Traitement de signal 1

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Quelques élément très généraux liés à la commande des systèmes et au traitement du signal

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  • 1. Quelques lment trsgnraux lis la commandedes systmes et au traitementdu signal

2. Signaux & Systmes : notions u ySignaux Systme Temps ? Linaire ? Dterministe ? Invariant ? Modles Energie ? Causal ? PuissanceExternes (unicit) Internes (non unicit)liens 3. un cas particulirement importantSignaux Systme DterministeModles Linaire Temps continu Causal InvariantExternes InternesEquations diffrentielles Equations diffrentiellesa0 y a1 y an y b0u b1u bmu ( n)( m) x Ax Bu ai , bi R, n m y Cx Du Fonction de transfert ? Fonction de transfert b0 b1s bm s m0 stF (s) f (t )e dt, G(s) a0 a1s an s n G ( s ) C ( sI A) 1 B DProduit de convolutionProduit de convolution y (t ) 0 y ( )u (t ) dy (t ) 0 Ce A( t ) Bu ( ) d CI=0CI=0 4. autres cas Signaux Systme Dterministe Linaire Temps discret Modles Causal InvariantSimilaires au cas prcdent Signaux Systme Dterministe Non linaire Temps discretModles Causal InvariantExternesInternesg ( y, , y (n), u,, u (m) )0x f ( x, u ), y h( x, u ) Plus difficile 5. Problme de contrle Perturbation Monde relu yDiffrences :Responsables des problmes dans les applicationsModle Monde du calculPb : Soit ys, sortie souhaite, trouver us tel que usysMinimisation des diffrences sur les rsultats Boucle ferme (Automatique) Prise en compte des Incertitudes (Commande Robuste) 6. La chane de traitement de linformation et le TS Signal lectrique + bruit Affichage CanalSystme PhysiqueCapteur RcepteurStockagede transmissionBruit ExtractionContrle/rgulation Traitement de linformation En automatique, cest le systme qui est au cur des proccupations.On cherche alors le caractriser, corriger, pour quil fournisse unerponse (signal) satisfaisant certaines contraintes. En TS, cest le signal qui nous intresse en premier lieu. Lobjectifconsiste alors le caractriser, filtrer, 7. TS / AutomatiqueTraitement du signal Automatique Conditionnement Commande des systmes Caractrisation(Commande linaire, adaptative, Dtection/Estimation optimale, ) Optimisation Asservissement : systme boucl/ Modlisation/Identificationperformances/ Correction Codage/dcodage(Rgulation, Poursuite automatique Synthse du signal de trajectoire, ) Reconnaissance/Dcision/Comprhension/Interprtation Exemple (filtrage) : La terre est soumise Exemple : Rgulation de la tempraturedepuis des millnaires des fluctuationsdune salleclimatiques naturelles quil est ncessaireAnalogique : la temprature est mesure les gommer (filtrage) pour mettre en en permanence.vidence les fluctuations artificielles des Numrique : la temprature est mesure lhomme. intervalles de temps rguliers. 8. Reprsentations Temporelles Des Signaux Plan du chapitre :I. IntroductionII. Classification des signauxIII.Signaux lmentairesIV. Dfinitions 9. I. IntroductionUn signal est une reprsentation physique dune information transmettre Reprsentation TemporelleLa forme la plus gnrale peut scrire :x f (v, w) Vecteur de dimension p faisant Apparatre une dpendanceVecteur de dimension n statistique si le signal est alatoire distribution Vecteur de dimension m (t ) si t 0Exemple de distribution : Impulsion de Dirac f(t) (t ) 0 sinonSoit la fonction f(t) (t ) lim f (t )T 0 -T/20 T/2 Signal TC, TD x : scalaire v temps(t ), ,Soit : f : fonction w : fix(signaldterminis ) ,te x(t ) f (t ) Vecteur TC ou TD 10. II. Classification (1/4) II.1. Classification morphologique t varie continuellement ou par morceauxt est discret, not n (nT)x(t) signal TCx(t) signal TD 1 10.80.80.60.6A0.40.4 chantillonnage0.20.2 0 0M -0.2-0.2 -0.4-0.4 -0.6-0.6 -0.8-0.8P-101 2 3 4 5 6 78-10 1 2 3 4 5 6 7 Signal analogiqueSignal chantillonnL(ex: tension lectrique)T Step Response3 4.54 2.5U 3.523Amplitude 2.51.5D21 1.510.5E 0.500 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.5 1 1.5 Signal quantifiTime (sec)Signal numrique (ex: compte bancaire)(ex: notes dun tudiant) TEMPS 11. II. Classification (2/4)II.2. Classification phnomnologie Signal dterministe : dont lvolution temporelle est prvisible et dontle comportement peut tre rgie par une formulationmathmatique ou graphique Signal rel : cest un signal reprsentant une grandeur physique. Sa formulation mathmatique est une fonction relle T / x(t)=x(t+kT) Support non bornSupport born Signal priodique Signal apriodiqueSignal transitoire 12. II. Classification (3/4) II.2. Classification phnomnologie Signal alatoire (stochastique) : dont lvolution temporelle estimprvisible et dont on ne peut pas prdire la valeur un temps t.La description est alors base sur les proprits statistiques dessignaux (moyenne, variance, loi de probabilit, ) Signaux alatoires stationnaires : La stationnarit suppose une indpendance des proprits statistiques par rapport lorigine des temps StationnaireNon stationnaire 13. II. Classification (4/4)II.3. Classification nergiquePuissance Signaux nergie finiemoyenne nulleCas des signaux transitoires support born (TC ) E 2x(t ) dt (TD ) E x(n) 2Puissance moyenne Signaux nergie infinienon nulleCas des signaux priodiques T / 2 k 12 1 2(TC ) P lim x(t ) dt (TD ) lim x ( n)T T k 2k 1 T / 2k 14. III. Signaux usuels (1/2)Signal TC TDchelon (t) (n)(fonction de Heaviside, ou11fonction existence)Reprsente un brusque 0t-1 0 1 2 3 4tchangement de rgime defonctionnement(t)= 1 si t>0(n)= 1 si t0Notation : u ou ou = 0 si t0, f0>0possde:et de dure T. Lautocorrlation de ce signal est : une nergie totale infinieun sinus cardinal une nergie totale finieune fonction triangle une puissance totale nulleimpaire et maximale loriginemajore par A2.TExercice 4Calculer la fonction dintercorrlation dans les cas suivants:-a) x(t)=1 et y(t)=sin(wt) b) x(t)=exp(-a|t|), a>0 et y(t) une impulsion de Diracc) x(t)=sin(wt) et y(t)=cos(wt) 19. Transformation de FourierReprsentation Frquentielle Des Signaux1re partie : Signaux priodiques TC I. Introduction II. Thorme de Fourier: dcomposition en srie de Fourier III.Forme exponentielle IV. Spectre bilatral V. Proprits 20. I. Introduction La radio louie un radar un tlphone portable un rseauNotion de contenu frquentiel de linformation quelle vhicule ou quelle analyseAnalyse frquentielledes signaux 21. II. Thorme de Fourier II.1. Dcomposition en srie de Fourier Un signal x(t) priodique de priode T, peut tre sous certaines conditions, mis sous la forme dune somme de fonctions sinusodalesForme trigonomtrique Harmonique dordre nx(t ) a0 a n 1 n cos nt bn sin nt 2 T x(t )dt T /2 1a0 T /222T /2 TT / 2Valeur moyenne du an Tx (t ) cos nt dt bn T / 2 T T / 2 x(t ) sin nt dtsignal x(t ) a0 c n 1n cos (nt n ) bn n arctg cn an bn22 an Lharmonique dordre 1 est appel Fondamental 22. II. Thorme de FourierII.2. Cas particuliers x(t) est pair x(t ) a0 a n1 n cos nt bn sin nt x(t ) a0 a n1 n cos nt bn sin nt La relation prcdente devant tre vraie quel que soit t, on enconclut que : bn =0 quel que soit n. x(t) est impair x(t ) a0 an cosnt bn sin nt n 1 x(t ) a0 an cosnt bn sin nt n 1La relation prcdente devant tre vraie quel que soit t, on enconclut que : an =0 quel que soit n. 23. II. Thorme de FourierII.3. Spectres de frquencesSpectre occupation en frquence de x(t)densit spectrale de puissance spectre damplitudec2a0En ordonne : lamplitude des harmoniques c1 En abscisse : les pulsations correspondantes c3c4 c5c6 c7 0 2 3 4 5 6 7 spectre de phase21 En ordonne : la phase des harmoniques 3En abscisse : les pulsations correspondantes0 45 6 70 2 3 4 756- 24. II. Thorme de Fourier II.3. Spectres de frquences : exemples de dcompositionx(t) ReprsentationSpectre damplitudefrquentielle car(t) an 0, n 4A/+Acar (t ) bn 4A , n 1,3,5,... n-A T/2 T t 4A n 0sin(2n 1)t2n 1 4A/3bn 0, n 2,4,6,... 4A/50 2 3 4 5 6 tri(t) 8B 8B/2an , n 1,3,5,...+B tri(t ) n 2an 0, n 0,2,4,6,... cos(2n 1)t T 8B bn 0, n t T/2 2 (2n 1) 2 8B/92-B n 00 2 3 4 5 25. II. Thorme de FourierII.5. Dfinitionsa) Facteur de forme : est dfini par le rapport entre A0 212 n1 cn2 la valeur efficace et la valeur moyenneFA0b) Taux dondulation : Londulation est la variation du signal x(t) autour desa valeur moyenne A0. Elle est gale cn cos(nt n )n11 2 Le taux dondulation est le rapport entre la valeur cn2 n1efficace de londulation et la valeur moyenne de x(t) A0et on a F 2 1 2c) Taux de distorsion harmonique : est dfini par le rapport entre la valeur efficace de lensemble des c2 c3 cn2 22 harmoniques dordre >1 et la valeur efficace du fondamental (il permet de chiffrer la puret dun c1 signal sinusodal) 26. III. Forme exponentielleLa dcomposition en srie de Fourier dun signal priodique, peut tre critesous forme suivante (facilement dmontrable) :x(t ) a0 cn cos(nt n ) n1 2T / 2 T T/ 2 cn x(t )e jnt dt avec c cet n arg cn n nApplication : calculer et reprsenter les spectres damplitude de :1. Un signal rectangulaire de rapport cyclique a2. Un peigne de Dirac 27. IV.Spectre bilatral (1/2) A laide des relations dEuler, la dcomposition en srie de Fourier dun signal priodique, peut tre crite sous la forme dinversion :t0 T1x(t ) X ne jnt avecXn T x(t )e jnt dtn t0 Il apparat, dans cette expression, des harmoniques pour les frquences stendant de - +, do le nom de : spectre bilatralRemarquesa) Dans les transformations prcdentes:x(t) est rest le signal priodique relXn et X-n sont des nombres complexes et nont pas dexistence relle, mais 2 X n X n X n an bn , correspond lamplitudede l harmoniquen2 2bn arg X n arctg - n , correspond la phase de l harmonique nan 28. IV.Spectre bilatral (2/2)Remarquesb) Si le signal x(t) est sinusodal : x(t ) cos(t ) on peut crire e jt e j e jt e j x(t ) 2 on peut crire e j ete j X1 X 1 2 2 do le spectre bilatral du signal sinusodal : 1/2 29. V. Proprits (1/2)(P1) Symtrie Hermitique : k : X k X *k (* : conjugude X * )Pour un signal rel, |Xk| est pair etarg(Xk) est pair(P2) Le spectre dun signal priodique de priode T, est discret t0 T (P3) Puissance dun signal priodique :1 Xk22P x(t ) dt Thorme de PersevalTk t0La puissance temporelle est gale la puissance spectrale(P4) Parit :PAIR IMPAIRx(t)Rel Imaginaire purRel Imaginaire pur Xk(P5) Linarit(P6) Xk est gnralement complexe mme si x(t) est rel 30. V. Proprits (2/2) (P7) correspondance bi-univoque OprationsReprsentation Temporelle Reprsentation FrquentielleCombinaison linaireu (t ) a x(t ) b y(t )U k a X k bYkRenversement du temps y(t ) x(t ) Yk X kRetardy(t ) x(t ) Yk X k e jkoffsety(t ) x(t ) c Yk X k c k DrivationYk jk. X ky (t ) x(t )Intgrationt0 t Xk y (t ) x(u )du Yk jk (k 0)t0Drivation y (t ) x ( p ) (t ) Yk ( jk) p .X kConjugaison complexey (t ) x * (t ) Yk X *kConvolution u(t ) x(t ) * y(t )U k X k .YkProduit u(t ) x(t ). y(t ) U k X k * Yk 31. Transformation de FourierReprsentation Frquentielle Des Signaux2re partie : Signaux non priodiques TC I. Transformation de Fourier II. Proprits III. TF dun signal priodique TC IV. Transformation de Laplace 32. I. Transformation de Fourier La transforme de Fourier (TF) dun signal x(t) scrit : j 2ft X ( f ) TF ( x(t )) x(t ) edtf est la frquenceX(f) est la reprsentation frquentielle de x(t). Elle est gnralement complexe mme si x(t) est rel. Formule dinversion : j 2ft x(t ) TF 1 ( X ( f )) X ( f )e df 33. II.Proprits (1/3)(P1) Symtrie Hermitique : si x(t)est rel, on a : X ( f ) X ( f ) Pour un signal rel, on a : X ( f ) est pair et Arg(X ( f )) est impair(P2) Le spectre dun signal non priodique est continu ( frquences continus) (P3) Thorme de Perseval P x(t ) y(t )dt X ( f )Y ( f )df (P4) Energie du signal 22Ex(t ) dt X ( f ) df(en utilisantle thorme de Perseval) 34. II.Proprits (2/3)(P5) Parit : PAIR IMPAIRx(t)RelImaginaire purRelImaginaire purX(f)(P6) Linarit(P7) X(f) est gnralement complexe mme si x(t) est rel(P8) TF de la fonction de corrlation TF[xy (t )] X ( f )Y ( f ) 35. II. Proprits (3/3) OprationsReprsentation TemporelleReprsentation FrquentielleCombinaison linaire u (t ) a x(t ) b y(t )U ( f ) a X ( f ) bY ( f )Renversement du tempsy(t ) x(t )Y ( f ) X ( f )Retard y(t ) x(t ) Y ( f ) X ( f )e j 2foffset y(t ) x(t ) c Y ( f ) X ( f ) c ( f )Drivation dordre p y (t ) x ( p ) (t ) Y ( f ) ( j 2f ) p . X ( f )Intgrationt0 t X( f ) C ( f ) y (t ) x(u )duY( f ) j 2f t0 C : cte dterm inerConjugaison complexe y(t ) x(t )Y( f ) X ( f )Convolutionu(t ) x(t ) * y(t )U ( f ) X ( f ).Y ( f )Produitu(t ) x(t ). y(t )U ( f ) X ( f ) *Y ( f )Multiplication par tp1 d pX( f )y (t ) t x (t ) pU( f ) j 2f df pModulation y (t ) e j 2f0t x (t )Y ( f ) X ( f f0 )exponentielle 36. III.TF dun signal priodique TC x(t) signal priodique de priode 1/f0 X n e jn2f0t e j 2ft dt TF ( x(t )) n X n e dt X TF [1] j 2 ( f nf0 ) tnvar iable ( f nf0 ) X n ( f nf0 ) nn nTF( x(t )) X n ( f nf0 )nles coefficien ts de la srie de Fourier multiplis par un peigne de DiracXn X(f)X f0 ( f ) Srie de FourierTF 37. IV.Transformation de LaplaceLa transforme de Laplace gnralise la reprsentation frquentielleX ( p) TL ( x(t )) x(t )e pt dt p j 2f , et f rels p variable (complexe) de Laplace, note aussi s Si 0, X ( p) x(t )e pt dt s utilise pour les signaux x(t)causaux0 38. TD 2Exercice 1On considrent les signaux priodiques suivants :x(t) y(t) -aa T2aTa. Calculer le dveloppement en srie de Fourier complexe du signal x(t) et tracer son spectre en amplitude pour a=T/4 et a=T/8 .b. En dduire ceux de y(t).Exercice 2On considre les signaux :x(t ) eat , a 0, t 0 ; y(t ) cos(2f0t ) ; z(t ) x(t ). y(t )a. Tracer les allures de ces signaux, pour a=1 et f0 = 1Hzb. Dterminer la transforme de Fourier de y(t) et tracer lallure de son spectrec. Dterminer la transforme de Fourier de z(t) et tracer lallure de son spectre en supposant que f0>>a. 39. TD 2Exercice 3Soit les signaux suivants (y(t) est priodique de priode 2T )x(t)y(t) z(t) AAA T-T/2 T+T/2 -T/2T/2 -T/2T/2 2T-T/2 2T+T/2-Aa. Dterminer la puissance totale et lnergie totale des signaux x(t) et y(t).b. Dterminer la transforme de Fourier de x(t). Tracer le spectre en module de x pour A=3 et T=2.c. En dduire la transforme de Fourier de y(t).d. Dvelopper y(t) en srie de Fourier coefficients complexes. Comparer avec le rsultat prcdente. Tracer le spectre en module de y. Faire apparatre lallure du spectre de x et les valeurs des coefficients du dveloppement en sries de Fourierf. Dterminer la transforme de Fourier de z(t) et tracer son spectre en moduleg. Tracer lallure de s(t)=cos(2f0t)x(t). Quel phnomne physique est modlis via la multiplication par x(t)h. Dterminer S(f) et racer le spectre en module de s(t). 40. CaractrisationsTemporelles et FrquentiellesDes Systmes linaires TCI. Introduction : Dfinition et classificationII. Caractrisation temporelle II.1. Relation Entre/sortie II.2. Rponse impulsionnelleIII. Caractrisation frquentielle III.1. Rponse frquentielle dun SLTI III.2. Systme LTI et transforme de Fourier III.3. Reprsentation frquentielle de Laplace 41. I. Introduction (1/3)Perturbations Dfinition : Un systme est un ensemble dlments fonctionnels interagissant entre euxxSignauxSystme Signaux yDentre de sortie et qui tablit un lien de cause effet entreses signaux dentres et ses signaux de sortieExemples Systme lectrique Entre : tension u(t) Sortie : tension y(t) Circuit RC intgrateur Systme mcanique k : coeff. de frottement lastique Entre : force f(t) a : coeff. de frottement visqueuxSortie : position x(t) % x0 x0 : position dquilibre Intgrateur mcanique 42. I. Introduction (2/3) Caractristiques Systme statique / dynamique : statique : la rponse une excitation est instantane u (t ) - Entre: tension u (t ) - Sortie : courant i(t ) R dynamique : la rponse une excitation est fonction des rponses passes-Entre: tension u (t ) - Sortie : tension Vc (t ) dVc (t )RCVc (t ) u (t ) dt Systme monovariable / multivariable :- systme monovariable : une entre et une sortie- systme multivariable : nbre dentres et de sorties > 2 Systme linaire : tel que les effets sont proportionnels aux causes si x(t ) 1 x1 (t ) 2 x2 (t ) alors y(t ) 1 [ x1 (t )] 2 [ x2 (t )] 43. I. Introduction (3/3) Caractristiques Systme causal : La rponse du systme ne peut pas se produire avant lexcitation qui lengendresi x(t ) 0 pour t 0, alors y(t ) [ x(t )] 0 pour t 0 Systme invariant ou stationnaire : un dcalage temporel en entre induit lemme dcalage en sortiesi y (t ) [ x(t )] alors y (t t0 ) [ x(t t0 )] Systme stable : Si une entre borne rpond par une sortie borne (stabilit au sens large) perturb, il revient son tat initial aprs disparition de la perturbation(stabilit asymptotique au sens de Lyapunov)Dans la suite, on considre les systmes monovariables LTI(Linaire Invariant dans le Temps) 44. II. Caractrisation temporelle (1/4) II.1. Relation Entre / Sortie dun systme LTI gnralement, cest une quation diffrentielle coefficients constants d n y (t )dy(t )x m x(t )dx(t )ann a1 a0 y (t ) bmm b1 b0 x(t ) dt dt dtdtGnraleme nt, m n connaissance des coefficients caractrisation complte du systme connaissance de lentresortie calculable Exemple : Circuit RLC Entre du systme: u(t) Sortie du systme: Vc(t) d 2Vc (t )dVc (t )LC 2 RC Vc (t ) u (t )dt dt 45. II. Caractrisation temporelle (2/4)II.2. Rponse impulsionelle (RI)La RI dun systme est sa rponse pour une entre impulsion de Dirac x(t ) (t ) Systme y (t ) : h(t )h(t ) [ (t )]Proprits : La RI Caractrise compltement un systme LTI La seule connaissance de h(t) permet de prdire la rponse du SLTI nimporte quelle entre x(t) Un systme est stable ssi sa RI est absolument intgrable : h( ) d Il en dcoule que la RI dun systme causal stable vrifie:lim h(t ) 0t 46. II. Caractrisation temporelle (3/4)Dmonstration de la relation fondamentale des SLTI x (t )Systme y(t ) ? (t ) est llment neutre y (t ) x(t ) x( ) (t )d de la convolution x(t ) x(t ) * (t ) : linairey(t ) x( ) (t )d x( ) (t )d : invariant y(t ) x( )h(t ) dy (t ) x(t ) * h(t ) La rponse dun SLTI une entre quelconque est la convolution de cette entre avec la RI de ce systme 47. II. Caractrisation temporelle (4/4) Convolution : Rappel Cas de signaux x(t ) * y(t ) x( ) y(t )d x(t ) * y (t ) x( ) y(t )d causaux 0Commutativit f (t ) * g (t ) g (t ) * f (t )associativite(t ) * f (t ) * g (t ) e(t ) * ( f (t ) * g (t )) (e(t ) * f (t )) * g (t )Distributivit par rapport ladditione(t ) * ( f (t ) g (t )) e(t ) * f (t ) e(t ) * g (t )lment neutre : impulsion de Diracf (t ) f (t ) * (t )Translation temporelle f (t t 0 ) f (t ) * (t t 0 )Convolution avec f (t ) * T (t ) f (t ) * (t nT ) f (t nT )un peigne de Dirac nnExemple : 48. III. Caractrisation frquentielle (1/9)III.1. Rponse frquentielle dun SLTISoit: x (t ) Systmey (t ) x(t ) Ae j 2ft h( ) Ae j 2ftj 2ftj 2f ( t ) j 2ft [ Ae] h(t ) * Ae d Aeh( )e j 2f d TF de la RI := H(f) Donc :[ Ae j 2ft ] Ae j 2ft H ( f )La rponse dun systme lTI une exponentielle (resp. un signal sinusodal)est gale au produit de cette exponentielle (resp. du signal sinusodal) par le gain complexe H(f) 49. III. Caractrisation frquentielle (2/9) III.2. Systme LTI et TF Le signal dentre est quelque : On peut lexprimer laide de la TF inverse x(t ) X ( f ) e j 2ft df y(t ) [ x(t )] [ X ( f ) e j 2ft df ] [ X ( f ) e j 2ft ] df(ppt de linarit) Forme exponentielle OR [ X ( f )e j 2ft ] X ( f )e j 2ft H ( f ) y(t ) H ( f ) X ( f ) e j 2ft df : TF inverse Y ( f ) TF y(t)y (t ) h(t ) * x(t ) Y ( f ) H ( f ). X ( f ) H ( f ) : Fonction de Transfert 50. III. Caractrisation frquentielle (3/9) Reprsentation frquentielle dun SLTICette reprsentation frquentielle illustre laptitude du systme faire passer une composantefrquentielle prsente dans le signal dentre X(f ) Systme Y ( f ) H(f) H ( f ). X ( f ) H ( f ) : module H ( f ) : Fonction de Transfert Reprsentation frquentiellearg H ( f ) : argument Relation E/S frquentielleLa relation entre/sortie dans le domaine frquentiel est caractrise par sa simplicitY ( f ) H ( f ). X ( f ) Module : Y( f ) H( f ). X ( f ) Argument :arg Y ( f ) arg H ( f ) arg X ( f ) Densit spectrale dnergie : S yy ( f ) S xx ( f ).Shh ( f ) 51. III. Caractrisation frquentielle (4/9) III.3. Reprsentation frquentielle de Laplace III.3. 1. De la TF la TL La transforme de Laplace gnralise la reprsentation frquentielle. En effet : TF x(t ) x(t ) e j 2ft dt Cette TF existe si lintgrale convergeDans le cas contraire, le signal est multipli par une exponentielle dcroissante telle que : TF x(t )e t dt avec 0 X ( f , ) x(t )e t e j 2ft dt En posant s j 2f , on obtient: x(t )e ( j 2f )t dt X ( s) x(t )est dt TL( x(t )) Dfinition de la Transforme de Laplace 52. III. Caractrisation frquentielle (5/9) III.3. 2. Proprits de la TL LinaritTLax(t ) b y(t ) a.TLx(t ) b.TLy(t ) aX ( s) bY ( s) ConvolutionTLx(t ) *y (t ) X ( s).Y ( s) Translation temporelle TLx(t ) e s X ( s ) Translation frquentielle TL e at x(t ) X ( s a ) Drivation dx(t ) TL sX (s) x(0 ) dt Intgration t X (s)TL x( )d 0 s Thorme le la valeur initiale x(0 ) lim x(t ) lim sX ( s )t 0s Thorme le la valeur finale x() lim x(t ) lim sX ( s)t s0 53. III. Caractrisation frquentielle (6/9)III.3. 3. TL de quelques signaux usuelsImpulsion de DiracTL (t ) 1 Rampe ou chelon de vitesse TL (t ) 2 1s chelon unitTL (t ) 1 s 54. III. Caractrisation frquentielle (7/9)III.3. 4. Dualit temps/frquenceTempsFrquence Rponse Indicielle (RI) : h(t ) Fonction de transfert (FT) : H (s) Systme invariant (STI) Filtre Systme linaire invariant (SLTI) Filtre linaire Relation E/S : convolution Relation E/S : produit Relation E/S dun SLTI Fraction rationnelle en sEq. diff. coeff. Constants:Quotient rationnelle en s les conditions initiales (CI) de deux polynmes en s supposes nullesTransmittancen n d (i ) x(t ) m d (i ) y(t ) TLY (s) ai s i ai dti bi dtiH (s) X (s) i 0 m, (CI 0)i 0i 0 bi s i i 0 55. III. Caractrisation frquentielle (8/9)III.3. 5. Notions de ples et de zros N (s) an s n an1s n1 a1s a0H ( s) D(s) bm s m bm1s m1 b1s b0 Les ples, nots i , i 1,..., n sont les racines de lquation caractristique: D( s ) 0 Les racines, nots zi , i 1,..., m sont les racines de lquation N ( s) 0Un systme est stable ssi tous ses ples sont parties relles strictement ngatives Exemple : dans chaque cas, dire si le systme est stable ou nonss25H (s) H ( s) H ( s) s 1( s 1)( s 1)s 2 5s 6 56. III. Caractrisation frquentielle (9/9) III.3. 6. Application