Aula 4 espa§os vetoriais

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Apostila de Espaços Vetoriais

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  • 1. 54 Parte 4 Espaos Vetoriais

2. 55 Espaos Vetoriais Reais DEFINIO: Um espao vetorial real um conjunto de elementos V munidos de duas operaes e tais que ) Se u v e v v so elementos de V, ento vu vv est em V (i. e., V fechado em relao operao ). a) uvvu vvvv = se u v e v v pertencem a V. b) ( ) ( ) wvuwvu vvvvvv = se u v , v v e w v pertencem a V. c) Existe um elemento 0 v em V tal que uu00u vvvvv == , para todo u v em V. d) Para cada u v em V, existe um elemento u v em V tal que 0uu vvv = ) Se u v um elemento qualquer de V e r qualquer nmero real, ento ur v est em V (i. e., V fechado em relao operao ). e) ( ) vrurvur vvvv = , para todo nmero real r e todos os elementos u v e v v em V. f) ( ) usurusr vvv =+ , para todos os nmeros reais r e s e todo elemento u v de V. g) ( ) ( ) ursusr vv = , para todos os nmeros reais r e s e todo elemento u v de V. h) uu1 vv = , para todo elemento u v de V. Os elementos de V so chamados vetores; os nmeros reais so chamados escalares. A operao chamada soma de vetores; a operao denominada multiplicao por escalar. O vetor 0 v que aparece na propriedade (c) conhecido como o vetor nulo. O vetor u v que ocorre na propriedade (d) o negativo de u v . possvel provar que os vetores 0 v e u v so nicos. Exemplo: Considere o conjunto V das triplas ordenadas de nmeros reais munidos das operaes e atravs das frmulas ( ) ( ) ( )'zz,'yy,'xx'z,'y,'xz,y,x +++= ( ) ( )z,y,rxz,y,xr = Podemos verificar que as propriedades (a), (b), (c), (d) e (e) so satisfeitas. Por exemplo, para checarmos a propriedade (e) fazemos: ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )'zz,'yy,'xxr'zz,'yy,'xxr'z,'y,'xz,y,xr +++=+++= Alm disso, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'zz,'yy,'xxr'z,'y,'rxz,y,rx'z,'y,'xrz,y,xr +++== Portanto, a propriedade (e) satisfeita. Entretanto, a propriedade (f) no satisfeita. De fato, ( ) ( ) ( )( )z,y,xdrz,y,xdr +=+ Por outro lado ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )z2,y2,xdrz,y,dxz,y,rxz,y,xdz,y,xr +== Logo, V no um espao vetorial. Observe que as propriedades (g) e (h) so satisfeitas. 3. 56 Outra fonte de exemplos de espaos vetoriais o conjunto dos polinmios. Um polinmio (em t) uma funo que pode ser expressa da forma ( ) 01 1n 1n n n atatatatp ++++= L onde n10 a,,a,a K so nmeros reais. Exemplo: As funes a seguir so polinmios: ( ) 1t5t2t3tp 24 1 += ( ) 1t2tp2 += ( ) 4tp3 = As funes a seguir no so polinmios ( ) 6t2tf4 = e ( ) 1t2 t 1 tf 25 += O polinmio ( )tp tem grau n se 0an . Portanto, o grau de um polinmio igual potncia mais alta com coeficiente no-nulo. O polinmio nulo definido da seguinte forma: 0t0t0t0 1nn ++++ L Observe que, por definio, o polinmio nulo no tem grau. Vamos considerar nP a coleo de todos os polinmios de grau n juntamente com o polinmio nulo. O polinmio 5t3t2 2 + , por exemplo, um elemento de 2P . Exemplo: Se ( ) 01 1n 1n n n atatatatp ++++= L e ( ) 01 1n 1n n n btbtbtbtq ++++= L definimos ( ) ( )tqtp pela frmula ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0011 1n 1n1n n nn batbatbatbatqtp ++++++++= L (isto , somamos os coeficientes das potncias de mesmo grau). Se c um escalar, definimos ( )tpc pela frmula ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 1n 1n n n catcatcatcatpc ++++= L (isto , multiplicamos cada coeficiente por c). 4. 57 Vamos provar agora que nP um espao vetorial. Sejam ( )tp e ( )tq elementos de nP como antes, isto , so polinmios de grau n ou o polinmio nulo. Ento, as definies dadas anteriormente de e mostram que ( ) ( )tqtp e ( )tpc , qualquer que seja o escalar c, so polinmios de grau n ou o polinmio nulo, ou seja, ( ) ( )tqtp e ( )tpc esto em nP , de modo que as propriedades () e () so vlidas. Para verificar (a), note que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0011 1n 1n1n n nn abtabtabtabtptq ++++++++= L e, como iiii abba +=+ para nmeros reais, podemos concluir que ( ) ( ) ( ) ( )tptqtqtp = . A propriedade (b) pode ser demonstrada de forma anloga. Para demonstrar (c) s utilizar como elemento 0 v o polinmio nulo. Para demonstrar (d) s lembrar que, para ( )tp como definido anteriormente, temos seu negativo, ( )tp , dado por 01 1n 1n n n atatata L Para demonstrar (f) fazemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01 1n 1n n n adrtadrtadrtadrtpdr ++++++++=+ L 0011 1n 1n 1n 1n n n n n daratdatratdatratdatra ++++++++= L ( ) ( )01 1n 1n n n01 1n 1n n n atatatadatatatar +++++++++= LL ( ) ( )tpdtpr = A demonstrao das demais propriedades fica como exerccio. A vantagem da Definio de Espao Vetorial apresentada que ela no se preocupa com o que um espao vetorial. Por exemplo, um vetor em 3 R um ponto, um segmento de reta orientado ou uma matriz 31? A Definio trata apenas do comportamento algbrico dos elementos em um espao vetorial. No caso de 3 R , qualquer que seja o ponto de vista adotado, o comportamento algbrico o mesmo. Podemos, ento, falar sobre as propriedades de todos os espaos vetoriais sem ter que nos referirmos a um espao vetorial particular. Portanto, um vetor, agora, , simplesmente, um elemento de um espao vetorial e no precisa estar associado a um segmento de reta orientado. O teorema a seguir apresenta diversas propriedades teis comuns a todos os espaos vetoriais. TEOREMA: Se V um espao vetorial, ento a) 0u0 vv = para todo u v em V. b) 00r vv = para todo escalar r. c) Se 0ur vv = , ento r = 0 ou 0u vv = . d) ( ) uu1 vv = para todo u v em V. 5. 58 Subespaos DEFINIO: Seja V um espao vetorial e W um subconjunto no-vazio de V. Se W um espao vetorial em relao s operaes em V, dizemos que W um subespao de V. Exemplo: Todo espao vetorial tem pelo menos dois subespaos, ele mesmo e o subespao { }0 v que tem como nico elemento o vetor nulo (lembre-se que 000 vvv = e 00r vv = em qualquer espao vetorial). O subespao { }0 v chamado de subespao nulo. TEOREMA: Seja V um espao vetorial com as operaes e e seja W um subconjunto no-vazio de V. Ento W um subespao de V se e somente se as seguintes condies so vlidas: ) Se u v e v v so vetores em W, ento vu vv pertence a W. ) Se r um nmero real qualquer e u v qualquer vetor em W, ento ur v pertence a W. Exemplo: Considere o conjunto W de todas as matrizes 23 da forma dc0 0ba onde a, b, c e d so nmeros reais arbitrrios. Mostre que W um subespao de 23M , onde 23M consiste no conjunto das matrizes 23 munido das operaes de soma e produto por escalar habituais. Sol: Considere = 11 11 dc0 0ba u v e = 22 22 dc0 0ba v v em W Ento ++ ++ =+ 2121 2121 ddcc0 0bbaa vu vv est em W de modo que () satisfeita. Alm disso, se k um escalar, ento = 11 11 kdkc0 0kbka uk v est em W de modo que () tambm satisfeita. Portanto, W um subespao de 23M . 6. 59 Exemplo: Seja W o subconjunto de 3 R formado por todos os vetores da forma (a, b, 1), onde a e b so nmeros reais. Para verificar se as propriedades () e () do Teorema so satisfeitas, suponha que ( )1,b,au 11= v e ( )1,b,av 22= v esto em W. Ento ( ) ( ) ( )2,bb,aa1,b,a1,b,avu 21212211 ++=+=+ vv no pertence a W, j que sua terceira componente 2 e no 1. Como a propriedade () no satisfeita, W no um subespao de 3 R . Exemplo: Representamos por nP o espao vetorial dos polinmios de grau n junto com o polinmio nulo e por P o espao vetorial de todos os polinmios. fcil verificar que 2P um subespao de 3P e que, em geral, nP um subespao de 1nP + . Alm disso, nP um subespao de P. Exemplo: Seja V o conjunto de todos os polinmios de grau exatamente = 2; ento V um subconjunto de 2P , mas no um subespao de 2P , j que a soma dos polinmios 1t3t2 2 ++ e 2tt2 2 ++ um polinmio de grau 1, que no est em V. Exemplo: Um modo simples de construir subespaos em espaos vetoriais o seguinte. Sejam 1v v e 2v v vetores fixos em um espao vetorial V e seja W o conjunto de todas as combinaes lineares de 1v v e 2v v , isto , W o conjunto dos vetores em V da forma 2211 vava vv + , onde 1a e 2a so nmeros reais. Para mostrar que W um subespao de V, vamos verificar as propriedades () e () do teorema. Sejam ento, 22111 vavaw vvv += e 22112 vbvbw vvv += vetores em W. Temos ( ) ( ) ( ) ( ) 2221112211221121 vbavbavbvbvavaww vvvvvvvv +++=+++=+ que tambm pertence a W. Logo, W um subespao de V. 7. 60 DEFINIO: Sejam k21 v,...,v,v vvv vetores em um espao vetorial V. Um vetor v v em V uma combinao linear de k21 v,...,v,v vvv se existem nmeros reais k21 c,...,c,c , tais que kk2211 vc...vcvcv vvvv +++= Exemplo: Considere em 3 R os vetores ( )1,2,1v1 = v ( )2,0,1v2 = v ( )0,1,1v3 = v O vetor ( )5,1,2v = v uma combinao linear de 1v v , 2v v e 3v v se pudermos encontrar escalares 1c , 2c e 3c tais que vvcvcvc 332211 vvvv =++ Substituindo 1v v , 2v v e 3v v , obtemos ( ) ( ) ( ) ( )5,1,20,1,1c2,0,1c1,2,1c 321 =++ Combinando os termos do lado esquerdo e igualando os coeficientes correspondentes, obtemos o sistema linear 5c2c 1cc2 2ccc 21 31 321 =+ =+ =++ Resolvendo este sistema obtemos 1c1 = , 2c2 = e 1c3 = , o que significa que v v uma combinao linear de 1v v , 2v v e 3v v . Temos ento 321 vv2vv vvvv += 2211 vcvcv vvv += 11vc v 22 vc v 2v v 1v v O 8. 61 DEFINIO: Se { }k21 v,...,v,vS vvv = um conjunto de vetores em um espao vetorial V, ento o conjunto de todos os vetores em V que so combinaes lineares de vetores em S representado por [ ]S ou { }[ ]k21 v,...,v,v vvv Exemplo: Considere o conjunto S de matrizes 23, = 100 000 , 010 000 , 000 010 , 000 001 S Ento [ ]S o conjunto em 23M de todos os vetores da forma = + + + dc0 0ba 100 000 d 010 000 c 000 010 b 000 001 a onde a, b, c e d so nmeros reais. Logo, [ ]S o subconjunto de 23M formado pelas matrizes dc0 0ba TEOREMA: Seja { }k21 v,...,v,vS vvv = um conjunto de vetores em um espao vetorial V. Ento [ ]S um subespao de V. Exemplo: Considere, em 2P , 2tt2v 2 1 ++= v t2tv 2 2 = v 2t5t5v 2 3 += v 2t3tv 2 4 = v Determine se o vetor 2ttu 2 ++= v pertence a { }[ ]4321 v,v,v,v vvvv . Se pudermos encontrar escalares 1c , 2c , 3c e 4c tais que uvcvcvcvc 44332211 vvvvv =+++ ento u v pertence a { }[ ]4321 v,v,v,v vvvv . Substituindo u v , 1v v , 2v v , 3v v e 4v v na expresso acima, temos 9. 62 ( ) (