo y EnergaLic. Percy Vctor Caote Fajardo68 2. Cuaderno de Actividades: Fsica I3) Trabajo y Energa3,1) Trabajo de una fuerza, Fwr{BArFA B rW F dr rrr1r r4243El trabajo de una fuerza Fw es una integral de lnea a travs de la .El Fw depender del conocimiento de ( )F F rr ren cada punto de la , elvector drres un desplazamiento elemental. Como toda integral de lnea sedeber parametrizar .El Fw se puede entender como la evaluacin total del efecto de la fuerza Fen el desplazamiento del cuerpo.CASO PARTICULAR: F cteuurr.FA B ABW F r r r rLic. Percy Vctor Caote FajardoAFrBm ABrrdrr69 3. Cuaderno de Actividades: Fsica IW + ,Si F // ABrrW 0 ,Si F ABrrW - ,Si F// ABrr[W] Nm Joule J3,2) Energa, EEs la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.Tipos de Energa:i) Energa Cintica, EkEnerga vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos.Lic. Percy Vctor Caote FajardoF FF//A BrABvrm070 4. Cuaderno de Actividades: Fsica I212kE mv=ii) Energa Potencial, EpEnerga asociada a la configuracin del sistema para la cual se define.Es una energa que corresponde al sistema. Depende de cmo estndistribuidos los elementos del sistema.i) Ep Gravitacional: Epg1 2pgG m mEr=Caso Particular de Epg: pgE mgh=Lic. Percy Vctor Caote Fajardom2rm1mhNIVEL71 5. Cuaderno de Actividades: Fsica IEp: ; El nivel es irrelevante!ii) Ep Elstica, Epe Sistema Elsticos Sistema m k idealConfiguracin del sistema: x{x deformacin del resorte)212peE kxEpe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energa, conlo cual la referencia no es importante.Es posible lograr una ecuacin similar de Epe para todo sistema elstico.iii) Energa Mecnica, EMEs la energa constituida por la energa cintica y la energa potencial de unapartcula. Observar que no es una energa que describa alguna propiedad de lapartcula. Resulta una definicin conveniente, como veremos.Lic. Percy Vctor Caote FajardoPE: Posicin de equilibriokm F0 xmx x72 6. Cuaderno de Actividades: Fsica IM K PKT KR pg peE E EE E E E + + + +3.3) Relaciones entre W y E, R R (W,E)El trabajo y la energa estn ntimamente conectados, reflejndose dichaconexin en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton porun lado, y a Leyes de Conservacin, por otro.i) ( ),RFKR R W ErEsta relacin es una forma elegante de la Segunda ley de Newton.211 2 .FR rRrW F dr rr r12*. .FR dv dvW m dr m drdt dt r r rr r14243 x y zv v i v j v k= + +r dr dxi dyj dzk= + +r(*) { } .yx zdvdv dvi j k dxi dyj dzkdt dt dt = + + + + yx zdvdv dvdx dy dzdt dt dt = + + 123xyzdx v dtdy v dtdz v dt= = =Lic. Percy Vctor Caote Fajardo73 7. Cuaderno de Actividades: Fsica I2 21 12 2xx x xdv dv dt v dt vdt dt = = Y por simetra operacional,{ }2 2 2 21 12 2x y zv v v v + + 21212.12FR dvW m drdtm v r rr21k kE E= = RFkW E = rFKk RW E F ma= =r r rii) R = R (WFNC, EM)Esta relacin muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrandoclaramente su carcter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara lascondiciones para que dicha energa se conserve.Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM.NCFWr= Trabajo de la FncQ; EM50 J de Ek a 50J de Q (forma de energa no mecnica)Lic. Percy Vctor Caote Fajardo74 8. Cuaderno de Actividades: Fsica IConoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.Fc = Son fuerzas que conservan la EM.Estn definidas por Fc = - U: Operador NablaU: Funcin potencial escalarU = Ep (Energa Potencial)Toda Fc tendr asociada una energa potencial: Fc EpcFrpEFg W EpgFelsticas EpeEsto debe ser as debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cualsignifica que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada,siempre es cero,( ) ( ) 0 ( ) 0F U U U = = =r rrEl operador nabla se define as, d d di j kdx dy dz + + Ahora, si una fuerza es conservativa, cF F=r r, entonces, deber satisfacer dela condicin de rotor nulo,y yx x z zF FF F F Fy x z x z y Esto es, la fuerza x y zF F i F j F k= + +r r r rdeber de cumplir simultneamentelas tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas.Lic. Percy Vctor Caote Fajardo75 9. Cuaderno de Actividades: Fsica IOtra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( )cFresmediante la independencia de su W segn cualquier trayectoria .211 2.rcrFWF dr cte rrrr rFinalmente, podramos decir segn la definicin de estas fuerzas, que elCFpW E r, ecuacin que ser muy til para efecto de determinarrelaciones importantes.Regresando a la FNC: No estn definidas por la ecuacin Fnc = - U pU E= asociadaNCFW depende de la NCFW no es evaluable por la ecuacin NCFpW E rDe todo lo anterior,Lic. Percy Vctor Caote Fajardo1 Fc12 2376 10. Cuaderno de Actividades: Fsica INCFMW E ? Probar esta relacin partiendo de la primera relacin donde laR c ncF F F= +r r r.Conservacin de la EM: Para que la energa mecnica se conserve,0 0NCFME W NCF r Mi MfE EEn general,Como NCFM Mf MiW E E E , entonces,NCFMf MiE E W +3,4) Potencia, PLic. Percy Vctor Caote FajardoNCFrr77 11. Cuaderno de Actividades: Fsica IEs la cantidad fsica escalar que informa la rapidez de realizar trabajo oenerga.i) Potencia media, PM:mWPt=ii) Potencial Instantnea, P:( ) 0limtW dWP tt dt = ( ) .P t F vr r[ ]Ju P watt Ws= = Lic. Percy Vctor Caote Fajardo( )v tr( )F tr78 12. Cuaderno de Actividades: Fsica IS3P18) Una pequea piedra de 0,10 kg se deja enlibertad desde su posicin de reposo en elpunto A, en el borde de un tazn hemisfricode radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra espequea en comparacin con R, as quepuede tratarse como una partcula. El trabajoefectuado por la friccin sobre la piedra albajar de A y B en el fondo del tazn es 0,22J,Qu rapidez tiene la piedra al llegar a B?,SOLUCION:w = 0,1 R = 0,6 VB =?wr: fuerza conservativaLic. Percy Vctor Caote FajardoA RVBA R Rnivel mB BvrN frwr79 13. Cuaderno de Actividades: Fsica If, N : fuerzas no conservativas.WFnc= EM, FNC ffA B MB MAW E E = rEM = Ek + Epg212fA B kB pgA BW E E mv mgR = = r( ) ?2fB A Bv W mgRm= + r? Se podr resolver usando RFkW E r2 RFB A Bv Wm=rRF w NW W W= +r rrfW+r.ww w r wR =r r r2?RFB A Bv Wm= rS3P1) Sobre una partcula acta la fuerza ( ) ( ) jzyyzxizyxzyxF 2323,, ++rN:a) Es Fruna fuerza conservativa?b) Si a) es afirmativo, halle la funcin potencial escalar, U (x,y,z).c) Halle la energa potencial si para un problema particular U (1,0,1) 1.d) El movimiento es en el plano? Discuta.SOLUCION:Lic. Percy Vctor Caote Fajardo80 14. Cuaderno de Actividades: Fsica I( ) ( ) { } { }2 2 , , 3 3x yF FF r F x y z xy z i x yz zy j= = + +r r14243 14243a) cF Fr r?0F =rrderivadas parciales cruzadasy yx x z zF FF F F Fy x z x z y = = = 6xyz = 6xyz 3xy2 0La ultima ecuacin no es correctala fuerza es noconservativa!? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar elproblema.S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas,( ) ( ) ( ) ( )kzzjyixxzyxF 12,, 32+++++r,a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo.b) Halle la energa potencial asociada para U (1,1,1) 0.c) De una curva de energa potencial que represente un caso fsicoconcreto.SOLUCION:( ) ( ) ( ) ( )2 3 , , 2 1F x y z x x i y j z z k + + + + +1424314243 14243a) 0 0Fx Fyy x , 0 0Fx Fzz x , 0 0Fy Fzz y { } /c pF F U E F U rb) U U(x,y,z)F Fc - ULic. Percy Vctor Caote Fajardo81 15. Cuaderno de Actividades: Fsica I. .F dr U dr r r123 U U UU i j kx y z + + dr dxi dyj dzk = + +r.U U UU dr dx dy dz dUx y z + + r.F dr dU r r: .U F dr r rPara determinar U se puede integrar Frtal como lo indica la Ecanterior,{ }x y zU F dx F dy F dz + +Analizando la por cada componente e introduciendo una cte funcional encada caso::x U Fxdx { } ( )3 22,3 2xx xU x x dx c y z + + + : yy U F dy { } { } ( )22 1 ,yU y dy y y c x z + + +: zz U F dz { } ( )4 23,4 2zz zU z z dz c x y + + + Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene,Lic. Percy Vctor Caote Fajardo82 16. Cuaderno de Actividades: Fsica I{ } ( )3 2 4 22( , , ) , ,3 2 4 2px x z zU x y z y y c E x y z + + + + c x y zF U F i F j F k + +rDonde la constante c se determina por la condicin que caracteriza al problemafsico, Ep (1,1,1) 0{ }1 1 1 11 13 2 4 2c + + + + + Ep (x,y,z) / c 43/12c) c1) Ep de un ncleo atmicoc2) Ep de sistema m - kLic. Percy Vctor Caote FajardoEp0 R r83 17. Cuaderno de Actividades: Fsica Ic3) Ep de sistema planetario o sistema atmico? Podra proponer dos curvas ms de Ep.Lic. Percy Vctor Caote FajardoEp-A A xEpr84 18. Cuaderno de Actividades: Fsica IS3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se sueltadesde el reposo sobe una superficiecircular lisa AB para despus moversesobre la superficie horizontal BC, cuyocoeficiente de rozamiento es = 0,2.En el punto C est colocado unresorte de constante k = 103N/m:a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B.b) Cunto se comprime el resorte?SOLUCION:m = 4 AB = liso k = 103VA = 0 BC = rugoso = 0,2a) NB=?DCL (m) al pasar por B,2Bcp BmvF N wR =Lic. Percy Vctor Caote FajardoAk 8 mCD 12 m B0 Ak0 B0FcpwBNB85 19. Cuaderno de Actividades: Fsica I2,BBvN w m w mgR= + =?Bv =Analizando de A B: WFnc 0, Fnc = NEmA EmB2 2122MA A MB B BE Epg mgR E mv v gR 23BgRN mg mx mgR + =b) Sea la compresin dada por DE, DE=x?: ; NCF fNC MD E F f W E= rrr -f (12 + X) EME - EMB{ } ( )21 122 2k x m gR Lic. Percy Vctor Caote FajardoCE D86 20. Cuaderno de Actividades: Fsica I2( ) 0/ ka x b x c f mg + + ?x Lic. Percy Vctor Caote Fajardo87