1

Zadatak 001 (Marko, tehnička škola) Dva radnika nose teret obješen na motku duljine 3 m. Teret visi 1.2 m od prvog radnika. Kako se

odnose sile kojima motka pritišće prvog i drugog radnika?

Rješenje 001 Koristimo zakon poluge.

l1 = 1.2 m, l2 = 3 m – 1.2 m = 1.8 m, F1 : F2 = ?

1.8 31 2 1.51 1 2 2 1.2 2

2 1

F l mF l F l

F l m⋅ = ⋅ ⇒ = = = = .

Vježba 001 Dva radnika nose teret obješen na motku duljine 7 m. Teret visi 2 m od prvog radnika. Kako se

odnose sile kojima motka pritišće prvog i drugog radnika?

Rezultat: 2.5.

Zadatak 002 (Ivan, tehnička škola) Uteg mase 3 kg okrećemo u vertikalnoj ravnini brzinom 2 m/s na niti dugoj 1 m. Kolika je napetost

niti u najnižoj točki kruženja?

Rješenje 002 m = 3 kg, v = 2 m/s, r = 1 m, g = 10 m/s2, F = ?

Na tijelo koje rotira zajedno sa sustavom, a promatrano sa stajališta tog sustava, djeluje akceleracija koja je

jednaka akceleraciji koja izvodi rotaciju sustava, ali suprotnog smjera od nje. Zbog toga u sustavu koji

jednoliko rotira opažamo da na tijelo mase m djeluje sila m · a koja ima radijalni smjer od središta rotacije, a

zovemo je centrifugalnom silom. Dakle, nit napinje težina utega G i centrifugalna sila koja djeluje na uteg.

Centrifugalna sila djeluje zato što nit i uteg zajedno kruže. Napetost niti jednaka je:

2

22 2

3 10 422 1

m

v v m sF m g m m g kg N

r r ms= ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅ + =

.

Napetost niti u najnižoj točki je 42 N.

Vježba 002 Uteg mase 5 kg okrećemo u vertikalnoj ravnini brzinom 2 m/s na niti dugoj 2 m. Kolika je napetost

niti u najnižoj točki kruženja?

Rezultat: 60 N.

Zadatak 003 (Maja, medicinska škola) Kotač, koji se vrti brzinom 480 okretaja u minuti, počinje se zaustavljati jednoliko usporeno. Koliki

je ukupni broj okretaja kotača pri zaustavljanju ako se zaustavi za 0.5 minuta?

Rješenje 003 n1 = 480, t1 = 1 min = 60 s, t = 0.5 min = 30 s, n = ?

Ako se kotač okrene 480 puta u minuti, onda je frekvencija (broj okretaja u jedinici vremena, u 1 sekundi)

jednaka:

480 11 8 8 Hz.60

1

nf s

t s

−= = = =

Ako se kotač jedanput okrene, onda je opisani kut 2π, a ako se okrene n puta kut iznosi:

φ = 2π · n.

Budući da se kotač jednoliko usporava, kut se može računati po formuli

2

φ = 1

,2

tω⋅ ⋅

gdje je ω kutna brzina

ω = 2π · f.

Konačno je

/ :1 1 1 1 1

2 2 2 2 8 30 120.2 2 2 2

2n f t n f t n f t s sπ π π ππ−

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Vježba 003 Kotač, koji se vrti brzinom 540 okretaja u minuti, počinje se zaustavljati jednoliko usporeno. Koliki

je ukupni broj okretaja kotača pri zaustavljanju ako se zaustavi za 1 minutu?

Rezultat: 270.

Zadatak 004 (Gigi, gimnazija) Kotač mase 1 kg kotrlja se bez klizanja po vodoravnoj podlozi brzinom 2 m/s. Kolika je kinetička

energija kotača?

Rješenje 004 m = 1 kg, v = 2 m/s, Ek = ?

Budući da se kotač kotrlja bez klizanja, njegova ukupna kinetička energija jednaka je zbroju kinetičke

energije translacije i kinetičke energije rotacije.

Kinetička energija tijela mase m i brzine v je:

1 21 2

.E m v= ⋅ ⋅

Kinetička energija tijela koje rotira kutnom brzinom ω je:

1 22 2

,E I ω= ⋅ ⋅

gdje je I moment ustrajnosti (tromosti). Moment ustrajnosti (tromosti) za kružnu ploču polumjera r, s

obzirom na os koja prolazi okomito središtem je:

1 2.

2I m r= ⋅ ⋅

Obodna (linearna) brzina v je u smjeru staze i iznosi:

v = r · ω.

Sada je ukupna kinetička energija kotača:

( )1 1 1 1 1 1 22 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 4

21 1 3

1 2

2

32 2 21 2 3 J.

2 4 4 4

E E E m v m v m v m rk

mm v m v m v k

I m r

gs

ω ω ω= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Vježba 004 Kotač mase 2 kg kotrlja se bez klizanja po vodoravnoj podlozi brzinom 5 m/s. Kolika je kinetička

energija kotača?

Rezultat: 37.5 J.

Zadatak 005 (Maja, medicinska škola) Automobil mase 900 kg vozi stalnom brzinom 72 km/h preko mosta u obliku izbočenog luka i

polumjera zakrivljenosti 100 m. Kolika je sila pritiska na podlogu u sredini mosta? (g = 10 m/s2)

3

Rješenje 005 m = 900 kg, v = 72 km/h = [72 : 3.6] = 20 m/s, r = 100 m, g = 10 m/s2, F = ?

rr

Fcf

G

Težina mirnog automobila je G = m · g. Budući da se automobil giba po mostu koji ima oblik kružnog luka

(kružno gibanje!) na automobil djeluje još i centripetalna sila (koja ima suprotan smjer od smjera težine) pa

je sila pritiska jednaka:

2

202 2

900 10 900 10 42 2 2100

m

v v m m msF G F mg m m g kg kg

cf r r ms s s= − = − = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =

900 6 5400 5.4 .2

mkg N kN

s= ⋅ = =

Vježba 005 Automobil mase 500 kg vozi stalnom brzinom 72 km/h preko mosta u obliku izbočenog luka i

polumjera zakrivljenosti 100 m. Kolika je sila pritiska na podlogu u sredini mosta? (g = 10 m/s2)

Rezultat: 3000 N = 3 kN..

Zadatak 006 (Maja, medicinska škola) Automobil mase 900 kg vozi stalnom brzinom 72 km/h preko mosta u obliku udubljenog luka i

polumjera zakrivljenosti 100 m. Kolika je sila pritiska na podlogu u sredini mosta? (g = 10 m/s2)

Rješenje 006 m = 900 kg, v = 72 km/h = [72 : 3.6] = 20 m/s, r = 100 m, g = 10 m/s

2, F = ?

rr

Fcf

G

Težina mirnog automobila je G = m · g. Budući da se automobil giba po mostu koji ima oblik kružnog luka

(kružno gibanje!) na automobil djeluje još i centripetalna sila (koja ima isti smjer kao i težina) pa je sila

pritiska jednaka:

2

202 2

900 10 900 10 42 2 2100

m

v v m m msF G F mg m m g kg kg

cf r r ms s s= + = + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + =

900 14 12600 12.6 .2

mkg N kN

s= ⋅ = =

4

Vježba 006 Automobil mase 500 kg vozi stalnom brzinom 72 km/h preko mosta u obliku udubljenog luka i

polumjera zakrivljenosti 100 m. Kolika je sila pritiska na podlogu u sredini mosta? (g = 10 m/s2)

Rezultat: 7000 N = 7 kN.

Zadatak 007 (Sanja, gimnazija) Homogena greda mase 60 kg duljine 2 m obješena je 50 cm daleko od jednog svog kraja. Kolikom

će silom drugi kraj grede pritiskati na ruku ako želimo da greda bude u horizontalnom (vodoravnom)

položaju?

Rješenje 007 m = 60 kg, l = 2 m, d = 50 cm = 0.5 m, g = 10 m/s

2, F = ?

Moment M sile F u odnosu prema osi O jest umnožak sile F i udaljenosti r

pravca sile od te osi:

M = r · F.

Tijelo je u ravnoteži ako je zbroj momenata sila koje zakreću tijelo u

jednom smjeru jednak zbroju momenata sila koje ga zakreću u suprotnom smjeru.

Jednostrana poluga je u ravnoteži kad je 1 2

.1 2

F r F r⋅ = ⋅

F2

F1r1

r2

O

Zato je:

0.5F2

Gr1

r2

60 10 0.50.5 , 1.5 21 2 1 1 200 .1.5

2 1 2 2

mkg mr m r m G r m g r

sF NF r G r r r m

⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅⇒ = = = =

⋅ = ⋅

Vježba 007 Drvena greda mase 40 kg i duljine 2 m obješena je 45 cm daleko od jednoga svojeg kraja. Kolikom

će silom drugi kraj grede pritiskati na našu ruku ako gredu držimo u horizontalnom (vodoravnom) položaju?

Rezultat: F = 142 N.

Zadatak 008 (Ivana, gimnazija) Motorist vozi po kružnom zidu polumjera zakrivljenosti 3 m. Koliku minimalnu brzinu mora razviti

da ne padne, ako je koeficijent trenja izmeñu zida i kotača 0.2?

Rješenje 008 r = 3 m, µ = 0.2, g = 10 m/s

2, v = ?

Sila trenja izmeñu zida i kotača dana je izrazom: 2

.v

F F mcptr rµ µ= ⋅ = ⋅ ⋅

Uvjet koji mora biti ispunjen da motorist ne padne je:

2/2 2/

r

m

v r gF G m m g v r g vtr r

µ µµ

⋅= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =⋅ ⇒

F

r

O

5

3 102

12.25 .0.2

mm

r g msvsµ

⋅⋅

⇒ = = =

Vježba 008 Motorist vozi po kružnom zidu polumjera zakrivljenosti 4 m. Koliku minimalnu brzinu mora razviti

da ne padne, ako je koeficijent trenja izmeñu zida i kotača 0.2?

Rezultat: 14.14 m/s.

Zadatak 009 (Ivan, gimnazija) Kotač se giba jednoliko usporeno. Koliko okretaja načini tijelo tijekom jedne minute ako mu se

frekvencija okretanja u tom razdoblju smanji s 5 Hz na 3 Hz?

Rješenje 009 t = 1 min = 60 s, ν1 = 5 Hz, ν2 = 3 Hz, n = ?

Budući da je gibanje jednoliko usporeno, vrijedi:

( ) ( )22 2 2 5 3 41 21 2 1 2 .2 1

tt t t t t

π ν νω ω π ν π ν π πω ω α α

⋅ −− ⋅ − ⋅ ⋅ −= − ⋅ ⇒ = = = = =

U zadanom vremenu kotač je opisao kut:

( )1 1 42 22 2 2 2 1 .1 1 1 12 2

t t t t t t tt

πϕ ω α π ν π ν π π ν= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ −

Broj okretaja iznosi:

( )( )

1 111 60 4 240.

12

2

2

tn t s

s

νϕ

π

π

πν

⋅ ⋅ −= = = ⋅ − = ⋅ =

Vježba 009 Kotač se giba jednoliko usporeno. Koliko okretaja načini tijelo tijekom dvije minute ako mu se

frekvencija okretanja u tom razdoblju smanji s 5 Hz na 3 Hz?

Rezultat: n = 480.

Zadatak 010 (Ivan, tehnička škola) Koliko okreta u minuti čine kotači vagona kada vlak vozi brzinom 80 km/h? Promjer kotača iznosi

80 cm.

Rješenje 010

t = 1 min = 60 s, v = 80 km/h = [80 : 3.6] = 22.2 m/s, 2r = 80 cm = 0.80 m, N = ?

1.inačica

to je broj okret2 ( )2

a u jednoj sekundiv

v r f fr

ππ

= ⋅ ⋅ ⇒ =⋅

Broj okreta u vremenu t iznosi:

22.2

60 530.2 2 3.14 0.80

m

v v sN f t t t sr r mπ π

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

2.inačica

Iz formula za obodnu brzinu i opisani kut slijedi:

22.21 1 1 1 1

60 530.2 2 2 2 2 3.14 0.80

mv r v v sN t t t s

t r r m

ω ϕϕ ω

ϕ ω π π π π π

= ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅

Ftr

G

Fcp

6

Vježba 010 Koliko okreta u minuti čine kotači vagona kada vlak vozi brzinom 160 km/h? Promjer kotača iznosi

80 cm.

Rezultat: 1060.

Zadatak 011 (Max, tehnička škola) Kolika je ukupna kinetička energija prstena koji se kotrlja ako mu je kinetička energija rotacije 125

J?

Rješenje 011 Ekr = 125 J, Ek = ?

Moment ustrajnosti (tromosti) za prsten dan je formulom:

1 2.2

I m r= ⋅ ⋅

Ukupna kinetička energija prstena jednaka je zbroju kinetičke energije translacije i kinetičke energije

rotacije:

( )1 1 1 1 1 122 2 2 2 2 2

2 2 2

obodna brzi

2 2 2

naE m v I m r I m r I

k v r

I

ω ω ω ω ωω

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= ⋅�����

1 3 12 2 2 23 3 3 125 375 .

2 2 2I I I I E J J

krω ω ω ω= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 011 Kolika je ukupna kinetička energija prstena koji se kotrlja ako mu je kinetička energija rotacije 200

J?

Rezultat: 600 J.

Zadatak 012 (Ivan, tehnička škola) Kotač bicikla rotira oko osi koja miruje. Koliki je broj okretaja kotača u minuti ako je slika,

snimljena fotografskim aparatom s ekspozicijom 0.04 sekunde, pokazala da svaka žica kotača pokriva

polovinu površine izmeñu susjednih žica. Kotač ima 15 žica.

Rješenje 012 t = 1 min = 60 s, ∆t = 0.04 s, N = 15, n = ?

Kotač ima 15 žica pa je kut izmeñu dviju susjednih žica jednak 2

.15

π

Budući da svaka žica kotača pokriva polovinu površine izmeñu susjednih

žica, kut je:

1 2.

2 15 15

π πϕ = ⋅ =

U jednoj sekundi broj okretaja (frekvencija) je:

1152 .2 2 0.04 2 15 0.04 1.2

t Hzt s s

πϕ

ϕ π ν νπ

ππ π= ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = = = =

⋅ ∆ ⋅ ⋅ ⋅

Broj okretaja u minuti iznosi:

1 60 160 50 .

1.2 1.2 min

okrn t Hz s s sν

−= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 012 Kotač bicikla rotira oko osi koja miruje. Koliki je broj okretaja kotača u dvije minute ako je slika,

snimljena fotografskim aparatom s ekspozicijom 0.04 sekunde, pokazala da svaka žica kotača pokriva

polovinu površine izmeñu susjednih žica. Kotač ima 15 žica.

Rezultat: 100 .min

okr

ϕϕϕϕ

3

2

1

7

Zadatak 013 (Nikolina, gimnazija) Uteg mase 50 g privezan je na nit duljine 25 cm, koja kruži u horizontalnoj ravnini. Kolika je

centripetalna sila koja djeluje na uteg ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi?

Rješenje 013 m = 50 g = 0.05 kg, r = 25 cm = 0.25 m, ν = 2 Hz, Fcp = ?

Centripetalna sila dana je izrazom:

21 12 2 2 24 4 0.05 0.25 2 4 3.14 0.05 0.25 4 1.97 .

2F m r F kg m kg m Ncp cp

s sπ ν π

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

mr

v

Vježba 013 Uteg mase 100 g privezan je na nit duljine 25 cm, koja kruži u horizontalnoj ravnini. Kolika je

centripetalna sila koja djeluje na uteg ako je frekvencija kruženja 2 okreta u sekundi?

Rezultat: 3.94 N.

Zadatak 014 (Nikolina, gimnazija) Koliki bi trebao biti dugačak dan da tijela na ekvatoru ne pritišću na površinu Zemlje (r = 6 370 km,

g = 10 m/s2)?

Rješenje 014 r = 6370 km = 6.37 · 10

6 m, g = 10 m/s

2, T = ?

Iz uvjeta zadatka težina tijela na ekvatoru mora biti po iznosu jednaka centripetalnoj sili:

2/ /

242 2 2 24 4

2

Tr rG F m g m g T r Tcp

gT m

ππ π

⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⇒

2 64 6.37 102 2

102

r r mT

mg g

s

ππ π

⋅ ⋅ ⋅⇒ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 5012.211169 s = [5012.211169 : 60] =

= 83.53685281 min = 83 min + 0.53685281 min = 83 min + 0.53685281 · 60 s =

= 83 min 32.21116878 s ≈ 83 min 32 s ≈ 84 min.

Vježba 014 Kolika bi trebala biti frekvencija Zemlje da tijela na ekvatoru ne pritišću na njezinu površinu

(r = 6 370 km, g = 10 m/s2)?

Rezultat: 1.995 · 10-4

Hz.

Zadatak 015 (Medicinka, medicinska škola) Kako treba premjestiti hvatište sile da se njezino djelovanje na kruto tijelo ne mijenja?

Rješenje 015

Hvatište sile H treba premjestiti duž pravca u kojem djeluje sila.

Vježba 015 Koja je SI – jedinica za moment tromosti?

Rezultat: kg m2.

H

8

Zadatak 016 (Medicinka, medicinska škola) Gramofonska ploča učini 45 okretaja u minuti. Nañi frekvenciju i ophodno vrijeme.

Rješenje 016 n = 45, t = 1 min = 60 s, ν = ?, T = ?

Frekvencija je broj okretaja u jednoj sekundi:

45 10.75 0.75 .

60

nHz

t s sν = = = =

Perioda je vrijeme jednog ophoda. Izmeñu frekvencije ν i periode T postoji ova

veza:

1 1, odnosno .T

Tν

ν= = Zato je:

1 11.33 .

10.75

T s

s

ν= = =

Vježba 016 Gramofonska ploča učini 60 okretaja u minuti. Nañi frekvenciju i ophodno vrijeme.

Rezultat: ν = 1 Hz, T = 1 s.

Zadatak 017 (Marko, tehnička škola) Dječji vlak iz mirovanja počinje gibanje stalnom tangencijalnom akceleracijom po kružnim

tračnicama polumjera 2 m i nakon prevaljenog puta od 1.5 m postiže brzinu 15 km/h. Kolika je bila brzina

vlaka na polovici prevaljenog puta?

Rješenje 017

r = 2 m, s = 1.5 m, 1

1 11.5 0.75 ,

2 2s s m m= ⋅ = ⋅ = v2 = 15 km/h, v1 = ?

Podsjetimo se veze izmeñu obodne brzine v i kutne

brzine ω:

v ,rω= ⋅

gdje je ω kutna brzina za koju vrijedi:

2 2 .ω α ϕ= ⋅ ⋅

Kutna akceleracija iznosi:

22 vv 2 2 22 v 2 .2 2

a sr s

r sa rα α

α

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅= ⋅

Opisani kut φ definira se:

1 .s

rϕ =

Računamo kutnu brzinu ω u ovisnosti o konačnoj brzini v2:

2v2 2 2 2=2 , v v v v 22 22 2 2 22 r s = = = .2r 2 2r 22 r1

22 /

2 s 2

2

r rs s

s

r r

ω α ϕ αω ω ω

ϕ

⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅= =

⋅

Brzina vlaka na polovici prevaljenog puta bila je:

km15 2v 2 v 2

2 2 hv 10.61 .1 2 2 2

kmr

r hrω

⋅⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = = =

⋅

Vježba 017 Dječji vlak iz mirovanja počinje gibanje stalnom tangencijalnom akceleracijom po kružnim

tračnicama polumjera 2 m i nakon prevaljenog puta od 1.5 m postiže brzinu 15 km/h. Kolika je bila brzina

vlaka na polovici prevaljenog puta?

v2

v1

s1

s1

ϕϕϕϕ

r

r

9

Rezultat: 14.14 .km

h

Zadatak 018 (Marko, tehnička škola) Odredi obodnu (linearnu) brzinu točke na ekvatoru Zemlje, zbog rotacije Zemlje, ako je polumjer

Zemlje r = 6377.397 km.

Rješenje 018 r = 6377.397 km = 6.3774 · 10

6 m, T = 24 h = 24 · 3600 s = 8.64 · 10

4 s, v = ?

v 62 2 6.3774 10v 463.78

obo

.2 48.64 10

dna brzina

kutna brzina

rr m m

T ssT

ωπ π

πω

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = = =⋅= ⋅

Vježba 018 Odredi obodnu (linearnu) brzinu točke na ekvatoru Zemlje ako je polumjer Zemlje r = 6400 km.

Rezultat: 465.42 .m

s

Zadatak 019 (Sany, gimnazija) Kotači A i B povezani su remenom. Kotač A ima polumjer 30 cm, a kotač B 120 cm. Odredi omjer

kutnih brzina tih kotača.

Rješenje 019 r1 = 30 cm, r2 = 120 cm, ω1 : ω2 = ?

Budući da su obodne brzine remena i kotača jednake, slijedi:

v1 1 1 1 1 2 2

v2 2

v v1 2

1/

r1 2

2

r r r

rω

ω ω ω

ω

=

⋅= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅⋅

120 41 2 4 .1 230 1

2 1

r cm

r cm

ωω ω

ω⇒ = = = ⇒ = ⋅

Vježba 019 Kotači A i B povezani su remenom. Kotač A ima polumjer 20 cm, a kotač B 100 cm. Odredi omjer

kutnih brzina tih kotača.

Rezultat: 5 .1 2

ω ω= ⋅

Zadatak 020 (Sany, gimnazija) Kolika je brzina bicikla ako se kotač promjera 1 m okrene 3 puta u sekundi?

Rješenje 020 2 · r = 1 m, n = 3, t = 1 s, v = ?

Budući da je obodna (linearna) brzina kotača jednaka brzini bicikla, dobije se:

[ ]9.42 33

v 2 r v 1 9.42 33.91 .1

v 2 r

.6

nn m km

mtt s s h

νπ π

π ν

=

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = = == ⋅ ⋅ ⋅

⋅

Vježba 020 Kolika je brzina bicikla ako se kotač promjera 1 m okrene 4 puta u sekundi?

Rezultat: 45.25 .km

h

BA

r2r1