Trabajo y Energía

Trabajo

Definición: El trabajo mecánico realizado por una fuerza mientras un objeto se desplaza s es:

W =F s cos

W =F⋅s 1 Joule=J=1 N 1m =1 N m

W =F⋅s=Fs cos φFys

1J=1N 1m =1 NmProducto escalar:A⋅B=AB cos θ

AyB

Supongamos: fuerza constante y movimiento rectilíneo:

Qué trabajo se realiza cuando:

-Un hombre sostiene un objeto?

-Un hombre camina por un piso horizontal llevando un libro?

-Una bola atada a una cuerda está en movimiento circular horizontal?

W total=F R⋅s=∑i

W i=∑i

F i⋅s

Ejemplo:

Un trineo cargado con leña está enganchado a un tractor que lo arrastra con una fuerza constante sobre una superficie horizontal. El trineo es arrastrado Δx m. El tractor ejerce una fuerza constante Ftractor que forma un ángulo θ sobre la horizontal. Cuál es el trabajo total realizado por las fuerzas? Cuando:

-no se mueve.

-se mueve con velocidad constante.

- se mueve con una aceleración constante.

Cómo calcular la rapidez de un objeto sobre el cual actúa una fuerza variable f = f(r) ?

Energía Cinética: Ec = K = ½ m v2

El Trabajo realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual al cambio en energía cinética de la partícula

Trabajo y Energía Cinética

K=12

mv 2

Wtotal=K

2−K

1=ΔK

⇒ Teorema de Trabajo-Energía cinética

W total0: K 2K 1 Energía cinética aumenta: rapidez aumenta

W total0: K 2K 1 Energía cinética disminuye: rapidez disminuye

W total=0: K 2=K 1 Energía cinética no cambia: rapidez no cambia

Ejemplo:

Un trineo cargado con leña está enganchado a un tractor que lo arrastra 20 m con una fuerza constante sobre una superficie horizontal. El peso total del trineo y la leña es de 14700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N que forma un ángulo de 36,9° sobre la horizontal. Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento. La rapidez inicial v1 es 2 m/s. Cuál es la rapidez final?

Potencia: rapidez con la que se efectúa trabajo

P=Pm=ΔWΔt

P= límΔt 0

ΔWΔt

=dWdt

1W=1J /1sP=F⋅v

Ejemplo:

Qué potencia está asociada a la fuerza Ftractor cuando el trineo se mueve a 2 m/s? Qué potencia está asociada a la fuerza de fricción con esta rapidez?

Potencia

W grav=F⋅s=FsW grav=w y1− y2 =mgy1−mgy2

U=mgy Energía potencial gravitacional

W grav=U 1−U 2=−U 2−U 1 =−ΔUCuerpo sube:mov . g W grav0 ΔU0

Cuerpo baja:mov . g W grav0 ΔU0

Energía Potencial Gravitacional

Conservación de la Energía (sólo fuerzas gravitacionales)

F otras=0W total=K 2−K 1

W total=W grav=−ΔU=−U 2−U 1 K 1U 1=K 2U 2 (si sólo fuerza gravitacional efectúa

trabajo)E=KUE1=E 2

y1 y y2 son puntos arbitrarios en movimiento cuerpo → E tiene igual valor en todos los puntos del movimiento:

E = constante (si sólo fuerza gravitacional efectúa trabajo)

→ E se conserva : conservación de la energía mecánica

E: energía mecánica total

F otras=0

E se conserva

Fuerza gravitacional efectúa trabajo pero ya no es necesario calcularlo directamente: basta saber como es ΔU.

Efecto de otras fuerzas

F otras≠0W total=W otrasW grav=K 2−K 1

W otras−U 2−U 1 =K 2−K 1

W otrasK 1U 1=K 2U 2

W otrasE 1=E2

Si W otras0E 2E1 :E E . M .T . aumenta

Energía potencial elástica

W= 12

kx22− 1

2kx1

2

X=0 posición donde resorte no está ni estirado ni comprimido

W el=−U 2−U 1 =−ΔU

Si x10, x20, x2x 1:U aumenta:W el0Si x10, x 20, x2x 1:U disminuye:W el0

Si x10, x 20, x2x 1:U aumenta:W el0

Si x10, x 20, x2x 1:U disminuye :W el0

Trabajo efectuado sobre resorte:

W el=−12 kx22−1

2kx 1

2U=1

2kx2

Trabajo efectuado por resorte:

Si fuerza elástica es la única que realiza trabajo:W total=W el=K 2−K 1=−U 2−U 1K 1U 1=K 2U 2

12

mv121

2kx1

2=12

mv221

2kx 2

2

E se conserva

Ej. Bloque atado a resorte siempre que superficie no tenga fricción y ninguna otra fuerza realiza trabajo

Además masa del resorte << masa del cuerpo conectado

Si W otras≠0 :W elW otras=K 2−K 1

−U 2−U 1 W otras=K 2−K 1

K 1U 1W otras=K 2U 2 U i=12

kx i2

W otras=ΔE sistema

sistema : cuerpo de masa m y resorte de constante ksi W otras0 E aumenta

si W otras0 E disminuye

Situaciones con energía potencial tanto gravitacional como elástica

K 1U grav ,1U el ,1W otras=K 2U grav ,2U el ,2

Fuerza conservativa

Fuerza que permite conversión bidireccional entre energías cinética y potencial

El trabajo realizado por una fuerza conservativa:

• siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función de energía potencial

• es reversible (si U se convierte en K, K se convierte en U; en una direccion W<0, en la otra W>0)

• es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende sólo de los puntos inicial y final

• si punto inicial = punto final, Wtotal = 0

El trabajo hecho por una fuerza no conservativa (no reversibilidad) no puede representarse con una función de energía potencial

Algunas fuerzas no conservativas son fuerzas disipadoras. Ej: rozamiento

ΔU int=−W otras

La Ley de Conservación de la Energía

Caso bloque que se desliza por superficie rugosa:

Wfricción< 0 y ΔU > 0 (ambos se calientan)

K 1U 1W otras=K 2U 2

K 1U 1−ΔUinterna

=K 2U 2

0=ΔKΔUΔUinterna

→ Primera Ley de la Termodinámica

Fuerzas no conservativas

Enfoque es útil cuando movimiento implica fuerzas variables y/o trayectoria curva y es menos directo si el problema implica cálculo de tiempo transcurrido.

• Decidir cuáles son los estados inicial y final y hacer diagramas que muestren esos estados

• Definir un sistema de coordenadas y el nivel en que y=0

• Identificar las fuerzas no gravitacionales y no elásticas que efectúen trabajo y hacer diagramas de cuerpo libre

• Identificar las variables conocidas y desconocidas

• Tener en cuenta que:

y escribir expresiones para U1, K1, U2, K2 y Wotras

•Despejar la cantidad desconocida

• Verificar que la respuesta es físicamente lógica. El trabajo realizado por cada fuerza debe estar representado en –ΔU o en Wotras, pero nunca en ambas expresiones.

K 1U 1W otras=K 2U 2

Método Solución Ejercicios Enfoque Energía

Ejemplo:

Se lanza una pelota de béisbol con masa 0,145 kg hacia arriba, dándole una rapidez inicial de 20 m/s. Despreciando la resistencia del aire y haciendo uso de la conservación de la energía determinar qué altura alcanza.

m=0,145 kg v0=20 m/s h=?

U 1K 1=U 2K 2

12

m v12=m ghh=1

2gv1

2

h=20 m / s 2

2 9,8 m / s2=20 , 41 m

wF otras=0

Ejemplo:

Empleando consideraciones de energía deducir una expresión para la altura máxima de una pelota lanzada con rapidez inicial v0 a un ángulo θ0.

wF otras=0

v0√ θ0 √ hmáx=?

U 1K 1=U 2K 2

12

m v02=1

2m v f

2m ghmáx

hmáx=12g

v02−v f

2 =12g

v x2v y

2−v x2 =1

2gv y

2

¿12g

v0 Sen θ 2hmáx=v0

2 Sen2 θ

2g

Ejemplo:

Un niño baja en patineta una rampa curva. Tratando al niño y la patineta como una partícula, ésta describe un cuarto de círculo de radio R. La masa total del niño y la patineta es de 25 kg. El niño parte del reposo y no hay fricción (a) calcular la rapidez en la base de la rampa (b) calcular la fuerza normal que actúa sobre el niño en la base

a

m=25kg v0=0 ff=0 vbase=? Nbase=?

U 1K 1=U 2K 2

m gR=12

m v f2 v f=2 gR

N base−w=mv2

R

N base=mv2

Rw=m

2g RR

w=3w

Ejemplo:

Se quiere subir una caja de 12 kg a un camión deslizándola por una rampa de 2,5 m inclinada 30°. Un hombre le da una rapidez inicial de 5 m/s en la base. La fricción no es despreciable, la caja sube 1,6 m sobre la rampa, se para y regresa. (a) Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción? (b) Qué rapidez tiene la caja al volver a la base de la rampa?

N ff

w

m=12 kg θ=30° v0=5 m/s

Δs=1,6m ff=? vbase=?

y=1,6sen30°m

K 1U 1W otras=K 2U 2

12

mv02− f f Δs=mgy

f f=1Δs 12 mv0

2−mgy f f=

12 kg1,6 m 12 5m / s 2−9,8 m / s21,6 m sen 30°

f f=34 ,95 N W f f=−34 , 95 N 1,6 m =−55 , 92 J

U 2W otras=K 3U 3

mgy−W ff=1

2mv 3

2

v3=2m mgy−W f

f =

212 kg

12 kg 9,8m / s2 1,6 sen 30° m −55 ,92 J =2, 52 m/ s

Ejemplo:

Un bloque de masa m=0,2 kg descansa en una superficie horizontal sin fricción conectado a un resorte con k=5N/m. Se aplica al bloque una fuerza constante F en la dirección x+ hasta cuando el bloque llega al punto x1=0,1 m. La magnitud de F es 0,610 N. Cuánto más avanza el bloque antes de parar?

F

U 0K 0W otras=U 1K 1

FΔs=12

kx121

2mv1

2 v1=2m Fx1−

12

kx12

v1=20,2kg 0,61 N 0,1m −1

25N/m 0,1m 2=0,6 m/ s

U 1K 1=U 2

12

kx12

12

mv12=

12

kx22 kx1

2mv12

k=x 2

x2=5N/m 0,1m 20,2 kg 0,6 m / s 2

5N/m=0,16 m

F

am=0,2 kg k=5N/m F0→ x1=0,1 m=0,610 N Δs=0,1m x2=?