Zadatak 221 (Ivan, strukovna ¥Œkola) £± ®³ ¤â€...

download Zadatak 221 (Ivan, strukovna ¥Œkola) £± ®³ ¤â€ ¤† 2 1 1 1, , , 1 1 1. a b c k a b c ®± ®± ®² ®² ®³ ®³=

of 27

  • date post

    07-Nov-2019
  • Category

    Documents

  • view

    14
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Zadatak 221 (Ivan, strukovna ¥Œkola) £± ®³ ¤â€...

  • 1

    Zadatak 221 (Ivan, strukovna škola) Duljine dviju stranica trokuta su a i b, a kut meñu njima iznosi γ = 60°. Kolika je duljina treće

    stranice trokuta?

    2 2 2 2 . .A c a b a b B c a b a b= + − ⋅ = + + ⋅

    2 2 2 2 . 2 . 2C c a b a b D c a b a b= + − ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅

    Rješenje 221 Ponovimo!

    10 c s 60 .o

    2 =

    Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

    Uporabom kosinusovog poučka dobije se duljina stranice c.

    2 2 2 2 cos 12 2 2 0 2 2 2

    2 cos 60 2 0 260

    c a b a b c a b a b c a b a b

    γ

    γ

    = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

    =

      

    1 2

    2 2 2 2 2 2

    2 c a b a b c a b a b⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + − ⋅ ⇒

    / 2 2 2 2 2

    .c a b a b c a b a b⇒ = + − ⋅ ⇒ = + − ⋅

    Odgovor je pod A.

    Vježba 221 Duljine dviju stranica trokuta su a i b, a kut meñu njima iznosi γ = 120°. Kolika je duljina

    treće stranice trokuta? 2 2 2 2

    . .A c a b a b B c a b a b= + − ⋅ = + + ⋅

    2 2 2 2 . 2 . 2C c a b a b D c a b a b= + − ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅

    Rezultat: B. Zadatak 222 (Ante, strukovna škola)

    Duljine stranica trokuta iznose 12.5 cm, 10 cm i 8.5 cm. Duljina najduže stranice njemu

    sličnog trokuta iznosi 20 cm. Koliki je omjer ploština zadanog i njemu sličnog trokuta?

    . 0.311 . 0.391 . 0.621 . 0.645A B C D

    Rješenje 222 Ponovimo!

    Sličnost trokuta

    b1

    c1

    a1

    c

    b a

    C1

    A B

    C

    A1 B1

    Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

  • 2

    ,, , 1 1 1

    1 1 1

    . a b c

    k a b c

    α α β β γ γ= = = = = =

    Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće: Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne). Prvi poučak sličnosti (K – K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta. Drugi poučak sličnosti (S – K – S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su proporcionalne.

    Treći poučak sličnosti (S – S – S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne. Četvrti poučak sličnosti (S – S – K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici.

    Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina pripadnih stranica, tj. ako je

    ,

    1 1 1

    a b c k

    a b c = = =

    tada je

    . 2

    1

    P k

    P =

    Duljine stranica prvog trokuta su:

    12.5 , 10 , 8.5 .a cm b cm c cm= = =

    Duljina najduže stranice njemu sličnog trokuta je

    20 . 1

    a cm=

    Tada je koeficijent k sličnosti jednak

    1

    a k

    a =

    pa omjer ploština zadanog i njemu sličnog trokuta iznosi:

    2 2 2

    12.5 21 0.625 0.391.

    20 1 1

    metoda

    supstitucij 1 1

    1

    e 1

    P k

    P P a P cm P P

    a P a P cm P P k

    a

    =

    ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

    =

          

                 

    Odgovor je pod B.

    Vježba 222 Duljine stranica trokuta iznose 25 cm, 10 cm i 8.5 cm. Duljina najduže stranice njemu

    sličnog trokuta iznosi 40 cm. Koliki je omjer ploština zadanog i njemu sličnog trokuta?

    . 0.311 . 0.391 . 0.621 . 0.645A B C D

    Rezultat: B. Zadatak 223 (Elena, gimnazija)

    Jednakokračnom trokutu ABC s osnovicom AB duljine 12 cm i krakom duljine 18 cm upisana je kružnica. Na tu kružnicu položena je tangenta paralelno osnovici trokuta. Kolika je duljina odsječka te tangente koji je omeñen njezinim sjecištima s kracima trokuta?

    Rješenje 223 Ponovimo!

  • 3

    2 2 2 , 0 ,, ., 0a b a b a a b c a b c a b⋅ = ⋅ ≥ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≥

    Sličnost trokuta

    b1

    c1

    a1

    c

    b a

    C1

    A B

    C

    A1 B1

    Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

    ,, , 1 1 1

    1 1 1

    . a b c

    k a b c

    α α β β γ γ= = = = = =

    Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće: Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne). Prvi poučak sličnosti (K – K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta. Drugi poučak sličnosti (S – K – S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su proporcionalne.

    Treći poučak sličnosti (S – S – S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne. Četvrti poučak sličnosti (S – S – K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici.

    Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

    a : b = k i c : d = k,

    tada je razmjer ili proporcija

    a : b = c : d.

    Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

    .: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

    Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Zbroj kutova u trokutu je 180°.

    . 0

    180α β γ+ + =

    Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

    0 90 0, .

    0 9γ α β= + =

    Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama. Na osnovi odnosa meñu duljinama stranica trokut može biti: 1) raznostraničan, 2) jednakokračan, 3) jednakostraničan. Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo kracima trokuta. Uočimo da su kutovi koji leže na trećoj stranici jednaki zbog činjenice da se nasuprot jednakim stranicama nalaze jednaki kutovi. Opseg jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice a i duljina kraka b iznosi:

    2 .O a b= + ⋅

  • 4

    Poluopseg je:

    2 .

    2 2

    O a b s s

    + ⋅ = ⇒ =

    Formule za ploštinu trokuta glase

    ( ) ( ) ( ) , ,P s s a s b s c P r s= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ gdje je r polumjer upisane kružnice trokutu, a s poluopseg trokuta

    2 .

    a b c s

    + + =

    Za jednakokračan trokut te formule glase:

    ( ) ( ) ( ) , 2

    2 , .

    a b P s s a s b s b P r s s

    + ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ =

    Polumjer upisane kružnice jednakokračnom trokutu iznosi:

    ( ) ( ) ( ) .

    s s a s b s b r

    s

    ⋅ − ⋅ − ⋅ − =

    r

    rr

    rr

    r

    DE T

    S

    N

    DE T

    S

    N

    DE T

    S

    NA B BA A B

    C C C

    r

    r r

    r

    DE T

    S

    N

    DE T

    S

    N A BBA

    C C

    Sa slika vidi se:

    1 12 , 18 , 6 , 2

    2 AB AC BC NB AB NT r= = = = ⋅ = = ⋅

    2TC NC NT NC r= − = − ⋅

    Izračunamo polumjer r upisane kružnice trokutu ABC.

    12 , 18 12 2 18 12 36 48

    242 2 2 2

    2

    a b

    s s s sa b s

    = = + ⋅ +

    ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+ ⋅ =

       

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24 24 12 24 18 24 18

    24

    s s a s b s b r

    s r

    ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒ ⇒

    ⋅ − = ⇒

    ⋅ − ⋅ − =

          

  • 5

    2 2 24 12 6 6 2 12 12 6 6 2 12 6 12 6 2

    24 24 24 24 r r r r

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

    7272 2 2 3 2.

    24 24 r r r

    ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

    Uočimo pravokutan trokut NBC i pomoću Pitagorina poučka izračunamo duljinu visine │NC│ trokuta ABC.

    2 2 2 2 2 22 2 18 6 324 36 288NC BC NB NC NC NC= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒

    2 2 288 288 2 144 2 12/ 12 2.NC NC NC NC NC⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

    Sada je

    2 12 2 2 3 2 12 2 6 2 6 2.TC NC r TC TC TC= − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅

    Budući da su jednakokračni trokuti ∆ABC i ∆EDC slični (imaju iste unutarnje kutove), vrijedi razmjer:

    ( ) ( ): : 12 : 12 2 : 6 2AB ED NC TC ED= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

    1 /

    12 12 2 12 6 2 12 2 12 6 2 6.

    2 ED ED ED⇒ ⇒⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

    ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

    Vježba 223 Jednakokračnom trokutu ABC s osnovicom AB duljine 24 cm i krakom duljine 36 cm upisana

    je kružnica. Na tu kružnicu položena je tangenta paralelno osnovici trok