Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského, Tajovského 25, Banská Bystrica

πLudolfovo číslo

Zuzana Schwarzová, III.F

2012/2013

Obsah

Úvod..................................................................................................................................3

1 Ludolfovo číslo...............................................................................................................4

1.1 Značenie...................................................................................................................4

1.2 Transcendentné číslo................................................................................................4

1.3 Iracionálne číslo.......................................................................................................5

1.4 Ludolph van Ceulen.................................................................................................5

2 História...........................................................................................................................6

2.1 Egyptská matematika...............................................................................................6

2.2 Babylonská matematika...........................................................................................6

2.3 Indická matematika..................................................................................................7

2.4 Grécka matematika..................................................................................................7

2.5 Rímska matematika..................................................................................................7

2.6 Čínska matematika...................................................................................................7

2.7 Renesancia a novovek..............................................................................................7

3 Výpočty..........................................................................................................................9

3.1 Ručné výpočty.........................................................................................................9

3.2 Počítačové výpočty..................................................................................................9

4 Využitia v amtematike..................................................................................................10

4.1 Kruh, guľa..............................................................................................................10

4.2 Pravdepodobnosť...................................................................................................10

4.3 Goniometrické funkcie..........................................................................................10

5 Desatinné miesta...........................................................................................................11

5.1 Rekordy..................................................................................................................11

5.2 Pomôcky................................................................................................................11

Záver................................................................................................................................12

Bibliografia......................................................................................................................13

2

Úvod

Téma π – Ludolfovo číslo pre mňa bola lákavá z niekoľkých dôvodov. Som

z matematickej triedy, takže číslam sa venujem možno o trochu viac ako je normou.

S číslom π počítam často, či už v matematike alebo fyzike a podľa mňa je fascinujúce.

Určite stojí za to dozvedieť sa o ňom viac, preto som sa rozhodla vypracovať túto tému

a rozšíriť tak svoje i vaše obzory o jeho histórii, vlastnostiach a využití.

3

1 Ludolfovo číslo

Ludolfovo číslo je matematická konštanta definovaná ako pomer obvodu kruhu

k jeho priemeru. Jeho približná hodnota je 3,14. Veľa matematických, vedeckých,

fyzikálnych a inžinierskych rovníc obsahuje π, čo z neho robí jednu z najdôležitejších

matematických konštánt. Ludolfovo číslo je transcendentné a iracionálne. Pomenované

je podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulena.

1.1 Značenie

Na zápis Ludolfovho čísla sa používa malé písmeno pí gréckej abecedy, často sa

týmto znakom aj pomenúva. Grécke písmeno pre označenie tohto čísla po prvý raz

použil velšský matematik William Jones v roku 1706 ako skratku gréckeho slova

„obvod“, grécky: περίμετρος. Toto označenie spopularizoval v roku 1737 Leonhard

Euler.

1.2 Transcendentné číslo

Transcendentné číslo je komplexné číslo, ktoré nie je koreňom žiadnej

algebrickej rovnice s racionálnymi koeficientmi. Každé transcendentné číslo je

iracionálne.

4

Obrázok č. 1- malé písmeno gréckej abecedy pí

1.3 Iracionálne číslo

Iracionálne číslo je každé reálne číslo, ktoré nemôže byť vyjadrené zlomkom mn ,

kde m, n sú celé čísla, pričom n je nenulové. Tiež to znamená, že nemá ukončený

desatinný ani periodický rozvoj.

1.4 Ludolph van Ceulen

Ludolph van Ceulen (obr. č. 2) sa narodil 28. januára 1540 v meste Hildesheim

v Nemecku, ale ako mnoho ďalších v tej dobe emigroval z Nemecka do Holandska

kvôli katolíckemu útlaku. Najprv sa usadil v meste Delft, kde vyučoval šerm

a matematiku. V roku 1594 si otvoril šermiarsku školu v Leidene. V roku 1600 bol

menovaný prvým profesorom matematiky na Leidenskej univerzite. Učil aritmetiku

a vojenské staviteľstvo. Napísal niekoľko práci, jedna z najdôležitejších bola „Van den

Circkel“, v preklade „O kruhu“. Je preslávený svojim výpočtom π, ktoré spočítal na 35

desatinných miest pomocou mnohouholníka s počtom strán 262, čím sa zaslúžil o to, že

je π pomenované po ňom. Strávil týmto výpočtom väčšinu svojho života a výsledok

svojej práce má dokonca vyrytý na náhrobnom kameni. Zomrel 31. decembra 1610

v holandskom Leidene.

5

Obrázok č. 2 – Ludolph van Ceulen

2 História

Ľudstvo využíva kruhové objekty už veľmi dlho. Začalo to v Mezopotámii

zhruba pred 6000 rokmi, keď neznámy mezopotámsky vynálezca učinil veľký objav

a vynašiel koleso. Odvtedy sa začali objavovať kladky, valce, hrnčiarske kruhy a ďalšie

nástroje, ktoré prispievali k rozvoju ľudstva a napomáhali ľuďom pri práci. A rady

učencov, vynálezcov a matematikov začalo zamestnávať hľadanie výpočtu obvodu

kruhu. Akým spôsobom postupovali?

Najstaršou metódou bolo porovnanie obvodov štvorca opísaného a vpísaného

kružnici. Za obvod kruhu bol potom považovaný aritmetický priemer týchto obvodov.

Bol o čosi väčší než trojnásobok priemeru kruhu – nebol to príliš presný výsledok,

avšak pre väčšinu vtedajších výpočtov stačil.

V rôznych kultúrach postupom času prichádzali na rozličné spôsoby počítania

a na čoraz presnejšie hodnoty záhadnej konštanty.

2.1 Egyptská matematika

Jednu z najstarších metód výpočtu obsahuje Rhindov papyrus, ktorý bol

objavený v roku 1858 a pochádza z doby 1650 rokov pred našim letopočtom. Obsah

kruhu s priemerom d je tu určený ako:

S=(d−d9 )

2

čo nás vedie k hodnote π = 3,1605.

2.2 Babylonská matematika

Starí babylonskí kňazi pracovali namiesto so štvorcami s šesťuholníkmi

a dvanásťuholníkmi. Strany týchto mnohouholníkov ku kruhu lepšie priliehali, a preto

bol výpočet obvodu kruhu presnejší. Priblížili sa k hodnote π = 3,125.

Keď Babylončania dospeli k číslu, ktoré udáva pomer dĺžky kružnice k dĺžke jej

priemeru, tak zistili, že toto číslo je konštantné a nezávislé na dĺžke kružnice.

6

2.3 Indická matematika

Okolo roku 500 pred našim letopočtom sa v posvätných knihách Džinových

udáva hodnota π ako √10, čo je zhruba 3,162. Avšak za jedného z najvýznamnejších

indických matematikov doby okolo 500 nášho letopočtu sa považuje Árjabhata I., ktorý

odhadol hodnotu π na 3,1416.

2.4 Grécka matematika

Prvý teoretický výpočet urobil Archimedes, ktorý žil 287-212 pred našim

letopočtom. Využíval mnohouholníky vpísané a opísané kružnici. Používal

mnohouholníky s 12, neskôr 24, 48 a nakoniec až s 96 stranami. Podarilo sa mu tak

dostať hornú a dolnú hranicu pre π. Teda zistil, že sa bude nachádzať niekde medzi 22371

a 22070 , čiže zhruba medzi 3,1408 a 3,1428.

2.5 Rímska matematika

V Ptolemaiových dielach nachádzame hodnotu π = 377120= 3,14166.

2.6 Čínska matematika

Učenec Ču Čchung Ťi, ktorý žil v rokoch 430-501 určil π ako 355113 , čo je

približne 3,14159292.

2.7 Renesancia a novovek

Počas európskej renesancie sa namiesto ohromne náročnej Archimedovej

metódy začínajú hľadať vzorce na výpočet π pomocou čiastočného súčtu rozvoju

nekonečných radov. Vzorce boli postupne nájdené a potom už išlo len o to, koľko času

bol kto ochotný stráviť nad výpočtami. Neskôr ručné počítanie nahradila práca

počítačov. V nasledujúcej tabuľke môžeme sledovať pokrok v priebehu rokov.

7

RokPočet desatinných

miest

1579 (Viete) 9

1593 (Rommen) 15

1610 (Ceulen) 35

1699 (Sharp) 71

1701 (Machin) 100

1719 (de Lagny) 112

1789 (Vega) 126

1841 (Rutherford) 152

1853 (Rutherford) 440

1874 (Shanks) 527

1946 (Ferguson) 620

Éra počítačov

1947 808

1949 2037

1955 3089

1958 10 000

1961 100 000

1966 250 000

1967 500 000

1987 133 554 000

1997 51 539 600 000

Tabuľka č. 1 - rozvoj desatinných miest

8

3 Výpočty

3.1 Ručné výpočty

Na výpočty sa používajú nekonečné rady. Jeden z nich je Wallisov súčin z roku

1655:

Známy je tiež Madhavov-Leibnizov alebo Gregoryho-Leibnizov rad zo 17. storočia:

Alebo aj výpočet francúzskeho matematika Françoisa Viète:

3.2 Počítačové výpočty

Na začiatku 20. storočia vymyslel indický matematik Srinivasa Ramanujan

viacero vzorcov na výpočet, medzi nimi napríklad aj:

Zaujímavý je Baileyho-Borweinov-Plouffeov vzorec, ktorý v roku 1995 vyvinul Simon

Plouffe:

9

Pomocou tohto vzorca dokážeme určiť n-tú binárnu hodnotu π bez počítania tých

predchádzajúcich. V roku 2000 sa zistilo, že biliardtý bit π má hodnotu 0.

4 Využitia v matematike

4.1 Kruh, guľa

Jedným z najčastejších využití Ludolfovho čísla v matematike je výpočet

odvodu a obsahu kruhu pomocou týcho vzorcov: o= πd= 2πr a S= πr2.

A tiež výpočet povrchu a objemu gule: S= πd2=4πr2 a V=43

πr 3.

4.2 Pravdepodobnosť

Ludolfovo číslo sa vyskytuje aj v pravdepodobnostiach. Napríklad:

Pravdepodobnosť, že dve náhodne zvolené celé čísla sú nesúdeliteľné, je 6π 2 .

4.3 Goniometrické funkcie

Pomocou jednotkovej kružnice môžeme vidieť, že 180° je rovné π radiánom,

a teda 1° = π

180 rad. Radián je definovaný ako rovinný uhol, ktorý s vrcholom v strede

kružnice vytína na obvode tejto kružnice oblúk dĺžky rovnajúcej sa jej polomeru. Keďže

obvod tejto kružnice je 2πr, uhol, ktorý jeden raz "obtáča" kružnicu, má veľkosť 2π.

10

Obrázok č. 3- Hodnoty uhlov na jednotkovej kružnici

5 Desatinné miesta

5.1 Rekordy

V dnešných dňoch je už počet známych desatinných miest Ludolfovho čísla

rekordných 5 biliónov. Tento rekord vytvoril Šigeru Kondo z Japonska. Celý výpočet

trval dokopy 90 dní a 7 hodín.

Ďaľším držiteľom rekordu je japonský inžinier Akira Haraguši, ktorý vie

spamäti odrecitovať prvých 100 000 desatinných miest Ludolfovho čísla. Tento rekord

však nebol uznaný Guinessovou knihou rekordov, takže oficiálnym držiteľom rekordu

je stále Lu Chao so svojimi 67 890 číslicami, ktoré recitoval 24 hodín a 4 minúty.

5.2 Pomôcky

Existuje viacero pomôcok ako si zapamätať čo najviac desatinných miest

Ludolfovho čísla, medzi populárne patria napríklad básničky, kde dĺžka každého slova

reprezentuje číslo. Existujú v rôznych jazykoch a niektoré z nich si ukážeme:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy chapters involving quantum

mechanics.

(14 číslic za desatinnou čiarkou)

Mám, ó Bože, ó velký, pamatovat si takový cifer řád, velký slovutný Archimedes,

pomáhej trápenému, dej mu moc, nazpaměť nechť odříká ty slavné sice, ale tak protivné

nám, ach, číslice Ludolfovy!

(30 číslic za desatinnou čiarkou)

Cadaeic Cadenzo dokonca vymyslel báseň, ktorá takto vyjadruje prvých 383 čísel.

Ako sme mali možné odskúšať si, nie je to až taká ťažká práca:

Aha, i sami a ľahko vytvoríme si rýchlo peknú ale, dobrú básničku, nápomocnú všetkým

študentom.

(14 číslic za desatinnou čiarkou)

11

Záver

Pri pohľade do histórie π som bola príjemne prekvapená, ako presne sa darilo

v dávnejších dobách vypočítať mnohé desatinné miesta Ludolfovho čísla. Takisto ma

zaujali rôzne použité metódy, či už ručné alebo počítačové, pretože predtým som

vlastne nevedela, ako rôzne sa s π dá pracovať.

Myslím si, že každý, kto vie o Ludolfovom čísle aspoň málo, ostane

fascinovaný. A úplne oprávnene. Podľa mňa je to jedno z najzaujímavejších čísel

v matematike a používa sa tak často, že je dobré vedieť o ňom niečo viac, nielen, že

jeho približná hodnota je 3,14. Dúfam, že vám v tomto moja práca pomohla rovnako

ako mne.

12

Bibliografia

[1] http://www.matematika.webz.cz/ostatni/ludolfovo/

[2] http://sk.wikipedia.org/wiki/Ludolfovo_číslo

[3] http://cs.wikipedia.org/wiki/Pí_(číslo)

[4] http://fyzmatik.pise.cz/197-jak-si-vypocitat-ludolfovo-cislo.html

[5] http://www.fiftyfifty.cz/Podivuhodne-Ludolfovo-cislo-9944571.php

[6] http://cs.wikipedia.org/wiki/Pí_(číslo)

[7] http://home.zcu.cz/~jotta/data/semestralky/pi.pdf

[8] http://oko.yin.cz/36/pi-ludolfovo-cislo/

[9] http://a-jojo.blog.cz/0804/ludolfovo-cislo-pi

13

Príloha č. 1 – metódy výpočtu

14

Príloha č.1 - Odhad π pomocí vpísaných a opísaných mnohouholníkov (Archimedova metóda)

Príloha č.1 - Archimedes

Príloha č. 2 – π na viacero desatinných miest

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944

5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647

0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559

6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165

2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360

0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953

0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724

8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737

1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132

0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901

2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960

8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951

0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035

2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303

5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532

1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863

2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891

2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855

8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012

8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379

7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104

7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263

9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030

2861829745 5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955

3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 6369807426

5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 8164706001 6145249192

1732172147 7235014144 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468

4385233239 0739414333 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184

2725502542 5688767179 0494601653 4668049886 2723279178...

15