Traitement du signal Chapitre 1- Signaux discrets

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Traitement du signal Chapitre 1- Signaux discrets

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cours_TTS_chap1xVahid Meghdadi ELT2
∫ −
∞→ =
PLa puissance pour un signal illimité dans le temps:

Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ ∞

−∞
= ∫ ∫ ∞
∞−
Propriétés:
{ } 02 0) ( ) j ftx(t - t X f e π−ℑ =Délai temporel
Linéarité { } )()()()( fbXfaXtbytax +=+ℑ
est réel )()( * fXfX =
)().()(*)( fYfXtytx ⇒
0 0 02 ( ) 2 0* ( ) ( )j f t j H f j f te h t H f e eπ π⇒
Convolution
Fonction de transfert
Exponentiel est une fonction propre d’un système linéaire. C’est la raison pour laquelle, il est important d’écrire un signal quelconque en fonction d’une somme des exponentiels.
)(*)()().( fYfXtytx ⇒Produit
Limité en temps Illimité en fréquence Limité en fréquence Illimité en temps
Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
Echantillonnage
Peigne de dirac.
{ } ∑∑∑ −=−=−=ℑ ∞
1 *)()( δ
Chevauchement du spectre (aliasing). Pour l’éviter il faut respecter le critère de Shannon : La fréquence d’échantillonnage ≥ le double de la largeur de bande du signal.
Signaux discrets
est une séquence que l’on peut stocker dans la mémoire ou dans un fichier.
La notion de temps disparaît donc ! il faut garder la fréquence d’échantillonnage en tête !
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Définitions
Un signal temps discret est limité dans le temps si :
1 2 2 1, ( ) 0N et N N x n pour n N ou n N∃ ∈ = > <
2 ( ) ( )P n x n=
Un signal temps discret est illimité dans le temps si ce N1 ou N2 n’existe pas.
Puissance instantané :
Energie
Exemples de fonctions
Exponentiel 1
Système discret
T( . ) x(n) y(n)
Système sans mémoire
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
La sortie à l’instant n est une fonction de l’entrée uniquement à l’instant n.
Exemple:
Contre exemple:
y(n)=x(n-1)
Système linéaire
TLIN( . ) x(n) y(n)
{ } { } { })()()()()( 2121 nxbTnxaTnbxnaxTny +=+= Exemple:
Contre exemple:
Système causal
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
L’entrée à l’instant n0 n’influence pas la sortie aux instants n<n0.
C’est-à-dire que le système ne peut pas anticiper.
Exemple d’un dérivateur causal : 1
Exemple d’un dérivateur non causal : ! 1
Système stable
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
Un système est stable si n’importe quelle entrée bornée donne une sortie bornée.
Exemple: Accumulateur n’est pas un système stable.
∑ ∞
=
−= 0
)()( m
mnxny
Par exemple si " la sortie tend vers l’infinie quand tend vers l’infinie.
Système linéaire et invariant dans le temps
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
LIT x(n) y(n) { })()( nxTny =
∑ ∞
−∞=
knTkxknkxTny )()()()()( δδ
∑ ∞
−∞=
Propriétés des systèmes LIT
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
Commutativité:
Propriétés des systèmes LIT
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
- Connexion série
( ))(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)( 211121211 nhnhnxnhnhnxnhnhnx ==

)(
- Causalité Un système LIT et causal si et seulement si h(n)=0 pour n<0
Système défini par un équation aux différences
Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences
)(...)1()()(...)1()( 101 MnxbnxbnxbNnyanany MN −++−+=−++−+
Exemple dérivateur causal
Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences
Traitement du signal
Vahid Meghdadi
Peigne de dirac.
Transformée de Z








Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
= = = =1 ln ()
Rappel : ln + = ln +
Relation plan Z et plan S
, sT T j Tz e s j z e e
C-à-d qu’à partir de la TL de , on obtient la TZ de .
Remarque: la transformée de Z est en relation avec et non pas
avec
TF et TZ
Dans le domaine temps continu, en général, on a = =Ω.
On peut dire donc que la transformée de Fourier de est la transformée

jsTT sXjX )()(
La séquence est obtenue à partir de ou de : = ().
Sachant que = −∞ =−∞ et que = −∞
=−∞ , la
transformée de Fourier de peut s’obtenir par :
1 ln( ) /
( ) ( ) ( ) |j j
X e X z X s


Conclusion
•() calculé sur le cercle unité donne () qui est la transformée de
Fourier (TFSD) de ().
•La transformée de Fourier du signal temps discret = () est obtenu
en remplaçant Ω par
dans (jΩ).
•C’est-à-dire qu’en transformant le signal « peigné » en séquence, nous
avons exactement le même spectre (mise à part d’un facteur d’échelle)
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Ω
X z a u n z a z az







Domaine de convergence de TZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Le domaine de convergence est l’ensemble de points sur le plan Z où la
TZ converge. C-à-d
zznnTZ n



Note: On ne considère que des signaux bornés de gauche
Domaine de convergence de TZ
Exemple: = ()
Remarque
Si 1 1DOC tel que , DOCz z z z z
Remarque: Si cercle unité appartient au DOC, TF existe.
Remarque: Le DOC est toujours à l’extérieur d’un cercle (pour les
signaux bornée de gauche)
Propriétés de TZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
1- Linéarité
)()()()( 2121 zbXzaXnbxnax
0

)1( 4


221
0
1
0
cos21
cos1 )(


Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
Propriétés de TZ
5- convolution )().()(*)( 2121 zXzXnxnx
6- Valeur initiale: si = 0 pour < 0 (() est causal) alors:
)(lim)0( zXx z

Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
Transformée inverse de Z
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
A part l’utilisation de la formule exacte de l’inverse de la transformée
en Z qui est souvent complexe, il existe trois autres méthodes.
1- Utilisation des tables et des propriétés.
11
1 )(
21
1
)1( )(
2- Décomposition en éléments simples
C’est à utiliser pour des fonctions rationnelles






d z
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
1
( ) ( ) ( ) N
n

( ) ( ) 1
d z

Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
1 0 1
r
d z
1 + −1
−1 + 1 = 4−1 − 2 +
3
1 + −1
= −2 + 4 − 1 + 3 −1
Décomposition en éléments simples
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Solution:
)( 2
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
On développe () en une série de −1 et on identifie les ().
...)1()0()1(...)()( 101
...1)( 221 zaazzX
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Exercice
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Soit un système LIT avec la réponse impulsionnelle ci-dessous.
Calculer la réponse du système à un échelon (réponse indicielle).
)( 3
m k


Exercice (suite)
Solution 2: Calcul de () et (), puis = (), et finalement
= −1{ }
11 3/11
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Traitement du signal
Vahid Meghdadi
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités
Prenons le cas d’un système définie par son équation aux différences.
() () y()
)()( zYzaknyaTZ k
Fonction de transfert (suite)
Ceci veut dire qu’avec la transformée en Z une équation aux différences
se transforme en une équation algébrique.
H(z) X(z) Y(z)
)()( 1 zXzzY 1)( zzH
z -1 X(z) Y(z)
() () ()
11)()( )1()()( zzXzYnxnxny
Exemple Moving average
Exemple accumulateur
)()( )()( nunhkxny n
Exemple Filtre RIF
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités


Stabilité
Pour qu’un système LIT rationnel soit stable, il faut que ses pôles soient
à l’intérieur du cercle unité. Autrement dit, il faut que le cercle unité
appartienne à la région de convergence.
)(
)( )(
MpppzQ ,...,,0)( 21
Conclusion de stabilité: tous les pôles à l’intérieur du cercle unité
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-2- Stabilité
Rappel: Pour les systèmes continus, il fallait des pôles à gauche du plan S.
Système inverse
)(
)()(*)()( nnhnhng i
•Pour que l’inverse aussi soit stable, il faut que ses pôles soient à
l’intérieur du cercle unité.
•Alors, il faudra que les pôles et les zéros du H(z) soient à l’intérieur du
cercle unité.
Réponse fréquentielle
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-4- Réponse fréquentielle
N’importe quelle fonction rationnelle de −1 peut être présentée sous forme
(à condition d’avoir des pôles simples)
1 0 1
r
d z




Le premier terme existe si ≥ et peut être obtenu par une division directe.
La ROC est à l’extérieur du cercle passant par le pôle le plus loin d’origine.
0 1





k aez /2
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-4- Réponse fréquentielle
() est un polynôme en −1
Traitement du signal
Discrète TFD
Vahid Meghdadi
•Périodique
•Limité dans le temps
•Transformée de Fourier Discrète TFD
SFD pour des signaux périodiques
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Ce signal peut être présenté par une somme des exponentiels aux
fréquences 2/.
1 2 /





•() est la pondération sur le ième exponentiel.
•() est définit pour = 0, … , − 1 mais on peut penser que c’est une
séquence périodique de période = ( + )
Représentation matricielle de la SFD
où x [ (0) (1) ... ( 1)]Tx x x N
X [ (0) (1) ... ( 1)]TX X X N
2 0/ 2 0/ 2 0/ 2 0/
2 0/ 2 / 2 2/ 2 ( 1)/
2 0/ 2 2/ 2 4/ 2 2( 1)/
...
...
j N j N j N j N N
j N j N j N j N N
j N j N N j N N j N N N
e e e e
e e e e
e e e e
e e e e
N X Wx
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Exemple
Pour ce signal la période est .
x(n)
1
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Propriété de la SFD
( ) ( )
x n X k x n bx n aX k bX k
x n X k


2
( ) ( ) l

Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Propriété de la SFD
4- Convolution périodique
1 2 1 2( ) ( ) ( ) Y(k)=X ( ) ( )y n x n x n k X k
1

Attention, x1 et x2 sont périodiques.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Transformée de Fourier signal discret
Quelle est la relation entre la SFD d’un signal périodique et sa
transformée de Fourier signal discret, c’est-à-dire entre SFD et TFSD?
Les signaux périodiques ne vérifient pas la condition nécessaire pour avoir
une transformée de Fourier : 2
( ) n


Mais un signal qui peut être présenté sous forme d’une somme
d’exponentiels possède une transformée de Fourier sous forme de sommes
de deltas Dirac.
2 2 ( ) ( ) ( )j
N N




Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
1 2 /



Exemple
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
1 2 /
k P e
peut écrire la transformée de Fourrier.
Périodisation des signaux non périodique
Pour périodiser un signal () limité dans le temps dans l’intervalle de
0 à − 1, on peut le convoluer avec la séquence () précédente.
p(n)
( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) r r
x n x n p n x n n rN x n rN
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Signaux bornés et la TFD
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Supposons que () est nul pour < 0 et ≥ . On construit le signal
ci-dessous:
( ) ( ) r


ailleur
( ) ( modulo )x n x n N
Pour (), qui est un signal périodique, la série de Fourier existe et on peut
donc calculer les (). Les () pour = 0,… , − 1 s’appellent la TFD du signal borné ().
Transformée de Fourier Discrète TFD
21
0


ailleurs
( ) ( )TFDx n X k
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Soit () un signal défini dans l’intervalle [0,N)
Relations
2 21 1


n n



( )x nOù est le résultat de la périodisation de x(n).
Alors: 2( ) ( )j k

Soit x(n) un signal défini dans l’intervalle [0,N). On peut écrire
4-2- TFD pour des signaux bornés
Discussion et résultat
On souhaite calculer la TFSD d’un signal () limité dans le temps défini
sur points (TFSD est une fonction continue de de − à ).
On se contente de quelques échantillons de (), disons
0
2

Il suffit de calculer la TFD de () sur échantillons : 2( ) ( )j k
N

•Si > , on ajout assez de zéro derrière () pour avoir une séquence
de taille , puis calculer la TFD de cette séquence.
•Si < , la séquence sur la quelle il faut appliquer la TFD est le
résultat de la périodisation de () sur points.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Exemple
Exemple:
41 0 ( )
/2 /2 /2
j j j j
e e e e e
e e e e
( )jX e
4-2- TFD pour des signaux bornés
Le but est de calculer, utilisant la TFD, des échantillons de sur points.
Exemple (suite)
signal avec une période de = 5.
Cela donnera un signal constant
avec comme TFD un delta à
l’origine.
signal périodisé résultant sera
sur X(ejω), quelle était la séquence
temporelle?
Echantillonnage de la TFSD
Supposons ( ) ( )jx n X e . Nous avons déjà vu que ( ) ( ) j
j


2( ) ( ) ( ) j k N

construit une séquence périodique ( )x n
21
0
1 ( ) ( )



Quelle est la relation entre et x(n) de départ ? ( )x n
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Echantillonnage de la TFSD
k m
m k
x m e N
















Le signal obtenu est le résultat de la périodisation du signal de départ.
Si le signal était limité dans le temps, une période du signal obtenue
est identique au signal de départ. Sinon, un aliasing dans le temps se
produit.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Propriétés de la TFD
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-3- Propriétés de la TFD
1- Linéarité 1 1
1 2 1 2
( ) ( )
x n X k x n bx n aX k bX k
x n X k


La TFD est à calculer sur = max{1, 2} points.
2- Décalage circulaire


Propriétés de la TFD (suite)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-3- Propriétés de la TFD
3- Dualité




1 2( ) ( ) ( )Y k X k X kSi alors y(n) = ?
1








ailleurs
3. Calculer = 1 . 2()
4. Calculer () en faisant une TFD inverse de ()
5. Calculer ()directement en faisant une convolution circulaire
6. Calculer 1() la convolution linéaire entre deux séquences
7. Conclusion : () ≠ 1
8. Répéter les étapes 2 à 6 avec = 2
9. Conclure
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-3- Propriétés de la TFD
Convolution linéaire faisant TFD
h(n) x(n) y(n)
1( ) { ( ) ( )}y n TFD X k H k
() est une séquence de taille + − 1
Ceci est parce que dans les systèmes réels une convolution linéaire
se produit et non pas une convolution circulaire.
Cependant il y a une possibilité d’utiliser la TFD pour effectuer une
convolution linaire. La question est « comment ».
() est une séquence de taille
() est une séquence de taille
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Les séquences bornées
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Les séquences bornées
h(n) est une séquence de taille P (filtre RIF)
y(n) est une séquence de taille L+P-1
1. Calculer la TFD de x(n) et de h(n) sur N points
2. Effectuer Y(k)=X(k)H(k)
3. y(n)=TFD-1{Y(k)}
Pour que y(n) soit le résultat d’une convolution linéaire entre x(n) et h(n),
N doit être au moins L+P-1.
C’est-à-dire que l’on ajoute assez de zéros à la fin de x(n) et h(n) pour
obtenir des séquence de cette taille (L+P-1).
Exemple, utilisant matlab
x=[1 2 2 3 -1 0 0 …] L=5
h=[1 2 1 0 0 0…] P=3
y=x*h=[1 4 7 9 7 1 -1]
taille=5+3-1=7
Y=XH
Tracer H(ejw)
[H,w]=freqz(h)
freqz(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
TFSD de ()
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -200
-150
-100
-50
0
d e g re
e s )
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -100
-50
0
50
d B
freqz(h)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Une séquence non-bornée et filtre RIF
h(n) x(n) y(n)
() est de taille
x(n)
ailleur
y n x n h n
y n rL










Sur L+P-1
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Exemple
Nous disposons d’une séquence réelle de taille 1740 échantillons. Il
faudrait calculer le résultat de la convolution de cette séquence avec un
filtre réel dont la taille de la réponse impulsionnelle est de 42 (la taille de
la séquence résultante sera de 1781).
•Une convolution linéaire demande combien de multiplications réelles ?
•Utiliser la méthode de convolution rapide (on suppose que nous
disposons déjà de la TFD de () sur 128 points : () et = 0…127
•Expliquer en détaille l’algorithme de calcul.
•Combien de multiplications réelles seraient nécessaires pour
obtenir le même résultat. (Supposons qu’une TFD de taille =
2 ne demande que
2 multiplications complexes)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Transformée de Fourier Rapide (FFT)
On cherche à réduire le nombre d’opérations arithmétiques pour
calculer une TFD de taille N.
21
0

Pour k=0, 1, …, N-1
•Le nombre de multiplications complexes = par points, 2 en tout
•Le nombre d’additions complexes = − 1 par point, ( − 1) en tout
•Le nombre de multiplications réelles (# *) = 4^2
•Le nombre d’additions réelles (# +) = 2 − 1 + 22
•Exemple: Un TFD de taille 1024: plus de 4 millions de multiplications et
plus de 4 millions d’additions
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Simplifier le calcul de la TFD
Pour simplifier le calcul on utilise les propriétés suivantes:
2 2 ( )
N Ne e
N N Ne e e



Dans un premier temps on considère le cas où tous les points de
TFD ne nous intéressent pas. On va calculer () pour un certain
nombre de : algorithme de Goertzel.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Algorithme de Goertzel


NW
1 ( )
0
( ) ( ) ( ) N



( ) ( )* ( )kn
Dans ce cas ( ) ( )kX k y N
( ) ( )kn
( ) ( )kX k y N
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Algorithme de Goertzel
Calcul de complexité.
•Pour chaque points de y(n)
•4 multiplications réelles
•4 additions réelles
•Pour calculer y(N), il faut donc 4N multiplications réelles et 4N additions
réelles
•(# *) = (# +) = 4N2
Conclusion: Pas d’économie en terme de nombre d’opérations mais une
implantation facile par des circuits numérique ne nécessitant pas de
stockage pour les valeurs et ().
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps
On pose une contrainte: = 2

1 1 1
0 0 0
/2 1 /2 1 /2 1 /2 1 2 (2 1) 2 2
0 0 0 0
N N N
N N N N rk rkrk r k k
N N N N N
r r r r
X k x n W x n W x n W











rk k rk
N N N

NX k G k W H k
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
( ) ( ) ( )k
() et () sont
…,
() sont
rk k rk
N N N


Peuvent être transformés en 2 DFT de taille 2
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps B
it r
e e
n e
n tr
é e
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Calcul de la complexité
2
2 + 2
Après − 1 décimations: ( − 1) + 2−1(2) =
Alors, le nombre de multiplications complexes est de log2
Si on tient compte de l’astuce de la page précédente, e
nombre de multiplications complexes est de

Exemple: = 1024, (# ∗ é = 20480)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Exercice
Une autre façon de calculer la complexité de la TFR (FFT) :
Supposant = 2, donner le nombre des papillons dans une
architecture TFR
Combien de multiplications complexes sont nécessaires pour
chaque papillons : ……………
Utilisant l’astuce, nombre total de multiplications complexes :
…………….
1
0
0 0 /2
0 0
N N N
N N
n r
X k x n W
X r x n W x n W x n W
x n W x n N W












N N NW W W
/2 1


/2 1


Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans en fréquence
B it re
v e rs
e e
n s
o rtie
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR entrée/sortie naturelles
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Exercice
Supposer le signal continu = sin(2)
Le spectre de ce signal présente deux deltas à +1 et -1.
Considérer maintenant le signal discret obtenu en échantillonnant () à 5 Hz.
( ) sin 2 5
n x n
Le spectre de ce signal contient des deltas aux fréquences 2
2 5

Maintenant on utilisera un TFD sur N points (N=10, N=12, N=90)
Devinez les X(k).
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Calcul matlab
n=0:9;
de fréquence. Pour quoi deux
deltas aux k=2 et 8.
0 2 4 6 8 10 0
1
2
3
4
5
rotation circulaire pour voir les
fréquences négatives en leur place.
X=fftshift(X)
plot(-5:4,abs(X),’o-’);
1
2
3
4
5
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Calcul matlab
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
-50 0 50 0
échantillons du spectre analogique
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Si N ≠ multiple de la période, par exemple N=12 ou N=91.
0 2 4 6 8 10 12 0
0.5
1
1.5
2
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