ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (ερωτήσεις και ασκήσεις)

2

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Α. Εξισώσεις κίνησης και δύναµης.

1. Α. Θεωρία ( σελ. 8-12)

1. Ορισµός της περιόδου και της συχνότητας ( σελ. 8 ) 2. Απόδειξη της σχέσης : F= -m.ω2x 3. Απόδειξη της σχέσης της περιόδου.

Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας.

1. Περιοδικά φαινόµενα ονοµάζονται τα φαινόµενα που εξελίσσονται και επαναλαµβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήµατα. 2. Τα µεγέθη περίοδος και συχνότητα είναι αντίστροφα. 3. Στην οµαλή κυκλική κίνηση, το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας που έχει ως κυκλική κίνηση είναι ίσο µε τη γωνιακή συχνότητα που έχει ως περιοδική κίνηση 4. Μια περιοδική παλινδροµική κίνηση ονοµάζεται ταλάντωση. 5. Η ταλάντωση που γίνεται σε ευθεία τροχιά ονοµάζεται γραµµική ταλάντωση. Γ. Βασικές σχέσεις.

x=A.ηµ(ωt+φ0) υ=ωΑσυν(ωt+φ0) ή υ=ωΑηµ(ωt+φ0+π/2) α=-ω2Αηµ(ωt+φ0) ή α=ω2Αηµ(ωt+φ0+π) δύναµη επαναφοράς ΣF=-Dx σταθερά επαναφοράς D=mω2 ω=2πf Τ=2π/ω T=2π√m/D

2. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την ορθή πρόταση.

1.1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση: Α. ευθύγραµµη οµαλή. Β. ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη. Γ. οµαλή κυκλική. ∆. ευθύγραµµη περιοδική. 1.2. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση x από τη

θέση ισορροπίας του είναι : Α. ανάλογη του χρόνου. Β. αρµονική συνάρτηση του χρόνου. Γ. ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. ∆. οµόρροπη µε τη δύναµη επαναφοράς. 1.3. Η ταχύτητα σηµειακού αντικειµένου το οποίο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση Α. είναι µέγιστη κατά µέτρο στη θέση x=0. B. έχει την ίδια φάση µε την αποµάκρυνση x. Γ. είναι µέγιστη στις θέσεις x=±A. ∆. έχει την ίδια φάση µε την δύναµη επαναφοράς.

3

1.4. Η επιτάχυνση σηµειακού αντικειµένου το οποίο εκτελεί ΑΑΤ Α. είναι σταθερή. Β. είναι ανάλογη της συνισταµένης δύναµης. Γ. έχει ίδια φάση µε την ταχύτητα. ∆. γίνεται µέγιστη στη θέση x=0. 1.5. Η συνισταµένη δύναµη που ενεργεί σε σηµειακό αντικείµενο το οποίο εκτελεί ΑΑΤ Α. είναι µέγιστη στη θέση ισορροπίας. Β. έχει ίδια φάση µε την αποµάκρυνση. Γ. µηδενίζεται στις θέσεις x=±A. ∆. είναι ανάλογη και αντίθετη της αποµάκρυνσης. 1.6. Η φάση της αποµάκρυνσης στην ΑΑΤ Α. αυξάνεται γραµµικά µε τον χρόνο. Β. είναι σταθερή. Γ. ελαττώνεται γραµµικά µε τον χρόνο. ∆. είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. 1.7. Η διαφορά φάσης ∆φ=φυ-φx µεταξύ ταχύτητας υ και αποµάκρυνσης x στην ΑΑΤ είναι : Α. –π/2 Β. -π Γ. π/2 ∆. 0 1.8. Η διαφορά φάσης ∆φ=φx-φα µεταξύ αποµάκρυνσης x και επιτάχυνσης α στην ΑΑΤ είναι : Α. –π/2 Β. -π Γ. π/2 ∆. 0 1.9. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η συχνότητα της ταλάντωσής

του είναι :

Α. mD

f π2= Β. Dm

f π2= Γ. Dm

fπ2

1= ∆.

mD

fπ2

1=

1.10. Σώµα εκτελεί ΑΑΤ και τη χρονική στιγµή t1 κινείται προς τη θέση ισορροπίας του µε αρνητική

επιτάχυνση. Τη χρονική στιγµή t1 : Α. Το σώµα έχει θετική ταχύτητα. Β. Το σώµα έχει αρνητική αποµάκρυνση. Γ. Το σώµα έχει αρνητική ορµή. ∆. Η συνισταµένη των δυνάµεων είναι θετική. 1.11. Η αρχική φάση της ταλάντωσης ενός σώµατος είναι οπωσδήποτε ίση µε µηδέν όταν : Α. Το σώµα βρίσκεται στη θέση x=Α τη στιγµή t=0. Β. Το σώµα βρίσκεται στη θέση x=-Α τη στιγµή t=Τ/4. Γ. Το σώµα βρίσκεται στη θέση x=0 τη στιγµή t=Τ/2. ∆. Το σώµα βρίσκεται στη θέση x=Α τη στιγµή t=Τ/4.

4

3. Ερωτήσεις σωστού-λάθους ή επιλογής µε αιτιολόγηση.

1.12. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί ΑΑΤ. ∆ίνεται : x=A. ηµ(ωt+φ0). Α. Η συνισταµένη δύναµη που ενεργεί στο αντικείµενο δίνεται από την σχέση:F=-mω2x. B. Η φάση της ταλάντωσής του µεταβάλλεται γραµµικά µε τον χρόνο. Γ. Η φάση της ταχύτητάς του προηγείται της φάσης της αποµάκρυνσής του κατά π/2. ∆. Το µέτρο της επιτάχυνσής του γίνεται µέγιστο στις θέσεις x=±A. 1.13. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί ΑΑΤ και η αποµάκρυνσή του δίνεται από τη σχέση : x=A.ηµ(ωt+3π/2). ∆ίνονται τα διαγράµµατα χρόνου :

Τα παραπάνω διαγράµµατα αντιστοιχούν µε τα µεγέθη x, υ, α ως εξής: Α. 2-x, 3-υ, 1-α Β. 1-x, 3-υ, 2-α Γ. 2-x, 4-υ, 1-α ∆. 1-x, 4-υ, 2-α 1.14. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί ΑΑΤ και η ταχύτητά του δίνεται από τη σχέση : υ=υmax .ηµ(ωt). ∆ίνονται τα διαγράµµατα χρόνου :

Τα παραπάνω διαγράµµατα αντιστοιχούν µε τα µεγέθη x, υ, α ως εξής: Α. 2-x, 3-υ, 1-α Β. 1-x, 3-υ, 2-α Γ. 2-x, 4-υ, 1-α ∆. 1-x, 4-υ, 2-α 1.15. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί ΑΑΤ.. ∆ίνονται τα διαγράµµατα χρόνου :

Τα παραπάνω διαγράµµατα αντιστοιχούν µε τα µεγέθη x, υ, α : Α. 2-x, 3-υ, 1-α Β. 1-x, 3-υ, 2-α Γ. 1-x, 2-υ, 3-α ∆. 3-x, 2-υ, 1-α

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

5

1.16. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί ΑΑΤ και η ταχύτητά του µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήµα.

Α. Τις χρονικές στιγµές 0 s, 8 s και 16 s το αντικείµενο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας.

Β. Τη στιγµή t=14 s το αντικείµενο κινείται προς την θέση ισορροπίας.

Γ. Τις χρονικές στιγµές 4 s και 12 s το µέτρο της επιτάχυνσής του είναι µηδέν. ∆. Η αποµάκρυνση του αντικειµένου κάθε χρονική στιγµή καθορίζεται από την εξίσωση :

x=A.ηµ(ωt+π/2). 1.17. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί ΑΑΤ και η

επιτάχυνσή του µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήµα.

Α. Τις χρονικές στιγµές 0 s, 8 s και 16 s η ταχύτητά του είναι ίση µε µηδέν.

Β. Τη στιγµή t=14 s το αντικείµενο κινείται προς την θέση ισορροπίας.

Γ. Τις χρονικές στιγµές 4 s και 12 s η αποµάκρυνσή του είναι ίση µε το µηδέν. ∆. Η ταχύτητα του αντικειµένου κάθε χρονική στιγµή καθορίζεται από την εξίσωση : υ=υmaxηµ(ωt+π). 4 Ασκήσεις. 1.18. Υλικό σηµείο εκτελεί ΑΑΤ και τη στιγµή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του

κινούµενο προς τη θετική κατεύθυνση. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=4cm και η συχνότητα f=2 Hz.

Α. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Β. Να προσδιορίσετε το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας του υλικού σηµείου καθώς και τη

χρονική στιγµή που θα αποκτήσει αυτή την ταχύτητα(0<t<T). Γ. Να προσδιορίσετε το µέτρο της µέγιστης επιτάχυνσης του υλικού σηµείου καθώς και τη

χρονική στιγµή που θα αποκτήσει αυτή την επιτάχυνση για πρώτη φορά. ∆. Να υπολογίσετε τη συνολική απόσταση που διάνυσε το υλικό σηµείο από τη στιγµή t=0

ως τη στιγµή t=1,25s. 1.19. Υλικό σηµείο εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α=0,2m και γωνιακής συχνότητας ω=20rad/s. Να

γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο, αν δίνεται ότι για t=0:

Α. x=0 και υ<0, Β. x=0,2m. Γ. x=-0,1m και υ<0. 1.20. Υλικό σηµείο εκτελεί ΑΑΤ και η θέση του δίνεται από την εξίσωση: x=A. ηµ(ωt+φ0). Α. Να υπολογίσετε τις τιµές των µεγεθών Α, ω και φ0 αν γνωρίζετε ότι η απόσταση µεταξύ

των ακραίων θέσεων του υλικού σηµείου είναι d=0,2m και ότι τη στιγµή t=0 βρίσκεται στη θέση x=0,05m µε ταχύτητα υ=-√3m/s.

Β. Να βρείτε τη στιγµή t=0 την επιτάχυνση του υλικού σηµείου. Γ. Να παραστήσετε γραφικά τη συνισταµένη δύναµη σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση, αν

m=0,1kg.

α

8 16 t(s)

υ

8 16 t(s)

6

1.21. Υλικό σηµείο µάζας m=0,01kg εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α=0,2m µε περίοδο Τ=π s. Α. Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστηµα που απαιτείται για να µεταβεί το υλικό

σηµείο από τη θέση x1=0,1m στη θέση x2=-0,1m, αν δίνεται ότι το υλικό σηµείο περνά από τη θέση x1 κινούµενο:

1. προς τη θετική κατεύθυνση. 2. προς την αρνητική κατεύθυνση. Β. Με ποιο ρυθµό µεταβάλλεται η ορµή του υλικού σηµείου όταν αυτό περνά από τη θέση x1 κινούµενο προς την αρνητική κατεύθυνση; 1.22. Στο σχήµα φαίνεται η φάση της ταλάντωσης δύο

σωµάτων που εκτελούν ΑΑΤ στον άξονα x’x µε πλάτος Α1=0,2m, Α2=0,3m και µε την ίδια θέση ισορροπίας.

Α. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης για τα δύο σώµατα.

Β. Να υπολογίσετε την τιµή της αποµάκρυνσής τους τη στιγµή t=2s. Γ. Να υπολογίσετε την µεταξύ τους απόσταση τη χρονική στιγµή t=3s. Β. Η ενέργεια στην απλή αρµονική ταλάντωση-το ελατήριο.

1. Α. Θεωρία ( σελ.12-13)

1. Απόδειξη της σχέσης : U=Dx2/2 2. Απόδειξη της σταθερότητας της ενέργειας σε τυχαία θέση της ταλάντωσης

Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Η ενέργεια στην απλή αρµονική ταλάντωση είναι σταθερή και ανάλογη µε το τετράγωνο του πλάτους. Γ. Βασικές σχέσεις E=DA2/2=mυmax

2/2 Κ+U=E U=Dx2/2 K=mυ2/2 Κ= DA

2/2- Dx

2/2

Ελατήριο : F=-k.∆l Uελ=k(∆l)2/2

2. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την ορθή πρόταση.

2.1. Στο πρότυπο του απλού αρµονικού ταλαντωτή η κινητική του ενέργεια Α. είναι ίση µε την ολική του ενέργεια στη θέση x=0. Β. είναι πάντοτε µεγαλύτερη από τη δυναµική του ενέργεια. Γ. εξαρτάται από την κατεύθυνση της κίνησης του σώµατος. ∆. µηδενίζεται µια φορά στη διάρκεια µιας περιόδου. 2.2. Στο πρότυπο του απλού αρµονικού ταλαντωτή η ολική του ενέργεια Α. µεταβάλλεται αρµονικά µε το χρόνο. Β. είναι πάντοτε ίση µε τη δυναµική του ενέργεια. Γ. είναι ίση µε τη κινητική του ενέργεια σε δύο θέσεις της ταλάντωσης. ∆. καθορίζει το πλάτος της ταλάντωσης και τη µέγιστη ταχύτητα.

φ(rad)

π 2

π/2

1

2 t(s)

7

2.3. Στο πρότυπο του απλού αρµονικού ταλαντωτή στη διάρκεια µιας περιόδου Α. η δυναµική ενέργεια γίνεται µέγιστη µόνο µια φορά. Β. η δυναµική ενέργεια γίνεται ίση µε την κινητική δύο φορές. Γ. η ολική ενέργεια παραµένει σταθερή. ∆. η κινητική ενέργεια παραµένει σταθερή. 2.4. Στο πρότυπο του απλού αρµονικού ταλαντωτή η δυναµική του ενέργεια Α. έχει τη µέγιστη τιµή της στη θέση ισορροπίας. Β. είναι ίση µε την ολική του ενέργεια στις ακραίες θέσεις. Γ. είναι ίση µε την κινητική στις θέσεις x=±A/2. ∆. έχει αρνητική τιµή στις θέσεις -Α≤ x≤0. 2.5. ∆ύο σώµατα µε ίσες µάζες και ίσες συχνότητες ταλάντωσης έχουν πάντα : Α. Ίσες µέγιστες ταχύτητες. Β. Ίδιες σταθερές επαναφοράς. Γ. Ίσες ολικές ενέργειες ταλάντωσης. ∆. Ίσες µέγιστες δυνάµεις επαναφοράς. 2.6. Ένα σύστηµα ελατηρίου—µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν

τετραπλασιάσουµε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αυτού του συστήµατος, τότε α. η συχνότητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί. β. η σταθερά επαναφοράς θα τετραπλασιαστεί. γ. το πλάτος της ταλάντωσης θα τετραπλασιαστεί. δ. η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί. ( Π. Ε.)

2.7. Σώµα ηρεµεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο συνδεδεµένο µε το ελεύθερο άκρο οριζόντιου

ελατηρίου. Η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να δαπανήσουµε για να αποκρύνουµε το σώµα κατά d από τη θέση ισορροπίας του :

Α. Είναι ανεξάρτητη της σταθεράς k του ελατηρίου. Β. Είναι ανάλογη προς την αποµάκρυνση d. Γ. Είναι ανεξάρτητη από τη µάζα m του σώµατος. ∆. Είναι ίδια για όλες τις τιµές του d. 3. Ερωτήσεις σωστού-λάθους ή επιλογής µε αιτιολόγηση.

2.8. Απλός αρµονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α. Αν το πλάτος της

ταλάντωσης διπλασιαστεί, τότε Α. η περίοδος της ταλάντωσης διπλασιάζεται. Β το µέτρο της µέγιστης δύναµης επαναφοράς διπλασιάζεται. Γ. η ολική ενέργεια τετραπλασιάζεται. ∆. το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας τετραπλασιάζεται. 2.9. Σώµα εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α. Η δυναµική του ενέργεια είναι τριπλάσια της κινητικής του στη

θέση: Α. x=A/2 B. x=√3A/2 Γ. x=A/4. 2.10. Ταλαντωτής Α έχει µάζα m και εκτελεί ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D. Ταλαντωτής Β

έχει µάζα m/2 και εκτελεί ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D/2. Οι δύο ταλαντωτές έχουν την ίδια ολική ενέργεια.

Α. Οι ταλαντωτές εκτελούν ταλάντωση ίδιου πλάτους.

8

Β. Το µέτρο της µέγιστης δύναµης επαναφοράς στον ταλαντωτή Α είναι διπλάσιο από το µέτρο της µέγιστης δύναµης επαναφοράς του ταλαντωτή Β.

Γ. Οι ταλαντωτές ταλαντώνονται µε την ίδια συχνότητα. ∆. Το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας του ταλαντωτή Α είναι √2 φορές µεγαλύτερο από το

µέτρο της µέγιστης ταχύτητας του ταλαντωτή Β. 2.11. Σώµα συνδεδεµένο µε το ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k εκτελεί ΑΑΤ

πλάτους Α σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγµή t=0 το σώµα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούµενο προς την αρνητική κατεύθυνση.

Α. Τη χρονική στιγµή t=T/8 η επιτάχυνση είναι ίση µε α=αmax/√2. B. Η ταχύτητα του σώµατος καθορίζεται κάθε στιγµή από την εξίσωση υ=υmaxσυνωt. Γ. Τη χρονική στιγµή t=3T/8 η δυναµική ενέργεια είναι ίση µε την κινητική. ∆. Τη χρονική στιγµή t=T/2 το σώµα βρίσκεται στη θέση x=-A√3/2. 2.12. ∆ύο σώµατα Σ1 και Σ2 µε ίσες µάζες ισορροπούν κρεµασµένα από κατακόρυφα

ιδανικά ελατήρια µε σταθερές k1 και k2 αντίστοιχα, που συνδέονται µε τη σχέση k1= k2/2 . Αποµακρύνουµε τα σώµατα Σ1 και Σ2 από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και 2x αντίστοιχα και τα αφήνουµε ελεύθερα την ίδια χρονική στιγµή, οπότε εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση. Τα σώµατα διέρχονται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας τους: Α. ταυτόχρονα. Β. σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ1 . Γ. σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ2 . ( Π. Ε. )

2.13. Υλικό σηµείο Σ εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α και κυκλικής συχνότητας ω. Η µέγιστη τιµή του µέτρου της ταχύτητάς του είναι υ0

και του µέτρου της

επιτάχυνσής του είναι α0. Αν x, υ, α είναι τα µέτρα της αποµάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του Σ αντίστοιχα, τότε σε κάθε χρονική στιγµή ισχύει: α. υ2=ω(Α2−x2). β. x2=ω2(α0 2-α2). γ. α2=ω2(υ0

2-υ2). ( Π. Ε. )

2.14. Τα δύο σώµατα Σ1 και Σ2 µε µάζες m και 2m αντίστοιχα είναι δεµένα στα άκρα δύο ελατηρίων µε σταθερές Κ και 2K, όπως φαίνεται στο σχήµα, και εκτελούν απλές αρµονικές ταλαντώσεις µε ίσες ενέργειες ταλάντωσης. Οι τριβές θεωρούνται αµελητέες.

Ασκήσεις.

Το πλάτος ταλάντωσης Α1 του σώµατος Σ1

είναι

α. µικρότερo β. ίσo γ. µεγαλύτερo από το πλάτος ταλάντωσης Α2

του σώµατος Σ2 ( Π. Ε. )

2.15. ∆ίσκος µάζας Μ είναι στερεωµένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου

ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, και ισορροπεί (όπως στο σχήµα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωµένο στο έδαφος. Στο δίσκο τοποθετούµε χωρίς αρχική ταχύτητα σώµα µάζας m. Το σύστηµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι: Α. m2g2/2k B. M2g2/2k Γ. (m+M)2/2k ( Π. Ε. )

9

4 Ασκήσεις. 2.16. Σώµα µάζας m=2 kg κάνει απλή αρµονική ταλάντωση της µορφής : x=6.ηµ(4πt+π/2) ( όλα τα µεγέθη σε µονάδες S.I. )

Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις : υ( t ), α( t ), K(t) και U(t) και να γίνουν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις.

2.17. Σώµα µάζας m=2 kg εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α=0,5m Το σώµα

διέρχεται από τη θέση x1=0,3m µε ταχύτητα µέτρου υ1=8m/s. Να υπολογιστούν : Α. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. Β. Η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης. Γ. Να δείξετε ότι σε οποιαδήποτε θέση x της ταλάντωσης ισχύει: υ2=ω2(Α2-x2)

2.18. Σώµα µάζας m=2 kg εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και διέρχεται από δύο σηµεία που απέχουν x1=0,4 m και x2=0,3 m από τη θέση ισορροπίας µε ταχύτητες υ1=3 m/s και υ2=4 m/s αντίστοιχα. Να υπολογιστούν :

Α. Η σταθερά επαναφοράς και η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. Β. Η µέγιστη τιµή της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας. 2.19. Η κινητική ενέργεια σώµατος µεταβάλλεται µε την αποµάκρυνση σύµφωνα µε τη σχέση :

Κ=10-5x2 (SI). Η περίοδος της ταλάντωσης είναι : Τ=π s. Να υπολογιστούν ; Α. Η ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης. Β. Η µάζα του σώµατος. 2.20. Υλικό σηµείο µάζας m=0,01kg εκτελεί ΑΑΤ και η ολική του ενέργεια είναι Εoλ=32.10-4J. Η

επιτάχυνσή του δίνεται από τη σχέση α=-16x (SI). Α. Να βρείτε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Β. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο, αν για t=0 το

υλικό σηµείο έχει U=K, x<0 και υ<0. 2.21. Υλικό σηµείο µάζας m=0,1kg εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α=0,1m µε περίοδο Τ=2s. Τη στιγµή

t=0 το υλικό σηµείο περνά από τη θέση x=5√3.10-2m κινούµενο κατά την αρνητική κατεύθυνση.

Α. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. Β. Τη χρονική στιγµή t=T/4 να βρείτε για το υλικό σηµείο(π2=10): 1. Τη δυναµική του ενέργεια. 2. Την κινητική του ενέργεια. 3. Το ρυθµό µεταβολής της

ορµής του. 2.22. Στο διάγραµµα βλέπουµε τη γραφική παράσταση της

δύναµης επαναφοράς σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση για δύο ταλαντωτές 1 και 2 ίσης µάζας και ίδιας θέσης ισορροπίας, οι οποίοι εκτελούν ταλάντωση στον άξονα x’x .

Α. Να κατασκευάσετε κοινό διάγραµµα της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο για τους δύο ταλαντωτές (φ0=0).

Β. Να κατασκευάσετε κοινό διάγραµµα της δυναµικής ενέργειας σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση.

1 2F

2 F

-2Α -Α Α 2Α x

10

5. Προβλήµατα.

2.23. Σώµα µάζας m=0,5kg ισορροπεί συνδεδεµένο µε το κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού

ελατηρίου σταθεράς k=50i/m. Αποµακρύνουµε το σώµα κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά 0,2 m προς τα κάτω και το αφήνουµε ελεύθερο.

Α. Να δείξετε ότι θα εκτελέσει ΑΑΤ και να υπολογίσετε την περίοδο της. Β. Να υπολογίσετε τη µέγιστη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης και τη µέγιστη δυναµική

ενέργεια του ελατηρίου. Γ. Να υπολογίσετε το έργο που προσφέρθηκε για την µετατόπιση του σώµατος κατά 0,2m. ∆. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης y σε συνάρτηση µε το χρόνο, αν για t=0 το

σώµα διέρχεται από τη θέση y=0,1m κινούµενο προς την αρνητική κατεύθυνση. 2.24. ∆ύο ιδανικά ελατήρια µε σταθερές k1=200i/m

και k2=300i/m συνδέονται σε σειρά. Το σύστηµα ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αποµακρύνουµε το σώµα µάζας m=0,3kg από τη θέση ισορροπίας του κατά d=0,6m και το αφήνουµε ελεύθερο.

Α. Να δείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει ΑΑΤ και να υπολογίσετε την περίοδο Τ. Β. Πόση είναι η ολική ενέργεια της ταλάντωσης; Γ. Όταν το σώµα βρίσκεται στη θέση x=0,5m να υπολογιστεί η δυναµική ενέργεια του πρώτου

ελατηρίου. 2.25. Το σώµα Α του σχήµατος εκτελεί κατακόρυφη

ΑΑΤ µε περίοδο Τ=π s. Το σώµα Β έχει µάζα m=0,2kg.

Α. Με θετική φορά προς τα πάνω να υπολογίσετε τη δύναµη που ασκεί το σώµα Α στο σώµα Β σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας του.

Β. Για ποια τιµή της αποµάκρυνσης το σώµα Β θα εγκαταλείψει το σώµα Α; Γ. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=2m, να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της

δύναµης του ερωτήµατος Α σε συνάρτηση µε το χρόνο. 2.26. ∆ίσκος µάζας Μ=1,5kg ισορροπεί συνδεδεµένος µε το άνω

άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=200i/m. Πάνω στον δίσκο είναι τοποθετηµένο σώµα µάζας m=0,5kg. Το σύστηµα ισορροπεί. Πιέζουµε το σύστηµα προς τα κάτω κατά y=√5/10m και το αφήνουµε ελεύθερο.

Α. Να υπολογιστεί η σταθερά επαναφοράς του συστήµατος και η σταθερά επαναφοράς του σώµατος m.

Β. Να βρείτε τη θέση στην οποία το σώµα θα εγκαταλείψει τον δίσκο. (θετική φορά προς τα πάνω)

Γ. Ποια η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώµατος m τη στιγµή που εγκαταλείπει τον δίσκο; ∆. Σε πόσο ύψος θα φτάσει το σώµα m πάνω από τη θέση στην οποία εγκαταλείπει τον δίσκο;

k1 k2

Β

Α

m

M

11

2.27. Το σύστηµα των δύο σωµάτων µε µάζες m1=2kg και m2=2kg είναι κρεµασµένο από το ελατήριο σταθεράς k=200i/m. Την χρονική στιγµή t=0 κόβουµε το νήµα και το σώµα m1 αρχίζει να ταλαντώνεται.

Α. Να υπολογιστεί η αποµάκρυνση του σώµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. (θετική φορά προς τα πάνω).

Β. Να γίνει το διάγραµµα της φάσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε τον χρόνο.

Γ. Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναµική ενέργεια σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να γίνει το αντίστοιχο διάγραµµα. 2.28. Σώµα µάζας m1=1 kg είναι συνδεδεµένο στο ένα

άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400i/m και βρίσκεται σε επαφή µε σώµα µάζας m2=3 kg. Μετακινούµε το σώµα m1 κατά 0,1m συµπιέζοντας το ελατήριο και τη στιγµή t=0 το αφήνουµε ελεύθερο. Το δάπεδο είναι λείο και η κρούση των δύο σωµάτων είναι στιγµιαία και πλαστική.

Α. Να υπολογιστεί το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. Β. Να γίνει η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης του σώµατος m1 από τη θέση ισορροπίας

του σε συνάρτηση µε το χρόνο από t=0 έως τη στιγµή που θα µηδενιστεί η ταχύτητά του για τρίτη φορά..

2.29. ∆ίσκος µάζας Μ=3,75kg είναι συνδεδεµένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού

ελατηρίου σταθεράς k=400i/m του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε ακλόνητο σηµείο του δαπέδου. Από ύψος h=0,75m πάνω από τον δίσκο αφήνεται να πέσει ελεύθερο ένα σφαιρίδιο µάζας m=0,25kg, το οποίο συγκρούεται µε τον δίσκο µετωπικά και πλαστικά. Η κρούση θεωρείται στιγµιαία.

Α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. Β. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης των δύο σωµάτων. Γ. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης του συσσωµατώµατος από την θέση ισορροπίας

του αν για t=0 δίνεται y=0 και υ<0. 2.30. Το σώµα Σ1 του σχήµατος µάζας m1=1kg ηρεµεί σε

λείο οριζόντιο δάπεδο συνδεδεµένο µε τα δύο ιδανικά ελατήρια µε σταθερές k1=150i/m και k2=50i/m τα οποία στο σχήµα έχουν το φυσικό τους µήκος. Εκτρέπουµε το σώµα από τη θέση ισορροπίας του κατά d=0,24m και το αφήνουµε ελεύθερο τη στιγµή t=0.

Α. Να δείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει ΑΑΤ και να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης.

Β. Να υπολογίσετε το ύψος h από το οποίο πρέπει να αφήσουµε ελεύθερο τη στιγµή t=0 σώµα Σ2 µάζας m2=0,44kg ώστε το δύο σώµατα να συναντηθούν τη στιγµή που το Σ1 διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του.

Γ. Αν τα δύο σώµατα συγκρουστούν πλαστικά να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος.

m1

m2

m1 m2

Σ2

k1 Σ1 k2

12

2.31. Σώµα µάζας m=1kg ισορροπεί συνδεδεµένο µε το κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100i/m του οποίου το πάνω άκρο στερεώνεται στην οροφή. Βλήµα ίσης µάζας κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω µε ταχύτητα µέτρου υ=√6m/s και συγκρούεται µετωπικά και πλαστικά µε το σώµα.

Α. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. Β. Μετά πόσο χρόνο από τη στιγµή της κρούσης η ταχύτητα του συσσωµατώµατος θα

µηδενιστεί για πρώτη φορά; Γ. Για το χρονικό διάστηµα του ερωτήµατος Β να υπολογίσετε το έργο της δύναµης του

ελατηρίου. ∆. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της ορµής του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την

κρούση ( θετική φορά προς τα πάνω ). 2.32. Από την κορυφή λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=300 στερεώνεται δια µέσου

ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=300i/m, σώµα µάζας Μ=3kg και το σύστηµα ηρεµεί. Από τη βάση του κεκλιµένου επιπέδου εκτοξεύεται προς τα πάνω σώµα µάζας m=1kg µε αρχική ταχύτητα µέτρου υ=5m/s. Αν τα δύο σώµατα απέχουν αρχικά απόσταση d=0,9m και συγκρουστούν πλαστικά:

Α. Να δείξετε ότι το συσσωµάτωµα θα εκτελέσει ΑΑΤ. Β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. Γ. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος και τη µέγιστη

παραµόρφωση του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. 2.33. Από την κορυφή λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ=300 εξαρτάται ιδανικό

ελατήριο σταθεράς k=100i/m και στο κάτω ελεύθερο άκρο του συνδέεται σώµα µάζας M=2kg. Το σύστηµα ισορροπεί πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Βλήµα µάζας m=2kg κινείται οριζόντια µε ταχύτητα µέτρουυ=2m/s και συγκρούεται τη στιγµή t=0 ακαριαία και πλαστικά µε το σώµα.

Α. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. Β. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης του συσσωµατώµατος από την θέση

ισορροπίας του µε θετική φορά του άξονα x’x προς τα πάνω. Γ. Μετά πόσο χρόνο η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µηδενίζεται για πρώτη φορά; 2.34. ∆ίσκος µάζας Μ=1kg είναι στερεωµένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού

ελατηρίου σταθεράς k=200i/m του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωµένο σε οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στον δίσκο κάθεται ένας βάτραχος µάζας m=0,2kg και κάποια στιγµή εκτινάσσεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε ταχύτητα µέτρου υ=2m/s. Να υπολογιστούν:

Α. Το µέτρο της ταχύτητας που αποκτά ο δίσκος. Β. Το πλάτος της ταλάντωσης του δίσκου. Γ. Η µέγιστη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου. ∆. Η ενέργεια που κατανάλωσε ο βάτραχος για να πραγµατοποιήσει το άλµα του.

13

Γ. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις

1. Α. Θεωρία ( σελ.14-17)

Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Η ένταση του ρεύµατος, λόγω του φαινοµένου της αυτεπαγωγής του πηνίου, αυξάνεται σταδιακά και γίνεται µέγιστη τη στιγµή της πλήρους εκφόρτισης του πυκνωτή. 2. Εξαιτίας του φαινοµένου της αυτεπαγωγής, το ρεύµα δεν µηδενίζεται αµέσως µετά την εκφόρτιση του πυκνωτή. Το κύκλωµα συνεχίζει για λίγο χρόνο να διαρρέεται από ρεύµα που συνεχώς ελαττώνεται. 3. Υπάρχουν δύο λόγοι που η ενέργεια ενός κυκλώµατος LC µειώνεται. Πρώτον, οι αγωγοί του συστήµατος έχουν αντίσταση κι εποµένως ένα µέρος της ενέργειας µετατρέπεται σε θερµότητα. ∆εύτερον, τα κυκλώµατα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκπέµπουν ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία, δηλαδή χάνουν ενέργεια. Γ. Βασικές σχέσεις.

q=Qηµ(ωt+φ0) i=ωQηµ(ωt+φ0+π/2) Ειδική περίπτωση βιβλίου : q=Qσυν(ωt) i=-ωQηµ(ωt) Ενέργειες : UE=q2/2C UB=L.i2/2 Περίοδος T=2π√LC

2. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την ορθή πρόταση. 3.1. Τη χρονική στιγµή t=0 κλείνουµε τον διακόπτη ιδανικού κυκλώµατος LC. Την ίδια στιγµή το

φορτίο του πυκνωτή είναι ίσο µε Q. Α. Η ένταση του ρεύµατος είναι τη χρονική στιγµή t=0 µέγιστη και µηδενίζεται ταυτόχρονα µε

το φορτίο του πυκνωτή. Β. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται ακαριαία. Γ. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται µέχρι τη στιγµή t=π√LC οπότε και η ένταση του ρεύµατος

γίνεται µέγιστη. ∆. Η ένταση του ρεύµατος, λόγω του φαινοµένου της αυτεπαγωγής του πηνίου, αυξάνεται

σταδιακά και γίνεται µέγιστη τη στιγµή της πλήρους εκφόρτισης του πυκνωτή. 3.2. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. Ο χρόνος εκφόρτισης του πυκνωτή: Α. είναι ανάλογος προς την χωρητικότητά του. Β. εξαρτάται από το µέγιστο φορτίο του Q. Γ. εξαρτάται από τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. ∆. εξαρτάται από την ενέργεια της ταλάντωσης. 3.3. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί αµείωτες ταλαντώσεις. Κατά τη διάρκεια µιας περιόδου η

ενέργεια του πυκνωτή µεγιστοποιείται : Α. Μια φορά. Β. ∆ύο φορές. Γ. Τρεις φορές. ∆. Τέσσερις φορές. 3.4. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί αµείωτες ταλαντώσεις. Κατά τη διάρκεια µιας περιόδου η

ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται ίση µε την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου : Α. Μια φορά. Β. ∆ύο φορές. Γ. Οκτώ φορές. ∆. Τέσσερις φορές.

14

3.5. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση µε σταθερή ενέργεια. Η µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα:

Α. αυξάνεται αν αυξηθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου. Β. δεν µεταβάλλεται αν µεταβληθεί η χωρητικότητα του πυκνωτή. Γ. εξαρτάται από το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή. ∆. µηδενίζεται όταν το φορτίο του πυκνωτή γίνεται µέγιστο. 3.6. Σε κύκλωµα αµείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC

α. η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από τη σχέση U=C.q2/2. β. το άθροισµα των ενεργειών ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου κάθε χρονική στιγµή είναι σταθερό. γ. η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι αρµονική συνάρτηση του χρόνου. δ. όταν η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου γίνεται µέγιστη η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα µηδενίζεται. ( Π. Ε. )

3. Ερωτήσεις σωστού-λάθους ή επιλογής µε αιτιολόγηση. 3.7. Η ένταση του ρεύµατος σε ιδανικό κύκλωµα LC

µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήµα. Α. Το φορτίο του πυκνωτή µεταβάλλεται σύµφωνα

µε τη σχέση q=Q.συνωt. Β. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται από τη στιγµή t=T/2

ως τη στιγµή t=3T/4. Γ. Η διαφορά δυναµικού στα άκρα του πυκνωτή είναι µηδέν τη χρονική στιγµή t=0. ∆. Η ενέργεια του πυκνωτή είναι µέγιστη τη χρονική στιγµή t=0. 3.8. Το φορτίο του πυκνωτή σε ιδανικό κύκλωµα LC

µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήµα. Α. Η ένταση του ρεύµατος µεταβάλλεται σύµφωνα

µε τη σχέση i=I.συνωt. Β. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται από τη στιγµή t=T/2

ως τη στιγµή t=3T/4. Γ. Η διαφορά δυναµικού στα άκρα του πηνίου είναι µηδέν τη χρονική στιγµή t=0. ∆. Η ενέργεια του πηνίου είναι µέγιστη τη χρονική στιγµή t=Τ/2 . 3.9. Η ενέργεια του πυκνωτή σε ιδανικό κύκλωµα LC

µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήµα. Α. Η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι

ίση µε 2 s. Β. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται από τη στιγµή t=1 s

ως τη στιγµή t=2 s. Γ. Η διαφορά δυναµικού στα άκρα του πηνίου

είναι µηδέν τη χρονική στιγµή t=0. ∆. Η ενέργεια του πηνίου είναι ίση µε 10 J τη χρονική στιγµή t=2 s.

i

T/2 T t

q

T/2 T t

10 UE(J)

2 t(s)

15

3.10. Στο σχήµα φαίνεται ένα ιδανικό κύκλωµα LC τη χρονική στιγµή t1.

A. Την αµέσως επόµενη χρονική στιγµή, (t1+dt), το φορτίο του οπλισµού Β του πυκνωτή θα είναι µεγαλύτερο.

B. Την αµέσως επόµενη χρονική στιγµή η απόλυτη τιµή της έντασης του ρεύµατος θα είναι µεγαλύτερη.

Γ. Τη στιγµή αυτή η ισχύς του πυκνωτή είναι θετική. ∆. Μαγνητική ενέργεια µετατρέπεται σε ηλεκτρική. 3.11. Στο σχήµα φαίνεται ένα ιδανικό κύκλωµα LC τη

χρονική στιγµή t1. Τη στιγµή t1+Τ/4: Α. Η πολικότητα του πυκνωτή θα έχει αντιστραφεί. Β. Η φορά του ρεύµατος θα έχει αλλάξει. Γ. Η ισχύς του πυκνωτή θα είναι θετική.

∆. Μαγνητική ενέργεια µετατρέπεται σε ηλεκτρική. 3.12. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί αµείωτες ταλαντώσεις. Τη χρονική στιγµή t=0 το φορτίο

του πυκνωτή είναι µέγιστο. Κάποια χρονική στιγµή t1, ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι : dU/dt= -5J/s. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες; Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.

A. Την ίδια χρονική στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή είναι : -5J/s. B. Την ίδια χρονική στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ολικής ενέργειας είναι ίσος µε µηδέν. Γ. Ο πυκνωτής φορτίζεται. ∆. Ισχύει : Τ/4< t1< Τ/2 ή 3Τ/4< t1< Τ. Ε. Μέσα στα επόµενα 2 δευτερόλεπτα το πηνίο θα έχει χάσει 10J. 3.13 Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί αµείωτες ταλαντώσεις και το φορτίο του πυκνωτή

µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση : q=2.ηµ5t.(SI) Η ένταση του ρεύµατος δίνεται από τη σχέση :

Α. i=10 συν5t. Β. i=-10 ηµ5t. Γ. i=10 ηµ5t. 3.14. Τη στιγµή που ο πυκνωτής ενός κυκλώµατος LC έχει φορτίο q, η ενέργειά του είναι ίση µε

την ενέργεια του πηνίου. Τη στιγµή που ο πυκνωτής θα έχει φορτίο q/2 η ενέργειά του UC θα είναι ίση µε :

Α. Το µισό της Εολ Β. Το 1/4 της Εολ. Γ. Το 1/8 της Εολ

3.15. ∆ιαθέτουµε δύο κυκλώµατα (L1C1 ) και (L2C2) ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Τα διαγράµµατα (1) και (2) παριστάνουν τα φορτία των πυκνωτών C1

και C2

αντίστοιχα, σε συνάρτηση

µε το χρόνο. Ο λόγος I1/Ι2 των µέγιστων τιµών της

έντασης του ρεύµατος στα δύο κυκλώµατα είναι:

α. 2. β. 1/4 γ. 1/2 . ( Π.E. )

i

Β Α

- +

i

- +

16

3.16. Στο ιδανικό κύκλωµα LC του σχήµατος έχουµε αρχικά τους διακόπτες ∆1 και ∆2

ανοικτούς.

Ο πυκνωτής χωρητικότητας C1 έχει φορτιστεί µέσω πηγής συνεχούς τάσης µε φορτίο Q1 . Tη χρονική στιγµή t

o=0 ο διακόπτης ∆1

κλείνει, οπότε στο κύκλωµα LC1

έχουµε

αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική στιγµή t=5T/4, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης του κυκλώµατος LC1, o διακόπτης ∆1 ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο ∆2. Το µέγιστο φορτίο Q2

που θα αποκτήσει ο πυκνωτής χωρητικότητας C2, όπου C2=4C1,

κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώµατος LC2 θα είναι ίσο µε

α) Q1. β) 2Q1. γ) 4Q

1. ( Π.Ε. )

3.17. Θεωρούµε δύο κυκλώµατα Α (LA, C) και Β (LB, C) που εκτελούν ελεύθερες αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Οι πυκνωτές στα δύο κυκλώµατα έχουν την ίδια χωρητικότητα C.

Α

B

i

t

Οι καµπύλες Α και Β παριστάνουν τα ρεύµατα στα δύο πηνία σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Για τους συντελεστές αυτεπαγωγής LA, LB των πηνίων στα δύο κυκλώµατα ισχύει ότι α. LA =4 LΒ. β. LΒ =4 LΑ. γ. LA =2 LΒ. ( Π.Ε. )

4. Ασκήσεις.

3.18. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις και η ένταση του ρεύµατος

µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση : i=2ηµ10t. Αν ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=0,5H, να υπολογιστούν :

Α. Η χωρητικότητα του πυκνωτή. Β. Η στιγµιαία τιµή του φορτίου του πυκνωτή. Γ. Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου

του πηνίου τη χρονική στιγµή t=π/30s. 3.19. Το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή σε ιδανικό κύκλωµα LC είναι Q=10µC. Τη στιγµή που το

φορτίο του πυκνωτή είναι q=6µC η ένταση του ρεύµατος είναι i=4mA. Να βρεθεί : Α. Η συχνότητα της ταλάντωσης. Β. Η µέγιστη ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα. Γ. Ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή αν L=1H.

17

3.20. Η ένταση του ρεύµατος σε ένα κύκλωµα LC

µεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογιστούν :

Α. Η στιγµιαία τιµή του φορτίου του πυκνωτή. Β. Το φορτίο του πυκνωτή τη στιγµή που η ένταση

του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι ίση µε 8mA. 3.21. Κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC αποτελείται από πυκνωτή C=4mF και πηνίο. To φορτίο του πυκνωτή µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση q=0,2ηµ100t (S.I.).

A. Να υπολογιστεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου. B. Να υπολογιστεί η στιγµιαία τιµή της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα. Γ. Τη στιγµή t=0 να υπολογιστεί η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου καθώς και ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα. ∆. Τη στιγµή t=π/400s, να υπολογιστεί ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή.

3.22. Στο κύκλωµα του σχήµατος τη στιγµή t1 κλείνουµε τον

διακόπτη. ∆ίνεται : Ε=100V, r=2Ω, R=8Ω, L=0,2H, C=2.10-3F.

A. Να υπολογιστεί η ένταση του ρεύµατος της πηγής µετά την αποκατάσταση της ισορροπίας καθώς και η τάση του πυκνωτή.

Β. Τη χρονική στιγµή t=0 ανοίγουµε τον διακόπτη. Να υπολογιστούν οι στιγµιαίες τιµές της έντασης

του ρεύµατος στο κύκλωµα καθώς και του φορτίου του πυκνωτή. Γ. Τη χρονική στιγµή t=π.10-2s, να υπολογιστεί ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος

στο κύκλωµα.

i(mA)

10

2 4 6t(s)

∆

Ε, r L C

R

18

∆. Φθίνουσες και εξαναγκασµένες ταλαντώσεις.

1. Α. Θεωρία ( σελ.18-25) 1. Καταγραφή των συµπερασµάτων από την µελέτη των φθινουσών ταλαντώσεων.

Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Όλες οι ταλαντώσεις στον µακρόκοσµο είναι φθίνουσες γιατί καµιά κίνηση δεν είναι απαλλαγµένη από τριβές και αντιστάσεις. 2. Σε µικρά σώµατα που κινούνται µέσα στον αέρα ή µέσα σε υγρό, η αντιτιθέµενη δύναµη είναι ανάλογη της ταχύτητας. 3. Η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από τις ιδιότητες του µέσου καθώς και από το σχήµα και το µέγεθος το αντικειµένου που κινείται. 4. Στην περίπτωση του αυτοκινήτου (στα αµορτισέρ) είναι επιθυµητή η µεγάλη απόσβεση. Σε άλλα συστήµατα όπως σε ένα εκκρεµές ρολόι, επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση της απόσβεσης. 5. Η αύξηση της ωµικής αντίστασης στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων συνεπάγεται πιο γρήγορη απόσβεση της ταλάντωσης και µικρή αύξηση της περιόδου. 6. Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση, ο τρόπος που το ταλαντούµενο σύστηµα αποδέχεται την ενέργεια είναι εκλεκτικός και έχει να κάνει µε τη συχνότητα υπό την οποία προσφέρεται. 7. Κατά τον συντονισµό η ενέργεια προσφέρεται στο σύστηµα κατά τον βέλτιστο τρόπο , γι αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται µέγιστο. 8. Η επιλογή ενός σταθµού στο ραδιόφωνο στηρίζεται στο φαινόµενο του συντονισµού. Γ. Βασικές σχέσεις.

Φθίνουσα ταλάντωση : -Dx-bυ=m.a

A=A0 e-Λt, ΛΤ=== e

AA

AA

...2

1

1

0

Εξαναγκασµένη ταλάντωση : Fmaxηµωεξt- Dx-bυ=m.a x=Aηµ(ωεξt+φ0), υ=Aωεξ συν(ωεξt+φ0), α=-Aωεξ

2 ηµ(ωεξt+φ0). Ανά περίοδο WFεξ=|WFαντ|=Q

2 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την ορθή πρόταση.

4.1. Ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέµενη δύναµη είναι

ανάλογη της ταχύτητας. Α. Η µηχανική ενέργεια του συστήµατος παραµένει σταθερή. Β. Το πλάτος της ταλάντωσης µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο. Γ. Η περίοδος του συστήµατος µεταβάλλεται. ∆. Ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση

µειώνεται. 4.2. Ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέµενη δύναµη είναι της

µορφής: F=-b.υ. Αν αυξηθεί η σταθερά απόσβεσης b, η περίοδος της ταλάντωσης: Α. αυξάνεται.

Β. µειώνεται. Γ. παραµένει σταθερή.

∆. αρχικά αυξάνεται και µετά παραµένει σταθερή.

19

4.3. Ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέµενη δύναµη είναι της µορφής: F=-b.υ. Ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση εξαρτάται µόνο από

Α. τη σταθερά απόσβεσης b. Β. τη σταθερά απόσβεσης b και τη µάζα του ταλαντωτή. Γ. τη σταθερά απόσβεσης b, τη µάζα του ταλαντωτή και τη σταθερά επαναφοράς D. ∆. τη σταθερά Λ. 4.4. Ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέµενη δύναµη είναι της

µορφής: F=-b.υ. Η ενέργεια της ταλάντωσης Α. παραµένει σταθερή. Β. µειώνεται γραµµικά µε το χρόνο. Γ. µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο. ∆. δεν µεταβάλλεται σε χρονικό διάστηµα ίσο µε την περίοδο της ταλάντωσης. 4.5. Ένας ταλαντωτής τη χρονική στιγµή t1

έχει ενέργεια ταλάντωσης Ε και πλάτος

ταλάντωσης Α. Τη χρονική στιγµή t2 που έχει χάσει τα 3/4 της αρχικής του ενέργειας το

πλάτος της ταλάντωσής του είναι: Α. A/4 Β. 3A/4 Γ. A/2 ∆. A/3 ( Π.Ε. )

4.6. Σε µια φθίνουσα ταλάντωση που η αντιτιθέµενη δύναµη είναι της µορφής F=–bυ, µε b

σταθερό, Α. ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών µειώνεται σε σχέση µε το χρόνο. Β. η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το πλάτος. Γ. το πλάτος παραµένει σταθερό σε σχέση µε το χρόνο. ∆. η περίοδος παραµένει σταθερή σε σχέση µε το χρόνο. ( Π.Ε. )

4.7. Κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση και εµφανίζει µικρή ωµική αντίσταση R. A. Το φορτίο του πυκνωτή µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο. Β. Ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων φορτίων του ίδιου οπλισµού του πυκνωτή είναι

σταθερός. Γ. Η ενέργεια της ταλάντωσης παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια µιας περιόδου. ∆. Η περίοδος της ταλάντωσης δεν εξαρτάται από την τιµή της R. 4.8. Σε σύστηµα µάζας-ελατηρίου εκτός από την ελαστική δύναµη επαναφοράς ενεργούν δύναµη

αντίστασης F=-b.υ και περιοδική δύναµη F=F0.ηµωt µε ω που µπορεί να µεταβάλλεται. Α. το σύστηµα ταλαντώνεται µε την ιδιοσυχνότητά του. Β. το πλάτος ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο της γωνιακής συχνότητας ω. Γ. η συχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος είναι ίση µε την συχνότητα της περιοδικής

δύναµης. ∆. όταν αυξάνεται η συχνότητα της περιοδικής δύναµης το πλάτος της ταλάντωσης πάντοτε

αυξάνεται. 4.9. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αµορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και

φθείρονται: Α. η τιµή της σταθεράς απόσβεσης b αυξάνεται. Β. η τιµή της σταθεράς απόσβεσης b µειώνεται. Γ. το πλάτος της ταλάντωσης του αυτοκινήτου, όταν περνά από εξόγκωµα του δρόµου, µειώνεται πιο γρήγορα. ∆. η περίοδος των ταλαντώσεων του αυτοκινήτου παρουσιάζει µικρή αύξηση. ( Π.Ε. )

20

4.10 Η ιδιοσυχνότητα ενός ταλαντωτή εξαρτάται Α. από το πλάτος της ταλάντωσης. Β. από τη σταθερά απόσβεσης. Γ. από την αρχική φάση. ∆. από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήµατος. ( Π. Ε.) 4.11. Συντονισµό ονοµάζουµε την κατάσταση της εξαναγκασµένης ταλάντωσης του αρµονικού

ταλαντωτή, στην οποία Α. η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης είναι διπλάσια της κινητικής. Β. η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης είναι µεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα του

ταλαντωτή. Γ. η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης είναι περίπου ίση µε την ιδιοσυχνότητα του

ταλαντωτή. ∆. το πλάτος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο από τη συχνότητα της διεγείρουσας

δύναµης. 4.12. Κύκλωµα RLC εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση µε συχνότητα f1 και το πλάτος του

ρεύµατος είναι Ι1. Παρατηρούµε ότι αν ελαττώσουµε τη συχνότητα του διεγέρτη, το πλάτος του ρεύµατος συνεχώς ελαττώνεται. Αν µε αφετηρία την f1 αρχίσουµε να αυξάνουµε τη συχνότητα, το πλάτος του ρεύµατος :

Α. Θα µειώνεται συνεχώς. Β. Θα αυξάνεται συνεχώς. Γ. Θα µεταβάλλεται και για κάποια συχνότητα του διεγέρτη θα γίνει πάλι Ι1. ∆. Θα παραµείνει σταθερό. 4.13. Σε ένα κύκλωµα εξαναγκασµένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων RLC

Α. το πλάτος Ι της έντασης του ρεύµατος είναι ανεξάρτητο της συχνότητας της εναλλασσόµενης τάσης. Β. η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώµατος είναι πάντοτε ίση µε την ιδιοσυχνότητά του. Γ. η ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος είναι ανεξάρτητη της χωρητικότητας C του πυκνωτή. ∆. όταν η συχνότητα της εναλλασσόµενης τάσης γίνει ίση µε την ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος, έχουµε µεταφορά ενέργειας στο κύκλωµα κατά το βέλτιστο τρόπο. ( Π. Ε. )

3. Ερωτήσεις σωστού-λάθους ή επιλογής µε αιτιολόγηση.

4.14. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση µε πλάτος που µειώνεται εκθετικά µε

τον χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση : Α=Α0.e-Λ.t. Τη χρονική στιγµή t1 το πλάτος Α=Α0/3. Το πλάτος θα γίνει Α=Α0/27 τη χρονική στιγµή :

Α. 4t1. B. 3t1. Γ. 2t1. 4.15. Κύκλωµα RLC εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις. Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι

C=3,2mF. Τη χρονική στιγµή t=0, η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι µέγιστη και ίση µε V=100V. Τη χρονική στιγµή t1 έχουν ολοκληρωθεί Ν πλήρεις ταλαντώσεις και στον αντιστάτη έχουν εκλυθεί 15J θερµότητας. Τη στιγµή t1 η τάση στα άκρα του πυκνωτή θα είναι :

Α. 80V. B. 20V. Γ. 25V.

21

4.16. Ένα σώµα µάζας m είναι προσδεµένο σε ελατήριο σταθεράς Κ και εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι f = f 0 όπου f 0

η

ιδιοσυχνότητα του συστήµατος. Αν τετραπλασιάσουµε τη µάζα m του σώµατος, ενώ η συχνότητα του διεγέρτη παραµένει σταθερή, τότε:

Α Η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος

α. γίνεται f 0/2 β. γίνεται 2 f 0 γ. παραµένει σταθερή.

Β. Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος

α. αυξάνεται. β. ελαττώνεται. γ. παραµένει σταθερό. ( Π. Ε. )

4.17. ∆ίνονται οι γραφικές παραστάσεις που απεικονίζουν την ταλάντωση που εκτελούν

τα συστήµατα ανάρτησης τριών αυτοκινήτων που κινούνται µε την ίδια ταχύτητα όταν

συναντούν το ίδιο εξόγκωµα στο δρόµο.

Το αυτοκίνητο του οποίου το σύστηµα ανάρτησης λειτουργεί καλύτερα είναι το

α. Ι. β. ΙΙ. γ. ΙΙΙ. ( Π. Ε. )

4.18. Γυρίζουµε το κουµπί επιλογής των σταθµών ενός ραδιοφώνου από τη συχνότητα 91,6 MHz στη συχνότητα 105,8 ΜΗz. Η χωρητικότητα του πυκνωτή του κυκλώµατος LC επιλογής σταθµών του ραδιοφώνου: Α. αυξάνεται Β. µειώνεται Γ. παραµένει σταθερή. ( Π. Ε. )

4. Ασκήσεις.

4.19. Η περίοδος µιας φθίνουσας αρµονικής ταλάντωσης είναι Τ και το πλάτος της ακολουθεί

τον εκθετικό νόµο: Α=Α0.e-Λ.t. Α. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιµών του πλάτους της ταλάντωσης είναι

σταθερός. Β. Μετά από Ν1=18 πλήρεις ταλαντώσεις που διαρκούν t1=13,86 s, το πλάτος της

ταλάντωσης είναι ίσο µε Α0/2. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης όταν γίνουν ακόµα 72 πλήρεις ταλαντώσεις.

4.20. Το πλάτος µιας φθίνουσας αρµονικής ταλάντωσης ακολουθεί τον εκθετικό νόµο: Α=Α0.e-Λ.t

όπου Α0 το αρχικό πλάτος ( t=0 )και Λ σταθερή ποσότητα. Α. Ποια χρονική στιγµή το πλάτος της ταλάντωσης θα γίνει Α=Α0/2; Β. Αν για κάθε πλήρη ταλάντωση η % µείωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης είναι

36%, να βρείτε την % µεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης.

22

4.21. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης αρµονικού ταλαντωτή µειώνεται εκθετικά µε το

χρόνο, σύµφωνα µε την εξίσωση Α=Α0.e-Λ.t. Τη χρονική στιγµή t=0 η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι Ε0.

Α. Ποια χρονική στιγµή t1 η ενέργεια του ταλαντωτή θα γίνει Ε0/2; Β. Πόση είναι η ενέργεια του ταλαντωτή τη στιγµή t2=3t1; 4.22. Σώµα µάζας m=1kg εκτελεί φθίνουσα αρµονική ταλάντωση συνδεδεµένο στο ένα άκρο

ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100i/m. Το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης είναι Α0=0,2m. Λόγω των αντιστάσεων το πλάτος µειώνεται κατά 20% µετά από κάθε πλήρη ταλάντωση. ∆ίνεται ln2=0,7, ln10=2,3.

Α. Ποια η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή; Β. Ποια η τιµή της σταθεράς Λ; Γ. Πόση ενέργεια αφαιρείται από τον ταλαντωτή µέσω του έργου των αντιστάσεων στη

διάρκεια της πρώτης περιόδου; ∆. Πόση ενέργεια πρέπει να µεταφερθεί στον ταλαντωτή µέσω του έργου εξωτερικής

αρµονικής δύναµης σε χρόνο t=20π s, ώστε να εκτελεί αµείωτες ταλαντώσεις; 4.23. Σώµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και η

αποµάκρυνσή του y σε συνάρτηση µε τον χρόνο δίνεται από το διάγραµµα του σχήµατος.

Α. Να υπολογιστεί το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγµή t=2s.

B. Να προσδιορίσετε τη σχέση y=f(t). Γ. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης τη

χρονική στιγµή t=10s. 4.24. Σώµα µάζας m=1kg εκτελεί φθίνουσα αρµονική ταλάντωση συνδεδεµένο στο ένα άκρο

ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100i/m. Το αρχικό (t=0) πλάτος της ταλάντωσης είναι Α0=0,6 m. Λόγω των αντιστάσεων το σώµα δέχεται δύναµη F=-10υ. Τη χρονική στιγµή t1 το σώµα έχει επιτάχυνση α=5m/s2 και ταχύτητα υ=1m/s. Να υπολογιστούν Α. Η θέση του σώµατος τη χρονική στιγµή t1.

Β. Ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας της ταλάντωσης τη χρονική στιγµή t1. Γ. Το έργο της δύναµης αντίστασης από τη στιγµή t=0 ως τη στιγµή t1. 4.25. Σώµα µάζας m=4kg εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση συχνότητας ω=10rad/s. H

σταθερά της ταλάντωσης είναι ίση µε D=100i/m και η σταθερά απόσβεσης b=0,2kg/s. Τη χρονική στιγµή t=0 το σώµα βρίσκεται στη θέση µέγιστης αποµάκρυνσης A=0,2m.

Α. Να εξετάσετε αν το σύστηµα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισµού. Να υπολογιστούν : Β. Η αποµάκρυνση και η ταχύτητα σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Γ. Η µέγιστη κινητική και η µέγιστη δυναµική ενέργεια του σώµατος. ∆. Η ολική ενέργεια του σώµατος και να παρασταθεί γραφικά σε συνάρτηση µε τον χρόνο.

2 y(m)

1

2 4 t(s)

23

Ε. Σύνθεση ταλαντώσεων-∆ιακροτήµατα.

1. Α. Θεωρία ( σελ.25-28)

1. Υπολογισµός της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ της ίδιας διεύθυνσης, της ίδιας θέσης ισορροπίας, του ίδιου πλάτους και µε συχνότητες που διαφέρουν λίγο µεταξύ τους.

2. Υπολογισµός της περιόδου των διακροτηµάτων.

Β. Χαρακτηριστικές προτάσεις της θεωρίας. 1. Από την σύνθεση δύο ταλαντώσεων που οι συχνότητές τους διαφέρουν πολύ λίγο προκύπτει ιδιόµορφη περιοδική κίνηση που παρουσιάζει διακροτήµατα. Γ. Βασικές σχέσεις.

Σύνθεση ταλαντώσεων ( ίδιας....) µε συχνότητες που διαφέρουν λίγο µεταξύ τους

2

).(

2

).(2 2121 tt

Axωω

ηµωω

συν+−

=

Συχνότητα περιοδικής κίνησης : f=(f1+f2)/2 Συχνότητα διακροτήµατος (ή συχνότητα µεταβολής του πλάτους) f=|f1-f2|

2. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Επιλέξτε την ορθή πρόταση. 5.1. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης, της

ίδιας θέσης ισορροπίας και της ίδιας συχνότητας f. Τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων είναι Α1 και Α2 και οι αρχικές τους φάσεις φ1 και φ2 αντίστοιχα. Η συχνότητα της συνισταµένης ταλάντωσης :

Α. Εξαρτάται από τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων. Β. Ισούται µε την συχνότητα f των δύο ταλαντώσεων. Γ. Εξαρτάται από τις αρχικές φάσεις των δύο ταλαντώσεων. ∆. Είναι ίση µε 2f. 5.2. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης, της

ίδιας θέσης ισορροπίας και της ίδιας συχνότητας f. Τα πλάτη των δύο ταλαντώσεων είναι Α1 και Α2 ( Α2>Α1) και οι αρχικές τους φάσεις φ1 και φ2 αντίστοιχα. Το πλάτος Α της συνισταµένης ταλάντωσης είναι

Α. ίσο µε Α1+Α2. Β. οπωσδήποτε µεγαλύτερο από Α1. Γ. οπωσδήποτε µικρότερο από Α2. ∆. οπωσδήποτε µεγαλύτερο ή ίσο από Α2-Α1. 5.3. ∆ύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις πραγµατοποιούνται γύρω από το ίδιο σηµείο , έχουν την

ίδια διεύθυνση, την ίδια συχνότητα και πλάτη Α1 και Α2. Αν οι ταλαντώσεις αυτές παρουσιάζουν διαφορά φάσης π rad, τότε το πλάτος Α της σύνθετης ταλάντωσης είναι :

Α. Α= Α1 + Α2 Β. Α= 2

2

2

1 AA +

Γ. Α= Α1 - Α2 ∆. Α= 2

2

2

1 AA −

24

5.4. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης, της ίδιας θέσης ισορροπίας και της ίδιας συχνότητας. Κάποια χρονική στιγµή t1 η αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας είναι x=0,3m. Αν το σώµα εκτελούσε µόνο την πρώτη ταλάντωση, την ίδια στιγµή θα είχε αποµάκρυνση x1=0,5m.

Αν το σώµα εκτελούσε µόνο την δεύτερη ταλάντωση, την ίδια στιγµή θα είχε : Α. x2=0 m. B. x2=-0,2 m. Γ. x2=0,2 m. ∆. x2=0,8 m. 5.5. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, πλάτους και

θέσης ισορροπίας µε περιόδους Τ1 και Τ2 (Τ2>Τ1) που διαφέρουν ελάχιστα, προκύπτει ταλάντωση µεταβλητού πλάτους µε περίοδο µεταβολής του πλάτους :

Α. Τ=2

21 TT +, Β. Τ=

2

21 TT −, Γ.

21

111

TTT−= ∆.

21

212

TTTT

T+

=

5.6. Σώµα συµµετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις που περιγράφονται

από τις σχέσεις : x1=Aηµω1t και x2=Aηµω2t, των οποίων οι γωνιακές συχνότητες διαφέρουν λίγο µεταξύ τους. Η συνισταµένη ταλάντωση έχει :

Α. Γωνιακή συχνότητα 2(ω1-ω2). Β. Γωνιακή συχνότητα ω1+ω2. Γ. Πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και 2Α. ∆. Πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και Α. 5.7. Σώµα συµµετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις που περιγράφονται από

τις σχέσεις x1 =Αηµω1t και x2 =Aηµω2t, των οποίων οι συχνότητες ω1και ω2 διαφέρουν λίγο µεταξύ τους. Η συνισταµένη ταλάντωση έχει: Α. συχνότητα 2(ω1 − ω2). Β. συχνότητα ω1+ ω2 . Γ. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και 2Α. ∆. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και Α. ( Π. Ε. )

5.8. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους και διεύθυνσης.

Οι συχνότητες f1και f2 (f1 > f2) των δύο ταλαντώσεων διαφέρουν λίγο µεταξύ τους, µε αποτέλεσµα να παρουσιάζεται διακρότηµα. Αν η συχνότητα f2 προσεγγίσει τη συχνότητα f1, χωρίς να την ξεπεράσει, ο χρόνος που µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του πλάτους θα: Α. αυξηθεί. Β. µειωθεί. Γ. παραµείνει ο ίδιος. ∆. αυξηθεί ή θα µειωθεί ανάλογα µε την τιµή της f2. ( Π. Ε. )

5.9. ∆ιακρότηµα δηµιουργείται κατά τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων οι

οποίες πραγµατοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι δύο ταλαντώσεις έχουν α. ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες. β. άνισα πλάτη και ίσες συχνότητες. γ. ίσα πλάτη και παραπλήσιες συχνότητες. δ. ίσα πλάτη και συχνότητες εκ των οποίων η µια είναι πολλαπλάσια της άλλης.

( Π. Ε. )

25

3. Ερωτήσεις σωστού-λάθους ή επιλογής µε αιτιολόγηση.

5.10. Ένα σώµα κάνει ταυτόχρονα ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, µε εξισώσεις x1=Αηµωt

και x2=2Aηµωt. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης, είναι :

α. Α β. 3Α γ. 2Α ( Π. Ε. )

5.11. Ένα σώµα κάνει ταυτόχρονα ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, µε εξισώσεις x1=Aηµ(ωt+π/2)

και x2= Αηµωt. Η αποµάκρυνση του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο θα δίνεται από τη σχέση: Α. x=Aηµ(ωt+π/4) Β. x=A√2ηµ(ωt+π/4) Γ. x=A√2ηµ(ωt+3π/4)

5.12. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις x1=0,6ηµ(10t+π/2) και x2=0,4ηµ(10t+π/6).

Οι ταλαντώσεις εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η φάση της συνισταµένης ταλάντωσης είναι φ=10t+θ. Η εφθ είναι ίση µε:

Α. √3/3 Β. 2√3/3 Γ. 4√3/3 5.13. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις x1=0,2ηµ(10t+π/6) και x2=0,2ηµ(10t+5π/6).

Οι ταλαντώσεις εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης θα είναι :

Α. x=0,4ηµ(10t+π/2) B. x=0,2ηµ(10t+π/2) Γ. x=0,4ηµ(10t+2π/3) 5.14. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις x1=0,2ηµ(100πt) και x2=0,2ηµ(104πt). Οι

ταλαντώσεις εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. 1. Η συχνότητα της σύνθετης κίνησης είναι:

Α. 51 Hz Β. 102π Hz. Γ. 2 Hz. 2. Η συχνότητα των διακροτηµάτων είναι:

Α. 2 Hz. Β. 1 Hz. Γ. 4π Hz. 3. Ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της αποµάκρυνσης είναι : Α. ∆t=0,5 s. Β. Α. ∆t=1/51 s Γ. Α. ∆t=1/102 s 4. Ασκήσεις. 5.15. Ένα σώµα µάζας m=2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις µε

εξισώσεις : x1=5ηµ20t, x2=3ηµ(20t+π) (SI) οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.

Α. Να υπολογιστεί η περίοδος και η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώµατος. Β. Να προσδιορισθούν οι σχέσεις που δίνουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση του

σώµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. 5.16. Ένα σώµα µάζας m=2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις µε

εξισώσεις : x1=10ηµ(20t+π/3), x2=10ηµ(20t-π/6) (SI) οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Να γραφεί η εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης.

5.17. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, θέσης

ισορροπίας και συχνότητας. Αν E1 η ενέργεια που θα είχε αν εκτελούσε µόνο την πρώτη ταλάντωση και E2 η ενέργεια που θα είχε αν εκτελούσε µόνο την δεύτερη ταλάντωση, τώρα που εκτελεί την σύνθετη ταλάντωση η ενέργειά του Ε θα είναι ίση µε Ε1+Ε2 µόνον αν η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι ίση µε π/2.

26

5.18. Ένα υλικό σηµείο υποχρεώνεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης και θέσης ισορροπίας που περιγράφονται από τις εξισώσεις : x1=Αηµ(ω1t), x2=Αηµ(ω2t) (SI). Η συνισταµένη κίνηση περιγράφεται από την εξίσωση : x=0,2συνπt.ηµ101πt.

A. Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων. Β. Να υπολογιστεί ο αριθµός των µηδενισµών του πλάτους της ταλάντωσης σε 10s. Γ. Να υπολογιστεί ο αριθµός των µηδενισµών της αποµάκρυνσης της ταλάντωσης µέσα

σε χρόνο ίσο µε την περίοδο του διακροτήµατος. Απαντήσεις

1.18. ( Απ: x=4.10-2ηµ4πt (SI), υ=0,16π m/s, t1=0,25s, α=0,64π2m/s2, t2=1/8s, d=0,4m) 1.19. ( Απ: x=0,2ηµ(20t+π), x=0,2ηµ(20t+π/2), x=0,2ηµ(20t+7π/6) ) 1.20. ( Απ: Α=0,1m, ω=20rad/s, φ0=5π/6, α=-20m/s2) 1.21. ( Απ: π/2 s, π/6 s, -4.10-3i ) 1.22. ( Απ: x=0,2ηµπt/2, x=0,3ηµ(πt/4+π/2), x1=0, x2=0, d=(0,15√2-0,2)m ) 2.16. ( Απ: υ=24π.ηµ(4πt+π), α=96π2 ηµ(4πt+3π/2), Κ=576π2ηµ2(4πt), U=576π2ηµ2(4πt+π/2)) 2.17. ( Απ : ω=20rad/s, D=800i/m ) 2.18. ( Απ : D=200 i/m, ω=10 rad/s, A=0,5 m, υmax=5 m/s ) 2.19. ( Απ : Ε=10J, A=√2m, m=2,5kg ) 2.20. ( Απ: Τ=π/2 s, A=0,2m, x=0,2ηµ(4t+5π/4)) 2.21. ( Απ: x=0,1ηµ(πt+2π/3), U=1,25.10-3J, K=3,75.10-3J, dp/dt=5.10-2i ) 2.23. ( Απ: Τ=π/5 s, Uτ=1 J, Uελ=2,25 J, W=1 J, y=0,2ηµ(10t+5π/6) ) 2.24. ( Απ: Τ=0,1π s, Ε=21,6 J, U1=9 J ) 2.25. ( Απ: F=2-0.8y, y=2,5m ) 2.26. ( Απ: Dσυς=200Ν/m, Dm=50Ν/m, yεγκ=0,1m, υ=2m/s, a=-10m/s2, h=0,2m ) 2.27. ( Απ : y=0,1.ηµ(10t+3π/2), Κ=συν2(10t+3π/2), U= ηµ2(10t+3π/2).) 2.28. ( Απ : Α=0,05m ) 2.29. ( Απ: υ=√15/16m/s, A=25.10-3m, y=25.10-3.ηµ(10t+π)) 2.30. ( Απ : D=200i/m, h=1/16m, A=0,2m ) 2.31. ( Απ : Α=0,2m, ∆t=√2π/30 s, W=0,5 J, dp/dt=-10i ) 2.32. ( Απ: υ=1m/s, A=7/60m, ∆l=11/60m ) 2.33. ( Απ: Α=0,2m, x=0,2ηµ(5t+π/6), ∆t=π/15 s ) 2.34. ( Απ: V=0,4m/s, A=0,03m, U=0,64 J, E=0,48 J ) 3.18. ( Απ : C=2.10-2F, q=0,2ηµ(10t-π/2), ΕH=0,25J, EM=0,75J. ) 3.19. ( Απ : f=25/πHz, I=5mA, P=6.10-3W) 3.20. ( Απ : q=-(2.10-2/π)συνπt/2, q=8.10-3/π C ) 3.21. ( Απ : L=2,5.10-2H, i=20ηµ(100t+π/2), U=5J, di/dt=0, dU/dt=500J/s ) 3.22. ( Απ : Α. Ι=10Α, V=0, Β. i=10συν50t, q=0,2ηµ50t, Γ. di/dt=-500A/s. ) 4.19. ( Απ: Α=Α0/32 ) 4.20. ( Απ: t1/2=ln2/Λ, -20% ) 4.21. ( Απ: t1=ln2/2Λ, Ε=Ε0/8 ) 4.22. ( Απ: f0=5/π Hz, Λ=-1/π, Ε=0,72 J, Eεξ=72 J ) 4.23. ( Απ : Α1= 2 m, y=2e-ln2.t/4συνπt, A= 2 /4) 4.24. ( Απ: x=-0,15m, dE/dt=-10 J/s, W=-16,375 J ) 4.25. ( Απ : x=0,2ηµ(10t+π/2), υ=-2ηµ10t, K=8J, U=2J, Ε=2+6ηµ210t ) 5.15. ( Απ: Τ=π/10s, D=800i/m, υ=40συν20t, α=-800ηµ20t ) 5.16. ( Απ : x1=10√2ηµ(20t+π/12) ) 5.18. ( Απ : x1=0,1ηµ(102πt), x2=0,1ηµ(100πt) , Ν1=10, Ν2=101 )