Traitement du signal Chapitre 1- Signaux discrets

Traitement du signalChapitre 1- Signaux discrets

Vahid MeghdadiELT2

2012-2013

Rappel sur les signaux temps continus

Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus

∫−

∞→=

2/

2/

2)(

1lim

T

T

aT

x dttxT

PLa puissance pour un signal illimité dans le temps:

Pour un signal limité dans le temps on définit l’énergie: ∫

−

=2

1

2)(

t

t

ax dttxE

Puissance instantanée: 2

)()( txtP a=

Energie dans (a,b) ∫=b

a

ba dttpE )(),(

Transformée de Fourier


2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ∞

−

−∞

= ∫ ∫∞

∞−

= dfefXtx ftj π2)()(

Propriétés:

020) ( ) j ftx(t - t X f e π−ℑ =Délai temporel

Linéarité )()()()( fbXfaXtbytax +=+ℑ

est réel )()( * fXfX =

)(Im)(Im

)(Re)(Re

)()(

)()(

fXfX

fXfX

fXfX

fXfX

−−=−=−−=

−=≺≺

Transformée de Fourier

Propriétés (suite)

)().()(*)( fYfXtytx ⇒

0 0 02 ( ) 20* ( ) ( )j f t j H f j f te h t H f e eπ π⇒ ≺

Convolution

Fonction de transfert

Exponentiel est une fonction propre d’un système linéaire. C’est la raison pour laquelle, il est important d’écrire un signal quelconque en fonction d’une somme des exponentiels.

)(*)()().( fYfXtytx ⇒Produit

Limité en temps Illimité en fréquenceLimité en fréquence Illimité en temps


Echantillonnage

Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage

Peigne de dirac.

∑∞

−∞=

−=n

T nTtt )()( δδ

∑∞

−∞=

−=ℑk

T T

kf

Tt )(

1)( δδ

)()()( ttxtx TT δ=

Echantillonnage

Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage

∑∑∑ −=−=−=ℑ∞

−∞= kee

kkT kffXfTkfX

TT

kf

TfXtx )()/(

1)(

1*)()( δ

Chevauchement du spectre (aliasing). Pour l’éviter il faut respecter le critère de Shannon : La fréquence d’échantillonnage ≥ le double de la largeur de bande du signal.

Signaux discrets

est une séquence que l’on peut stocker dans la mémoire ou dans un fichier.

La notion de temps disparaît donc ! il faut garder la fréquence d’échantillonnage en tête !

Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets

Définitions

Un signal temps discret est limité dans le temps si :

1 2 2 1, ( ) 0N et N N x n pour n N ou n N∃ ∈ = > <

2( ) ( )P n x n=

Un signal temps discret est illimité dans le temps si ce N1 ou N2 n’existe pas.

Puissance instantané :

Puissance moyenne d’un signal illimité dans le temps

Energie

21lim ( )

2 1

N

Nn N

P x nN→∞ =−

=+ ∑

2lim ( )

N

Nn N

E x n→∞ =−

= ∑


Exemples de fonctions

1 0( )

0 0

nn

nδ

== ≠

∑∞

=

−=−−=0

)()()1()()(m

mnnununun δδ

Delta

1

n

Echelon1 0

( )0 0

nu n

n

≥= <

1

n


Exponentiel 1

n

( ) ( )nx n u nα=

Propriétés

)()()()( mnmxmnnx −=− δδ1-

2- ∑∞

−∞=

−=m

mnmxnx )()()( δ


Système discret

Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets

T( . )x(n) y(n)

)()( nxTny =

Exemple: Délai )()( 0nnxny −=

Exemple: Accumulateur ∑∑∞

=−∞=

−==0

)()()(m

n

m

mnxmxny

Remarque : si x(n)=δ(n), alors y(n)=u(n).

Système sans mémoire


La sortie à l’instant n est une fonction de l’entrée uniquement à l’instant n.

Exemple:

y(n)=2x(n)y(n)=x2(n)+2x(n)

Contre exemple:

y(n)=x(n-1)

Système linéaire


TLIN( . )x(n) y(n)

)()()()()( 2121 nxbTnxaTnbxnaxTny +=+=Exemple:

y(n) = 4 x(n)y(n) = x(n-1) -2x(n) + x(n+1)

Contre exemple:

y(n) = 4x(n) + 1y(n) = x2(n)

Système causal


L’entrée à l’instant n0 n’influence pas la sortie aux instants n<n0.

C’est-à-dire que le système ne peut pas anticiper.

Exemple d’un dérivateur causal : 1

Exemple d’un dérivateur non causal : ! 1

Système stable


Un système est stable si n’importe quelle entrée bornée donne une sortie bornée.

Exemple: Accumulateur n’est pas un système stable.

∑∞

=

−=0

)()(m

mnxny

Par exemple si " la sortie tend vers l’infinie quand tend vers l’infinie.

Système linéaire et invariant dans le temps

Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps

LITx(n) y(n) )()( nxTny =

Si l’entrée est un delta Dirac # , la sortie, par convention, s’appelle $.

∑∞

−∞=

−=k

knkxnx )()()( δ

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

kk

knTkxknkxTny )()()()()( δδ

On a utilisé la linéarité, et maintenant l’invariance dans le temps.

∑∞

−∞=

−=k

knhkxny )()()( )()()( nhnxny ∗=Définition de convolution

Propriétés des systèmes LIT


Commutativité:

∑∑∞

=

∞

=

−=−

∗=∗=

00

)()()()(

)()()()()(

kk

knxkhknhkx

nxnhnhnxny

Connexion parallèle

[ ] )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx ∗+∗=+∗

Propriétés des systèmes LIT


- Connexion série

( ))(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)( 211121211 nhnhnxnhnhnxnhnhnx ==

- Stabilité:Un système LIT est stable si et seulement si ∞<∑

∞

−∞=k

kh2

)(

- CausalitéUn système LIT et causal si et seulement si h(n)=0 pour n<0

Système défini par un équation aux différences

Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences

)(...)1()()(...)1()( 101 MnxbnxbnxbNnyanany MN −++−+=−++−+

∑∑==

−−−=N

mm

M

mm mnyamnxbny

10

)()()(

Exemple: Accumulateur ∑−∞=

=n

k

kxny )()(

∑−

−∞=

=−1

)()1(n

k

kxny )()1()()()(1

nxnynxkxnyn

k

+−=+= ∑−

−∞=

)()1()( nxnyny =−−

Présentation en diagramme bloc

Accumulateur

Exemple dérivateur causal

Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences

Traitement du signal

Chapitre 2- Transformation en Z

Vahid Meghdadi

ELT2

2012-2013

Echantillonnage

Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z

Peigne de dirac.

n

T nTtt )()(

k

TT

kf

Tt )(

1)(

)()()( ttxtx TT

Echantillonnage

k

eae

k

a

k

aT

kffXfTkfXT

T

kf

TfXtx

)()/(1

)(1

*)()(


Transformée de Z

Transformée de Laplace de 𝑥𝑇 𝑡 est:

t

st

n

aT dtenTtnTxsX )()()(

nTs

n

aT enTxsX

)()(

On pose 𝑧 = 𝑒𝑠𝑇 Alors:

n

nznxzX )()(Transformée en Z

d’une séquence

discrète


𝑋𝑇 𝑠 = 𝑋 𝑧 𝑧=𝑒𝑠𝑇 𝑋 𝑧 = 𝑋𝑇 𝑠 𝑠=1𝑇ln (𝑧)

Rappel : ln 𝑟 + 𝑗𝜃 = ln 𝑟 + 𝑗𝜃

Relation plan Z et plan S

, sT T j Tz e s j z e e

C-à-d qu’à partir de la TL de 𝑥𝑇 𝑡 , on obtient la TZ de 𝑥 𝑛 .

Remarque: la transformée de Z est en relation avec 𝑥𝑇 𝑡 et non pas

avec 𝑥𝑎 𝑡

jΩ0

∑0

jΩ

∑

Plan S Plan Z

TjTee 00

ReZ

ImZ


TF et TZ

Dans le domaine temps continu, en général, on a 𝑋 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑠 𝑠=𝑗Ω.

On peut dire donc que la transformée de Fourier de 𝑥𝑇 𝑡 est la transformée

de Laplace 𝑋𝑇 𝑠 calculée sur l’axe 𝑗Ω (𝑠 = 𝑗Ω) :

jsTT sXjX )()(

La séquence 𝑥 𝑛 est obtenue à partir de 𝑥𝑇 𝑡 ou de 𝑥𝑎 𝑡 : 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇).

Sachant que 𝑋 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛∞𝑛=−∞ et que 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝑛𝜔∞

𝑛=−∞ , la

transformée de Fourier de 𝑥 𝑛 peut s’obtenir par :

1ln( ) /

( ) ( ) ( ) |jj

j

Tz e s e j TT

X e X z X s


Conclusion

•𝑋(𝑧) calculé sur le cercle unité donne 𝑋(𝑒𝑗𝜔) qui est la transformée de

Fourier (TFSD) de 𝑥(𝑛).

•La transformée de Fourier du signal temps discret 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) est obtenu

en remplaçant Ω par 𝜔

𝑇 dans 𝑋𝑇(jΩ).

•C’est-à-dire qu’en transformant le signal « peigné » en séquence, nous

avons exactement le même spectre (mise à part d’un facteur d’échelle)


𝜔 ⟺ Ω𝑇

Exemple

10

( ) ( )

1 ( ) ( )

1

n

n n n n

n n

x n a u n

X z a u n z a zaz

Convergence si azaz 11

Si a<1, la transformée de Fourier existe.

j

j

aeeX

1

1)(


Domaine de convergence de TZ


Le domaine de convergence est l’ensemble de points sur le plan Z où la

TZ converge. C-à-d

Exemple: Pour un delta dirac

zznnTZn

n

pour 1)()(

( ) ( ) ( )n n n

n n n

x n z x n z x n r

Alors domaine de convergence DOC est le plan Z.

Note: On ne considère que des signaux bornés de gauche

Domaine de convergence de TZ

Exemple: 𝑥 𝑛 = 𝑢(𝑛)

10 1

1)()(

zzznuzX

n

n

n

n

Domaine de convergence : 1z

Remarque

Si 1 1DOC tel que , DOCz z z z z

Remarque: Si cercle unité appartient au DOC, TF existe.

Remarque: Le DOC est toujours à l’extérieur d’un cercle (pour les

signaux bornée de gauche)


Propriétés de TZ

Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z

1- Linéarité

)()()()( 2121 zbXzaXnbxnax

2- Décalage dans le temps

0

0( ) ( )n

x n n z X z

Exemple:

1 2DOC x xR R

)1(4

1)(

4

1

1)(

1

nunx

z

zX

n

Propriétés de TZ

3- Multiplication par exponentiel

00 /)( zzXnxzn

Résultat:

0 0( )( )

j n je x n X e

Exemple: )()cos()( 0 nunrnx n

221

0

1

0

cos21

cos1)(

zrzr

zrzX


Propriétés de TZ

4- Dérivé de X(z)

dz

zdXznnx

)()(

5- convolution )().()(*)( 2121 zXzXnxnx

6- Valeur initiale: si 𝑥 𝑛 = 0 pour 𝑛 < 0 (𝑥(𝑛) est causal) alors:

)(lim)0( zXxz


Transformée inverse de Z

Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z

A part l’utilisation de la formule exacte de l’inverse de la transformée

en Z qui est souvent complexe, il existe trois autres méthodes.

1- Utilisation des tables et des propriétés.

11

1)(

aznuan avec la propriété de dérivation:

21

1

)1()(

az

aznunan

Alors donne

1

1 2

0.5( )

(1 0.5 )

zX z

z

(0.5) ( ) ( )

2

n

n

nn u n u n

2- Décomposition en éléments simples

C’est à utiliser pour des fonctions rationnelles

N

k

k

M

k

k

za

zb

zX

0

1

0

1

)(

Si 𝑀 < 𝑁 alors:

1

0 1

11 10

1

(1 )

( )1

(1 )

M

k Nk k

Nk k

k

k

c zb A

X za d z

d z

où kdzkk zXzdA

)(1 1


1

( ) ( ) ( )N

n

k k

k

x n A d u n

Décomposition en éléments simples

Si 𝑀 ≥ 𝑁 alors

Et pour chaque terme: 1

( ) ( )1

nkk k

k

AA d u n

d z

Alors:

1

( ) ( ) ( )N

n

k k

k

x n A d u n


10 1

( )1

M N Nr k

r

r k k

AX z B z

d z

Exemple

𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 4𝑧−2

1 + 𝑧−1

𝑋 𝑧 =4𝑧−2 + 2z−1 + 1

𝑧−1 + 1= 4𝑧−1 − 2 +

3

1 + 𝑧−1

𝑥 𝑛 = −2𝛿 𝑛 + 4𝛿 𝑛 − 1 + 3 −1 𝑛𝑢 𝑛

Décomposition en éléments simples

Exercice: 21

21

2

1

2

31

21)(

zz

zzzX


Solution:

)(2

198)(2)( nunnx

n

3-Développement en série


On développe 𝑋(𝑧) en une série de 𝑧−1 et on identifie les 𝑥(𝑛).

...)1()0()1(...)()( 101

zxzxzxznxzXn

n

Exemple:

112

1112

2

11

2

1

)1)(1)(2

11()(

zzz

zzzzzX

Développement en série

Exemple 11

1)(

azzX

En faisant une division longue on obtient :

...1)( 221 zaazzX

Ce qui donne )()( nuanx n


Exercice


Soit un système LIT avec la réponse impulsionnelle ci-dessous.

Calculer la réponse du système à un échelon (réponse indicielle).

)(3

13)( nunh

n

Solution 1: Convolution directe.

0

( ) ( )* ( ) ( ) ( )n

m k

y n u n h n h n m h k

Exercice (suite)

Solution 2: Calcul de 𝑋(𝑧) et 𝐻(𝑧), puis 𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 𝐻(𝑧), et finalement

𝑦 𝑛 = 𝑍−1𝑌 𝑧

11 3/11

4/3

1

4/9)(

zzzY

)(3

1

4

3)(

4

9)( nununy

n



Chapitre 3- Système LIT rationnel

Vahid Meghdadi

ELT2

2012-2013

Fonction de transfert

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités

Prenons le cas d’un système définie par son équation aux différences.

ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) y(𝑛)

M

m

m

N

m

m mnxbmnya00

)()(

Transformée de Z de deux côtés:

)()( zYzaknyaTZ k

kk

M

m

m

m

N

m

m

m zXzbzYza00

)()( )()(

)(

0

0 zH

za

zb

zX

zYN

m

m

m

M

m

m

m

Fonction de transfert (suite)

Ceci veut dire qu’avec la transformée en Z une équation aux différences

se transforme en une équation algébrique.

H(z) X(z) Y(z)

Exemple délai : ( ) ( 1)y n x n

)()( 1 zXzzY 1)( zzH

z -1 X(z) Y(z)


ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)

Exemple dérivateur

Donner le diagramme en bloc d’un dérivateur causal

11)()( )1()()( zzXzYnxnxny

11)( zzH


Exemple Moving average

n

Mnm

mxny1

)()(

1

0

)()(M

m

mnnh Alors: pourquoi ?

)()()( Mnununh 11

1

)(

)()(

z

z

zX

zYzH

M

)()()()( 1 zXzzXzYzzY M


Exemple accumulateur

)()( )()( nunhkxnyn

k

11

1

)(

)()(

zzX

zYzH

)()()( 1 zYzzXzY


Exemple Filtre RIF


Filtre à réponse impulsionnelle finie où ℎ(𝑛) est borné de gauche et de droite

m

mhmnxnhnxny )()()(*)()(

)(...)1()()( 10 Mnxhnxhnxhny M

Stabilité

Pour qu’un système LIT rationnel soit stable, il faut que ses pôles soient

à l’intérieur du cercle unité. Autrement dit, il faut que le cercle unité

appartienne à la région de convergence.

)(

)()(

zQ

zPzH

MpppzQ ,...,,0)( 21

Conclusion de stabilité: tous les pôles à l’intérieur du cercle unité

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-2- Stabilité

Rappel: Pour les systèmes continus, il fallait des pôles à gauche du plan S.

Système inverse

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-3- Système inverse

)(

1)(

zHzH i

)()(*)()( nnhnhng i

•Pour que l’inverse aussi soit stable, il faut que ses pôles soient à

l’intérieur du cercle unité.

•Alors, il faudra que les pôles et les zéros du H(z) soient à l’intérieur du

cercle unité.

Réponse fréquentielle

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-4- Réponse fréquentielle

N’importe quelle fonction rationnelle de 𝑧−1 peut être présentée sous forme

(à condition d’avoir des pôles simples)

10 1

( )1

M N Nr k

r

r k k

AX z B z

d z

Le premier terme existe si 𝑀 ≥ 𝑁 et peut être obtenu par une division directe.

La ROC est à l’extérieur du cercle passant par le pôle le plus loin d’origine.

0 1

( ) ( ) ( ) ( )M N N

n

r k k

r k

x n B n r A d u n

Exemple:Système RIF

Système (filtre) causal à réponse impulsionnelle finie

Nn

nnh

0

00)(

1

0

)()()(N

m

mnxmhny

Exemple:

ailleurs

Nnanh

n

0

0)(

Les zéros sont à : Nkj

k aez /2

N=8

Les pôles sont tous à l’origine.

Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-4- Réponse fréquentielle

𝑋(𝑧) est un polynôme en 𝑧−1


Chapitre 4- Transformée de Fourier

Discrète TFD

Vahid Meghdadi

ELT2

2011-2012

Panorama

Signaux analogiques

•Non-périodique

•Transformée de Fourier

•Périodique

•Série de Fourier

Signaux Discrets

•Non-périodique

•Transformée de Fourier signal discret TFSD

•Périodique

•Série de Fourier discrète SFD

•Limité dans le temps

•Transformée de Fourier Discrète TFD

SFD pour des signaux périodiques

Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique

Ce signal peut être présenté par une somme des exponentiels aux

fréquences 2𝜋/𝑁.

( ) ( ) ,x n x n rN r n

12 /

0

1( ) ( )

Nj nk N

k

x n X k eN

1

2 /

0

( ) ( )N

j nk N

k

X k x n e

•𝑋(𝑘) est la pondération sur le 𝑘ième exponentiel.

•𝑋(𝑘) est définit pour 𝑘 = 0, … ,𝑁 − 1 mais on peut penser que c’est une

séquence périodique de période 𝑁 ∶ 𝑋 𝑘 = 𝑋(𝑘 + 𝑁)

Représentation matricielle de la SFD

où x [ (0) (1) ... ( 1)]Tx x x N

X [ (0) (1) ... ( 1)]TX X X N

2 0/ 2 0/ 2 0/ 2 0/

2 0/ 2 / 2 2/ 2 ( 1)/

2 0/ 2 2/ 2 4/ 2 2( 1)/

2 0/ 2 ( 1)/ 2 2( 1)/ 2 ( 1)( 1)/

...

...

W ...

...

j N j N j N j N

j N j N j N j N N

j N j N j N j N N

j N j N N j N N j N N N

e e e e

e e e e

e e e e

e e e e

2 /[ ] ( )j N ij

ijw e C’est-à-dire

1x W XH

N X Wx


Exemple

( ) ( ) et ( ) ( )x n n x n x n N

Pour ce signal la période est 𝑁.

x(n)

n N

X(k)

k N-1

1


Propriété de la SFD

1- Linéarité

1 1

1 2 1 2

2 2

( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x n X kx n bx n aX k bX k

x n X k

2- Décalage 2

( ) ( )k

j mNx n m e X k

Attention: c’est un décalage circulaire !

2

( ) ( )l

j nNe x n X k l


Propriété de la SFD

3- Dualité

( ) ( )

( ) ( )

x n X k

X n Nx k

4- Convolution périodique

1 2 1 2( ) ( ) ( ) Y(k)=X ( ) ( )y n x n x n k X k

1

2 1

0

( ) ( ) ( )N

m

y n x m x n m

Attention, x1 et x2 sont périodiques.


Transformée de Fourier signal discret

Quelle est la relation entre la SFD d’un signal périodique et sa

transformée de Fourier signal discret, c’est-à-dire entre SFD et TFSD?

Les signaux périodiques ne vérifient pas la condition nécessaire pour avoir

une transformée de Fourier : 2

( )n

x n

Mais un signal qui peut être présenté sous forme d’une somme

d’exponentiels possède une transformée de Fourier sous forme de sommes

de deltas Dirac.

2 2( ) ( ) ( )j

k

kX e X k

N N


12 /

0

1( ) ( )

Nj nk N

k

x n X k eN

Exemple


12 /

0

( ) ( )

( ) ( ) 1

2 2( ) ( )

r

Nj nk N

n

j

k

p n n rN

P k p n e

kP e

N N

p(n)

n N

P(k)

k N-1

P(ejω)

ω 2π

2π/N

2π/N

1

1

Une période

Donc pour un signal discret périodique on

peut écrire la transformée de Fourrier.

Périodisation des signaux non périodique

Pour périodiser un signal 𝑥(𝑛) limité dans le temps dans l’intervalle de

0 à 𝑁 − 1, on peut le convoluer avec la séquence 𝑝(𝑛) précédente.

p(n)

n N

x(n)

n N *

N

( )x n

2N -2N n

( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( )r r

x n x n p n x n n rN x n rN


Signaux bornés et la TFD

Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés

Supposons que 𝑥(𝑛) est nul pour 𝑛 < 0 et 𝑛 ≥ 𝑁. On construit le signal

ci-dessous:

( ) ( )r

x n x n rN

( ) 0( )

0

x n n Nx n

ailleur

( ) ( modulo )x n x n N

Pour 𝑥 (𝑛), qui est un signal périodique, la série de Fourier existe et on peut

donc calculer les 𝑋(𝑘). Les 𝑋(𝑘) pour 𝑘 = 0,… , 𝑁 − 1 s’appellent la TFD du signal borné 𝑥(𝑛).

Transformée de Fourier Discrète TFD

21

0

( ) ( ) 0nkN j

N

n

X k x n e k N

21

0

1( ) 0

( )

0

nkN jN

n

X k e n Nx n N

ailleurs

( ) ( )TFDx n X k


Soit 𝑥(𝑛) un signal défini dans l’intervalle [0,N)

Relations

Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD

2 21 1

0 0

( ) ( ) ( )nk nkN Nj j

N N

n n

X k x n e x n e

De l’autre côté

1

0

( ) ( ) ( )N

j j n j n

n n

X e x n e x n e

( )x nOù est le résultat de la périodisation de x(n).

Alors: 2( ) ( )jk

N

X k X e

Soit x(n) un signal défini dans l’intervalle [0,N). On peut écrire

4-2- TFD pour des signaux bornés

Discussion et résultat

On souhaite calculer la TFSD d’un signal 𝑥(𝑛) limité dans le temps défini

sur 𝑀 points (TFSD est une fonction continue de 𝜔 de −𝜋 à 𝜋).

On se contente de quelques échantillons de 𝑋(𝑒𝑗𝜔), disons

0

2

( ) ou ( )j k

jk NX e X e

Il suffit de calculer la TFD de 𝑥(𝑛) sur 𝑁 échantillons : 2( ) ( )jk

N

X e X k

•Si 𝑁 > 𝑀, on ajout assez de zéro derrière 𝑥(𝑛) pour avoir une séquence

de taille 𝑁, puis calculer la TFD de cette séquence.

•Si 𝑁 < 𝑀, la séquence sur la quelle il faut appliquer la TFD est le

résultat de la périodisation de 𝑥(𝑛) sur 𝑁 points.


Exemple

Exemple:


41 0( )

0

nx n

ailleurs

2 3 4

5 5 /2 5 /2 5 /22

/2 /2 /2

( ) 1

1 sin5 / 2

1 sin / 2

j j j j j

j j j jj

j j j j

X e e e e e

e e e ee

e e e e

2π -π π -2π 0

( )jX e


Le but est de calculer, utilisant la TFD, des échantillons de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 sur 𝑁 points.

Exemple (suite)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(0)

X(1)

X(2)

X(3)

X(4)

X(5)

X(6)

X(7)

X(8)

X(9)

L’interprétation: si on périodise le

signal avec une période de 𝑁 = 5.

Cela donnera un signal constant

avec comme TFD un delta à

l’origine.

L’interprétation: Si 𝑁 = 10, ici le

signal périodisé résultant sera

celui-ci-dessous.

x(n)

10

1

( )jX e

( )jX e


Si on ne voulait que 2 échantillons

sur X(ejω), quelle était la séquence

temporelle?


Echantillonnage de la TFSD

Supposons ( ) ( )jx n X e . Nous avons déjà vu que ( ) ( ) j

j

z eX e X z

On en déduit que 2

2( ) ( ) ( ) j kN

j

z ekN

X k X e X z

Re

Im

1

X(k)

Plan Z

A partir de X(k) (des échantillons de X(z)), on

construit une séquence périodique ( )x n

21

0

1( ) ( )

nkN jN

k

x n X k eN

Quelle est la relation entre et x(n) de départ ? ( )x n


Echantillonnage de la TFSD

2 21 1

0 0

2 ( )1 1

0 0

1

0

1( ) ( )

1( )

( ) ( ) ( )* ( ) ( )

km nkN N j jN N

k m

k n mN N jN

m k

N

m r

x n x m e eN

x m eN

x m p n m x n p n x n rN

Le signal obtenu est le résultat de la périodisation du signal de départ.

Si le signal était limité dans le temps, une période du signal obtenue

est identique au signal de départ. Sinon, un aliasing dans le temps se

produit.


Propriétés de la TFD

Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-3- Propriétés de la TFD

1- Linéarité 1 1

1 2 1 2

2 2

( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x n X kx n bx n aX k bX k

x n X k

La TFD est à calculer sur 𝑁 = max𝑁1, 𝑁2 points.

2- Décalage circulaire

2

( ))mod ( )j mk

TFD Nx n m N e X k

x(n)

n N-1

x((n-m)mod N)

n N-1

Propriétés de la TFD (suite)


3- Dualité

( ) ( )

( ) ( )mod

TFD

TFD

x n X k

X n Nx k N

4- Convolution circulaire ( )

1 1

( )

2 2

( ) ( )

( ) ( )

TFD N

TFD N

x n X k

x n X k

1 2( ) ( ) ( )Y k X k X kSi alors y(n) = ?

1

1 2

0

1

2 1 1 2

0

( ) ( ) (( )mod )

( ) (( )mod ) ( ) ( )

N

m

N

m

y n x m x n m N

x m x n m N x n x n

Exemple

1 2

1 0 1( ) ( )

0

n Lx n x n

ailleurs

1. Poser L=6

2. Calculer 𝑋1(𝑘) et 𝑋2(𝑘) sur 𝑁 = 𝐿 points

3. Calculer 𝑌 𝑘 = 𝑋1 𝑘 . 𝑋2(𝑘)

4. Calculer 𝑦(𝑛) en faisant une TFD inverse de 𝑌(𝑘)

5. Calculer 𝑦(𝑛)directement en faisant une convolution circulaire

6. Calculer 𝑦1(𝑛) la convolution linéaire entre deux séquences

7. Conclusion : 𝑦(𝑛) ≠ 𝑦1 𝑛

8. Répéter les étapes 2 à 6 avec 𝑁 = 2𝐿

9. Conclure


Convolution linéaire faisant TFD

A partir de l’exemple précédent, on conclut que

h(n) x(n) y(n)

( ) ( )* ( )y n x n h n

1( ) ( ) ( )y n TFD X k H k

𝑦(𝑛) est une séquence de taille 𝑁 + 𝐿 − 1

Ceci est parce que dans les systèmes réels une convolution linéaire

se produit et non pas une convolution circulaire.

Cependant il y a une possibilité d’utiliser la TFD pour effectuer une

convolution linaire. La question est « comment ».

𝑥(𝑛) est une séquence de taille 𝑁

ℎ(𝑛) est une séquence de taille 𝐿

Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD

Les séquences bornées


Les séquences bornées

x(n) est une séquence de taille L

h(n) est une séquence de taille P (filtre RIF)

y(n) est une séquence de taille L+P-1

1. Calculer la TFD de x(n) et de h(n) sur N points

2. Effectuer Y(k)=X(k)H(k)

3. y(n)=TFD-1Y(k)

Pour que y(n) soit le résultat d’une convolution linéaire entre x(n) et h(n),

N doit être au moins L+P-1.

C’est-à-dire que l’on ajoute assez de zéros à la fin de x(n) et h(n) pour

obtenir des séquence de cette taille (L+P-1).

Exemple, utilisant matlab

x=[1 2 2 3 -1 0 0 …] L=5

h=[1 2 1 0 0 0…] P=3

y=x*h=[1 4 7 9 7 1 -1]

taille=5+3-1=7

X=fft(x) sur 7 points

H=fft(h) sur 7 points

Y=XH

y=ifft(Y) % est-ce la même réponse ?

Pour tracer le diagramme de Bode

Tracer H(ejw)

[H,w]=freqz(h)

plot(w,abs(H));grid

plot(w,angle(h)); grid

Ou seulement

freqz(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


TFSD de ℎ(𝑛)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitude (

dB

)

freqz(h)


Une séquence non-bornée et filtre RIF

h(n) x(n) y(n)

( ) ( )* ( )y n x n h n

ℎ(𝑛) est de taille 𝑃

x(n)

n L

x0(n)

n L

x1(n)

n 0 L

2L

( ) 0( )

0r

x n rL n Lx n

ailleur

( ) ( )

( ) ( )* ( )

( )

( ) ( )* ( )

r

r

r

r

r r

x n x n rL

y n x n h n

y n rL

où y n x n h n

Méthode « overlap and add »

1( ) ( ) ( )r ry n TFD X k H k

Sur L+P-1


Exemple

Nous disposons d’une séquence réelle de taille 1740 échantillons. Il

faudrait calculer le résultat de la convolution de cette séquence avec un

filtre réel dont la taille de la réponse impulsionnelle est de 42 (la taille de

la séquence résultante sera de 1781).

•Une convolution linéaire demande combien de multiplications réelles ?

•Utiliser la méthode de convolution rapide (on suppose que nous

disposons déjà de la TFD de ℎ(𝑛) sur 128 points : 𝐻(𝑘) et 𝑘 = 0…127

•Expliquer en détaille l’algorithme de calcul.

•Combien de multiplications réelles seraient nécessaires pour

obtenir le même résultat. (Supposons qu’une TFD de taille 𝑁 =

2𝑘 ne demande que 𝑘𝑁

2 multiplications complexes)


Transformée de Fourier Rapide (FFT)

On cherche à réduire le nombre d’opérations arithmétiques pour

calculer une TFD de taille N.

21

0

( ) ( )nkN j

N

n

X k x n e

Pour k=0, 1, …, N-1

•Le nombre de multiplications complexes = 𝑁 par points, 𝑁2 en tout

•Le nombre d’additions complexes = 𝑁 − 1 par point, 𝑁(𝑁 − 1) en tout

•Le nombre de multiplications réelles (# *) = 4𝑁^2

•Le nombre d’additions réelles (# +) = 2𝑁 𝑁 − 1 + 2𝑁2

•Exemple: Un TFD de taille 1024: plus de 4 millions de multiplications et

plus de 4 millions d’additions

Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide

Simplifier le calcul de la TFD

Pour simplifier le calcul on utilise les propriétés suivantes:

2 2( )

nkj j n N k

N Ne e

*2 2 2( )

nk nkj N n k j j

N N Ne e e

2

1rN

jNe

Dans un premier temps on considère le cas où tous les points de

TFD ne nous intéressent pas. On va calculer 𝑋(𝑘) pour un certain

nombre de 𝑘 : algorithme de Goertzel.


Algorithme de Goertzel

Par définition:

2j

NNW e

21 1

0 0

( ) ( ) ( )nkN Nj

nkNN

n n

X k x n e x n W

On peut multiplier les deux côtés par 1kN

NW

1( )

0

( ) ( ) ( )N

kN k N m

N N

m

X k W X k x m W

Ceci ressemble à une convolution. On définit la séquence

où 𝑥 𝑛 est une séquence bornée dans [0,N).

( ) ( )* ( )kn

k Ny n x n W u n

Dans ce cas ( ) ( )kX k y N

( ) ( )kn

Nh n W u nx(n) y(n)

( ) ( )kX k y N


Algorithme de Goertzel

Calcul de complexité.

Pour chaque point de X(k), il faudra

•Pour chaque points de y(n)

•4 multiplications réelles

•4 additions réelles

•Pour calculer y(N), il faut donc 4N multiplications réelles et 4N additions

réelles

•Pour calculer tous les pont X(k), k=0,…,N-1:

•(# *) = (# +) = 4N2

Conclusion: Pas d’économie en terme de nombre d’opérations mais une

implantation facile par des circuits numérique ne nécessitant pas de

stockage pour les valeurs 𝑊𝑛𝑛𝑘 et 𝑥(𝑛).


TFR et décimation dans le temps

On pose une contrainte: 𝑁 = 2𝑉

1 1 1

0 0 0

/2 1 /2 1 /2 1 /2 12 (2 1) 2 2

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

(2 ) (2 1) (2 ) (2 1)

N N Nnk nk nk

N N N

n n npair impair

N N N Nrk rkrk r k k

N N N N N

r r r r

X k x n W x n W x n W

x r W x r W x r W x r W W

Sachant que 2 2

22 /2

/2

j jN N

N NW e e W

/2 1 /2 1

/2 /2

0 0

( ) (2 ) (2 1)N N

rk k rk

N N N

r r

X k x r W W x r W

( ) ( ) ( )k

NX k G k W H k




( ) ( ) ( )k

NX k G k W H k

𝐺(𝑘) et 𝐻(𝑘) sont

calculés pour k=0, 1,

…, 𝑁

2− 1. Pour le

reste de la

séquence, on utilise

le fait que 𝐺(𝑘) et

𝐻(𝑘) sont

périodiques.

/2 1 /2 1

/2 /2

0 0

( ) (2 ) (2 1)N N

rk k rk

N N N

r r

X k x r W W x r W

(# *)c =N+2(N/2)2

(# +)c=N+2(N/2)2


Peuvent être transformés en 2 DFT de taille 2


TFR et décimation dans le temps B

it r

evers

e e

n e

ntr

ée


Calcul de la complexité

𝑁 = 2𝜈

Directe : 𝑁2 multiplications complexes

Après une décimation: 𝑁 + 2𝑁

2

2= 𝑁 +

𝑁2

2

Après deux décimations: 𝑁 + 2𝑁

2+ 2

𝑁

4

2= 2𝑁 + 4

𝑁

4

2

Après 𝜈 − 1 décimations: (𝜈 − 1)𝑁 + 2𝜈−1(2) = 𝜈𝑁

Alors, le nombre de multiplications complexes est de 𝑁 log2 𝑁

Si on tient compte de l’astuce de la page précédente, e

nombre de multiplications complexes est de

𝑁

2log2 𝑁

Exemple: 𝑁 = 1024, (# ∗ 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 = 20480)


Exercice

Une autre façon de calculer la complexité de la TFR (FFT) :

Supposant 𝑁 = 2𝜈, donner le nombre des papillons dans une

architecture TFR

après une première décimation : ……………..

après une deuxième décimation : ……………….

nombre total à la fin : …………………

Combien de multiplications complexes sont nécessaires pour

chaque papillons : ……………

Nombre total de multiplications complexes : …………….

Utilisant l’astuce, nombre total de multiplications complexes :

…………….

TFR et décimation en fréquence

1

0

1 /2 1 12 2 2

0 0 /2

/2 1 /2 12 2 ( /2)

0 0

( ) ( )

(2 ) ( ) ( ) ( )

( ) ( / 2)

Nnk

N

n

N N Nnr nr nr

N N N

n n r N

N Nnr r n N

N N

n r

X k x n W

X r x n W x n W x n W

x n W x n N W

Puisque 2 ( /2) 2

/2

r n N rn rN rn

N N NW W W

/2 1

/2

0

(2 ) ( ) ( / 2)N

rn

N

n

X r x n x n N W

Et de la même manière

/2 1

/2

0

(2 1) ( ) ( / 2)N

n rn

N N

n

X r x n x n N W W


TFR et décimation dans en fréquence

Bit re

vers

e e

n s

ortie


TFR entrée/sortie naturelles


Exercice

Supposer le signal continu 𝑥 𝑡 = sin(2𝜋𝑡)

Le spectre de ce signal présente deux deltas à +1 et -1.

Considérer maintenant le signal discret obtenu en échantillonnant 𝑥(𝑡) à 5 Hz.

( ) sin 25

nx n

Le spectre de ce signal contient des deltas aux fréquences 2

25

k

Maintenant on utilisera un TFD sur N points (N=10, N=12, N=90)

Devinez les X(k).


Calcul matlab

n=0:9;

x=sin(2*pi*n/5);

X=fft(x);

plot(n,abs(X),’o-’);

Interpréter les valeurs de l’axe

de fréquence. Pour quoi deux

deltas aux k=2 et 8.

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

Par fois il est préférable d’appliquer une

rotation circulaire pour voir les

fréquences négatives en leur place.

X=fftshift(X)

plot(-5:4,abs(X),’o-’);

-6 -4 -2 0 2 40

1

2

3

4

5


Calcul matlab


-50 0 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

18

n=0:89;

x=sin(2*pi*n/5);

X=fft(x);

X=fftshift(X);

plot(-45:44,abs(X),'o-');

-18

En fait, les X(k) sont des

échantillons du spectre analogique

de la fonction

2sin 0 90

( ) 5

0

n nx n

ailleurs

C’est-à-dire un sinus cardinal dont les

zéros sont à 2kπ/90, coïncidant avec X(k).

n=0:89;>> x=sin(2*pi*n/5);>> X=fft(x);>> X=fftshift(X);>> plot(-45:44,abs(X),'o-');

Calcul matlab


Si N ≠ multiple de la période, par exemple N=12 ou N=91.

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Calcul matlab

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

30

35

40

45

n=0:89;

x=sin(2*pi*n/5);

X=fft(x,1024);

plot((0:1023)/1024,abs(X));

n=0:9;

x=sin(2*pi*n/5);

X=fft(x,1024);

plot((0:1023)/1024,abs(X));

Traitement du signal Chapitre 1- Signaux discrets

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