Espa§os vectoriais

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Espaços vectoriais

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  • Jorge Orestes Cerdeira, Inst. Sup. Agronomia, 2005

    Espacos vectoriais

    Def. Um conj. V de vectores de Rm diz-se:

    . fechado para a adicao se x, y V, x+ y V ;

    . fechado para o produto escalar se x V e R, x V .

    Ex. Quais dos seguintes conjuntos sao fechados para a adicao e

    produto escalar?

    {(x1, x2) R2 : x21 + x22 1}

    {(x1, x2) R2 : 2x1 x2 = 0}

    {(x1, x2) R2 : 2x1 x2 = 1}

    {(x1, x2) R2 : x1, x2 Z}

    {(x1, x2) R2 : x1x2 0}

    Quais os subconj. de R2 fechados para a adicao e produto escalar?

    Def. V Rm diz-se subespaco vectorial se V 6= e e fechado para

    a adicao e multiplicacao escalar.

    Obs. {~0} e subespaco vectorial minimal (sub. trivial);

    Rm e subespaco vectorial maximal;

    Se V e subespaco entao:

    1

  • a) ~0 V (todo o sub. vectorial inclui o vector nulo)

    V 6= . Seja x V , 0x = ~0 V ;

    b) se x V x V

    x = 1x V .

    Amn - matriz

    x Rn, Ax Rm

    ... A TA : Rn Rm funcao ou transformacaox TA(x) = Ax entre espacos vectoriais

    a) TA(x+ y) = A(x+ y) = Ax+ Ay = TA(x) + TA(y)

    TA transforma somas (em Rn) em somas (em Rm);

    b) TA(x) = A(x) = (Ax) = TA(x)

    TA transforma produtos (em Rn) em produtos (em Rm).

    Diz-se que TA e uma transformacao linear de Rn em Rm.

    Seja N (A) = {x Rn : Ax = ~0}, i.e., o conj. das solucoes do

    sistema homogeneo.

    2

  • N(A)00

    ATn |Rm|R

    Teor. N (A) e um subespaco vectorial de Rn e chama-se espaco

    nulo da matriz A.

    . ~0 (de Rn) N (A) (A~0 = ~0 Rm)

    ... N (A) 6=

    . Se x, y N (A) Ax = ~0

    + Ay = ~0

    Ax+Ay = ~0+~0 A(x+ y) = ~0, i.e., x+ y N (A)

    . Se x N (A) e R

    Ax = ~0 (Ax) = ~0 A(x) = ~0, i.e., x N (A).

    Ex. A =

    1 2 11 3 2

    , N (A) =?

    3

  • N (A) = {(x1, x2, x3) R3 :

    1 2 11 3 2

    x1

    x2

    x3

    = 00

    } 1 2 11 3 2

    1 2 10 1 1

    1 0 10 1 1

    x1 = x3

    x2 = x3x3 =

    ... N (A) = {

    a

    a

    a

    = a

    1

    1

    1

    ,a R}

    i.e., a recta com a direccao do vector (1,1, 1) que passa na

    origem.

    11x

    x1x

    x2x

    x3xIR3 IR2

    1

    1

    1

    x

    4

  • Determinar N (A) para A = [ab], A = [abc], A =

    a b cd e f

    e

    A =

    a b c

    d e f

    g h i

    .Obs. {x Rn : Ax = b} e subespaco vectorial sse b = ~0.

    Def. Um vector w Rm e combinacao linear dos vectores

    v1, v2, . . . , vn de Rm se existem escalares 1, 2, . . . , n tais que w =

    1v1 + 2v2 + + nvn, i.e., o sistema[v1 v2 . . . vn w

    ]e

    possvel.

    Obs. As combinacoes lineares do vector v sao os vectores v, com

    R, i.e., os vectores multiplos de v (a recta com a direccao de v

    que passa na origem, se v 6= ~0).

    Todo o vector de R3 e combinacao linear dos vectores (1, 0, 0),

    (0, 1, 0), (0, 0, 1).

    Ex. Sejam u = (1, 2,1) e v = (6, 4, 2). Mostre que:

    a) w = (9, 2, 7) e combinacao linear de u e v.

    5

  • [u v w

    ]=

    1 6 9

    2 4 2

    1 2 7

    1 0 3

    0 1 2

    0 0 0

    1 = 3

    2 = 2

    De facto, 3

    1

    2

    1

    + 2

    6

    4

    2

    =

    9

    2

    7

    3 u + 2 v = w.

    b) w = (4,1, 8) nao e combinacao linear de u e v.

    [u v | w

    ]=

    1 6 4

    2 4 1

    1 2 8

    1 6 4

    0 8 9

    0 8 12

    1 6 4

    0 8 9

    0 0 3

    sistema impossvel.

    ... 1, 2 R, 1u+2v 6= w, i.e., w nao e combinacao linear

    de u e v.

    Teor. Seja Amn uma matriz. O conj. de todas as combinacoes

    lineares das colunas n de A e um subespaco vectorial de Rm, que se

    6

  • chama espaco das colunas de A e se representa por C(A).

    Note que C(A) = {dos membros direitos w Rm : Ax = w e

    possvel}.

    . O sistema homogeneo Ax = ~0( Rm) e possvel, ... ~0 C(A)

    C(A) 6= .

    . w,w C(A) u Rn : Au = w

    u Rn : Au = w

    Au+Au = w+w A(u+ u) = w+w,

    i.e., o sistema Ax = w + w e possvel (u+ u e uma solucao) e

    ... w + w C(A).

    . w C(A), R

    u Rn : Au = w

    (Au) = w A(u) = w, i.e., o sistema Ax = w

    e possvel (u e uma solucao) e ... w C(A).

    Ex. A =

    1 2 1

    2 4 2

    4 8 4

    , C(A) =?

    7

  • C(A) = {w =

    w1

    w2

    w3

    : o sistema Ax = w e possvel }.

    1 2 1 w12 4 2 w24 8 4 w3

    1 2 1 w10 0 0 w2 2w10 0 0 w3 + 4w1

    .

    O sistema e possvel sse

    w2 2w1 = 0

    w3 + 4w1 = 0

    , i.e.,

    w1 =

    w2 = 2w1

    w3 = 4w1

    w1

    1

    2

    4

    ... C(A) e a recta de R3 que passa na origem e tem adireccao do vector (1, 2,4).

    Algoritmo para a determinacao do espaco das colunas

    input: Matriz Amn

    . Definir a matriz ampliada [A|w], com w = (w1, w2, . . . , wm) vector

    generico de Rm.

    . Aplicar o metodo de Gauss (fase descendente) a [A|w]. Seja [A|w]8

  • a matriz em escada resultante.

    . Se A nao tem linhas nulas (O sistema Ax = w e possvel, w

    Rm) C(A) = Rm.

    caso contrario (cada linha nula de A introduz uma restricao aos

    membros direitos para os quais o sistema Ax = w e possvel.)

    Se i e linha nula de A, tem-se a restricao wi = 0.

    Obs. a) Quando A tem linhas nulas, o algoritmo identifica C(A)

    com espaco do nulo de uma matriz com m colunas e tantas linhas

    quantas as linhas nulas de A.

    b) Amn TA : Rn Rmx TA(x) = Ax

    combinacao linear das colunas de A

    C(A) e o contra-domnio de TA.

    c) C(Amn) = Rm n m.

    Def. Chama-se espaco gerado por um conj. de vectores V =

    {v1, v2, . . . , vn}, e representa-se por < V >, o conj. de todas as

    combinacoes lineares desses vectores, i.e., o espaco das colunas da

    matriz [v1 v2 . . . vn].

    Ex. V = {(1, 3, 4), (2, 2, 4), (3, 5, 8), (1, 1, 2)}, < V >=?9

  • 1 2 3 1 w1

    3 2 5 1 w2

    4 4 8 2 w3

    1 2 3 1 w1

    0 4 4 2 3w1 + w20 0 0 0 w1 w2 + w3

    Restricao: w1 w2 + w3 = 0 ... < V >= N ([1 1 1]) e o

    plano ao vector (1,1, 1) que passa na origem.

    Note que < V >=< {(1, 3, 4), (2, 2, 4), (3, 5, 8), (1, 1, 2)} >=

    < {(1, 3, 4), (2, 2, 4)} >.

    De uma forma geral, tem-se

    Obs. se A e uma matriz em escada resultante de aplicar o metodo

    de Gauss a` matriz A, C(A) e o espaco gerado pelas colunas de A

    que correspondem a`s colunas pivot de A.

    Def. Um conj. de vectores V = {v1, v2, . . . , vn} de Rm e lin-

    earmente independente se todas as colunas da matriz em escada

    resultante de aplicar o metodo de Gauss a` matriz [v1 v2 . . . vn]

    sao pivot. Se V nao e linearmente independente diz-se linearmente

    dependente.

    Obs.

    a) {v} e linearmente independente sse v 6= ~0.

    10

  • b) Um conjunto que inclua o vector nulo e linearmente dependente.

    c) Se o conj. de vectores V = {v1, v2, . . . , vn} de Rm e linearmente

    independente, entao n m, i.e., um conj. linearmente independente

    de vectores de Rm nao inclui mais do que m vectores.

    Ex. Decidir da independencia linear de

    a) U = {(1, 2,1), (0, 2, 1), (2,1, 3), (4, 5,2)} e

    b) V = {(1, 2, 0, 1) v1

    , (0,1, 3, 1) v2

    , (4, 2, 1, 0) v3

    }.

    [v1 v2 v3

    ]=

    1 0 4

    2 1 2

    0 3 1

    1 1 0

    1 0 4

    0 1 6

    0 0 17

    0 0 0

    .

    Toda a coluna da matriz em escada e pivot ... V e linearmente

    independente.

    Teor. O conj. de vectores V = {v1, v2, . . . , vn} de Rm e linearmente

    independente sse N [v1 v2 . . . vn] = {~0}, i.e., 1v1 + 2v2 + +

    nvn = ~0 1 = 2 = = n = 0. (So se obtem uma combinacao

    linear nula dos vectores v1, v2, . . . , vn anulando os coeficientes.)

    11

  • Ex. Mostre que V = {(1, 0, 1, 1) v1

    , (0, 1, 2, 1) v2

    , (2,1, 0, 1) v3

    (0, 0, 3, 3) v4

    }

    e linearmente dependente.

    A =

    [v1 v2 v3 v4

    ]=

    1 0 2 0

    0 1 1 0

    1 2 0 3

    1 1 1 3

    1 0 2 0

    0 1 1 0

    0 0 0 3

    0 0 0 0

    = A.

    A coluna 3 de A nao e pivot, logo V e linearmente dependente.

    De facto, o sistema homogeneo Ax = ~0 e indeterminado. N (A) =

    {(2a, a, a, 0), a R} 6= {~0} e ... 1v1+2v2+3v3+4v4 = ~0 6

    1 = 2 = 3 = 4 = 0. Por exemplo 2v1 + v2 + v3 + 0v4 = ~0.

    Note que, como a coluna 3 de A nao e pivot, a coluna 3 de A e

    combinacao linear das colunas 1 e 2 de A, i.e., o sistema [v1 v2|v3] e

    possvel ((2,1) e solucao).

    De uma forma geral, se a coluna j da matriz em escada que re-

    sulta de aplicar o metodo de Gauss a` matriz A nao e pivot, entao

    a coluna j de A e combinacao linear das restantes colunas de A.

    Tem-se pois o seguinte resultado

    Teor. Um conj. com dois ou mais vectores e linearmente de-

    pendente sse um dos vectores do conj. e combinacao linear dos

    12

  • restantes.

    Def. Sejam S 6= {~0} um subespaco vectorial e V = {v1, v2, . . . , vn}

    um conj. de vectores de S. Diz-se que V e uma base de S se:

    1. V e linearmente independente, e

    2. V gera S, i.e., < V >= S.

    Convenciona-se que e base do subespaco {~0}.

    Obs. Todo o vector de um subespaco vectorial exprime-se de

    forma unica como combinacao linear dos vectores da base.

    Ex.

    . Uma base do plano da mesa e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Outra base

    e {(1, 0, 0), (1, 1, 0)}. O conj. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} nao e

    base.

    . Uma base da recta de R3 que passa na origem e no ponto (1, 1, 1)

    e {(1, 1, 1)}. Os conjuntos {(1,1,1)} e {(12 , 12 , 12)} tambem