Zadatak 101 (Maturanti, HTT) ¤† £± ¤† - halapa 2 Zadatak...

download Zadatak 101 (Maturanti, HTT) ¤† £± ¤† - halapa 2 Zadatak 103 (Ava, u¤†iteljska akademija) Pitagora je

of 20

  • date post

    20-Feb-2020
  • Category

    Documents

  • view

    5
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Zadatak 101 (Maturanti, HTT) ¤† £± ¤† - halapa 2 Zadatak...

  • 1

    Zadatak 101 (Maturanti, HTT)

    Koliki kut zatvaraju velika i mala kazaljka na satu točno u četiri sata?

    0 0 0 0 ) 30 ) 60 ) 120 ) 150A B C D

    Rješenje 101

    Kada satna kazaljka jednom obiñe brojčanik (opisala je puni kut od 360º) prošlo je 12 sati. Znači za 1 sat opisala je kut

    0 360 0

    30 . 12

    =

    Traženi kut iznosi: 0

    360 0 0 4 30 4 120 .

    12 α = ⋅ = ⋅ =

    Odgovor je pod C.

    30°°°° 2

    1

    9

    6

    3

    12

    Vježba 101 Koliki kut zatvaraju velika i mala kazaljka na satu točno u dva sata?

    0 0 0 0 ) 30 ) 60 ) 120 ) 150A B C D

    Rezultat: B.

    Zadatak 102 (Maturanti, HTT)

    Sat zaostaje 6 minuta. Minutnu kazaljku trebalo bi pomaknuti prema naprijed za kut od:

    0 0 0 0 ) 12 ) 24 ) 36 ) 42A B C D

    Rješenje 102

    Kada minutna kazaljka jednom obiñe brojčanik (opisala je puni kut od 360º) prošao je 1 sat, tj. 60 minuta. Znači za 1 minutu opisala je kut

    0 360 0

    6 . 60

    =

    Traženi kut iznosi: 0

    360 0 0 6 6 6 36 .

    60 α = ⋅ = ⋅ =

    Odgovor je pod C.

    Vježba 102 Sat zaostaje 3 minute. Minutnu kazaljku trebalo bi pomaknuti prema naprijed za kut od:

    0 0 0 0 ) 12 ) 14 ) 16 ) 18A B C D

    Rezultat: D.

  • 2

    Zadatak 103 (Ava, učiteljska akademija)

    Pitagora je bio poznati grčki matematičar rodom sa otoka Samosa. Imao je svoju školu. Jednom prilikom pitali su ga koliko učenika ima njegova škola. Odgovorio je: Jedna polovina uči matematiku, polovina od polovine uči glazbu, sedmina provodi vrijeme u šutnji, a još su i tri žene. a) Koliko je učenika bilo u školi? b) Koliko učenika uči matematiku, koliko glazbu, a koliko njih šuti?

    Rješenje 103

    Ponovimo!

    1 1

    odKako zapisati ? Odgovor : . 2 2

    x x⋅

    1 1

    odKako zapisati ? Odgovor : . 3 3

    x x⋅

    1 1

    odKako zapisati ? Odgovor : .x x n n

    Neka je x broj učenika Pitagorine škole. (Pretpostavimo da tada nije bilo 'markiranja' u školama) ☺ Zapišimo sljedeće rečenice u obliku matematičkih izraza:

    • ''Jedna polovina uči matematiku, …'' 1

    . 2

    x⋅

    • ''… polovina od polovine uči glazbu, …''

    1 1 1 .

    2 2 4 x x⋅ ⋅ = ⋅

    • ''… sedmina provodi vrijeme u šutnji, …''

    1 .

    7 x⋅

    • ''… a još su i tri žene.'' 3.

    Zato je 1 1 1

    3 . 2 4 7

    x x x x⋅ + ⋅ + ⋅ + =

    Riješimo jednadžbu tako da je najprije pomnožimo zajedničkim nazivnikom:

    1 1 1 1 1 1 3 3 14 7 4 84/ 2 28

    2 4 7 2 4 8

    7 x x x x x x x x x x x x⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⇒

    ( )14 7 4 28 84 3 84 3 84 28./ : 3x x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ − ⇒ =−=

    a) U školi je bilo 28 učenika.

    b) Matematiku uči:

    1 28 14 učenika.

    2 ⋅ =

    Glazbu uči: 1

    28 7 učenika. 4

    ⋅ =

    Ništa ne uči (samo šute ☺):

  • 3

    1 28 4 učenika.

    7 ⋅ =

    Vježba 103 Nemam svoju školu, ali radim u državnoj. Kada bi me Ava pitala koliko učenika imam u razredu odgovorio bih: Jedna polovina uči dobro matematiku, jedna trećina su jako dobri u matematici, a četiri učenika su slaba i nikada se ne 'gase' na satu. ☺ Koliko je učenika u razredu?

    Rezultat: 24. Zadatak 104 (Ava, učiteljska akademija)

    Na nekom ispitu iz matematike trebalo je riješiti 30 zadataka. Za svaki točno riješen zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, a za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda. Koliko je zadataka riješio točno, koliko djelomično, a koliko netočno učenik koji je sakupio 95 bodova pri čemu je za točno riješene i netočno sakupio 65 bodova?

    Rješenje 104 1.inačica

    Neka je x broj točno riješenih zadataka, y broj djelomično riješenih zadataka, a z broj neriješenih i netočno riješenih zadataka. Budući da je ukupno zadano 30 zadataka, možemo postaviti jednadžbu:

    30.x y z+ + =

    Za svaki točno riješeni zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda pa je na kraju sakupio 95 bodova. Tom uvjetu odgovara sljedeća jednadžba:

    5 3 2 95.x y z⋅ + ⋅ − ⋅ =

    Samo za točno riješene i netočno učenik je sakupio 65 bodova pa odgovarajuća jednadžba glasi:

    5 2 65.x z⋅ − ⋅ = Dobili smo sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice.

    30

    5 3 2 95 .

    5 2 65

    x y z

    x y z

    x z

    + + =

    ⋅ + ⋅ − ⋅ =

    ⋅ − ⋅ =

        

    Oduzmemo od druge jednadžbe treću da bismo izračunali y, broj djelomično riješenih zadataka.

    ( ) oduzmemo

    jednadž

    5 3 2 95 5 3 2 5 2 95 65

    5 2 65 be

    x y z x y z x z

    x z

    ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⇒

    ⋅ − ⋅ =

            

    5 25 3 2 5 2 30 3 30 3 35 2 0x y z x z yx z x yz⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ +⋅ − ⋅⋅ = ⇒⋅ ⋅⋅ =− + ⇒

    / : 33 30 10.y y⋅ = ⇒ = Računamo nepoznanice x i z.

  • 4

    30 10 30 30 10 20

    5 2 65 5 2 65 5 2

    metoda suprotnih

    koeficijena65 5 2 65 10

    ta

    x y z x z x z x z

    x z x z x z x z

    y

    + + = + + = + = − + =

    ⋅ − ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

    =

         

              

    20 2 2 40 7 105 7 105 15

    5 2 65

    / 2 / : 7

    5 2 65

    x z x z x x x

    x z x z

    + = ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

    ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

    ⋅      

    20 15 20 20 15 5.

    15

    x z z z z

    x

    + = ⇒ ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

    =

      

    Učenik je riješio točno 15 zadataka, djelomično 10 zadataka, a netočno je bilo 5 zadataka.

    2.inačica

    Neka je x broj točno riješenih zadataka, a y broj djelomično riješenih zadataka. Budući da je zadano 30 zadataka, slijedi da netočnih zadataka ima:

    30 .x y− − Za svaki točno riješeni zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda pa je na kraju sakupio 95 bodova. Tom uvjetu odgovara sljedeća jednadžba:

    ( )5 3 2 30 95 5 3 60 2 2 95x y x y x y x y⋅ + ⋅ − ⋅ − − = ⇒ ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⇒

    5 3 2 2 95 60 7 5 155.x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⇒ ⋅ + ⋅ =

    Samo za točno riješene i netočno učenik je sakupio 65 bodova pa odgovarajuća jednadžba glasi:

    ( )5 2 30 65 5 60 2 2 65 5 2 2 65 60x x y x x y x x y⋅ − ⋅ − − = ⇒ ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⇒

    7 2 125.x y⇒ ⋅ + ⋅ =

    Dobili smo sustav od dvije jednadžba sa dvije nepoznanice.

    ( )

    metoda suprotnih

    / 1koeficijenat

    7 5 1557 5 155

    7 2 1257 2 125 a

    x yx y

    x yx y

    ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒

    ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ −+ ⋅ =

          

       

    7 5 155 3 30 3 30 10.

    7 2 125 / : 3

    x y y y y

    x y

    ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

    − ⋅ − ⋅ = −

      

    Računamo x. 7 2 125

    7 2 10 125 7 20 125 7 125 20 7 105 10

    x y x x x x

    y

    ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒

    =

      

    / :7 7105 15.x x⇒ ⋅ = ⇒ = Broj netočnih zadataka iznosi:

    15 30 30 15 10 5.

    10

    x x y

    y

    = ⇒ − − = − − =

    =

      

    Učenik je riješio točno 15 zadataka, djelomično 10 zadataka, a netočno je bilo 5 zadataka.

    Vježba 104 Na nekom ispitu iz matematike trebalo je riješiti 30 zadataka. Za svaki točno riješen zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, a za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda. Koliko je zadataka riješio točno, koliko djelomično, a koliko netočno učenik koji je sakupio 60 bodova pri čemu je za točno riješene i netočno skupio 30 bodova.

    Rezultat: x = y = z = 10. Zadatak 105 (Sandra, gimnazija)

    Koliko je minuta do devet sati ako je prije 25 minuta bilo osam sati i četverostruko toliko minuta?

  • 5

    Rješenje 105

    Ako s x označimo broj minuta do devet sati tada je trenutno vrijeme

    9 min (540 ) min .h x x− = − Budući da je prije 25 minuta bilo osam sati i četverostruko toliko minuta pišemo

    8 4 min (480 4 ) minh x x+ ⋅ = + ⋅ pa vrijedi jednadžba

    ( )540 25 480 4 4 480 540 /25 5 35 5 35 .: 75x x x x x x x− − = + ⋅ ⇒ − − ⋅ = − + ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = ⇒ =−− Sedam je minuta do devet sati.