Année 2003-04 Cours de Traitement du...

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Traitement du Signal Imprimé le 07/01/09 65 Université Paris-Sud ORSAY Département Mesures Physiques Année 2003-04 Cours de Traitement du Signal Partie 3 Application au filtrage numérique Roger REYNAUD temps fréquences e 2π j ν t δ (f-ν ) Réel Imaginaire Réel Imaginaire La figure symbolise la transformation de Fourier permettant de passer d'une représentation temporelle complexe (ici la fonction de base de l’analyse en diagramme de Bode en analogique) à une représentation fréquentielle complexe équivalente PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com

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  • Traitement du Signal Imprim le 07/01/09 65

    Universit Paris-Sud

    ORSAYDpartement Mesures Physiques

    Anne 2003-04

    Cours de Traitement du SignalPartie 3

    Application au filtrage numrique

    Roger REYNAUD

    tempsfrquences

    e 2j t

    (f-)

    Rel

    Imaginaire

    Rel

    Imaginaire

    La figure symbolise la transformation de Fourierpermettant de passer d'une reprsentationtemporelle complexe (ici la fonction de base delanalyse en diagramme de Bode en analogique) une reprsentation frquentielle complexequivalente

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  • 66 Dpartement Mesures physiques IUT Orsay

    Plan du cours

    Partie 1

    Transformation Temps Frquence

    Partie 2

    Signal continu Signal chantillonn

    Partie 3

    Application au filtrage numrique

    Analogique NumriqueFiltrage numrique................................................................... 67

    Chane de traitement numrique.....................................................................67Transmittance en z..........................................................................................68Filtres numriques non rcursifs.....................................................................68Filtres numriques rcursifs............................................................................69Stabilit d'un filtre numrique rcursif ...........................................................70Exemple : intgrateur numrique ...................................................................72Exemple de filtre passe-bas.............................................................................74

    Synthse de filtres numriques .................................................. 75Filtres non rcursifs phase linaire...............................................................75Mthode avec chantillonnage de la rponse impulsionnelle.........................75Mthode avec chantillons en frquence dans un gabarit ..............................78Filtres rcursifs................................................................................................79Synthse partir d'une quation diffrentielle du 2me ordre .......................79Synthse partir de filtre prototype et transformation bilinaire...................80Exemple d'un passe-bande troit.....................................................................82

    Rgulateur numrique............................................................... 84CNA et prsence dun bloqueur .....................................................................84

    Bibliographie ............................................................................ 86

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 67

    67

    Filtrage numriqueChane de traitement numrique

    Signal analogique

    Filtrage du signal pour liminer les signaux et bruitsqui ne respectent pas la condition de Shannon

    Filtre passe-bas anti repliement

    Signal filtr

    Prise d'chantillon (mmorisation analogique rapide)et blocage pour faciliter la conversion

    chantillonneur - bloqueur

    Signal bloqu

    Conversion et codage sur 8, 12 ou 14 bits Convertisseur

    Analogique - Numrique

    Squence d'entre

    Tout traitement numrique. Calculateur Numrique

    Squence de sortie

    Conversion analogique et blocage pour avoir unsignal analogique temps continu.

    Convertisseur Numrique -Analogique

    Signal bloqu

    Le lissage est utilis pour attnuer les effetsindsirables des marches d'escalier du bloqueurd'ordre Zro.

    Filtre de lissage

    Signal analogique

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  • 68 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    68

    Transmittance en zDirac en entre : {k} {h k} rponse impulsionnelle du filtre.

    Entre quelconque : {xn } {yn } = {xn } {h k} avec yn =

    0=k

    hk xn-k

    Lentre et la sortie possdent leur transforme en Z.

    Z {xn }=

    +

    = 0n

    xn z-n = X(z) et Z {yn }=

    +

    = 0n

    yn z-n = Y(z)

    Un produit de convolution dans un espace correspond un produit simple dans lautre espace transform.

    Y(z) = X(z) . H(z)Alors la Transmittance en z du filtre vaut : H(Z) =

    Y(Z)X(Z)

    = Z {h k}La relation est l'analogue du cas continu : la transmittance en Z du filtre linaire est la transforme en Z de lasquence rponse impulsionnelle du filtre numrique.

    Rponse harmonique : transmittance isochroneLa transmittance habituelle H(jTe) est obtenue pour la variable Z dcrivant le lieu des frquence pures,correspondant dans lespace des Z au cercle unit : Z = exp(-jTe) pour toute valeur de .

    Stabilit d'un filtre numriqueSupposons que nous puissions mettre H(z) sous la forme du rapport de deux polynmes en Z, lun au numrateur

    N(Z) et lautre au dnominateur D(Z), alors nous dirons que le filtre de transmittance H(Z) =N(Z)D(Z)

    est stable si

    tous les ples de H(Z) (par dfinition il sagit des racines du polynme D(Z) au dnominateur) sont l'intrieur ducercle de rayon unit.Cela correspond aux filtres dont la rponse impulsionnelle tend vers 0 au bout d'un certain temps.

    k lim h k 0

    Filtres numriques non rcursifsLa rcursivit traduit la notion de dpendance du calcul de {yn } en fonction d'autres lments de la srie {yn }elle-mme. Les filtres les plus simples sont justement ceux pour lesquels cette dpendance n'existe pas. De telsfiltres sont dits non rcursifs.On suppose ici ne s'intresser qu'aux seuls filtres causaux. Alors supposons que la sortie ne dpend que d'unnombre fini d'entres antrieures :yn = a0 .xn + a1 .xn 1 + + a k .xn k

    H(Z) =Y(Z)X(Z)

    = Z{h k} = a0 . + a1 .Z1+ + a k .Z

    k

    Cette quation est analogue au produit de convolution entre {x k} et {h k} et nous obtenons donc que {h k} ={a k} Ces filtres sont de ce fait aussi appels filtre rponse impulsionnelle finie RIF. Ils sont toujours stablespar absence de dnominateur dans H(Z).

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 69

    69

    Filtres numriques rcursifs

    {x k} H(Z) {y k}

    La dpendance entre l'chantillon yn est le reste des sries {y k} et {x k} est aussi suppose de type causal. yn estdfini partir des chantillons antrieurs des {y k} et {x k}. L'algorithme donnant yn est la formule dercurrence suivante vraie pour toute valeur de n .

    Formule de rcurrence de dpart :sn = a0 .xn + a1 .xn 1 + + a k .xn k - (b1 .yn 1 + b2 .yn 2 + + b p .yn p )

    On rappelle l'effet d'une translation dans le temps ou retard sur une srie quelconque {fn }.

    Z {fn k} = zk Z {fn }On reconstruit alors la Transforme en Z de la srie {sn } dnomme Y(Z) partir de la formule de rcurrenceprcdente.

    Y(Z) = Z {yn } =n=0

    yn z

    n

    Y(Z) = n=0

    (a0 xn + a1xn 1 + + a kxn k - b1yn 1+ + b pyn p ) z

    n

    Y(Z) = a0 .n=0

    xn z

    n + a1 . n=0 + xn 1z

    n + + a k .n=0

    xn kz

    n

    - b1 .n=0

    yn 1z

    n - - b p .n=0

    yn p z

    n

    Y(Z) = a0 . X(Z) + a1 .z1 X(Z)+ + a k .z

    k X(Z) - b1 .z1 Y(Z) - - b p .z

    pY(Z)

    En factorisant Y(Z), nous obtenons le transmittance en Z

    H(Z) =Y(Z)X(Z)

    = Z{h k} =a0 +a1z

    1++a kzk

    1+b1z1++b pz

    p

    La rponse impulsionnelle d'un tel filtre est infinie, bien qu'il soit dfini partir d'un nombre fini de coefficientsa k et b p . C'est pourquoi ces filtres sont aussi appels rponse impulsionnelle infinie RII.

    {x k}H(Z) = _____N(Z)

    D(Z){y k}

    Structure d'un filtre numrique rcursif

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  • 70 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    70

    Stabilit d'un filtre numrique rcursifUn filtre est stable si la rponse impulsionnelle tend vers 0 au bout d'un certain temps.

    k lim h k 0

    La forme H(Z) =N(Z)D(Z)

    est une fraction de deux polynmes en z1 . Elle peut se mettre sous une forme

    diffrente en dcomposant ce rapport en "lments simples".Si le polynme au numrateur N(Z) est de rang suprieur au polynme au dnominateur D(Z), nous effectuons ladivision de ces deux polynmes. Le rsultat s'crit :

    N(Z) = Q(Z)D(Z) + R(Z) ce qui donne H(Z) = Q(Z) +R(Z)D(Z)

    avec R(Z) de rang strictement infrieur D(Z).

    Le rsultat montre que la transmittance en Z est celle d'un filtre qui se met sous la forme d'une somme de deux

    filtres de transmittance respective Q(Z) etR(Z)D(Z)

    .

    Le premier filtre est un filtre RII toujours stable, c'est--dire que lorsque son entre devient nulle, la sortiecorrespondante tend vers zro au bout d'un certain temps. Ce n'est pas cette composante qui amne unedivergence du filtre numrique.

    On est ramen pour le second terme au cas : le polynome au numrateur N(Z) est de rang strictement infrieurau polynome au dnominateur D(Z). La dcomposition en "lments simples" fait alors apparatre la notionde ples, c'est--dire les racines du polynme D(Z) au dnominateur.

    Dans le cas de polynmes coefficients rels, les racines sont soient relles soient appaires par deux etcomplexes conjugues l'une de l'autre. De plus chaque racine peut tre soit simple, soit multiple. Nous crivonsune dcomposition canonique en racines simples ou complexes conjugues :

    D(Z) = p i rel

    (1 - p i z1)

    pi complexe(1 - p i z

    1) (1 - p i z1)

    La dcomposition en lments simples ou complexes conjugues de H(Z) est alors [voir cours de math] :

    H(Z) =N(Z)D(Z)

    = p i rel

    i

    1 - p i z1 + p i complexe

    i + i z1

    1 - (p i + p i )z1+ p i p i z

    2

    Le rsultat montre que la transmittance en H(Z) est celle d'un filtre qui se met sous la forme d'une somme d'uncertain nombre de filtres de transmittance respective :

    i

    1 - p i z1 Ordre 1

    i + i z

    1

    1 - (p i + p i )z1+ p i p i z

    2 Ordre 2

    Sous cette forme et avec l'hypothse o tous les ples sont distincts, l'tude de la stabilit du filtre H(Z) se ramne l'tude de la stabilit des filtres rcursifs d'ordre 1 ou 2 formant la dcomposition. Lorsque l'entre communeaux filtres en parallle devient nulle, la sortie correspondante est la somme des sorties. Si aucune composanten'amne une divergence, toutes les sorties tendent vers zro et leur somme finie tend aussi vers zro. Le filtrenumrique H(Z) est stable.

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 71

    71

    Les filtres rcursifs d'ordre 1 et 2 sont stables lorsque leursples sont l'intrieur du cercle de rayon unit.Les ples instables fournissent des squences divergentesmme lorsque l'entre devient nulle au bout d'un certaintemps. Sur la frontire se trouvent les oscillateurs qui ont uncomportement priodique en prsence d'une entre nulle.On ne peut esprer quune divergence amene par un pleinstable soit compense par la prsence dun autre ple.

    Rsultat sur la stabilitLe filtre de transmittance H(Z) sera donc stable si et seulement si tous les ples de H(Z) (c'est--dire les racinesdu polynme D(Z) au dnominateur) sont l'intrieur du cercle de rayon unit.

    H(Z) = _____D(Z)

    {e }n

    Q(Z)Filtre RIF

    R(Z)

    H (Z) = _____11

    1-p z1

    H (Z) = _____kk

    k

    G (Z) = __________11 +

    Partie RIF

    Partie RII

    + {s }n

    1-p z

    1-c z +d z

    -1

    -1

    1 z-1

    -2-1

    G (Z) = __________pp +1-c z +d z

    p z-1

    -2-1pp

    1 1

    Structure quivalente dcompose en lments simples :Partie RIF, ples rels, et ples complexes conjugus de la partie RII.

    ++

    +

    +

    +

    Poles instablesSquences divergentes

    Poles stables

    Squences convergentes

    oIntgrateur

    Frontire :oscillateurs

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  • 72 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    72

    Exemple : intgrateur numrique

    H(Z) =__. _____1 + z

    1 - z{e }n

    {s }nTe2 -1

    -1

    Question 1 : Dtermination de l'algorithme et de la rponse impulsionnelle {hn }de ce filtre. Retrouver lecalcul par la mthode des trapzes.

    H(Z) =S(Z)E(Z) =

    Te2

    .1+ z1

    1 - z1 S(Z) - z1 S(Z) =

    Te2

    . [E(Z) + z1 E(Z)]

    Intgrale par la mthode des trapzes.

    nTe(n-1)Te

    xn-1

    x n

    tgalit de deux polynmes vraie quelquesoit z les coefficients des deux polynmes sont gaux n.

    Algorithme sn = sn 1 +Te2

    (en + en 1 )

    En premire approximation,

    nTeTe

    nTe

    e(t)dt = Aire du trapze griss(nTe) - s(nTe -Te) = Te.

    e(nTe) + e(nTe -Te)2

    La rponse impulsionnelle est alors obtenue comme la rponse un Dirac en utilisant la formule de rcurrence.

    h0 =Te2

    (0 + 1) =Te2

    h1 = h0 +Te2

    (1+ 0 ) = Te

    h2 = h1 = Te = h3 = = hn

    Question 2 - Etudier la stabilit de ce filtre.Le filtre intgrateur reprsente le cas limite des fonctions de transfert stables. En effet, il admet 1 comme ple relsimple. Il ne vrifie donc pas l'ingalit stricte qui dfinit la frontire de stabilit (ple l'intrieur du cercle unit).Cela se traduit videmment par le fait que la condition de stabilit exprime par :Un systme est stable si et seulement si, soumis une entre nulle partir d'un certain chantillon, la sortie tendvers zro au bout d'un certain temps.L'exemple de la rponse impulsionnelle montre en fait que la sortie devient constante partir du moment ol'entre devient nulle. Ceci est bien conforme au fonctionnement d'un intgrateur et montre un comportementpossible des filtres la limite de la condition d'instabilit, c'est--dire lorsqu'ils ont des ples sur le cercle de rayonunit.

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 73

    73

    Question 3 - Etudier la rponse en frquence de ce filtre. Tracer le module et l'argument de H fonction de dans la limite de Shannon.

    H( z=e jTe ) = Te2

    .1+ z1

    1 - z1 =Te2

    .1+ejTe1 -ejTe =

    Te2

    .exp(-j

    Te2

    )

    exp(-jTe2

    ).

    exp(jTe2

    ) + exp(-jTe2

    )

    exp(jTe2

    ) - exp(-jTe2

    )

    0,4

    1

    2

    fFe

    H

    0,30,20,10 0,5

    H(z) =Te2

    .2cos(

    Te2

    )

    2jsin(Te2

    )=

    Te2

    .-j

    tan(Te2

    )= H ej H =

    Te2

    .1

    tan(Te2

    )0< f < Fe

    = -2

    0< f < . Fe

    On retrouve la formule concernant l'intgrateur analogique en faisant tendre la priode d'chantillonnage Te vers

    0. Dans ce cas tan(Te2

    ) tend vers Te2

    et H(j) =1j

    4 Dterminer la squence de sortie {sn } pour l'entre {en } = {un } - {un 4}

    Pour dterminer la squence de sortie, nous traons un tableau dont les lignes sont les diffrentes variablesintervenant dans la formule de rcurrence, et dont les colonnes reprsentent le dfilement des indices dercurrence.n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7en-1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

    en 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

    sn-1 0 0 0 Te2

    3Te2

    5Te2

    7Te2

    4 Te 4 Te 4 Te

    sn 0 0 Te2

    3Te2

    5Te2

    7Te2

    4 Te 4 Te 4 Te 4Te

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  • 74 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    74

    Exemple de filtre passe-bas

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  • Synthse de filtres numriquesFiltres non rcursifs phase linaire

    {e k} H(Z) {s k}

    La dpendance entre l'chantillon de sortie s et lentre {e k} est de type causal. L'algorithme donnant sn suit laformule de rcurrence vraie pour toute valeur de n :

    sn = a0 .en + a1 .en 1 + + aN 1 .en +1N = k=0

    N-1a k .en k

    A partir des remarques suivantes, on va pouvoir raliser des filtres causaux phase linaire.

    La rponse en frquence d'un filtre est la transforme de Fourier de la rponse impulsionnelle de ce filtre.

    H(j) = F [h(t)]L'argument de la rponse en frquence d'un filtre de rponse impulsionnelle symtrique est nul, car satransforme de Fourier est suivant l'axe rel.Par translation dans le temps dun valeur d'une rponse impulsionnelle pour la faire passer de symtrique causale, on introduit un dphasage linaire sur la rponse en frquence du filtre

    H1(j) = F [h(t-)] = ejF [h(x)] = ej H(j)Mthode avec chantillonnage de la rponse impulsionnelle

    Mthode avec prototype en frquence, chantillonnage et troncature de la rponseimpulsionnelle en temps.

    a Nous partons de la rponse en frquence que nous dsirons G(j) appele le prototype dans le domainedes frquences en faisant les hypothses que cette dernire est une fonction relle ou imaginaire pure.b Nous sommes alors capables de calculer la rponse impulsionnelle g(k.Te) correspondante par

    transforme de Fourier inverse g(t) = F1[G(j)] . Si la rponse en frquence a un support born, alors larponse correspondante en temps a un support infini. Cette rponse peut donc comporter un nombre infini determes. Nous ralisons alors une troncature symtrique g'(t) de la rponse impulsionnelle g(t) un nombre fini determes. Ce nombre N est choisi impair pour simplifier. A cause de la troncature, la rponse en frquence

    correspondante n'est plus G(j) mais G'(j) = F [g'(t)].c Nous utilisons alors comme rponse impulsionnelle causale h(k.Te) la rponse impulsionnelle g'(k.Te)dcale d'un nombre (N-1) d'chantillons. Ceci correspond un dcalage temporel assimilable un retard purvalant = (N-1)Te. Ce dcalage introduit un terme de phase linaire en frquence dans la rponse spectralequi vaut = (N-1)Te..

    d Le rsultat est une rponse en frquence qui vaut finalement H(j) = ej G'(j), qui est donc celled'un filtre phase linaire, mais qui n'est pas la rponse en frquence du filtre prototype initial G(j).

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  • 76 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    76

    Troncature par une fentre rectangulaireNous allons tudier l'effet de la troncature de la rponse impulsionnelle sur la rponse en frquence du filtrersultant. On appelle f(t) la fonction qui par multiplication correspond au mcanisme de troncature. Nous avonsdonc g'(t)= f(t).g(t). Dans la cas dune fentre rectangulaire, la fonction f(t) est une porte symtrique de largeurN.Te. Nous voulons appliquer cette technique la gnration de trois types de filtre.

    Soit f =

    ela dfinition de la frquence ou pulsation normalise, ramene en pourcentage de la frquence

    d'chantillonnage Fe. Nous savons que l'chantillonnage introduit une priodisation du spectre. La reprsentationobtenue aprs chantillonnage n'est correcte que dans la mesure o la condition de Shannon qui s'crit enfrquence normalise f < 1

    2est vrifie. Sous cette condition, il n'y a pas de phnomne de repliement du spectre.

    Prototype : Filtre passe-bas idal de frquence de coupure fca : Prototype en frquence Rponse impulsionnelle continue correspondante

    G(j) = 2fc () porte de largeur 2fc symtrique g(t) = F1[G(j)] = 2 fc sinc( 2fc t)

    -fc 0 fc f

    b : Aprs chantillonnage de priode Te, nousvoyons apparatre un facteur multiplicatif Fe sur larponse en frquence :

    {g k} = g(t) Te (t)

    F{g k} = G(j) Fe. Fe (t)La rponse impulsionnelle chantillonne est alorscorrige d'un facteur Te pour compenser:

    g k= 2 c e

    sinc(2k c e

    )

    Il reste alors choisir le nombre impair decoefficients ncessaire pour tronquer la rponseimpulsionnelle chantillonne.

    c : puis il faut dcaler cette dernire de moiti pourobtenir une rponse impulsionnelle causale. Sur lafigure ci-contre, 13 coefficients servent dfinir larponse impulsionnelle et le tout est dcal de 7chantillons.

    2fcFe

    2fcFe

    0

    2fc

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 77

    77

    0

    1

    -0.5 0 0.5

    d : Rponse relle du filtre ainsi ralis13 coefficientsNous disposons ce moment d'un filtre phase linairedont la rponse en frquence ressemble au prototype defiltre passe-bas idal, mais en diffre lgrement.Nous avons trac le module du spectre. Le dphasagelinaire n'apparat pasLe rsultat montre qu'il reste des oscillations rsiduellesvis--vis du filtre prototype et que la pente est de lordrede Fe/M avec M=13 dans cette ralisation.

    -0.5 0 0.5

    63 coefficientsLes oscillations rsiduelles vis--vis du filtre prototypepersistent dans la bande passante mme en choisissantune reprsentation sur 63 coefficients.Lattnuation est meilleure dans la bande coupe quepour la ralisation prcdente, mais il faut utiliser untrac en dB pour valuer la qualit dun filtre en bandecoupe.Il y a une amlioration nette en bande de transition avecune pente qui vrifie la relation : la pente est de lordre deFe/M avec M=63 dans cette ralisation.

    Prototype de Filtre passe-bande Coefficients de la rponse impulsionelle1

    -0.5 0 0.5g k= 2cos(2k

    o e

    ) e

    sinc(2k e

    )

    Prototype de Filtre rejecteur Coefficients de la rponse impulsionelle

    -0.5 0 0.5

    1

    gk = sinc(k)- 2cos(2k o e

    ) e

    sinc(2k e

    )

    La mthode prcdente est une mthode avec prototype en frquence, chantillonnage et troncature de la rponseimpulsionnelle en temps. Elle est d'utilisation aise, mais prsente trois inconvnients majeurs : L'amplitude de l'ondulation rsiduelle est de 1,1 fois la discontinuit, et reste indpendante du nombred'chantillons N. On ne peut esprer diminuer ce niveau en augmentant le nombre d'chantillons qui est le seulparamtre d'ajustement de cet algorithme. La transition de la bande passante la bande attnue se fait avec une largeur Fe/N. Cette caractristiquemontre qu'il faut un grand nombre d'chantillons pour avoir des filtres numriques non rcursifs coupure rapide,ce qui favorisera l'emploi de filtres rcursifs comme nous le verrons dans un prochain sous-chapitre. La diminution des ondulations impose l'emploi de fentre triangulaire ou de fentre de Hamming, laconservation d'une bande de transition avec une pente identique (avec ou sans fentre) montre que l'on passe de 9points sans fentre 21 points si la troncature est ralise par une fentre de Hamming.

    Ces difficults de mise en uvre peuvent nous conduire utiliser une mthode avec chantillonnage en frquenceque nous allons dcrire.

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  • 78 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    78

    Mthode avec chantillons en frquence dans un gabaritNous illustrons la mthode d'optimisation sur l'exemple d'un filtre passe-bas. L'exemple est un chantillonnagergulier en frquence sur M=19 points. Les points sont quirpartis en frquence. On ne reprsente sur la figureci-contre que les frquences positives. On suppose implicitement que la rponse en frquence dun systmephysique est symtrique.Un premier choix naturel est par exemple de prendre les points sur le prototype central au gabarit. Il est alorsvident que la condition Fe/N infrieur la pente donc largeur de la bande de transition du gabarit doit aussitre vrifie dans ce contexte pour rester l'intrieur du gabarit. En consquence la valeur du nombred'chantillons N la largeur de la bande de transition.

    f/Fe

    .5

    Le gabarit en frquence est dfini par trois valeurs :q Intervalle de prcision en bande passante ;q Largeur en frquence de la bande de transition ou pente en dB par dcade ;q Amplitude rsiduelle en bande coupe.

    On peut effectuer une transforme de Fourier inverse sur ces M points de frquence. Cela donne une rponseimpulsionnelle symtrique en temps sur le mme nombre de points.

    Gabarit Choix { H(k FeM

    ) } 1TFD

    h(i.Te) = k=0

    M-1H(k

    FeM ) e

    2j. k.iM

    Il s'agit alors automatiquement d'un filtre phase linaire par construction, mais cette mthode utilise telle quellen'assure pas que le filtre rentre dans le gabarit en frquence. En effet, les valeurs de H(f) sont connus parconstruction au niveau des points chantillonns en frquence, cest dire pour les frquences f = k Fe/M, maisH(f) prsente des ondulations pour les frquences situes entre les points d'chantillonnage. Le niveau de cesoscillations vrifie la mme contrainte que prcdemment.

    L'optimisation qui peut tre ralise provient d'un dplacement des valeurs des frquences chantillons l'intrieurdu gabarit initial. Les points les plus intressant dplacer sont proches de la bande de transition.Le gabarit en bande passante et en bande attnue est alors respect, il apparat une attnuation des ondulationsdans ces deux bandes mais cette mthode impose aussi d'augmenter M pour rester dans le gabarit en bande detransition et avoir un slectivit comparable.

    f/Fe

    .5

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 79

    79

    Certain logiciel propose une optimisation globale sur les M valeurs avec des algorithmes sophistiqus pourobtenir la rponse ayant le moins d'ondulations possibles.

    Dans l'exemple ci-dessus, on reprsente de nouveau la totalit des frquences positives et ngatives, ce qui donnele schma suivant :

    Les coefficients du filtre avant dcalage sont calculs par la formule suivante :

    h(i.Te) = H(0) + H(FeM

    ).2cos(2.iM

    ) + H(2FeM

    ).2cos(4.iM

    ) + H(3FeM

    ).2cos(6.iM

    )

    + H(4FeM

    ).2cos(8.iM

    ) + H(5FeM

    ).2cos(10.iM

    ) + 0

    En effet, les coefficients sont pairs et rels, ce qui conduit la transforme de fourrier inverse possder les mmescaractristiques. Puis, on effectue un dcalage correspondant un retard pur de 9 Te pour fournir une rponsecausale, ce qui va induire la prsence dun dphasage linaire en frquence en ce qui concerne la rponse spectralefinale.

    Filtres rcursifs

    Rappel de la formulation rcursive : sn =k=0

    N-1

    a k .en k + k=1

    M

    b k .sn k

    Synthse partir d'une quation diffrentielle du 2me ordreOn cherche synthtiser un filtre numrique quivalent un filtre analogique du deuxime ordre. Pour reprsenterce filtre, nous partons de l'quation diffrentielle de chaque filtre tablie dans le cours analogique et dont lescomportements doivent tre connus. Il est possible alors de trouver diffrentes transformations permettant detrouver une formulation rcursive numrique quivalente dans une certaine mesure au filtre initial analogique.

    Transformation et calcul d'une drive par la mthode d'Euler

    x(t) y(t) =dx(t)

    dt z(t)=2d2

    dtx(t)

    {xn } {yn } = {1

    Te(xn - xn 1 ) } {zn } = {1

    Te2(xn - 2 xn 1 + xn 2 ) }

    X(z) Y(z) =1

    Te(X(z) - z-1X(z)) Z(z) =1

    Te2(X(z) - 2 z1X(z) + z2 X(z))

    f/Fe

    .5

    f/Fe

    .5

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  • 80 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    80

    Dans l'espace de Laplace, la drive est un oprateur qui s'exprime par D(p) =Y(p)X(p)

    = p

    Dans l'espace en Z, la drive est un oprateur qui s'exprime par D(z) =1

    Te(1 - z1)

    Filtre passe-bas L'quation analogique est s(t) + 2m 0ddt

    s(t) +1 0 2

    2d2

    dts(t) = e(t)

    La transformation donne

    sn +2m 0 Te

    (sn - sn 1) +1

    ( 0 Te)2 (sn - 2 sn 1 + sn 2 ) = en

    sn (1 +2m 0 Te

    +1

    ( 0 Te)2 ) - 2 sn 1(

    m 0 Te

    +1

    ( 0 Te)2 ) + sn 2

    1( 0 Te)

    2 = enPar analogie avec la formule de rcurrence sn = a0 en + b1 sn 1 + b2 sn 2 , nous trouvons lescoefficients du filtre rcursif implanter.

    ao = ( 0 Te)2

    ( 0 Te)2 + 2m. 0 Te + 1

    b1 = 2m 0 Te + 2( 0 Te)

    2 + 2m. 0 Te + 1

    b2 = -1( 0 Te)

    2 + 2m. 0 Te + 1Dans le cadre de filtre passe-bande et rjecteur, on propose de partir des quations analogiques suivantes qui sontduales de la prcdente :

    Filtre passe-bande L'quation analogique est s(t) +2m 0

    ddt

    s(t) +1 0 2

    2d2

    dts(t) =

    2m 0

    ddt

    e(t)

    Filtre rejecteur s(t) +2m 0

    ddt

    s(t) +1 0 2

    2d2

    dts(t) = e(t) +

    1 0 2

    2d2

    dte(t)

    Synthse partir de filtre prototype et transformation bilinaire

    Le point de dpart de cette mthode est de reproduire un certain nombre de filtres analogiques dont les propritset les caractristiques ont t bien tudies par ailleurs dans le monde "analogique". Le filtre de dpart est alors unfiltre prototype tels que Butterworth, Bessel, Tchebycheff, fonctions elliptiques.Le choix de ce filtre se fait en fonction de caractristiques particulires que l'on aimerait retrouver et reproduiredans le monde numrique. Il faut remarquer ce niveau que la connaissance du filtre prototype nous renseigneseulement sur ce qui se passe en frquence (donc sur l'axe des imaginaires purs).Il est noter aussi que le mcanisme d'chantillonnage doit reproduire un mcanisme de repliement du spectreavec une priodicit de frquence Fe.

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 81

    81

    Reprsentation analogique Reprsentation numrique

    Plan

    p = + j 2 f

    InstableStable

    Axe

    desf

    rqu

    ence

    sf

    Planp.Te

    Instable

    Stable

    Z = e

    1

    jj

    1

    j 2 Tee

    Axe des attnuations

    Il est ncessaire de trouver une correspondance entre l'axe des frquences dans le plan analogique en variable deLaplace p et le cercle unit qui reprsente le lieu des frquences numriques aprs passage dans le plan numriquede la reprsentation en Z. Cette correspondance est videmment non unique et n'a de sens que pour les frquences"numriques" comprises dans l'intervalle [0 ; Fe [ car le spectre est obligatoirement priodique de frquence Fedans ce plan.

    Transformation bilinaireNous prsentons maintenant une correspondance entre les frquences "analogiques" du filtre prototype et lesfrquences "numriques" du filtre numrique rsultant ralise par une transformation bilinaire.Cette correspondance doit conserver les conditions suivantes :q Une transmittance est habituellement dcrite par un rapport de polynmes. Alors une fraction faisant

    intervenir le rapport de 2 polynmes avec la variable s doit devenir une fraction faisant intervenir le rapportde deux polynmes en Z pour bnficier de tous les dveloppements du chapitre prcdent.

    q Les zones de stabilit doivent tre conserves. La partie instable du plan p doit devenir la partie instable duplan Z. La partie stable du plan p doit devenir la partie stable du plan Z. La frontire entre les deux partiesprcdentes dans le plan p doit devenir la frontire entre les parties stable et instable dans le plan Z.

    q Cest une transformation rciproque ou bijective de ] - ; + [ vers [o ;Fe[ ou [- Fe ; Fe[.

    La transformation bilinaire dcrite ci-dessous (possdant un paramtre de rglage k) vrifie les conditions

    prcdentes. Z =k + pk - p De faon quivalente p = k

    1 1Z1+ 1Z

    Daprs la condition n2 de conservation de la frontire, la transformation bilinaire permet le passagerciproque de laxe imaginaire pur p = j 2 f reprsentant le lieu des frquences analogiques pures f, au cerclede rayon unit Z = e j 2 Te reprsentant le lieu des frquences numriques pures dans le plannumrique.On peut en particulier dcider d'une correspondance particulire de frquences en fixant le paramtre k dans cettetransformation bilinaire. A une frquence fo caractristique du filtre analogique (par exemple lafrquence de coupure -3 dB d'un passe-bas) doit correspondre une "frquence numrique" o quidevient du coup caractristique du filtre numrique qui va tre dduit de la transformation. Vu le rlejou par Te, dans certains ouvrages, la frquence utilise dans le monde numrique est la frquencerduite Te, car tout peut sexprimer en fonction de cette variable sans dimension physique. Nouscontinuons cette dmonstration en conservant une dimension en Hz la frquence numrique.

    Le lieu des frquences pures analogiques devient le lieu des frquences pures numriques. Cela donne en utilisantla formule de transformation bilinaire paramtre par k applique aux frquences pures analogiques etnumriques :

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  • 82 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    82

    p = j 2 f = k 11Z

    1+ 1Z

    = k1 e -j 2 Te

    1+ e -j 2 Te

    = ke +j Te e -j Te

    e +j Te + e -j Te

    = k2j sin( .Te)2 cos ( .Te)

    = k j tan( .Te) 2 f = k tan( .Te) = k tan( Fe )

    La transformation bilinaire est donc quivalente une fonction tangente si on ne considre que le passage desfrquences pures analogiques aux frquences pures numriques. La dformation des frquences, bien que pouvanttre gnante est conforme une des caractristiques attendues, c'est dire :

    Monde analogique : f [- ; + [ Monde numrique : [-Fe2 ; +Fe2 [

    Le choix particulier dune correspondance entre une frquence analogique fo est une frquencenumrique o fixe le paramtre k de la transformation bilinaire.

    2 fo = k tan( o.Te)La connaissance de la transmittance en p correspondant la fonction prototype cible, et la connaissance duparamtre k de la transformation bilinaire nous permettent alors dobtenir une transmittance en Z ayant uneforme normalise connue, savoir sous forme dun rapport de deux polynmes en Z-1 au numrateur et audnominateur. Il suffit alors simplement dappliquer les rgles habituelles pour obtenir lalgorithme rcursifquivalent cette transmittance en Z.

    Exemple d'un passe-bande troitOn cherche crer un filtre passe-bande numrique de facteur de qualit 10. On part d'un filtre analogique passe-bande du second ordre dont la transmittance est donne par la relation suivante en frquence rduite :

    T(s) =1

    1+Qa(s + 1s)

    La variable rduite sans dimension s = jffo reprsente le lieu des frquences pures dans le monde analogique.

    Elle est quivalente utiliser la variable de Laplace p = j 2 f. La frquence centrale fo = 500 Hz est lafrquence caractristique du filtre dans le monde analogique. L'amplification cette frquence est 1, le

    coefficient de qualit Qa =fofa doit tre calcul pour fournir un coefficient de qualit. Qn du filtre

    numrique gal 10. La frquence d'chantillonnage Fe est donne et vaut 5 KHz.

    Pour fixer le paramtre k de la transformation bilinaire, on impose de plus que o = fo = 500 Hz. Ce choix estarbitraire. Il correspond positionner une frquence numrique rduite o.Te = 0,10. Dans ces conditions, lavaleur de k est donne par :

    j = j k tang( o.Te) k = 3,078

    f

    k4

    Fe2

    Fe2- o

    fo

    Monde numrique

    Monde

    analogique

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 83

    83

    Pour dterminer le coefficient Qa, Il faut partir de la dfinition de

    Qn =o = 10. La condition o = fo = 500 Hz impose que

    = 50 Hz. Ceci donne les deux frquences limites -3 dB par uneapproximation justifie par ltroitesse du filtre :

    1 o = 475 Hz f1 = k tan( 1.Te) = 473 Hz2 o + = 525 Hz f2 = k tan( 2.Te) = 527Hz f = f2 - f1 = 54 Hz Qa =

    fof = 9,3

    Le prototype du filtre analogique est alors entirement connu, carle seul paramtre est Qa.

    La transmittance numrique se dduit de la transmittance en s

    T(s) =1

    1 +Qa(s + 1s)

    par la transformation bilinaire s = k1 1Z1+ 1Z

    . Cela donne la formulation suivante

    T(Z) =1

    1 + Qa (k.1 - Z-1

    1 + Z-1+

    1 + Z-1

    k (1 - Z-1))

    Il faut prsenter le rsultat T(Z) sous la forme dun rapport de deux polynmes en Z-1.

    T(Z) =(1 - Z-1) (1 + Z-1)

    (1 - Z-1) (1 + Z-1) + Qa k.(1 - Z-1) 2 +Qak (1 + Z

    -1) 2

    La rcriture fait apparatre une transmittance en Z que l'on sait alors dcomposer en un algorithme rcursif.

    T(Z) =1 - Z-2

    1+ Qa k +Qak + 2 (-Qa k +

    Qak )Z

    -1 + (-1+Qa k +Qak ) Z

    -2=

    1 - Z-2

    32,6 - 51,2 Z-1 + 30,6 Z-2

    On reconnat un filtre rcursif passe-bande du deuxime ordre.

    q Rcursif car il existe un polynme au dnominateur en Z-1.q Passe-bande car il apparat au numrateur deux zros situs en Z = 1 et Z = -1.q Du deuxime ordre, car la transmittance une fois rcrite sous forme normalise fait apparatre une puissance

    2 au dnominateur et au numrateur.

    Cette mthode est la plus performante pour obtenir des filtres numriques de bande troite. En effet un filtre non-rcursif a une pente maximum de l'ordre de Fe/M o M est le nombre de points qui impose alors l'ordre du filtre.Un filtre rcursif est une obligation pour avoir un ordre faible donc un volume de calcul faible. Il faut choisir unfiltre prototype analogique ayant les caractristiques voulues. L'ordre du filtre numrique est alors le mme aprstransformation bilinaire que celui du filtre analogique prototype.

    L'algorithme numrique s'crit alors sn = a0 .xn + a2 .xn 2 - b1 .yn 1 - b2 .yn 2

    avec a0 = - a2 =k

    k + Qa k2 + Qa; b1 = 2

    Qa - Qa k2

    k + Qa k2 + Qaet b2 =

    Qa k2 + Qa - kQa k2 + Qa + k

    f

    fFe2

    Fe2-

    fo

    o

    f2

    f1

    1 2

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  • 84 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    84

    Rgulateur numriqueVoici un exemple de fonctionnement de rgulateur de vitesse numrique.

    Il sagit de rguler un moteur qui dispose dun petit dispositif de contrle en lui imposant une consigne de vitesseconstante. Dans cet exemple, la rgulation est effectue par un micro-contrleur et on parle alors de rgulationnumrique. On peut schmatiser le fonctionnement comme il est dcrit sur le schme bloc suivant.

    Les avantages sont les suivants : Contrle numrique de la loi de commande, en particulier le programme peut recalculer tout instant les

    coefficients du rgulateur numrique (rgulateur auto-adaptatif) ; Traitement numrique sur N bits introduisant une robustesse au bruit et un rapport signal sur bruit plus lev

    quen analogique ; Utilisation de capteurs numriques plus frustes et donc moins chers ; Amlioration du rglage des processus possdant un retard.

    CNA et prsence dun bloqueur

    Le rgulateur numrique va contrler le processus physique par lintermdiaire dun convertisseur numrique versanalogique. Ce convertisseur contient lui-mme un bloqueur, car les consignes lui sont donnes toutes les priodesTe. Il maintient alors la consigne aprs lavoir convertie en analogique durant toute la dure de la priode qui suiten attendant de recevoir une nouvelle consigne. Cela provoque une commande qui est donc en marche descaliers.

    La transmittance analogique en variable p = + j est B(p) =1 - e-Te p

    p . Si nous supposons que le processus se

    comporte comme une transmittance Ga(p) toujours en variable p continue car le processus physique estanalogique, alors les deux lments sont en cascade, et lensemble se comporte comme le produit des deux

    Tachymtre

    Contrle duMoteur

    Microcontroleur

    PWM

    PortAfficheur cristaux liquides

    LCD Driver

    8

    Liaisonmcanique

    Consigne

    CANConversion Numrique Analogique

    Moteur courant continu

    EntreRgulationnumrique

    CNA

    ProcessusPhysique

    Ga(p)

    CAN

    Perturbations

    Sortie analogique

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  • Traitement du signal- MCPC 2000-01 07/01/09 85

    85

    transmittances B(p) Ga(p) =1 - e-Te p

    p Ga(p). La sortie du processus est de nouveau chantillonne avec la

    mme priode pour servir de rfrence au rgulateur numrique. Dans le monde numrique, il est alors caractrispar une fonction de transfert en z de la forme :

    G(z) = (1-z-1) Z[Ga(p)p ]La prsence du bloqueur se traduit donc par un polynme multiplicatif en (1-z-1) au numrateur et par un termediviseur en 1/p qui intervient en modifiant la transmittance analogique du processus physique lui-mme avanttransformation en Z.

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  • 86 Dpartement Mesures Physiques - IUT Orsay

    86

    BibliographieNiveau IUT

    J.L. AZAN, Prcis dlectronique, Cours et exercices rsolus, Tome 1 &2, Collection enseignement suprieurdes techniques industrielles, Bral, 1994.

    M. BELLANGER, Traitement numrique du signal, 6me dition, Dunod 1998.

    F. COTTET, Traitement des signaux et acquisition de donnes, Dunod 1997.

    F. COTTET, Aide-mmoire de traitement du signal, Dunod, 2000.

    A. DELUZURIEUX, M. RAMI, Problmes dlectronique numrique : chantillonnage, filtrage,asservissement, modulation, BTS-IUT, EYROLLES, 1989.

    J. MAX et J.-L. LACOUME, Mthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesuresphysiques, 5me dition, Dunod 2000.

    ============ Universit Paris-Sud ==========

    ORSAYDpartement Mesures Physiques

    2me anne

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