1

Zadatak 101 (Maturanti, HTT)

Koliki kut zatvaraju velika i mala kazaljka na satu točno u četiri sata?

0 0 0 0) 30 ) 60 ) 120 ) 150A B C D

Rješenje 101

Kada satna kazaljka jednom obiñe brojčanik (opisala je puni kut od 360º) prošlo je 12 sati. Znači za 1 sat opisala je kut

0360 0

30 .12

=

Traženi kut iznosi: 0

360 0 04 30 4 120 .

12α = ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod C.

30°°°° 2

1

9

6

3

12

Vježba 101 Koliki kut zatvaraju velika i mala kazaljka na satu točno u dva sata?

0 0 0 0) 30 ) 60 ) 120 ) 150A B C D

Rezultat: B.

Zadatak 102 (Maturanti, HTT)

Sat zaostaje 6 minuta. Minutnu kazaljku trebalo bi pomaknuti prema naprijed za kut od:

0 0 0 0) 12 ) 24 ) 36 ) 42A B C D

Rješenje 102

Kada minutna kazaljka jednom obiñe brojčanik (opisala je puni kut od 360º) prošao je 1 sat, tj. 60 minuta. Znači za 1 minutu opisala je kut

0360 0

6 .60

=

Traženi kut iznosi: 0

360 0 06 6 6 36 .

60α = ⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod C.

Vježba 102 Sat zaostaje 3 minute. Minutnu kazaljku trebalo bi pomaknuti prema naprijed za kut od:

0 0 0 0) 12 ) 14 ) 16 ) 18A B C D

Rezultat: D.

2

Zadatak 103 (Ava, učiteljska akademija)

Pitagora je bio poznati grčki matematičar rodom sa otoka Samosa. Imao je svoju školu. Jednom prilikom pitali su ga koliko učenika ima njegova škola. Odgovorio je: Jedna polovina uči matematiku, polovina od polovine uči glazbu, sedmina provodi vrijeme u šutnji, a još su i tri žene. a) Koliko je učenika bilo u školi? b) Koliko učenika uči matematiku, koliko glazbu, a koliko njih šuti?

Rješenje 103

Ponovimo!

1 1

odKako zapisati ? Odgovor : .2 2

x x⋅

1 1

odKako zapisati ? Odgovor : .3 3

x x⋅

1 1

odKako zapisati ? Odgovor : .x xn n

⋅

Neka je x broj učenika Pitagorine škole. (Pretpostavimo da tada nije bilo 'markiranja' u školama) ☺ Zapišimo sljedeće rečenice u obliku matematičkih izraza:

• ''Jedna polovina uči matematiku, …'' 1

.2

x⋅

• ''… polovina od polovine uči glazbu, …''

1 1 1.

2 2 4x x⋅ ⋅ = ⋅

• ''… sedmina provodi vrijeme u šutnji, …''

1.

7x⋅

• ''… a još su i tri žene.'' 3.

Zato je 1 1 1

3 .2 4 7

x x x x⋅ + ⋅ + ⋅ + =

Riješimo jednadžbu tako da je najprije pomnožimo zajedničkim nazivnikom:

1 1 1 1 1 13 3 14 7 4 84/ 2 28

2 4 7 2 48

7x x x x x x x x x x x x⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⇒

( )14 7 4 28 84 3 84 3 84 28./ : 3x x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ − ⇒ =−=

a) U školi je bilo 28 učenika.

b) Matematiku uči:

128 14 učenika.

2⋅ =

Glazbu uči: 1

28 7 učenika.4

⋅ =

Ništa ne uči (samo šute ☺):

3

128 4 učenika.

7⋅ =

Vježba 103 Nemam svoju školu, ali radim u državnoj. Kada bi me Ava pitala koliko učenika imam u razredu odgovorio bih: Jedna polovina uči dobro matematiku, jedna trećina su jako dobri u matematici, a četiri učenika su slaba i nikada se ne 'gase' na satu. ☺ Koliko je učenika u razredu?

Rezultat: 24. Zadatak 104 (Ava, učiteljska akademija)

Na nekom ispitu iz matematike trebalo je riješiti 30 zadataka. Za svaki točno riješen zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, a za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda. Koliko je zadataka riješio točno, koliko djelomično, a koliko netočno učenik koji je sakupio 95 bodova pri čemu je za točno riješene i netočno sakupio 65 bodova?

Rješenje 104 1.inačica

Neka je x broj točno riješenih zadataka, y broj djelomično riješenih zadataka, a z broj neriješenih i netočno riješenih zadataka. Budući da je ukupno zadano 30 zadataka, možemo postaviti jednadžbu:

30.x y z+ + =

Za svaki točno riješeni zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda pa je na kraju sakupio 95 bodova. Tom uvjetu odgovara sljedeća jednadžba:

5 3 2 95.x y z⋅ + ⋅ − ⋅ =

Samo za točno riješene i netočno učenik je sakupio 65 bodova pa odgovarajuća jednadžba glasi:

5 2 65.x z⋅ − ⋅ = Dobili smo sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice.

30

5 3 2 95 .

5 2 65

x y z

x y z

x z

+ + =

⋅ + ⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

Oduzmemo od druge jednadžbe treću da bismo izračunali y, broj djelomično riješenih zadataka.

( )oduzmemo

jednadž

5 3 2 955 3 2 5 2 95 65

5 2 65 be

x y zx y z x z

x z

⋅ + ⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⇒

⋅ − ⋅ =

5 25 3 2 5 2 30 3 30 3 35 2 0x y z x z yx z x yz⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ +⋅ − ⋅⋅ = ⇒⋅ ⋅⋅ =− + ⇒

/ : 33 30 10.y y⋅ = ⇒ = Računamo nepoznanice x i z.

4

3010 30 30 10 20

5 2 655 2 65 5 2

metoda suprotnih

koeficijena65 5 2 6510

ta

x y zx z x z x z

x zx z x z x z

y

+ + =+ + = + = − + =

⋅ − ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

=

20 2 2 407 105 7 105 15

5 2 65

/ 2/ : 7

5 2 65

x z x zx x x

x z x z

+ = ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

⋅

2015 20 20 15 5.

15

x zz z z

x

+ =⇒ ⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

=

Učenik je riješio točno 15 zadataka, djelomično 10 zadataka, a netočno je bilo 5 zadataka.

2.inačica

Neka je x broj točno riješenih zadataka, a y broj djelomično riješenih zadataka. Budući da je zadano 30 zadataka, slijedi da netočnih zadataka ima:

30 .x y− − Za svaki točno riješeni zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda pa je na kraju sakupio 95 bodova. Tom uvjetu odgovara sljedeća jednadžba:

( )5 3 2 30 95 5 3 60 2 2 95x y x y x y x y⋅ + ⋅ − ⋅ − − = ⇒ ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⇒

5 3 2 2 95 60 7 5 155.x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⇒ ⋅ + ⋅ =

Samo za točno riješene i netočno učenik je sakupio 65 bodova pa odgovarajuća jednadžba glasi:

( )5 2 30 65 5 60 2 2 65 5 2 2 65 60x x y x x y x x y⋅ − ⋅ − − = ⇒ ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⇒

7 2 125.x y⇒ ⋅ + ⋅ =

Dobili smo sustav od dvije jednadžba sa dvije nepoznanice.

( )

metoda suprotnih

/ 1koeficijenat

7 5 1557 5 155

7 2 1257 2 125 a

x yx y

x yx y

⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ −+ ⋅ =

7 5 1553 30 3 30 10.

7 2 125/ : 3

x yy y y

x y

⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

− ⋅ − ⋅ = −

Računamo x. 7 2 125

7 2 10 125 7 20 125 7 125 20 7 10510

x yx x x x

y

⋅ + ⋅ =⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒

=

/ :7 7105 15.x x⇒ ⋅ = ⇒ = Broj netočnih zadataka iznosi:

1530 30 15 10 5.

10

xx y

y

=⇒ − − = − − =

=

Učenik je riješio točno 15 zadataka, djelomično 10 zadataka, a netočno je bilo 5 zadataka.

Vježba 104 Na nekom ispitu iz matematike trebalo je riješiti 30 zadataka. Za svaki točno riješen zadatak učenik je dobio 5 bodova, za djelomično riješen zadatak 3 boda, a za netočan i neriješen zadatak učeniku se oduzimalo 2 boda. Koliko je zadataka riješio točno, koliko djelomično, a koliko netočno učenik koji je sakupio 60 bodova pri čemu je za točno riješene i netočno skupio 30 bodova.

Rezultat: x = y = z = 10. Zadatak 105 (Sandra, gimnazija)

Koliko je minuta do devet sati ako je prije 25 minuta bilo osam sati i četverostruko toliko minuta?

5

Rješenje 105

Ako s x označimo broj minuta do devet sati tada je trenutno vrijeme

9 min (540 ) min .h x x− = − Budući da je prije 25 minuta bilo osam sati i četverostruko toliko minuta pišemo

8 4 min (480 4 ) minh x x+ ⋅ = + ⋅ pa vrijedi jednadžba

( )540 25 480 4 4 480 540 /25 5 35 5 35 .: 75x x x x x x x− − = + ⋅ ⇒ − − ⋅ = − + ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = ⇒ =−−

Sedam je minuta do devet sati.

Vježba 105 Koliko je minuta do deset sati ako je prije 25 minuta bilo devet sati i četverostruko toliko minuta?

Rezultat: 7 min. Zadatak 106 (Sandra, gimnazija)

Minutna kazaljka sata duga je 6 cm. Kolika je duljina luka kojega opiše vrh kazaljke za 35 minuta?

Rješenje 106 Ponovimo!

Ako je r polumjer kružnice, tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0 .180

rl

πα α

⋅= ⋅

Računamo kut koji minutna kazaljka opiše za jednu minutu. Kada jednom obiñe brojčanik sata opisala je puni kut (360º), a vremenski je prošlo 60 minuta. Kako je

0360 0

660

=

znači da jednoj minuti odgovara kut od 6º pa je za 35 minuta kazaljka opisala kut od

0 036 6 210 .α = ⋅ =

Duljina luka kojega opiše vrh kazaljke iznosi:

06 , 210 0

6 2107 .0

1800180

r cmcm

l l cmrl

απ

ππ α

= =⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⋅⋅ ⋅=

Vježba 106 Minutna kazaljka sata duga je 12 cm. Kolika je duljina luka kojega opiše vrh kazaljke za 35 minuta?

Rezultat: 14 .cmπ⋅

Zadatak 107 (Mia, studentica)

Ðaci prvog razreda odlučili su svojoj profesorici za roñendan kupiti knjigu "Radosti matematike" koja košta 150 kn. No, petorica su odbila dati novac. Zato će preostali ñaci morati dati 1 kn više nego što bi dali da su svi ñaci sudjelovali u kupnji. Koliko ima ñaka u razredu?

6

Rješenje 107 Ponovimo!

Rješenja kvadratne jednadžbe a · x2 + b · x + c = 0, a ≠ 0 su brojevi

2 4.1,2 2

b b a cx

a

− ± − ⋅ ⋅=

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka je x broj učenika u razredu, a y svota novaca koju svaki učenik mora dati za kupnju knjige. Tada vrijedi jednadžba:

150.x y⋅ = Budući da je 5 učenika odbilo dati novac, preostali su morali platiti kunu više pa vrijedi sljedeća jednadžba:

( ) ( )5 1 150.x y− ⋅ + =

Iz sustava jednadžbi dobije se broj učenika u razredu.

( ) ( )

metoda

supstitucij

150 150

e5 1 150 5 5 150

x y x y

x y x y x y

⋅ = ⋅ =⇒ ⇒ ⇒

− ⋅ + = ⋅ + − ⋅ − =

150 5 5 150 5 5 5 5150 150 0 5 5.x y x y x y x y⇒ + − ⋅ − = ⇒ + − ⋅ − = ⇒ − ⋅ − = ⇒ = ⋅ + Dalje je:

( )metoda

supstitucij

150 25 5 150 5 5 150

e5 5

x yy y y y

x y

⋅ =⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒

= ⋅ +

2 2 25 5 150 0 5 5 150 0 / 5 0 0: 3y y y y y y⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + − = ⇒

1 , 1 , 302

30 0 24

1 , 1 , 301,2 2

a b c

y yb b a c

a b c ya

= = = −

+ − =⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = = − =

⋅

( )2

1 1 4 1 30 1 1 120 1 1211,2 1,2 1,22 1 2 2

y y y− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅

1 11 1051 11 11 2 2 1 5.1,2 1 11 12 62 2

2 22 2

nema smisla

y y yy y

yy y

− += = =− ±

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =− − − = −

= =

Sada računamo broj učenika u razredu.

1505 150 5 / :150 30.

55

x yx x x

y

⋅ =⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

=

U razredu je 30 učenika.

Vježba 107 Ðaci prvog razreda odlučili su svojoj profesorici za roñendan kupiti knjigu "Radosti matematike" koja košta 100 kn. No, petorica su odbila dati novac. Zato će preostali ñaci morati dati 1 kn više nego što bi dali da su svi ñaci sudjelovali u kupnji. Koliko ima ñaka u razredu?

Rezultat: 25 učenika. Zadatak 108 (Mato, gimnazija)

Dva soboslikara A i B radeći zajedno obojili bi stan za 6 dana. Za koliko bi dana A sam obojio stan, ako znamo da bi B sam trebao 5 dana više nego A?

7

Rješenje 108 Ponovimo!

Rješenja kvadratne jednadžbe a · x2 + b · x + c = 0, a ≠ 0 su brojevi

2 4.1,2 2

b b a cx

a

− ± − ⋅ ⋅=

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica Neka je x broj dana za koje soboslikar A sam završi cijeli posao. Tada će on za 1 dan obaviti

1ti

x−

dio posla. Soboslikar B, radeći sam, radi 5 dana duže od soboslikara B pa cijeli posao obavi za x + 5 dana. Tada će on za 1 dan obaviti

1

5ti

x−

+

dio posla. Kada soboslikari A i B rade zajedno cijeli posao završe za 6 dana pa vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( )1 1 6 6 6 6

6 1 1 1 6 5 6 55 5 5

/ 5 x x x xx x x x x x

x x⋅ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ ⋅ + + ⋅⋅ = ⋅⋅ ++

+ ⇒+ +

2 2 26 30 6 5 6 30 6 5 0 7 30 0x x x x x x x x x x⇒ ⋅ + + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ + + ⋅ − − ⋅ = ⇒ − + ⋅ + = ⇒

( )2

2 2 7 30 07 30 0 7 30 0

1 , , 301

7/

x xx x x x

a b c

− ⋅ − =⇒ − + ⋅ + = ⇒ − ⋅ − = ⇒ ⇒

=−

= = −⋅

−

( ) ( ) ( )1 , 7 , 30 2

7 7 4 1 302

1,24 2 11,2 2

a b c

xb b a c

xa

= = − = −− − ± − − ⋅ ⋅ −

⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

7 1317 49 120 7 169 7 13 2

1,2 1,2 1,2 7 132 2 22 2

x

x x x

x

+=

± + ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

−=

nema smisl

20101 2 1 10.

6 322 2

a

x xx

xx

= =⇒ ⇒ ⇒ =

= −= −

Soboslikar A sam bi obojio stan za 10 dana.

2.inačica Neka je x broj dana za koje soboslikar A sam završi cijeli posao. Tada će on za 1 dan obaviti

8

1ti

x−

dio posla. Soboslikar B, radeći sam, radi 5 dana duže od soboslikara B pa cijeli posao obavi za x + 5 dana. Tada će on za 1 dan obaviti

1

5ti

x−

+

dio posla.

Soboslikari A i B, radeći zajedno, cijeli posao završe za 6 dana, što znači da za 1 dan obave 1

6 cijelog

posla pa vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( )/ 61 1 1 1 1 1

6 5 6 55 6 5 6

5 x x x xx x x x

x x⋅ ⋅+ = ⇒ + = ⇒ ⋅ + + ⋅+ = ⋅+

⋅ + ⇒+

2 2 26 30 6 5 6 30 6 5 0 7 30 0x x x x x x x x x x⇒ ⋅ + + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ + + ⋅ − − ⋅ = ⇒ − + ⋅ + = ⇒

( )2

2 2 7 30 07 30 0 7 30 0

1 , , 301

7/

x xx x x x

a b c

− ⋅ − =⇒ − + ⋅ + = ⇒ − ⋅ − = ⇒ ⇒

=−

= = −⋅

−

( ) ( ) ( )1 , 7 , 30 2

7 7 4 1 302

1,24 2 11,2 2

a b c

xb b a c

xa

= = − = −− − ± − − ⋅ ⋅ −

⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

7 1317 49 120 7 169 7 13 2

1,2 1,2 1,2 7 132 2 22 2

x

x x x

x

+=

± + ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

−=

nema smisl

20101 2 1 10.

6 322 2

a

x xx

xx

= =⇒ ⇒ ⇒ =

= −= −

Soboslikar A sam bi obojio stan za 10 dana.

Vježba 108 Dva soboslikara A i B radeći zajedno obojili bi stan za 6 dana. Za koliko bi dana A sam obojio stan, ako znamo da mu treba 5 dana manje nego soboslikaru B?

Rezultat: 10.

Zadatak 109 (Ivana, srednja škola)

Broj a je za 3 veći od pozitivnog broja b. Njihov je omjer 5 : 3. Koliki je a?

Rješenje 109 Ponovimo!

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

9

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅ Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y?

ili ili .x n y x y n x y n− = = + − = Iz sustava jednadžbi izračunamo nepoznanicu a.

( )metoda

supstituc

3 33 5 3 3 5 15

: 5 ije: 3 3 5

a b b aa a a a

a b a b

− = = −⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒

= ⋅ = ⋅

( )15

3 5 15 2 15 2 15 7/ : 2 .5.2

a a a a a a⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ = ⇒ =−

Vježba 109 Broj a je za 3 veći od pozitivnog broja b. Njihov je omjer 5 : 3. Koliki je b?

Rezultat: 4.5.

Zadatak 110 (Vlado, gimnazija)

Brat i sestra nasljedit će izvjesnu svotu novca. Prema oporuci prvo brat nasljeñuje 20 000 kuna i desetinu ostatka, a potom sestra 40 000 i desetinu ostatka. Nakon podjele oboje su dobili istu svotu. Kolika je ostavština?

Rješenje 110 Ponovimo!

, .1

n a c a d b cn

b d b d

⋅ − ⋅= − =

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Označimo slovom x ostavštinu. Prema oporuci prvo brat nasljeñuje 20 000 kuna i desetinu ostatka pa je njegov dio nasljedstva jednak:

( )1 1 1 1

20000 20 000 20 000 2000 18000 18000.10 10 10 1

bratov di0

o

x x x x+ ⋅ − = + ⋅ − = ⋅ + = ⋅ +

�������

Nakon što je brat dobio svoj dio ostalo je:

1 1 918000 18000 18000.

10 10 10x x x x x− ⋅ + = − ⋅ − = ⋅ −

Od toga ostatka prema oporuci sestra dobiva 40 000 kuna i desetinu ostatka pa je njezin dio nasljedstva jednak:

1 9 9 9 940000 18000 40 000 40 000 1800 4 000 34 200 34 200.

10 10 100 100sestrin dio

100x x x x+ ⋅ ⋅ − − = + ⋅ − − = ⋅ + = ⋅ +

�������

Budući da su oboje nakon podjele dobili istu svotu, vrijedi jednadžba:

1 9 1 918000 34 200 18000 34 200

10 100 10/ 10

10

00x x x x⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⇒

10 1800 000 9 3420 000 10 9 3420 000 1800 000 1620 000.x x x x x⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ =

10

Vježba 110 Brat i sestra nasljedit će izvjesnu svotu novca. Prema oporuci prvo brat nasljeñuje 20 000 kuna i desetinu ostatka, a potom sestra 40 000 i desetinu ostatka. Nakon podjele oboje su dobili istu svotu. Koliko je svaki dobio?

Rezultat: 180 000 kn.

Zadatak 111 (Vlado, gimnazija)

Dvije prodavačice zajedno su prodale 100 jaja. Jaja su prodavale po različitim cijenama, ali je svaka od njih za jaja dobila istu svotu. Prva reče drugoj: Za tvoja jaja ja bih dobila 45 kuna. Druga joj odgovori: A ja bih za tvoja jaja dobila 20 kuna. Koliko je jaja prodala svaka od njih?

Rješenje 111 Ponovimo!

( )2

i ,, ,0 .

a c b dn n n

a b c d a a a a b a ba b

c d

⋅ = ⋅

= = ⇒ = ≥ ⋅ = ⋅=

Označimo slovom x broj jaja koje je prodala prva prodavačica, a slovom y broj jaja koje je prodala druga prodavačica. Tada vrijedi jednadžba:

x + y = 100.

Neka je a cijena jaja prve, a b cijena jaja druge prodavačice. Budući da je svaka od njih za jaja dobila istu svotu, slijedi:

a · x = b · y.

Kada prva reče drugoj: ''Za tvoja jaja ja bih dobila 45 kuna.'', možemo napisati jednadžbu

a · y = 45.

Kada druga odgovori: ''A ja bih za tvoja jaja dobila 20 kuna.'', možemo napisati jednadžbu

b · x = 20. 1.inačica

Iz sustava od četiri jednadžbe sa četiri nepoznanice dobijemo broj jaja koje je prodala svaka prodavačica.

( )

100100 100 100

4545 45 45

20 20 20

met

20

oda

/ supstitucije

x yx y x y x y

a x b ya x b y a x b y a x b y

a x y xa y a y a y x x

b x b x b x b x

x

+ =+ = + = + =

⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

⋅

( )podijelimo drugu

i treću jedna

100100 1002 245 45 4džbu 5

2020 20

x yx y x y

b y y x b y x b y x

b xb x b x

+ =+ = + =

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅=

⋅ =⋅ = ⋅

45/

2

100 100100 100

2 29 2 2 2

0

24 9 4 9

4

x y x yx y x y

y x y xy x y x

x

b

b x

+ = + =+ = + =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅= =

⋅

100ima smisla samo

pozitivno rješenje

100 1003

2 3 / :2 32

2

x yx y x y

y x y x y x

+ =+ = + =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

3 3100

meto100 2 3 200 5 200

2

da/ 2

supstituc 2ijex x x x x x x⇒ ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒⋅

11

/ :5 5200 40.x x⇒ ⋅ = ⇒ = Sada računamo y.

10040 100 100 40 60.

40

x yy y y

x

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

=

Prva prodavačica je prodala 40, a druga 60 jaja.

2.inačica

Iz sustava od četiri jednadžbe sa četiri nepoznanice dobijemo broj jaja koje je prodala svaka prodavačica.

pomnožimo zadnje

tri jednadžbe

100

100

45 45 20

20

x y

a x b y x y

a y a x a y b x b y

b x

+ =

⋅ = ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ =

100100 1002 22 2 2 2900900 900

1/

x yx y x y

a x bb

y b ya x b y b y a xy

+ =+ = + =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

⋅

( ) ( )

100 100 100 1002 2 30900900 90 /0

x y x y x y x y

a xa xa x a x

+ = + = + = + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ =⋅ =⋅ = ⋅ =

( )

100100 100 100

3030 30 45 3/ 0

x yx y x y x y

a y x ya x a x y yy y x

+ =+ = + = + =⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅

metoda30

/ : 45 supstituci

100 100 100100

30 245 30

4j

55 3e

4

x y x y x yx y

x y x y x y x y

+ = + = + =+ =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

2 2100 100 2 3 300 5 30/ 0

3 33y y y y y y y⋅⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ :5 5300 60.y y⇒ ⋅ = ⇒ = Sada računamo x.

10060 100 100 60 40.

60

x yx x x

y

+ =⇒ + = ⇒ = − ⇒ =

=

Prva prodavačica je prodala 40, a druga 60 jaja.

Vježba 111 Dvije prodavačice zajedno su prodale 100 jaja. Jaja su prodavale po različitim cijenama, ali je svaka od njih za jaja dobila istu svotu. Prva reče drugoj: Za tvoja jaja ja bih dobila 45 kuna. Druga joj odgovori: A ja bih za tvoja jaja dobila 20 kuna. Po kojim su cijenama prodavačice prodavale jaja?

Rezultat: 0.50 kn , 0.75 kn.

12

Zadatak 112 (Vlado, gimnazija)

Hotel ima 159 soba u koje se može smjestiti 379 gostiju. Sobe su dvokrevetne, trokrevetne i četverokrevetne, a dvokrevetnih ima osam puta više nego četverokrevetnih. Koliko soba ima taj hotel?

Rješenje 112 Ponovimo! Kako zapisati da je broj x ''en puta'' veći od broja y?

ili ili .x x

x n y y nn y

= ⋅ = =

Označimo slovom: • x broj dvokrevetnih soba • y broj trokrevetnih soba • z broj četverokrevetnih soba.

Hotel ima 159 soba pa vrijedi jednadžba: x + y + z = 159.

Budući da se u hotel može smjestiti 379 gostiju, možemo napisati jednadžbu:

2 · x + 3 · y + 4 · z = 379.

Dvokrevetnih soba ima osam puta više nego četverokrevetnih pa vrijedi:

x = 8 · z.

Iz sustava od tri jednadžbe sa tri nepoznanice dobije se broj soba.

( )

meto159

8 159 8 1592 3 4 379

2 8 3 4 3

da

supstitucije 79 16 3 4 3798

x y zz y z z y z

x y zz y z z y z

x z

+ + =⋅ + + = ⋅ + + =

⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅

( )/ 3metoda suprotnih

koef

9 1599 159 3 27 477

3 20 379 3icijenat 20 3793 20 379a

y zy z y z

y z y zy z

+ ⋅ =+ ⋅ = − ⋅ − ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒

⋅⇒ ⇒

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅

−

=

( )7 98 7 477 / : 14.7z z z⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = ⇒ =−−

Računamo x i y.

9 1599 14 159 126 159 159 126 33

8 .8 14 112 112 112

14

y zy y y y

x zx x x x

z

+ ⋅ =+ ⋅ = + = = − =

= ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅ = = =

=

Hotel ima 112 dvokrevetnih soba, 33 trokrevetnih i 14 četverokrevetnih soba.

Vježba 112 Hotel ima 65 soba u koje se može smjestiti 180 gostiju. Sobe su dvokrevetne, trokrevetne i četverokrevetne, a dvokrevetnih ima dva puta više nego četverokrevetnih. Koliko soba ima taj hotel?

Rezultat: Dvokrevetnih 30, trokrevetnih 20 i četverokrevetnih 15.

Zadatak 113 (Miro, maturant)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12% vode. Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18% vode u zemlji?

. 126 1.26 . 136 1.36 . 146 1.46 . 156 1.56A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

13

Rješenje 113 Ponovimo!

,1 1000 1 00 .1kg g dl g= =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100.

Na primjer, 9 81 4.5 0.3

9 % , 81 % , 4.5 % , 0.3 % , .100 100 100

%1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

.100

px⋅

Označimo slovom x količinu vode koju treba uliti u 2 kg kupljene zemlje. Tada vrijedi jednadžba:

( ) ( ) ( )12 18 12 18

2 2 2 2 24 100 18 2100 100 100 100

/ 100x x x x x x⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅⋅ + = ⋅ + ⇒ + ⋅ = ⋅ + ⇒

24 100 36 18 100 18 36 24 82 12 82 12 0.146/ : 82x x x x x x x⇒ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒

[ ]0.146 146 1.46 .146 : 100x kg x g x dl⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 113 Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 6% vode. Koliko vode treba uliti u 1 kg kupljene zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 9% vode u zemlji?

Rezultat: 33 g = 0.33 dl.

Zadatak 114 (Miro, maturant)

Od 112 maturanata jedne škole tri četvrtine prolazi odličnim uspjehom. Od onih koji prolaze odličnim uspjehom četvrtina ima odličnu ocjenu iz Matematike. Koliko ih prolazi odličnim uspjehom, ali nemaju odličnu ocjenu iz Matematike?

. 7 . 22 . 63 . 85A B C D Rješenje 114 Ponovimo!

, .1

n a c a cn

b d b d

⋅= ⋅ =

⋅

Kako izračunati od ?a

xb

.a

xb

⋅

1.inačica Od 112 maturanata tri četvrtine prolazi odličnim uspjehom pa je to

3 3 112 336112 84.

4 4 1 4⋅ = ⋅ = =

Od svih odlikaša četvrtina ima odličnu ocjenu iz Matematike što iznosi:

1 1 84 8484 21.

4 4 1 4⋅ = ⋅ = =

Broj učenika koji prolaze odličnim uspjehom, ali nemaju odličnu ocjenu iz Matematike je

84 21 63.− = Odgovor je pod C.

14

2.inačica Od 112 maturanata tri četvrtine prolazi odličnim uspjehom pa je to

3 3 112 336112 84.

4 4 1 4⋅ = ⋅ = =

Budući da od svih odlikaša četvrtina ima odličnu ocjenu iz Matematike, znači da tri četvrtine nemaju odličnu ocjenu it Matematike, a to iznosi:

3 3 84 25284 63.

4 4 1 4⋅ = ⋅ = =

Odgovor je pod C.

Vježba 114 Od 224 maturanata jedne škole tri četvrtine prolazi odličnim uspjehom. Od onih koji prolaze odličnim uspjehom četvrtina ima odličnu ocjenu iz Matematike. Koliko ih prolazi odličnim uspjehom, ali nemaju odličnu ocjenu iz Matematike?

. 14 . 44 . 126 . 170A B C D Rezultat: C.

Zadatak 115 (Srdjan, pripravnik)

Jedna cijev napuni bazen za 3 sata, a druga za 6 sati. Ako se prva cijev uključi u 9 sati, a druga u 10 sati, kada će bazen biti napunjen vodom?

Rješenje 115 Ponovimo!

1 60 mi , .n , ,1

a c a d b c n a c a ch n

b d b d b d b d

⋅ + ⋅ ⋅= + = = ⋅ =

⋅ ⋅

Ako prva cijev napuni bazen za 3 h, za 1 h napunit će 1

3nu− bazena.

Ako druga cijev napuni bazen za 6 h, za 1 h napunit će 1

6nu− bazena.

Prva cijev uključena je sat ranije pa je za to vrijeme napunila 1

3nu− bazena. Ostale

2

3ne− bazena

moraju zajednički napuniti obje cijevi. Označimo slovom x vrijeme njihovog zajedničkog

punjenja2

3ne− bazena. Za vrijeme x cijevi će napuniti

2

3ne− bazena pa vrijedi jednadžba:

1 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2

3 6 3 6 3 6 3 3 2 3 2 3

3/ 2

6x x x x x x

++ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅= ⇒

4.

3x⇒ =

Obje cijevi napunit će 2

3ne− bazena za

4 11 1 20 min .

3 3h h h h= + =

Dakle, cijeli bazen bit će napunjen vodom za

1 1 20 min 2 20 min,h h h+ = tj. u

9 2 20 min 11 20 min .h h h+ =

15

Vježba 115 Jedna cijev napuni bazen za 3 sata, a druga za 6 sati. Ako se prva cijev uključi u 8 sati, a druga u 9 sati, kada će bazen biti napunjen vodom?

Rezultat: 2 h 20 min, 10 h 20 min.

Zadatak 116 (Zlata, srednja škola)

Šestina učenika nekog razreda dobila je iz pisanog ispita iz matematike odličnu ocjenu, četvrtina vrlo dobru, a trećina dobru. Devet učenika dobilo je dovoljan i nitko nije dobio nedovoljan. Napišite odgovarajuću jednadžbu i odredite koliko je učenika u razredu.

Rješenje 116 Ponovimo!

Kako zapisati od ?a

xb

Odgovor:

.a

xb

⋅

Neka je x broj učenika u razredu. Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje: • šestina učenika razreda dobilo je odličan

1

6x⋅

• četvrtina učenika razreda dobilo je vrlo dobar 1

4x⋅

• trećina učenika razreda dobilo je dobar 1

3.x⋅

Budući da je devet učenika dobilo dovoljan i nitko nije dobio nedovoljan, možemo napisati jednadžbu:

1 1 1 1 1 19 9 2 3 4 108 12

6 4 31

62

4/

3x x x x x x x x x x x x⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⇒

( )2 3 4 12 108 3 108 3 108 36./ : 3x x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⇒−⋅ = − =

Vježba 116 Šestina učenika nekog razreda dobila je iz pisanog ispita iz matematike odličnu ocjenu, četvrtina vrlo dobru, a trećina dobru. Pet učenika dobilo je dovoljan, četiri učenika imaju nedovoljan. Koliko je učenika u razredu?

Rezultat: 36. Zadatak 117 (Tina, gimnazija)

Cijena jedne ulaznice je za 10 kn viša na dan igranja utakmice, nego u pretprodaji. Na dan igranja utakmice za 600 kn može se kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji. Kolika je cijena ulaznice na dan igranja utakmice?

. 40 . 50 . 60 . 70A kn B kn C kn D kn Rješenje 117 Ponovimo! Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a?

, , .b n a b a n b a n− = = + − = Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

16

Neka je x cijena jedne ulaznice u pretprodaji. Na dan igranja utakmice za 10 kn je viša pa iznosi x + 10.

Pretplata Dan igranja utakmice Cijena x x + 10

Broj ulaznica koji se može kupiti za 600 kn iznosi:

• u pretprodaji 600

x

• na dan igranja utakmice 600

.10x +

Budući da se na dan igranja utakmice može kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji, vrijedi bilo koja od ove tri jednadžbe:

( )

( )

( )

600 6005 1

10

600 6005 2

10

600 6005. 3

10

x x

x x

x x

− =+

= ++

− =+

Uzet ću jednadžbu (1). A Vi? ☺

( ) ( ) ( )600 600 600 600

5 5 600 10 5 10 600

11 10

/ 0 0x x x x xx x x x

x− = ⇒ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ⋅ ⇒+

⋅ ⋅ ++

2 2600 6000 5 50 6 60000 606 000 50 05x x x x x xx x⇒ ⋅ + − ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ + − ⋅ − ⋅ =⋅ ⋅ ⇒

( )2 2 2

6000 5 50 0 5 50 6000 0 / : 55 50 6000 0x x x x x x⇒ − ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ − ⋅ + = ⇒ − − ⋅ + = −⋅ ⇒

1 , 10 , 12002

2 10 1200 0 210 1200 0 41 , 10 , 1200

1,2 2

a b c

x xx x

b b a ca b c x

a

= = = −

+ ⋅ − =⇒ + ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒

− ± − ⋅ ⋅= = = − =

⋅

( )2

10 10 4 1 1200 10 100 4800 10 49001,2 1,2 1,22 1 2 2

x x x− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅

10 70 60301 110 70 2 2 1 30.1,2 10 70 80 402 2

2 2nema smisla

2 2

x x xx x

xx x

− += = =− ±

⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =− − = −

= = −

Cijena ulaznice u pretprodaji je 30 kn, a na dan igranja utakmice bit će 10 kuna viša i iznosit će 40 kn. Odgovor je pod A.

Vježba 117

Cijena jedne ulaznice je za 10 kn viša na dan igranja utakmice, nego u pretprodaji. Na dan igranja utakmice za 600 kn može se kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji. Kolika je cijena ulaznice u pretprodaji?

. 20 . 30 . 40 . 35A kn B kn C kn D kn

17

Rezultat: B. Zadatak 118 (Tina, gimnazija)

Cijena ulaznice na dan igranja utakmice iznosi 40 kn. Na dan igranja utakmice za 600 kn može se kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji. Za koliko je kn cijena jedne ulaznice viša na dan igranja utakmice, nego u pretprodaji?

. 10 . 15 . 20 . 25A kn B kn C kn D kn

Rješenje 118 Ponovimo! Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a?

, , .b n a b a n b a n− = = + − = 1.inačica Na dan igranja utakmice cijena jedne ulaznice iznosi 40 kn pa se za 600 kn može kupiti ukupno 15 ulaznica.

600 : 40 = 15.

To je 5 ulaznica manje nego u pretprodaji kada se za isti iznos moglo kupiti 20 ulaznica.

15 + 5 = 20.

Cijena jedne ulaznice u pretprodaji iznosi 30 kn.

600 : 20 = 30. Cijena jedne ulaznice na dan igranja utakmice viša je za 10 kn nego u pretprodaji.

40 kn – 30 kn = 10 kn. Odgovor je pod A.

2.inačica Na dan igranja utakmice cijena jedne ulaznice iznosi 40 kn pa se za 600 kn moglo kupiti ukupno 15 ulaznica.

60015.

40=

Neka je x cijena jedne ulaznice u pretprodaji. Za 600 kn može se ukupno kupiti

600

x

ulaznica. Budući da se na dan igranja utakmice za isti iznos može kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji, vrijedi bilo koja od ove tri jednadžbe:

( )

( )

( )

60015 5 1

60015 5 2

60015 5. 3

x

x

x

+ =

= −

− =

Znam da biste Vi izabrali jednadžbu (1) pa ću i ja! ☺

600 600 20 60015 5 20 20 600 / : 2020 600 30.

1x x x

x x x+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Cijena ulaznice u pretprodaji je 30 kn. Cijena jedne ulaznice na dan igranja utakmice viša je za 10 kn, nego u pretprodaji.

40 30 10 .kn kn kn− = Odgovor je pod A.

18

Vježba 118

Cijena ulaznice na dan igranja utakmice iznosi 40 kn. Na dan igranja utakmice za 600 kn može se kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji. Za koliko je kn cijena jedne ulaznice manja u pretprodaji, nego na dan igranja utakmice?

. 10 . 15 . 20 . 25A kn B kn C kn D kn

Rezultat: A. Zadatak 119 (Tina, gimnazija)

Razred 4. B ima jednoga učenika manje od 4. A. U svaki od tih dvaju razreda stigao je paket s 224 olovke. U 4. A razredu sve su olovke podijeljene i svaki je učenik dobio isti broj olovaka. U 4. B razredu takoñer je svaki učenik dobio isti broj olovaka kao i svaki učenik u 4. A razredu, ali je 8 olovaka ostalo nepodijeljeno. Koliko je učenika u 4. B razredu?

. 24 . 25 . 26 . 27A B C D Rješenje 119 Ponovimo! Kako zapisati da je broj b za n manji od broja a?

, , .b n a b a n a b n+ = = − − = Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Za cijeli broj a kažemo da je djeljiv s cijelim brojem b (b ≠ 0) ako postoji cijeli broj k tako da vrijedi

.a k b= ⋅ Za cijeli broj a i prirodni broj b postoje jedinstveni cijeli brojevi q i r takvi da je

a b q r= ⋅ + i 0 ≤ r < b.

1.inačica

Neka je x broj učenika 4. B razreda. Tada je x + 1 broj učenika 4. A razreda jer je jedan učenik više. U oba razreda stigao je paket s 224 olovaka i svaki je učenik dobio isti broj olovaka.

4. B 4. A Broj učenika x x + 1

Označimo slovom y broj olovaka koje dobije jedan učenik. U 4. A razredu, sa x + 1 učenikom, podijeljene su sve olovke i svaki je učenik dobio isti broj pa vrijedi jednadžba

( )224 1 .x y= + ⋅

U 4. B razredu, sa x učenika, podijeljene su olovke i svaki je učenik dobio isti broj, ali je 8 olovaka ostalo nepodijeljeno pa vrijedi jednadžba

224 8.x y= ⋅ + Iz sustava jednadžbi dobije se rješenje.

( )( )

metoda

komparacije

224 11 8 8

224 8

x yx y x y x y y x y

x y

= + ⋅⇒ ⇒ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⇒

= ⋅ +

8 8.yx y x y y⋅ ⋅⇒ + = + ⇒ =

Računamo x broj učenika u 4. B razredu.

metoda

supstituci

224 8224 8 8 8 8 224 8 224 8

8 je

x yx x x

y

= ⋅ +⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒

=

8 216 8 / :6 821 27.x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = Odgovor je pod D. 2.inačica

19

Uočimo da je u oba razreda podijeljeno jednak broj olovaka (224) i pritom je svaki učenik dobio isti broj olovaka. Razred 4. B ima jednoga učenika manje od 4. A. U 4. B razredu je 8 olovaka ostalo nepodijeljeno što znači da je svaki učenik dobio 8 olovaka. U 4. A razredu sve su olovke podijeljene pa broj učenika iznosi 28:

224 : 8 = 28.

Tada je u 4. B razredu 27 učenika jer je jedan učenik manje. Odgovor je pod D.

??

Vježba 119 Razred 4. B ima jednoga učenika manje od 4. A. U svaki od tih dvaju razreda stigao je paket s 224 olovke. U 4. A razredu sve su olovke podijeljene i svaki je učenik dobio isti broj olovaka. U 4. B razredu takoñer je svaki učenik dobio isti broj olovaka kao i svaki učenik u 4. A razredu, ali je 8 olovaka ostalo nepodijeljeno. Koliko je učenika u 4. A razredu?

. 29 . 28 . 30 . 26A B C D

Rezultat: B. Zadatak 120 (Petra, strukovna škola)

Od 112 maturanata jedne škole tri četvrtine prolazi odličnim uspjehom. Od onih koji prolaze odličnim uspjehom četvrtina ima odličnu ocjenu iz matematike. Koliko ih prolazi odličnim uspjehom, ali nemaju odličnu ocjenu iz matematike?

. 7 . 22 . 63 . 85A B C D Rješenje 120 Ponovimo!

, .1

n a c a cn

b d b d

⋅= ⋅ =

⋅

Kako izračunati od ?a

xb

.a

xb

⋅

1.inačica

Broj odličnih maturanata škole je: 3 3 112

112 84.4 4 1

⋅ = ⋅ =

Od odličnih maturanata četvrtina ih ima odličnu ocjenu iz matematike što iznosi:

1 1 8484 21.

4 4 1⋅ = ⋅ =

Broj odličnih maturanata koji nemaju odličnu ocjenu iz matematike je:

84 21 63.− = Odgovor je pod C.

2.inačica

Broj odličnih maturanata škole je: 3 3 112

112 84.4 4 1

⋅ = ⋅ =

Budući da četvrtina odličnih maturanata ima odličnu ocjenu iz matematike, tri četvrtine 1 3

14 4

− =

ih nema odličnu ocjenu, a to iznosi:

20

3 3 8484 63.

4 4 1⋅ = ⋅ =

Odgovor je pod C.

Vježba 120 Od 224 maturanata jedne škole tri četvrtine prolazi odličnim uspjehom. Od ovih koji prolaze odličnim uspjehom četvrtina ima odličnu ocjenu iz matematike. Koliko ih prolazi odličnim uspjehom, ali nemaju odličnu ocjenu iz matematike?

. 14 . 44 . 126 . 170A B C D

Rezultat: C.